Қолданбалы геометрия мен компьютерлік графика саласында ғылыми жұмыстармен айналысу үшін, сызба геометриясының теориялық негіздерін жеткілікті деңгейде игеру


Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
I тарау. Проективті кеңістіктің ерекшеліктері
1.1. Кеңейтілген евклид кеңістігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2. Күрделі ангармоникалық қатынастың негізгі қасиеттері ... ... ... ..
1.3. Негізгі проективті формалар және форма түрлерін ауыстыру принципі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.4. Бірінші сатылы формалардың проективті сәйкестігі ... ... ... ... .
II тарау. Қос ізді кескіндерді тұрғызу әдісінің теориялық негіздері
2.1. Қос ізді кескіндерді тұрғызу әдісінің классикалық схемасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2. Нүктенің сызбада берілуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3. Түзусызықты кеңістіктің перспективалық моделі ... ... ... ... ...
2.4. Қос ізді кескіндерді тұрғызу әдісін позициялық және метрикалық есептердің шешілуі арқылы зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қосымшалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Білім беру саласында, Қазақстан Республикасының Президенті Н.Ә.Назарбаевтың үстіміздегі жылы Қазақстан халқына жолдауында заманға сай білім берудің тиімді инфроқұрылымын жасауды құзырлы орындарға жүктегені мәлім. Демек білім беру сапасын көтеру бүгінгі күннің өзекті (актуальді) мәселелерінің бірі екені анық. Бұл дегеніңіз, жас маманның білім сапасын жеткілікті деңгейге көтеру үшін, жоғарғы билік пен оқу орындарының жұмысын (оқыту саясатын, оқу бағдарламасын, т.с.с.) сын талқысынан өткізіп жаңа формада қайта ұйымдастыруды қажет етеді. Жекеленген мәселелерге келетін болсақ, кез келген пәннен білім беру сапасын сұраныс деңгейіне көтеру үшін, сол пәнің теориялық мәселелері толық оқытылып, жетік игерілуі керек.
Зерттеудің мақсаты: Қолданбалы геометрия мен компьютерлік графика саласында ғылыми жұмыстармен айналысу үшін, сызба геометриясының теориялық негіздерін жеткілікті деңгейде игеру болып саналады.
Сондықтан, сызба геометриясының үш өлшемді кеңістікті модельдеу әдістерінің бірі «қос ізді кескіндерді тұрғызудың» теориялық негіздерін зерттеу жұмыстың басты мақсаты етіп алынды.
Зерттеу нысаны: Проективті кеңістікті модельдеу үшін «қос ізді кескіндер тұрғызу» әдісін толық игеріп, оны практикада есептерді шешуде қолдану.
Зерттеу пәні: Сызба геометрия және перспектива.
Зерттеудің ғылыми болжамы: «Қос ізді кескіндерді тұрғызу» әдісімен кеңейтілген евклид кеңістігінің негізгі элементтерін (нүкте, түзу, жазықтық) бейнелеу, яғни перспективасын тұрғыза білу.
Зерттеудің міндеті:
1. Кеңейтілген евклид кеңістігінің ерекшеліктері мен күрделі ангармоникалық қатынастың негізгі қасиетін көрсету;
2. Негізгі проективті формалар мен форма түрлерін ауыстыру принципін көрсету;
3. «Қос ізді кескіндерді тұрғызудың» теориялық негіздері;
4. «Қос ізді кескіндерді тұрғызу» әдісін позициялық және метрикалық есептердің шешілуі арқылы зерттеу.
Зерттеу жұмысының әдіснамалық, теориялық негізі: Басқа пәндер сияқты сызба геометриясы да жалпы геометрия ғылымының көптеген салаларымен (дифференциальді, аналитикалық, проективті, аффиналық, алгебралық, қисаптық (исчислительная) тағы басқаларымен) тығыз байланысты. Сондықтан жұмыста жалпы және проективті геометрия, - тағы басқа геометриялардың модельдеу әдістемелері қолданылады.
«Қос ізді кескіндерді тұрғызудың» теориялық негіздеріне сүйене отырып позициялық және метрикалық есептерді шешудің тиімді жолдарын анықтау жұмыстың ғылыми әдістемелік жаңалығы болып табылады.
Зерттеу базасы: Кеңейтілген түзусызықты евклид кеңістігінің зерттеу базасы ретінде проективті геометрия мен сызба геометриясы алынды.
Зерттеудің әдістері:
1. Кеңейтілген евклид кеңістігінің ерекшеліктерін көрсету;
2. «Қос ізді кескіндерді тұрғызу» әдісін көрсету;
3. Негізгі позициялық және метрикалық есептерді шығару әдісін көрсету.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы мен теориялық маңызы: Проективті геометрия мен сызба геометриясының теориялық негіздерін игеру, оларды практикалық ғылыми жұмыстарда қолдану.
Сызба геометриясының басқа әдіспен шығаруға келмейтін күрделі есептерін осы әдіспен шығарудың артықшылығын көрсету.
Зерттеудің практикалық мәні: «Қос ізді кескіндерді тұрғызу» арқылы архитектуралық ғимараттардың, геометриялық фигуралардың перспективасын тұрғызу және оны техникалық суреттерде қолдану.
Диплом жұмысының құрылымы: Диплом жұмысы кіріспе, негізгі екі бөлімнен, , қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен, қосыша материалдардан (сызбалардан)тұрады.
1. Вольберг О.А. Лекции по начертательной геометрии. Учпедгиз, М-Л., 1947, 348с;
2. Глазунов Е.А., Четвертухин Н.Ф. Аксонометрия. Учпедгиз, М., 1953, 291с;
3. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. «Машиностроение», М., 1998, 157 с;
4. Жәутіков О.А. Математиканың даму тарихы. «Мектеп» баспасы, Алматы, 1967, 331 б;
5. Костин В.И. Основания геометрии. Учпедгиз, М.,1948, 304с;
6. Тевлин A.M., Иванов Г.С. и др. Kypc начертательной геометрии (на базе ЭВМ). «Высшая школа», М., 1983, 175с;
7. Четвертухин Н.Ф. Проективная геометрия. «Просвещение», М., 1969, 368 с;
8. Четверухин Н.Ф. Сьереометрические задачи на проекцияонном чертеже. Пособие для учителей. Учпедгиз, М., 1955, 128с;
9. Четвертухин Н.Ф. Теоретические обоснования начертательной геометрии. Часть МАИ, М., 1973, 60 с;
10. Бубенников А.В. Начертательная геометрия «Высшая школа», М., 1985, 288с;
11. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия. «Высшая школа», М., 1990, 240с;
12. Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики. M., 1957;
13. Глаголев Н. А. Проективная геометрия. М.–Л., 1936;
14. Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 356-363. — 383 с;

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Дипломдық жұмыс
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 48 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 1900 теңге
Кепілдік барма?

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






МАЗМҰНЫ
Кіріспе____________________________ ________________________________

I тарау. Проективті кеңістіктің ерекшеліктері

1. Кеңейтілген евклид кеңістігі__________________________ ___________

2. Күрделі ангармоникалық қатынастың негізгі қасиеттері______________

3. Негізгі проективті формалар және форма түрлерін ауыстыру
принципі___________________________ __________________________

4. Бірінші сатылы формалардың проективті сәйкестігі_________________

II тарау. Қос ізді кескіндерді тұрғызу әдісінің теориялық негіздері

2.1. Қос ізді кескіндерді тұрғызу әдісінің классикалық
схемасы____________________________ __________________________

2.2. Нүктенің сызбада берілуі____________________________ ____________

2.3. Түзусызықты кеңістіктің перспективалық моделі___________________

2.4. Қос ізді кескіндерді тұрғызу әдісін позициялық және метрикалық
есептердің шешілуі арқылы
зерттеу____________________________ ___________________________

Қорытынды__________________________ _____________________________

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ___________________________________

Қосымшалар_________________________ _____________________________

Орындалған дипломдық жұмыстың көкейкестілігі:

Білім беру саласында, Қазақстан Республикасының Президенті
Н.Ә.Назарбаевтың үстіміздегі жылы Қазақстан халқына жолдауында заманға сай
білім берудің тиімді инфроқұрылымын жасауды құзырлы орындарға жүктегені
мәлім. Демек білім беру сапасын көтеру бүгінгі күннің өзекті (актуальді)
мәселелерінің бірі екені анық. Бұл дегеніңіз, жас маманның білім сапасын
жеткілікті деңгейге көтеру үшін, жоғарғы билік пен оқу орындарының жұмысын
(оқыту саясатын, оқу бағдарламасын, т.с.с.) сын талқысынан өткізіп жаңа
формада қайта ұйымдастыруды қажет етеді. Жекеленген мәселелерге келетін
болсақ, кез келген пәннен білім беру сапасын сұраныс деңгейіне көтеру үшін,
сол пәнің теориялық мәселелері толық оқытылып, жетік игерілуі керек.

Зерттеудің мақсаты: Қолданбалы геометрия мен компьютерлік графика
саласында ғылыми жұмыстармен айналысу үшін, сызба геометриясының теориялық
негіздерін жеткілікті деңгейде игеру болып саналады.

Сондықтан, сызба геометриясының үш өлшемді кеңістікті модельдеу
әдістерінің бірі қос ізді кескіндерді тұрғызудың теориялық негіздерін
зерттеу жұмыстың басты мақсаты етіп алынды.

Зерттеу нысаны: Проективті кеңістікті модельдеу үшін қос ізді кескіндер
тұрғызу әдісін толық игеріп, оны практикада есептерді шешуде қолдану.

Зерттеу пәні: Сызба геометрия және перспектива.

Зерттеудің ғылыми болжамы: Қос ізді кескіндерді тұрғызу әдісімен
кеңейтілген евклид кеңістігінің негізгі элементтерін (нүкте, түзу,
жазықтық) бейнелеу, яғни перспективасын тұрғыза білу.

Зерттеудің міндеті:

1. Кеңейтілген евклид кеңістігінің ерекшеліктері мен күрделі
ангармоникалық қатынастың негізгі қасиетін көрсету;

2. Негізгі проективті формалар мен форма түрлерін ауыстыру принципін
көрсету;

3. Қос ізді кескіндерді тұрғызудың теориялық негіздері;

4. Қос ізді кескіндерді тұрғызу әдісін позициялық және метрикалық
есептердің шешілуі арқылы зерттеу.

Зерттеу жұмысының әдіснамалық, теориялық негізі: Басқа пәндер сияқты
сызба геометриясы да жалпы геометрия ғылымының көптеген салаларымен
(дифференциальді, аналитикалық, проективті, аффиналық, алгебралық, қисаптық
(исчислительная) тағы басқаларымен) тығыз байланысты. Сондықтан жұмыста
жалпы және проективті геометрия, - тағы басқа геометриялардың модельдеу
әдістемелері қолданылады.

Қос ізді кескіндерді тұрғызудың теориялық негіздеріне сүйене отырып
позициялық және метрикалық есептерді шешудің тиімді жолдарын анықтау
жұмыстың ғылыми әдістемелік жаңалығы болып табылады.

Зерттеу базасы: Кеңейтілген түзусызықты евклид кеңістігінің зерттеу
базасы ретінде проективті геометрия мен сызба геометриясы алынды.

Зерттеудің әдістері:

1. Кеңейтілген евклид кеңістігінің ерекшеліктерін көрсету;

2. Қос ізді кескіндерді тұрғызу әдісін көрсету;

3. Негізгі позициялық және метрикалық есептерді шығару әдісін
көрсету.

Зерттеудің ғылыми жаңалығы мен теориялық маңызы: Проективті геометрия
мен сызба геометриясының теориялық негіздерін игеру, оларды практикалық
ғылыми жұмыстарда қолдану.

Сызба геометриясының басқа әдіспен шығаруға келмейтін күрделі
есептерін осы әдіспен шығарудың артықшылығын көрсету.

Зерттеудің практикалық мәні: Қос ізді кескіндерді тұрғызу арқылы
архитектуралық ғимараттардың, геометриялық фигуралардың перспективасын
тұрғызу және оны техникалық суреттерде қолдану.

Диплом жұмысының құрылымы: Диплом жұмысы кіріспе, негізгі екі
бөлімнен, , қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен, қосыша
материалдардан (сызбалардан)тұрады.

КІРІСПЕ

Өзінің негізгі мақсаты кеңістіктегі фигуралардың жазықтықта бейнелену
әдістерін зерттеу болып табылатын сызба геометрия адамның тәжірибелік
қажеттігінен туындаған. Жаратылыстанудың, техниканың, өндірістің және
өнердің нақты сұраныстары бұл ғылымның дамуына себепші болды

Айналасындағы және қайта жасалатын заттарды бейнелеу қажеттігі адамзат
мәдениетінің таң шапағында пайда болды. Осылайша жазудың дамуы зат жайлы
ойдың заттың өзін бейнелеумен, оның сондай пішінімен байланысты болды.

Адам затты сөзбен айтып жеткізуден бұрын ол оның суретін салды.
Салған суреттері сызбаның ең алғашқы түп нұсқалары болды. Материалдық
дүниені өндіру барысында, адамдардың бір-бірімен қарым-қатынасын жеңілдету
мақсатынан нысандарды бейнелеу қажеттігі туындады.

Тіпті сонау ерте заманның өзінде белгілі бір шарттарға жауап беретін,
бейнені тұрғызудың негізі болып проекциялық сызба тағайындалған.
Проекциялық әдістерді пайдаланғанның мысалы ретінде гранит бетіндегі
суреттер, сақталған қабырға бейнелері, папирус қағаздарындағы суреттер
саналады. Қытай жібек матасы мен Үндістандағы Аджант үңгірдегі храмдарының
қабырғаларындағы көне жазбалар бір-бірінен анағұрлым ерекше. Бірақ, бұл
ескерткіштердің негізінде жазықтық бетінде орналасқан үш өлшемді
кеңістіктегі нақты заттардың бейнелері жатыр.

Сапалық өзгерістерге ұшырап, жаңа сатыларға көтерілу дәрежесіне қарай
Геометрияның жалыпы даму жолын 4 дәуірге бөлуге болады.

Бірінші дәуір өте ерте заман мен біздің заманымыздан бұрын 5 ғасыр
аралығын қамтиды. Бұл дәуірдің басталған уақытын кесіп айтуға болмайды.
Қарапайым геометриялық ұғымдар әр кезде және әр жерде шыққан. Алғашқы
мәліметтер Ежелгі Шығыс елдерінде — Мысыр мен Вавилонда, Грекияда,
кейінірек Үндістанда пайда болған. Ертедегі мысырлықтар Нілдің жағасындағы
құнарлы топыраққа бидай егіп күнелткен. Ніл жыл сайын тасып, жағадағы
учаскелердің белгіленген шекараларын бұзып кетіп отырған. Ал шаруалар су
қайтқан сайын өз жерлерін өлшеп барып, айырып алатын болған. Учаскелердің
ұзындығын, енін, жиек сызығын үнемі өлшеу нәтижесінде қарапайым ережелер
пайда болған. Нілдің таситын және қайтатын уақыттарын бақылау нәтижесінде
Мысыр күнтізбесі шыққан. Уақыт есебі жұлдыздардың өзара және көкжиекпен
жасайтын бұрыштарын (бұл бұрыштардың төбелері бақылаушы тұрған жерде
болады) өлшеуді қажет етеді. Мысыр патшалары — перғауындар (фараондар)
өздеріне ескерткіш және зират ретінде, тірі күндерінде, зәулім құрылыстар —
пирамидалар салдырған. Пирамида салу жұмыстары өлшеу әдістерін бірсыдырғы
жүйеге келтіре отырып, кеңістіктік геометрия мен механиканың дамуына ықпал
етті. Бізге жеткен матем. папирустар Ежелгі Мысыр математикасының бертінгі
ғасырларына жатады. Папирустардағы аудан мен көлем жөніндегі есептердің
көпшілігі дұрыс шығарылған. Бірақ ережелердің ешқайсысы дәлелденбеген.
Үшбұрыштың, трапецияның, дөңгелектің ауданы жуық түрде есептелген,
табандары квадрат болып келген қиық пирамиданың көлемі дәл табылған. Ежелгі
Вавилон геометриясының деректері балшықтан иленіп жасалған тақташаларға
жазылып қалған. Оларға қарағанда ұзындық, аудан, көлем жөніндегі
мысырлықтар білген есептерді вавилондықтар да шығара білген. Вавилондықтар
кейбір дұрыс көпбұрыштарды, қиық конусты, тағыда басқа қарастырған,
шеңберді 360 градусқа бөлуді шығарған, есептерді теңдеулерге келтіруді
жақсы білген, геометрияны астрономияға қолдана бастаған. Вавилондықтарға
Пифагор теоремасы да белгілі болған. Кейбір геометриялық деректер Ежелгі
Үндістан мен Қытайда да кездеседі. біздің заманымыздан бүрын VII—VI
ғасырларда гректердің арасынан ғылыммен арнайы шұғылданатын, табиғат
құбылыстарын зерттейтін оқымыстылар шықты. Олардың кейбіреуі білім іздеп,
ел кезіп, көрші халықтардың тұрмысымен, ғыл.-мәдени табыстарымен танысып,
саяхаттар жасады, Мысыр мен Вавилонға барып жүрді. Өндіргіш күштердің
дамуы, нақты фактілердің молаюы, оқымыстылардың ой өрісінің өсуі матем.
сөйлемдерді тексеру және дәлелдеу әдістерін тудырды. Мысалы, радиусы r-ге
тең дөңгелектің ауданын мысырлықтар 256 r2 : 81 деп, вавилондықтар 3 r2 деп
есептеген. Осылардың дұрысын таңдап алу үшін тиісті сөйлемді — теореманы
дәлелдеу керек болды. Бірталай теоремаларды Фалес, Пифагор, Гиппократ,
Демокрит дәлелдеді. Дәлел-демелердің дұрыс қалыптасуына философия ғылымының
да ықпалы болды. Сөйтіп, біздің заманымыздан бұрын V ғасырда Геометрия
өзіне тән ұғымдары мен әдістері бар жүйелі ғылым дәрежесіне көтерілді. Осы
дәуірдің аяғында Гиппократ, Феодесий, тағыда басқа “Геометрия негіздері”
деген атпен көлемді кітаптар жазды. Екінші дәуірдің басы болған Евклид
еңбектері шыққанда бұл кітаптар кейін ысырылып, ақыры мүлде ескерусіз қалып
қойды.

Шынында да Евклидті дәріптеуші, ертедегі грек ғалымы Проклдан, бізге
жеткен жазба жәдігер (орысша аудармасы) мынандай сөздерден басталады: Так
как нам необходимо здесь обозреть начало наук и искусств, то мы сообщаем,
что геометрия, по свидетельству весьма многих, была открыта египтянами и
возникала при измерении земли. Это измерение было необходимо вследствие
разлития реки Нила, постоянно смывавшего границы. Нет ничего удивительного,
что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое
возникающее знание из несовершенного переходит в совершенное. Зарождаясь
путем чувственного восприятия, оно постепенно становится передметом нашего
рассмотрения и, наконец, делается достоянием нашего разума.

Жоғарыда келтірілген сөздердің растығын Ахмес және Москва
папирустары (б.э.д. 2000-1700 ж.ж.) дәлелдей алады. Екінші папирустың
бастапқы парақтары саналмағандықтан шартты түрде Москва папирусы деп
аталып кеткен.

Осы жәдігерлерден, мысырлықтардың үшбұрыштың, тікбұрышты үшбұрыштың,
трапецияның аудандарын анықтай (дәл қазіргі кездегідей) білетіндіктерін, ал
шеңбердің ауданын анықтау үшін π санының жуық мәнін π=3,1605 тең етіп
алғандықтарын айтуға болады. Олардың ең керемет жетістіктеріне табаны дұрыс
төртбұрышты қиық пирамиданың көлемін табуға арналған формуласын

V=а2+ав+ в2)

жатқызуға болады. Бұл жерде а, в қиық пирамиданың (үлкен және кіші)

табан қабырғаларының, ал - биіктігінің ұзындықтары.

Мысырлықтарға Пифагор теоремасының да (с2= а2+ в2) шешуі белгілі
болғанға ұқсайды.

Соңғы кездегі табылған көне мәліметтерге қарағанда Бабыл
математиктерінің жетістіктері мысырлықтардан асып түспесе (есептеуден) кем
болмаған тәрізді. Олардың алгебра ілімінің кейбір есептерін қалыптастырғаны
мәлім болып отыр.

Гректерге дейінгі математиканың даму сатысын, яғни жетістіктерін
жоққа шығаруға болмайды. Бұл туралы белгілі совет математигі М.Я.Выгодский
былай деп жазады: Действительно, трудно допустить, чтобы такая сложная
формула, как формула объема усеченной пирамиды, могла появиться без
серьезной теоретической работы в области геометрии. К таму же до нас дошло
всего лишь два вышеупомянутых связных математических текста, и притом узко
прикладного характера, они не дают права судить об общем характере
математики того времени. Реконструировать по ним всю математику египтян –
такая же ошибка, как если бы мы по двум плохим учебникам коммерческой
арифметики стали бы реконструировать современную математику.

Бұдан былайғы (б.з.д. VII мен III ғ.аралығындағы) геометриялық
ілімнің абстракциялық түрде дамуы тікелей грек ғалымдарына байланысты
болды. Олардың өздері Мысырлықтардан үйренгендіктерін жасырмайды. Милет
қаласынан шыққан Фалес (б.э.д. 635-548 ж.ж) атты грек оқымыстысын философия
мен ғылымдар негізін қалаушы деп атайды. Сол кездегі қалыптасқан Фалес,
Пифагор, Демокрит, Платон, Евдокс және т.б. мектептері геометрияның
теориялық негіздерін ең жоғарғы абстракциялық деңгейге жеткізіп
қалыптастырды. Мысал ретінде, Пифагор мектебінің жетістіктерін айта
кетейік:

а) үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы туралы теорема;

б) жазықтықты дұрыс көпбұрыштарға бөлу;

в) квадрат теңдеуді геометриялық шешу әдісі;

г) бір-біріне тең (және ұқсас) көпбұрыштарды тұрғызу;

д) өлшемдес емес кесінділердің анықталуы;

е) бес түрлі дұрыс көпжақты (ғарыштық) беттердің анықталуы;

ж) Пифагор теоремасы;

з) шеңбер мен шардың экстремалдық қасиеттері.

Адамзат мәдениетінің ең маңызды салаларының бірі – ғылым, олай болса,
осы ғылым неден басталады және қалай пайда болды, оның даму процесстері
қандай кезеңдерден өтті деген орынды сұрақтардың туындауы әбден орынды. Бұл
сұрақтарға жауапты жалпы тарих жөнінде жазылған әдебиеттерден таба
алмаймыз. Мәселен, адамзат мәдениетінің қалыптасуы мен даму процессінде
Гомер, Эсхилдің, Аристотель, Демокриттің, Мирон мен Праксительдің атқарған
рольдерін жалпы тарих баяндайды. Ал адамзат мәдениеті даму жолында Пифагор,
Евклид, Архимед, Аполлоний, Мухаммед әл – Хорезми мен Ұлықбек т.б. рольдері
олардікінен артық болмаса кем емес. Ғылым жүзінде Ньютон мен Эйнштейннің
ірі тұлғалар екендіктерін, олардың ашқан жаңалықтары қазіргі дәуірдегі
физиканың негізі болып табылатынын, Ньютон ашқан дифференциалдық және
интегралдық есептеулер жоғарғы математиканың іргесі болатынын, жер
бетіндегі және аспан денелерінің қозғалысы бағынатын негізгі заңдарды
математикалық жолмен тапқан Ньютон (кейін түзетулер еңгізген Эйнштейн)
екенін физика мен математика ғылым салаларында еңбектеніп жүрген ғалымдар
жақсы біледі. Міне осы айтылып отырған және де басқа (Орта Азиялық)
ғалымдар жөніндегі жалпы тарихта жөнді еш нәрсе айтылмайды.

Мектеп оқушыларына геометрия және сызу пәндерінен алғашқы
түсініктемелер беріледі. Осы геометрия (сызу) пәні деген не, ол басында
қайдан шықты, адамзаттың қандай тіршілігінің нәтижесінде пайда болды, баста
шыққан жері қай ел? Міне, мұғалім оқушыларға геометрия (сызу) пәнін
үйреткенде, осы қойылған сұрақтар туралы ойлануы керек және бұл мәселелер
туралы оның кең мағлұматты болуы тиіс.

Ғылымның дұшпаны христиан дінінің тарауымен байланысты, Европалық
ғылым кері кеткен шақта, араб халифатының қол астындағы, олардың ішінде
Орта Азиялық халықтар, грек және үнді математикасын орта ғасыр бойы сақтап,
оны дамытты.

VII ғасырда дүние жүзін дүр сілкіндірген уақиға – Арабия түбегін
мекендеуші бір тайпа арабтар бірігіп, 80 жылдың ішінде араб империясын
құруы болды.

VII-VIII ғасырларда арабтардың саяси үстемдігі, яғни Ислам діні Таяу
Шығыстың, Орта Азияның, Солтістік Африканың, Сирияның, Пиреней түбегінің,
Кіші Азияның, Кавказдың, Үндістанның көп жерлеріне тарады.

Сирияда, Иранда және Хорезмде арабтар жаулап алмастан бұрын да үлкен
ғылым мектептерінің болғанын, X-XI ғасырларда өмір сүрген Орта Азия
халықтарының арасынан шыққан, Хорезмде туып өскен (жердің күнді айналатынын
Н.Коперниктен бұрын ашқан) атақты ғалым Әбу Райхан Бируни (973-1048) былай
деп растайды: Хорезмдік жазуды жақсы білген адамдарды, ғылымға
үйретушілерді басқыншылардың (арабтардың) құртып жіберу зардабынан, ислам
орын теппестен бұрын ертедегі Хорезмде ғылымның, мәдениеттің қандай күйде
болғанын біз дәл білмейміз. Сөйтсе – дағы Ислам қармағы жеткен елдердегі
ғалымдардың көпшілігі осы Хорезмнен шықты.

Орта Азия халықтары осындай шапқыншылыққа ұшыраса да өздерінің
ертеден бері келе жатқан мәдени дәстүрлерін жоғалтпай ғылым, мәдениет және
өнер салаларын дамыта берді.

Батыс және Шығыс Европа ғылымдарының орта ғасырлық математиканың даму
тарихына арналған еңбектерінде, барлығы бір ауыздан орта ғасырлық
математиканы Араб математикасы деп атайды. Шындығында, математиканы және
басқа ғылымдарды жеті ғасыр бойы, яғни IX ғасырдан XV ғасырға дейін. Ілгері
дамытуда қажырлы еңбек сіңірген Орта Азия халықтарының арасынан шыққан
ғалымдар болды: Мұхаммед әл Хорезми – Хорезмде туып өскен математик,
алгебраның негізін қалаушы; Ахмед Мервази – Мервте туып өскен астроном;
Хамит Ходженти және Ғаббас Жауһары – Сырдарияның жиегіндегі елдерден шыққан
астрономдар; Ғияседдин Жәмшид әл Кәши, Қажы-зада Руми (өз заманының
Платоны) мен Ұлұқбек (Ақсақ Темірдің немересі, сфералық тригонометрияның
негізін қалаушы, тригонометриялық функциялардың таблицасын бірінші жасаушы)
– Самарқаннан шыққан атақты ғалымдар; Омар Хайям – Нишапурдан шыққан ақын,
астроном, математик; Мухаммед Әбу Назыр әл Фараби – Отырардан шыққан,
екінші ұстаз атанған данышпан ғалым; Әбу Райхан Бируни – Хорезмде туып
өскен атақты ғалым; Әбу Әли Ибн Сина – Бұхараға жақын Афшана деген
қыстақтан шыққан данышпан ғалым; Әбу әл Уафа – Хорасаннан шыққан ғалым; Әбу
Махмуд-хан әл Ходжентти – Ходжентте туып өскен ғалым; Насыреддин әт Туси –
Хорасанға қарасты Тус қаласында туып өскен атақты математик, астроном.

Ұлұқбектің Самарқанда салдырған (XV ғ. бірінші жартысы) және өзі
басқарған астрономиялық абсерваториясы мен сектанты адамзат мәдениеті
тарихындағы дүние-жүзілік маңызы зор ескерткіштердің бірі болып табылады
және сол замандағы Орта Азияны мекендеуші халықтар мәдениетінің жоғары
сатыда болғанының куәсі болып саналады.

Орта Азияны мекендеуші халықтардан шыққан ғалымдар, математиканың
дамуына жалпы бағыт берумен қатар күрделі жаңалықтар еңгізді. Негізгі
жаңалықтарға төменде келтірілгендерді жатқызуға болады.

1. Арифметика саласынан: 1) алпыстық позициялық системаны кемеліне
жеткізу; 2) ондық бөлшектерді ойлап шығару; 3) сандардың түбірлерін
есептеп шығару әдісін жасау; 4) Ньютон биномы формуласын көрсеткіші
кез келген натурал сан болып келген жағдайда қолдану; 5) нақты сан
ұғымын кеңейту.

2. Алгебра саласынан: 1) алгебраны өз алдына жеке математикалық ілімге
айналдыру; 2) сандық алгебраны өлшеу геометриясы мен тригонометрияға
қолдану; 3) куб теңдеудің бір түрін шешу үшін біртіндеп жуықтау
әдісін табу; 4) куб теңдеудің шешу жолының геометриялық теориясын
құру.

3. Тригонометрия саласынан: 1) жазық және сфералық тригонометрияны
жасау; 2) тригонометриялық функциялардың таблицасын құру (қазіргі
таблицалардан алтыншы таңбасының ғана өзгешелігі бар); 3) Евклид
геометриясынан өзгеше геометрияның пайда болуына тұңғыш рет жол ашу
(Евклидтың бесінші постулатын дәлелдеу жұмыстары арқылы); 4) сандар
теориясының бастапқы негіздерін жасау.

Қорыта келгенде Мұхаммед әл Хорезми бастаған Орта Азия ғалымдары (IX
ғасырдан XVI ғасырға дейін) математика ғылымын дамытуда ерен еңбек етіп,
тамаша табыстарға жетті.

XVI ғасырда монғол шапқыншылығының зардаптары мен мұсылмандінінің басшы
ортодокстарының қудалауларының салдарлары Орта Азиядағы мәдениет пен
ғылымның құлдырауына әкеліп соқты.

1453 жылдан, түрік сұлтаны Мехмет II-нің шығыс Византия астанасы
Канстантинопольді жаулап алуынан кейін, Европа халықтарының қайта өрлеу
(эпоха Возраждения) заманы басталады. Олар бірінші ғылымның дамуына жол
ашады, арабтар жаулап алған Испанияның Севилья мен Кордовадағы
кітапханалары аудармалармен (араб тілінен) толықтырылып, жандана бастайды.
Евклидтің Негіздері, Мұхаммед әл Хорезмидің арифметикасы мен алгебрасы
тағы да басқа құнды еңбектер араб тілінен латын тіліне аударылады. Айта
кетейік, Евклид Негіздерінің грек тіліндегі түп нұсқасы латын тіліне
тұңғыш рет 1533 жылы аударылады. Арабтардан жеткен мұраларды игеру үшін
Европалықтарға үш ғасыр уақыт қажет болады, тек содан кейін ғана олар ғылым
мен мәдениеттің (осы күнгі) өркендеуіне қол жеткізеді.

Екінші дәуір — Евклидтен Р. Декартқа дейінгі кезең; ол 2 мың жылға
созылды. Евклид Геометрияның өзіне дейінгі табыстарын жинап, талдап,
қорытып, бір ізге түсіріп, біздің заманымыздан бұрын 300 жылы шамасында
“Негіздер” атты, 13 бөлімнен құралған шығарма жазды. Онда геометрия
аксиомалар мен қағидалар (постулаттар) негізінде логикалық жолмен құрылған
жүйелі дедуктивтік ғылым (кеңістіктік пішіндер мен қатынастар туралы ғылым)
дәрежесінде баяндалды. “Негіздерде” 121 анықтама, 5 қағида, 9 аксиома, 373
теорема келтірілген. Осы күнгі элементар Геометрия, жалпы алғанда, Евклид
қалыбынан шыққан. Геометрияға Архимед пен Аполлоний де ірі үлес қосты.
Бұлардың біріншісі — дөңгелектің, парабола сегментінің ауданы, пирамиданың,
конустың және шардың көлемі жөніндегі теоремаларды, тағыда басқа
тұжырымдады, ал екіншісі — конустық қималарды мұқият зерттеп, құнды ғыл.
мұра қалдырды. Астрономиямен шұғылданған — Гиппарх, К. Птолемей, Менелай,
тағыда басқа сфералық геометрия мен тригонометрияны қалыптастырды. Евклид,
Архимед, Аполлоний заманы грек геометриясының “алтын ғасыры” болған еді.
Одан кейін Грекияның ғылымы мен мәдениеті құлдырай бастады. Орта ғасырларда
элементар геометрия Үндістанда, Орта Азияда, араб елдерінде дамыды. Орта
Азия мен Қазақстан оқымыстыларынан геометриямен шұғылданғандар: Ғаббас әл-
Жауїари, Әбу Наср әл-Фараби, Әбу Райхан әл-Бируни, Ғийас әд-Дин Жәмшид әл-
Кәши, тағыда басқа болды. Екінші дәуірдің аяғында геометрия Батыс Еуропада
жандана бастады. Европадағы ғылым мен өнердің Қайта өрлеуі геометрияның
жаңадан гүлденуіне алып келді.

Бұл дәуірдің ақылдылар қатары, соның ішінде Леонардо да Винчи (1452-
1519), Альбрехт Дюрер (1471-1528) перспективаның теориялық негізін құрды.

Бейненің кейінгі теориялық құрылуына француз математигі Дезаргтың
(1593-1652) жалпы проективті-геометриялық ортақ қатынасы бар Перспектива
курсы, Конустық қималар жайлы туындылары себепші болды. Ж.Дезарг пен
Б.Паскаль еңбектерімен “проективті геометрия” аталатын идеяның туындауы
байланысты. Оның бірінші пәні кез келген нүктеден бір жазықтықтан екінші
бір жазықтыққа проекциялағанда сақталатын жазық фигуралардың қасиеттерін
зерттеу болып табылады.

Қазіргі заманғы проективті геометрияға жатқызылған кейбір нәтижелер
Папп Александриский секілді ертедегі грек геометрлерінің еңбектерінде
бастау алған. Проективті геометрия XVII ғасырда живописьтегі перспектива
мен құрылыс сызбаларынан тікелей туындаған. Параллель тузулердің ортақ бір
нүктеде қиылысуы жайлы идея француз архитекторы Жерар Дезарг пен неміс
астраномы Иоганн Кеплерде пайда болды. Дезарг тіпті шексіздікте жатқан елес
нүктелерден тұратын түзу болуы мүмкін деп тұжырымдаған.

XIX ғасырда бұл салаға деген қызығушылық Жан-Виктор Понселе мен Мишель
Шальдің еңбектерінің арқасында қайта жаңғырды. Понселе Евклид кеңістігінен,
берілген барлық жазықтықтар қиылысатын шексіздіктегі түзуді еңгізе отырып
шексіздік принципін дәлелдеп шықты. Шаль Понселенің еңбектерін жалғастырып,
оны біршама толықтырды. Кейінірек фон Штауд осы түзулерді өзге тузулермен
біріктіретін нақты синтетикалық аксиоматизацияны құрды.

XIX ғасырдың соңында Феликс Клейн проективті геометрия үшін бұрын
Мебиус, Плюккер және Фейербах еңгізген біртекті координаттарды пайдалануды
ұсынды.

Бұл кезде И. Кеплер мен итальян математигі Б. Кавальеридің (1598 —
1647) еңбектері тарихи белес болды.

Үшінші дәуір Р. Декарттан Н.И. Лобачевскийге дейінгі 200 жылды
қамтиды. Бұл дәуірде аналит., проективтік және дифференциалдық геометриялар
пайда болды. Аналитикалық геометрия координаттар әдісіне сүйенеді. Онда
нүктенің орны сандар арқылы, ал сызықтар мен беттер теңдеулер арқылы
анықталады. Геометрияның бұл саласының іргесін Декарт пен француз
математигі П. Ферма (1601 — 1665) қалады, ал оны француз математигі А.
Клеро (1713 — 1765) мен Л. Эйлер кемелдендірді. Фигураларды проекциялар
арқылы түрлендіру жолдарын зерттеу нәтижесінде проективтік геометрия
қалыптасты. Бұл бағытта француз математигі Ж. Дезарг (1593 — 1662), Б.
Паскаль, француз математигі Ж. Понселе (1788 — 1867), неміс математигі К.
Штаудт (1798 — 1867), швейцар математигі Я. Штейнер (1796 — 1863) жемісті
еңбек етті. Кеңістіктегі фигураны жазықтықта кескіндеу жолдарын талдап,
француз математигі Г. Монж (1746 — 1811) сызба геометрияны жасады. Сызба
геометрия проективтік геометрияның тарауы болып саналады. Эйлер мен Монж
дифференциалдық есептеу әдістерін геометрияға қолдана бастаған болатын. К.
Гаусс бұл мәселені одан әрі дамытып, классикалық дифференциалдық
геометрияны қалыптастырды. Дифференциалдық геометрия сызықтар мен беттердің
қасиеттерін дифференциалдар арқылы зерттейді.

Қазіргі заманғы проективті геометрияға жатқызылған кейбір нәтижелер
Папп Александриский секілді ертедегі грек геометрлерінің еңбектерінде
бастау алған. Проективті геометрия XVII ғасырда живописьтегі перспектива
мен құрылыс сызбаларынан тікелей туындаған. Параллель тузулердің ортақ бір
нүктеде қиылысуы жайлы идея француз архитекторы Жерар Дезарг пен неміс
астраномы Иоганн Кеплерде пайда болды. Дезарг тіпті шексіздікте жатқан елес
нүктелерден тұратын түзу болуы мүмкін деп тұжырымдаған.

XIX ғасырда бұл салаға деген қызығушылық Жан-Виктор Понселе мен Мишель
Шальдің еңбектерінің арқасында қайта жаңғырды. Понселе Евклид кеңістігінен,
берілген барлық жазықтықтар қиылысатын шексіздіктегі түзуді еңгізе отырып
шексіздік принципін дәлелдеп шықты. Шаль Понселенің еңбектерін жалғастырып,
оны біршама толықтырды. Кейінірек фон Штауд осы түзулерді өзге тузулермен
біріктіретін нақты синтетикалық аксиоматизацияны құрды.

XIX ғасырдың соңында Феликс Клейн проективті геометрия үшін бұрын
Мебиус, Плюккер және Фейербах еңгізген біртекті координаттарды пайдалануды
ұсынды.

Төртінші дәуір Лобачевский еңбектерінен басталады. Өз зерттеулерінде
Лобачевский үш принципке сүйенді. Олар: Евклид геометриясы болуға тиіс және
ол бірден-бір геометрия емес; аксиомаларды өзгертіп, жаңа Геометрия жасауға
болады; нақты кеңістікке қандай геометрия сәйкес келетіндігін тәжірибе
көрсетеді. Лобачевский Евклидтің 5-қағидасын (постулатын) өзінің басқа
аксиомасымен (Лобачевский аксиомасы деп аталатын) ауыстырып, жаңа геометрия
жасады. Бұл Г-ға Гаусс пен венгр математигі Я. Больяй (1802 — 60) да жақын
келді. 5-қағида орнына өз аксиомасын (Риман аксиомасы деп аталатын) алып,
Ф.Б. Риман эллипстік геометрияның негізін салды. Риман кеңістікті кез
келген біртектес объектілер мен құбылыстардың үздіксіз жиыны ретінде түсіну
қажеттігін көрсетті. Бұл идеяның құлашы кең болды. Соның арқасында
кеңістіктің көптеген матем. теориялары жасалды. Лобачевский идеялары
геометрия негіздемелерінің шығуына, геометриялардың жалпылануына және
олардың одан әрі дамуына жол ашты. Проективтік-дифференциалдық геометрия,
топология, көп өлшемді кеңістіктер геометриясы, көпбейнеліктер геометриясы,
тағыда басқа осы дәуірде шықты. геометрия бірқатар арнаулы салаларға
бөлініп кетті.

I тарау

Проективті кеңістіктің ерекшеліктері

Сызба геометрия – кеңістіктегі фигуралардың сызбада проекциялану
әдістері мен позициялық, метрикалық және конструктивті есептерді шешу
алгоритімін зерттейтін геометрияның саласы. Геометриялық денелердің өзара
орналасуы мен қиылысуын позициялық есептер деп, ал олардың ара қашықтығы
мен нақты өлшемдерін табу есептерін – метрикалық есептер деп атайды.
Берілген шарттарына байланысты геометриялық денелердің тұрғызулары
конструктивті есептердің мазмұнын құрайды.

Шексіздіктегі елес нүктелермен, түзулермен және жазықтықтармен
кеңейтілген Евклид кеңістігі проективті деп аталады.

Проективті жазықтыққа мына анықтамалар дұрыс: бір жазықтықта жатқан
кез келген екі түзу қиылысады, кез келген екі жазықтық бір түзудің бойымен
қиылысады. Ақырында, жазықтықта жатпайтын әрбір параллель түзу соңғысын
қиып өтеді.

Бұдан шығатын қорытынды. Евклид кеңістігін проективті кеңістікке
дейін кеңейту Π және Π' жазықтықтар арасындағы сәйкестік центрлік
проекциялау кезінде өзара бір мәнділікке ие болады (қосыша 1).

Проективті геометрияның үш бөлімі бар: тәуелсіз аксиоматизация, Евклди
кеңістігін толықтыру, және өрістегі құрылым.

Аксиоматизация

Проективті кеңістікті түрлі аксиомалардың көмегімен анықтауға болады.
Коксетер келесі аксиоманы көрсетеді:

Түзу және оның бойында жатпайтын нүкте болады. әрбір түзуде кемінде үш
нүкте бар. Екі нүкте арқылы нақты бір түзу жүргізуге болады. Егер А, В, С,
және D нүктелері кез келген нүтелер және АВ мен СD қиылысса, онда АС мен ВD
да қиылысады.

Егер АВС – жазықтық болса, онда АВС жазықтықтығында жатпайтын кемінде
бір нүкте болады. Кез келген екі жазықтық кемінде екі нүктеде қиылысады.
Толық төртбұрыштың үш диагональ нүктелері коллинеар емес. Егер Х түзуіндегі
үш нүкте φ проективтігіне қатысты инвариантты болса, онда Х түзуіндегі
барлық үш нүкте φ проективтігіне қатысты инвариантты.

Проективті жазықтық (үшінші өлшемсіз) біршама өзгешелеу аксиомалармен
анықталады:

Екі нүкте арқылы нақты бір ғана түзу жүргізуге болады. Кез келген екі
түзу қиылысады. Төрт нүктенің ішінде үш коллинеар емес нүктелер бар. Толық
төртбұрыштың үш диагональ нүктелері коллинеарлы емес. Егер Х түзуіндегі үш
нүкте φ проективтігіне қатысты инвариантты болса, онда Х түзуіндегі барлық
үш нүкте φ проективтігіне қатысты инвариантты.

Дезарг теоремасы: Егер екі үшбұрыш нүктеден перспективті болса, онда
олар түзуден де перспективті.

Үш өлшемді кеңістіктің барында Дезарг теоремасы идеал нүкте мен
түзудің көмегінсіз дәлелденуі мүмкін.

Евклид кеңістігін толықтыру

Евклид кеңістігін шексіздікте жатқан елес жазықтық элементімен
толықтыру тарихи сәт болып саналды. Бұл жазықтықтағы әрбір нүкте өзінің
кеңістіктегі бағытына сәйкес келеді және осы бағыттағы барлық түзулердің
тоғысу орны болып саналады.

Өрістегі құрылым

F өрісінің n-өлшемді проективті кеңістігі F-тің біртекті
координаттар жүйесінің көмегімен анықталады, яғни, F элементінің ішінде
нольдік емес (n+1)-векторлар бар. Нүкте мен түзу бір бірінен константқа
көбейтіндісімен ерекшеленетін көп векторлар ретінде анықталады. Х нүктесі х
түзуінде орналасқан, егер олардың скаляр көбейтіндісі X ⋅ x = 0. Осыдан, х
түзуімен х түзуінде жатқан нүктелер қатарының түзусызықты теңдеуін X ⋅ x =
0 анықтай аламыз. Осыдан қорытынды шығаруға болады, егер қандай да бір х
түзуіне X ⋅ x = X ⋅ y = X ⋅ z = 0 болса, онда x, y, және z нүктелері
коллинеар.

Проекциялау операциясын ешқандай да шектеусіз орындауға мүмкіндік
беретін кеңістікті құра отырып центрлік, содан кейін параллель проекциялау
нәтижесінде пайда болған екі жазық дененің сәйкестігін зерттеуге кірісеміз.

1. Кеңейтілген евклид кеңістігі.

Математикалық анықтама:

Нақты сызықты векторлық R кеңістіктің кез келген екі х, у(R элементіне
( векторына ) скаляр көбейтінді деп аталатын ( х, у ) нақты саны сәйкес
келсе және оған мына төмендегі аксиомалар орындалса:

1.     ( (x , (y) = ((y , (x ),

2.     (a( (x, (y) = а((x , (y), а – нақты сан

3.     ((x + (y,(z) = ((x , (z)+((y, (z),

4.     (x,x) ( 0, егер ( 0, ((x , (x ) = 0, егер (x = (0,

онда бұл кеңістікті нақты Евклид кеңістігі деп атайды. Евклид кеңістігі кез
келген шекті өлшемді немесе шексіз өлшемді болып бөлінеді.

Скаляр көбейтіндісінің 1) – 3) аксиомалары пайдаланылып, оның мына
төмендегі қасиеттері орындалады :

1. ((x ,a (y) = a((x , (y).

2. ((x , (y + (z) = ((x , (y)+((x , (z).

3. (a1 (x 1+ a 2(x 2 + ... + ak (x k,y ) = a1((x 1, (y)+ ... +ak((x k, (y)

4. ((x ,( 1 ( (y 1+...+( k (y k) = (1 ((x , (y 1)+ ... + (k((x , (y
k).

Евклид кеңістігінің нүктелері, түзулері және жазықтықтары инцидентті
немесе тиісті деген сөзбен атауға болатын өзара қатынастықта орналасуы
мүмкін. Инцидент деген ұғымның өзі өзара алмасушылық қасиетке ие, яғни,
егер қандай да бір x элементі өзге y элементіне жатса, онда у элементі де х
элементіне жатады.
Евклид кеңістігінің элементтерінде орын алатын тиістілік қатынасы
келесідей жақсы таныс сөйлемдермен берілуі мүмкін: нүктелер латын
алфабитінің бас әріптерімен А, В, С, ... , түзулер – латын алфабитінің кіші
әріптерімен а, в, с, ... , ал жазықтықтар – грек алфабитінің әріптерімен α,
β, γ, ... .
1. Егер (А) нүктесі (а) түзуінде жатса, ал (а) түзуі (α) жазықтығында
жатса, онда (А) нүктесі (α) жазықтығына тиесілі.
2. Әр түрлі екі (А, В) нүктелері қашан да сол және жалғыз, тек қана
бір (а) түзуінде жатады, Әр бір (а) түзуіне кемінде екі (А, В)
нүктелері жатады.
3. Бір түзуге жатпайтын әр түрлі (А, В, С) нүктелері сол және жалғыз,
тек бір ғана жазықтықта жатады.
4. Егер (а) түзуінде жатқан екі (А, В) нүктелері (α) жазықтығында
жатса, онда (а) түзуі де (α) жазықтығында жатады.
5. Егер екі (α, β) жазықтықтары бір (А) нүктесінде жатса, онда олар
өзге де (В) нүктесінде жатады.
6. Әр бір (α) жазықтықта (А) нүктесі жатады. Бір (α) жазықтығында
жатпайтын төрт (А, В, С, D) нүктелері бар.
Евклид кеңістігінде орын алатын мұндағы тұжырымдалған сөйлемдер
тиістілік қатынасын білдіреді. Оларды тиістілік аксиомалары деп алып,
логикалық ой қорытындылардың көмегімен олардан евклид кеңістігінің
элементтері үшін басқа сөйлемдер (теоремалар) шығаруға болады.
Қорыта келгенде, тиістілік қатынасының одан арғы зерттелуі өрбіп
кетуі мүмкін.
Проективті кеңістікті тұрғызудың екі түрлі жолы бар. Біріншісі жолы
проективті кеңістіктің аксиоматикалық жүйесін қалыптастыру. Гильберттің
аксиоматикалық классификациясы бойынша проективті геометрияны тиістілік,
реттілік және үздіксіздік аксиомалар жүйесіне негіздеп құруға болады.

Гильберт Аксиоматикасы – Евклид геометриясы аксиомаларының жүйесі.
Гильберт Евклидтік аксиомалар жүйесіне қарағанда толығырақ жасап шығарды.

Тиістілік аксиомалары:

Планиметриялық:

1. Екі А және В нүктелері қандай жағдайда болмасын, осы нүктелер жататын
а түзуі болады;
2. Әр түрлі екі А және В нүктелері қандай жағдайда болмасын, осы нүктелер
жататын көп емес бір түзу болады;
3. Әрбір а түзуіне кемінде екі нүкте жатады. Бір түзуге жатпайтын кемінде
үш нүкте болады;
Стереометриялық:

1. Бір түзуде жатпайтын үш А, В және С нүктелері қандай жағдайда
болмасын, осы нүктелер жататын α жазықтығы болады;
2. Бір түзуде жатпайтын үш А, В және С нүктелері қандай жағдайда
болмасын, осы нүктелер жататын көп емес бір жазықтық болады;
3. Егер а түзуіне жататын кез келген А және В нүктелері кейбір α
жазықтығында жатса, онда а түзуіне жататын әрбір нүкте көрсетілген
жазықтықта жатады;
4. Егер екі α және β жазықтығында жататын бір А нүктесі болса, онда осы
екі жазықтықта жататын кемінде тағы бір В нүктесі болады;
5. Бір жазықтықта жатпайтын кемінде төрт нүкте болады.
Реттілік аксиомалары:

Түзусызықты:

1. Егер а түзуінің В нүктесі сол түзудің А және С нүктелерінің арасында
жатса, онда А, В және С – қарастырылып отырған түзудің әр түрлі
нүктелері, оған қоса В нүктесі тағы С және А нүктелерінің арасында
жатыр;
2. Кез келген А және С нүктелері қандай да болмасын, осы нүктелермен
анықталатын түзуде сол сияқты С нүктесі А және В нүктелерінің арасында
жататындай кемінде тағы да бір В нүктесі болады;
3. Бір түзудің бойында жатқан кез келген үш нүктенің арасынан өзге
екеуінің арасында жататын көп емес бір нүкте болады.
Үздіксіздік аксиомалары:

1. Архимед аксиомасы. Егер СD кесіндісі мен АВ сәулесі берілсе, AjAj+1 ≅
CD және В нүктесі А1 және An арасында жататындай АВ кесіндісінде n
саны мен n A1,...,An нүктелері болады;
2. Сызық толықтығы. Түзусызықа бір ғана қосымша нүктені қосқанның өзі
аталған аксиомалардың біреуінен қарама-қайшылықты туғызады. Бұлай ету
үшін мықты математикалық дайындық қажет болады.
Проективті кеңістікті тұрғызудың екінші тиімді жолы, оқушыларға
белгілі евклид кеңістігін, оның шексіздікте жататын елес элементтермен
толықтыру. Толықтырылған евклид кеңістігі проективті кеңістіктің толық
моделі бола алады. Бұлай ету орта мектеп оқытушыларына да тиімді, себебі
олар сызу мен сызба геометриясында оқытылатын проекциялау әдістерін
проективті геометрияның теориялық негіздерімен байланыстыра алады.

Жоғарыда айтылғандарды орындау үшін центрлік проекциялау аппаратын
қарастырайық. Суретте 1.1.а центрлік проекциялау аппараты көрсетілген. Онда
S нүктесі проекция центрі деп, ал π1 жазықтығы проекция жазықтығы деп
аталады.

Енді осы (S, π1) аппаратпен евклид кеңістігінің нүктелерін
проекциялайтын болсақ, онда А нүктенің проекциясы А1 нүкте болып, ал ℓ
түзудің проекциясы ℓ1 түзу сызық болып шығады. Бірақ осы S, π1
аппаратпен тұрғызылған сәйкестіктің мынандай кемшіліктері бар. Ол S
проекция центрінен өтетін және π1 проекция жазықтығына паралель
орналасқан жазықтықтығында жатқан (мысалы F) нүктелердің центрлік
проекциясын тұрғызуға болмайды. Оған қоса, суретте 1.1.а көрсетілгендей,
егер ℓ түзуін S центрінен π1 проекция жазықтығына проекциялайтын болсақ,
онда ℓ түзудің F нүктесінің центрлік проекциясы F1ω жоқ болып шығады. Сол
сияқты керісінше, проекция π1 жазықтығында жатқан түзу ℓ1 проекциясының
бір нүктесінің Е1 оригиналы жоқ болып шығады. Сондықтан, центрлік
проекцияның осы олқылықтарын жою үшін евклид кеңістігін толықтыру қажеттігі
туындайды, оны кеңейтілген евклид кеңістігі деп атайды.

Евклид кеңістігінің толықтырылуы былай орындалады:

1) евклид кеңістігіндегі кез келген ℓ түзудің шексіздікте жатқан жалғыз-
ақ елес нүктесі болады (ℓ + E ω);
2) евклид кеңістігіндегі кез келген жазықтықтың шексіздікте жалғыз-
ақ елес түзуі болады ( + t1ω);
3) евклид кеңістігінің шексіздікте жатқан жалғыз-ақ γ1ω елес жазықтығы
болады (Е3 +γ1 ω).
Енді кеңейтілген евклид кеңістігінде тиістілік аксиомаларының қалай
орындалатынын қарастырайық:

а) бір жазықтықта жататын кез келген екі түзу өз ара бір (нақты
аралық, немесе шексіздікте жатқан елес) нүктеде қиылысады:

б) бір–біріне тиісті емес, кез келген түзу мен жазықтық бір (нақты
аралық немесе шексіздікте жатқан елес) нүктеде қиылысады;

в) кез келген екі жазықтық бір (нақты аралық, немесе шексіздікте
жатқан елес) түзудің бойымен қиылысады.

Бұл дегеніміз, барлық өзара паралель түзулердің шексіздікте жатқан
жалғыз-ақ қиылысу нүктесі болады, сол сияқты барлық өз ара паралель
орналасқан жазықтықтардың шексіздікте жатқан жалғыз-ақ қиылысу сызығы
болады.

Евклид кеңістігінде формалар (түзу, жазықтық т.с.с.) берілсе, онда
олардың толықтырушы элементтер де берілген деп шартты түрде саналады, яғни:
а) F1ω(ℓ) - ℓ түзуінің шексіздікте жатқан F1ω елес нүктесі; б) t1 ω
жазықтығының шексіздікте жатқан t ω елес түзуі.

Енді кеңейтілген евклид кеңістігінде, нақты аралық нүкте мен шексіздікте
жатқан елес нүктесінің, нақты түзу мен шексіздікте жатқан елес түзуінің
ешқандай айырмашылықтары жоқ екендіктеріне көз жеткізуге болады. Шынымен,
суретте 1.1.а көрсетілгендей, ℓ түзуінің шексіздіктегі Еω елес нүктесі π1
проекция жазықтығына нақты Е1 нүктесі болып (ℓS=E ω, себебі ℓ S)
және керісінше, π жазықтығының t нақты түзуі π1 проекция жазықтығына
шексіздікте жатқан t1 ω елес түзуі болып (τπ1 = t1 ω, себебі τ π1)
кескінделеді. Сондықтан мұндай кеңістікті проективті кеңістік деп атайды,
яғни кеңейтілген евклид кеңістігін проективті кеңістіктің моделі, немес
оның эквиваленті деп қарастыруға болады.

Енді евклид кеңістігі мен проективті кеңістіктің айырмашылықтарына
тоқталып өтейік.

Егер кез келген түзудің шексіздікте жатқан жалғыз-ақ елес нүктесі бар
деп алатын болсақ, онда проективті кеңістіктегі түзу тұйықталады. Сондықтан
(сурет 1.1.б) проективті түзуде жатқан екі А, В нүкте, түзуді екі
кесіндіге бөледі. Шынымен, А мен В нүктелерінің екі аралығы бар: олардың
біріншісі А нүктесінен В нүктесіне қарай C нүктесінен өтетін, ал екіншіс А
нүктесінен В нүктесіне қарай D нүктесі арқылы өтетін аралық.

Ал, евклид кеңістігіндегі осындай нүктелерді қарастыратын болсақ онда С
нүктесі А мен В нүктелерінің ортасында жатыр, сондықтан екі нүкте жалғыз-ақ
кесіндіні анықтайды. Ал, D нүктесі АВ кесіндісіне жатпайды, оның сыртында
жатыр. Себебі А, В нүктелерінен өтетін түзу тұйықталмаған, екі шетін де
шексіздікке соза беруге болады.

Жоғарыда айтылғандардан шығатын қортынды: евклид түзуінде жатқан үш
нүкте, түзу нүктелерінің орналасу реттілігін анықтай алады: ал проективті
түзуде жатқан үш нүкте, түзу нүктелерінің орналасу реттілігін анықтай
алмайды, ол үшін төрт нүкте қажет.

Проективті түзуде жатқан А,В,С,D нүктелерінің А,В екеуін базис нүктелері
деп, ал қалған С,D екеуін бөлуші нүктелер деп атайды. Олардың өзара
орналасуы екі түрлі болуы мүмкін:

а) С мен D нүктелері АВ (проективті) кескінділерінің екеуін де бөліп
жатады, ол былай белгіленеді. АВ СD (сурет 1.2 а,в);

б) С1 мен D1 нүктелері А1В1 (проективті) кескінділерінің тек қана
біреуін бөліп жатады, ол былай белгіленеді А1В1..С1D1 (сурет
1.2 б,г)

Көріп отырғанымыздай, проективті геометрияда “екі нүктенің арасы” деген
сөз тіркесі дұрыс мағына бермейді. Дұрысы А,В,С,D нүктелерінің парлап
алынған (А,В мен С,D) жұптарының бірін – бірі қалай бөліп тұруын көрсету
болады. Оны парлап алынған, яғни жұп нүктелердің бөліп (бөлмей) орналасуы
деп, немесе төрт нүктенің күрделі ангармоникалық қатынасы деп атайды.
Ангармоникалық қатынас былай жазылады:
(АВСD) =: , (1.1.1)

бұл жерде – А мен В базис нүктелері, ал С мен D бөлуші нүктелер.

Проективті геометрияның түрлендірулерінде, яғни геометриялық фигураларды
(әр сатылы формаларды) центрлік проекциялау арқылы түрлендіргенде, төрт
нүктенің күрделі ангармоникалық қатынастары өзгермей сақталады. Сондықтан
ангармоникалық қатынас проективті геометрияда центрлік проекцияның
инварианты болады.

Евклид геометриясының аффинитті түрлендірулерінде, яғни фигураларды
паралель проекциялау арқылы түрлендіргенде, үш нүктенің жай қатынасы
өзгермей сақталады. Сол себепті үш нүктенің жай қатынасы аффинитті
геометрияда паралель проекцияның инварианты болады, ол былай жазылады:

(АВС) = ,
(1.1.2)

бұл жерде – А мен В базис нүктелері, ал С бөлуші нүкте.

Енді (1.1.1) ангорманикалық қатынасты екі жай қатынас түрінде жазуға
болатынын көрсетейік. Шынында да, егер

(АВС) = және (АВD) = болса,

онда

(АВС) : (АВD) = : ,

яғни

(АВСD) = (АВС): (АВD). (2.1.3)

Келтірілген (1.1.3) қатынастан аффинитті геометрия проективті
геометрияның ерекше жекеленген түрі екенін анықтауға болады. Егер
проективті түзудің А,В,С,D нүктелерінің біреуін (мысалы D нүктесін)
шексіздікте орналасқан елес нүктесі етіп алсақ, онда

(АВСD ) = (АВС) : (АВD) =: ,

яғни

(АВСD ) = (АВС ) : 1, себебі =1

Сондықтан

(АВСD ) = (АВС ) (1.1.4)

Келтірілген (1.1.4) қатынас, жоғарыда айтылғандардың дәлелі болады.

1.2. Күрделі ангармоникалық қатынастың негізгі қасиеттері.

Біз білетініміздей, аффинді геометрияның негізгі инварианты болып түзудің
қарапайым үш нүктесінің қатынасы саналады.

Түзудің үш А, В және С нүктелерінің қатынасын біз келесідей етіп
жазғанбыз:

(АВС) =

Көріп отырғанымыздай, нүктелердің рөлдері бірдей емес. С нүктесі бөлуші
деп, ал А және В нүктелері – негізгі немесе базисті деп аталады. Егер
базистік нүктелер бекітілген болса, онда АВ түзуіндегі әр бір С нүктесіне
қарапайым (АВС) қатынасының белгіленген мәні тиесілі және керісінше (АВС)
әрбір мәніне АВ түзуіндегі С нүктесінің белгіленген орны тиесілі.

Шынында да, үш нүктенің қарапайым қатынасы келесі формада берілуі мүмкін:

(АВС) = = =+ 1

Проективті түрлендірулерді қарастыру үшін күрделі ангармоникалық
қатынастың қандай қасиеттері бар екенін білу қажет.

1. Күрделі ангармоникалық қатынастың базистік жүп А,В нүктелерімен бөлуші
жүп С,Д нүктелерінің орындарын ауыстырғаннан қатынастың мәні өзгермейді:

(АВСD)=(СDАВ)

Шынымен,

(АВСD) =(АВС)(АВD)=: = : ,

яғни

... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Сызуды оқыту әдістерінің түрлері
Жаңа ақпараттық технологияны мектеп геометрия курсында қолдану
Оқыту технологиясының сәйкестендіру қағидалары
Мектепте матиматиканы үйретудің жалпы мақсаттары
Жаратылыстану-математикалық бағытта бейіндік оқытудың әдістемелік ерекшеліктері
Мектепке жасына дейінгі балалардың математикалық түсініктерін дамытуда дидактикалық ойындарды қолдануға сипаттама
Оқу процесінде бағалау жүйесін қолдану маңызы
Графика және жобалау пәнінің маңызы
Болашақ бейнелеу өнері мұғалімдерін мектепте графиканы оқытуға даярлау
Айналу беттері
Пәндер