Сандық әдістердегі ақпараттық технология

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 158 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ

БІЛІМ және ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

ПАВЛОДАР МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ

ИНСТИТУТЫ

ИНФОРМАТИКА КАФЕДРАСЫ

Т. САБЫРОВ

САНДЫҚ ӘДІСТЕРДІҢ АҚПАРАТТЫҚ ТЕХНОЛОГИЯСЫ ТЕОРИЯ

ПАВЛОДАР - 2009

УДК 519. 6 - 37:004. 42(075. 8)

ББК 22. 19. я73

С 12

Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының

ғылыми Кеңесі баспаға ұсынады

Пікір жазғандар :

С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университетінің

Алгебра және математикалық талдау кафедрасының профессоры, физ-

ика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент М. М. Мұқтаров.

Павлодар Инновациялық Еуразия университетінің Информатика

және есептеу техникасы кафедрасының профессоры, техника ғылым-

дарының кандидаты, доцент А. Ж. Асанбаев.

Сабыров Т. Сандық әдістердегі ақпараттық технология.

1. Теория. Оқу құралы. - Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы, 2009, 172

- бет.

ISBN 978-601-267-011-0

Оқу құралында қолданбалы математикалық есептерді жуықтап

шешудің әртүрлі сандық әдістері келтірілген. Әрбір әдіске нақты

мысал шығарылып көрсетілген және әдістердің тиімділігі өзара

салыстырылған. Барлық есептерді шығаруда ақпараттық техно-

логияның қолданысы көрсетілген.

Бұл оқу құралы Жоғары оқу орындарының студенттері мен

оқытушылар қауымына және компьютерлік технологияны қолданып

математикалық есептерді сандық әдістермен шығаруды үйренгісі

келген инженер-техниктерге арналған.

Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының

информатика кафедрасы мақұлдады.

С 160212

00 05 −09

ISBN 978-601-267-011-0

Қазақстан Республикасы

Білім және ғылым министрлігі, 2009.  Сабыров Т., 2009

КІРІСПЕ

Бұл оқу құралы болашақ мамандар - бүгінгі Біздің студент-

терімізге, инженер-технологтарға және осы пән бойынша дәріс,

сабақ жүргізетін әріптестеріме арналған.

Кез келген нақты процестің жеткілікті дәрежеде сипаттамалары

берілген жағдайда оның математикалық моделін « жасауға болады ».

Ғылымның бүгінгі даму сатысында бұл дәлелдеуді қажет етпейтін

« шындық » - деп айтсақ артық болмас.

Кез келген нақты процестің математикалық моделі - қандайда

бір математикалық « есеп-мәселе » түрінде жазылады.

Ондай мәселелерді зерттеу - процестің « қолдану-тұтыну »

мақсатына байланысты, қолданбалы математика ғылымының осындай

проблемаларды қарастыратын арнаулы салаларында теориялық

ізденістер және, соған негізделген, сынақтар , сұрақнамалар

(анкетирование), тестілеулер , лабораториялық зерттеулер ,

техни-калық эксперименттер , әртүрлі тәжірибелер т. т. жүргізу

негізінде өткізіледі.

Осындай зерттеулер нәтижесінде процестің ішкі факторларын

сипаттайтын сапалық және сандық мәліметтер жинақталады.

Сапалық сипаттамалары бойынша сандық мәліметтер сұрыпталып,

олар алдын ала дайындалған арнаулы кестелерге енгізіліп, сақталады.

Инфоратикалық математика семантикасында олар мәліметтер қоры

- деп аталады.

Процестің сандық мәліметтері - процесті сипаттайтын

есептерді шығарып, оның әртүрлі шешімдерін зерттеу нәтижесінде

жинақталуы мүмкін. Бірақ кез келген математикалық есептердің

шешімдерін анықтаудың әмбебап әдістері жоқ екені белгілі.

Сондықтан, ондай есептердің теориялық мазмұнына үңіліп, оларды

жуықтап шешу алгоритмдерін зерттейтін, және соған байланысты,

ЭЕМ-ді қолданудағы есептеу программаларын ұсынатын, оны оқып

үйрететін ғылыми пән бар. Ол пән « САНДЫҚ ӘДІСТЕР » - деп

аталады.

Бұл пән ҚР Жоғары оқу орындарының физика-математика

факультетінің студенттері үшін міндетті пән, ал инженер-

техникалық мамандықтың студенттері үшін арнаулы оқу курсы

ретінде оқытылады.

ҚР БҒМ бекіткен МЖМБС 3. 08. 261-2006 бойынша бұл пәнді

оқыту үшін 3, 2 және 1 кредит бөлінген (информатика, математика

және инженер-техникалық, физика мамандықтары бойынша) . Кәдімгі

академиялық «сағатқа» ауыстырғанда олар, сәйкесінше, 135, 90 және

45 сағатты құрайды - бұл аз да, көп те емес.

Математика ғылымының «барлық дерлік» салаларында сандық

есептеулер талап етіледі. Сондықтан, болашақ маман , Жоғары мате-

матиканың « Сандық әдістер » пәнін оқып үйренуі және оның

қолданыс өрісін білуі үшін төмендегідей пәндердің оқу курсын өтуі

міндетті:

Мектеп математика курсын жетік білу - міндетті курс.

«Жоғары алгебра» курсы; оның ішінде баса назар

аударатыны -«Сызықтық алгебра» болып саналады.

Дифференциалдық және интегралдық есептеулер -

«Математикалық талдау» курсы; есептеу амалдарына баса

назар аударылуы тиіс.

«Кәдімгі дифференциалдық теңдеулер» курсы; оның ішінде

баса назар аударатыны: Коши есептері мен шекаралық

есептердің қойылмдары; міндетті түрде оларды шешу

әдістерін білуі тиіс.

«Математикалық физика теңдеулері» курсы; қолданыс өрісі

бойын-ша бұл курс ерекше орын алады; сондықтан ол пән

бойынша ең кем дегенде 2 немесе 3 кредиттік курс оқылуы

тиіс.

«Қолданбалы программалау тілдері» курсы; сондай ақ

MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple, AutoCAD, Excel т. т.

сияқты дайын программалық дестелердің қолданысын білуі

қажет.

Әрине, осы айтылған міндетті курстар студенттер үшін «өтіледі-

оқылады». Бірақ қандай мазмұнда және қандай көлемде?

Осы мәселерді қиындықсыз шешу үшін, мен, осы оқу құралын

дайындағанда мынадай мүмкіндіктерді пайдалануға тырыстым.

1. Пәннің әрбір тақырыбы - нақты процестердің матема-

тикалық моделі болатын қандайда бір « математикалық есеп-

мәселені » теориялық тұрғыдан зерттеуге және сол зерттеулерге

байланысты « сандық сипаттамалар » - нәтижелер алуға бағыт-

талған. Теориялық мәліметтерді жан-жақтан іздеп жатпас үшін, әр

тақырыпта, тақырып мазмұнына қажетті теориялық мәліметтер

қысқа түрде келтірілді. Ол материалдарды, мүмкіндігінше, мұқият

оқып, түсінуге және қолдана білуге тырысу қажет.

2. Пәннің әрбір тақырыбында - тақырып мазмұнына сәйкес

келетін қолданбалы есептердің жуық шешімдерін анықтау алго-

ритмдері келтірілген . Ғылым мен техниканың қандай саласы болма-

сын, сол салада қарастырылатын мәселеге, әсіресе математикалық

әдістерді қолданғанда, немқұрайлы қарауға болмайды. Ондағы

айтпағымыз: жуықтап есептеудің дәлдігіне баса назар аудару қажет -

демекпіз. Әрбір тақырыпта, біз, есептеу дәлдігіне мұқият назар

аударуға тырыстық.

3. Пәннің әрбір тақырыбында - тақырып мазмұнына сәйкес

келетін қолданбалы есептердің жуық шешімдерін анықтау алго-

ритмдерінің компьютерлік технология бойынша іске асырылу

жақтары келтірілген.

4. Біз бұл мәселені шешуде ең қарапайым, қолданыс өрісі кең,

көпшілікке танымал, қолданыстағы барлық дерлік компьютерлерде

орнатылған есептеу технологиясын пайдаландық. Ол - кестелік

процессор Excel есептеу ортасы. Оның артықшылығы мен кемші-

ліктерін пәнді оқу процесінде байқайсыңдар.

Мен оқу құралында мейлінше көп әдебиеттердің тізімін,

тақырыптар бойынша, келтіруге тырыстым. Ондағы ойым мынада

болатын.

Шындығына жүгінетін болсақ бүгінгі студенттердің ғылыми

жорналдарды айтпағанның өзінде, оқулықтардың өзін оқуға құлқыны

жоқ. Бірді-жарымы болмаса кітапхананың есігін ашпайды десек артық

болмас. Негізінде ғылымның жетістіктерінің барлығы дерлік - ұлы

ұстаздардың « классикалық » болып танылатын еңбектерінде жазы-

лып, сақталған. Ондай классикалық еңбектердің қатарына:

Куроштың, Мальцевтің «Жоғары алгебра» бойынша оқулық-

тарын,

Фихтенгольцтің үш томдық «Дифференциалдық және инте-

гралдық есептеулер курсы» трактатын,

Ляпуновтың, Анри Пуанкаренің, Айнстың, Степановтың,

Еругиннің, Матвеевтің, Эльцгольстің, Понтрягиннің, Соломон Леф-

шестің, Филипп Хартманның, Андронов, Витт және Хайкиннің,

Энрико Камкенің, Малкиннің, Ламберто Чезаридің т. б. жазған

дифференциалдық теңдеулер бойынша ғылыми еңбектері мен

оқулықтарын,

Березин мен Жидковтың Есептеу әдістеріне арнап жазған екі

томдық еңбегін; Демидовичтің, Самарскийдің, Самарский мен Гулин-

нің сандық әдістерге арнап жазған ғылыми еңбектері мен оқу-

лықтарын,

Кошляковтың, Тихонов пен Самарскийдің математикалық

физика теңдеулеріне арнап жазылған оқулықтарын атап өтер едім.

Осындай ұлы ұстаздардың оқулықтарында теориялық та, олар-

дың қолданбалық та жақтары өте терең ашылып жазылған. Тізімде

келтірілген көптеген кітаптарды көрмек түгіл, олардың атауларын да

кейбіреулер естімеген де болуы мүмкін. Менің әдебиеттер тізімін

өзім білгенше кеңейтіп, келтіргенім - ғылымды өздігінен қуып,

үйренемін деген жастарға сілтеме болсын деген ой болатын. Ол ойым

іске жараса өте құба-құп болар еді.

Жаңа оқу жүйесі бойынша: «оқытушы» мен «студенттің»,

«ұстаз» бен «шәкірттің» терезесі тең болуы, яғни « субъект -

субъект » принципі сақталуы тиіс. Бұл принцип бойынша оқушы

білімді тек қана оқытушының айтқанымен, дайын күйінде қабылдап

қана қоймай, өздігінен, өзінің ақыл-ойымен, парасатымен, ынтасымен

оқып үйренуі тиіс. Мен бұл принципті өте орынды және өте қажетті

дүние - деп санаймын.

Негізгі мәселе: ол принципті қалай іске асыруға болады -

деген сұраққа келіп тіреледі.

Кредиттік технология жүйесінде бұл сұрақтың жауабы бар

сияқты. Онда: студенттердің өзіндік жұмыстарын жандандыру -

студенттердің білім алуға ынталығын асырады, өз тарапынан ізденіске

түседі делінген.

Ол үшін студенттерді білім беру процесінің негізі - дидак-

тикалық материалдар:

теориялық білімді оқып, үйренетін және оны жетілдіретін

оқулық және оқу құралдарымен ,

теориялық білімді тиянақтауға қажетті машықтық және

зерттік жұмыстардың топтамаларымен,

ақпараттық технологиялық материалдар: компьютерлік про-

граммалар, қолданбалы программалық дестелермен, элек-

трондық оқу құралдарымен т. т.

қамтамасыз ету қажет деп ойлаймын.

Бұл жөнінде, әсіресе кредиттік технологиялық оқыту жүйесіне

көшкелі бері, көптеген еңбектер жарияланған [63], [64], [65], [66], [67],

[68], [69], [70], [71], [72], [73], [74] .

ПМПИ, «Информатика» кафедрасының оқытушылары, кафе-

драның оқу-әдістемелік жұмыс жоспары бойынша осы бағытта

кішігірім жұмыстар атқаруда. Оқу процесін қамтамасыз етуге

бағытталған кейбір оқу-әдістемелік жұмыстар институттың Ғылыми

баспасынан жарыққа шығып, оқу процесінде қолданысын тауып отыр.

Бұл жөнінде кафедрамыздың доценті Т. Қойбағарованың [71], [72]

жұмыстарын айта кету қажет. Бұл жұмыстар Павлодар өңіріндегі оқу

орындарында қолданысын тауып отыр. Сондай ақ кафедраның аға

оқытушысы, информатика магистрі Д. Абыкенова өзінің оқушы-

ларымен бірігіп [73], [74] оқу-әдістемелік құралды дайындап, баспа-

дан шығарды. Кафедрамыздың аға оқытушылары Р. Ельтинованың,

Ғ. Нұрғазинованың, Қ. Мұхамедиеваның, Л. Биболованың оқу проце-

сінің пәндерін дидактикалық материалдармен қамтамасыз етуге

бағытталған жұмыстары да баспадан шығуға дайын.

«Сандық әдістердегі ақпараттық технология» деп аталатын

дидактикалық оқу құралының келесі бөлімдері:

«Сандық әдістердің ақпараттық технологиясы». 2-бөлім.

Машықтануға арналған зерттік жұмыстар топтамасы.,

«Сандық әдістердің ақпараттық технологиясы». 3-бөлім.

Қолданбалы программалармен қамтамасыз ету., және

«Сандық әдістердің ақпараттық технологиясы». 4-бөлім. Оқу

процесін ұйымдастыру және білімді тексеру мен бағалау:

ағымдағы (БАОӨЖ), міндетті (БАӨЖ), межелік және ақтық

білім деңгейін тексеру

деп аталады.

Бұл материалдарды, әсіресе соңғы бөлімді, дайындауға кафе-

драмыздың доценті Т. Қойбағарова, аға оқытушы Л. Биболова, инфор-

матика магистрлері аға оқытушылар Д. Абыкенова, Д. Қабенов,

Ж. Көпеев, Қ. Құсманов, Х. Рүстемова, Г. Нұрғазинова, Қ. Мұхамедиева

және жоғары курстың студенттері мен кафедраның магистрлері

қатысуда.

Оқу құралында пәннің типтік бағдарламасында көрсетілген

барлық тақырыптар қарастырылған. Атап айтқанда:

Сызықтық теңдеулер жүйелерін жуықтап шешудің сандық

әдістері; алгоритмдері, есептеу программалары;

Сызықсыз емес теңдеулерді жуықтап шешудің сандық

әдістері; алгоритмдері, есептеу программалары;

Функцияларды жуықтау мәселелері: аппроксимациялау мен

интерполяциялау алгоритмдері мен есептеу программалары;

Эксперимент нәтижелерін талдаудағы эмпирикалық фор-

мулалар әдістері; функцияларды таңдау принциптері; есептеу

алгоритмдері;

Сандық дифференциалдау мен интегралдау мәселелері;

алгоритмдері және есептеу программалары;

Дифференциалдық теңдеулердің есептерін сандық әдістермен

шешу жолдары; алгоритмдері және есептеу программалары

сияқты тақырыптар қамтылған.

Әрбір тақырыпқа бір немесе бірнеше тапсырмалар берілген. Әр

тапсырманы орындауға қолданбалы әдістемелік нұсқау жазылған

және нақты мысалдар шығарылып көрсетілген. Тақырыптар бойынша

ұсынылған зерттік жұмыстың тапсырмаларының басым көпшілігін

өзіміз құрастырдық. Сонымен қатар кейбіреулерін қолданыстағы оқу-

әдістемелік құралдардан жинастырдық.

Біздің мақсатымыз: студенттердің, мүмкіндігінше, теориялық

материалдарды қолданыс тұрғысынан тереңірек игеруіне септігімізді

тигізу және мәселелерді шешуде ақпараттық технологияны кеңінен

пайдалану жақтарымен таныстыру - болып саналады.

Оқу құралының материалдары соңғы 4-5 жыл көлемінде ПМПИ,

ПМУ және ИнЕУ студенттік аудиторияларында аппробациядан өткен.

Соның нәтижесінде бұл жұмыс жарыққа шығып отыр.

Оқытушы қауымға оқу-құралын қолдануына үлкен бостандық

бар. Есептерді шешу алгоритмдерін таңдау, есептеу алгоритмінің

программасын өзіңіз білетін программалу тілінде (Basic, Pascal, С++,

Delphi т. т. ) жазуыңыз, немесе MathCAD, MatLab, Mathematika,

Maple, Derive, Excel сияқты дайын программалар дестелерін қол-

дануыңыз - Сіздің құқығыңызда. Тек пайдалы болса, қажеттігіңізді

қанағаттандырса, студенттер түсініп, жақсылап қарсы алса - ол Бізге

үлкен жетістік болып саналады.

Жұмысыма пікір жазған әріптестерім, профессорлар Мағзұм

Мұқтаров және Әсен Асaнбаевқа үлкен алғысымды білдіремін.

Жұмыстың кемшіліктері бар болуы тиіс, онсыз жұмыстың мәні

кетеді. Сондықтан, байқаған кемшіліктеріді: Павлодар қаласы,

ПМПИ, Информатика кафедрасына жолдасаңыздар екен.

Автор

1 СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРАНЫҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ

Сызықтық алгебрада қарастырылатын мәселелердің теориялық

тұжырымдамаларын [1], [2], [3], [4] ғылыми еңбектерден тереңірек

оқып, үйренуге болады. Қазақ тілінде шыққан оқулық ретінде [44], ал

силлабустық құрал ретінде [45] жұмыстарды ұсынамыз.

Сызықтық алгебраның сандық әдістері деп

анықтауыштарды есептеуде,

сызықтық теңдеулер жүйесін жуықтап шешуде,

кері матрицаны анықтаудауда,

сызықтық түрлендірулердің өзіндік мәндері мен өзіндік

векторларын анықтауда

және алгебраның басқа да мәселелерін шешуде қолданылатын

математикалық әдістерді айтады.

Сандық тәсілдердің «Сызықтық алгебра» проблемаларын

шешудегі рөлі мен қолданысы [5], [6], [7], [8], [9], [10] т. б. еңбектерде

толығырақ айтылған. Есептеу қиындықтарының негіздемесін [7]

еңбектен табуға болды. Бірақ ол студенттер үшін өте ауыр оқулық

болып саналады.

Біздің мақсатымыз:

 сызықтық алгебраның жоғарыда аталған мәселелерінің

қысқаша теориялық негіздемелерін келтіріп, онымен

оқырманды таныстыру;

 нақты процестер жағдайында, сол аталған мәселелердің,

математикалық моделдерін жасап көрсету;

 математикалық модел - процесті сипаттайтын мате-

матикалық қандайда бір есеп; есепті жуықтап шешудің

математикалық әдістерімен және шешу алгоритм-

дерімен таныстыру;

 алгоритмдер бойынша программалар құрып, ДК (дербес

компьютер) пайдаланып есептің жуық шешімдерін

есептеуді үйрету

болып саналады.

1. 1 Анықтауыштар және оларды есептеудің сандық әдістері

Сандық әдістерді қолданатын математиканың барлық

салаларында анықтауыштарды есептей білу қажеттілігі кездеседі.

Анықтауыштарды есептей білу - математиканың көптеген есептерін

шеше білу дегенмен бара-бар. Сондықтан біз, ең әуелі,

анықтауыштардың анықтамасын береміз [1], [2], [3], [4], [40], [41] .

1. 1-анықтама Екінші және үшінші ретті анықтауыштар деп

мынадай формулалар арқылы есептелінетін шамаларды айтады :

∣

a 11 a 12

a 21 a 22

∣= a 11⋅ a 22− a 12⋅ a 21 .

∣

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

∣ = ( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) - ( a11 a23 a32

+ a12 a21 a33 + a13 a22 a31 ) . (1. 1. 1)

Ал n-ретті анықтауыш деп

∣

a 11 a 12 . . . a 1n

a 21 a 22 . . . a 2n

. . .

a n1 an2 . . . ann

∣ = Σ

 k 1 , k 2 , . . . , k n 

−1  τ a 1k1

⋅ a 2k 2

. . . ⋅ ankn (1. 1. 2)

өрнек бойынша есептелінетін шаманы айтамыз.

Кез келген п -ретті анықтауышты есептегенде төменгі ретті

анықтауыштардың қосындыларына жіктейді. Осылайша жіктей

отырып, оны үшінші ретті анықтауыштардың қосындыларына дейін

жеткізуге болады. Бұл әдіс математика тілінде рекурренттік әдіс деп

аталады. Бірақ анықтауыштарды бұл әдістің өзімен де есептеу тиімді

емес. Өйткені жоғарыдағы әдістердің қайсы бірін қолданып есептеген-

нің өзінде, шамамен N . n3/3 арифметикалық амал жасауға тура

келеді екен [7], [8] .

Компьютерлерді қолданып анықтауыштарды есептеудің ең

оңтайлы жолдарының бірі - Жордан-Гаусс әдісі болып саналады. Бұл

әдісті кейде триангуляция немесе жоғарғы үшбұрышқа келтіру

әдісі деп те атайды.

Бұл әдістердің MatCAD [55], MatLAB [56], Mathematika [57],

Maple [58] немесе Excel [59] т. б. орталарда жазылған есептеуіш

программалық дестелері бар. Бірақ, оқушы, әдістің мағынасын

түсініп, оны кез келген жағдайда қолдана білуі үшін триангуляция

әдісінің қолданысын Excel кестелік ортада көрсетуді дұрыс деп

санаймын.

Әдістің алгортимі

1-әрекет. Excelді ашамыз және оның төркөздеріне берілген п -

ретті анықтауыштың элементтерін енгіземіз.

Оның бірінші тік жол элементтерінің арасынан абсолют шамасы

жағынан ең үлкенін таңдаймыз. Айталық ол элемент a1k болсын, яғни

max{∣ a 1j∣}

1≤ j ≤ n

=∣ a 1k∣ .

 a1k элемент - жетекші элемент деп аталады.

2-әрекет. Анықтауыштың бірінші жатық жолы мен k- шы жатық

жолдарының орындарын ауыстырып жазамыз. Ол үшін анықтауыш

жазылған кестелердің соңғы жолының арасынан бір қатар қалдырып,

сол жолға к -сы қатарды көшіріп жазса жеткілікті. Бұл жаңадан

алынатын анықтауыштың бірінші жатық жолы болады. Осы жолды

пайдаланып оның келесі жолдарының бірінші элементтерін нөлге

айналдырамыз. Ол үшін келесі жолдарға мынадай формуланы қол-

данса жеткілікті:

= Ai1 - A11 * $A$i1 / $A$11 ; i = 2, 3, …, n;

Нәтижеде мынадай анықтауышты аламыз:

A = ∣

a 11 a 12 . . . a 1n

0 a 22

1  . . . a 2n

1 

. . .

0 an2

1  . . . ann

1 

∣ .

Анықтауыштардың қасиеті бойынша жаңадан алынған анық-

тауыштың мәні алғашқы анықтауыштың мәніне кері таңбамен тең

болады.

Бастапқы анықтауыштың мәнін есептегенде осы жағдайды

ескеру - өте қажет .

Жоғарғы (1) -индекстері бар элементтермен шектелген ( п - 1) -

ретті анықтауыш - қысқартылған анықтауыш деп аталады.

3-әрекет. Қысқартылған анықтауышқа алғашқы екі әрекетті

қайталаймыз. Осы процесс анықтауыштың ең соңғы жатық жолына

жеткенге дейін қайталана береді. Ең соңында мынадай анықтауышты

аламыз:

A = ∣

a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n −1 a 1n

0 a 22

1  a 23

1  . . . a 2 n −1

 1 a 2n

1 

0 0 a 33

2  . . . a 3 n −1

 2 a 3n

2 

. . .

0 0 0 . . . a n −1 n −1

 n −2  an −1 n

 n −2

0 0 0 . . . 0 ann

 n −1

∣ .

Бұл жоғарғы үшбұрышты анықтауыш. Оның мәні бас диа-

гоналдің бойында орналасқан элементтердің көбейтіндісіне тең

болады, яғни

A = ( -1 ) r a 11⋅ a 22

1 ⋅ a 33

2 ⋅ . . . ⋅ an −1 n −1

 n −2 ⋅ ann

 n −1 . (1. 1. 3)

(1. 1. 3) -формуладағы r - есептеу процесі кезіндегі жатық жол-

дардың орын алмастырулар саны.

Бірнеше ескертулер

1. 1. 1-ескерту. Анықтауыштардың жолдарын ауыстырған сайын

оның таңбасы өзгеріп отырады. Берілген анықтауыштың мәнін есеп-

тегенде осы жағдайды ескеріп отыру қажет.

1. 1. 2-ескерту. Триангуляция әдісінде « бөлу » амалы үнемі қол-

данылады. Сондықтан, дөңгелектеу нәтижесінде машиналық қате-

ліктер жинақталуы « анық ». Жоғарыда келтірілген жетекші эле-

ментті таңдау әдісі - осындай қателіктерді кеміту мақсатында

қолданылады.

1. 1-мысал. Мынадай анықтауышты

A = ∣

2. 34 −4. 21 −11. 61

8 . 04 5 . 22 0 . 27

3 . 92 −7. 99 8. 37

∣

(1. 1. 1) -формуламен және триангуляция әдісімен есептеп, нәтижелерін

салыстырайық.

Екі әдістің Excelдегі есептеуі төмендегі кестеде келтірілген.

1. 1. 1-кесте. Анықтауышты есептеу

Берілген анықтауышты

(1. 1. 1) -формуламен есептеу.

2, 34 -4, 21 -11, 61

8, 04 5, 22 0, 27

3, 92 -7, 99 8, 37

Нәтиже:

1369, 531422

Осы анықтауышты триангуляция

әдісімен есептеу.

1, 2-әрекетті орындаймыз.

Mакс. элемент а21 = 8, 04

8, 04 5, 22 0, 27

0 -5, 729 -11, 69

0 -10, 54 8, 2384

3-әрекетті орындаймыз.

Макс. элемент -10, 54

8, 04 5, 22 0, 27

0 -10, 54 8, 2384

0 0 -16, 17

Жатық жолдарды екі рет орындарын

алмастырдық. Сондықтан есептеу

нәтижесінің таңбасы өзгермейді.

Нәтиже:

1369, 531422

Екі жағдайда да нәтиже бірдей болды. Бірақ жоғарыда кел-

тірілген ескертулерді анықтауыштарды есептеуде үнемі есте ұстаған

дұрыс болады.

1. 2 Cызықтық теңдеулер жүйесіне қысқаша шолу Сызық-

тық теңдеулер жүйесінің (СТЖ) теориялық негіздемелері және оның

қолданыстары - Алгебра пәнінің «Сызықтық алгебра» тарауында

қарастырылады [1], [2], [3], [4], [5] .

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (СТЖ) деп -

құрамында n белгісізі бар, m сызықтық теңдеулерден тұратын мына-

дай

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1,

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2,

… ., (1. 2. 1)

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm.

жүйені айтады.

Жалпы жағдайда жүйенің белгісіздері мен теңдеулерінің саны

тең болуы шарт емес, яғни m ≠ n болуы мүмкін. Дегенменде, қолда-

ныс өрісінде m < n және m = n жағдайлары жиі кездеседі.

 x1, x2, …, xn - жүйенің белгісіздері , ал aij ( i = 1, 2, …, n; j

= 1, 2, …, m ) - жүйенің коэффициенттері деп аталады.

Жүйе белгісіздерінің және оның коэффициенттерінің процес-

стерді моделдеу жағдайында нақты мағыналары болады.

Көптеген нақты процестердің математикалық моделдері, сон-

дай ақ, моделдік математикалық теңдеулерді сандық әдістермен шеш-

кенде, біз, сызықтық алгебралық теңдеулерді шешу мәселесіне тіре-

леміз [6], [8], [9], [10], [12] [44], [45] . Сондықтан СТЖ теориясын

оқып, оның қолданысын үйрену: өте қажетті мәселе - деп есеп-

теймін.

Матрицалық

A =  a 11 a 12 . . . a 1n

a 21 a 22 . . . a 2n

. . .

am1 am2 . . . amn , X =  x 1

x 2

. . .

x n , B =  b 1

b 2

. . .

bm 

белгілеулерді енгізіп, (1. 2. 1) -сызықтық теңдеулер жүйесін, қысқаша,

векторлық-матрицалық түрде, былайша жазуға болады:

А Х = В .

(1. 2. 1) -жүйе белгісіздерінің қандайда бір

x1 = x1*, x2 = x2*, …, xn = xn* (1. 2. 2)

мәндерінде

a11 x1* + a12 x2* + … + a1n xn* . b1,

a21 x1* + a22 x2* + … + a2n xn* . b2,

. . . ,

am1 x1* + am2 x2* + … + amn xn* . bm.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

Ұқсас жұмыстар

Сын тұрғысынан ойлауына арналған сабақ жоспары

Турбидиметрия - өткен жарықтың қарқындылығын өлшеуге негізделген әдіс

Бастауыш сынып оқушыларына сөйлем мүшелері туралы түсінік беруде атқарылатын жұмыстарды анықтау

Тауартану туралы түсінікті айқындайтын күрделі мәселелер

Қозғалыс белсенділігі

Титрлеу әдістері

ЭСТ монитордың құрлымы

Қазақ әдебиеті сабағында жаңа ақпараттық технологияларды қолдану арқылы оқушылардың сабаққа деген қызығушылығын арттыру

Сын тұрғысынан оқыту

Еңбекақы формалары мен жүйелері

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz