Эллипстік типті теңдеулер

1 Лаплас теңдеуіне әкелетін есептер
2 Біртекті денеде температураның тұрақталып таралуы
3 Шеңбердегі Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебі
4 Лаплас теңдеуіне қойылған Дирихле есебі үшін Грин функциясы
5 Грин функциясын пайдаланып Дирихле есебін шешу
6 Жарты кеңістік үшін Дирихле есебі
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

Эллипстік типті теңдеулер станционарлық (тұрақты) процестерді, мысалы, денеде тұрақты температураның таралуы, өткізгіштің бетіндегі электр зарядтарының тепе-теңдік күйі, сұйықтың потенциалды ағысы т.с.с. процестерді сипаттайды. Осы сияқыт процестерді зерттеулер Лаплас теңдеуінің шешімін табу амалына әкеледі. Лаплас теңдеуі:
(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )+(∂^2 u)/(∂z^2 )=0 (1)
түрінде жазылады.
Теңдеудің сол жағына ∆ Лаплас операторын қолданып, былай жазуға болады:
∆u=0
Екі тәуелсіз айнымалылар үшін Лаплас теңдеуі
(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )=0
түрінде жазылады. Ал
(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )+(∂^2 u)/(∂z^2 )=f(x,y,z)
түріндегі теңдеу Пуассон теңдеуі деп аталады.
Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын u функциялары гармоникалық функциялар деп аталады.

Біртекті денеде температураның тұрақталып таралуы
Біртекті Т денесі σ бетімен шектелген болсын дейік. Дененің әртүрлі нүктелеріндегі температура
∂y/∂t=a^2 ((∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )+(∂^2 u)/(∂z^2 ))
теңдеуін қанағаттандырады. Егер температура уақыттан тәуелсіз болса, яғни ∂y/∂t=0, онда дененің температурасы Лаплас теңдеуін қанағатандырады.
(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )+(∂^2 u)/(∂z^2 )=0
Осы теңдеуден дененің температурасы бір мәнді анықталуы үшін σ бетіндегі температураны білу керек. Сондықтан төмендегі теңдеу үшін
(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )+(∂^2 u)/(∂z^2 )=0
шеттік есеп былай қойылады:
1° Дирихле есебі (бірінші шеттік есеп)
Берілген Т облысында гармоникалық функция болатын, тұйық Т ̅ облысында үзіліссіз және облыстың σ шекарасында берілген үзіліссіз ψ(М) функциясына тең, яғни:
├ u┤|_σ=ψ(М) (2)
шартын қанағаттандыратын u(М)функциясын табу керек. Егер температураның таралуы жазықтықтағы С контуры мен D облысында қарастырылатын болса, онда:
(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )=0
теңдеуін қанағаттандыратын және С контурында ψ(М) функциясына тең u(x,y)функциясын табу керек.
2° Нейман есебі (екінші шеттік есеп)
Берілген Т облысында гармоникалық функция болатын, тұйық Т ̅ облысында үздіксіз дифференциалданатын, ал σ тегіс бетінен сыртқа қарай бағытталған нормаль бойынша алынған дифференциалданатын, ал σ тегіс бетінен сыртқа қарай бағытталған нормаль бойынша алынған ∂u/∂n туындысы осы беттің нүктелерінде берілген ψ(М) үздіксіз функциясына тең болатын, яғни:
├ ∂u/∂n ┤|_σ=ψ(М) (3)
шартын қанағаттандыратын u(М) функциясын табу керек.
Нейман есебі, екінші шеттік есеп – екінші ретті дербес туындысы бар дифференциалдық теңдеулер үшін қойылатын шеттік есептердің бірі. Нейман есебі қарапайым жағдайда (дербес жағдайда Лаплас теңдеуі үшін) белгілі бір облыста осы облыс шекарасында берілген нормаль туындының шешімін табуға қолданылады. Алғаш 1877 жылы К.Нейман (1832 – 1925) зерттеген.
Эллипстік типті теңдеудің классикалық түрінің мысалы Пуассон теңдеуі.
(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )=f(x,y)
немесе f(x,y)≡0 болғанда Лаплас теңдеуі.
u(x,y) функциясының әр түрлі физикалық мағынасы бар, яғни стационарлық, уақытқа тәуелсіз, температураның бөлінуі идеалдық (үйкеліссіз және жылуөткізгіштіксіз) сұйықтықтың потенциал жылдамдықты (вихорьсіз) ағыны, электр және магнит өрісі кернеулігнің,тартылу өріс күш потенциалының бөлінуі, т.б.

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.:1966г.
2. Положий Г.Н. Уравнения математической физики, М.:1964г.
3. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. Наука, М.: 1974.
4. Токибетов Ж.А., Хайруллин Е.М. Математикалык физика тендеулерi. Алматы, 1995.
5. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. сборник задач по уравнениям математической физики. М.: 1985.
6. Сахаев Ш.С. и М.О.Орынбасаров Математикалык физика тендеулерiнiн есептерi мен жаттыгулар жинагы. Алматы, 2003.
7. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: 1968.
8. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.:1984.