Иррационал сан ұғымы

Жоспар
Кіріспе

1 Иррационал сан ұғымы
2 Иррационал теңдеулер

Иррационал сан де қандай санды айтады? Міне, осы санның анықтамасын берейік. Иррационал санды анықтауда үш түрлі көзқарас бар; бұлардың барлығына бірдей тоқтамай, біреуін ғана қарастырамыз. Ол — иррационал санның Дедекиндше анықтамасы.
Барлық рационал сандар жиынын екі класка бөлейік, біреуі А болсын, мұны төменгі немесе сол жақтағы класс дейміз; екінішсі В болсын, мұны жоғарғы немесе оқ жақтағы класс дейміз. Бұл А мен В кластары төмендегі шарттарды қанағаттандыруы қажет:
1) әрбір рационал сав А мен В-нің біреуіне ғана жатуы керек: не А-ға, не В-ге;
2) А класына жататын әрбір рационал сан В класына жататын әрбір рационал саннан кем болуы керек. Барлық рационал сандар жиынын осылай етіп екі класқа белуді рационал сандар жиынындағы қима деп атайды.
Бұлай етіп екі класқа бөлу — рационал сандар жиынында тіпті мүмкін нәрсе. Шынында, айталық кезкелген рационал сан болсын. А класына -ден кіші барлық рационал сандарды, ал В класына -ден үлкен барлық рационал сандарды жатқызайык. Сонда бүкіл рационал сандардың жиынын, жоғарыда көрсетілген екі шартты толығы мен қанағаттандыратын екі классқа бөледі.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 11 бет
Таңдаулыға:

ИРРАЦИОНАЛ САН ҰҒЫМЫ
Иррационал сан де қандай санды айтады? Міне, осы санның анықтамасын
берейік. Иррационал санды анықтауда үш түрлі көзқарас бар; бұлардың
барлығына бірдей тоқтамай, біреуін ғана қарастырамыз. Ол — иррационал
санның Дедекиндше анықтамасы.
Барлық рационал сандар жиынын екі класка бөлейік, біреуі А болсын,
мұны төменгі немесе сол жақтағы класс дейміз; екінішсі В болсын, мұны
жоғарғы немесе оқ жақтағы класс дейміз. Бұл А мен В кластары төмендегі
шарттарды қанағаттандыруы қажет:
1) әрбір рационал сав А мен В-нің біреуіне ғана жатуы керек: не А-ға,
не В-ге;
2) А класына жататын әрбір рационал сан В класына жататын әрбір
рационал саннан кем болуы керек. Барлық рационал сандар жиынын осылай етіп
екі класқа белуді рационал сандар жиынындағы қима деп атайды.
Бұлай етіп екі класқа бөлу — рационал сандар жиынында тіпті мүмкін
нәрсе. Шынында, айталық кезкелген рационал сан болсын. А класына
-ден кіші барлық рационал сандарды, ал В класына -ден үлкен
барлық рационал сандарды жатқызайык. Сонда бүкіл рационал сандардың
жиынын, жоғарыда көрсетілген екі шартты толығы мен қанағаттандыратын екі
классқа бөледі.
санын өзін не А класына, не В класыка жаткызуға болады. Егер
-ді А -класына жатқызсақ, онда ол А класының ішіндегі рационал
сандардың ең үлкені болып табылады. Егер -ді В класына жатқызайық,
онда ол В класын құратын рационал сандардың ішіндегі ең кішісі болып
табылады.
Барлық рационал сандар жиынын осылай етіп екі класка бөлгенде, төменгі
А класын құрушы сандардың ішінде ең үлкені бар, ол , онда В класын
кұратын сандардын ішінде ең кішісі жоқ немесе В класын құрушы сандардың
ішінде ең кіші сан бар, ол , бірақ онда А класында ең үлкен сан жоқ.
Тағы да бүкіл рационал сандар жиынын екі класка бөлейік: біреуі А,
екіншісі В болсын. Бұрынғыша А-төменгі класс, В — жоғарғы класс. А класына
барлық теріс сандарды, нольді және квадратты екіден кем оң рационал
сандарды жатқызалық та, В класына квадраты екіден артық он рационал
сандарды жатқызалық.
Мысалы, 1,1 саны А класына жатады, өйткені (1,1)2= = 1,212, ал 1,6
саны В класына жатады, себебі (1,6)2 = = 2,562.
Осылай етіп бүкіл рационал сандар жиыным екі класка бөлуді ол жиындағы
екінші типті қима дейді.
Осы қима жөнінде келесі теореманы дәлелдейік.
Теорема. Бұл жолы А жиынын құратын рационал сандардың ішінде ең үлкені
жоқ, В жиынын құратын рационал сандардың ішінде ең кішісі жоқ.
А класын құратын рациоиал сандардың ішінде ең үлкен сан бар деп кері
ұйғарайық және ол сан а болсын. Архимед аксиомасы бойынша
п (2 — ) 2 а + 1
теңсіздікті қанағаттандыратын үлкен п натурал саны әрқашан да табылады. Бұл
теңсіздіктен

теңсіздіті шығады.
Егер кейінгі теңсіздік орындалатын болса, онда мына теңсіздік

сөзсіз орындалады. Бұл арадан

немесе

санының квадраты 2-ден аз болғандықтан, бұл сан А класына жатады
және а санынан артық. Олай болса, А класын құратын рационал сандардық
ішінде ен үлкен сан бар, ол а деп теоремаға қарсы ұйғарғанымыз дұрыс болып
шықпады. Міне осы қайшылық теоремалық дұрыстығын дәлелдейді.
Енді теореманың В класын құратын рационал сандардың ішінде ең кішісі
жоқ деген бөлімін дәлелдейік. Ол үшін алғашқыдай кері ұйғарайық: В
класында ең кіші сан бар және ол болсын. Тағы да Архимед аксиомасы
бойынша
,
немесе
, олай болса,
бұл арадан:
немесе
Осы, кейінгі, теңсіздіктен біз мынаны байқаймыз: санының
квадраты 2-ден артык, ендеше бұл сан В класына жатады. Ал саны -
ден кем, сондықтак саны В класында ең кіші сан бола алмайды. Бұл да
біздін ұйғаруышыздың дұрыс емес екендігін, теоремалық дұрыстығын көрсетеді.
Жоғарыдағы айтылғаңдардан мынадай қортындыға келуге болады.
Егер барлық рационал сандар жиынындағы қиманы алсақ, яғни бүкіл
рационал сандарды екі класқа — төменгі класс А-ға және жоғарғы класс В-ге-
бөлсек, төменгі кластық әрбір саны жоғарғы кластын, әрбір санынан кем болып
келсе, онда мынадай үш жағдай болуға мүмкін:
1) не төменгі А класында ең үлкен санбар, онда жоғарғы класта ең
кіші сан болмайды;
2) не жоғарғы В хлаоында ек ікіші сан бар, онда теменгі класта
үлкен сан болмайды;
3) төменті А класында ек үлікен сан, жоғарғы В класында ең кіші сан
болмайды.
Егер 1 және 2-жағдайлар орындалса, онда рационал сандар жиынындағы
қима (А, В) рационал санын анықтайды, яғни бүкіл рационал сандар
жиынын жоғарыдағыдай екі класка бөлуші рационал саны болды.
Егер 3-жағдай орындалса, онда қима (А, В) бір ғана иррационал санды
анықтайды дейміз, яғни бүкіл рационал сандар жиынын жоғарыдағы көрсетілген
екі класқа бөлуші рационал-сан болмайды, иррационал сан болады, Біздің
мысалга келтірген қима (А, В) мына символға сәйкес келетін иррационал
санды анықтайды. Сонымен, иррационал сан деп қандай санды айтады деген
сұрақда былай жауап беруге болады: иррационал сан деп бүкіл рационал сандар
жиынындағы екінші типті қиманы анықтайтын санды айтады.
Сонымен, рационал сандардағы олқылықты иррационал сандар енгізіп
толтырамыз.
Иррационал сандарды өзара былайша салыстырамыз.
Егерде рационал сандар жиынындығы екі (А, В) және () қималарының
төменгі кластары ортақ сандардан құралса, яғни А класының әрбір саны
класында жатса және класының әрбір саны А класында жатса, бұл екі
қиманы бірдей дейміз. Бұл жағдайда осы қималардың анықтайтын сандары а мен
болса, оларды өзара тең (1-чертёж) дейміз де, былай жазамыз: а =
.
Егер А класынын, ішінде класының сандары да болса, а-ны -
ден үлкен дейміз де, а деп жазамыз.
Егерде а — санын анықтаушы қиманың төменгі класында оң сандар болса, а-
ны оң таңбалы сан дейді де, жоғарғы класында теріс сандар болса, а-ні теріс
таңбалы сан деп атайды.

Иррационал теңдеулер
Айнымалысы түбір тақбасынын, астында тұратын теңдеу иррационал теңдеу
деп аталады. Мысалы, мына теңдеу:
1-м ы с а л. теңдеуді шешейік.
Бұл теңдеудің екі жақ бөлігін де квадрат дәрежеге шығарамыз, сонда
шығады, бұдан х2 = 9, яғни х = 3 не х = -3 табылады.
Енді осы табылған сандар теңдеудің шешімдері бола ма, соны тексерейік.
Шынында да оларды осы теңдеуге қойсақ, тура теңдіктер шығады:
және
Олай ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.