Бірліктің бөлшектенуі

Жоспар
Кіріспе

1 Дифференциал. жанама кеңістіктердің арасындағы тегіс бейнелеуі ретінде.
2 Дифференциалдық жүйе.
3 Жанама кеңістіктің өлшемі және базисі.
4 Көпбейнелерде анықталған тегіс функциялар.

M және N— тегіс көпбейнелік және f: — тегіс бейне болсын. Келесі жолы М нен алынған р – нүктесі және q=f(p)—оған үйлесімді N нен алынған бейнеге сәйкес нүкте. ТРM және TqN қатысты кеңістіктерді қарастырамыз. Әрбір жанама векторын сәйкес Y жанама векторына төмендегі шарттары бойынша сәйкес етіп қоямыз.
Мұндағы g C°°(q) —еркін тегіс функция.
Yq, анықталатын байланыс (1), шындығында - дегі қатысты вектор болып табылатындығын көрсетеміз .
g, h C°°(q), R болсын. Сонда

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

Бірліктің бөлшектенуі.
Айталық, М- тегіс көпбейнелік.
М көпбейнелігінде берілген

функциясының тасымалдаушысы деп f(p)0 болатын, М-дегі р нүктелер жиынының тұйықталуын айтамыз.
Б е л г і л е у: suppf. Мысал 1.
R1 түзуінде берілген

21-сурет
Бұл функциясының барлық ретті үзіліссіз дербес туынды табылады (R1 - де тегіс болып табылады), оның тасымалдаушысы [-а, а] кесіндісімен сәйкес келеді.

-а а

Сурет 21. Шексіз дифференциалданатын ақырлы функция

Сурет 22. Біріне бірі жамылған жиындар осылай орналасқан және функция сақталады, олар жеке бөліктерден тұрады.
Мысал 2. Алдыңғы мысалды қолдана отырып, Rn кеңістігінде тегіс g: R функциясын құру қиын емес, тасымалдаушы supp g n-өлшем жабық шарымен сәйкес келеді.

Орнына қою жеткілікті
g(x1 , ... xn)=h((x1)2+ ... +(xn)2).
{Ui} -- M көпбейнелігінде ашық тұйықталған болсын.
Анықтама. Тегіс функцияның құрылымдары (тегіс) бiрлiктер бөлiктеу деп аталады, тұйыққа бағынатын {Ui}, егер ол келесі қасиеттерге ие болса:
0 барлық р үшін M-нен және кез-келген i үшін.
кез-келген I үшін;
i
ТЕОРЕМА 1. -- тегіс көпбейнелік және U= -- атласынан алынған болсын. Сонда тегіс бірліктерді бөліктейтін болып табылады, тұйыққа бағынатын {Ui} (сурет 22). Кездейсоқ үшін тексеріп көреміз, сонда жинақты (компактно). Сол себепті, U атласы ақырлы санды картадан құралған деп есептейміз. Және U дан алдынған кез келген (Ui ,xi) картасы үшін жиын - өлшемді ашық шар Вп(0,b ) центрі О нүктесінде жатады және радиусы b.
аb деп аламыз, (В[п](0, а)) жиыны мен жабық болсын. (сурет 23)

Сурет 23. Бiрлiктiң бөлiктеуiн бiр элементтiң құрастыруы
Қоямыз

Функция fi (p) төмендегідей қасиеттерге ие;
1)0
2)

3)
4) -- M көпбейнелілігіндегі тегіс функция.
Сондықтан функция

қажетті бөліктерге ие.

Дифференциал- жанама кеңістіктердің арасындағы тегіс бейнелеуі ретінде.
M және N -- тегіс көпбейнелік және f: -- тегіс бейне болсын. Келесі жолы М нен алынған р - нүктесі және q=f(p) -- оған үйлесімді N нен алынған бейнеге сәйкес нүкте. ТРM және TqN қатысты кеңістіктерді қарастырамыз. Әрбір жанамавекторын сәйкес Yжанама векторына төмендегі шарттары бойынша сәйкес етіп қоямыз.
Мұндағы gC°°(q) -- еркін тегіс функция.
Yq, анықталатын байланыс (1), шындығында - дегі қатысты вектор болып табылатындығын көрсетеміз .
g, hC°°(q), R болсын. Сонда
1. (g + h)=Xp((g + h)f)=XP(gf + hf) =
= XP(gf) + X(hn=Yg(g) + Yq(h).
Yg(g) = Xp((ag) f)=Xp((gf)) =Xp(gf)==Yq(g).
Yg(g.h) = X (ghf) = X(gf).(hf)) = = Xp(gf) . (hf)(p) + (gf)(p). Xp{hf) = =Y(g) +h{q)+Yp(h).
Дәл осылай TqN қатысты кеңістігінде ТРM бейнелі қатысты кеңістігі құралған.
{df)p = f.p:TpMTqN
f
Бұл бейнелер - бейнелер дифференциалы және қатысты бейнелер деп аталады (сурет 29).

Сурет 29. Қатысты бейнелер

Дифференциалдық жүйе.
Жанама вектордың сызықтық оператор түрінде анықталуы.
Тегіс көпбейнеліктің кеңістігінде жанама вектор құру үшін негізге Rn координаталық кеңістігінің нүктесінде берілген векторлар арасындағы байланысты және осы кеңістіктегі функциялардан бағыт бойынша туындыны есептеу амалдарын алуға болады.
Айталық P -- pRn нүктесінде берілген Rn координаталық кеңістіктің векторы болған. Онда р нүктесінің аймағында анықталған кез келген тегіс функциясы үшін P векторымен берілген бағыт бойынша туындысы табылады. (25 сурет).
немесе координатада

Осыны р нүктесінде векторы бойынша f функциясының туындысы деп атаймыз және арқылы белгілейміз.

25 сурет

Сонымен, р нүктесінің аймағында С°°(р) тегіс функциялар жиынында берілген векторлар бойынша келесі операция орындалады.

Жоғарыдағы ереже бойынша

Бұл операция келесі қасиеттерді қанағаттандырады:
1.
2.
3.
(мұнда f және g - С ºº (р) жиынында кез келген функциялар а - сандар).
Ескерту: келесі фактті көрсетейік. Айталық, :C°°(p)R төмендегі шарттарға тәуелді кейбір бейнелеу:
1.
2.
3.
Онда орындалатындай тек бір ғана векторы табылады.
Анықтама: М көпбейнелігі р нүктесінде жанама векторы деп Сºº (р) жиынындағы әрбір f функциясына Xpf санын сәйкес қоятын

ережесін айтамы және бұл ереже келесі қасиеттерге ие:
1. Xp(f + g) = Xpf + Xpg.
2. Xp{af) = aXf.
3. Xp(f.g) = Xpf.g(p) + f(p).Xp(g)
{мұндағы f, gC°°(p), R).
Айталық, Хр -- жанама вектор, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.