Нақты сандарға қолданылатын амалдар
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
І Бөлім Мектепте нақты сандарды оқытудың теориялық негіздері
1.1. Математиканы оқыту әдебиеттерінде нақты сандар
мәселесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
1.2. Оқу процесінде нақты сандарға қолданылатын амалдарды
үйретудің өзекті дидактикалық шарттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..10
ІІ Бөлім Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың әдістемесі
2.1.Мектеп оқушыларына нақты сандарға қолданылатын амалдарды
үйретудің ерекшеліктері ... ... ..15
2.2. Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың
әдістері мен тиімді жолдары ... ... ... ..20
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ..25
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ..27
І Бөлім Мектепте нақты сандарды оқытудың теориялық негіздері
1.1. Математиканы оқыту әдебиеттерінде нақты сандар
мәселесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
1.2. Оқу процесінде нақты сандарға қолданылатын амалдарды
үйретудің өзекті дидактикалық шарттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..10
ІІ Бөлім Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың әдістемесі
2.1.Мектеп оқушыларына нақты сандарға қолданылатын амалдарды
үйретудің ерекшеліктері ... ... ..15
2.2. Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың
әдістері мен тиімді жолдары ... ... ... ..20
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ..25
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ..27
Қазақстан дербес мемлекет ретінде тәуелсіздігін алғаннан бері қоғам дамуының қазіргі талаптарынан туындап отырған міндет пен мақсаттарға орай өскелең ұрпаққа білім мен тәрбие беру мәселесін жан-жақты жетілдіруқажет болып отыр.
Әрине, бұл білім беру жүйесінің барлық буындарына, соның ішінде бастауыш буынға, зор жауапкершілік жүктейді. Өйткені, білім мен тәлім-тәрбиенің негізі бастауыш мектепте қалаланды.
Осы бағытта біршама шаралар жүзеге асырылады. Бұлардың ішінде математикалық ұғымдар, заңдар, қасиеттер, фактілер, әрекет тәсілдері, логикалық амалдар мен ақыл-ой операцияларын қарастыратын математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері пәні ерекше рөл атқарады.
Біз математика курсында әр түрлі сандармен танысатын боламыз. Санау кезінде қолданылатын 1,2,3,...сандары натурал сандар жиынын құрайды. Натурал сандар, оларға қарама қарсы сандар және нөл саны бүтін сандардың жиынын құрайды. Біздерге бүтін сандардан басқа бөлшек сандар (оң және теріс) белгілі. Бүтін және бөлшек сандар рационал сандар жиынын құрайды. Бұл сандар есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі (бөлгіш нөлден өзге сан болғанда) рационал сандар болып табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез келген кесіндіні, бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімен кез келген дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы азаматтың іс жүзіндегі қажеттіліктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді.
Әрине, бұл білім беру жүйесінің барлық буындарына, соның ішінде бастауыш буынға, зор жауапкершілік жүктейді. Өйткені, білім мен тәлім-тәрбиенің негізі бастауыш мектепте қалаланды.
Осы бағытта біршама шаралар жүзеге асырылады. Бұлардың ішінде математикалық ұғымдар, заңдар, қасиеттер, фактілер, әрекет тәсілдері, логикалық амалдар мен ақыл-ой операцияларын қарастыратын математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері пәні ерекше рөл атқарады.
Біз математика курсында әр түрлі сандармен танысатын боламыз. Санау кезінде қолданылатын 1,2,3,...сандары натурал сандар жиынын құрайды. Натурал сандар, оларға қарама қарсы сандар және нөл саны бүтін сандардың жиынын құрайды. Біздерге бүтін сандардан басқа бөлшек сандар (оң және теріс) белгілі. Бүтін және бөлшек сандар рационал сандар жиынын құрайды. Бұл сандар есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі (бөлгіш нөлден өзге сан болғанда) рационал сандар болып табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез келген кесіндіні, бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімен кез келген дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы азаматтың іс жүзіндегі қажеттіліктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді.
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Қ. Математиканың теориялық негіздері.Астана, 2007ж.
2. Бейсенов Ж.Орта мектепте математиканы оқыту әдістемесіне арналған оқу құралы.-Шымкент,2003ж.
3. Кенеш Ә. Математикалық ұғымдарды оқыту негіздері. –оқу құралы.Алматы,1999ж.
4. Қожабаев Қ. Математиканы оқыту әдістері.- Алматы,Санат, 1998ж.
5. Нұрғалиева Г.К.. Оқыту әдістері. – А., 1991.
6. Оспанов Т.Қ. Бастауыш кластар математикалық оқыту әдістемесі.-Алматы, Мектеп, 1987ж
7. Иванова Н.Д., Қозғамбаева Қ.. Оқыту процесі оның мәні. А. 1991.
8. Айтмамбетова Б. Оқыту процесін ұйымдастыру. А. 1991.
9. Махмудов М.Н. Мектепте проблемалық оқуды ұйымдастыру. –А., 1981.
10. Айтмамбетова Б.Р. Жаңашыл педагогтар идеялары мен тәжірибелері. -А., 1991.
11. Кенебаева М. Бастауыш және негізгі мектепте математиканы дамыта оқытудағы сабақ мәселелері. Астана, 2005ж.
12. Әбілқасымова А.Е., Көбесов А.К., Рахымбек Д., Кенеш Ә.С. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі.- Алматы “Білім” 1998.
13. Жұбаназарова Н. Бастауыш мектеп оқушының математикалық ойлау іс-әрекетін дамыту.-Алматы,2005ж.
14. СейіловаЗ. Негізгі мектеп математика курсын ізгілік бағытта оқытудың әдістерінің ерекшеліктері.Алматы, 2004ж.
15. Кузнецов А.А. и др. ЭВМ на уроках математики. // Математика в школе 1985, N6.
16. Сейілова З. Негізгі мектеп оқушыларына математикалық білім беруді ізгілендіру әдіснің ерекшеліктері. Алматы, 2004ж.
17. ЕралиеваМ. Математиканы оқытуды ізгілендіру. – Монография. , Алматы, 2003ж.
18. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Қ. Бастауыш мектепте математиканы оқыту әдістемесі. Астана, 2005ж.
2. Бейсенов Ж.Орта мектепте математиканы оқыту әдістемесіне арналған оқу құралы.-Шымкент,2003ж.
3. Кенеш Ә. Математикалық ұғымдарды оқыту негіздері. –оқу құралы.Алматы,1999ж.
4. Қожабаев Қ. Математиканы оқыту әдістері.- Алматы,Санат, 1998ж.
5. Нұрғалиева Г.К.. Оқыту әдістері. – А., 1991.
6. Оспанов Т.Қ. Бастауыш кластар математикалық оқыту әдістемесі.-Алматы, Мектеп, 1987ж
7. Иванова Н.Д., Қозғамбаева Қ.. Оқыту процесі оның мәні. А. 1991.
8. Айтмамбетова Б. Оқыту процесін ұйымдастыру. А. 1991.
9. Махмудов М.Н. Мектепте проблемалық оқуды ұйымдастыру. –А., 1981.
10. Айтмамбетова Б.Р. Жаңашыл педагогтар идеялары мен тәжірибелері. -А., 1991.
11. Кенебаева М. Бастауыш және негізгі мектепте математиканы дамыта оқытудағы сабақ мәселелері. Астана, 2005ж.
12. Әбілқасымова А.Е., Көбесов А.К., Рахымбек Д., Кенеш Ә.С. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі.- Алматы “Білім” 1998.
13. Жұбаназарова Н. Бастауыш мектеп оқушының математикалық ойлау іс-әрекетін дамыту.-Алматы,2005ж.
14. СейіловаЗ. Негізгі мектеп математика курсын ізгілік бағытта оқытудың әдістерінің ерекшеліктері.Алматы, 2004ж.
15. Кузнецов А.А. и др. ЭВМ на уроках математики. // Математика в школе 1985, N6.
16. Сейілова З. Негізгі мектеп оқушыларына математикалық білім беруді ізгілендіру әдіснің ерекшеліктері. Алматы, 2004ж.
17. ЕралиеваМ. Математиканы оқытуды ізгілендіру. – Монография. , Алматы, 2003ж.
18. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Қ. Бастауыш мектепте математиканы оқыту әдістемесі. Астана, 2005ж.
Тақырыбы: Нақты сандарға қолданылатын амалдар
Мазмұны:
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І Бөлім Мектепте нақты сандарды оқытудың теориялық негіздері
1.1. Математиканы оқыту әдебиеттерінде нақты сандар
мәселесі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... 6
1.2. Оқу процесінде нақты сандарға қолданылатын амалдарды
үйретудің өзекті дидактикалық шарттары
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...10
ІІ Бөлім Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың
әдістемесі
2.1.Мектеп оқушыларына нақты сандарға қолданылатын амалдарды
үйретудің
ерекшеліктері ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ..15
2.2. Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың
әдістері мен тиімді
жолдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.20
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .25
ПАЙДАЛАНҒАН
ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
..27
КІРІСПЕ
Курстық жұмыстың көкейкестілігі: Қазақстан дербес мемлекет ретінде
тәуелсіздігін алғаннан бері қоғам дамуының қазіргі талаптарынан туындап
отырған міндет пен мақсаттарға орай өскелең ұрпаққа білім мен тәрбие беру
мәселесін жан-жақты жетілдіруқажет болып отыр.
Әрине, бұл білім беру жүйесінің барлық буындарына, соның ішінде
бастауыш буынға, зор жауапкершілік жүктейді. Өйткені, білім мен тәлім-
тәрбиенің негізі бастауыш мектепте қалаланды.
Осы бағытта біршама шаралар жүзеге асырылады. Бұлардың ішінде
математикалық ұғымдар, заңдар, қасиеттер, фактілер, әрекет тәсілдері,
логикалық амалдар мен ақыл-ой операцияларын қарастыратын математиканың
бастауыш курсының теориялық негіздері пәні ерекше рөл атқарады.
Біз математика курсында әр түрлі сандармен танысатын боламыз. Санау
кезінде қолданылатын 1,2,3,...сандары натурал сандар жиынын құрайды.
Натурал сандар, оларға қарама қарсы сандар және нөл саны бүтін
сандардың жиынын құрайды. Біздерге бүтін сандардан басқа бөлшек сандар
(оң және теріс) белгілі. Бүтін және бөлшек сандар рационал сандар жиынын
құрайды. Бұл сандар есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы,
айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі (бөлгіш нөлден өзге сан болғанда)
рационал сандар болып табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар,
мұның арқасында кез келген кесіндіні, бірлік өлшем ретінде қабылданған
кесіндімен кез келген дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу
нәтижесін рационал санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ
уақыт бойы азаматтың іс жүзіндегі қажеттіліктерін толық қамтамасыз етіп
келді (және де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан
шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді.
Рационал және иррационал сандар жиындарының бірігуі нақты сандар
жиынын береді және оны R арқылы белгілейді.
Кез келген нақты санды ақырсыз ондық бөлшек түрінде жазуға болады.
Егер сан рационал болса, онда бөлшек периодты, егер сан иррационал болса,
онда бөлшек периодсыз болады.
Әрбір нақты санға координата түзуінің жалғыз нүктесі және керісінше,
координата түзуінің әрбір нүктесіне жалғыз нақты сан сәйкес келеді. Басқаша
айтқанда, түзудегі нүктелер жиыны мен нақты сандар жиынының арасында
өзара бірмәнді сәйкестік орнатуға болады.
Нақты сандар жиынын сандар түзуі деп те атайды. Сандар түзуінің
геометриялық моделі (бейнесі) – координата түзуі.
Курстық жұмыстың мақсаты: оқушыларға нақты сандарға қолданылатын
амлдарды үйрету.
Курстық жұмыстың зерттеу объектісі: оқушыларға нақты сандарға
қолданылатын амалдарды есептеуді қалыптастыру мәселелері.
Курстық жұмыстың зерттеу пәні: оқушыларға нақты сандарға қолданылатын
амалдарды қалыптастырудың тиімді жолдарын анықтау.
Курстық жұмыстың міндеттері:
- Математиканы оқыту әдебиеттерінде нақты сандар мәселесі;
- Оқу процесінде нақты сандарға қолданылатын амалдарды үйретудің
өзекті дидактикалық шарттары;
- Мектеп оқушыларына нақты сандарға қолданылатын амалдарды үйретудің
ерекшеліктері;
- Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың әдістері
мен тиімді жолдары.
Курстық жұмыстың құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен,
қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Кіріспе бөлімінде осы тақырыптың көкейкестілігі, нақты сандарға
қолданылатын амалдарды үйрету мәселелері және оқу-тәрбие процесінің
бірізділігі, оны зерттеуге ат салысқан ғалымдардың еңбектерінің құндылығы
қарастырылды. Зерттеу жұмысының ғылыми аппараты, мақсаты, міндеттері
әдістері объектісі мен пәні көрсетілді.
Мектепте нақты сандарды оқытудың теориялық негіздері деп аталатын
бөлімде математиканы оқыту әдебиеттерінде нақты сандар мәселесі
мен оқу процесінде нақты сандарға қолданылатын амалдарды үйретудің өзекті
дидактикалық шарттары қарастырылады.
Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың
әдістемесі деп аталатын бөлімде мектеп оқушыларына нақты сандарға
қолданылатын амалдарды үйретудің ерекшеліктері және оқушыларға нақты
сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың әдістері мен тиімді жолдары
қарастырылады.
І Бөлім Мектепте нақты сандарды оқытудың теориялық негіздері
1.1. Математиканы оқыту әдебиеттерінде нақты сандар
мәселесі
Біз натурал сан мен нөл ұғымдарының қалай пайда болып, қалай
амығанын білеміз. Сондай-ақ бұған дейін теріс емес бүтін сандар жиынын
әртүрлі: финиттік, теориялық-жиындық және оған қоса натурал санды
шамаларды өлшеудің нәтижесінде шығарып алуға болады, яғни өлшенетін
шаманы әрқайсысы өлшем бірлігіне тең бірнеше бөліктерге бөлу, қандай да
болсын әйтеуір бір мағынада мүмкін болса, онда өлшеу нәтижесі (немесе
шаманың өлшемі) натурал сан арқылы өрнектеледі.
Жалпы алғанда, саны және фигура ұғымдары, басқа ешқайдан емес, тек
шындық дүниеден алынған. Адамдардың санауға үйренген, яғни алғашқы
арифметикалық есеп шығаруға үйренген он саусағын не десеңіз ол деңіз, тек
әйтеуір ол ақыл-ойдың еркіндегі нәрселердің болуы ғана емес, сонымен
бірге, бұл нәрселерге көз жібергенде, олардың санынан басқа қасиеттеріне
алаңдамайтын қабілет те болу керек, ал ол қабілет тәжірибеге сүйенген ұзақ
тарихи дамудың нәтижесі.
Натурал сандардың N жиыны сан ұғымын кеңейту ұғымын кеңейту
процесіндегі бастапқы жиын болып табылады. Өте ерте заманда пайда болған
натурал сан ұғымы көптеген ғасырлар бойы жалпыланып, кеңейе түсті.
Сонда сан жайындағы түсініктер адамзаттың тәжірибелік мұқтаждығына,
мәселен, шамаларды өлшеудің қажеттігіне және математиканың өзінің ішкі
мұқтаждығына байланысты кеңейіп отырғандығы байқалады.
Мысалы, шамаларды неғұрлым дәлірек өлшеудің мұқтаждығы ондық
бөлшек ұғымының тууына себепші болса, теңдеулерді шешу тәжірибелері мен
осы саладағы териялық зерттеулерге байланысты теріс сандар ұғымы пайда
болады. Бастапқыда санның жоқ екендігін белгілеу үшін қолданылған нөл,
теріс сандар енгізілгеннен кейін, Z бүтін сандар жиынындағы, сондай-ақ Q
рационал сандар жиынындағы толыққанды сан ретінде қарастырылатын болды.
Б.э.д. Ү ғасырда, Пифагор мектебінде кесінді ұзындығын дәл өлшеу
үшін оң рационал сандардың жеткіліксіз болатындығы тағайындалды.
Кейінірек, осы мәселенің шешілуіне байланысты иррационал сандар пайда
болды, ал ХҮІ ғасырда ондық бөлшектердің енгізілуіне байланысты нақты
сандарға қарай қадам жасалды. Нақты санның қатаң түрдегі анықтамасы мен
нақты сандар жиынының қасиеттері ХІХ ғасырда тұжырымдалады.
Нақты сан ұғымы сандар қатарындағы ең соңғы ұғым емес. Сан ұғымын
кеңейту процесін одан әрі жалғастыра беруге болады және бұл процесс
жалғасады да мұны математиканың және басқа да ғылымдардың дамуы талап
етуде. Мәселен, комплекс сандар теріс сандар сияқты, математика
ғылымының іштей дамуына, атап айтқанда, алгебралық теңдеулерді шешу
тәжірибесіне байланысты пайда болды.
Тарихи тұрғыдан алғанда, комплекс сан ұғымы ұғымы ХҮІ ғасырда екінші
дәрежелі теңдеулерді шешу мселесінен келіп шыққан. Комплекс сандар нақты
сандар сияқты мөлшерді сипаттамағанымен, нақты сандар терминдерінде
құастырылған есептерді шешуде оларды қолданудың пайдасы тиеді.
Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым туралы ғасырлар бойы
кеңейтіліп әрі жалпылана түскен. Өлшеулер жүргізу қажеттілігі оң рационал
сандарға әкеп соқтырады. Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып
келді. Теріс сандар ұзақ уақыт бойы жалған сандар деп есептеліп, қарыз
(борыш), жеткіліксіздік (жетімсіздік) ретінде түсіндіріліп келген.
Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек
қосу және азайту жағдайлары үшін ғана қарастырылып отырған. Мысалы, бұл
ережені үнді математиктері ҮІІ ғасырда былай тұжырымдаған: Екі мүліктің
қосындысы мүлік болады, екі қарыздың қосындысы қарыз болады, мүлік пен
қарыздың қосындысы бұлардың айырмасына тең болады. Тек ХҮІІ ғасырда ғана
Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі пайдаланыла бастағаннан бері
теріс сандар оң сандармен тең праволы сандар ретінде қабылданды.
Бүтін және бөлщек сандар рационал сандар жиынын құрайды. Бұл сандар
есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі
және бөліндісі (бөлгіш нөлден өзге сан болғанда) рационал сандар болып
табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез
келген кесіндіні, бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімен кез келген
дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен
өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы азаматтың іс
жүзіндегі қажеттіліктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі
кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі
жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді.
Ежелгі Грецияда пифагордың ( біздің заманымызға дейінгі ҮІ ғасырда)
мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде квадраттың диагоналын рационал
санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген болатын. Квадраттың диагоналы және
оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп атаған.
Бұдан кейінгі уақытта (біздің заманымызға дейінгі Ү-ІҮ ғасырларда)
ежелгі грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n
саны үшін санының иррационалдығын дәлелдеді.
Үндістанның, Таяу және Орта Шығыстың, ал кейініректе Европаның
математиктері иррационал шамаларды пайдаланды. Бірақ ұзақ уақыт бұларды тең
праволы сан ретінде қабылдамаай келген. Оларды қабылдауға Декарттың
Геометриясының шығуы ықпал жасады.
Әрбір рационал немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында
нүктемен кескінделеді, және керісінше, координаттық түзудің бойындағы әрбір
нүктеге белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни нақты сан сәйкес
келеді.
Иррационал сандар енділірілгеннен кейін координаттық түзудің
бойындағы барлық бос орындар толтырылады. Осы қасиетке сүйненіп, нақты
сандар жиыны (рационал сандар жиынынан айырмашылығы) үздіксіз болып
табылады делінеді.
Кез келген нақты санды шектеусіз (период немесе периодсыз) ондық
бөлшек түрінде көрсетуге болады. ХҮІІІ ғасырда Л:Эйлер (1707-1783) мен
И.Ламберт (1728-1777) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан
болатынын көрсетті. Шектеусіз ондық бөлшек негізінде нақты сандар құруды
неміс математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын
мазмұндаудың басқаша тәсілдерін неміс математиктері Р. Дедекинд (1831-
1916) пен Г.Кантор (1845-1918) ұсынды.
1.2. Оқу процесінде нақты сандарға қолданылатын амалдарды
үйретудің өзекті дидактикалық шарттары
Бүтін және бөлшек сандар рационал сандар жиынын құрайды. Натурал
сандар жиынын әдетте N әрпімен, бүтін сандар жиыны Z әрпімен, рационал
сандар жиынын Q әрпімен белгйлейі. Кез келген санның қарастырылып
отырған жиынға тиісті екендігін жазып көрсету үшін белгісі
пайдаланылады. Мысалы, 2 саны натурал сан (немесе 2 саны натурал сандар
жиынына тиісті) болады деген пікірді былайша жазуға болады: 2N . -2
саны натурал сан емес; мұны белгісі арқылы жазуға болады: -2
N.
Кез келген рационал санды, бүтін санды, сол сияқты, бөлшек санды да
mn бөлшек түрінде жазып көрсетуге болады, мұндағы m – бүтін сан, ал n-
натурал сан. Бір рационалды санды бөлшек түрінде былайша әр түрлі
тәсілмен жазып көрсетуге болады.Мысалы:
-0,7 5=
Берілген рационал санды өрнектейтін бөлшектердің арасынан бөлімі ең
кіші болатын бөлшекті әрқаша көрсетуге болады. Бұл бөлшек
қысқартылмайды. Бүтін сандар үшін мұндай бөлшектің бөлімі 1-ге тең
болады.
Рационал сан термині латын тіліндегі ratio деген сөзінен шыққан,
қазақша аударғанда қатынас(бөлінді) дегенді білдіреді.
Рационал сандырды ондық бөлшектер түрінде көрсетейік. Мысалы: =
0,4;
Иррационал (рационал емес) сан деп, ақырсыз периодсыз ондық бөлшек
түрінде жазуға болатын санды айтады. Мысалы, 0,101 10 1110 11110... .
Математикада белгілі бір саны π саны, е саны (натурал логарифм негізі) –
иррационал сандар.
Иррационал сан түсінігіне келтіретін мысалды мына теорема береді:
Квадраты 2-ге тең рационал сан жоқ. Басқаша айтқанда, рационал сандар
жиынында х2-2 = 0 теңдеуін шешу мүмкін емес. Өйткені, бұл теңдеудің
түбірлері мен - - иррационал сандар.
Осы сияқты квадраты 5-ке, 7-ге, 10-ға тең рационал сандар жоқ.
Квадраты көрсетілген сандарға тең иррационал сандар сәйкес ,
, деп белгіленеді. Оларға қарама-қарсы -, -,
-сандары да иррационал сандар.
Рационал және иррационал сандар жиындарының бірігуі нақты сандар
жиынын береді және оны R арқылы белгілейді.
Кез келген нақты санды ақырсыз ондық бөлшек түрінде жазуға болады.
Егер сан рационал болса, онда бөлшек периодты, егер сан иррационал болса,
онда бөлшек периодсыз болады.
Әрбір нақты санға координата түзуінің жалғыз нүктесі және керісінше,
координата түзуінің әрбір нүктесіне жалғыз нақты сан сәйкес келеді. Басқаша
айтқанда, түзудегі нүктелер жиыны мен нақты сандар жиынының арасында
өзара бірмәнді сәйкестік орнатуға болады.
Нақты сандар жиынын сандар түзуі деп те атайды. Сандар түзуінің
геометриялық моделі (бейнесі) – координата түзуі.
Ақырлы ондық бөлшектерді қосу, азайту, көбейту және бөлу
ережелері бізге белгілі. Ақырсыз ондық бөлшекерге қолданылатын бұл
амалдар ережелері шексіз процестерді талап етеді, сондықтан да олар
теориялық тұрғыдан ғана маңызды.
Практикада ақырсыз ондық бөлшектерді (нақты сандарды) жуықтап қосады,
азайтады, көбейтеді және бөледі.Оң ақырсыз ондық бөлшектегі үтірге
дейінгі санды осы бөлшектің бүтін бөлігі деп атаймыз. Ақырсыз ондық
бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифр осы бөлшектің бірінші разрядының
цифры, үтірден кейінгі екінші цифр – екінші разрядтық цифр, үшіншісін –
үшінші разрядтық цифр, т.с.с атайды.
Бұл анықтамадан санның модулі оң сан немесе нөл болатынын көреміз.
Мысалы, a =, b = - , с = 0 болса, онда: ׀ а ׀ = , ׀ b ׀ =
- , ׀ с ׀ =0.
Нақты сандарды салыстыруға тоқталайық:
Екі ақырсыз ондық бөлшек сандарды берілсін ( екеуінің де периоды 9
емес деп санаймыз). Оларды салыстыру үшін келесі ережелерді қолдануға
болады.
1-ереже. Егер екі нақты санның таңбалары бірдей болып олардың
модульдерінің бірдей бүтін бөліктері және сәйкес разрядтарының бірдей
цифрлары бар болса, онда олар тең болады.
Бірақ нөл саны үшін:
0 = 0,000... = - 0,000... = + 0,000...
болатынын еске саламыз.
2-ереже. Теріс сан 0-ден кіші және кез келген оң нақты саннан кіші. 0-
саны кез келген оң нақты саннан кіші.
3-ереже. Екі оң нақты сандардың қайсысының бүтін бөлігі үлкен болса
сонысы үлкен. Ал, егер бүтін бөліктері бірдей болса, онда цифрлары
әртүрлі болатын ең кіші разрядына қараймыз; қайсы санның осы разрядының
цифры үлкен болса, сол сан үлкен.
Теріс нақты сандар үшін бәрі керісінше: олардың қайсысының модулі кіші
болса, сонысы үлкен болады.
Егер а мен b нақты сандары тең болса, онда а = b деп жазады. Егер де
а саны b-дан кіші болса, онда а b немесе b а деп жазады, а саны b-ға
тең емес болса, оны а ≠ b деп жазады.
Мысалы: -3,1 мен – 3(1) сандарын салыстыру керек:
׀-3,1׀ = 3,1 =3,1000...; ׀ -3,(1) ׀ =3,(1) = 3,111...;
3,1 3,(1) болғандықтан -3,1 -3,(1) болады (3-ереже).
Жоғарыдағы айтылған ережелерді геометриялық тұрғыдан былайша айтуға
болады:
Берілген екі санның координаталар түзуінде қайсысы оң жағында
орналасса сонысы үлкен (оң жай бөлшектерді салыстыру ережесін §2, 12п.
қараңыз).
, - қатаң теңсіздік таңбалары , ал ≥, ≤ - қатаң емес теңсіздік
таңбалары.
а ≤ b жазуы а саны b-дан кіші немесе а саны b-ға тең деген
айтылымдардың ең болмағанда біреуінің дұрыс екенін білдіреді (а ≤ b жазуын
– а саны b-дан үлкен емес - деп те оқиды). Мысалы, 3 ≤ 5, 5 ≥ 5 дұрыс
теңсіздіктер.
а ≥b болса, онда а-ны теріс емес сан деп театайды.
Егер а b және b с болса, онда а b с жазуы (қос теңсіздік)
қолданылады.
Кез келген a, b, c, d нақты сандар үшін келесі қасиеттер орындалады
10. а b болса, онда а b с болатындай с саны табылады.
20. а b және b с болса, а с болады (теңсіздіктердің транзитивті
(алмасымдылық) қасиеті);
30. Егер а b болса, а+с b +с;
40. Егер а b болса, онда кез келген с 0 саны үшін ас bс;
50. Егер а b және с 0 болса, онда ас bс;
60. Егер а b және с d болса, онда а+с b +d;
70. Егер a, b, c, d – оң сандар болып, а b және с d болса, онда ас
bd;
80. Егер а b және с d болса, с-а d- b ;
90. Егер а b 0 болса, онда ;
100. Егер а b 0 болса, онда кез келген натурал n саны үшін аn
bn теңсіздігі орындалады.
Нақты сандар үшін орындалатын амалдар ережесіне тоқталып көрейік:
Таңбалары бірдей екі санның қосындысын табу үшін олардың модульдерін
қосып, қосынды алдына қосылғыштардың таңбасы жазылады. Мысалы,
(+12) + (+8) = +20; (-12) +(-8) = -20.
Таңбалары әртүрлі екі санның қосындысын табу үшін қосылғыштардағы
үлкен модульден кіші модульді шегеріп, айырма алдына модулі үлкен санның
таңбасын жазады. Мысалы,
(+12) + (-8) = + (12-8) = 4; (-12) + (+8) = - (12-8) = -4.
Бір саннан екінші санды шегеру үшін, азайтқышқа қарама-қарсы санды
азайғышқа қосады. Мысалы,
12- (-8) = 12+(+8) = 20; 12- (+8) = 12+ (-8) = 4.
Екі санның көбейтіндісі (бөліндісін) табу үшін ол екі санның
модульдерін көбейтеді де (бірінші санның модулін екінші санның модуліне
бөледі де), көбейтінді (бөлінді) алдына – егер екі сан бірдей таңбалы
болса, +, ал әртүрлі таңбалы болса - таңбасын жазады. Мысалы,
(-12) * (-8) = +12* 8 = 96; (-24) (+3) = - 243 = -8.
х– нақты сан болсын. Оның бүтін бөлігі деп, х-тен аспайтын ең үлкен
бүтін санды айтады да, оны х деп белгілейді. х санының бөлшек бөлігі деп,
осы санмен оның бүтін бөлігінің айырмасын, яғни, х-х айтады да, оны
{х} деп белгілейді. Сонымен, {х}= х-х.
Мысалы, [2.35]=2.{2.35}=2.35-2=0.35 [10]=10
{10}= 10-10=0, [-0.85]=-0.85-[-1]=0.15
ІІ Бөлім Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың
әдістемесі
2.1.Мектеп оқушыларына нақты сандарға қолданылатын амалдарды үйретудің
ерекшеліктері
Бізге бұрыннан белгілі болғанындай оң рационал сандарға амалдар
қолдану, олар ондық бөлшек түрінде жазылған жағдайда қолайлы болады.
Сондықтан шамаларды өлшеу нәтижесін де, нақтырақ айтқанда кесіндінің
ұзындығын өлшеу нәтижесін ондық бөлшек түрінде жазып көрсеткен тиімді.
Айталық, е- ұзындық бірлігі, ал а ұзындығы өлшенетін кесінді болсын
және де а кесіндісі әрқайсысы е-ге тең n кесінділер мен е- ден қысқа а1
кесіндіден тұратын болсын, яғни nе а ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Мазмұны:
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І Бөлім Мектепте нақты сандарды оқытудың теориялық негіздері
1.1. Математиканы оқыту әдебиеттерінде нақты сандар
мәселесі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... 6
1.2. Оқу процесінде нақты сандарға қолданылатын амалдарды
үйретудің өзекті дидактикалық шарттары
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...10
ІІ Бөлім Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың
әдістемесі
2.1.Мектеп оқушыларына нақты сандарға қолданылатын амалдарды
үйретудің
ерекшеліктері ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ..15
2.2. Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың
әдістері мен тиімді
жолдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.20
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .25
ПАЙДАЛАНҒАН
ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
..27
КІРІСПЕ
Курстық жұмыстың көкейкестілігі: Қазақстан дербес мемлекет ретінде
тәуелсіздігін алғаннан бері қоғам дамуының қазіргі талаптарынан туындап
отырған міндет пен мақсаттарға орай өскелең ұрпаққа білім мен тәрбие беру
мәселесін жан-жақты жетілдіруқажет болып отыр.
Әрине, бұл білім беру жүйесінің барлық буындарына, соның ішінде
бастауыш буынға, зор жауапкершілік жүктейді. Өйткені, білім мен тәлім-
тәрбиенің негізі бастауыш мектепте қалаланды.
Осы бағытта біршама шаралар жүзеге асырылады. Бұлардың ішінде
математикалық ұғымдар, заңдар, қасиеттер, фактілер, әрекет тәсілдері,
логикалық амалдар мен ақыл-ой операцияларын қарастыратын математиканың
бастауыш курсының теориялық негіздері пәні ерекше рөл атқарады.
Біз математика курсында әр түрлі сандармен танысатын боламыз. Санау
кезінде қолданылатын 1,2,3,...сандары натурал сандар жиынын құрайды.
Натурал сандар, оларға қарама қарсы сандар және нөл саны бүтін
сандардың жиынын құрайды. Біздерге бүтін сандардан басқа бөлшек сандар
(оң және теріс) белгілі. Бүтін және бөлшек сандар рационал сандар жиынын
құрайды. Бұл сандар есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы,
айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі (бөлгіш нөлден өзге сан болғанда)
рационал сандар болып табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар,
мұның арқасында кез келген кесіндіні, бірлік өлшем ретінде қабылданған
кесіндімен кез келген дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу
нәтижесін рационал санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ
уақыт бойы азаматтың іс жүзіндегі қажеттіліктерін толық қамтамасыз етіп
келді (және де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан
шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді.
Рационал және иррационал сандар жиындарының бірігуі нақты сандар
жиынын береді және оны R арқылы белгілейді.
Кез келген нақты санды ақырсыз ондық бөлшек түрінде жазуға болады.
Егер сан рационал болса, онда бөлшек периодты, егер сан иррационал болса,
онда бөлшек периодсыз болады.
Әрбір нақты санға координата түзуінің жалғыз нүктесі және керісінше,
координата түзуінің әрбір нүктесіне жалғыз нақты сан сәйкес келеді. Басқаша
айтқанда, түзудегі нүктелер жиыны мен нақты сандар жиынының арасында
өзара бірмәнді сәйкестік орнатуға болады.
Нақты сандар жиынын сандар түзуі деп те атайды. Сандар түзуінің
геометриялық моделі (бейнесі) – координата түзуі.
Курстық жұмыстың мақсаты: оқушыларға нақты сандарға қолданылатын
амлдарды үйрету.
Курстық жұмыстың зерттеу объектісі: оқушыларға нақты сандарға
қолданылатын амалдарды есептеуді қалыптастыру мәселелері.
Курстық жұмыстың зерттеу пәні: оқушыларға нақты сандарға қолданылатын
амалдарды қалыптастырудың тиімді жолдарын анықтау.
Курстық жұмыстың міндеттері:
- Математиканы оқыту әдебиеттерінде нақты сандар мәселесі;
- Оқу процесінде нақты сандарға қолданылатын амалдарды үйретудің
өзекті дидактикалық шарттары;
- Мектеп оқушыларына нақты сандарға қолданылатын амалдарды үйретудің
ерекшеліктері;
- Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың әдістері
мен тиімді жолдары.
Курстық жұмыстың құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен,
қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Кіріспе бөлімінде осы тақырыптың көкейкестілігі, нақты сандарға
қолданылатын амалдарды үйрету мәселелері және оқу-тәрбие процесінің
бірізділігі, оны зерттеуге ат салысқан ғалымдардың еңбектерінің құндылығы
қарастырылды. Зерттеу жұмысының ғылыми аппараты, мақсаты, міндеттері
әдістері объектісі мен пәні көрсетілді.
Мектепте нақты сандарды оқытудың теориялық негіздері деп аталатын
бөлімде математиканы оқыту әдебиеттерінде нақты сандар мәселесі
мен оқу процесінде нақты сандарға қолданылатын амалдарды үйретудің өзекті
дидактикалық шарттары қарастырылады.
Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың
әдістемесі деп аталатын бөлімде мектеп оқушыларына нақты сандарға
қолданылатын амалдарды үйретудің ерекшеліктері және оқушыларға нақты
сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың әдістері мен тиімді жолдары
қарастырылады.
І Бөлім Мектепте нақты сандарды оқытудың теориялық негіздері
1.1. Математиканы оқыту әдебиеттерінде нақты сандар
мәселесі
Біз натурал сан мен нөл ұғымдарының қалай пайда болып, қалай
амығанын білеміз. Сондай-ақ бұған дейін теріс емес бүтін сандар жиынын
әртүрлі: финиттік, теориялық-жиындық және оған қоса натурал санды
шамаларды өлшеудің нәтижесінде шығарып алуға болады, яғни өлшенетін
шаманы әрқайсысы өлшем бірлігіне тең бірнеше бөліктерге бөлу, қандай да
болсын әйтеуір бір мағынада мүмкін болса, онда өлшеу нәтижесі (немесе
шаманың өлшемі) натурал сан арқылы өрнектеледі.
Жалпы алғанда, саны және фигура ұғымдары, басқа ешқайдан емес, тек
шындық дүниеден алынған. Адамдардың санауға үйренген, яғни алғашқы
арифметикалық есеп шығаруға үйренген он саусағын не десеңіз ол деңіз, тек
әйтеуір ол ақыл-ойдың еркіндегі нәрселердің болуы ғана емес, сонымен
бірге, бұл нәрселерге көз жібергенде, олардың санынан басқа қасиеттеріне
алаңдамайтын қабілет те болу керек, ал ол қабілет тәжірибеге сүйенген ұзақ
тарихи дамудың нәтижесі.
Натурал сандардың N жиыны сан ұғымын кеңейту ұғымын кеңейту
процесіндегі бастапқы жиын болып табылады. Өте ерте заманда пайда болған
натурал сан ұғымы көптеген ғасырлар бойы жалпыланып, кеңейе түсті.
Сонда сан жайындағы түсініктер адамзаттың тәжірибелік мұқтаждығына,
мәселен, шамаларды өлшеудің қажеттігіне және математиканың өзінің ішкі
мұқтаждығына байланысты кеңейіп отырғандығы байқалады.
Мысалы, шамаларды неғұрлым дәлірек өлшеудің мұқтаждығы ондық
бөлшек ұғымының тууына себепші болса, теңдеулерді шешу тәжірибелері мен
осы саладағы териялық зерттеулерге байланысты теріс сандар ұғымы пайда
болады. Бастапқыда санның жоқ екендігін белгілеу үшін қолданылған нөл,
теріс сандар енгізілгеннен кейін, Z бүтін сандар жиынындағы, сондай-ақ Q
рационал сандар жиынындағы толыққанды сан ретінде қарастырылатын болды.
Б.э.д. Ү ғасырда, Пифагор мектебінде кесінді ұзындығын дәл өлшеу
үшін оң рационал сандардың жеткіліксіз болатындығы тағайындалды.
Кейінірек, осы мәселенің шешілуіне байланысты иррационал сандар пайда
болды, ал ХҮІ ғасырда ондық бөлшектердің енгізілуіне байланысты нақты
сандарға қарай қадам жасалды. Нақты санның қатаң түрдегі анықтамасы мен
нақты сандар жиынының қасиеттері ХІХ ғасырда тұжырымдалады.
Нақты сан ұғымы сандар қатарындағы ең соңғы ұғым емес. Сан ұғымын
кеңейту процесін одан әрі жалғастыра беруге болады және бұл процесс
жалғасады да мұны математиканың және басқа да ғылымдардың дамуы талап
етуде. Мәселен, комплекс сандар теріс сандар сияқты, математика
ғылымының іштей дамуына, атап айтқанда, алгебралық теңдеулерді шешу
тәжірибесіне байланысты пайда болды.
Тарихи тұрғыдан алғанда, комплекс сан ұғымы ұғымы ХҮІ ғасырда екінші
дәрежелі теңдеулерді шешу мселесінен келіп шыққан. Комплекс сандар нақты
сандар сияқты мөлшерді сипаттамағанымен, нақты сандар терминдерінде
құастырылған есептерді шешуде оларды қолданудың пайдасы тиеді.
Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым туралы ғасырлар бойы
кеңейтіліп әрі жалпылана түскен. Өлшеулер жүргізу қажеттілігі оң рационал
сандарға әкеп соқтырады. Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып
келді. Теріс сандар ұзақ уақыт бойы жалған сандар деп есептеліп, қарыз
(борыш), жеткіліксіздік (жетімсіздік) ретінде түсіндіріліп келген.
Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек
қосу және азайту жағдайлары үшін ғана қарастырылып отырған. Мысалы, бұл
ережені үнді математиктері ҮІІ ғасырда былай тұжырымдаған: Екі мүліктің
қосындысы мүлік болады, екі қарыздың қосындысы қарыз болады, мүлік пен
қарыздың қосындысы бұлардың айырмасына тең болады. Тек ХҮІІ ғасырда ғана
Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі пайдаланыла бастағаннан бері
теріс сандар оң сандармен тең праволы сандар ретінде қабылданды.
Бүтін және бөлщек сандар рационал сандар жиынын құрайды. Бұл сандар
есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі
және бөліндісі (бөлгіш нөлден өзге сан болғанда) рационал сандар болып
табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез
келген кесіндіні, бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімен кез келген
дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен
өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы азаматтың іс
жүзіндегі қажеттіліктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі
кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі
жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді.
Ежелгі Грецияда пифагордың ( біздің заманымызға дейінгі ҮІ ғасырда)
мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде квадраттың диагоналын рационал
санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген болатын. Квадраттың диагоналы және
оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп атаған.
Бұдан кейінгі уақытта (біздің заманымызға дейінгі Ү-ІҮ ғасырларда)
ежелгі грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n
саны үшін санының иррационалдығын дәлелдеді.
Үндістанның, Таяу және Орта Шығыстың, ал кейініректе Европаның
математиктері иррационал шамаларды пайдаланды. Бірақ ұзақ уақыт бұларды тең
праволы сан ретінде қабылдамаай келген. Оларды қабылдауға Декарттың
Геометриясының шығуы ықпал жасады.
Әрбір рационал немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында
нүктемен кескінделеді, және керісінше, координаттық түзудің бойындағы әрбір
нүктеге белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни нақты сан сәйкес
келеді.
Иррационал сандар енділірілгеннен кейін координаттық түзудің
бойындағы барлық бос орындар толтырылады. Осы қасиетке сүйненіп, нақты
сандар жиыны (рационал сандар жиынынан айырмашылығы) үздіксіз болып
табылады делінеді.
Кез келген нақты санды шектеусіз (период немесе периодсыз) ондық
бөлшек түрінде көрсетуге болады. ХҮІІІ ғасырда Л:Эйлер (1707-1783) мен
И.Ламберт (1728-1777) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан
болатынын көрсетті. Шектеусіз ондық бөлшек негізінде нақты сандар құруды
неміс математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын
мазмұндаудың басқаша тәсілдерін неміс математиктері Р. Дедекинд (1831-
1916) пен Г.Кантор (1845-1918) ұсынды.
1.2. Оқу процесінде нақты сандарға қолданылатын амалдарды
үйретудің өзекті дидактикалық шарттары
Бүтін және бөлшек сандар рационал сандар жиынын құрайды. Натурал
сандар жиынын әдетте N әрпімен, бүтін сандар жиыны Z әрпімен, рационал
сандар жиынын Q әрпімен белгйлейі. Кез келген санның қарастырылып
отырған жиынға тиісті екендігін жазып көрсету үшін белгісі
пайдаланылады. Мысалы, 2 саны натурал сан (немесе 2 саны натурал сандар
жиынына тиісті) болады деген пікірді былайша жазуға болады: 2N . -2
саны натурал сан емес; мұны белгісі арқылы жазуға болады: -2
N.
Кез келген рационал санды, бүтін санды, сол сияқты, бөлшек санды да
mn бөлшек түрінде жазып көрсетуге болады, мұндағы m – бүтін сан, ал n-
натурал сан. Бір рационалды санды бөлшек түрінде былайша әр түрлі
тәсілмен жазып көрсетуге болады.Мысалы:
-0,7 5=
Берілген рационал санды өрнектейтін бөлшектердің арасынан бөлімі ең
кіші болатын бөлшекті әрқаша көрсетуге болады. Бұл бөлшек
қысқартылмайды. Бүтін сандар үшін мұндай бөлшектің бөлімі 1-ге тең
болады.
Рационал сан термині латын тіліндегі ratio деген сөзінен шыққан,
қазақша аударғанда қатынас(бөлінді) дегенді білдіреді.
Рационал сандырды ондық бөлшектер түрінде көрсетейік. Мысалы: =
0,4;
Иррационал (рационал емес) сан деп, ақырсыз периодсыз ондық бөлшек
түрінде жазуға болатын санды айтады. Мысалы, 0,101 10 1110 11110... .
Математикада белгілі бір саны π саны, е саны (натурал логарифм негізі) –
иррационал сандар.
Иррационал сан түсінігіне келтіретін мысалды мына теорема береді:
Квадраты 2-ге тең рационал сан жоқ. Басқаша айтқанда, рационал сандар
жиынында х2-2 = 0 теңдеуін шешу мүмкін емес. Өйткені, бұл теңдеудің
түбірлері мен - - иррационал сандар.
Осы сияқты квадраты 5-ке, 7-ге, 10-ға тең рационал сандар жоқ.
Квадраты көрсетілген сандарға тең иррационал сандар сәйкес ,
, деп белгіленеді. Оларға қарама-қарсы -, -,
-сандары да иррационал сандар.
Рационал және иррационал сандар жиындарының бірігуі нақты сандар
жиынын береді және оны R арқылы белгілейді.
Кез келген нақты санды ақырсыз ондық бөлшек түрінде жазуға болады.
Егер сан рационал болса, онда бөлшек периодты, егер сан иррационал болса,
онда бөлшек периодсыз болады.
Әрбір нақты санға координата түзуінің жалғыз нүктесі және керісінше,
координата түзуінің әрбір нүктесіне жалғыз нақты сан сәйкес келеді. Басқаша
айтқанда, түзудегі нүктелер жиыны мен нақты сандар жиынының арасында
өзара бірмәнді сәйкестік орнатуға болады.
Нақты сандар жиынын сандар түзуі деп те атайды. Сандар түзуінің
геометриялық моделі (бейнесі) – координата түзуі.
Ақырлы ондық бөлшектерді қосу, азайту, көбейту және бөлу
ережелері бізге белгілі. Ақырсыз ондық бөлшекерге қолданылатын бұл
амалдар ережелері шексіз процестерді талап етеді, сондықтан да олар
теориялық тұрғыдан ғана маңызды.
Практикада ақырсыз ондық бөлшектерді (нақты сандарды) жуықтап қосады,
азайтады, көбейтеді және бөледі.Оң ақырсыз ондық бөлшектегі үтірге
дейінгі санды осы бөлшектің бүтін бөлігі деп атаймыз. Ақырсыз ондық
бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифр осы бөлшектің бірінші разрядының
цифры, үтірден кейінгі екінші цифр – екінші разрядтық цифр, үшіншісін –
үшінші разрядтық цифр, т.с.с атайды.
Бұл анықтамадан санның модулі оң сан немесе нөл болатынын көреміз.
Мысалы, a =, b = - , с = 0 болса, онда: ׀ а ׀ = , ׀ b ׀ =
- , ׀ с ׀ =0.
Нақты сандарды салыстыруға тоқталайық:
Екі ақырсыз ондық бөлшек сандарды берілсін ( екеуінің де периоды 9
емес деп санаймыз). Оларды салыстыру үшін келесі ережелерді қолдануға
болады.
1-ереже. Егер екі нақты санның таңбалары бірдей болып олардың
модульдерінің бірдей бүтін бөліктері және сәйкес разрядтарының бірдей
цифрлары бар болса, онда олар тең болады.
Бірақ нөл саны үшін:
0 = 0,000... = - 0,000... = + 0,000...
болатынын еске саламыз.
2-ереже. Теріс сан 0-ден кіші және кез келген оң нақты саннан кіші. 0-
саны кез келген оң нақты саннан кіші.
3-ереже. Екі оң нақты сандардың қайсысының бүтін бөлігі үлкен болса
сонысы үлкен. Ал, егер бүтін бөліктері бірдей болса, онда цифрлары
әртүрлі болатын ең кіші разрядына қараймыз; қайсы санның осы разрядының
цифры үлкен болса, сол сан үлкен.
Теріс нақты сандар үшін бәрі керісінше: олардың қайсысының модулі кіші
болса, сонысы үлкен болады.
Егер а мен b нақты сандары тең болса, онда а = b деп жазады. Егер де
а саны b-дан кіші болса, онда а b немесе b а деп жазады, а саны b-ға
тең емес болса, оны а ≠ b деп жазады.
Мысалы: -3,1 мен – 3(1) сандарын салыстыру керек:
׀-3,1׀ = 3,1 =3,1000...; ׀ -3,(1) ׀ =3,(1) = 3,111...;
3,1 3,(1) болғандықтан -3,1 -3,(1) болады (3-ереже).
Жоғарыдағы айтылған ережелерді геометриялық тұрғыдан былайша айтуға
болады:
Берілген екі санның координаталар түзуінде қайсысы оң жағында
орналасса сонысы үлкен (оң жай бөлшектерді салыстыру ережесін §2, 12п.
қараңыз).
, - қатаң теңсіздік таңбалары , ал ≥, ≤ - қатаң емес теңсіздік
таңбалары.
а ≤ b жазуы а саны b-дан кіші немесе а саны b-ға тең деген
айтылымдардың ең болмағанда біреуінің дұрыс екенін білдіреді (а ≤ b жазуын
– а саны b-дан үлкен емес - деп те оқиды). Мысалы, 3 ≤ 5, 5 ≥ 5 дұрыс
теңсіздіктер.
а ≥b болса, онда а-ны теріс емес сан деп театайды.
Егер а b және b с болса, онда а b с жазуы (қос теңсіздік)
қолданылады.
Кез келген a, b, c, d нақты сандар үшін келесі қасиеттер орындалады
10. а b болса, онда а b с болатындай с саны табылады.
20. а b және b с болса, а с болады (теңсіздіктердің транзитивті
(алмасымдылық) қасиеті);
30. Егер а b болса, а+с b +с;
40. Егер а b болса, онда кез келген с 0 саны үшін ас bс;
50. Егер а b және с 0 болса, онда ас bс;
60. Егер а b және с d болса, онда а+с b +d;
70. Егер a, b, c, d – оң сандар болып, а b және с d болса, онда ас
bd;
80. Егер а b және с d болса, с-а d- b ;
90. Егер а b 0 болса, онда ;
100. Егер а b 0 болса, онда кез келген натурал n саны үшін аn
bn теңсіздігі орындалады.
Нақты сандар үшін орындалатын амалдар ережесіне тоқталып көрейік:
Таңбалары бірдей екі санның қосындысын табу үшін олардың модульдерін
қосып, қосынды алдына қосылғыштардың таңбасы жазылады. Мысалы,
(+12) + (+8) = +20; (-12) +(-8) = -20.
Таңбалары әртүрлі екі санның қосындысын табу үшін қосылғыштардағы
үлкен модульден кіші модульді шегеріп, айырма алдына модулі үлкен санның
таңбасын жазады. Мысалы,
(+12) + (-8) = + (12-8) = 4; (-12) + (+8) = - (12-8) = -4.
Бір саннан екінші санды шегеру үшін, азайтқышқа қарама-қарсы санды
азайғышқа қосады. Мысалы,
12- (-8) = 12+(+8) = 20; 12- (+8) = 12+ (-8) = 4.
Екі санның көбейтіндісі (бөліндісін) табу үшін ол екі санның
модульдерін көбейтеді де (бірінші санның модулін екінші санның модуліне
бөледі де), көбейтінді (бөлінді) алдына – егер екі сан бірдей таңбалы
болса, +, ал әртүрлі таңбалы болса - таңбасын жазады. Мысалы,
(-12) * (-8) = +12* 8 = 96; (-24) (+3) = - 243 = -8.
х– нақты сан болсын. Оның бүтін бөлігі деп, х-тен аспайтын ең үлкен
бүтін санды айтады да, оны х деп белгілейді. х санының бөлшек бөлігі деп,
осы санмен оның бүтін бөлігінің айырмасын, яғни, х-х айтады да, оны
{х} деп белгілейді. Сонымен, {х}= х-х.
Мысалы, [2.35]=2.{2.35}=2.35-2=0.35 [10]=10
{10}= 10-10=0, [-0.85]=-0.85-[-1]=0.15
ІІ Бөлім Оқушыларға нақты сандарға қолданылатын амалдарды оқытудың
әдістемесі
2.1.Мектеп оқушыларына нақты сандарға қолданылатын амалдарды үйретудің
ерекшеліктері
Бізге бұрыннан белгілі болғанындай оң рационал сандарға амалдар
қолдану, олар ондық бөлшек түрінде жазылған жағдайда қолайлы болады.
Сондықтан шамаларды өлшеу нәтижесін де, нақтырақ айтқанда кесіндінің
ұзындығын өлшеу нәтижесін ондық бөлшек түрінде жазып көрсеткен тиімді.
Айталық, е- ұзындық бірлігі, ал а ұзындығы өлшенетін кесінді болсын
және де а кесіндісі әрқайсысы е-ге тең n кесінділер мен е- ден қысқа а1
кесіндіден тұратын болсын, яғни nе а ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz