Сандық әдістердегі ақпараттық технология
КІРІСПЕ ... ... ... .. 3
1 СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРАНЫҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ .. 8
1.1 Анықтауыштар және оларды есептеудің сандық әдістері ... ... ... .. 8
1.2 Сызықтық теңдеулер жүйесіне қысқаша шолу 12
1.3 СТЖ жуықтап шешудің жетекші элементті таңдауға негізделген
Жордан.Гаусс әдісі ... ... ... ... . 15
1.4 Қателік. Іліспеулік. Түзетулер енгізу ... . 20
1.5 Сызықтық теңдеулер жүйесін жуықтап шешудің итерациялық
әдістеріне қысқаша шолу ... . 26
1.6 Якобидің итерациялық әдісі ... ... .. 28
1.7 Зейделдің итерациялық әдісі ... ... 32
1.8 Кері матрицаны анықтау ... ... ... ... . 38
1.9 Қумалау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... .. 40
1.10 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тап.сырмалар ... ... ... . 45
2 СЫЗЫҚСЫЗ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ ... ... ... ... ... 47
2.1 Теориялық мәліметтер ... ... ... ... .. 47
2.2 Теңдеулерді жуықтап шешу процесінің негізгі кезеңдері ... ... ... . 50
2.3 Теңдеулерді жуықтап шешудің «Жартылай бөлу немесе дихотомия» әдісі ... ... ... ... ... ... ... 51
2.4 Теңдеулерді жуықтап шешудің «Хорда немесе керме» әдісі ... ... 56
2.5 Теңдеулерді жуықтап шешудің Ньютон немесе жанама әдісі ... . 62
2.6 Аралас әдістер ... ... ... .. 66
2.7 Сызықсыз теңдеулерді шешудің итерациялық әдістері ... ... ... ... . 68
2.8 Сызықсыз теңдеулер жүйелерін шешудің итерациялық әдістері .. 72
2.9 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тапсырмалар ... ...75
3 ФУНКЦИЯЛАРДЫ ЖУЫҚТАУДА САНДЫҚ ӘДІСТЕРДІҢ ҚОЛДАНЫСЫ ... .. 76
3.1 Теориялық мәліметтер. Ауытқу өлшеуіші ... .. 76
3.2 Алгебралық көпмүшеліктер және олардың нүктелік мәндерін есептеудің Горнер әдісі ... . 79
3.3 Функцияларды Тейлор көпмүшеліктерімен аппроксимациялау (жуықтау) ... ... .. 81
3.4 Интерполяциялық көпмүшелік ... ... 88
3.5 Лагранж интерполяциялық көпмүшелігі ... . 98
3.6 Ньютон интерполяциялық көпмүшелігі ... ... . 96
3.7 Интерполяциялау қателіктері ... ... . 102
3.8 Функцияларды интерполяциялаудың жалпы қойылымы ... ... ... .. 107
3.9 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тапсырмалар ... ... ... ..110
4 ЭКСПЕРИМЕНТ НӘТИЖЕЛЕРІНІҢ ІШКІ ФАКТОРЛАРЫНЫҢ АРАСЫНДАҒЫ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ТӘУЕЛДІ.
ЛІКТЕРДІ ЗЕРТТЕУДІҢ ЭМПИРИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАР ӘДІСІ ... ... ... ... ... ... ... 111
4.1 Эмпирикалық функцияларды іздеудің «Ортанғы ауытқу» әдісі ... 113
4.2 Эмпирикалық функцияларды іздеудің «Ең кіші квадраттар» әдісі 117
4.3 Экспериментнәтижелері бойынша эмпирикалық функциялардың аналитикалық тұрпаттарын анықтау ... . 121
4.4 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тапсырмалар ... ... ... ... ... ... 126
5 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРДІҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ ... ... 128
5.1 Жуықтап дифференциалдаудың ақырлы айырым әдісі ... ... ... ... .. 129
5.2 Кесте түрінде берілген функциялардың туындыларын сандық әдістермен жуықтап есептеу ... ... .. 130
5.3 Анықталған интегралдар жөнінде қысқаша мағлұматтар ... ... ... .. 135
5.4 Анықталған интегралдарды жуықтап есептеудің тіктөртбұрыш әдісі ... ... ... ... ... 138
5.5 Анықталған интегралдарды жуықтап есептеудің трапеция әдісі .. 141
5.6 Анықталған интегралдарды жуықтап есептеудің Симпсон немесе парабола әдісі ... ... ... ... 143
5.7 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тапсырмалар ... ... ... ... ... .. 145
6 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ИНТЕГРАЛДАУДЫҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ ... ... 146
6.1 Теориялық мәліметтер ... ... ... ... ... ... 146
6.2 Коши есебін жуықтап шешудің Эйлер, жетілдірілген Коши.Эйлер және итерациялық Коши.Эйлер әдістері ... ... ... ... ... ... ... .. 149
6.3 Коши есебін жуықтап шешудің төртінші ретті Рунге.Кутт әдісі .. 154
6.4 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есебін Рунге.Кутт әдісімен интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 156
6.5 Сақтандыруға кейбір кеңестер. Рунге.Ромбергер ережесі ... ... ... . 159
6.6 Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық есептерді шешудің сандық әдістері ... ... ... ... ... ... ... .. 161
6.7 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тапсырмалар ... ... ... ... ... 162
Қосымшалар ... ... ... ... ... .. 164
Әдебиеттер тізімі ... ... ... ... 169
1 СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРАНЫҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ .. 8
1.1 Анықтауыштар және оларды есептеудің сандық әдістері ... ... ... .. 8
1.2 Сызықтық теңдеулер жүйесіне қысқаша шолу 12
1.3 СТЖ жуықтап шешудің жетекші элементті таңдауға негізделген
Жордан.Гаусс әдісі ... ... ... ... . 15
1.4 Қателік. Іліспеулік. Түзетулер енгізу ... . 20
1.5 Сызықтық теңдеулер жүйесін жуықтап шешудің итерациялық
әдістеріне қысқаша шолу ... . 26
1.6 Якобидің итерациялық әдісі ... ... .. 28
1.7 Зейделдің итерациялық әдісі ... ... 32
1.8 Кері матрицаны анықтау ... ... ... ... . 38
1.9 Қумалау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... .. 40
1.10 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тап.сырмалар ... ... ... . 45
2 СЫЗЫҚСЫЗ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ ... ... ... ... ... 47
2.1 Теориялық мәліметтер ... ... ... ... .. 47
2.2 Теңдеулерді жуықтап шешу процесінің негізгі кезеңдері ... ... ... . 50
2.3 Теңдеулерді жуықтап шешудің «Жартылай бөлу немесе дихотомия» әдісі ... ... ... ... ... ... ... 51
2.4 Теңдеулерді жуықтап шешудің «Хорда немесе керме» әдісі ... ... 56
2.5 Теңдеулерді жуықтап шешудің Ньютон немесе жанама әдісі ... . 62
2.6 Аралас әдістер ... ... ... .. 66
2.7 Сызықсыз теңдеулерді шешудің итерациялық әдістері ... ... ... ... . 68
2.8 Сызықсыз теңдеулер жүйелерін шешудің итерациялық әдістері .. 72
2.9 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тапсырмалар ... ...75
3 ФУНКЦИЯЛАРДЫ ЖУЫҚТАУДА САНДЫҚ ӘДІСТЕРДІҢ ҚОЛДАНЫСЫ ... .. 76
3.1 Теориялық мәліметтер. Ауытқу өлшеуіші ... .. 76
3.2 Алгебралық көпмүшеліктер және олардың нүктелік мәндерін есептеудің Горнер әдісі ... . 79
3.3 Функцияларды Тейлор көпмүшеліктерімен аппроксимациялау (жуықтау) ... ... .. 81
3.4 Интерполяциялық көпмүшелік ... ... 88
3.5 Лагранж интерполяциялық көпмүшелігі ... . 98
3.6 Ньютон интерполяциялық көпмүшелігі ... ... . 96
3.7 Интерполяциялау қателіктері ... ... . 102
3.8 Функцияларды интерполяциялаудың жалпы қойылымы ... ... ... .. 107
3.9 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тапсырмалар ... ... ... ..110
4 ЭКСПЕРИМЕНТ НӘТИЖЕЛЕРІНІҢ ІШКІ ФАКТОРЛАРЫНЫҢ АРАСЫНДАҒЫ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ТӘУЕЛДІ.
ЛІКТЕРДІ ЗЕРТТЕУДІҢ ЭМПИРИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАР ӘДІСІ ... ... ... ... ... ... ... 111
4.1 Эмпирикалық функцияларды іздеудің «Ортанғы ауытқу» әдісі ... 113
4.2 Эмпирикалық функцияларды іздеудің «Ең кіші квадраттар» әдісі 117
4.3 Экспериментнәтижелері бойынша эмпирикалық функциялардың аналитикалық тұрпаттарын анықтау ... . 121
4.4 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тапсырмалар ... ... ... ... ... ... 126
5 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРДІҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ ... ... 128
5.1 Жуықтап дифференциалдаудың ақырлы айырым әдісі ... ... ... ... .. 129
5.2 Кесте түрінде берілген функциялардың туындыларын сандық әдістермен жуықтап есептеу ... ... .. 130
5.3 Анықталған интегралдар жөнінде қысқаша мағлұматтар ... ... ... .. 135
5.4 Анықталған интегралдарды жуықтап есептеудің тіктөртбұрыш әдісі ... ... ... ... ... 138
5.5 Анықталған интегралдарды жуықтап есептеудің трапеция әдісі .. 141
5.6 Анықталған интегралдарды жуықтап есептеудің Симпсон немесе парабола әдісі ... ... ... ... 143
5.7 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тапсырмалар ... ... ... ... ... .. 145
6 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ИНТЕГРАЛДАУДЫҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ ... ... 146
6.1 Теориялық мәліметтер ... ... ... ... ... ... 146
6.2 Коши есебін жуықтап шешудің Эйлер, жетілдірілген Коши.Эйлер және итерациялық Коши.Эйлер әдістері ... ... ... ... ... ... ... .. 149
6.3 Коши есебін жуықтап шешудің төртінші ретті Рунге.Кутт әдісі .. 154
6.4 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есебін Рунге.Кутт әдісімен интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 156
6.5 Сақтандыруға кейбір кеңестер. Рунге.Ромбергер ережесі ... ... ... . 159
6.6 Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық есептерді шешудің сандық әдістері ... ... ... ... ... ... ... .. 161
6.7 Теориялық мәліметтерді пысықтауға арналған сұрақтар мен тапсырмалар ... ... ... ... ... 162
Қосымшалар ... ... ... ... ... .. 164
Әдебиеттер тізімі ... ... ... ... 169
Әрине, осы айтылған міндетті курстар студенттер үшін «өтіледі-
оқылады». Бірақ қандай мазмұнда және қандай көлемде?
Осы мәселерді қиындықсыз шешу үшін, мен, осы оқу құралын
дайындағанда мынадай мүмкіндіктерді пайдалануға тырыстым.
1. Пәннің әрбір тақырыбы – нақты процестердің матема-
тикалық моделі болатын қандайда бір «математикалық есеп-
мәселені» теориялық тұрғыдан зерттеуге және сол зерттеулерге
байланысты «сандық сипаттамалар» – нәтижелер алуға бағыт-
талған. Теориялық мәліметтерді жан-жақтан іздеп жатпас үшін, әр
тақырыпта, тақырып мазмұнына қажетті теориялық мәліметтер
қысқа түрде келтірілді. Ол материалдарды, мүмкіндігінше, мұқият
оқып, түсінуге және қолдана білуге тырысу қажет.
2. Пәннің әрбір тақырыбында – тақырып мазмұнына сәйкес
келетін қолданбалы есептердің жуық шешімдерін анықтау алго-
ритмдері келтірілген. Ғылым мен техниканың қандай саласы болма-
сын, сол салада қарастырылатын мәселеге, әсіресе математикалық
әдістерді қолданғанда, немқұрайлы қарауға болмайды. Ондағы
айтпағымыз: жуықтап есептеудің дәлдігіне баса назар аудару қажет –
демекпіз. Әрбір тақырыпта, біз, есептеу дәлдігіне мұқият назар
аударуға тырыстық.
3. Пәннің әрбір тақырыбында – тақырып мазмұнына сәйкес
келетін қолданбалы есептердің жуық шешімдерін анықтау алго-
ритмдерінің компьютерлік технология бойынша іске асырылу
жақтары келтірілген.
4. Біз бұл мәселені шешуде ең қарапайым, қолданыс өрісі кең,
көпшілікке танымал, қолданыстағы барлық дерлік компьютерлерде
орнатылған есептеу технологиясын пайдаландық. Ол – кестелік
процессор Excel есептеу ортасы. Оның артықшылығы мен кемші-
ліктерін пәнді оқу процесінде байқайсыңдар.
оқылады». Бірақ қандай мазмұнда және қандай көлемде?
Осы мәселерді қиындықсыз шешу үшін, мен, осы оқу құралын
дайындағанда мынадай мүмкіндіктерді пайдалануға тырыстым.
1. Пәннің әрбір тақырыбы – нақты процестердің матема-
тикалық моделі болатын қандайда бір «математикалық есеп-
мәселені» теориялық тұрғыдан зерттеуге және сол зерттеулерге
байланысты «сандық сипаттамалар» – нәтижелер алуға бағыт-
талған. Теориялық мәліметтерді жан-жақтан іздеп жатпас үшін, әр
тақырыпта, тақырып мазмұнына қажетті теориялық мәліметтер
қысқа түрде келтірілді. Ол материалдарды, мүмкіндігінше, мұқият
оқып, түсінуге және қолдана білуге тырысу қажет.
2. Пәннің әрбір тақырыбында – тақырып мазмұнына сәйкес
келетін қолданбалы есептердің жуық шешімдерін анықтау алго-
ритмдері келтірілген. Ғылым мен техниканың қандай саласы болма-
сын, сол салада қарастырылатын мәселеге, әсіресе математикалық
әдістерді қолданғанда, немқұрайлы қарауға болмайды. Ондағы
айтпағымыз: жуықтап есептеудің дәлдігіне баса назар аудару қажет –
демекпіз. Әрбір тақырыпта, біз, есептеу дәлдігіне мұқият назар
аударуға тырыстық.
3. Пәннің әрбір тақырыбында – тақырып мазмұнына сәйкес
келетін қолданбалы есептердің жуық шешімдерін анықтау алго-
ритмдерінің компьютерлік технология бойынша іске асырылу
жақтары келтірілген.
4. Біз бұл мәселені шешуде ең қарапайым, қолданыс өрісі кең,
көпшілікке танымал, қолданыстағы барлық дерлік компьютерлерде
орнатылған есептеу технологиясын пайдаландық. Ол – кестелік
процессор Excel есептеу ортасы. Оның артықшылығы мен кемші-
ліктерін пәнді оқу процесінде байқайсыңдар.
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб-Москва-Красно-
дар, 2007.
2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.
3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1981.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука,
1978.
5. Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. – М.: Мир,
1980.
6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 1, 2 – М.:
Физматгиз, 1962.
7. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. –
М.: Наука, 1977.
8. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.:
Наука, 1989.
9. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
10. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.
11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теорий функций и
функ-ционального анализа. – М.: Наука, 1976.
12. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные
методы. – М.: ACADEMIA, 2005.
13. Сабыров Т. Экономиканың математикалық әдістері мен
моделдері. – Павлодар, ПМПИ баспасы, 2005.
14. Ковалев И.С. Прикладная электродинамика. – Минск,
«Наука и техника», 1978.
15. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математичес-
кий словарь высшей школы. – Мн.: Вышэйшая школа, 1984.
16. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по высшей
мате-матике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука,
1986.
17. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные
методы анализа. – М.: Наука, 1967.
18. Коллатц Л., Альбрехт Ю. Задачи по прикладной математике.
– М.: Мир, 1978.
19. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и
интегрального исчисления. , т. 1, 2, 3. – М.: Наука, 1970.
20. Темірғалиев Н. Математикалық талдау. 1, 2-т. – Алматы, Ана
Тілі баспасы, 1991.
21. Ганшин __________Г.С. Методы оптимизации и решение уравнений. –
М.: Наука, 1987.
22. Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980.
23. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных
уравнений с дополнительными главами анализа. – М.: Наука,
1981.
24. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика. Уч. пособие для студентов вузов. – М.: Высш.
шк., 2001.
25. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.:
Физмат-гиз, 1969.
26. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариацион-
ное исчисление. – М.: Наука, 1969.
27. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. – М.: Наука, 1970.
28. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния. – М.: Наука, 1970.
29. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифферен-
циальных уравнений. – Минск; Наука и техника, 1979.
30. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных
дифферен-циальных уравнений. – М.: Высшая школа, 1963.
31. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. –
М.: Мир, 1970.
32. А.М.Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения.
Собр.соч. т. 2. – М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.
33. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными
уравне-ниями. – М.; Л.: ГИТТЛ, 1947.
34. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. – М.: Наука, 1990.
35. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. – М.: Наука, 1985.
36. Галахов М.А., Усов П.П. Дифференциальные и
интегральные урав-нения математической теории трения. –
М.: Наука, 1990.
37. Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных
уравнений и приложения в механике. – М.: Наука, 1991.
38. Малкин И.Г. Теория устойчвости движения. – М.: Наука,
1966.
39. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устой-
чивости. – М.: Наука, 1967.
40. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. –
М.: Физматгиз, 1959.
41. МеркинД.Р. Введение в теорию устойчивости движения. –
М.: Наука, 1987.
42. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным
урав-нениям. – М.: Наука, 1971.
43. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений.
– Минск, Вышэйшая шк., 1973.
44. Қабдықайыр Қ. Жоғары математика. – Алматы, 2005.
45. Аяшинов М., Сабыров Т. Математикалық атаулар мен сөз
тіркестерінің түсіндірме сөздігі. 1-бөлім. Аналитикалық
геометрия мен сызықтық алгебра. – Павлодар, 2001.
46. Аяшинов М., Сабыров Т. Математикалық атаулар мен сөз
тіркестерінің түсіндірме сөздігі. 2-бөлім. Дифференциалдық
есептеулер. – Павлодар, 2003.
47. Аяшинов М., Сабыров Т. Математикалық атаулар мен сөз
тіркестерінің түсіндірме сөздігі. Интегралдық есептеулер. 3-
бөлім. Дифференциалдық теңдеулер. 4-бөлім. – Павлодар,
2006.
Машықтық жұмыстарға арналған оқулықтар мен оқу
құралдары
48. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алге-
бра. Аналитическая геометрия. Математический анализ.
Под. ред. проф. Еф-имова и Б.П.Демидовича. – М.: Наука,
1986.
49. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальне раз-
делы математического анализа. Под. ред. проф. Ефимова и
Б.П.Демидовича. – М.: Наука, 1986.
50. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математи-
ческому анализу. – М.: Наука, 1969.
51. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным урав-
нениям. – М.: Наука, 1985.
52. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по
высшей математике. Учебное пособие для втузов. – М.:
Высш.шк.; 1983.
53. Дүзелбаев С.Т., Сабыров Т., Дүзелбаева Ә.С., Юсубекова
С.О. Математикалық моделдер мен ДК инженерлік есеп-
теулерде қолдану. – Павлодар, ПМУ баспасы, 2005.
54. Сабыров Т., Қабенов Д., Копеев Ж., Құсманов Қ., Омар-
бекова Ә., Рүстемова Х. Сандық әдістердің ақпараттық
технологиясы. 2-бөлім. Машықтануға арналған зерттік
жұмыстар топтамасы. – Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы
(баспада, 2009 ж).
Ақпараттық технология: программалау тілдері мен
қолданбалы программалар дестелері.
55. Дьяконов В.П. MathCAD 2000, Учебный курс. – СПб.:
Питер, 2000.
56. Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. MatLAB 6.х:
программирование численных методов. – Санкт-Петербург,
«БХВ-Петербург», 2004.
57. Дьяконов В.П. Mathematika 4. Учебный курс. – СПб.: Питер,
2001.
58. Дьяконов В.П. Maple 6. Система компьютерной математики.
Санкт-Петербург, 2001.
59. Кузьмин В. Microsft Office Excel 2003. Учебный курс. –
Питер, 2004.
60. Рагулина М.И. Информационные технологии в математике.
– М.: Издательский центр «Академия», 2008.
61. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0 . Практика програм-
мирования. Учебное пособие. – М.: «Нолидж», 1999.
62. Сабыров Т., Қабенов Д., Көпеев Ж., Құсманов Қ., Г.Нұрғази-
нова., Оспанова Р. Сандық әдістердің ақпараттық техноло-
гиясы. 3-бөлім. Қолданбалы программалармен қамтамасыз
ету. – Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы., 2009 (баспада).
Жоғары мектептің педагогикасы, психологиясы және
дидактикасы. Оқу-әдістемелік құралдар.
63. Лапчик М.П., Семакин И.Г., Хеннер Е.К. Методика препо-
давания информатики: Учебное пособие для студентов педа-
гогических ВУЗов. Москва:Издательский центр «Академия»,
2001. – 624с.
64. Рагулина М.И. Компьютерные технологии в математической
деятельности педагога физико-математического направ-
ления. – Омск, 2007.
65. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. – М.,
1980.
66. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. – М.,
1981.
67. Коржуев А.В., Попков В.А. Вузовский учебный процесс:
состояние, проблемы, решения. – М., 2001.
68. Коржуев А.В., Попков В.А. Традиции и иновации в высшем
профессиональном образовании. – М., 2003.
69. Попков В.А., Коржуев А.В. Дидактика высшей школы. – М.,
ACADEMIA, 2004.
70. Педагогика и психология высшей школы. Под ред. Проф.
М.В.Булановой-Топорковой. – Ростов-на-Дону, Феникс,
2006.
71. Қойбағарова Т.Қ. Турбо Паскаль программалау тілі. Оқу-
әдістемелік құрал. – Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы,
2005.
72. Қойбағарова Т.Қ. Информатика. Оқу-әдістемелік құрал. –
Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы, 2006.
73. Абыкенова Д.Б., Мубаракова Г.К., Изергина О.В. Компью-
терная графика. Работа в ADOBE POTOSHOP CS 2. Часть 1.
– Павлодар, 2008.
74. Абыкенова Д.Б., Мубаракова Г.К., Изергина О.В. Компью-
терная графика. Работа в ADOBE POTOSHOP CS 2. Часть 2.
– Павлодар, 2008.
дар, 2007.
2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.
3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1981.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука,
1978.
5. Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. – М.: Мир,
1980.
6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 1, 2 – М.:
Физматгиз, 1962.
7. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. –
М.: Наука, 1977.
8. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.:
Наука, 1989.
9. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
10. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.
11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теорий функций и
функ-ционального анализа. – М.: Наука, 1976.
12. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные
методы. – М.: ACADEMIA, 2005.
13. Сабыров Т. Экономиканың математикалық әдістері мен
моделдері. – Павлодар, ПМПИ баспасы, 2005.
14. Ковалев И.С. Прикладная электродинамика. – Минск,
«Наука и техника», 1978.
15. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математичес-
кий словарь высшей школы. – Мн.: Вышэйшая школа, 1984.
16. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по высшей
мате-матике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука,
1986.
17. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные
методы анализа. – М.: Наука, 1967.
18. Коллатц Л., Альбрехт Ю. Задачи по прикладной математике.
– М.: Мир, 1978.
19. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и
интегрального исчисления. , т. 1, 2, 3. – М.: Наука, 1970.
20. Темірғалиев Н. Математикалық талдау. 1, 2-т. – Алматы, Ана
Тілі баспасы, 1991.
21. Ганшин __________Г.С. Методы оптимизации и решение уравнений. –
М.: Наука, 1987.
22. Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980.
23. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных
уравнений с дополнительными главами анализа. – М.: Наука,
1981.
24. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика. Уч. пособие для студентов вузов. – М.: Высш.
шк., 2001.
25. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.:
Физмат-гиз, 1969.
26. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариацион-
ное исчисление. – М.: Наука, 1969.
27. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. – М.: Наука, 1970.
28. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния. – М.: Наука, 1970.
29. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифферен-
циальных уравнений. – Минск; Наука и техника, 1979.
30. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных
дифферен-циальных уравнений. – М.: Высшая школа, 1963.
31. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. –
М.: Мир, 1970.
32. А.М.Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения.
Собр.соч. т. 2. – М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.
33. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными
уравне-ниями. – М.; Л.: ГИТТЛ, 1947.
34. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. – М.: Наука, 1990.
35. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. – М.: Наука, 1985.
36. Галахов М.А., Усов П.П. Дифференциальные и
интегральные урав-нения математической теории трения. –
М.: Наука, 1990.
37. Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных
уравнений и приложения в механике. – М.: Наука, 1991.
38. Малкин И.Г. Теория устойчвости движения. – М.: Наука,
1966.
39. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устой-
чивости. – М.: Наука, 1967.
40. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. –
М.: Физматгиз, 1959.
41. МеркинД.Р. Введение в теорию устойчивости движения. –
М.: Наука, 1987.
42. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным
урав-нениям. – М.: Наука, 1971.
43. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений.
– Минск, Вышэйшая шк., 1973.
44. Қабдықайыр Қ. Жоғары математика. – Алматы, 2005.
45. Аяшинов М., Сабыров Т. Математикалық атаулар мен сөз
тіркестерінің түсіндірме сөздігі. 1-бөлім. Аналитикалық
геометрия мен сызықтық алгебра. – Павлодар, 2001.
46. Аяшинов М., Сабыров Т. Математикалық атаулар мен сөз
тіркестерінің түсіндірме сөздігі. 2-бөлім. Дифференциалдық
есептеулер. – Павлодар, 2003.
47. Аяшинов М., Сабыров Т. Математикалық атаулар мен сөз
тіркестерінің түсіндірме сөздігі. Интегралдық есептеулер. 3-
бөлім. Дифференциалдық теңдеулер. 4-бөлім. – Павлодар,
2006.
Машықтық жұмыстарға арналған оқулықтар мен оқу
құралдары
48. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алге-
бра. Аналитическая геометрия. Математический анализ.
Под. ред. проф. Еф-имова и Б.П.Демидовича. – М.: Наука,
1986.
49. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальне раз-
делы математического анализа. Под. ред. проф. Ефимова и
Б.П.Демидовича. – М.: Наука, 1986.
50. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математи-
ческому анализу. – М.: Наука, 1969.
51. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным урав-
нениям. – М.: Наука, 1985.
52. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по
высшей математике. Учебное пособие для втузов. – М.:
Высш.шк.; 1983.
53. Дүзелбаев С.Т., Сабыров Т., Дүзелбаева Ә.С., Юсубекова
С.О. Математикалық моделдер мен ДК инженерлік есеп-
теулерде қолдану. – Павлодар, ПМУ баспасы, 2005.
54. Сабыров Т., Қабенов Д., Копеев Ж., Құсманов Қ., Омар-
бекова Ә., Рүстемова Х. Сандық әдістердің ақпараттық
технологиясы. 2-бөлім. Машықтануға арналған зерттік
жұмыстар топтамасы. – Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы
(баспада, 2009 ж).
Ақпараттық технология: программалау тілдері мен
қолданбалы программалар дестелері.
55. Дьяконов В.П. MathCAD 2000, Учебный курс. – СПб.:
Питер, 2000.
56. Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. MatLAB 6.х:
программирование численных методов. – Санкт-Петербург,
«БХВ-Петербург», 2004.
57. Дьяконов В.П. Mathematika 4. Учебный курс. – СПб.: Питер,
2001.
58. Дьяконов В.П. Maple 6. Система компьютерной математики.
Санкт-Петербург, 2001.
59. Кузьмин В. Microsft Office Excel 2003. Учебный курс. –
Питер, 2004.
60. Рагулина М.И. Информационные технологии в математике.
– М.: Издательский центр «Академия», 2008.
61. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0 . Практика програм-
мирования. Учебное пособие. – М.: «Нолидж», 1999.
62. Сабыров Т., Қабенов Д., Көпеев Ж., Құсманов Қ., Г.Нұрғази-
нова., Оспанова Р. Сандық әдістердің ақпараттық техноло-
гиясы. 3-бөлім. Қолданбалы программалармен қамтамасыз
ету. – Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы., 2009 (баспада).
Жоғары мектептің педагогикасы, психологиясы және
дидактикасы. Оқу-әдістемелік құралдар.
63. Лапчик М.П., Семакин И.Г., Хеннер Е.К. Методика препо-
давания информатики: Учебное пособие для студентов педа-
гогических ВУЗов. Москва:Издательский центр «Академия»,
2001. – 624с.
64. Рагулина М.И. Компьютерные технологии в математической
деятельности педагога физико-математического направ-
ления. – Омск, 2007.
65. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. – М.,
1980.
66. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. – М.,
1981.
67. Коржуев А.В., Попков В.А. Вузовский учебный процесс:
состояние, проблемы, решения. – М., 2001.
68. Коржуев А.В., Попков В.А. Традиции и иновации в высшем
профессиональном образовании. – М., 2003.
69. Попков В.А., Коржуев А.В. Дидактика высшей школы. – М.,
ACADEMIA, 2004.
70. Педагогика и психология высшей школы. Под ред. Проф.
М.В.Булановой-Топорковой. – Ростов-на-Дону, Феникс,
2006.
71. Қойбағарова Т.Қ. Турбо Паскаль программалау тілі. Оқу-
әдістемелік құрал. – Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы,
2005.
72. Қойбағарова Т.Қ. Информатика. Оқу-әдістемелік құрал. –
Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы, 2006.
73. Абыкенова Д.Б., Мубаракова Г.К., Изергина О.В. Компью-
терная графика. Работа в ADOBE POTOSHOP CS 2. Часть 1.
– Павлодар, 2008.
74. Абыкенова Д.Б., Мубаракова Г.К., Изергина О.В. Компью-
терная графика. Работа в ADOBE POTOSHOP CS 2. Часть 2.
– Павлодар, 2008.
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ
БІЛІМ және ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
ПАВЛОДАР МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ
ИНСТИТУТЫ
ИНФОРМАТИКА КАФЕДРАСЫ
Т. САБЫРОВ
САНДЫҚ ӘДІСТЕРДІҢ АҚПАРАТТЫҚ ТЕХНОЛОГИЯСЫ ТЕОРИЯ
ПАВЛОДАР - 2009
1
УДК 519.6 - 37:004.42(075.8)
ББК 22. 19. я73
С 12
Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының
ғылыми Кеңесі баспаға ұсынады
Пікір жазғандар:
С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университетінің
Алгебра және математикалық талдау кафедрасының профессоры, физ-
ика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент М.М.Мұқтаров.
Павлодар Инновациялық Еуразия университетінің Информатика
және есептеу техникасы кафедрасының профессоры, техника ғылым-
дарының кандидаты, доцент А.Ж.Асанбаев.
Сабыров Т. Сандық әдістердегі ақпараттық технология.
1.Теория. Оқу құралы. - Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы, 2009, 172
- бет.
ISBN 978-601-267-011-0
Оқу құралында қолданбалы математикалық есептерді жуықтап
шешудің әртүрлі сандық әдістері келтірілген. Әрбір әдіске нақты
мысал шығарылып көрсетілген және әдістердің тиімділігі өзара
салыстырылған. Барлық есептерді шығаруда ақпараттық техно-
логияның қолданысы көрсетілген.
Бұл оқу құралы Жоғары оқу орындарының студенттері мен
оқытушылар қауымына және компьютерлік технологияны қолданып
математикалық есептерді сандық әдістермен шығаруды үйренгісі
келген инженер-техниктерге арналған.
Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының
информатика кафедрасы мақұлдады.
С 1602120000
00 05 −09
ISBN 978-601-267-011-0
Қазақстан Республикасы
Білім және ғылым министрлігі, 2009. Сабыров Т., 2009
КІРІСПЕ
Бұл оқу құралы болашақ мамандар - бүгінгі Біздің студент-
терімізге, инженер-технологтарға және осы пән бойынша дәріс,
сабақ жүргізетін әріптестеріме арналған.
Кез келген нақты процестің жеткілікті дәрежеде сипаттамалары
берілген жағдайда оның математикалық моделін жасауға болады.
Ғылымның бүгінгі даму сатысында бұл дәлелдеуді қажет етпейтін
шындық - деп айтсақ артық болмас.
Кез келген нақты процестің математикалық моделі - қандайда
бір математикалық есеп-мәселе түрінде жазылады.
Ондай мәселелерді зерттеу - процестің қолдану-тұтыну
мақсатына байланысты, қолданбалы математика ғылымының осындай
проблемаларды қарастыратын арнаулы салаларында теориялық
ізденістер және, соған негізделген, сынақтар, сұрақнамалар
(анкетирование), тестілеулер, лабораториялық зерттеулер,
техни-калық эксперименттер, әртүрлі тәжірибелер т.т. жүргізу
негізінде өткізіледі.
Осындай зерттеулер нәтижесінде процестің ішкі факторларын
сипаттайтын сапалық және сандық мәліметтер жинақталады.
Сапалық сипаттамалары бойынша сандық мәліметтер сұрыпталып,
олар алдын ала дайындалған арнаулы кестелерге енгізіліп, сақталады.
Инфоратикалық математика семантикасында олар мәліметтер қоры
- деп аталады.
Процестің сандық мәліметтері - процесті сипаттайтын
есептерді шығарып, оның әртүрлі шешімдерін зерттеу нәтижесінде
жинақталуы мүмкін. Бірақ кез келген математикалық есептердің
шешімдерін анықтаудың әмбебап әдістері жоқ екені белгілі.
Сондықтан, ондай есептердің теориялық мазмұнына үңіліп, оларды
жуықтап шешу алгоритмдерін зерттейтін, және соған байланысты,
ЭЕМ-ді қолданудағы есептеу программаларын ұсынатын, оны оқып
үйрететін ғылыми пән бар. Ол пән САНДЫҚ ӘДІСТЕР - деп
аталады.
Бұл пән ҚР Жоғары оқу орындарының физика-математика
факультетінің студенттері үшін міндетті пән, ал инженер-
техникалық мамандықтың студенттері үшін арнаулы оқу курсы
ретінде оқытылады.
ҚР БҒМ бекіткен МЖМБС 3.08.261-2006 бойынша бұл пәнді
оқыту үшін 3, 2 және 1 кредит бөлінген (информатика, математика
және инженер-техникалық, физика мамандықтары бойынша). Кәдімгі
академиялық сағатқа ауыстырғанда олар, сәйкесінше, 135, 90 және
45 сағатты құрайды - бұл аз да, көп те емес.
Математика ғылымының барлық дерлік салаларында сандық
есептеулер талап етіледі. Сондықтан, болашақ маман, Жоғары мате-
матиканың Сандық әдістер пәнін оқып үйренуі және оның
қолданыс өрісін білуі үшін төмендегідей пәндердің оқу курсын өтуі
міндетті:
* Мектеп математика курсын жетік білу - міндетті курс.
* Жоғары алгебра курсы; оның ішінде баса назар
аударатыны - Сызықтық алгебра болып саналады.
* Дифференциалдық және интегралдық есептеулер -
Математикалық талдау курсы; есептеу амалдарына баса
назар аударылуы тиіс.
* Кәдімгі дифференциалдық теңдеулер курсы; оның ішінде
баса назар аударатыны: Коши есептері мен шекаралық
есептердің қойылмдары; міндетті түрде оларды шешу
әдістерін білуі тиіс.
* Математикалық физика теңдеулері курсы; қолданыс өрісі
бойын-ша бұл курс ерекше орын алады; сондықтан ол пән
бойынша ең кем дегенде 2 немесе 3 кредиттік курс оқылуы
тиіс.
* Қолданбалы программалау тілдері курсы; сондай ақ
MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple, AutoCAD, Excel т.т.
сияқты дайын программалық дестелердің қолданысын білуі
қажет.
Әрине, осы айтылған міндетті курстар студенттер үшін өтіледі-
оқылады. Бірақ қандай мазмұнда және қандай көлемде?
Осы мәселерді қиындықсыз шешу үшін, мен, осы оқу құралын
дайындағанда мынадай мүмкіндіктерді пайдалануға тырыстым.
1. Пәннің әрбір тақырыбы - нақты процестердің матема-
тикалық моделі болатын қандайда бір математикалық есеп-
мәселені теориялық тұрғыдан зерттеуге және сол зерттеулерге
байланысты сандық сипаттамалар - нәтижелер алуға бағыт-
талған. Теориялық мәліметтерді жан-жақтан іздеп жатпас үшін, әр
тақырыпта, тақырып мазмұнына қажетті теориялық мәліметтер
қысқа түрде келтірілді. Ол материалдарды, мүмкіндігінше, мұқият
оқып, түсінуге және қолдана білуге тырысу қажет.
2. Пәннің әрбір тақырыбында - тақырып мазмұнына сәйкес
келетін қолданбалы есептердің жуық шешімдерін анықтау алго-
ритмдері келтірілген. Ғылым мен техниканың қандай саласы болма-
сын, сол салада қарастырылатын мәселеге, әсіресе математикалық
әдістерді қолданғанда, немқұрайлы қарауға болмайды. Ондағы
айтпағымыз: жуықтап есептеудің дәлдігіне баса назар аудару қажет -
демекпіз. Әрбір тақырыпта, біз, есептеу дәлдігіне мұқият назар
аударуға тырыстық.
3. Пәннің әрбір тақырыбында - тақырып мазмұнына сәйкес
келетін қолданбалы есептердің жуық шешімдерін анықтау алго-
ритмдерінің компьютерлік технология бойынша іске асырылу
жақтары келтірілген.
4. Біз бұл мәселені шешуде ең қарапайым, қолданыс өрісі кең,
көпшілікке танымал, қолданыстағы барлық дерлік компьютерлерде
орнатылған есептеу технологиясын пайдаландық. Ол - кестелік
процессор Excel есептеу ортасы. Оның артықшылығы мен кемші-
ліктерін пәнді оқу процесінде байқайсыңдар.
Мен оқу құралында мейлінше көп әдебиеттердің тізімін,
тақырыптар бойынша, келтіруге тырыстым. Ондағы ойым мынада
болатын.
Шындығына жүгінетін болсақ бүгінгі студенттердің ғылыми
жорналдарды айтпағанның өзінде, оқулықтардың өзін оқуға құлқыны
жоқ. Бірді-жарымы болмаса кітапхананың есігін ашпайды десек артық
болмас. Негізінде ғылымның жетістіктерінің барлығы дерлік - ұлы
ұстаздардың классикалық болып танылатын еңбектерінде жазы-
лып, сақталған. Ондай классикалық еңбектердің қатарына:
* Куроштың, Мальцевтің Жоғары алгебра бойынша оқулық-
тарын,
* Фихтенгольцтің үш томдық Дифференциалдық және инте-
гралдық есептеулер курсы трактатын,
* Ляпуновтың, Анри Пуанкаренің, Айнстың, Степановтың,
Еругиннің, Матвеевтің, Эльцгольстің, Понтрягиннің, Соломон Леф-
шестің, Филипп Хартманның, Андронов, Витт және Хайкиннің,
Энрико Камкенің, Малкиннің, Ламберто Чезаридің т.б. жазған
дифференциалдық теңдеулер бойынша ғылыми еңбектері мен
оқулықтарын,
* Березин мен Жидковтың Есептеу әдістеріне арнап жазған екі
томдық еңбегін; Демидовичтің, Самарскийдің, Самарский мен Гулин-
нің сандық әдістерге арнап жазған ғылыми еңбектері мен оқу-
лықтарын,
* Кошляковтың, Тихонов пен Самарскийдің математикалық
физика теңдеулеріне арнап жазылған оқулықтарын атап өтер едім.
Осындай ұлы ұстаздардың оқулықтарында теориялық та, олар-
дың қолданбалық та жақтары өте терең ашылып жазылған. Тізімде
келтірілген көптеген кітаптарды көрмек түгіл, олардың атауларын да
кейбіреулер естімеген де болуы мүмкін. Менің әдебиеттер тізімін
өзім білгенше кеңейтіп, келтіргенім - ғылымды өздігінен қуып,
үйренемін деген жастарға сілтеме болсын деген ой болатын. Ол ойым
іске жараса өте құба-құп болар еді.
Жаңа оқу жүйесі бойынша: оқытушы мен студенттің,
ұстаз бен шәкірттің терезесі тең болуы, яғни субъект -
субъект принципі сақталуы тиіс. Бұл принцип бойынша оқушы
білімді тек қана оқытушының айтқанымен, дайын күйінде қабылдап
қана қоймай, өздігінен, өзінің ақыл-ойымен, парасатымен, ынтасымен
оқып үйренуі тиіс. Мен бұл принципті өте орынды және өте қажетті
дүние - деп санаймын.
Негізгі мәселе: ол принципті қалай іске асыруға болады -
деген сұраққа келіп тіреледі.
Кредиттік технология жүйесінде бұл сұрақтың жауабы бар
сияқты. Онда: студенттердің өзіндік жұмыстарын жандандыру -
студенттердің білім алуға ынталығын асырады, өз тарапынан ізденіске
түседі делінген.
Ол үшін студенттерді білім беру процесінің негізі - дидак-
тикалық материалдар:
* теориялық білімді оқып, үйренетін және оны жетілдіретін
оқулық және оқу құралдарымен,
* теориялық білімді тиянақтауға қажетті машықтық және
зерттік жұмыстардың топтамаларымен,
* ақпараттық технологиялық материалдар: компьютерлік про-
граммалар, қолданбалы программалық дестелермен, элек-
трондық оқу құралдарымен т.т.
қамтамасыз ету қажет деп ойлаймын.
Бұл жөнінде, әсіресе кредиттік технологиялық оқыту жүйесіне
көшкелі бері, көптеген еңбектер жарияланған [63], [64], [65], [66], [67],
[68], [69], [70], [71], [72], [73], [74].
ПМПИ, Информатика кафедрасының оқытушылары, кафе-
драның оқу-әдістемелік жұмыс жоспары бойынша осы бағытта
кішігірім жұмыстар атқаруда. Оқу процесін қамтамасыз етуге
бағытталған кейбір оқу-әдістемелік жұмыстар институттың Ғылыми
баспасынан жарыққа шығып, оқу процесінде қолданысын тауып отыр.
Бұл жөнінде кафедрамыздың доценті Т.Қойбағарованың [71], [72]
жұмыстарын айта кету қажет. Бұл жұмыстар Павлодар өңіріндегі оқу
орындарында қолданысын тауып отыр. Сондай ақ кафедраның аға
оқытушысы, информатика магистрі Д.Абыкенова өзінің оқушы-
ларымен бірігіп [73], [74] оқу-әдістемелік құралды дайындап, баспа-
дан шығарды. Кафедрамыздың аға оқытушылары Р.Ельтинованың,
Ғ.Нұрғазинованың, Қ.Мұхамедиеваның, Л.Биболованың оқу проце-
сінің пәндерін дидактикалық материалдармен қамтамасыз етуге
бағытталған жұмыстары да баспадан шығуға дайын.
Сандық әдістердегі ақпараттық технология деп аталатын
дидактикалық оқу құралының келесі бөлімдері:
* Сандық әдістердің ақпараттық технологиясы. 2-бөлім.
Машықтануға арналған зерттік жұмыстар топтамасы.,
* Сандық әдістердің ақпараттық технологиясы. 3-бөлім.
Қолданбалы программалармен қамтамасыз ету., және
* Сандық әдістердің ақпараттық технологиясы. 4-бөлім. Оқу
процесін ұйымдастыру және білімді тексеру мен бағалау:
ағымдағы (БАОӨЖ), міндетті (БАӨЖ), межелік және ақтық
білім деңгейін тексеру
деп аталады.
Бұл материалдарды, әсіресе соңғы бөлімді, дайындауға кафе-
драмыздың доценті Т.Қойбағарова, аға оқытушы Л.Биболова, инфор-
матика магистрлері аға оқытушылар Д.Абыкенова, Д.Қабенов,
Ж.Көпеев, Қ.Құсманов, Х.Рүстемова, Г.Нұрғазинова, Қ.Мұхамедиева
және жоғары курстың студенттері мен кафедраның магистрлері
қатысуда.
Оқу құралында пәннің типтік бағдарламасында көрсетілген
барлық тақырыптар қарастырылған. Атап айтқанда:
* Сызықтық теңдеулер жүйелерін жуықтап шешудің сандық
әдістері; алгоритмдері, есептеу программалары;
* Сызықсыз емес теңдеулерді жуықтап шешудің сандық
әдістері; алгоритмдері, есептеу программалары;
* Функцияларды жуықтау мәселелері: аппроксимациялау мен
интерполяциялау алгоритмдері мен есептеу программалары;
* Эксперимент нәтижелерін талдаудағы эмпирикалық фор-
мулалар әдістері; функцияларды таңдау принциптері; есептеу
алгоритмдері;
* Сандық дифференциалдау мен интегралдау мәселелері;
алгоритмдері және есептеу программалары;
* Дифференциалдық теңдеулердің есептерін сандық әдістермен
шешу жолдары; алгоритмдері және есептеу программалары
сияқты тақырыптар қамтылған.
Әрбір тақырыпқа бір немесе бірнеше тапсырмалар берілген. Әр
тапсырманы орындауға қолданбалы әдістемелік нұсқау жазылған
және нақты мысалдар шығарылып көрсетілген. Тақырыптар бойынша
ұсынылған зерттік жұмыстың тапсырмаларының басым көпшілігін
өзіміз құрастырдық. Сонымен қатар кейбіреулерін қолданыстағы оқу-
әдістемелік құралдардан жинастырдық.
Біздің мақсатымыз: студенттердің, мүмкіндігінше, теориялық
материалдарды қолданыс тұрғысынан тереңірек игеруіне септігімізді
тигізу және мәселелерді шешуде ақпараттық технологияны кеңінен
пайдалану жақтарымен таныстыру - болып саналады.
Оқу құралының материалдары соңғы 4-5 жыл көлемінде ПМПИ,
ПМУ және ИнЕУ студенттік аудиторияларында аппробациядан өткен.
Соның нәтижесінде бұл жұмыс жарыққа шығып отыр.
Оқытушы қауымға оқу-құралын қолдануына үлкен бостандық
бар. Есептерді шешу алгоритмдерін таңдау, есептеу алгоритмінің
программасын өзіңіз білетін программалу тілінде (Basic, Pascal, С++,
Delphi т.т.) жазуыңыз, немесе MathCAD, MatLab, Mathematika,
Maple, Derive, Excel сияқты дайын программалар дестелерін қол-
дануыңыз - Сіздің құқығыңызда. Тек пайдалы болса, қажеттігіңізді
қанағаттандырса, студенттер түсініп, жақсылап қарсы алса - ол Бізге
үлкен жетістік болып саналады.
Жұмысыма пікір жазған әріптестерім, профессорлар Мағзұм
Мұқтаров және Әсен Асaнбаевқа үлкен алғысымды білдіремін.
Жұмыстың кемшіліктері бар болуы тиіс, онсыз жұмыстың мәні
кетеді. Сондықтан, байқаған кемшіліктеріді: Павлодар қаласы,
ПМПИ, Информатика кафедрасына жолдасаңыздар екен.
Автор
1 СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРАНЫҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ
Сызықтық алгебрада қарастырылатын мәселелердің теориялық
тұжырымдамаларын [1], [2], [3], [4] ғылыми еңбектерден тереңірек
оқып, үйренуге болады. Қазақ тілінде шыққан оқулық ретінде [44], ал
силлабустық құрал ретінде [45] жұмыстарды ұсынамыз.
Сызықтық алгебраның сандық әдістері деп
* анықтауыштарды есептеуде,
* сызықтық теңдеулер жүйесін жуықтап шешуде,
* кері матрицаны анықтаудауда,
* сызықтық түрлендірулердің өзіндік мәндері мен өзіндік
векторларын анықтауда
және алгебраның басқа да мәселелерін шешуде қолданылатын
математикалық әдістерді айтады.
Сандық тәсілдердің Сызықтық алгебра проблемаларын
шешудегі рөлі мен қолданысы [5], [6], [7], [8], [9], [10] т.б. еңбектерде
толығырақ айтылған. Есептеу қиындықтарының негіздемесін [7]
еңбектен табуға болды. Бірақ ол студенттер үшін өте ауыр оқулық
болып саналады.
Біздің мақсатымыз:
* сызықтық алгебраның жоғарыда аталған мәселелерінің
қысқаша теориялық негіздемелерін келтіріп, онымен
оқырманды таныстыру;
* нақты процестер жағдайында, сол аталған мәселелердің,
математикалық моделдерін жасап көрсету;
* математикалық модел - процесті сипаттайтын мате-
матикалық қандайда бір есеп; есепті жуықтап шешудің
математикалық әдістерімен және шешу алгоритм-
дерімен таныстыру;
* алгоритмдер бойынша программалар құрып, ДК (дербес
компьютер) пайдаланып есептің жуық шешімдерін
есептеуді үйрету
болып саналады.
1.1 Анықтауыштар және оларды есептеудің сандық әдістері
Сандық әдістерді қолданатын математиканың барлық
салаларында анықтауыштарды есептей білу қажеттілігі кездеседі.
Анықтауыштарды есептей білу - математиканың көптеген есептерін
шеше білу дегенмен бара-бар. Сондықтан біз, ең әуелі,
анықтауыштардың анықтамасын береміз [1], [2], [3], [4], [40], [41].
1.1-анықтама Екінші және үшінші ретті анықтауыштар деп
мынадай формулалар арқылы есептелінетін шамаларды айтады:
∣
a11 a12
a 21 a22
∣= a11⋅a22−a12⋅a21 .
∣
a11 a12 a13
a 21 a22 a23
a31 a32 a33
∣ = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) - (a11 a23 a32
+
+ a12 a21 a33 + a13 a22 a31 ). (1.1.1)
Ал n-ретті анықтауыш деп
∣
a11 a12 . . . a1n
a 21 a22 . . . a2n
. .. . .. . . . .. .
a n1 an2 . . . ann
∣ = Σ
k1 , k2 ,.. ., k n
−1 τ a1k1
⋅a2k 2
. .. .⋅ankn (1.1.2)
өрнек бойынша есептелінетін шаманы айтамыз.
Кез келген п-ретті анықтауышты есептегенде төменгі ретті
анықтауыштардың қосындыларына жіктейді. Осылайша жіктей
отырып, оны үшінші ретті анықтауыштардың қосындыларына дейін
жеткізуге болады. Бұл әдіс математика тілінде рекурренттік әдіс деп
аталады. Бірақ анықтауыштарды бұл әдістің өзімен де есептеу тиімді
емес. Өйткені жоғарыдағы әдістердің қайсы бірін қолданып есептеген-
нің өзінде, шамамен N . n33 арифметикалық амал жасауға тура
келеді екен [7], [8].
Компьютерлерді қолданып анықтауыштарды есептеудің ең
оңтайлы жолдарының бірі - Жордан-Гаусс әдісі болып саналады. Бұл
әдісті кейде триангуляция немесе жоғарғы үшбұрышқа келтіру
әдісі деп те атайды.
Бұл әдістердің MatCAD [55], MatLAB [56], Mathematika [57],
Maple [58] немесе Excel [59] т.б. орталарда жазылған есептеуіш
программалық дестелері бар. Бірақ, оқушы, әдістің мағынасын
түсініп, оны кез келген жағдайда қолдана білуі үшін триангуляция
әдісінің қолданысын Excel кестелік ортада көрсетуді дұрыс деп
санаймын.
Әдістің алгортимі
1-әрекет. Excelді ашамыз және оның төркөздеріне берілген п-
ретті анықтауыштың элементтерін енгіземіз.
Оның бірінші тік жол элементтерінің арасынан абсолют шамасы
жағынан ең үлкенін таңдаймыз. Айталық ол элемент a1k болсын, яғни
max{∣a1j∣}
1= j=n
=∣a1k∣ .
a1k элемент - жетекші элемент деп аталады.
2-әрекет. Анықтауыштың бірінші жатық жолы мен k-шы жатық
жолдарының орындарын ауыстырып жазамыз. Ол үшін анықтауыш
жазылған кестелердің соңғы жолының арасынан бір қатар қалдырып,
сол жолға к - сы қатарды көшіріп жазса жеткілікті. Бұл жаңадан
алынатын анықтауыштың бірінші жатық жолы болады. Осы жолды
пайдаланып оның келесі жолдарының бірінші элементтерін нөлге
айналдырамыз. Ол үшін келесі жолдарға мынадай формуланы қол-
данса жеткілікті:
= Ai1 - A11 * $A$i1 $A$11 ; i = 2, 3, ..., n;
Нәтижеде мынадай анықтауышты аламыз:
A = ∣
a11 a12 .. . a1n
0 a22
1 .. . a2n
1
. .. .. . .. . .. .
0 an2
1 .. . ann
1
∣ .
Анықтауыштардың қасиеті бойынша жаңадан алынған анық-
тауыштың мәні алғашқы анықтауыштың мәніне кері таңбамен тең
болады.
Бастапқы анықтауыштың мәнін есептегенде осы жағдайды
ескеру - өте қажет.
Жоғарғы (1)-индекстері бар элементтермен шектелген (п - 1)-
ретті анықтауыш - қысқартылған анықтауыш деп аталады.
3-әрекет. Қысқартылған анықтауышқа алғашқы екі әрекетті
қайталаймыз. Осы процесс анықтауыштың ең соңғы жатық жолына
жеткенге дейін қайталана береді. Ең соңында мынадай анықтауышты
аламыз:
A = ∣
a11 a12 a13 .. . a1 n−1 a1n
0 a22
1 a23
1 .. . a2 n−1
1 a2n
1
0 0 a33
2 .. . a3 n−1
2 a3n
2
. .. .. . .. . .. . . .. .. .
0 0 0 .. . a n−1 n−1
n−2 an−1 n
n−2
0 0 0 .. . 0 ann
n−1
∣ .
Бұл жоғарғы үшбұрышты анықтауыш. Оның мәні бас диа-
гоналдің бойында орналасқан элементтердің көбейтіндісіне тең
болады, яғни
A = (-1) r a11⋅a22
1 ⋅a33
2 ⋅. ..⋅an−1 n−1
n−2 ⋅ann
n−1 . (1.1.3)
(1.1.3)-формуладағы r - есептеу процесі кезіндегі жатық жол-
дардың орын алмастырулар саны.
Бірнеше ескертулер
1.1.1-ескерту. Анықтауыштардың жолдарын ауыстырған сайын
оның таңбасы өзгеріп отырады. Берілген анықтауыштың мәнін есеп-
тегенде осы жағдайды ескеріп отыру қажет.
1.1.2-ескерту. Триангуляция әдісінде бөлу амалы үнемі қол-
данылады. Сондықтан, дөңгелектеу нәтижесінде машиналық қате-
ліктер жинақталуы анық. Жоғарыда келтірілген жетекші эле-
ментті таңдау әдісі - осындай қателіктерді кеміту мақсатында
қолданылады.
1.1-мысал. Мынадай анықтауышты
A = ∣
2.34 −4. 21 −11. 61
8 .04 5 . 22 0 . 27
3 .92 −7. 99 8. 37
∣
(1.1.1)-формуламен және триангуляция әдісімен есептеп, нәтижелерін
салыстырайық.
Екі әдістің Excelдегі есептеуі төмендегі кестеде келтірілген.
1.1.1-кесте. Анықтауышты есептеу
Берілген анықтауышты
(1.1.1)-формуламен есептеу.
2,34 -4,21 -11,61
8,04 5,22 0,27
3,92 -7,99 8,37
Нәтиже:
1369,531422
Осы анықтауышты триангуляция
әдісімен есептеу.
1, 2-әрекетті орындаймыз.
Mакс.элемент а21 = 8,04
8,04 5,22 0,27
0 -5,729 -11,69
0 -10,54 8,2384
3-әрекетті орындаймыз.
Макс.элемент -10,54
8,04 5,22 0,27
0 -10,54 8,2384
0 0 -16,17
Жатық жолдарды екі рет орындарын
алмастырдық. Сондықтан есептеу
нәтижесінің таңбасы өзгермейді.
Нәтиже:
1369,531422
Екі жағдайда да нәтиже бірдей болды. Бірақ жоғарыда кел-
тірілген ескертулерді анықтауыштарды есептеуде үнемі есте ұстаған
дұрыс болады.
1.2 Cызықтық теңдеулер жүйесіне қысқаша шолу Сызық-
тық теңдеулер жүйесінің (СТЖ) теориялық негіздемелері және оның
қолданыстары - Алгебра пәнінің Сызықтық алгебра тарауында
қарастырылады [1], [2], [3], [4], [5].
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (СТЖ) деп -
құрамында n белгісізі бар, m сызықтық теңдеулерден тұратын мына-
дай
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... , (1.2.1)
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm.
жүйені айтады.
Жалпы жағдайда жүйенің белгісіздері мен теңдеулерінің саны
тең болуы шарт емес, яғни m!=n болуы мүмкін. Дегенменде, қолда-
ныс өрісінде m n және m = n жағдайлары жиі кездеседі.
x1 , x2 , ..., xn - жүйенің белгісіздері, ал aij (i = 1, 2, ..., n; j
= 1, 2, ..., m) - жүйенің коэффициенттері деп аталады.
Жүйе белгісіздерінің және оның коэффициенттерінің процес-
стерді моделдеу жағдайында нақты мағыналары болады.
Көптеген нақты процестердің математикалық моделдері, сон-
дай ақ, моделдік математикалық теңдеулерді сандық әдістермен шеш-
кенде, біз, сызықтық алгебралық теңдеулерді шешу мәселесіне тіре-
леміз [6], [8], [9], [10], [12] [44], [45]. Сондықтан СТЖ теориясын
оқып, оның қолданысын үйрену: өте қажетті мәселе - деп есеп-
теймін.
Матрицалық
A = a11 a12 . . . a 1n
a21 a22 . . . a2n
. .. .. . . . . .. .
am1 am2 . . . amn , X = x1
x2
. ..
x n , B = b1
b2
. ..
bm
белгілеулерді енгізіп, (1.2.1)-сызықтық теңдеулер жүйесін, қысқаша,
векторлық-матрицалық түрде, былайша жазуға болады:
А Х = В.
(1.2.1)-жүйе белгісіздерінің қандайда бір
x1 = x1*, x2 = x2*, ... , xn = xn* (1.2.2)
мәндерінде
a11 x1* + a12 x2* + ... + a1n xn* . b1,
a21 x1* + a22 x2* + ... + a2n xn* . b2,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ,
am1 x1* + am2 x2* + ... + amn xn* . bm.
тепе-теңдіктер орындалса, онда (1.2.2)-мәндер - жүйенің шешімі деп
аталады.
Жүйенің шешімін векторлық-матрицалық түрде былайша
белгілейміз:
(X *)T
= ( x1 , x2 , ..., xn ) = (x1*, x2*, ..., xn*), (1.2.3)
бұл арадағы (Т) - матрицаны аудару (транспонирлеу) белгісі [1], [44],
[45].
СТЖ-не байланысты:
1. (1.2.1)-жүйенің шешімі бар ма,
2. шешімі болған жағдайда ол шешімді қалай анықтаймыз
деген сұрақтар туындайды.
Біз осы сұрақтарға жауап беруге тырысамыз.
Бірінші сұрақтың жаубын:
* жүйенің бір ғана шешімі болуы мүмкін,
* жүйенің шексіз көп шешімі болуы мүмкін,
* жүйенің бірде-бір шешімі болмауы мүмкін
деп қорытындылауға болады.
Шешімі болған жағдайда жүйе үйлесімді, ал шешімі
болмаған жағдайда - үйлесімсіз деп аталады.
Нақты процесті сипаттайтын СТЖ-і - үнемі үйлесімді болуы
тиіс .
Жүйенің ең кем дегенде бір шешімінің бар болуы төменде
келтірілген Кронекер-Капелли теоремасында дәлелденген [1], [2], [44],
[45].
Кронекер-Капелли теоремасы (1.2.1)-жүйенің ең кем дегенде
бір шешімі болуы үшін жүйе матрицасының рангі оның кеңейтілген
матрицасының рангіне тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни
rang (A) = rang( A' ).
Біз СТЖ-ің m = n болған жағдайын ғана қарастырамыз. Осыған
орай, жүйенің бір ғана шешімінің бар болуының жеткілікті
шартын былайша тұжырымдауға болады:
Шаршылы, яғни m = n жағдайында, СТЖ-ің бір ғана шешімі
болуы үшін жүйе матрицасының анықтауышы нөлден ерекше
болуы жеткілікті, яғни
A = det(A) . 0.
(1.2.1)-жүйенің кеңейтілген матрицасы деп мынадай
A'=a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
.. . .. . . . . .. . . ..
a m1 am2 . . . amn bm
матрицаны айтады.
Демек, жүйенің кеңейтілген матрицасын алу үшін жүйе мати-
рцасына, қосымша тік жол ретінде, жүйенің бос мүшелерін тіркеп
жазсақ, жеткілікті болғаны.
СТЖ-ін шешу әдістері екі топқа бөлінеді.
Бірінші топқа:
* анықтауыштарды қолданатын Крамер,
* белгісіздерді біртіндеп жоятын Жордан-Гаусс,
* қумалау,
әдістері,
ал екінші топқа
* итерациялық деп аталатын
әдіс жатады.
Жүйе белгісіздерінің саны 102 артық болмаса жүйені шешуге
Жордан-Гаусс әдісін, ал жүйе белгісіздерінің саны 102 артық (106
дейінгі аралықта) болған жағдайда итерациялық әдісті пайдаланып,
оларға ЭЕМ-ларын қолданған тиімді болады [7], [8], [9].
Қумалау әдісі сызықтық теңдеулер жүйесінің өте маңызды
дербес бір жағдайында, жүйе матрицасы үш диагоналды болғанда,
қолданылады [6], [8], [9], [10]. Бұл әдіс қолданбалы математиканың
көптеген салаларында кеңінен қолданысын тапқанымен ғылыми
әдебиеттерде әдісті жариялап, оны дәріптеуге көп көңіл бөлінбеген
сияқты. Бірақ мен: қазақ тіліндегі бірде-бір басылымда бұл әдісті
түсіндіріп, сипаттайтын мақаланың немесе оқу құралының арнаулы
тақырыбы жоқтығын білемін. Сондықтан бұл тақырыпты мен арнаулы
тақырып ретінде бөліп қарастырдым.
1.3 СТЖ жуықтап шешудің жетекші элементті таңдауға
негіздел-ген Жордан-Гаусс әдісі Әдістің қолдануын ұғыну үшін үш
белгісізді теңдеулер жүйесін
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b3 , (1.3.1)
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 .
қарастырсақ жеткілікті (алдыңғы жақта бұл жүйені - n белгісізді
СТЖ деп ұғынатын боламыз).
Егер (n x n) , (n x 1) және (n x 1) өлшемді
A = a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. .. .. . . . . .. .
a n1 a n2 . . . ann , B = b1
b2
. ..
bn , X = x1
x2
. ..
x n
матрицаларды енгізсек, онда СТЖ қысқаша былайша жазуға болады:
A X = B . (1.3.2)
Біз (1.3.1)-жүйенің, ал жалпы жағдайда, (1.3.2)-жүйенің тек
бір ғана шешімі бар - деп есептейміз.
(1.3.1)-жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып аламыз
A' = a11 a12 a13 b1
a21 a22 a 23 b2
a31 a32 a33 b3 . (1.3.3)
Жордан-Гаусс алгоритмінің (әдісінің) бастамасы.
1-әрекет. (1.3.3)-матрицаның бірінші тік жол элементтерінің
арасынан абсолют шамасы бойынша ең үлкенін анықтаймыз. Айталық
ол а31 элемент болсын, яғни
max ∣a11∣, ∣a21∣, ∣a31∣ =∣a31∣ .
1.3.1-ескерту. Егер бірінші жатық жолдың а11 элементі
абсолют шамасы жағынан ең үлкені болса, онда бірден 2-әрекетке
көшеміз.
2-әрекет. (1.3.3)-матрицаның бірінші жатық жолы мен үшінші
жатық жолының орындарын ауыстырып жазамыз, яғни кеңей-
тілген матрицада қарапайым түрлендіру амалын орындаймыз [1],
[2], [44], [45]. Жаңадан пайда болған матрицаны қайтадан (1.3.3)-деп
белгілейіміз.
Бұл әрекетті - Жордан-Гаусс әдісіндегі жетекші
элементті анықтау кезеңі деп атайды.
Түрлендіру нәтижесінде алынған кеңейтілген матрицаның
а11 элементі міндетті түрде нөлден ерекше болады, яғни a11 != 0
(неге ?).
Жордан-Гаусс алгоритмімен танысу үшін алғашқы екі
әрекет орындалды - деп есептейміз.
3-әрекет. Жаңадан алынған кеңейтілген (1.3.3)-матрицаның
бірінші жатық жолының барлық элементтерін a11 != 0 элементке
бөлеміз (бұл да қарапайым түрлендірулердің қатарына жатады).
Нәтижеде кеңейтілген матрица мынадай түрге енеді:
A' =1 a12
1 a13
1 b1 1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3 . (1.3.4)
Бұл матрицадағы: a1k
1 =a1k a11 , k =2, 3; b1
1=b1 a11 .
4-әрекет. (1.3.4)-матрицаның бірінші жатық жолының барлық
элементтерін, ойша а21 санға көбейтіп, нәтижелерін екінші жатық
жолдың сәйкес элементтерінен шегереміз. Дәл осылайша, (1.3.4)-
матрицаның бірінші жатық жолының барлық элементтерін, ойша
а31 санға көбейтіп, нәтижелерін үшінші жатық жолдың сәйкес эле-
менттерінен шегереміз (бұл да қарапайым түрлендірулердің қата-
рына жатады).
Бұл әрекеттегі мақсат - бірінші тік жолдың (21) және
(31) ұяшықтағы мәндерін нөлге айналдыру болып табылады.
Нәтижеде түрленген жаңа кеңейтілген матрицаны аламыз:
A' = 1 a12
1 a13
1 b1 1
0 a22
1 a23
1 b2 1
0 a32
1 a33
1 b3 1 . (1.3.4)
Бұл матрицадағы:
aik
1 =aik−a1k
1⋅ai1 , bi
1=bi−b1 1 ⋅ai1 ; i = 2, 3 ; k = 2, 3.
Егер осы (1.3.4)-матрицаны пайдаланып, (1.3.1)-теңдеулер жүйе-
сін қайтадан жазып шықсақ, онда ол жүйе құрамының екінші және
үшінші теңдеулерінде х1 белгісіздің болмайтынын байқаймыз.
Сондықтан 4-әрекетті: жүйеден белгісіздерді біртіндеп
жою әрекеті - деп атайды.
(1.3.5)-матрицаның екінші және үшінші жатық жолдарына
сәйкес келетін теңдеулер жүйесін қысқартылған жүйе - деп
атаймыз. Ол жүйеннің матрицасы - (1.3.5)-матрицаның бөлікті сызы-
ғының астында жатыр.
5-әрекет. Қысқартылған жүйеге жоғарыдағы 1, 2, 3, 4 әрекет-
терді қайталаймыз.
Осындай қайталаулардан кейін жүйенің кеңейтілген матрицасы
мынадай түрге енеді:
A' =1 a12
1 a13
1 b1 1
0 1 a23
2 b2
2
0 0 a33
3 b3 3 . (1.3.6)
Жордан-Гаусс әдісінің аяқтамасы. (1.3.6)-матрицаның соңғы
жолы бойынша:
x3 . =b3
3a33
3
мәнді анықтаймыз.
1.3.2-ескерту Егер осы арада b3
( 3 ) . 0 , ал a33
3 = 0 болса, онда
СТЖ-ің бірде бір шешімі болмайды. Бұл жағдайда жүйе үйлесімсіз
деп аталады. Ал егер b3
( 3 ) = 0 және a33
3 = 0 болса онда жүйенің
шексіз көп шешімі болады [1] - [6].
x*34 анықталғанан соң, (1.3.6)-матрицаның екінші жатық жолы
бойынша:
x2 . =b2
2 −a 23
2⋅x4 . ,
ал бірінші жатық жолы бойынша:
x1 . =b1 1 −a12
1⋅x2 . −a13
1⋅x3 .
мәндерді есептейміз.
Бұл мәндерді есептеу жағдайында бөлу амалдары орындал-
ғандықтан, ол мәндер жуық түрде анықталады. Осыған байланысты,
жоғарыда анықталған
x(1) = ( x1*, x2*, x3* )
векторды - СТЖ-нің бірінші жуық шешімі деп атайды.
1.3-мысал Әдістің қолдануын көрсетуге мысал. Сызықтық
теңдеулер
2.34 x1 - 4.21 x2 - 11.61 x3 = 14.41,
8.04 x1 + 5.22x2 +0.27 x3 = - 6.44, (1.3.7)
3.92 x1 - 7.99 x2 + 8.37 x3 = 55.56.
жүйесіне Жордан-Гаустың жетекші элементті анықтау әдісін қолда-
нып, жуық шешімін анықтайық.
Жүйенің бас анықтауышы нөлге тең емес (оны тексеріңіздер).
Сондықтан бұл жүйенің шешімін анықтауға Жордан-Гаусс әдісін
қолдануға болады.
Есепті шешуге аспаптық құрал Ехсеl программалық ортаны
қолдандық.
1.3-кесте Жордан-Гаусс әдісі
Сызықтық теңдеулер жүйесін Жордан-Гаусс әдісімен
шешу
Әдістің бастамасы
х1 х2 х3 b
2,34 -4,21 -11,61 14,41
8,04 5,22 0,27 -6,44
3,92 -7,99 8,37 55,56
1) 1-тік жол элементтерінің арасынан абсолют
шамасы жағынан ең үлкенін анықтаймыз:
max{2,34; 8,04; 3,92} = a21 = 8,04.
2 және 1-теңдеулердің орындарын алмастырып
жазамыз
1-
әрекет
8,04 5,22 0,27 -6,44
2,34 -4,21 -11,61 14,41
3,92 -7,99 8,37 55,56
2) 1-жатық жолдың барлық элементтерін
а11 = 8,04-ге бөлу
2-
әрекет
1 0,649254 0,033582 -0,801
2,34 -4,21 -11,61 14,41
3,92 -7,99 8,37 55,56
3) 1-тік жолдың а21 және а31 элементтерін нөлдеу
3-
әрекет
1 0,649254 0,033582 -0,801
0 -5,72925 -11,6886 16,28433
0 -10,5351 8,238358 58,6999
4) Қысқартылған жүйеге жоғарыдағы әрекеттерді
қайталаймыз.
max{-5,72925; -10,5351} = a32 = 10,5351.
2 және 3-теңдеулердің орындарын алмастырып
жазамыз
4-
әрекет
1 0,649254 0,033582 -0,801
0 -10,5351 8,238358 58,6999
0 -5,72925 -11,6886 16,28433
5) 2-жатық жолдың барлық элементтерін
а22 = -10,5351-ге бөлеміз.
5-
әрекет
1 0,649254 0,033582 -0,801
0 1 -0,78199 -5,57185
0 -5,72925 -11,6886 16,28433
6) 2-тік жолдың а32 элементін нөлдеу
6-
әрекет
1 0,649254 0,033582 -0,801
0 1 -0,78199 -5,57185
0 0 -16,1688 -15,6382
Әдістің аяқтамасы
3-теңдеуден
х3 = 0,967185
2-теңдеуден
х2 = -4,81552
1-теңдеуден
х1 = 2,29302
1
Сонымен жүйенің бірінші жуық шешімі
х1 = 2,293021
х2 = -4,81552
х3 = 0,967185
Жордан-Гаусс әдісін қолданып СТЖ-ін жуықтап шешкенде
шамамен
N=n⋅ n23n−1 3
арифметикалық амалдар орындалады екен [8, 54-б.]. Көбейту және
бөлу амалдары үнемі қолданылғандықтан машиналық дөңгелектеу
қателіктері жинақтала бастайды.
Осындай қателіктерді кеміту үшін жоғарыда баяндалған
жетекші элементті анықтау әдісі қолдануы тиіс.
1.4 Қателік. Іліспеулік. Түзетулер еңгізу. Қолданбалы мате-
матика тұрғысынан қарағанда (1.3.2)-жүйе - нақты процестің мате-
матикалық моделі болып саналады. Сондықтан, процестің моделі -
СТЖ-ің жуық шешімін анықтау жағдайында оған арнаулы талап
қойылады.
Ол талап дәлдік деп аталады.
Процесс талабын орындау үшін әртүрлі шаралар жаса-
лынады. Бұл тақырыпшада біз сондай шаралардың бірімен таныса-
мыз.
n өлшемді (1.3.2)-СТЖ-ің дәл шешімі X = ( x1, x2 ,..., xn)T, ал
X(1) = ( x1
(1), x2
(1), ..., xn
(1) )T - Жордан-Гаусс әдісімен есептелінген бір-
інші жуық шешімі болсын (мұндағы Т - матрицаны транспонир-леу
белгісі).
Дәл Х және жуық Х(1) шешімдердің айырымын
д(Х) = Х - Х(1)
ауытқу деп атайды.
Аытқу нормасын1
д(Х) = X - X(1) = max
1=k=n { xk - xk
(1) }
қателік дейді.
Түсіндіру. n өлшемді кеңістіктің x = (x1 , x2 ,..., xn), y = (y1 , y2 ,
..., yn) нүктелерінің ара қашықтығын әртүрлі әдіспен өлшеуге болады.
Ара қашықтық өлшеуішін метрика дейді. Іс жүзінде төмендегідей
метрикалар кеңінен қолданылады [11]:
a) d (x, y) = max
1=i=n
∣xi−yi∣ ;
b) d (x, y) = Σi
=1
n
∣xi−yi∣ ; (1.4.1)
c) d (x, y) = Σi
=1
n
xi−yi 2 ;
Қателікке қойылатын талапты дәлдік деп атайды.
Қателік дәлдігі ε 0 - процесс мақсатына байланысты, алдын
ала берілуі тиіс. Осыған орай
д(Х) = X - X(1) = ε 0 . ε
1 Норма ұғымын, оның түрлерін, мәселен [11]-оқулықтан қарауға болады.
шарт орындалған жағдайда есептеу дәлдігі орындалды - деп айта-
ды.
Есептеу дәлдігіне жету шараларының бірі - түзетулер еңгізу
болып саналады.
Түзетулер былайша еңгізіледі.
Айталық, жоғарыда қарастырылған (1.3.7)-жүйенің бірінші
жуық шешімін үшінші разрядқа дейін дөңгелектеп, бірінші жуық
шешімді былайша анықтайық:
X(1) = (x1
(1), x2
(1), x3
(1) )Т = (2.293 , - 4.816 , 0.967 )Т.
Осы жуық шешімді жүйеге қойып, нәтижесін есептейік:
2.34*2.293 - 4.21*(-4.816) - 11.61*0.967 = 14.41411,
8.04*2.293 + 5.22*(-4.816) + 0.27*0.967 = - 6.44271,
3.92*2.293 - 7.99*(-4.816) + 8.37*0.967 = 55.56219.
Осы теңдіктің оң жағы жуық Х(1) шешімге сәйкес келетін
B(1) = 14 . 41411
−6. 44271
55 .56219
матрицаны анықтайды. Демек Х(1) шешімді
2.34 x1 - 4.21 x2 - 11.61 x3 = 14.41411,
80.04 x1 + 5.22x2 +0.27 x3 = - 6.44271,
3.92 x1 - 7.99 x2 + 8.37 x3 = 55.56219.
сызықтық теңдеулер жүйесінің, немесе матрицалық түрде жазылған
А Х = В(1) (1.4.2)
жүйенің дәл шешімі деп атауға болады.
B және B(1) матрицалардың айырымының нормасын2 , яғни
д(B) = B - B(1) = max
1=k=n { bk - bk
(1) } =δ
2 Матрица нормасының ұғымын, оның түрлерін, мәселен [11] оқулықтан
қарауға болады.
шаманы іліспеулік дейді.
Қарастырылып отырған мысал жағдайында іліспеулік шамасы
14.41 - 14.41411 = 0.00411,
- 6.44 - ( - 6.44271) = 0.00271,
55.56 - 55.56219 = 0.00219,
B - B(1) = max{ 0.00411; 0.00271; 0.00219. } = 0.00411 = δ 0.
Байқағанымыздай, іліспеулік шамасы δ онша үлкен емес. Бірақ
онан: дәл және жуық шешімдердің айырымы: қателік үлкен бол-
майды - деген тұжырым шықпауы тиіс. Неге?
Жоғарыда аталып өткендей, (1.3.2)-жүйе - ол қандайда бір нақ-
ты процестің математикалық моделі, яғни математикалық есеп
болып саналады.
Әрбір математикалық есепке арнаулы талап қойылады. Ол талап
қисындылық деп аталады.
Егер математикалық есептің жалғыз ғана шешімі бар
болып және ол шешім есептің берілгендерінен үздіксіз тәуелді болса,
онда мәселе - қисынды қойылған деп аталады.
Есептің шешімінің бар және оның жалғыз болу шартын 1.2.2-
теоремада келтірдік.
Ал енді: шешім есептің берілгендерінен үздіксіз тәуелді ... -
деген талапты қалай түсіну керек?
Ол талап мынадай: нақты процесті моделдеу жағдайында
(1.3.2)-жүйенің оң жағы В матрицаны дәл анықтап беру өте қиын. Ол
көп жағдайда жуықтап анықталады. Соған байланысты (1.3.2)-жүйе-
нің орнына
A X = B*
жүйе қарастырылуы мүмкін.
Айталық бұл жүйенің шешімі Х* болсын.
Егер кез келген В және В* жағдайында
X - X* = δ (X) . M δ (B) = М B - B*
(1.4.3)
теңсіздік орындалса, онда (1.3.2)-жүйе - жүйенің бос мүшелері (оң
жағы) бойынша орнықты - деп аталады.
Бұл арадағы М - жүйенің оң жақтарынан, яғни В мен В* дан
тәуелсіз, тұрақты оң сан ( М 0 ).
(1.4.3)-бағалау - жүйе шешімнің жүйенің оң жағынан
үздіксіз тәуелділігін көрсетеді.
Шындығында, егер (1.4.3)-теңсіздікте δ (B) шама нөлге
ұмтылса, яғни δ (B) 0 орындалса, онда
δ (Х) 0
болатыны анық.
Теорема 1.4 Егер жүйе матрицасының анықтауышы A нөл-
ден ерекше болса, онда (1.3.2)-жүйе жүйенің оң жағынан үздіксіз
тәуелді болады.
Шындығында А Х = B және A X* = B* теңдіктерден
А (д(Х)) = A(X - X*) = A(X) - A(X*) = B - B* = д (В)
теңдікті аламыз. Содықтан
д(Х) = А-1( д(В)) д(Х) . А-1 д(В) , (1.4.4)
яғни (1.4.3)-теңсіздік М = A-1 тұрақтымен орындалады.
Егер жүйе матрицасының анықтауышы A өте аз шама болса,
онда кері А-1 матрицаның анықтауышы A-1 өте үлкен шама болады.
Сондықтан, (1.4.4)-теңсіздікке сәйкес:
( д(В)) іліспеулік өте аз шама болғанымен д(Х)
қателіктің аз шама болуы шарт емес
деген тұжырымды аламыз.
Біз бұл тұжырымды нақты мысал арқылы түсіндірейік [5, 48-б].
1.4-мысал. Төмендегідей екі жүйе берілсін:
A X = B { x1 x2=2,
x11. 0001⋅x 2=2 .0001 ; (1.4.5)
A X = B* { x1 x2=2,
x11. 0001⋅x 2=2 .0002 ; (1.4.6)
Олар бос мүшелерімен ғана айырмашылық жасайтын жүйелер.
Іліспеулікті есептейік:
д(В) = B - B* = max { bk - bk
(1) } = max { 0; 0.0001} = 0.0001.
Бұл жеткілікті аз шама.
Енді теңдеулердің шешімдеріне назар аударайық. (1.4.3)-
теңдеудің дәл шешімі: Х = (1; 1)Т , ал (1.4.4)-теңдеудің дәл шешімі:
Х* = (0; 2)Т . Оны оңай тексеруге болады. Қателікті есептейік:
X - X* = max { xk - xk
(1) } = 1.
Осыдан, қателіктің кіші шама болмағанын байқаймыз. Өйткені жүйе
матри-цасының анықтауышы:
A = ∣1 1
1 1 .0001∣ = 1.0001 - 1 = 0.0001
өте аз шама.
Керісінше, егер қателік аз шама болса, онда іліспеулік
те аз шама болады [7] - [10].
n өлшемді (1.3.2)-жүйенің Жордан-Гаусс әдісімен анықталған
бірінші жуық шешімі Х(1) болсын. Ол шешімді (1.3.2)-жүйеге қойып
В(1) матрицаны есептейміз. Бұл жағдайда Х(1) - (1.4.2)-жүйенің дәл
шешімі болады, яғни:
АХ(1) . В(1).
(1.3.2)-жүйеден осы тепе-теңдікті шегеріп
АХ - АХ(1) = А(Х - Х(1) ) = B - B(1)
және (Х - Х(1) ) = Y, (B - B(1) ) = C белгілеулерді еңгізсек, онда
жоғары-дағы теңдеуді былайша жазауға болады
A Y = C. (1.4.7)
(1.4.7)-жүйе - (1.3.2)-жүйеден бос мүшелері бойынша ғана
айырмашылық жасайды. Ол жүйені Жордан-Гаусс әдісімен шешіп,
оның бірінші жуық Y(1) шешімін анықтаймыз.
Y(1) шешім - бастапқы жуық Х(1) шешімге енгізілген түзету
деп аталады. Шындығында, белгілеуге сәйкес
Х - Х(1) = Y(1) ⇒ Х = Х(1) + Y(1) = X(2) .
Түзету енгізілген Х(2) шешімді - екінші жуық шешім деп атай-
мыз.
Жоғарыдағы теңдіктерге сәйкес, егер
Х - Х(1) = Y(1) = ε0=ε
шарт орындалса, онда Х(2) жуық шешім - берілген ε дәлдікті қана-
ғаттандыратын жуық шешім деп аталады.
Дәлдік орындалмаған жағдайда В(2) = A X(2) есептелініп, (1.4.7)-
жүйеде
С = B - B(2) = C(1)
деп қабылданып, екінші Y(2) түзетуші шешімді анықтаймыз. Міне осы
процесс
Х - Х(k) = Y(k) = ε0=ε , k = 1, 2, 3, ...;
шарт орындалғанға дейін қайталана беруі тиіс.
Түзету енгізуге мысал (1.3.7)-жүйенің Х(1) жуық шешіміне
түзету еңгізейік. Ол үшін әуелі С матрицаны есептейміз:
C = B - B(1) = 14. 41
−6 . 44
55.56 - 14 . 41411
−6. 44271
55 .56219 = −0. 00411
0 . 00271
−0 .00219 .
Осы матрицаға сәйкес келетін (1.4.5)-жүйе былайша болады:
2.34 x1 - 4.21 x2 - 11.61 x3 = - 0.00411,
8.04 x1 + 5.22 x2 + 0.27 x3 = 0.00271,
3.92 x1 - 7.99 x2 + 8.37 x3 = - 0.00219.
Жүйені Жордан - Гаусс әдісімен Аспаптық құрал - кестелік
процессор Excel программалық ортада шешеміз. Ол үшін жоғарыда
қолданылған кестедегі жүйенің оң жағын сәйкес мәндермен өзгертсе
жеткілікті. Есептеу нәтижесі төмендегі кестеде келтірілген.
1.4-кесте. Excel: түзету енгізу
Түзету енгізу.
Ол үшін 1.3-кесте жазылған Excel кітабындағы
жүйенің оң жағын С матрицаның элемент-
терімен айырбастаса болғаны, яғни жүйені
мынадай түрде жасса жеткілікті.
y1 y2 y3 b*
2,34 -4,21 -11,61 -
0,00411
8,04 5,22 0,27 0,00271
3,92 -7,99 8,37 -
0,00219
Excelде жазылған программа бірден осы
жүйенің
бірінші Y(1) жуық шешімін береді:
y1 = 2,06E-05
y2 = 0,000478
y3 = 0,000185
Алғашқы жуық шешімге түзету енгізіп:
Х(2) = X(1) + Y(1) = ( x1
(1), x2
(1), x3
(1))T + ( y1
(1), y2
(1), y3
(1))T = ( x1
(2), x2
(2), x3
(2))T
=
= ( 2.293; - 4.816; 0.967)T + (0.0000; 0.0005; 0.0002)T =
= ( 2.2930; -4.8155; 0.9672)T
екінші Х(2) жуық шешімді аламыз.
Енді қателікті есептейік. Есепке қойылған дәлдік ε=0 . 001
болатын. Қателік:
ε0 = Y(1) = max { 0.0001; 0.0005; 0.0002 } = 0.0005 ε=0 . 001 .
Қателік дәлдіктен кем. Сондықтан Х(2) жуық шешімді - дәлдікті
қанағаттандыратын жуық шешім деп айтуға болады.
1.5 Сызықтық теңдеулер жүйесін жуықтап шешудің итера-
циялық әдістеріне қысқаша шолу Итерациялық әдісті - біртіндеп
жуықтау әдісі деп атайды.
Матрицаларға қолданылатын арифметикалық амалдарға сәйкес
[1] - [7], кез келген n өлшемді А матрицаны үш матрицаның қосын-
дысы түрінде өрнектеуге болады:
A = A1 + D + A2 . (1.5.1)
Мұндағы:
* А1 - төменгі диагоналды,
* D - диагоналды,
* А2 - жоғарғы диагоналды
матрицалар.
Мәселен, үш өлшемді шаршылы А матрицаны, жоғарыда
аталғандай, мынадай үш қосылғышқа жіктеуге болады:
A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33 = 0 0 0
a21 0 0
a31 a32 0 + a11 0 0
0 a 22 0
0 0 a33 +
+ 0 a12 a13
0 0 a23
0 0 0 = A1 + D + A2 .
(1.5.1)-жіктеуге сәйкес, кез келген n өлшемді сызықтық тең-
деулер жүйесін
A1⋅X D⋅X A2⋅X =B . (1.5.2)
қосылғыштарға жіктеп жазамыз. Ондағы мақсат - итерациялық
процесті бастауға лайықты математикалық өрнек алу.
(1.5.2.)-жіктеудегі диагоналды D матрицаның диагоналдық эле-
менттерінің барлығы нөлден ерекше болса, яғни олар aii!=.
. 0 шартты
қанағаттандырса, онда ол матрицаның кері D - 1 матрицасы бар болады
және ол матрица оңай анықталады.
(1.5.2)-теңдікті сол жағынан кері D ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
БІЛІМ және ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
ПАВЛОДАР МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ
ИНСТИТУТЫ
ИНФОРМАТИКА КАФЕДРАСЫ
Т. САБЫРОВ
САНДЫҚ ӘДІСТЕРДІҢ АҚПАРАТТЫҚ ТЕХНОЛОГИЯСЫ ТЕОРИЯ
ПАВЛОДАР - 2009
1
УДК 519.6 - 37:004.42(075.8)
ББК 22. 19. я73
С 12
Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының
ғылыми Кеңесі баспаға ұсынады
Пікір жазғандар:
С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университетінің
Алгебра және математикалық талдау кафедрасының профессоры, физ-
ика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент М.М.Мұқтаров.
Павлодар Инновациялық Еуразия университетінің Информатика
және есептеу техникасы кафедрасының профессоры, техника ғылым-
дарының кандидаты, доцент А.Ж.Асанбаев.
Сабыров Т. Сандық әдістердегі ақпараттық технология.
1.Теория. Оқу құралы. - Павлодар, ПМПИ Ғылыми баспасы, 2009, 172
- бет.
ISBN 978-601-267-011-0
Оқу құралында қолданбалы математикалық есептерді жуықтап
шешудің әртүрлі сандық әдістері келтірілген. Әрбір әдіске нақты
мысал шығарылып көрсетілген және әдістердің тиімділігі өзара
салыстырылған. Барлық есептерді шығаруда ақпараттық техно-
логияның қолданысы көрсетілген.
Бұл оқу құралы Жоғары оқу орындарының студенттері мен
оқытушылар қауымына және компьютерлік технологияны қолданып
математикалық есептерді сандық әдістермен шығаруды үйренгісі
келген инженер-техниктерге арналған.
Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының
информатика кафедрасы мақұлдады.
С 1602120000
00 05 −09
ISBN 978-601-267-011-0
Қазақстан Республикасы
Білім және ғылым министрлігі, 2009. Сабыров Т., 2009
КІРІСПЕ
Бұл оқу құралы болашақ мамандар - бүгінгі Біздің студент-
терімізге, инженер-технологтарға және осы пән бойынша дәріс,
сабақ жүргізетін әріптестеріме арналған.
Кез келген нақты процестің жеткілікті дәрежеде сипаттамалары
берілген жағдайда оның математикалық моделін жасауға болады.
Ғылымның бүгінгі даму сатысында бұл дәлелдеуді қажет етпейтін
шындық - деп айтсақ артық болмас.
Кез келген нақты процестің математикалық моделі - қандайда
бір математикалық есеп-мәселе түрінде жазылады.
Ондай мәселелерді зерттеу - процестің қолдану-тұтыну
мақсатына байланысты, қолданбалы математика ғылымының осындай
проблемаларды қарастыратын арнаулы салаларында теориялық
ізденістер және, соған негізделген, сынақтар, сұрақнамалар
(анкетирование), тестілеулер, лабораториялық зерттеулер,
техни-калық эксперименттер, әртүрлі тәжірибелер т.т. жүргізу
негізінде өткізіледі.
Осындай зерттеулер нәтижесінде процестің ішкі факторларын
сипаттайтын сапалық және сандық мәліметтер жинақталады.
Сапалық сипаттамалары бойынша сандық мәліметтер сұрыпталып,
олар алдын ала дайындалған арнаулы кестелерге енгізіліп, сақталады.
Инфоратикалық математика семантикасында олар мәліметтер қоры
- деп аталады.
Процестің сандық мәліметтері - процесті сипаттайтын
есептерді шығарып, оның әртүрлі шешімдерін зерттеу нәтижесінде
жинақталуы мүмкін. Бірақ кез келген математикалық есептердің
шешімдерін анықтаудың әмбебап әдістері жоқ екені белгілі.
Сондықтан, ондай есептердің теориялық мазмұнына үңіліп, оларды
жуықтап шешу алгоритмдерін зерттейтін, және соған байланысты,
ЭЕМ-ді қолданудағы есептеу программаларын ұсынатын, оны оқып
үйрететін ғылыми пән бар. Ол пән САНДЫҚ ӘДІСТЕР - деп
аталады.
Бұл пән ҚР Жоғары оқу орындарының физика-математика
факультетінің студенттері үшін міндетті пән, ал инженер-
техникалық мамандықтың студенттері үшін арнаулы оқу курсы
ретінде оқытылады.
ҚР БҒМ бекіткен МЖМБС 3.08.261-2006 бойынша бұл пәнді
оқыту үшін 3, 2 және 1 кредит бөлінген (информатика, математика
және инженер-техникалық, физика мамандықтары бойынша). Кәдімгі
академиялық сағатқа ауыстырғанда олар, сәйкесінше, 135, 90 және
45 сағатты құрайды - бұл аз да, көп те емес.
Математика ғылымының барлық дерлік салаларында сандық
есептеулер талап етіледі. Сондықтан, болашақ маман, Жоғары мате-
матиканың Сандық әдістер пәнін оқып үйренуі және оның
қолданыс өрісін білуі үшін төмендегідей пәндердің оқу курсын өтуі
міндетті:
* Мектеп математика курсын жетік білу - міндетті курс.
* Жоғары алгебра курсы; оның ішінде баса назар
аударатыны - Сызықтық алгебра болып саналады.
* Дифференциалдық және интегралдық есептеулер -
Математикалық талдау курсы; есептеу амалдарына баса
назар аударылуы тиіс.
* Кәдімгі дифференциалдық теңдеулер курсы; оның ішінде
баса назар аударатыны: Коши есептері мен шекаралық
есептердің қойылмдары; міндетті түрде оларды шешу
әдістерін білуі тиіс.
* Математикалық физика теңдеулері курсы; қолданыс өрісі
бойын-ша бұл курс ерекше орын алады; сондықтан ол пән
бойынша ең кем дегенде 2 немесе 3 кредиттік курс оқылуы
тиіс.
* Қолданбалы программалау тілдері курсы; сондай ақ
MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple, AutoCAD, Excel т.т.
сияқты дайын программалық дестелердің қолданысын білуі
қажет.
Әрине, осы айтылған міндетті курстар студенттер үшін өтіледі-
оқылады. Бірақ қандай мазмұнда және қандай көлемде?
Осы мәселерді қиындықсыз шешу үшін, мен, осы оқу құралын
дайындағанда мынадай мүмкіндіктерді пайдалануға тырыстым.
1. Пәннің әрбір тақырыбы - нақты процестердің матема-
тикалық моделі болатын қандайда бір математикалық есеп-
мәселені теориялық тұрғыдан зерттеуге және сол зерттеулерге
байланысты сандық сипаттамалар - нәтижелер алуға бағыт-
талған. Теориялық мәліметтерді жан-жақтан іздеп жатпас үшін, әр
тақырыпта, тақырып мазмұнына қажетті теориялық мәліметтер
қысқа түрде келтірілді. Ол материалдарды, мүмкіндігінше, мұқият
оқып, түсінуге және қолдана білуге тырысу қажет.
2. Пәннің әрбір тақырыбында - тақырып мазмұнына сәйкес
келетін қолданбалы есептердің жуық шешімдерін анықтау алго-
ритмдері келтірілген. Ғылым мен техниканың қандай саласы болма-
сын, сол салада қарастырылатын мәселеге, әсіресе математикалық
әдістерді қолданғанда, немқұрайлы қарауға болмайды. Ондағы
айтпағымыз: жуықтап есептеудің дәлдігіне баса назар аудару қажет -
демекпіз. Әрбір тақырыпта, біз, есептеу дәлдігіне мұқият назар
аударуға тырыстық.
3. Пәннің әрбір тақырыбында - тақырып мазмұнына сәйкес
келетін қолданбалы есептердің жуық шешімдерін анықтау алго-
ритмдерінің компьютерлік технология бойынша іске асырылу
жақтары келтірілген.
4. Біз бұл мәселені шешуде ең қарапайым, қолданыс өрісі кең,
көпшілікке танымал, қолданыстағы барлық дерлік компьютерлерде
орнатылған есептеу технологиясын пайдаландық. Ол - кестелік
процессор Excel есептеу ортасы. Оның артықшылығы мен кемші-
ліктерін пәнді оқу процесінде байқайсыңдар.
Мен оқу құралында мейлінше көп әдебиеттердің тізімін,
тақырыптар бойынша, келтіруге тырыстым. Ондағы ойым мынада
болатын.
Шындығына жүгінетін болсақ бүгінгі студенттердің ғылыми
жорналдарды айтпағанның өзінде, оқулықтардың өзін оқуға құлқыны
жоқ. Бірді-жарымы болмаса кітапхананың есігін ашпайды десек артық
болмас. Негізінде ғылымның жетістіктерінің барлығы дерлік - ұлы
ұстаздардың классикалық болып танылатын еңбектерінде жазы-
лып, сақталған. Ондай классикалық еңбектердің қатарына:
* Куроштың, Мальцевтің Жоғары алгебра бойынша оқулық-
тарын,
* Фихтенгольцтің үш томдық Дифференциалдық және инте-
гралдық есептеулер курсы трактатын,
* Ляпуновтың, Анри Пуанкаренің, Айнстың, Степановтың,
Еругиннің, Матвеевтің, Эльцгольстің, Понтрягиннің, Соломон Леф-
шестің, Филипп Хартманның, Андронов, Витт және Хайкиннің,
Энрико Камкенің, Малкиннің, Ламберто Чезаридің т.б. жазған
дифференциалдық теңдеулер бойынша ғылыми еңбектері мен
оқулықтарын,
* Березин мен Жидковтың Есептеу әдістеріне арнап жазған екі
томдық еңбегін; Демидовичтің, Самарскийдің, Самарский мен Гулин-
нің сандық әдістерге арнап жазған ғылыми еңбектері мен оқу-
лықтарын,
* Кошляковтың, Тихонов пен Самарскийдің математикалық
физика теңдеулеріне арнап жазылған оқулықтарын атап өтер едім.
Осындай ұлы ұстаздардың оқулықтарында теориялық та, олар-
дың қолданбалық та жақтары өте терең ашылып жазылған. Тізімде
келтірілген көптеген кітаптарды көрмек түгіл, олардың атауларын да
кейбіреулер естімеген де болуы мүмкін. Менің әдебиеттер тізімін
өзім білгенше кеңейтіп, келтіргенім - ғылымды өздігінен қуып,
үйренемін деген жастарға сілтеме болсын деген ой болатын. Ол ойым
іске жараса өте құба-құп болар еді.
Жаңа оқу жүйесі бойынша: оқытушы мен студенттің,
ұстаз бен шәкірттің терезесі тең болуы, яғни субъект -
субъект принципі сақталуы тиіс. Бұл принцип бойынша оқушы
білімді тек қана оқытушының айтқанымен, дайын күйінде қабылдап
қана қоймай, өздігінен, өзінің ақыл-ойымен, парасатымен, ынтасымен
оқып үйренуі тиіс. Мен бұл принципті өте орынды және өте қажетті
дүние - деп санаймын.
Негізгі мәселе: ол принципті қалай іске асыруға болады -
деген сұраққа келіп тіреледі.
Кредиттік технология жүйесінде бұл сұрақтың жауабы бар
сияқты. Онда: студенттердің өзіндік жұмыстарын жандандыру -
студенттердің білім алуға ынталығын асырады, өз тарапынан ізденіске
түседі делінген.
Ол үшін студенттерді білім беру процесінің негізі - дидак-
тикалық материалдар:
* теориялық білімді оқып, үйренетін және оны жетілдіретін
оқулық және оқу құралдарымен,
* теориялық білімді тиянақтауға қажетті машықтық және
зерттік жұмыстардың топтамаларымен,
* ақпараттық технологиялық материалдар: компьютерлік про-
граммалар, қолданбалы программалық дестелермен, элек-
трондық оқу құралдарымен т.т.
қамтамасыз ету қажет деп ойлаймын.
Бұл жөнінде, әсіресе кредиттік технологиялық оқыту жүйесіне
көшкелі бері, көптеген еңбектер жарияланған [63], [64], [65], [66], [67],
[68], [69], [70], [71], [72], [73], [74].
ПМПИ, Информатика кафедрасының оқытушылары, кафе-
драның оқу-әдістемелік жұмыс жоспары бойынша осы бағытта
кішігірім жұмыстар атқаруда. Оқу процесін қамтамасыз етуге
бағытталған кейбір оқу-әдістемелік жұмыстар институттың Ғылыми
баспасынан жарыққа шығып, оқу процесінде қолданысын тауып отыр.
Бұл жөнінде кафедрамыздың доценті Т.Қойбағарованың [71], [72]
жұмыстарын айта кету қажет. Бұл жұмыстар Павлодар өңіріндегі оқу
орындарында қолданысын тауып отыр. Сондай ақ кафедраның аға
оқытушысы, информатика магистрі Д.Абыкенова өзінің оқушы-
ларымен бірігіп [73], [74] оқу-әдістемелік құралды дайындап, баспа-
дан шығарды. Кафедрамыздың аға оқытушылары Р.Ельтинованың,
Ғ.Нұрғазинованың, Қ.Мұхамедиеваның, Л.Биболованың оқу проце-
сінің пәндерін дидактикалық материалдармен қамтамасыз етуге
бағытталған жұмыстары да баспадан шығуға дайын.
Сандық әдістердегі ақпараттық технология деп аталатын
дидактикалық оқу құралының келесі бөлімдері:
* Сандық әдістердің ақпараттық технологиясы. 2-бөлім.
Машықтануға арналған зерттік жұмыстар топтамасы.,
* Сандық әдістердің ақпараттық технологиясы. 3-бөлім.
Қолданбалы программалармен қамтамасыз ету., және
* Сандық әдістердің ақпараттық технологиясы. 4-бөлім. Оқу
процесін ұйымдастыру және білімді тексеру мен бағалау:
ағымдағы (БАОӨЖ), міндетті (БАӨЖ), межелік және ақтық
білім деңгейін тексеру
деп аталады.
Бұл материалдарды, әсіресе соңғы бөлімді, дайындауға кафе-
драмыздың доценті Т.Қойбағарова, аға оқытушы Л.Биболова, инфор-
матика магистрлері аға оқытушылар Д.Абыкенова, Д.Қабенов,
Ж.Көпеев, Қ.Құсманов, Х.Рүстемова, Г.Нұрғазинова, Қ.Мұхамедиева
және жоғары курстың студенттері мен кафедраның магистрлері
қатысуда.
Оқу құралында пәннің типтік бағдарламасында көрсетілген
барлық тақырыптар қарастырылған. Атап айтқанда:
* Сызықтық теңдеулер жүйелерін жуықтап шешудің сандық
әдістері; алгоритмдері, есептеу программалары;
* Сызықсыз емес теңдеулерді жуықтап шешудің сандық
әдістері; алгоритмдері, есептеу программалары;
* Функцияларды жуықтау мәселелері: аппроксимациялау мен
интерполяциялау алгоритмдері мен есептеу программалары;
* Эксперимент нәтижелерін талдаудағы эмпирикалық фор-
мулалар әдістері; функцияларды таңдау принциптері; есептеу
алгоритмдері;
* Сандық дифференциалдау мен интегралдау мәселелері;
алгоритмдері және есептеу программалары;
* Дифференциалдық теңдеулердің есептерін сандық әдістермен
шешу жолдары; алгоритмдері және есептеу программалары
сияқты тақырыптар қамтылған.
Әрбір тақырыпқа бір немесе бірнеше тапсырмалар берілген. Әр
тапсырманы орындауға қолданбалы әдістемелік нұсқау жазылған
және нақты мысалдар шығарылып көрсетілген. Тақырыптар бойынша
ұсынылған зерттік жұмыстың тапсырмаларының басым көпшілігін
өзіміз құрастырдық. Сонымен қатар кейбіреулерін қолданыстағы оқу-
әдістемелік құралдардан жинастырдық.
Біздің мақсатымыз: студенттердің, мүмкіндігінше, теориялық
материалдарды қолданыс тұрғысынан тереңірек игеруіне септігімізді
тигізу және мәселелерді шешуде ақпараттық технологияны кеңінен
пайдалану жақтарымен таныстыру - болып саналады.
Оқу құралының материалдары соңғы 4-5 жыл көлемінде ПМПИ,
ПМУ және ИнЕУ студенттік аудиторияларында аппробациядан өткен.
Соның нәтижесінде бұл жұмыс жарыққа шығып отыр.
Оқытушы қауымға оқу-құралын қолдануына үлкен бостандық
бар. Есептерді шешу алгоритмдерін таңдау, есептеу алгоритмінің
программасын өзіңіз білетін программалу тілінде (Basic, Pascal, С++,
Delphi т.т.) жазуыңыз, немесе MathCAD, MatLab, Mathematika,
Maple, Derive, Excel сияқты дайын программалар дестелерін қол-
дануыңыз - Сіздің құқығыңызда. Тек пайдалы болса, қажеттігіңізді
қанағаттандырса, студенттер түсініп, жақсылап қарсы алса - ол Бізге
үлкен жетістік болып саналады.
Жұмысыма пікір жазған әріптестерім, профессорлар Мағзұм
Мұқтаров және Әсен Асaнбаевқа үлкен алғысымды білдіремін.
Жұмыстың кемшіліктері бар болуы тиіс, онсыз жұмыстың мәні
кетеді. Сондықтан, байқаған кемшіліктеріді: Павлодар қаласы,
ПМПИ, Информатика кафедрасына жолдасаңыздар екен.
Автор
1 СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРАНЫҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ
Сызықтық алгебрада қарастырылатын мәселелердің теориялық
тұжырымдамаларын [1], [2], [3], [4] ғылыми еңбектерден тереңірек
оқып, үйренуге болады. Қазақ тілінде шыққан оқулық ретінде [44], ал
силлабустық құрал ретінде [45] жұмыстарды ұсынамыз.
Сызықтық алгебраның сандық әдістері деп
* анықтауыштарды есептеуде,
* сызықтық теңдеулер жүйесін жуықтап шешуде,
* кері матрицаны анықтаудауда,
* сызықтық түрлендірулердің өзіндік мәндері мен өзіндік
векторларын анықтауда
және алгебраның басқа да мәселелерін шешуде қолданылатын
математикалық әдістерді айтады.
Сандық тәсілдердің Сызықтық алгебра проблемаларын
шешудегі рөлі мен қолданысы [5], [6], [7], [8], [9], [10] т.б. еңбектерде
толығырақ айтылған. Есептеу қиындықтарының негіздемесін [7]
еңбектен табуға болды. Бірақ ол студенттер үшін өте ауыр оқулық
болып саналады.
Біздің мақсатымыз:
* сызықтық алгебраның жоғарыда аталған мәселелерінің
қысқаша теориялық негіздемелерін келтіріп, онымен
оқырманды таныстыру;
* нақты процестер жағдайында, сол аталған мәселелердің,
математикалық моделдерін жасап көрсету;
* математикалық модел - процесті сипаттайтын мате-
матикалық қандайда бір есеп; есепті жуықтап шешудің
математикалық әдістерімен және шешу алгоритм-
дерімен таныстыру;
* алгоритмдер бойынша программалар құрып, ДК (дербес
компьютер) пайдаланып есептің жуық шешімдерін
есептеуді үйрету
болып саналады.
1.1 Анықтауыштар және оларды есептеудің сандық әдістері
Сандық әдістерді қолданатын математиканың барлық
салаларында анықтауыштарды есептей білу қажеттілігі кездеседі.
Анықтауыштарды есептей білу - математиканың көптеген есептерін
шеше білу дегенмен бара-бар. Сондықтан біз, ең әуелі,
анықтауыштардың анықтамасын береміз [1], [2], [3], [4], [40], [41].
1.1-анықтама Екінші және үшінші ретті анықтауыштар деп
мынадай формулалар арқылы есептелінетін шамаларды айтады:
∣
a11 a12
a 21 a22
∣= a11⋅a22−a12⋅a21 .
∣
a11 a12 a13
a 21 a22 a23
a31 a32 a33
∣ = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) - (a11 a23 a32
+
+ a12 a21 a33 + a13 a22 a31 ). (1.1.1)
Ал n-ретті анықтауыш деп
∣
a11 a12 . . . a1n
a 21 a22 . . . a2n
. .. . .. . . . .. .
a n1 an2 . . . ann
∣ = Σ
k1 , k2 ,.. ., k n
−1 τ a1k1
⋅a2k 2
. .. .⋅ankn (1.1.2)
өрнек бойынша есептелінетін шаманы айтамыз.
Кез келген п-ретті анықтауышты есептегенде төменгі ретті
анықтауыштардың қосындыларына жіктейді. Осылайша жіктей
отырып, оны үшінші ретті анықтауыштардың қосындыларына дейін
жеткізуге болады. Бұл әдіс математика тілінде рекурренттік әдіс деп
аталады. Бірақ анықтауыштарды бұл әдістің өзімен де есептеу тиімді
емес. Өйткені жоғарыдағы әдістердің қайсы бірін қолданып есептеген-
нің өзінде, шамамен N . n33 арифметикалық амал жасауға тура
келеді екен [7], [8].
Компьютерлерді қолданып анықтауыштарды есептеудің ең
оңтайлы жолдарының бірі - Жордан-Гаусс әдісі болып саналады. Бұл
әдісті кейде триангуляция немесе жоғарғы үшбұрышқа келтіру
әдісі деп те атайды.
Бұл әдістердің MatCAD [55], MatLAB [56], Mathematika [57],
Maple [58] немесе Excel [59] т.б. орталарда жазылған есептеуіш
программалық дестелері бар. Бірақ, оқушы, әдістің мағынасын
түсініп, оны кез келген жағдайда қолдана білуі үшін триангуляция
әдісінің қолданысын Excel кестелік ортада көрсетуді дұрыс деп
санаймын.
Әдістің алгортимі
1-әрекет. Excelді ашамыз және оның төркөздеріне берілген п-
ретті анықтауыштың элементтерін енгіземіз.
Оның бірінші тік жол элементтерінің арасынан абсолют шамасы
жағынан ең үлкенін таңдаймыз. Айталық ол элемент a1k болсын, яғни
max{∣a1j∣}
1= j=n
=∣a1k∣ .
a1k элемент - жетекші элемент деп аталады.
2-әрекет. Анықтауыштың бірінші жатық жолы мен k-шы жатық
жолдарының орындарын ауыстырып жазамыз. Ол үшін анықтауыш
жазылған кестелердің соңғы жолының арасынан бір қатар қалдырып,
сол жолға к - сы қатарды көшіріп жазса жеткілікті. Бұл жаңадан
алынатын анықтауыштың бірінші жатық жолы болады. Осы жолды
пайдаланып оның келесі жолдарының бірінші элементтерін нөлге
айналдырамыз. Ол үшін келесі жолдарға мынадай формуланы қол-
данса жеткілікті:
= Ai1 - A11 * $A$i1 $A$11 ; i = 2, 3, ..., n;
Нәтижеде мынадай анықтауышты аламыз:
A = ∣
a11 a12 .. . a1n
0 a22
1 .. . a2n
1
. .. .. . .. . .. .
0 an2
1 .. . ann
1
∣ .
Анықтауыштардың қасиеті бойынша жаңадан алынған анық-
тауыштың мәні алғашқы анықтауыштың мәніне кері таңбамен тең
болады.
Бастапқы анықтауыштың мәнін есептегенде осы жағдайды
ескеру - өте қажет.
Жоғарғы (1)-индекстері бар элементтермен шектелген (п - 1)-
ретті анықтауыш - қысқартылған анықтауыш деп аталады.
3-әрекет. Қысқартылған анықтауышқа алғашқы екі әрекетті
қайталаймыз. Осы процесс анықтауыштың ең соңғы жатық жолына
жеткенге дейін қайталана береді. Ең соңында мынадай анықтауышты
аламыз:
A = ∣
a11 a12 a13 .. . a1 n−1 a1n
0 a22
1 a23
1 .. . a2 n−1
1 a2n
1
0 0 a33
2 .. . a3 n−1
2 a3n
2
. .. .. . .. . .. . . .. .. .
0 0 0 .. . a n−1 n−1
n−2 an−1 n
n−2
0 0 0 .. . 0 ann
n−1
∣ .
Бұл жоғарғы үшбұрышты анықтауыш. Оның мәні бас диа-
гоналдің бойында орналасқан элементтердің көбейтіндісіне тең
болады, яғни
A = (-1) r a11⋅a22
1 ⋅a33
2 ⋅. ..⋅an−1 n−1
n−2 ⋅ann
n−1 . (1.1.3)
(1.1.3)-формуладағы r - есептеу процесі кезіндегі жатық жол-
дардың орын алмастырулар саны.
Бірнеше ескертулер
1.1.1-ескерту. Анықтауыштардың жолдарын ауыстырған сайын
оның таңбасы өзгеріп отырады. Берілген анықтауыштың мәнін есеп-
тегенде осы жағдайды ескеріп отыру қажет.
1.1.2-ескерту. Триангуляция әдісінде бөлу амалы үнемі қол-
данылады. Сондықтан, дөңгелектеу нәтижесінде машиналық қате-
ліктер жинақталуы анық. Жоғарыда келтірілген жетекші эле-
ментті таңдау әдісі - осындай қателіктерді кеміту мақсатында
қолданылады.
1.1-мысал. Мынадай анықтауышты
A = ∣
2.34 −4. 21 −11. 61
8 .04 5 . 22 0 . 27
3 .92 −7. 99 8. 37
∣
(1.1.1)-формуламен және триангуляция әдісімен есептеп, нәтижелерін
салыстырайық.
Екі әдістің Excelдегі есептеуі төмендегі кестеде келтірілген.
1.1.1-кесте. Анықтауышты есептеу
Берілген анықтауышты
(1.1.1)-формуламен есептеу.
2,34 -4,21 -11,61
8,04 5,22 0,27
3,92 -7,99 8,37
Нәтиже:
1369,531422
Осы анықтауышты триангуляция
әдісімен есептеу.
1, 2-әрекетті орындаймыз.
Mакс.элемент а21 = 8,04
8,04 5,22 0,27
0 -5,729 -11,69
0 -10,54 8,2384
3-әрекетті орындаймыз.
Макс.элемент -10,54
8,04 5,22 0,27
0 -10,54 8,2384
0 0 -16,17
Жатық жолдарды екі рет орындарын
алмастырдық. Сондықтан есептеу
нәтижесінің таңбасы өзгермейді.
Нәтиже:
1369,531422
Екі жағдайда да нәтиже бірдей болды. Бірақ жоғарыда кел-
тірілген ескертулерді анықтауыштарды есептеуде үнемі есте ұстаған
дұрыс болады.
1.2 Cызықтық теңдеулер жүйесіне қысқаша шолу Сызық-
тық теңдеулер жүйесінің (СТЖ) теориялық негіздемелері және оның
қолданыстары - Алгебра пәнінің Сызықтық алгебра тарауында
қарастырылады [1], [2], [3], [4], [5].
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (СТЖ) деп -
құрамында n белгісізі бар, m сызықтық теңдеулерден тұратын мына-
дай
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... , (1.2.1)
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm.
жүйені айтады.
Жалпы жағдайда жүйенің белгісіздері мен теңдеулерінің саны
тең болуы шарт емес, яғни m!=n болуы мүмкін. Дегенменде, қолда-
ныс өрісінде m n және m = n жағдайлары жиі кездеседі.
x1 , x2 , ..., xn - жүйенің белгісіздері, ал aij (i = 1, 2, ..., n; j
= 1, 2, ..., m) - жүйенің коэффициенттері деп аталады.
Жүйе белгісіздерінің және оның коэффициенттерінің процес-
стерді моделдеу жағдайында нақты мағыналары болады.
Көптеген нақты процестердің математикалық моделдері, сон-
дай ақ, моделдік математикалық теңдеулерді сандық әдістермен шеш-
кенде, біз, сызықтық алгебралық теңдеулерді шешу мәселесіне тіре-
леміз [6], [8], [9], [10], [12] [44], [45]. Сондықтан СТЖ теориясын
оқып, оның қолданысын үйрену: өте қажетті мәселе - деп есеп-
теймін.
Матрицалық
A = a11 a12 . . . a 1n
a21 a22 . . . a2n
. .. .. . . . . .. .
am1 am2 . . . amn , X = x1
x2
. ..
x n , B = b1
b2
. ..
bm
белгілеулерді енгізіп, (1.2.1)-сызықтық теңдеулер жүйесін, қысқаша,
векторлық-матрицалық түрде, былайша жазуға болады:
А Х = В.
(1.2.1)-жүйе белгісіздерінің қандайда бір
x1 = x1*, x2 = x2*, ... , xn = xn* (1.2.2)
мәндерінде
a11 x1* + a12 x2* + ... + a1n xn* . b1,
a21 x1* + a22 x2* + ... + a2n xn* . b2,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ,
am1 x1* + am2 x2* + ... + amn xn* . bm.
тепе-теңдіктер орындалса, онда (1.2.2)-мәндер - жүйенің шешімі деп
аталады.
Жүйенің шешімін векторлық-матрицалық түрде былайша
белгілейміз:
(X *)T
= ( x1 , x2 , ..., xn ) = (x1*, x2*, ..., xn*), (1.2.3)
бұл арадағы (Т) - матрицаны аудару (транспонирлеу) белгісі [1], [44],
[45].
СТЖ-не байланысты:
1. (1.2.1)-жүйенің шешімі бар ма,
2. шешімі болған жағдайда ол шешімді қалай анықтаймыз
деген сұрақтар туындайды.
Біз осы сұрақтарға жауап беруге тырысамыз.
Бірінші сұрақтың жаубын:
* жүйенің бір ғана шешімі болуы мүмкін,
* жүйенің шексіз көп шешімі болуы мүмкін,
* жүйенің бірде-бір шешімі болмауы мүмкін
деп қорытындылауға болады.
Шешімі болған жағдайда жүйе үйлесімді, ал шешімі
болмаған жағдайда - үйлесімсіз деп аталады.
Нақты процесті сипаттайтын СТЖ-і - үнемі үйлесімді болуы
тиіс .
Жүйенің ең кем дегенде бір шешімінің бар болуы төменде
келтірілген Кронекер-Капелли теоремасында дәлелденген [1], [2], [44],
[45].
Кронекер-Капелли теоремасы (1.2.1)-жүйенің ең кем дегенде
бір шешімі болуы үшін жүйе матрицасының рангі оның кеңейтілген
матрицасының рангіне тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни
rang (A) = rang( A' ).
Біз СТЖ-ің m = n болған жағдайын ғана қарастырамыз. Осыған
орай, жүйенің бір ғана шешімінің бар болуының жеткілікті
шартын былайша тұжырымдауға болады:
Шаршылы, яғни m = n жағдайында, СТЖ-ің бір ғана шешімі
болуы үшін жүйе матрицасының анықтауышы нөлден ерекше
болуы жеткілікті, яғни
A = det(A) . 0.
(1.2.1)-жүйенің кеңейтілген матрицасы деп мынадай
A'=a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
.. . .. . . . . .. . . ..
a m1 am2 . . . amn bm
матрицаны айтады.
Демек, жүйенің кеңейтілген матрицасын алу үшін жүйе мати-
рцасына, қосымша тік жол ретінде, жүйенің бос мүшелерін тіркеп
жазсақ, жеткілікті болғаны.
СТЖ-ін шешу әдістері екі топқа бөлінеді.
Бірінші топқа:
* анықтауыштарды қолданатын Крамер,
* белгісіздерді біртіндеп жоятын Жордан-Гаусс,
* қумалау,
әдістері,
ал екінші топқа
* итерациялық деп аталатын
әдіс жатады.
Жүйе белгісіздерінің саны 102 артық болмаса жүйені шешуге
Жордан-Гаусс әдісін, ал жүйе белгісіздерінің саны 102 артық (106
дейінгі аралықта) болған жағдайда итерациялық әдісті пайдаланып,
оларға ЭЕМ-ларын қолданған тиімді болады [7], [8], [9].
Қумалау әдісі сызықтық теңдеулер жүйесінің өте маңызды
дербес бір жағдайында, жүйе матрицасы үш диагоналды болғанда,
қолданылады [6], [8], [9], [10]. Бұл әдіс қолданбалы математиканың
көптеген салаларында кеңінен қолданысын тапқанымен ғылыми
әдебиеттерде әдісті жариялап, оны дәріптеуге көп көңіл бөлінбеген
сияқты. Бірақ мен: қазақ тіліндегі бірде-бір басылымда бұл әдісті
түсіндіріп, сипаттайтын мақаланың немесе оқу құралының арнаулы
тақырыбы жоқтығын білемін. Сондықтан бұл тақырыпты мен арнаулы
тақырып ретінде бөліп қарастырдым.
1.3 СТЖ жуықтап шешудің жетекші элементті таңдауға
негіздел-ген Жордан-Гаусс әдісі Әдістің қолдануын ұғыну үшін үш
белгісізді теңдеулер жүйесін
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b3 , (1.3.1)
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 .
қарастырсақ жеткілікті (алдыңғы жақта бұл жүйені - n белгісізді
СТЖ деп ұғынатын боламыз).
Егер (n x n) , (n x 1) және (n x 1) өлшемді
A = a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. .. .. . . . . .. .
a n1 a n2 . . . ann , B = b1
b2
. ..
bn , X = x1
x2
. ..
x n
матрицаларды енгізсек, онда СТЖ қысқаша былайша жазуға болады:
A X = B . (1.3.2)
Біз (1.3.1)-жүйенің, ал жалпы жағдайда, (1.3.2)-жүйенің тек
бір ғана шешімі бар - деп есептейміз.
(1.3.1)-жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып аламыз
A' = a11 a12 a13 b1
a21 a22 a 23 b2
a31 a32 a33 b3 . (1.3.3)
Жордан-Гаусс алгоритмінің (әдісінің) бастамасы.
1-әрекет. (1.3.3)-матрицаның бірінші тік жол элементтерінің
арасынан абсолют шамасы бойынша ең үлкенін анықтаймыз. Айталық
ол а31 элемент болсын, яғни
max ∣a11∣, ∣a21∣, ∣a31∣ =∣a31∣ .
1.3.1-ескерту. Егер бірінші жатық жолдың а11 элементі
абсолют шамасы жағынан ең үлкені болса, онда бірден 2-әрекетке
көшеміз.
2-әрекет. (1.3.3)-матрицаның бірінші жатық жолы мен үшінші
жатық жолының орындарын ауыстырып жазамыз, яғни кеңей-
тілген матрицада қарапайым түрлендіру амалын орындаймыз [1],
[2], [44], [45]. Жаңадан пайда болған матрицаны қайтадан (1.3.3)-деп
белгілейіміз.
Бұл әрекетті - Жордан-Гаусс әдісіндегі жетекші
элементті анықтау кезеңі деп атайды.
Түрлендіру нәтижесінде алынған кеңейтілген матрицаның
а11 элементі міндетті түрде нөлден ерекше болады, яғни a11 != 0
(неге ?).
Жордан-Гаусс алгоритмімен танысу үшін алғашқы екі
әрекет орындалды - деп есептейміз.
3-әрекет. Жаңадан алынған кеңейтілген (1.3.3)-матрицаның
бірінші жатық жолының барлық элементтерін a11 != 0 элементке
бөлеміз (бұл да қарапайым түрлендірулердің қатарына жатады).
Нәтижеде кеңейтілген матрица мынадай түрге енеді:
A' =1 a12
1 a13
1 b1 1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3 . (1.3.4)
Бұл матрицадағы: a1k
1 =a1k a11 , k =2, 3; b1
1=b1 a11 .
4-әрекет. (1.3.4)-матрицаның бірінші жатық жолының барлық
элементтерін, ойша а21 санға көбейтіп, нәтижелерін екінші жатық
жолдың сәйкес элементтерінен шегереміз. Дәл осылайша, (1.3.4)-
матрицаның бірінші жатық жолының барлық элементтерін, ойша
а31 санға көбейтіп, нәтижелерін үшінші жатық жолдың сәйкес эле-
менттерінен шегереміз (бұл да қарапайым түрлендірулердің қата-
рына жатады).
Бұл әрекеттегі мақсат - бірінші тік жолдың (21) және
(31) ұяшықтағы мәндерін нөлге айналдыру болып табылады.
Нәтижеде түрленген жаңа кеңейтілген матрицаны аламыз:
A' = 1 a12
1 a13
1 b1 1
0 a22
1 a23
1 b2 1
0 a32
1 a33
1 b3 1 . (1.3.4)
Бұл матрицадағы:
aik
1 =aik−a1k
1⋅ai1 , bi
1=bi−b1 1 ⋅ai1 ; i = 2, 3 ; k = 2, 3.
Егер осы (1.3.4)-матрицаны пайдаланып, (1.3.1)-теңдеулер жүйе-
сін қайтадан жазып шықсақ, онда ол жүйе құрамының екінші және
үшінші теңдеулерінде х1 белгісіздің болмайтынын байқаймыз.
Сондықтан 4-әрекетті: жүйеден белгісіздерді біртіндеп
жою әрекеті - деп атайды.
(1.3.5)-матрицаның екінші және үшінші жатық жолдарына
сәйкес келетін теңдеулер жүйесін қысқартылған жүйе - деп
атаймыз. Ол жүйеннің матрицасы - (1.3.5)-матрицаның бөлікті сызы-
ғының астында жатыр.
5-әрекет. Қысқартылған жүйеге жоғарыдағы 1, 2, 3, 4 әрекет-
терді қайталаймыз.
Осындай қайталаулардан кейін жүйенің кеңейтілген матрицасы
мынадай түрге енеді:
A' =1 a12
1 a13
1 b1 1
0 1 a23
2 b2
2
0 0 a33
3 b3 3 . (1.3.6)
Жордан-Гаусс әдісінің аяқтамасы. (1.3.6)-матрицаның соңғы
жолы бойынша:
x3 . =b3
3a33
3
мәнді анықтаймыз.
1.3.2-ескерту Егер осы арада b3
( 3 ) . 0 , ал a33
3 = 0 болса, онда
СТЖ-ің бірде бір шешімі болмайды. Бұл жағдайда жүйе үйлесімсіз
деп аталады. Ал егер b3
( 3 ) = 0 және a33
3 = 0 болса онда жүйенің
шексіз көп шешімі болады [1] - [6].
x*34 анықталғанан соң, (1.3.6)-матрицаның екінші жатық жолы
бойынша:
x2 . =b2
2 −a 23
2⋅x4 . ,
ал бірінші жатық жолы бойынша:
x1 . =b1 1 −a12
1⋅x2 . −a13
1⋅x3 .
мәндерді есептейміз.
Бұл мәндерді есептеу жағдайында бөлу амалдары орындал-
ғандықтан, ол мәндер жуық түрде анықталады. Осыған байланысты,
жоғарыда анықталған
x(1) = ( x1*, x2*, x3* )
векторды - СТЖ-нің бірінші жуық шешімі деп атайды.
1.3-мысал Әдістің қолдануын көрсетуге мысал. Сызықтық
теңдеулер
2.34 x1 - 4.21 x2 - 11.61 x3 = 14.41,
8.04 x1 + 5.22x2 +0.27 x3 = - 6.44, (1.3.7)
3.92 x1 - 7.99 x2 + 8.37 x3 = 55.56.
жүйесіне Жордан-Гаустың жетекші элементті анықтау әдісін қолда-
нып, жуық шешімін анықтайық.
Жүйенің бас анықтауышы нөлге тең емес (оны тексеріңіздер).
Сондықтан бұл жүйенің шешімін анықтауға Жордан-Гаусс әдісін
қолдануға болады.
Есепті шешуге аспаптық құрал Ехсеl программалық ортаны
қолдандық.
1.3-кесте Жордан-Гаусс әдісі
Сызықтық теңдеулер жүйесін Жордан-Гаусс әдісімен
шешу
Әдістің бастамасы
х1 х2 х3 b
2,34 -4,21 -11,61 14,41
8,04 5,22 0,27 -6,44
3,92 -7,99 8,37 55,56
1) 1-тік жол элементтерінің арасынан абсолют
шамасы жағынан ең үлкенін анықтаймыз:
max{2,34; 8,04; 3,92} = a21 = 8,04.
2 және 1-теңдеулердің орындарын алмастырып
жазамыз
1-
әрекет
8,04 5,22 0,27 -6,44
2,34 -4,21 -11,61 14,41
3,92 -7,99 8,37 55,56
2) 1-жатық жолдың барлық элементтерін
а11 = 8,04-ге бөлу
2-
әрекет
1 0,649254 0,033582 -0,801
2,34 -4,21 -11,61 14,41
3,92 -7,99 8,37 55,56
3) 1-тік жолдың а21 және а31 элементтерін нөлдеу
3-
әрекет
1 0,649254 0,033582 -0,801
0 -5,72925 -11,6886 16,28433
0 -10,5351 8,238358 58,6999
4) Қысқартылған жүйеге жоғарыдағы әрекеттерді
қайталаймыз.
max{-5,72925; -10,5351} = a32 = 10,5351.
2 және 3-теңдеулердің орындарын алмастырып
жазамыз
4-
әрекет
1 0,649254 0,033582 -0,801
0 -10,5351 8,238358 58,6999
0 -5,72925 -11,6886 16,28433
5) 2-жатық жолдың барлық элементтерін
а22 = -10,5351-ге бөлеміз.
5-
әрекет
1 0,649254 0,033582 -0,801
0 1 -0,78199 -5,57185
0 -5,72925 -11,6886 16,28433
6) 2-тік жолдың а32 элементін нөлдеу
6-
әрекет
1 0,649254 0,033582 -0,801
0 1 -0,78199 -5,57185
0 0 -16,1688 -15,6382
Әдістің аяқтамасы
3-теңдеуден
х3 = 0,967185
2-теңдеуден
х2 = -4,81552
1-теңдеуден
х1 = 2,29302
1
Сонымен жүйенің бірінші жуық шешімі
х1 = 2,293021
х2 = -4,81552
х3 = 0,967185
Жордан-Гаусс әдісін қолданып СТЖ-ін жуықтап шешкенде
шамамен
N=n⋅ n23n−1 3
арифметикалық амалдар орындалады екен [8, 54-б.]. Көбейту және
бөлу амалдары үнемі қолданылғандықтан машиналық дөңгелектеу
қателіктері жинақтала бастайды.
Осындай қателіктерді кеміту үшін жоғарыда баяндалған
жетекші элементті анықтау әдісі қолдануы тиіс.
1.4 Қателік. Іліспеулік. Түзетулер еңгізу. Қолданбалы мате-
матика тұрғысынан қарағанда (1.3.2)-жүйе - нақты процестің мате-
матикалық моделі болып саналады. Сондықтан, процестің моделі -
СТЖ-ің жуық шешімін анықтау жағдайында оған арнаулы талап
қойылады.
Ол талап дәлдік деп аталады.
Процесс талабын орындау үшін әртүрлі шаралар жаса-
лынады. Бұл тақырыпшада біз сондай шаралардың бірімен таныса-
мыз.
n өлшемді (1.3.2)-СТЖ-ің дәл шешімі X = ( x1, x2 ,..., xn)T, ал
X(1) = ( x1
(1), x2
(1), ..., xn
(1) )T - Жордан-Гаусс әдісімен есептелінген бір-
інші жуық шешімі болсын (мұндағы Т - матрицаны транспонир-леу
белгісі).
Дәл Х және жуық Х(1) шешімдердің айырымын
д(Х) = Х - Х(1)
ауытқу деп атайды.
Аытқу нормасын1
д(Х) = X - X(1) = max
1=k=n { xk - xk
(1) }
қателік дейді.
Түсіндіру. n өлшемді кеңістіктің x = (x1 , x2 ,..., xn), y = (y1 , y2 ,
..., yn) нүктелерінің ара қашықтығын әртүрлі әдіспен өлшеуге болады.
Ара қашықтық өлшеуішін метрика дейді. Іс жүзінде төмендегідей
метрикалар кеңінен қолданылады [11]:
a) d (x, y) = max
1=i=n
∣xi−yi∣ ;
b) d (x, y) = Σi
=1
n
∣xi−yi∣ ; (1.4.1)
c) d (x, y) = Σi
=1
n
xi−yi 2 ;
Қателікке қойылатын талапты дәлдік деп атайды.
Қателік дәлдігі ε 0 - процесс мақсатына байланысты, алдын
ала берілуі тиіс. Осыған орай
д(Х) = X - X(1) = ε 0 . ε
1 Норма ұғымын, оның түрлерін, мәселен [11]-оқулықтан қарауға болады.
шарт орындалған жағдайда есептеу дәлдігі орындалды - деп айта-
ды.
Есептеу дәлдігіне жету шараларының бірі - түзетулер еңгізу
болып саналады.
Түзетулер былайша еңгізіледі.
Айталық, жоғарыда қарастырылған (1.3.7)-жүйенің бірінші
жуық шешімін үшінші разрядқа дейін дөңгелектеп, бірінші жуық
шешімді былайша анықтайық:
X(1) = (x1
(1), x2
(1), x3
(1) )Т = (2.293 , - 4.816 , 0.967 )Т.
Осы жуық шешімді жүйеге қойып, нәтижесін есептейік:
2.34*2.293 - 4.21*(-4.816) - 11.61*0.967 = 14.41411,
8.04*2.293 + 5.22*(-4.816) + 0.27*0.967 = - 6.44271,
3.92*2.293 - 7.99*(-4.816) + 8.37*0.967 = 55.56219.
Осы теңдіктің оң жағы жуық Х(1) шешімге сәйкес келетін
B(1) = 14 . 41411
−6. 44271
55 .56219
матрицаны анықтайды. Демек Х(1) шешімді
2.34 x1 - 4.21 x2 - 11.61 x3 = 14.41411,
80.04 x1 + 5.22x2 +0.27 x3 = - 6.44271,
3.92 x1 - 7.99 x2 + 8.37 x3 = 55.56219.
сызықтық теңдеулер жүйесінің, немесе матрицалық түрде жазылған
А Х = В(1) (1.4.2)
жүйенің дәл шешімі деп атауға болады.
B және B(1) матрицалардың айырымының нормасын2 , яғни
д(B) = B - B(1) = max
1=k=n { bk - bk
(1) } =δ
2 Матрица нормасының ұғымын, оның түрлерін, мәселен [11] оқулықтан
қарауға болады.
шаманы іліспеулік дейді.
Қарастырылып отырған мысал жағдайында іліспеулік шамасы
14.41 - 14.41411 = 0.00411,
- 6.44 - ( - 6.44271) = 0.00271,
55.56 - 55.56219 = 0.00219,
B - B(1) = max{ 0.00411; 0.00271; 0.00219. } = 0.00411 = δ 0.
Байқағанымыздай, іліспеулік шамасы δ онша үлкен емес. Бірақ
онан: дәл және жуық шешімдердің айырымы: қателік үлкен бол-
майды - деген тұжырым шықпауы тиіс. Неге?
Жоғарыда аталып өткендей, (1.3.2)-жүйе - ол қандайда бір нақ-
ты процестің математикалық моделі, яғни математикалық есеп
болып саналады.
Әрбір математикалық есепке арнаулы талап қойылады. Ол талап
қисындылық деп аталады.
Егер математикалық есептің жалғыз ғана шешімі бар
болып және ол шешім есептің берілгендерінен үздіксіз тәуелді болса,
онда мәселе - қисынды қойылған деп аталады.
Есептің шешімінің бар және оның жалғыз болу шартын 1.2.2-
теоремада келтірдік.
Ал енді: шешім есептің берілгендерінен үздіксіз тәуелді ... -
деген талапты қалай түсіну керек?
Ол талап мынадай: нақты процесті моделдеу жағдайында
(1.3.2)-жүйенің оң жағы В матрицаны дәл анықтап беру өте қиын. Ол
көп жағдайда жуықтап анықталады. Соған байланысты (1.3.2)-жүйе-
нің орнына
A X = B*
жүйе қарастырылуы мүмкін.
Айталық бұл жүйенің шешімі Х* болсын.
Егер кез келген В және В* жағдайында
X - X* = δ (X) . M δ (B) = М B - B*
(1.4.3)
теңсіздік орындалса, онда (1.3.2)-жүйе - жүйенің бос мүшелері (оң
жағы) бойынша орнықты - деп аталады.
Бұл арадағы М - жүйенің оң жақтарынан, яғни В мен В* дан
тәуелсіз, тұрақты оң сан ( М 0 ).
(1.4.3)-бағалау - жүйе шешімнің жүйенің оң жағынан
үздіксіз тәуелділігін көрсетеді.
Шындығында, егер (1.4.3)-теңсіздікте δ (B) шама нөлге
ұмтылса, яғни δ (B) 0 орындалса, онда
δ (Х) 0
болатыны анық.
Теорема 1.4 Егер жүйе матрицасының анықтауышы A нөл-
ден ерекше болса, онда (1.3.2)-жүйе жүйенің оң жағынан үздіксіз
тәуелді болады.
Шындығында А Х = B және A X* = B* теңдіктерден
А (д(Х)) = A(X - X*) = A(X) - A(X*) = B - B* = д (В)
теңдікті аламыз. Содықтан
д(Х) = А-1( д(В)) д(Х) . А-1 д(В) , (1.4.4)
яғни (1.4.3)-теңсіздік М = A-1 тұрақтымен орындалады.
Егер жүйе матрицасының анықтауышы A өте аз шама болса,
онда кері А-1 матрицаның анықтауышы A-1 өте үлкен шама болады.
Сондықтан, (1.4.4)-теңсіздікке сәйкес:
( д(В)) іліспеулік өте аз шама болғанымен д(Х)
қателіктің аз шама болуы шарт емес
деген тұжырымды аламыз.
Біз бұл тұжырымды нақты мысал арқылы түсіндірейік [5, 48-б].
1.4-мысал. Төмендегідей екі жүйе берілсін:
A X = B { x1 x2=2,
x11. 0001⋅x 2=2 .0001 ; (1.4.5)
A X = B* { x1 x2=2,
x11. 0001⋅x 2=2 .0002 ; (1.4.6)
Олар бос мүшелерімен ғана айырмашылық жасайтын жүйелер.
Іліспеулікті есептейік:
д(В) = B - B* = max { bk - bk
(1) } = max { 0; 0.0001} = 0.0001.
Бұл жеткілікті аз шама.
Енді теңдеулердің шешімдеріне назар аударайық. (1.4.3)-
теңдеудің дәл шешімі: Х = (1; 1)Т , ал (1.4.4)-теңдеудің дәл шешімі:
Х* = (0; 2)Т . Оны оңай тексеруге болады. Қателікті есептейік:
X - X* = max { xk - xk
(1) } = 1.
Осыдан, қателіктің кіші шама болмағанын байқаймыз. Өйткені жүйе
матри-цасының анықтауышы:
A = ∣1 1
1 1 .0001∣ = 1.0001 - 1 = 0.0001
өте аз шама.
Керісінше, егер қателік аз шама болса, онда іліспеулік
те аз шама болады [7] - [10].
n өлшемді (1.3.2)-жүйенің Жордан-Гаусс әдісімен анықталған
бірінші жуық шешімі Х(1) болсын. Ол шешімді (1.3.2)-жүйеге қойып
В(1) матрицаны есептейміз. Бұл жағдайда Х(1) - (1.4.2)-жүйенің дәл
шешімі болады, яғни:
АХ(1) . В(1).
(1.3.2)-жүйеден осы тепе-теңдікті шегеріп
АХ - АХ(1) = А(Х - Х(1) ) = B - B(1)
және (Х - Х(1) ) = Y, (B - B(1) ) = C белгілеулерді еңгізсек, онда
жоғары-дағы теңдеуді былайша жазауға болады
A Y = C. (1.4.7)
(1.4.7)-жүйе - (1.3.2)-жүйеден бос мүшелері бойынша ғана
айырмашылық жасайды. Ол жүйені Жордан-Гаусс әдісімен шешіп,
оның бірінші жуық Y(1) шешімін анықтаймыз.
Y(1) шешім - бастапқы жуық Х(1) шешімге енгізілген түзету
деп аталады. Шындығында, белгілеуге сәйкес
Х - Х(1) = Y(1) ⇒ Х = Х(1) + Y(1) = X(2) .
Түзету енгізілген Х(2) шешімді - екінші жуық шешім деп атай-
мыз.
Жоғарыдағы теңдіктерге сәйкес, егер
Х - Х(1) = Y(1) = ε0=ε
шарт орындалса, онда Х(2) жуық шешім - берілген ε дәлдікті қана-
ғаттандыратын жуық шешім деп аталады.
Дәлдік орындалмаған жағдайда В(2) = A X(2) есептелініп, (1.4.7)-
жүйеде
С = B - B(2) = C(1)
деп қабылданып, екінші Y(2) түзетуші шешімді анықтаймыз. Міне осы
процесс
Х - Х(k) = Y(k) = ε0=ε , k = 1, 2, 3, ...;
шарт орындалғанға дейін қайталана беруі тиіс.
Түзету енгізуге мысал (1.3.7)-жүйенің Х(1) жуық шешіміне
түзету еңгізейік. Ол үшін әуелі С матрицаны есептейміз:
C = B - B(1) = 14. 41
−6 . 44
55.56 - 14 . 41411
−6. 44271
55 .56219 = −0. 00411
0 . 00271
−0 .00219 .
Осы матрицаға сәйкес келетін (1.4.5)-жүйе былайша болады:
2.34 x1 - 4.21 x2 - 11.61 x3 = - 0.00411,
8.04 x1 + 5.22 x2 + 0.27 x3 = 0.00271,
3.92 x1 - 7.99 x2 + 8.37 x3 = - 0.00219.
Жүйені Жордан - Гаусс әдісімен Аспаптық құрал - кестелік
процессор Excel программалық ортада шешеміз. Ол үшін жоғарыда
қолданылған кестедегі жүйенің оң жағын сәйкес мәндермен өзгертсе
жеткілікті. Есептеу нәтижесі төмендегі кестеде келтірілген.
1.4-кесте. Excel: түзету енгізу
Түзету енгізу.
Ол үшін 1.3-кесте жазылған Excel кітабындағы
жүйенің оң жағын С матрицаның элемент-
терімен айырбастаса болғаны, яғни жүйені
мынадай түрде жасса жеткілікті.
y1 y2 y3 b*
2,34 -4,21 -11,61 -
0,00411
8,04 5,22 0,27 0,00271
3,92 -7,99 8,37 -
0,00219
Excelде жазылған программа бірден осы
жүйенің
бірінші Y(1) жуық шешімін береді:
y1 = 2,06E-05
y2 = 0,000478
y3 = 0,000185
Алғашқы жуық шешімге түзету енгізіп:
Х(2) = X(1) + Y(1) = ( x1
(1), x2
(1), x3
(1))T + ( y1
(1), y2
(1), y3
(1))T = ( x1
(2), x2
(2), x3
(2))T
=
= ( 2.293; - 4.816; 0.967)T + (0.0000; 0.0005; 0.0002)T =
= ( 2.2930; -4.8155; 0.9672)T
екінші Х(2) жуық шешімді аламыз.
Енді қателікті есептейік. Есепке қойылған дәлдік ε=0 . 001
болатын. Қателік:
ε0 = Y(1) = max { 0.0001; 0.0005; 0.0002 } = 0.0005 ε=0 . 001 .
Қателік дәлдіктен кем. Сондықтан Х(2) жуық шешімді - дәлдікті
қанағаттандыратын жуық шешім деп айтуға болады.
1.5 Сызықтық теңдеулер жүйесін жуықтап шешудің итера-
циялық әдістеріне қысқаша шолу Итерациялық әдісті - біртіндеп
жуықтау әдісі деп атайды.
Матрицаларға қолданылатын арифметикалық амалдарға сәйкес
[1] - [7], кез келген n өлшемді А матрицаны үш матрицаның қосын-
дысы түрінде өрнектеуге болады:
A = A1 + D + A2 . (1.5.1)
Мұндағы:
* А1 - төменгі диагоналды,
* D - диагоналды,
* А2 - жоғарғы диагоналды
матрицалар.
Мәселен, үш өлшемді шаршылы А матрицаны, жоғарыда
аталғандай, мынадай үш қосылғышқа жіктеуге болады:
A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33 = 0 0 0
a21 0 0
a31 a32 0 + a11 0 0
0 a 22 0
0 0 a33 +
+ 0 a12 a13
0 0 a23
0 0 0 = A1 + D + A2 .
(1.5.1)-жіктеуге сәйкес, кез келген n өлшемді сызықтық тең-
деулер жүйесін
A1⋅X D⋅X A2⋅X =B . (1.5.2)
қосылғыштарға жіктеп жазамыз. Ондағы мақсат - итерациялық
процесті бастауға лайықты математикалық өрнек алу.
(1.5.2.)-жіктеудегі диагоналды D матрицаның диагоналдық эле-
менттерінің барлығы нөлден ерекше болса, яғни олар aii!=.
. 0 шартты
қанағаттандырса, онда ол матрицаның кері D - 1 матрицасы бар болады
және ол матрица оңай анықталады.
(1.5.2)-теңдікті сол жағынан кері D ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz