Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі және классификациясы

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
I.Үзіліссізфункциялар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
1.1Үзіліссіз функцияларға жалпы түсініктеме ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
1.2Үзіліссіз функцияларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .13
1.3Үзіліссіз функциялардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
1.4Больцано мен Кошидің 1.2 теоремасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .17
1.5Вейерштрасстың 1.2 теоремасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
II. Функцияның үзіліс нүктелері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...27
2.1Функцияныңүзіліс нүктелері және олардың классификация.сы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 30
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .32

Тақырыптың өзектілігі: бұл курстық жұмыстың тақырыбы «Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі және классификациясы».Функцияның үзіліссіз болу қасиеті табиғатта байқалатын құбылыстардың басым көпшілігінің ортақ сипаттамасын бейнелейді. Мысалы, күнбе-күнгі өмірде, ғылымда: ауа температурасының үзіліссіз өзгеруі , қыздырудың әсерінен сымның үзіліссіз ұзаруы, сұйық заттың үзіліссіз ағуы, организмнің үзіліссіз өсуі. Функция шегінің ұғымымен математикалық анализдің басқа негізгі ұғымы – функцияның үздіксіздің ұғымы тығыз байланысты.
Курстық жұмыстың құрылымы: жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен және қорытындыдан тұрады. Негізгі бөлім мынадай мәселелерді қарастырады: үзіліссіз функциялар туралы жалпы түсінік, оларға амалдар қолдану және қасиеттері.Сонымен қатар Больцано мен Кошидің бірінші, екінші теоремасы, Вейерштрасстың бірінші, екінші теоремасы, функцияның үзіліс нүктелері және олардың классификациясы жайлы қамтылған.
Курстық жұмыстың мақсаты: үзіліссіз функциялардың жалпы математикалық анализде айрықша маңызы бар ұғым екенін және функцияның үзіліс нүктелері туралы ұғымды толық ашу.

1. Жолдықараев Қ. «Математикалық анализдің қысқаша курсы» .
Алматы, 1992
2. Қабдықайыр Қ. «Жоғары математика » Алматы, 2005
3. Темірғалиев Н. «Математикалық анализ» Алматы, 1991
4. Ибрашев И, Еркеғұлов Ш.Т., «Математикалық анализ курсы» Алматы, 1963
5. Фихтенгольц Г.М. «Математикалық анализ негіздері» Алматы, 1972
6. Дүйсек А.К., Қасымбеков С.Қ. «Жоғары математика » Алматы, 2004

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 32 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
I.Үзіліссізфункциялар ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.1Үзіліссіз функцияларға жалпы түсініктеме ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
1.2Үзіліссіз функцияларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .13
1.3Үзіліссіз функциялардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ..16
1.4Больцано мен Кошидің 1-2 теоремасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ...17
1.5Вейерштрасстың 1-2 теоремасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ..23
II. Функцияның үзіліс нүктелері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .27
2.1Функцияныңүзіліс нүктелері және олардың классификация-сы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...30
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .32

Кіріспе
Тақырыптың өзектілігі: бұл курстық жұмыстың тақырыбы Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі және классификациясы.Функцияның үзіліссіз болу қасиеті табиғатта байқалатын құбылыстардың басым көпшілігінің ортақ сипаттамасын бейнелейді. Мысалы, күнбе-күнгі өмірде, ғылымда: ауа температурасының үзіліссіз өзгеруі , қыздырудың әсерінен сымның үзіліссіз ұзаруы, сұйық заттың үзіліссіз ағуы, организмнің үзіліссіз өсуі. Функция шегінің ұғымымен математикалық анализдің басқа негізгі ұғымы - функцияның үздіксіздің ұғымы тығыз байланысты.
Курстық жұмыстың құрылымы: жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен және қорытындыдан тұрады. Негізгі бөлім мынадай мәселелерді қарастырады: үзіліссіз функциялар туралы жалпы түсінік, оларға амалдар қолдану және қасиеттері.Сонымен қатар Больцано мен Кошидің бірінші, екінші теоремасы, Вейерштрасстың бірінші, екінші теоремасы, функцияның үзіліс нүктелері және олардың классификациясы жайлы қамтылған.
Курстық жұмыстың мақсаты: үзіліссіз функциялардың жалпы математикалық анализде айрықша маңызы бар ұғым екенін және функцияның үзіліс нүктелері туралы ұғымды толық ашу.

I.Үзіліссіз функциялар
1.1Үзіліссіз функцияларға жалпы түсініктеме.
Функция үзіліссіздігінің әр түрлі анықтамаларын беруден бұрын әуелі аргумент пен функцияның өсімшелері деген ұғымға тоқталып өтелік. Бұл мақсатта Х=х облысында анықталған y=f(x) функциясын алалық. Х жиынында болатын х0- берілген функция аргументінің бастапқы мәні де, ал сол жиындағы х - жаңа мәні делік. Сонда айырым х-х0 (аргументтің жаңа мәні мен бастапқы мәндерінің айырымы) аргумент өсімшесі деп аталады да , ∆х арқылы белгіленеді, яғни:
∆х=х-х0
Аргумент өсімшесі ∆х -тегі ∆ -ны х-тен айырып қарауға болмайды, керісінше, ол екеуін біріктіріп, тұтас бір символ деп түсіну (∆ көбейткіш емес, өсімше деген сөздің орнына жүреді), сонымен бірге өсімше ∆х - тің оң да, теріс те таңбалы бола беретіндігін есте сақтау керек.
Ал аргументтің берілген мәндері х0 мен х-ке сәйкес қабылдаған функцияның бастапқы мәні мен кейінгі мәнінің айырымы, яғни айырым

fx-fx0=fx0+∆x-f(x0)

функция өсімшесі деп аталады да, ∆у немесе ∆f(x) - пен белгіленеді. Сөйтіп,

∆y=fx-f(x0)
немесе
∆f(x)=fx-f(x0)

Берілген y=f(x) функциясының өсімшесі ∆у оң да, теріс те болуы, кейде нольге де тең болуы мүмкін.

Функция үзіліссіздігінің анықтамасы сол функция шегінің анықтамасымен тығыз байланысты болатындығын әдейі ескеріп, функция шегі анықтамасының мағынасына тағы да бір рет тоқталалық. Біз х--х0-да f(x) функциясының ұмтылатын шегі А туралы айтқанымызда жалғыз ғана шарттың орындалуын талап еткенбіз, ол х0-ге мейлінше жақын х-нүктелерінде f(x) функциясының анықталған болуы еді. Шек туралы мәселені қарастыру үшін бізге берілген f(x) функциясының х0 нүктесінде анықталған-анықталмағаны, ал анықтала қалған күнде оның х0 нүктесіндегі мәні қандай екендігі қажет болған жоқ.
Демек, х--х0-да f(x) функциясының шегі А-ның бар болуымен қатар мына жағдайлар кездесуі мүмкін:
а) f(x) функциясы х0 нүктесінде анықталмаған;
б) f(х0) мәні бар, бірақ f(x0)!=A;
в) f(х0) мәні бар, және f(x0)=A;
Шегі бар алуан түрлі функциялардың ішінде в) шартын қанағаттандыратындары ерекше бір класс, үзіліссіз функциялар деп аталатын функциялар класын құрайды.
Анықтама. Егер: 1) f(x) функциясы Х=х облысында анықталған; 2)х0∈Х (х0∈Х деп белгілеу х0 нүктесі Х жиынындағы нүкте деген сөз); 3) х--х0-да f(x) функциясының шегі бар және ол шек fx-тің х0 нүктесіндегі мәніне тең болса, fx функциясы x=x0болғанда, немесе х0 нүктесінде, үзіліссіз деп аталады. Басқаша айтқанда: егер шарт limx--x0fx=f(x0)(1) орындалса, fxфункциясы х0 нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі ұғымын анықтаушы (1) шартты былайша екінші бір түрде де жазуға болады, ол:
limx--x0fx=flimх--х0х (2)

Бұның мағынасы: үзіліссіз функцияның шегі сол функцияның аргумент шегіндегі мәніне тең.

Бірнеше мысалдар тексерелік.
1)fx=3x+2 -нің үзіліссіз функция екенін дәлелдеу керек.
Шынында, берілген функция сандар осінің кез келген нүктесінде анықталған. х0 деп шенелмеген (-infinity,+infinity) интервалының еркімізше алынған бір нүктесін белгілейік.
Сонда: біріншіден,
limx--x0fx=limx--x03x+2=3x0+2,

екіншіден, fx0=3x0+2
Демек,
limx--x0fx=f(x0)
яғни қарастырылып отырған функция х0∈(-infinity,+infinity) нүктесінде үзіліссіз болып шықты. Ал х0 деп (-infinity,+infinity) интервалының кез келген нүктесін белгілегенбіз. Сондықтан функция fx=3x+2 көрсетілген интервалдың барлық нүктелерінде үзіліссіз.
2)φ(х)=5х2+х2 функциясын үзіліссіздікке зерттеу керек.
Шешу. Функцияның анықталу облысы (-infinity,+infinity)
Еркімізше х0∈(-infinity,+infinity) нүктесін аламыз.
Сонда:
limx--x0φx=limx--x05x2+x2=limx-- x05xlimx--x0(2+x2)=5x02+x02
және
φх0=5x02+x02,
яғни
limx--x0φx=φ(x0)

Олай болса,
φ(х)=5х2+х2

функциясы сандар осінің кез келген х0 нүктесінде үзіліссіз.
3) Мына функцияның:
ψx=2х-1, егер х=1 болса6-5x, егер x1 болса.
үзіліссіз болатын-болмайтынын тексеру керек.
Шешу. Егер х1 нүктесі (-infinity,1 жарты интервалындағы еркімізше алынған бір нүкте (кез келген нүкте) десек, онда:

limх--х1ψх=2х1-1
және ψх1=2х1-1
яғни
limх--х1ψх=ψх1
болады.
Егер х2 нүктесі (1,+infinity) интервалындағы кез келген (еркімізше алынған) бір нүкте десек, онда:

limх--х2ψх=6-5х2
және ψх2=6-5х2
яғни
limх--х2ψх=ψх2
болады.
Ал, егер х3=3 болса,
ψх3=2х3-1=1

lim x--x3-0ψx=2∙1-1=1

lim x--x3+0ψx=6-5∙1=1

Сонда
limх--х3ψх=ψх3=1

Демек, зерттелген ψx функциясы сандар осінің кез келген нүктесінде үзіліссіз.
2. Егер fxфункциясы х0 нүктесінде үзіліссіз деп ұйғарсақ,

limx--x0fx=fx0 (1)
болар еді.
(1) теңдіктен :
lim x--x0fx-fx0)=0 (2)

яғни lim∆х--0∆у=0
(бұндағы ∆х=х-х0, ∆y=fx-f(x0) ) Ендеше , х0 нүктесінде fx функциясы үзіліссіз болуы үшін (3) әрі қажет, әрі жеткілікті шарт болып табылады.
Сонымен, функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің екінші анықтамасына келдік:
Егер берілген fx функциясының аргументінің ақырсыз кішкене өсімшесіне функцияның да ақырсыз кішкене өсімшесі сәйкес келсе, ол х0 нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады.
Мысал. 1) hx=2x2-5x+2 функциясының кез келген х нүктесінде үзіліссіз екенін көрсетелік.
Дұрысында, егер х-ке ∆х өсімшесін берсек, берілген hx функциясының жаңа (өсірілген) мәнін, яғни hx+∆x=2(x+∆x)2-5x+∆x+2=2x2+4x∙∆x+2∙ (∆x)2-5x-5∙∆x+2-ні тапқан болар едік.
Сонда функцияның өсімшесі ∆y=hx+∆x-hx=4x-5∙∆x+2∙(∆x)2болып шығады.
Бұдан:
lim∆х--0∆у=lim∆х--04x-5∙∆x+2∙(∆x) 2=0

яғни зерттеліп отырған h(x) функциясы кез келген х нүктесінде үзіліссіз.
3. Функцияның нүктеде үзіліссіздігінің үшінші анықтамасы функция шегінің Коши берген анықтамасына негізделген.
Анықтама. Алдын ала берілген ε0 саны қандай болса да, ол үшін бір δ0 саны табылып, fx функциясының анықталу облысындағы х-тердің х-х0δ теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін fx-f(x0) ε теңсіздігі орындалса, fx функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Бұл сөйлем - функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің үшінші анықтамасы.
Мысал. fx=2x-1x-3функциясының x0=5 нүктесінде үзіліссіз екенін дәлелдеу керек.
Шынында. f5=92болады. Ендеше, функцияның берілген x0=5 нүктесінде үзіліссіз екенін дәлелдеу үшін алдын ала берілген кез келген сан ε0үшін δ0 саны табылатынын және сонымен байланысты х-5δ теңсіздігі орындалысымен бірге fx-f(5)ε,
яғни
2х-1х-3-92ε (4)

теңсіздігінің де орындалатынын дәлелдеуіміз керек.

(4) теңсізді
х-5х-325ε
теңсіздігімен мәндес.
Бұдан :
х-3х-552ε,
яғни
2х-5-(-1)52ε.

Айырымның абсолюттік шамасы азайғыш пен азайтқыштың абсолюттік шамаларының айырымынан кем болмайтынын еске түсірсек, соңғы теңсіздік орындалу үшін мына теңсіздік орындалуы тиіс.

2х-5-152ε,
немесе
1х-55+2ε4ε
Бұдан
х-54ε5+2ε

Демек, егер δ=4ε5+2ε деп алсақ, х-5δ теңсіздігі орындалысымен бірге еркімізше алынған кез келген ε0 саны үшін

fx-f(5)ε
теңсіздігі орындалады.
Осымен берілген функцияның х0=5 нүктесінде үзіліссіз екендігі дәлелденді.
4.Функция үзіліссіздігінің енді берілетін анықтамасы функция шегіне Гейне берген анықтамаға негізделген.
Егер fx функциясы х0 нүктесінді үзіліссіз, яғни егер limх--х0fx=f(x0)десек, бұл жағдай тізбектер тілінде былайша айтылар еді: fx функциясының анықталу облысындағы аргумент х-тің мәндерінен құралған және х0 санына жинақталатын кез келген х1,х2,х3,...,xn,...тізбегіне fx функциясының мәндерінен құралған және fх0 санына жинақталатын f(х1),f(х2),f(х3),...,f(xn),... тізбегі сәйкес келеді.
Бұл сөйлем - функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің төртінші анықтамасы.
Енді у=fx функциясының х0 нүктесіндегі үзіліссіздігіне геометриялық түсіндірме берелік.
Егер fx функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз болса, алдын ала берілген кез келген сан ε0 үшін бір δ0 саны табылып, х-тің

х0-δхх0+δ (5)

шартын қанағаттандыратын барлық мәндері үшін

fx0-εfxfx0+ε (6)
шарты орындалады.
(5) және (6) шарттардың орындалуының геометриялыұ мағынасы мынау: егер у= fx0-ε мен у= fx0+ε түзулерін жүргізсек, ол екі түзудің арасында бір алап (полоса)
жасалады. Бұл алап (2 - сурет)
қандай тар болмасын, әрқашанда
х0 нүктесінің δ- маңайы
(х0-δ,х0+δ) табылар еді және
абсциссасы осы маңайда жататын
қисықтың нүктелері мен (х0,fx0)
нүктесі міндетті түрде fx0-ε
және fx0+ε түзулері арасындағы
алаптың ішіне орналасар еді. Әрине, ол алаптың бойында қисықтың бұл көрсетілген нүктелерінен басқа нүктелері де жатуы мүмкін.
Бұл параграфтың аяғында тағы да бірнеше анықтмалар беруді қажет деп таптық.Олар:
1)Егер fx функциясының х0 нүктесіндегі солжақтық шегі оның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни, егер мына шарт:

fx0-0=limx--x0-0fx=f(x0)

орындалса, fx х0нүктесіндегісолжағынанүзіліссізфу нкциядепаталады.
2) Егер fx функциясының х0 нүктесіндегі оң жақтық шегі оның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни
fx0+0=limx--x0+0fx=f(x0)

орындалса, fx х0нүктесіндегіоңжағынанүзіліссізфун кциядепаталады.
3) Егер Х жиынында анықталған fx функциясы ол жиынның әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда fx бүкіл Х жиыны бойында үзіліссіз функция деп аталады. Бұл жағдайда Х жиынының сол жақ шетінде (егер, әрине, солжақ шет шенелген болса) fx функциясы тек қана оң жағынан, ал жиынның оңжақ шетінде (егер, әрине, оңжақ шеті шенелген болса) fx функциясы тек қана солжағынан үзіліссіз болуы талап етіледі.
fx функцияның өзінің анықталу облысындағы кез келген бір нүктесінде үзіліссіз болуы үшін ол функцияның сол нүктеден оң жағынан да, сол жағынан да үзіліссіз болуы әрі қажет, әрі жеткілікті екендігі өзінен-өзі анық.

1.2Үзіліссіз функцияларға амалдар қолдану
Үзіліссіз функцияларға амалдар қолдану жөнінде бірнеше теоремалар айрықша маңызы бар кейбір функциялардың үзіліссіздігін дәлелдеуді анағұрлым жеңілдетеді.
Теорема1. Егер функцияның анықталу облысына кіретін х0 нүктесінің бір маңайында fx өзінің тұрақты мәнін сақтаса, ол функция х0 нүктесінде үзіліссіз.
Дәлелдеу. (х0-δ,х0+δ) интервалы х0-нүктесінің δ- маңайы болсын. fx функциясының тұрақты мәні С , яғни барлық х∈(х0-δ,х0+δ) - тер үшін fx=С делік.
Олай болса , limх--х0fx=Cжәне fх0=C, яғни limх--х0fx=fх0 болып шықты; осыны дәлелдеу де керек еді.
Теорема 2. Егер бірнеше функциялардың
f1x,f2x, ... ,fn(x)
әрқайсысы х0 нүктесінде үзіліссіз болса, олардың кез келген сызықтық комбинациясы да, яғни
φ(х)= с1f1x+с2f2x+ ... +сnfn(x)
(бұндағы с1, с2, ... .сn - нақты сандар) функциясы да, сол х0 нүктесінде үзіліссіз болады.
Дәлелдеу. Теореманың шарты бойынша:
limх--х0f1x=f1(x0)
limх--х0f2x=f2(x0)
... ... ... ... ... ... ..
limх--х0fnx=fn(x0)
Бірнеше қосылғыштар қосындысының шегі шектердің қосындысына тең екендігін еске түсірсек,
limх--х0φх=limх--х0с1f1x+с2f2x+.. ..+сnfn(x =c1limх--х0f1x+c2limх--х0f2x+ ... .+cnlimх--х0fnx=c1f1x0+c2f2x0+...+ cnfn(x0)
болатынын, яғни
limх--х0φх=φ(x0)

екенін көреміз. Бұл φх -тің х0 нүктесінді үзіліссіз екенін дәледейді.
2-теореманың бірнеше дербес жағдайлары бар.Олар:
біріншіден, үзіліссіз функциялардың қосындысы да үзіліссіз функция болады.
екіншіден, екі үзіліссіз функцияның айырымы да үзіліссіз функция.
Теорема 3. Егер мына функциялардың:

f1x,f2x, ... ,fn(x)

әрқайсысы х0 нүктесінде үзіліссіз болса, олардың көбейтіндісі

ψ(х)=f1x∙f2x ... fn(x)

де сол х0нүктесіндеүзіліссіз функция болады.
Шынында,
limх--х0ψх=limх--х0f1x∙f2x ... fn( x =limх--х0f1x∙limх--х0f2x ... .limх --х0fnx=f1x0∙f2x0...fnx0=ψ(x0)
яғни
limх--х0ψх=ψ(x0)
болады.

Бұл теоремадан мынадай салдар шығады:
Егер f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз болса, оның кез келген натурал дәрежесі де сол нүктеде үзіліссіз функция болады.
Теорема 4. Егер берілген мына екі функцияның

f1(x)мен f2(x)

әрқайсысы х0 нүктесінде үзіліссіз, сонымен бірге f2(x0)!=0болса, олардың f1(x)f2(x)қатынасы да сол х0 нүктесінде үзіліссіз функция болады.
Шынында, теореманың шарты бойынша

limх--х0f1(x)=f1(x0)және limх--х0f2(x)=f2(x0)!=0

Ендеше:
limх--х0hx=limх--х0f1(x)f2(x)=lim х--х0f1(x)limх--х0f2(x)=f1(x0)f2( x0)=h(x0)
яғни
limх--х0hх=h(x0)
болыпшықты, сонымен теорема дәлелденді.
Теорема 5. Егерf(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз болса, ол функцияның абсолюттік шамасы f(x) да сол нүктеде үзіліссіз функция болады.
Шынында, gx=f(x)делік. Сонда
limх--х0gx=limх--х0f(x)=limх--х0 f(x)=f(x0)=g(x0)
яғни
limх--х0gх=g(x0)
болды, сонымен теорема да дәлелденді.

1.3 Үзіліссіз функциялардың қасиеттері.
Лемма. Егер f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз және f(x)!=0болса, онда δ0 саны табылады да, (х0-δ,х0+δ) маңайының барлық нүктелерінде функция өзінің таңбасын сақтайды ол таңба f(х0) санының таңбасымен бірдей болады.
Дәлелдеу. ε=f(x0)0 деп белгілелік. f(x) функциясы лемманың шарты бойынша х0 нүктесінді үзіліссіз. Олай болса, берілген ε0 үшін бір δ0 саны табылады да, х-тің

х0-δхх0+δ
шартын қанағаттандыратын барлық мәндері үшін

fx0-fx0fxfx0+fx0 (1)

теңсіздіктері орындалады.
Лемманың шартында f(x)!=0 делінген. Олай болса:
а) не fx00 , не fx00 болуы тиіс.
Егер fx00 десек, fx0=fx0. Сонда fx0-fx0=0 болады да, (1) теңсіздердің сол жағынан барлық х∈(х0-δ,х0+δ) үшін fx00 болатынын байқаймыз. Ал егер fx00 десек, fx0=-fx0 болатынын көреміз. Бұл жағдайда (1) теңсіздердің оң жағынан барлық х∈(х0-δ,х0+δ) үшін fx00 деген қорытындығы келеміз.
Осымен лемма дәлелденді.
Енді Больцано, Коши мен Вейерштрасстар сияқты атақты оқымыстылардың аттарымен байланысты үзіліссіз функциялар жайындағы өте-мөте маңызды төрт теореманы дәлелдеуге кіріселік.

1.4 Больцано - Кошидің бірінші, екінші теоремасы
Больцано мен Кошидің бірінші теоремасы.Егер f(x) функциясы мына екі шартты қанағаттандырса: бірінші, f(x) функциясы [a,b] сегментінде үзіліссіз; екінші [a,b] сегменті шеттерінде f(x) функциясының мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, [a,b] сегментінің ең болмағанда бір ішкі с нүктесінде (яғни асb) fc=0болады.
Дәлелдеу. Теореманың шарты бойынша функция мәндері fa пен f(b) -тің таңбалары қарама - қарсы.Сондықтан

fa0 және f(b)0

деп ұйғаруға болатыны даусыз.
Енді [a,b] сегментін қақ бөлсе, екі сегмент а, a+b2 және a+b2, bсегменттері пайда болады. Егер осылайша бірінші бөлуіміздің нәтижесінде

fa+b2=0

болып шықса, с нүктесі a+b2 -ні алуға болатыны анық, өйткені бұл нүкте [a,b] сегментінің ішкі нүктесі екені күмәнсіз. Бұлай бола қалған жағдайда теорема дәлелденген болып шығады.
Ал, егер
fa+b2!=0
болып шықса, пайда болған

а, a+b2 мен a+b2, b (2)

сегменттерінің бірінің шеттеріндегі функция мәндерінің таңбасы қарама-қарсы болады. (2) сегменттердің қайсысы осы шартты қанағаттандырса, соны a1,b1арқылы белгілейміз. Бұл жерде

fа10 және f(b1)0

болуы талап етіледі. Сонымен қатар:
a1=a2, b2=b1 және b1-a1=b-a2
болатыны өзінен - өзі айқын.
Сонан кейін a1,b1 сегментін тағы өзара тең екі бөлікке бөлеміз. Егер осылай бөліп жіберу нәтижесінде

fa1+b12=0

болып шықса, с нүктесі үшін a1+b12 нүктесін аламыз да, теореманың дәлелденгеніне көзіміз жетеді.
Ал ,егер fa1+b12!=0 болып шықса, a1,b1 сегментін қақ бөлу нәтижесінде пайда болған екі сегменттің
a1,a1+b12 мен a1+b12, b1қайсысы

fа20 және f(b2)0

теңсіздіктерін қанағаттандыратын a2,b2 арқылы белгілейміз. Әрине бұл жағдайда
b2-a2=b-a22

Егер сегменттерді осылайа тек екі бөлікке бөлу процесін онан ары соза берсек, ақырлы қадамнан кейін не f(x) функциясы нольге айналатын нүктені тауып аламыз (онда теорема дәлелденген болады) , не бұлай бөлу процесі аяқсыз созыла беретін болады да, ешбір бөлу нүктесінде f(x) функциясы нольге айналмайтын болады. Соңғы жағдайда мына екі тізбек, яғни
а,а1,а2, ... ,an, ... .(3)
және
b, b1, b2, ... , bn, ... ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.