«Сандық әдістер» пәнінен зертханалық жұмыстар. Оқу құралы

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТІРЛІГІ

С. АМАНЖОЛОВ АТЫНДАҒЫ ШЫҒЫС ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

Б. А. Кабланбекова

«САНДЫҚ ӘДІСТЕР»

пәнінен зертханалық жұмыстар

Оқу құралы

Өскемен

С. Аманжолов атындағы ШҚМУ баспасы

2011

ОӘЖ 519. 6 (075. 8)

ҚБЖ 22. 11 я73

К 12

С. Аманжолов атындағы ШҚМУ әдістемелік кеңесімен

баспаға ұсынылған

№5 хаттама 21 маусым 2009 ж.

Пікір жазғандар:

Хисамиев Н. Г., физика-математика ғылымдарының докторы, профессор,

Тұрғанбаев Е. М., физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент,

Мухамедиева С. М. , С. Аманжолов атындағы ШҚМУ, Математикалық үлгілеу және компьютерлік технологиялар кафедрасының доценті

К 12 Кабланбекова Б. А. Сандық әдістер пәнінен зертханалық жұмыстар : Оқу құралы. - Өскемен: С. Аманжолов атындағы ШҚМУ баспасы, 2011. - 160 б.

ISBN 978-601-80142-0-8

«Сандық әдістер» пәнінің зертханалық жұмыстарын жүргізуге арналған оқу құралында заманауи есептеу әдістерінің көкейтесті сұрақтары қарастырылды.

Қателіктер теориясы, сызықты емес теңдеулер және жүйелер, қарапайым дифференциалдық теңдеулер, қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық есептер, сандық интегралдау, интерполяция есебі, айырымдық теңдеулер, дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер тақырыптары бойынша теориялық материалдар негізінде аналитикалық әдістермен шешілуі қиын математикалық, физикалық есептерді шешу алгоритмдері, компьютерлік бағдарламалары келтірілді.

Оқу құралы жоғарғы оқу орындарының 5В011100-Информатика, 5В060200-Информатика мамандықтарының студенттеріне, оқытушыларына, күрделі математикалық, физикалық есептерді сандық шешу әдістері қызықтыратын оқырмандарға арналады.

ISBN 978-601-80142-0-8

ОӘЖ 519. 6 (075. 8)

ҚБЖ 22. 11 я73

ISBN 978-601-80142-0-8

© Кабланбекова Б. А., 2011

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ

Сандық әдістер пәнінің физика-математика, инженер-технолог мамандықтарының студенттері үшін орны ерекше. Себебі дәл ғылыми сала болғандықтан математиканы да, информатиканы да, физиканы қамтитын бұл пәннің ғылыми, техникалық, физикалық есептерді шешуге тигізер көмегі көп. Күрделі есептерді классикалық әдістермен шығару мүмкін болмаған жағдайда сандық әдістердің ЭЕМ-де алгоритмдерін талдау бұл пәннің маңызын арттыра түседі. Пәнді оқыту барысында студенттерді аналитикалық жолмен шешілмейтін жоғарғы математика есептерімен таныстыра отырып, оны шешу әдістері талқыланады.

Қазіргі заман талабына сай ғылыми есептерді шешуде ЭЕМ рөлінің артуына байланысты сандық әдістерді студенттердің меңгеруіне көмектеседі.

Күрделі математикалық-физикалық процестерді зерттеу үшін математикалық моделі құрылып, оларды шешудің сандық әдістерінің алгоритмдері қарастырылады.

Сандық әдістердің түрлерін келтіре отырып, олардың біреуін таңдау барысында машинаның спецификасы ескеріледі. Сондай-ақ сандық әдістерді қолдану барысында пайда болатын қателіктерді анықтау әдістері келтіріледі. Қателіктердің түрлері, олардың есептің шешіміне тигізетін әсері қарастырылады. Оқу-әдістемелік құралда сандық әдістердің негізгі мазмұны келтірілген.

Бір есепті бірнеше әдіспен шығару алгоритмдері бар. Оларға программа құру арқылы алынған нәтижені бір-бірімен салыстыру барысында олардың айырмашылығын, тиімдісін анықтауға болады. Оқу құралына 10 зертханалық жұмыс енгізіліп отыр. Әр оқырман тақырыпқа байланысты қысқаша теориялық мағлұматтарды оқып, келтірілген мысалдарды саралап, берілген тапсырмаларды компьютер көмегімен және қарапайым есептеулер жүргізу арқылы орындап, алынған нәтижелерді салыстыруына болады. Кейбір зертханалық жұмысқа қатысты құрылатын программа нұсқасы берілген, бұл программалар студенттердің сандық әдістердегі формулаларды компьютер көмегімен өңдеулеріне көмекке жарайды деген мақсатпен келтіріліп отыр. Ал кейбір тақырыптарға программалар келтірілмеген, ол тақырыпқа қатысты программаны құру студенттерге берілетін өз бетімен жұмыс іспетті.

1 ЖУЫҚТАП ЕСЕПТЕУ ЕРЕЖЕЛЕРІ ЖӘНЕ ЕСЕПТЕУ

ҚАТЕЛІКТЕРІН БАҒАЛАУ

№1-зертханалық жұмыс

Қателіктер теориясы

Шамалардың жуық мәндері жуық сандармен беріледі.

Сандық әдістер немесе есептеу әдістері пәндерінде алынған нәтижелердің барлығы жуық шешімдер деп аталады.

Тура шешім мен жуық шешім айырмасы әдіс қателігі немесе дөңгелектеу қателігі деп аталады.

Қателіктер 3 түрге бөлінеді:

1. Әдіс қателігі
2. Шеттетілмейтін қателік
3. Есептеу қателігі

Әдіс қателігі берілген есепті шешу үшін таңдалған сандық әдістен тәуелді болады. Осыған байланысты әр әдістің қателігін бағалау формуласы әр түрлі болады.

Шеттетілмейтін қателіктер - есептің бастапқы берілгендерінен, коэффициенттерінен, шарттарынан тәуелді қателіктер.

Есептеу қателігі жуық шешімдерді алу барысында қолданылатын математикалық есептеулер кезінде қолданылатын сандарды дөңгелектеуден тәуелді.

Қателіктер теориясындағы негізгі ұғымдар

Бұл қателіктердің өздері абсолютті және салыстырмалы ([3] қараңыз) болады.

1. Егер а саны - тура мән, а*саны оған белгілі жуықтау болса, онда жуықтаудың абсолютті қателігі деп- олардың айырымын, ал шектік абсолютті қателігі деп мына шартты қанағаттандыратын қателікті айтады:.
2. Жуықтаудың салыстырмалы қателігі деп келесі шартты қанағаттандыратын шартты айтады:немесе.
3. Санның мәнді цифрлары деп оның жазылуындағы солдан бастағанда нөлден өзгеше барлық цифрларын айтады.
4. Мәнді цифрды дұрыс дейді, егер санның абсолютті қателігі осы цифрге сәйкес разряд бірлігінің жартысынан аспаса.

Арифметикалық операциялар нәтижелерінің қателіктері

1. Қосынды қателігі. F(x) =x=x1+x2+x3+…+xnқосындысы берілсін.

a) қосындының абсолютті қателігі: .

Егер болса, онда , ал n>=10 болса, Чеботарев формуласы қолданылады: .

b) қосындының салыстырмалы қателігі:

. Мұндағы , , .

2 Айырма қателіктері. X=x ₁ -x ₂ , x ₁ >x ₂ >0 болсын және азайғыш пен азайтқыштың жуық мәндері мен абсолютті қателіктері белгілі болсын.

a) айырманың абсолютті қателігі: .

b) айырманың салыстырмалы қателігі:

.

3 Көбейтіндінің қателіктері. X=x ₁ *x ₂ *…*x _n көбейтіндісі берілсін. Көбейткіштердің жуық мәндері және абсолютті, салыстырмалы қателіктері белгілі болсын.

a) көбейтіндінің абсолютті қателігі:

.

b) көбетіндінің салыстырмалы қателігі: .

4 Бөліндінің қателігі: бөліндісі берілсін. Алымы мен бөлімінің жуық мәндері, абсолютті, салыстырмалы қателіктері берілген болсын.

a) бөліндінің абсолютті қателігі: .

b) бөліндінің салыстырмалы қателігі: .

1- мысал: Берілген х санының дұрыс цифрлар санын анықтау керек болсын.

; .

Анықтама бойынша: шарты орындалса, 3 цифрын дұрыс цифр деуге болады. Шындығында 0, 0025<0, 05 екен, яғни 3 - дұрыс цифр. 9 цифрын тексерсек: 0, 0025<0, 005, яғни 9 цифры да дұрыс. Ал 4 пен 1 цифрлары үшін 0, 0025<0, 0005 және 0, 0025<0, 5 болғандықтан, олар күмәнді цифрлар болады. Қорыта айтқанда үтірден кейінгі 3 және 9 цифрларын жоғалтпау керек, яғни санды 0, 39 деп дөңгелектеуге болады, 0, 4 деп дөңгелектесек дөңгелектеу қателігі өсіп кетеді. Санның дұрыс цифрлар саны төртеу.

2-мысал: ; берілген. Санның дұрыс цифрларын анықтау.

Анықтама бойынша: , яғни . Одан шығатыны: . Енді санның цифрларын тексереміз:

8 цифры - дұрыс, өйткені: .

9 цифры - күмәнді, өйткені: . Дәл осылай 2 және 1 цифрларының да күмәнді екенін анықтауға болады. Сонда а санының 2 цифры дұрыс.

3-мысал: Х=2, 1514 санын 3 мәнді цифрға дейін дөңгелектеп, абсолютті және салыстырмалы қателіктерін табу.

болады. Сонда , .

4-мысал: көбейтіндісінің абсолютті және салыстырмалы қателіктерін анықтау.

екені белгілі. .

.

Тапсырмалар

1. Келесі сандарды 3 мәнді цифрға дейн дөңгелектеп, алынған жуық мәндердің абсолютті және салыстырмалы қателіктерін анықтаңыздар:

1. 2, 1514
2. 0, 16152
3. 0, 01204
4. 1, 225
5. -0, 0015281
6. -392, 85

2. Салыстырмалы қателіктері белгілі келесі сандардың абсолютті қателіктерін анықтаңыздар:

1. a=13267,
2. a=2. 32,
3. a=35. 72
4. a=0. 896
5. a=232. 44

3. Абсолютті қателіктері белгілі жуық сандардың дұрыс таңбаларының санын анықтаңыздар:

1. X=0. 3941
2. X=0. 1132
3. X=38. 2543
4. X=293. 481
5. X=2. 325
6. X=14. 00231
7. X=-32. 285

4. Салыстырмалы қателіктері белгілі жуық сандардың дұрыс таңбаларының санын анықтаңыздар:

a=1. 8921

a=0. 2218

a=22. 351

a=0. 02425

a=9. 3598

a=0. 11452

a=592. 8

2 СЫЗЫҚТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР ЖӘНЕ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ

№1 зертханалық жұмыс

Сызықты емес теңдеулерді шешудің сандық әдістері

Сандық әдістердің бір бөлімі «бір өлшемді сызықты емес теңдеулер» болып табылады. Физикалық және басқа да құбылыстардың теңдеумен сипатталатыны белгілі. Сол теңдеуді классикалық математикалық формуламен шешу мүмкін емес жағдайлар бар. Бұл уақытта практикада сандық әдістерге жататын әдістермен шешілетінін дәлелдеу керек. Әрине ең алдымен құрылған теңдеудің қай аралықта анықталғандығын, үзіліссіздігін, түбірінің барлығын, оның жалғыздығын дәлелдейтін аргументтерді бақылау керек. Осы этаптан өткеннен кейін ғана есепті осы теңдеуге қолдануға келетін алгоритм көмегімен шығаруға болады.

Сызықты емес теңдеулер екі түрлі:

1. Алгебралық;
2. Трансцендентті;

Алгебралық теңдеулер деп алгебралық көпмүшеліктерден тұратын теңдеулерді айтады. Олардың шешімдері көбіне нақты сан болады.

Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы функцялары бар теңдеуді айтады.

Сызықты емес теңдеуді сандық шешу екі тәсілден ([1] қараңыз) тұрады.

1 Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы тікелей шығару;

2 Итерациялық тәсіл - есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру арқылы жуықтап, біртіндеп шығару;

Тура тәсілмен шығарылған есептер дәл мәнді береді. Ал итерациялық тәсілмен шешілген есептер есептің жуық мәнін береді . Мұның ішінде итерациялық әдістер сандық әдіске жатады.

Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің келесі әдістері бар.

1 Кесіндіні қақ бөлу - дихотомия әдісі деп аталады;

2 Хорда әдісі;

3 Жанама әдісі немесе Ньютон әдісі;

4 Қарапайым итерациялық әдіс немесе жәй итерация әдісі т. б. ;

Түбір жатқан аралықты анықтау әдісі

F(x) =0 (2. 1)

Бірөлшемді сызықты емес теңдеу берілген. Мұндағы F(x) функциясы [a, b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын.

Теорема1. 1: [а, в] аралығында анықталған, үзіліссіз F(x) функциясының екі шеткі нүктелердегі мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, яғни мына шарт орындалса f(a) *f(b) <0, онда осы аралықта (2. 1) -теңдеудің түбірі бар және жалғыз болады.

Практикада кейде теореманың орындалуын функцияның мәндер кестесін құру арқылы да анықтайды. Функцияның анықталу облысы бойынша а нүктесін беріп, ол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сосын һ қадаммен келесі нүктеге жылжып, сол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сол сияқты бірнеше нүктедегі функция мәндерін анықтап, таңбасын салыстырады. Егер көрші нүктелерде функция әр түрлі таңба қабылдаса, сол аралықта жалғыз түбірі жатыр деп айтады.

1-мысал:

Берілген теңдеудің түбірін анықтау:

Теңдеудің түбірі жатқан аралықты аналитикалық тәсілмен табамыз: ол үшін функция туындысын тауып, оны нөлге теңестіру арқылы экстремумдарын анықтаймыз: , экстремумы: х ₁ =Ln10=2, 3;

Экстремум нүктелеріндегі функция таңбасының 1-кестесін толтырамыз.

1-кесте- функциясының таңбасын анықтау

Функция таңбасының ауысуы ( ; 2, 3] және [2, 3; ) аралығында байқалды. Яғни осы аралықта теңдеудің түбірі бар.

Енді графиктік әдісті қарастырайық. Ол үшін теңдеуді мына түрлерге жіктейміз, себебі функция күрделі, трансцендентті, бірден графигін құруға болмайды: Equation. 3 . Екі функцияның графигін саламыз, екеуінің қиылысқан нүктесі теңдеудің түбірі болып табылады (1-сурет) . Қиылысу нүктелерінің аймақтарын анықтаймыз.

1-сурет- Equation. 3 функцияларының графиктері

Бірінші түбірі [0, 1] аралығында, ал екінші түбірі [2, 6] аралығында жататыны суретте көрініп тұр. Енді осы аралықтағы қай нүкте (2. 1) -ші теңдеуді қанағаттандыратынын анықтаймыз.

Программасы

program Otdel_koren;

label 1, 2, 3;

var a, b, h, x1, x2, y1, y2:real; k:integer;

function f(x:real) :real;

begin

f:=exp(x) -10*x;

end;

begin

writeln('аралыкты және кадамды енгізу') ;

read(a, b, h) ;

k:=0;

x1:=a;

x2:=x1+h;

y1:=f(x1) ;

2: if x2>b then goto 1

else

begin

y2:=f(x2) ;

if y1*y2>0 then goto 3

else

begin

k:=k+1;

writeln(k, '-ші түбір=', '[', x1:3:3, ' ', x2:3:3, '] ') ;

end;

3: x1:=x2; x2:=x1+h; y1:=y2;

goto 2;

end;

1: end.

Кесіндіні қақ бөлу әдісі

(2. 1) - теңдеуді кесіндіні қақ бөлу әдісімен шешу алгаритмі келесі қадамнан тұрады.

1. (2. 1) -ші теңдеудің түбірі жатқан аралығын анықтау және осы аралықта түбірдің жалғыздығын тексеру. Яғни x осі бойында бірдей қашықтықта жатқан нүктелердегі функцияның мәндерін есептеміз, және егер екі шеткі нүктеде немесе екі көрші нүктеде функция мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, онда сол аралықта түбір бар деп есептеу
2. Осы аралықты қаққа бөлу және ол нүктенің мәнін

X _орт =(X _n+1 +X _n ) \2 (2. 2)

формуласымен анықтау.

3. /Xn+1-Xn/<e шарты арқылы қарастырылып отырған аралықтан шығып кетпеуді бақылаймыз.
4. XОРТнүктесіндегі функция мәнін F(XОРТ) есептеу.
5. Егер оның таңбасы F(Xn) функциясының таңбасымен бірдей болса, Xnнүктесінің орнына XОРТнүктесін қарастырамыз.
6. Ал егер F(XОРТ) функциясының таңбасы F(Xn+1) функциясының таңбасымен бірдей болса, Xn+1нүктесінің орнына ХОРТнүктесін қарастырамыз.
7. Шыққан аралықтар [Xn,, Хорт] U [Xорт, Xn+1] белгіленеді. және алдыңғы шарттарға байланысты екі аралықтың біреуін тағы қаққа бөлу арқылы ізделінді нүктеге біртіндеп жақындаймыз. Яғни мына шарттар тексеріледі: F(Xn+1) *F(Xорт) <0 шарты орындалса [Xорт, Xn+1] аралығы қаққа бөлінеді де шыққан нүкте мәні, XОРТ2=XОРТ+Xn+1/2 формуласымен есептеледі. F(Xn) *F(ХОРТ) <0 шарты орындалса [Xn, Xорт] аралығы қаққа бөлініп, табылған нүкте XОРТ2=XОРТ+ Xn/2 формуласымен есептеледі.
8. Осы процесті іздеп отырған х нүктесіне жеткенге дейін жалғастырып, XОРТ, XОРТ2, XОРТ3, …, XОРТNтізбегін құрамыз. Мына шарт орындалатын уақытта /XОРТN- XОРТN-1/<E іздеу процесін тоқтатамыз да XОРТNнүктесін (2. 1) -ші теңдеуді қанағаттандыратын х дәл түбірге жуық мән деп қабылдаймыз.

Программасы

Program bisekzia;

Label 1;

Var a, b, e, c:real;

Function f(x:real) :real;

Begin

F:=exp(x) -10*x;

End;

Begin

Writeln(‘аралықты және епсилонды енгізіңіз’) ;

Read(a, b, e) ;

1: c:=(a+b) /2;

if abs(b-a) <e then

write(‘x=’, c)

else

begin

if f(c ) *f(a) <0 then b:=c else a:=c;

goto 1;

end;

writeln(exp(c ) -10*c) ;

end.

Жай итерация әдісі

Бұл әдісті қолдану үшін (2. 1) -ші теңдеудің сызықты мүшесі айшықталып мына түрге келтіру керек:

(2. 3)

Сосын теңдеудің түбіріне кез келген Х ₀ бастапқы жуықтау беріп k=1, 2, … формуласымен х ₁ , х ₂ , …, х _n нүктелер тізбегін құрамыз. Бұл тізбек x=z түбіріне жинақталуы керек. Егер limX _k =z болса, онда z нүктесі теңдеуінің түбірі бола алады. Итерация әдісінің жинақтылық шарты және бастапқы жуықтау кез келген болады. Итерациялық процесс берілген дәлдікке жетуі үшін шарты орындалуы керек.

Итерациялық тізбектің жинақтылығы теореманың ([1] қараңыз) шарттарымен де тексерілуі керек:

Теорема1. 2. :

теңдеуінің [a, b] аралығында жалғыз түбірі бар және келесі шарттар орындалсын:

1 функциясы [a, b] аралығында анықталған және дифференциалданады;

2 үшін ;

3 барлық үшін болатындай q саны табылсын,

онда , (k=1, 2, …) итерациялық тізбегі кез келген бастапқы жуықтауда жинақталады.

Теңдеуді итерациялық түрге келтіру

(2. 1) -теңдеуді (2. 3) -ші итерациялық түрге келтіру әртүрлі тәсілдермен орындалады. Қай тәсілмен итерациялық түрге келтірілсе де жоғарыдағы теореманың шарттары орындалуы керек. Практикада көрінгендей, теореманың 3) -ші шартының орындалуы күрделірек, сондықтан төмендегі тәсілдердің бірін қолдануға болады:

1 (2. 1) -теңдеуді түріне келтірейік, мұндағы m=const нөлден өзгеше. Бұл уақытта деуге болады. Оны дифференциалдасақ: . Теореманың 3) -ші шарты орындалуы үшін үшін шарты орындалатындай етіп m-ді таңдап алу керек.

2 (2. 1) -теңдеу (2. 3) -ші түрге келтірілген, бірақ теореманың 3) -ші шарты орындалмай тұрса, онда y= функциясының орнына x=g(y) функциясын қарастыруға болады. Мұндағы g(y) функциясы функциясының кері функциясы. Енді y=g(y) теңдеуін шешетін боламыз. Немес ескі белгілеулер бойынша x=g(x) теңдеуін шешеміз деген сөз. Кері функциялардың туындыларының қасиеттері бойынша .

2 - мысал

теңдеуінің түбірін қарапайым итерация әдісімен табу керек болсын. Теңдеуді итерациялық түрге келтіреміз:

. Ал және барлық х нүктелері үшін

. Яғни q=0, 1 деп алып, бастапқы жуықтауды х ₀ =0 десек шарты орындалғанша итерациялық процесті құрамыз: х ₀ =0: ; , т. с. с. Түбір мәні х ₆ =0, 111833, итерация саны 5-ке тең.

Хорда әдісі

Бұл әдіс кесіндіні қаққа бөлу әдісіне қарағанда шешімге тез жинақталады.

Алгоритмі:

1. хn, xn+1аралығында f (x) және f (xn+1) функцияларының таңбасы бір біріне қарама-қарсы және түбірі бар болсын.
2. Осы екі шеткі нүктеден хорда жүргізіп, хорданың х осімен қиылысқан нүктесін мына формуламен анықтаймыз.

(2. 4)

Егер f(a) >0 шарты орындалса, а нүктесі тұрақты болады да формуласымен есептеледі

Егер f(b) >0 шарты орындалса, b нүктесі тұрақты болады да формуласымен есептеледі

3. х*нүктесіндегі функция мәнін F(x*) -ны есептеу. Оның таңбасын екі шеткі нүктедегі функцияның таңбасымен салыстырылады. Егер f (xn) және f(x*) функциясының таңбасы бірдей болса, онда хорданы xn+1және x*нүктесі арқылы жүргізіледі. Оның мәнін (2. 4) формуламен табады. Егер f(xn+1) мен f(x*) функцияның таңбалары бірдей болса, онда хорданы xnжәне x*нүктесі арқылы жүргізіледі. Шыққан нүктенің мәні (2. 4) формуламен есептелінеді.
4. x*нүктедегі мәнін есептеп, мәні нөлге жуық болса, онда x*нүктесі (2. 1) теңдеудің түбірі деп аталады. Егер нөлге жуық болмаса, онда процесс жалғасады.

Алдындағы мысал үшін программасы келесідей болады:

Ньютон әдісі

Алдыңғы әдістерге қарағанда бастапқы жуықтау дұрыс таңдалынып алынса Ньютон әдісі тез жинақталады. Бұл әдіске қатысты теореманы келтіре кетейік:

Теорема 1. 3. : f(x) функциясы [a, b] аралығында анықталған және екі ретті туындысы бар, осы аралықта түбір жатыр f(a) *f(b) <0, туындылардың таңбалары осы аралықта тұрақты болса f(x) *f ^' (x) >0, онда f(x ₀ ) *f ^'' (x ₀ ) >0 теңсіздігін қанағаттандыратын бастапқы жуықтаудан бастап (2. 1) -ші теңдеуді қанағаттандыратын [a, b] -да жататын жалғыз шешімге жинақталатын итерациялық тізбек құруға болады.

Ньютон әдісінің геометриялық мағынасы: координаталары (x _n ; f(x _n ) ) , болатын нүктеден қисыққа жанама жүргізсек, оның ох өсімен қиылысу нүктесі теңдеудің түбіріне х _n+1 - кезекті жуықтау болып табылады.

Түбірге n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін келесі теңсіздіктің орындалуын қадағалау керек: . Мұндағы М ₂ - функцияның екінші ретті туындысының аралықтағы максимумы, m ₁ - минимумы. Егер, болса, онда болады, яғни түбірге дұрыс жуықталынса, әр итерациядан кейін кезекті жуықтаудың ондық таңба саны екіге артады да процесс тез жинақталады. Егер түбірді берілген е дәлдікпен табу керек болса, итерациялық процесті шарты орындалғанша жалғастырамыз.

... жалғасы

Физика пәнінен оқушылардың эксперименттік зерттеу дағдыларын қалыптастыру

Физикалық практикумның мақсаты

Биология пәнінен зертханалық және практикалық жұмыстардың айырмашылығы

Техникалық және кәсіптік білім беруде аналитикалық химияны арнайы пәндермен байланыстыра оқыту әдістемесі

Химиялық оқу экспериментінің қазіргі күйі және оның жетілдіру жолдары

Химияны оқытуда зертханалық жұмыстарды жүргізу әдістемесі

«ақпараттық жүйелерді жобалау» электрондық оқулықты өңдеу және жобалау

Жоғарғы оқу орындарындағы кредиттік оқыту жүйесі ғылыми-педагогикалық негіздері

Биологияны оқыту процесінде ұйымдастырудың негізігі формалары

«Биология» пәнінен зертханалық және практикалық сабақтар

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс