Бірліктің бөлшектенуі

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

Бірліктің бөлшектенуі.

Айталық, М- тегіс көпбейнелік.

М көпбейнелігінде берілген

функциясының тасымалдаушысы деп f(p) 0 болатын, М-дегі р нүктелер жиынының тұйықталуын айтамыз.

Б е л г і л е у: supp f. Мысал 1.

R ¹ түзуінде берілген

21-сурет

Бұл функциясының барлық ретті үзіліссіз дербес туынды табылады (R ¹ - де тегіс болып табылады), оның тасымалдаушысы [-а, а] кесіндісімен сәйкес келеді.

- а а

Сурет 21. Шексіз дифференциалданатын ақырлы функция

Сурет 22. Біріне бірі жамылған жиындар осылай орналасқан және функция сақталады, олар жеке бөліктерден тұрады.

Мысал 2. Алдыңғы мысалды қолдана отырып, R ⁿ кеңістігінде тегіс g: R функциясын құру қиын емес, тасымалдаушы supp g n-өлшем жабық шарымен сәйкес келеді.

Орнына қою жеткілікті

g(x ¹ , . . . x ⁿ ) =h((x ¹ ) ² +…. +(x ⁿ ) ² ) .

{Ui} -M көпбейнелігінде ашық тұйықталған болсын .

Анықтама. Тегіс функцияның құрылымдары (тегіс) бiрлiктер бөлiктеу деп аталады, тұйыққа бағынатын {Ui}, егер ол келесі қасиеттерге ие болса:

0 барлықрүшін M-нен және кез-келгенiүшін.
кез-келгенIүшін;

ТЕОРЕМА 1. - тегіс көпбейнелік және U= - атласынан алынған болсын . Сонда тегіс бірліктерді бөліктейтін болып табылады, тұйыққа бағынатын {Ui} (сурет 22) . Кездейсоқ үшін тексеріп көреміз, сонда жинақты (компактно) . Сол себепті, U атласы ақырлы санды картадан құралған деп есептейміз. Және U дан алдынған кез келген (U _i , x _i ) картасы үшін жиын - өлшемді ашық шар В ^п (0, b ) центрі О нүктесінде жатады және радиусы b.

а<b деп аламыз, (В ^п (0, а) ) жиыны мен жабық болсын. (сурет 23)

Сурет 23. Бiрлiктiң бөлiктеуiн бiр элементтiң құрастыруы

Қоямыз

Функция f _i (p) төмендегідей қасиеттерге ие;

1) 0

2)

3)

4) - M көпбейнелілігіндегі тегіс функция .

Сондықтан функция

қажетті бөліктерге ие.

Дифференциал- жанама кеңістіктердің арасындағы тегіс бейнелеуі ретінде.

M және N - тегіс көпбейнелік және f: - тегіс бейне болсын. Келесі жолы М нен алынған р - нүктесі және q=f(p) -оған үйлесімді N нен алынған бейнеге сәйкес нүкте. Т _Р M және T _q N қатысты кеңістіктерді қарастырамыз . Әрбір жанама векторын сәйкес Y жанама векторына төмендегі шарттары бойынша сәйкес етіп қоямыз.

Мұндағы g C°°(q) -еркін тегіс функция.

Y _q , анықталатын байланыс (1), шындығында - дегі қатысты вектор болып табылатындығын көрсетеміз .

g, h C°°(q), R болсын. Сонда

1. (g + h) =X _p ((g + h) f) =X _P( g f + h f) =

= X _P (g f) + X (h n=Y _g (g) + Y _q (h) .

Yg(g) = Xp((ag) f) =Xp((gf) ) =Xp(gf) ==Yq(g) .
Yg(g. h) = X(ghf) = X(gf) . (hf) ) = = Xp(gf) . (hf) (p) + (gf) (p) . Xp{hf) = =Y(g) +h{q) +Yp(h) .

Дәл осылай T _q N қатысты кеңістігінде Т _Р M бейнелі қатысты кеңістігі құралған.

{df) _p = f. _p :T _p M T _q N

f

Бұл бейнелер - бейнелер дифференциалы және қатысты бейнелер деп аталады (сурет 29) .

Сурет 29. Қатысты бейнелер

Дифференциалдық жүйе.

Жанама вектордың сызықтық оператор түрінде анықталуы.

Тегіс көпбейнеліктің кеңістігінде жанама вектор құру үшін негізге R ⁿ координаталық кеңістігінің нүктесінде берілген векторлар арасындағы байланысты және осы кеңістіктегі функциялардан бағыт бойынша туындыны есептеу амалдарын алуға болады.

Айталық _P - p R ⁿ нүктесінде берілген R ⁿ координаталық кеңістіктің векторы болған. Онда р нүктесінің аймағында анықталған кез келген тегіс функциясы үшін _P векторымен берілген бағыт бойынша туындысы табылады. (25 сурет) .

немесе координатада

Осыны р нүктесінде векторы бойынша f функциясының туындысы деп атаймыз және арқылы белгілейміз.

25 сурет

Сонымен, р нүктесінің аймағында С°°(р) тегіс функциялар жиынында берілген векторлар бойынша келесі операция орындалады.

Жоғарыдағы ереже бойынша

Бұл операция келесі қасиеттерді қанағаттандырады:

1.

2.

3.

(мұнда f және g - С ºº (р) жиынында кез келген функциялар а - сандар) .

Ескерту: келесі фактті көрсетейік. Айталық, :C°°(p) R төмендегі шарттарға тәуелді кейбір бейнелеу:

Онда орындалатындай тек бір ғана векторы табылады.

Анықтама: М көпбейнелігі р нүктесінде жанама векторы деп С ^ºº ( р ) жиынындағы әрбір f функциясына X _p f санын сәйкес қоятын

ережесін айтамы және бұл ереже келесі қасиеттерге ие:

1. X _p (f + g) = X _p f + X _p g.

2. X _p {af) = aXf.

3. X _p (f. g) = X _p f. g(p) + f(p) . X _p (g)

{мұндағы f, g C°°(p), R) .

Айталық, Х _р - жанама вектор, R - кез келген сан.

Х _р (а) = 0. *

болатындығын көрсетеміз.

Х _Р (1) = Х _Р (1 ) = Х _Р (1) . 1 + 1. Х _Р (1) -2Х _Р (1)

Қатынасынан Х _р (1) =0 орындалатындығын көреміз. Бұдан

X _p ( ) = X _p ( ) = X _p (l) = 0 = 0. *

Жанама кеңістіктің өлшемі және базисі.

Теореманың дәлелдеуі.

Алдымен

жанама векторы барлық Т _Р М. к еңістігін туындайды.

Айталық, . Жалпы алынған (U х) локальді картасы келесі қасиеттерге ие :

i=l, . . . , n;
x(U), - Rn. -де ашық шар.

(1) формулада ф-ті f°x ^-1 , арқылы алмастырып, алатынымыз

Мұндағы q - U - дағы кез елген нүкте және

.

X _p f. есептеуге көшеміз. Алатынымыз

Жоғарыдан шығатыны

Осыдан f C°°(p) функциясы кез келген функция болғандықтан

⁽³⁾

Енді

векторлары сызықты тәуелді емес екендігін көрсетеміз

Айталық

онда

Бірақ және

Сондықтан

Сонымен - базис Т _р . М. жан. кең. базисі болып табылады.

СЛЕДСТВИЕ. dimзT _p M=dimM.

Басқа (V, у), p , локальды картасын таңдай отырып, жанама кеңістігінің келесі

базисін аламыз

Бұл базистің векторларын формуласы арқылы

1, . . . , n, базисінің векторлары арқылы сипаттауға болады.

Айталық f C°°(p), онда

Осыдан, f кез келген функция болғандықтан (4) формуланы аламыз. *

Сонымен қатар (4) формуланы (3) бағалаудан

орындалатынын біле отырып алуымызға болады.

Ескерту 1. Айталық M = R ⁿ және T _p R ⁿ . Онда R ⁿ -де

орындалатындай тек бір ғана векторы табылады. *

R ⁿ кеңістігінде (U, x) канондық координаттар жүйесіне таңдап аламыз:

U=R ⁿ , x= Онда

(2) формулаға =X _p , қоя отырып

Белгілеу енгіземіз

Қажет формулаға көшеміз:

мұнда

Ескерту 2. Қатысты кеңістіктер Т _p , M және , мұндағы , ортақ элементтері жоқ. Бөлшектерден құралған,

Көпбейнелерде анықталған тегіс функциялар.

Айталық М тегіс көпбейнелілігінде , функциясы берілсін, яғни М көпбейнелілігінде әрбір р нүктесіне белгілі бір ереже бойынша u=f (p), саны сәйкес қойылады.

Айталық р - берілген нүкте болсын.

болғандай (U, х) жергілікті картасын аламыз. Онда берілген f(p) функциясын, анықталу облысы R ⁿ координаталық кеңістігінде x(U) ашық картасы болып табылатын қарапайым п айнымалыдан туратын х ¹ , . ., ., х ^п функциясымен байланыстыруға болады.

Бұл функция келесі ережелерге сәйкес құрылады:

где

(сурет. 20) . R

Сурет . 20. Сферадағы жергілікті координатада көрсетілген функцияның графигі

Пайда болған функция {U, х) жергілікті картасына тәуелді .

Айталық, (V, у), p V, - келесі жергілікті картасы болсын.

Жоғарыдағы ережеге сәйкес:

, . . . , y ⁿ ) ) , . . . , y ⁿ ) где (у ¹ . . . , y ⁿ ) функциясын аламыз .

Егер функцияның R ⁿ кеңістігіндегі x(U) ашық облысына барлық үзіліссіз дербес туындысы бар болса яғни , онда функциясы кеңістігінің облысында санатына жатады С°°.