Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі және классификациясы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 32 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

I. Үзіліссіз функциялар . . . 4

1. 1Үзіліссіз функцияларға жалпы түсініктеме . . . 4

1. 2Үзіліссіз функцияларға амалдар қолдану . . . 13

1. 3Үзіліссіз функциялардың қасиеттері . . . 16

1. 4Больцано мен Кошидің 1-2 теоремасы . . . 17

1. 5Вейерштрасстың 1-2 теоремасы . . . 23

II. Функцияның үзіліс нүктелері . . . 27

2. 1Функцияныңүзіліс нүктелері және олардың классификация-сы . . . 27

Қорытынды . . . 30

Пайдаланылған әдебиеттер . . . 32

Кіріспе

Тақырыптың өзектілігі: бұл курстық жұмыстың тақырыбы «Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі және классификациясы». Функцияның үзіліссіз болу қасиеті табиғатта байқалатын құбылыстардың басым көпшілігінің ортақ сипаттамасын бейнелейді. Мысалы, күнбе-күнгі өмірде, ғылымда: ауа температурасының үзіліссіз өзгеруі, қыздырудың әсерінен сымның үзіліссіз ұзаруы, сұйық заттың үзіліссіз ағуы, организмнің үзіліссіз өсуі. Функция шегінің ұғымымен математикалық анализдің басқа негізгі ұғымы - функцияның үздіксіздің ұғымы тығыз байланысты.

Курстық жұмыстың құрылымы: жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен және қорытындыдан тұрады. Негізгі бөлім мынадай мәселелерді қарастырады: үзіліссіз функциялар туралы жалпы түсінік, оларға амалдар қолдану және қасиеттері. Сонымен қатар Больцано мен Кошидің бірінші, екінші теоремасы, Вейерштрасстың бірінші, екінші теоремасы, функцияның үзіліс нүктелері және олардың классификациясы жайлы қамтылған.

Курстық жұмыстың мақсаты: үзіліссіз функциялардың жалпы математикалық анализде айрықша маңызы бар ұғым екенін және функцияның үзіліс нүктелері туралы ұғымды толық ашу.

I. Үзіліссіз функциялар

1. 1Үзіліссіз функцияларға жалпы түсініктеме.

Функция үзіліссіздігінің әр түрлі анықтамаларын беруден бұрын әуелі аргумент пен функцияның өсімшелері деген ұғымға тоқталып өтелік. Бұл мақсатта $Х = \left\{ х \right\}$ облысында анықталған $y = f(x)$ функциясын алалық. Х жиынында болатын х ₀ - берілген функция аргументінің бастапқы мәні де, ал сол жиындағы х - жаңа мәні делік. Сонда айырым $х - х_{0}$ (аргументтің жаңа мәні мен бастапқы мәндерінің айырымы) аргумент өсімшесі деп аталады да, $\mathrm{\Delta}х$ арқылы белгіленеді, яғни:

$\mathrm{\Delta}х = х - х_{0}$

Аргумент өсімшесі $\mathrm{\Delta}х$ -тегі $\mathrm{\Delta}$ -ны х-тен айырып қарауға болмайды, керісінше, ол екеуін біріктіріп, тұтас бір символ деп түсіну ( $\mathrm{\Delta}$ көбейткіш емес, «өсімше» деген сөздің орнына жүреді), сонымен бірге өсімше $\mathrm{\Delta}х$ - тің оң да, теріс те таңбалы бола беретіндігін есте сақтау керек.

Ал аргументтің берілген мәндері х ₀ мен х-ке сәйкес қабылдаған функцияның бастапқы мәні мен кейінгі мәнінің айырымы, яғни айырым

$f(x) - f\left( x_{0} \right) = f\left( x_{0} + \mathrm{\Delta}x \right) - f(x_{0})$

функция өсімшесі деп аталады да, $\mathrm{\Delta}у$ немесе $\mathrm{\Delta}f(x)$ - пен белгіленеді. Сөйтіп,

$\mathrm{\Delta}y = f(x) - f(x_{0})$

немесе

$\mathrm{\Delta}f(x) = f(x) - f(x_{0})$

Берілген $y = f(x)$ функциясының өсімшесі $\mathrm{\Delta}у$ оң да, теріс те болуы, кейде нольге де тең болуы мүмкін.

Функция үзіліссіздігінің анықтамасы сол функция шегінің анықтамасымен тығыз байланысты болатындығын әдейі ескеріп, функция шегі анықтамасының мағынасына тағы да бір рет тоқталалық. Біз $х \rightarrow х_{0}$ -да $f(x)$ функциясының ұмтылатын шегі А туралы айтқанымызда жалғыз ғана шарттың орындалуын талап еткенбіз, ол х ₀ -ге мейлінше жақын х-нүктелерінде $f(x)$ функциясының анықталған болуы еді. Шек туралы мәселені қарастыру үшін бізге берілген $f(x)$ функциясының х ₀ нүктесінде анықталған-анықталмағаны, ал анықтала қалған күнде оның х ₀ нүктесіндегі мәні қандай екендігі қажет болған жоқ.

Демек, $х \rightarrow х_{0}$ -да $f(x)$ функциясының шегі А-ның бар болуымен қатар мына жағдайлар кездесуі мүмкін:

а) $f(x)$ функциясы х ₀ нүктесінде анықталмаған;

б) $f(х_{0})$ мәні бар, бірақ $f(x_{0}) \neq A$ ;

в) $f(х_{0})$ мәні бар, және $f(x_{0}) = A$ ;

Шегі бар алуан түрлі функциялардың ішінде в) шартын қанағаттандыратындары ерекше бір класс, үзіліссіз функциялар деп аталатын функциялар класын құрайды.

Анықтама. Егер: 1) $f(x)$ функциясы $Х = \left\{ х \right\}$ облысында анықталған; 2) $х_{0} \in Х\ \ \ (х_{0} \in Х$ деп белгілеу х ₀ нүктесі Х жиынындағы нүкте деген сөз) ; 3) $\ х \rightarrow х_{0}$ -да $f(x)$ функциясының шегі бар және ол шек $f(x) -$ тің х ₀ нүктесіндегі мәніне тең болса, $f(x)$ функциясы x=x ₀ болғанда, немесе х ₀ нүктесінде, үзіліссіз деп аталады. Басқаша айтқанда: егер шарт $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) = f(x_{0}) }$ (1) орындалса, $f(x)$ функциясы х ₀ нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі ұғымын анықтаушы (1) шартты былайша екінші бір түрде де жазуға болады, ол:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) = f\left( \lim_{х \rightarrow х_{0}}х \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) }$

Бұның мағынасы: үзіліссіз функцияның шегі сол функцияның аргумент шегіндегі мәніне тең.

Бірнеше мысалдар тексерелік.

1) $f(x) = 3x + 2$ -нің үзіліссіз функция екенін дәлелдеу керек.

Шынында, берілген функция сандар осінің кез келген нүктесінде анықталған. х ₀ деп шенелмеген $( - \infty, + \infty)$ интервалының еркімізше алынған бір нүктесін белгілейік.

Сонда: біріншіден,

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}{(3x + 2) = 3x_{0} + 2, }}$

екіншіден, $f\left( x_{0} \right) = 3x_{0} + 2$

Демек,

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) = f(x_{0}) }$

яғни қарастырылып отырған функция $х_{0} \in ( - \infty, + \infty)$ нүктесінде үзіліссіз болып шықты. Ал х ₀ деп $( - \infty, + \infty)$ интервалының кез келген нүктесін белгілегенбіз. Сондықтан функция $f(x) = 3x + 2$ көрсетілген интервалдың барлық нүктелерінде үзіліссіз.

2) $\varphi(х) = \frac{5х}{2 + х^{2}}$ функциясын үзіліссіздікке зерттеу керек.

Шешу. Функцияның анықталу облысы $( - \infty, + \infty)$

Еркімізше $х_{0} \in ( - \infty, + \infty)$ нүктесін аламыз.

Сонда:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\varphi(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{5x}{2 + x^{2}} = \frac{\lim_{x \rightarrow x_{0}}{5x}}{\lim_{x \rightarrow x_{0}}{(2 + x^{2}) }} = \frac{5x_{0}}{2 + x_{0}^{2$

және

$\varphi\left( х_{0} \right) = \frac{5x_{0}}{2 + x_{0}^{2}}, \$

яғни

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\varphi(x) = \varphi(x_{0}) }$

Олай болса,

$\varphi(х) = \frac{5х}{2 + х^{2}}$

функциясы сандар осінің кез келген х ₀ нүктесінде үзіліссіз.

3) Мына функцияның:

$\psi(x) = \left\{ \begin{array}{r} 2х - 1, \ \ егер\ х \leq 1\ болса \\ 6 - 5x, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ егер\ x > 1\ болса. \end{array} \right. \$

үзіліссіз болатын-болмайтынын тексеру керек.

Шешу. Егер х ₁ нүктесі $( - \infty, \left. \ 1 \right\rbrack$ жарты интервалындағы еркімізше алынған бір нүкте (кез келген нүкте) десек, онда:

$\lim_{х \rightarrow х_{1}}{\psi(х) = 2х_{1} - 1}$

және $\psi\left( х_{1} \right) = 2х_{1} - 1$

яғни

$\lim_{х \rightarrow х_{1}}{\psi(х) =}\psi\left( х_{1} \right)$

болады.

Егер х ₂ нүктесі $(1, + \infty)$ интервалындағы кез келген (еркімізше алынған) бір нүкте десек, онда:

$\lim_{х \rightarrow х_{2}}{\psi(х) = 6 - 5х_{2}}$

және $\psi\left( х_{2} \right) = 6 - 5х_{2}$

яғни

$\lim_{х \rightarrow х_{2}}{\psi(х) =}\psi\left( х_{2} \right)$

болады.

Ал, егер $х_{3} = 3$ болса,

$\psi\left( х_{3} \right) = 2х_{3} - 1 = 1$

$\underset{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \rightarrow x_{3} - 0}{\ \ \ \ \ lim}{\psi(x) = 2 \bullet 1 - 1 = 1}$

$\lim_{\ \ \ \ \ \ \ \ x \rightarrow x_{3} + 0}{\psi(x) = 6 - 5 \bullet 1 = 1}$

Сонда

$\lim_{х \rightarrow х_{3}}{\psi(х) =}\psi\left( х_{3} \right) = 1$

Демек, зерттелген $\psi(x)$ функциясы сандар осінің кез келген нүктесінде үзіліссіз.

2. Егер $f(x)$ функциясы х ₀ нүктесінде үзіліссіз деп ұйғарсақ,

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) = f\left( x_{0} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) }$

болар еді.

теңдіктен :

$\underset{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \rightarrow x_{0}}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lim}\left\lbrack f(x) - fx_{0}) \right\rbrack = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

яғни $\lim_{\mathrm{\Delta}х \rightarrow 0}{\mathrm{\Delta}у = 0}$

(бұндағы $\mathrm{\Delta}х = х - х_{0}$ , $\mathrm{\Delta}y = f(x) - f(x_{0})$ ) Ендеше, х ₀ нүктесінде $f(x)$ функциясы үзіліссіз болуы үшін (3) әрі қажет, әрі жеткілікті шарт болып табылады.

Сонымен, функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің екінші анықтамасына келдік:

Егер берілген $f(x)$ функциясының аргументінің ақырсыз кішкене өсімшесіне функцияның да ақырсыз кішкене өсімшесі сәйкес келсе, ол х ₀ нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады.

Мысал. 1) $h(x) = 2x^{2} - 5x + 2$ функциясының кез келген х нүктесінде үзіліссіз екенін көрсетелік.

Дұрысында, егер х-ке $\mathrm{\Delta}х$ өсімшесін берсек, берілген $h(x)$ функциясының жаңа (өсірілген) мәнін, яғни $h(x + \mathrm{\Delta}x) = 2(x + \mathrm{\Delta}x) ^{2} - 5(x + \mathrm{\Delta}x) + 2 = 2x^{2} + 4x \bullet \mathrm{\Delta}x + 2 \bullet (\mathrm{\Delta}x) ^{2} - 5x - 5 \bullet \mathrm{\Delta}x + 2$ -ні тапқан болар едік.

Сонда функцияның өсімшесі $\mathrm{\Delta}y = h(x + \mathrm{\Delta}x) - h(x) = (4x - 5) \bullet \mathrm{\Delta}x + 2 \bullet {(\mathrm{\Delta}x) }^{2}$ болып шығады.

Бұдан:

$\lim_{\mathrm{\Delta}х \rightarrow 0}{\mathrm{\Delta}у = \lim_{\mathrm{\Delta}х \rightarrow 0}{\left\lbrack (4x - 5) \bullet \mathrm{\Delta}x + 2 \bullet {(\mathrm{\Delta}x) }^{2} \right\rbrack = 0}}$

яғни зерттеліп отырған h(x) функциясы кез келген х нүктесінде үзіліссіз.

3. Функцияның нүктеде үзіліссіздігінің үшінші анықтамасы функция шегінің Коши берген анықтамасына негізделген.

Анықтама. Алдын ала берілген $\varepsilon > 0$ саны қандай болса да, ол үшін бір $\delta > 0$ саны табылып, $f(x)$ функциясының анықталу облысындағы х-тердің $\left х - х_{0} \right < \delta$ теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін $\left f(x) - f(x_{0}) \right$ < $\ \varepsilon$ теңсіздігі орындалса, $f(x) \ функциясы\ х$ ₀ нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Бұл сөйлем - функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің үшінші анықтамасы.

Мысал. $f(x) = \frac{2x - 1}{x - 3}$ функциясының x ₀ =5 нүктесінде үзіліссіз екенін дәлелдеу керек.

Шынында. $f(5) = \frac{9}{2}$ болады. Ендеше, функцияның берілген x ₀ =5 нүктесінде үзіліссіз екенін дәлелдеу үшін алдын ала берілген кез келген сан $\varepsilon > 0$ үшін $\delta > 0$ саны табылатынын және сонымен байланысты $х - 5 < \delta$ теңсіздігі орындалысымен бірге $f(x) - f(5) < \varepsilon$ ,

яғни

$\left \frac{2х - 1}{х - 3} - \frac{9}{2} \right < \varepsilon\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

теңсіздігінің де орындалатынын дәлелдеуіміз керек.

(4) теңсізді

$\left \frac{х - 5}{х - 3} \right < \frac{2}{5}\varepsilon$

теңсіздігімен мәндес.

Бұдан :

$\left \frac{х - 3}{х - 5} \right > \frac{5}{2\varepsilon},$

яғни

$\left \frac{2}{х - 5} - ( - 1) \right > \frac{5}{2\varepsilon}.$

Айырымның абсолюттік шамасы азайғыш пен азайтқыштың абсолюттік шамаларының айырымынан кем болмайтынын еске түсірсек, соңғы теңсіздік орындалу үшін мына теңсіздік орындалуы тиіс.

$\left \frac{2}{х - 5} \right - 1 > \frac{5}{2\varepsilon},$

немесе

$\left \frac{1}{х - 5} \right > \frac{5 + 2\varepsilon}{4\varepsilon}$

Бұдан

$х - 5 < \frac{4\varepsilon}{5 + 2\varepsilon}$

Демек, егер $\delta \leq \frac{4\varepsilon}{5 + 2\varepsilon}$ деп алсақ, $х - 5 < \delta$ теңсіздігі орындалысымен бірге еркімізше алынған кез келген $\varepsilon > 0$ саны үшін

$\left f(x) - f(5) \right < \varepsilon$

теңсіздігі орындалады.

Осымен берілген функцияның $х_{0} = 5$ нүктесінде үзіліссіз екендігі дәлелденді.

4. Функция үзіліссіздігінің енді берілетін анықтамасы функция шегіне Гейне берген анықтамаға негізделген.

Егер $f(x)$ функциясы х ₀ нүктесінді үзіліссіз, яғни егер $\lim_{х \rightarrow х_{0}}{f(x) = f(x_{0}) }$ десек, бұл жағдай «тізбектер тілінде» былайша айтылар еді: $f(x)$ функциясының анықталу облысындағы аргумент х-тің мәндерінен құралған және х ₀ санына жинақталатын кез келген $х_{1}, х_{2}, х_{3}, \ldots, x_{n}, \ldots$ тізбегіне $f(x)$ функциясының мәндерінен құралған және $f\left( х_{0} \right)$ санына жинақталатын ${f(х}_{1}), f(х_{2}), f(х_{3}), \ldots, f(x_{n}), \ldots$ тізбегі сәйкес келеді.

Бұл сөйлем - функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің төртінші анықтамасы.

Енді $у = f(x)$ функциясының х ₀ нүктесіндегі үзіліссіздігіне геометриялық түсіндірме берелік.

Егер $f(x)$ функциясы х ₀ нүктесінде үзіліссіз болса, алдын ала берілген кез келген сан $\varepsilon > 0$ үшін бір $\delta > 0$ саны табылып, х-тің

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ х}_{0} - \delta < х < х_{0} + \delta\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$

шартын қанағаттандыратын барлық мәндері үшін

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\left( x_{0} \right) - \varepsilon < f(x) < f\left( x_{0} \right) + \varepsilon\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$

шарты орындалады.

(5) және (6) шарттардың орындалуының геометриялыұ мағынасы мынау: егер $у = \ f\left( x_{0} \right) - \varepsilon$ мен $у = \ f\left( x_{0} \right) + \varepsilon$ түзулерін жүргізсек, ол екі түзудің арасында бір алап (полоса)

жасалады. Бұл алап (2 -сурет)

қандай тар болмасын, әрқашанда

х ₀ нүктесінің $\delta -$ маңайы

( $х_{0} - \delta, х_{0} + \delta$ ) табылар еді және

абсциссасы осы маңайда жататын

қисықтың нүктелері мен ${(х}_{0}, f\left( x_{0} \right) )$

нүктесі міндетті түрде $f\left( x_{0} \right) - \varepsilon$

және $f\left( x_{0} \right) + \varepsilon\$ түзулері арасындағы

алаптың ішіне орналасар еді. Әрине, ол алаптың бойында қисықтың бұл көрсетілген нүктелерінен басқа нүктелері де жатуы мүмкін.

Бұл параграфтың аяғында тағы да бірнеше анықтмалар беруді қажет деп таптық. Олар:

1) Егер $f(x)$ функциясының х ₀ нүктесіндегі солжақтық шегі оның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни, егер мына шарт:

$f\left( x_{0} - 0 \right) = \lim_{x \rightarrow x_{0} - 0}{f(x) = f(x_{0}) }$

орындалса, $f(x)$ х ₀ .

2) Егер $f(x)$ функциясының х ₀ нүктесіндегі оң жақтық шегі оның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни

$f\left( x_{0} + 0 \right) = \lim_{x \rightarrow x_{0} + 0}{f(x) = f(x_{0}) }$

орындалса, $f(x)$ х ₀ .

3) Егер Х жиынында анықталған $f(x)$ функциясы ол жиынның әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда $f(x)$ бүкіл Х жиыны бойында үзіліссіз функция деп аталады. Бұл жағдайда Х жиынының сол жақ шетінде (егер, әрине, солжақ шет шенелген болса) $f(x)$ функциясы тек қана оң жағынан, ал жиынның оңжақ шетінде (егер, әрине, оңжақ шеті шенелген болса) $f(x)$ функциясы тек қана солжағынан үзіліссіз болуы талап етіледі.

$f(x)$ функцияның өзінің анықталу облысындағы кез келген бір нүктесінде үзіліссіз болуы үшін ол функцияның сол нүктеден оң жағынан да, сол жағынан да үзіліссіз болуы әрі қажет, әрі жеткілікті екендігі өзінен-өзі анық.

1. 2Үзіліссіз функцияларға амалдар қолдану

Үзіліссіз функцияларға амалдар қолдану жөнінде бірнеше теоремалар айрықша маңызы бар кейбір функциялардың үзіліссіздігін дәлелдеуді анағұрлым жеңілдетеді.

Теорема1. Егер функцияның анықталу облысына кіретін х ₀ нүктесінің бір маңайында $f(x)$ өзінің тұрақты мәнін сақтаса, ол функция х ₀ нүктесінде үзіліссіз.

Дәлелдеу. ( $х_{0} - \delta, х_{0} + \delta$ ) интервалы х ₀ -нүктесінің $\delta -$ маңайы болсын. $f(x)$ функциясының тұрақты мәні С, яғни барлық $х \in (х_{0} - \delta, х_{0} + \delta$ ) -тер үшін $f(x) = С$ делік.

Олай болса, $\lim_{х \rightarrow х_{0}}{f(x) = C}$ және $f\left( х_{0} \right) = C$ , яғни $\lim_{х \rightarrow х_{0}}{f(x) =}f\left( х_{0} \right)$ болып шықты; осыны дәлелдеу де керек еді.