Бигармоникалық функция класындағы бөлшек ретті операторлардың дифференциалдануының кейбір қасиеттері

1. Кіріспе
2. Риман.Лиувил және Капуто мағынасындағы бөлшек ретті дифференциалдық оператор қасиеттері
3. Адамар.Маршо дифференциалдық опереторының қасиеттері.

Бұл жұмыста бигармониялық функциялар класында анықталған кейбір бөлшек ретті интегро-дифференциалдық операторлардың қасиеттері зерттелінеді.
Айталық, , -бірлік шар, ал -бірлік сфера. Егер, шарында -бигармоникалық функция яғни және обласында келесі теңдеу орынды , .
Белгілеу енгіземіз және , .
Келесі операторларды қарастырамыз

1.Самко С.Г.Кильбас А.А.,Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения . Минск . Наука и Техника. 1987. -688с.
2. Карачик В.В.,Турметов Б.Х.,Торебек Б.Т. Некоторые интегро-дифференциальные операторы в классе гармонических функций и их применения. Известия Челябинского научного центра,2010.-Вып № 1(47).с.1-9.
3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва: Наука., 1981. -448с.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:

Бигармоникалық функция класындағы бөлшек ретті операторлардың
дифференциалдануының кейбір қасиеттері.

1. Кіріспе
Бұл жұмыста бигармониялық функциялар класында анықталған кейбір
бөлшек ретті интегро-дифференциалдық операторлардың қасиеттері
зерттелінеді.
Айталық, , -бірлік шар, ал -бірлік сфера. Егер,
шарында -бигармоникалық функция яғни және обласында келесі
теңдеу орынды , .
Белгілеу енгіземіз және , .
Келесі операторларды қарастырамыз
,
,
мұнда -гамма Эйлер функциясы. Мұнда оператор үстінде келесі
түрдегі оператор түсініледі . -опеераторы Риман-Лиувили
мағынасында ретті дифференциалдық оператор деп аталады, ал -
Капуто мағынасында ретті дифференциалдық оператор (см. ).
Егер , болсын. Қосымша белгілеулер енгіземіз.
,
.
Бұл оператормен бірге тағы бір түрдегі бөлшек ретті дифференциалдық
операторды қарастырамыз, ал егер
,
Ал егер , болса
.
Мұнда , -бүтін бөлігі , .
-операторы Адамар-Маршо мағынасында ретті дифференциалдық
оператор деп аталады. (см. )
2. Риман-Лиувил және Капуто мағынасындағы бөлшек ретті дифференциалдық
оператор қасиеттері.
1-Лемма. Егер және дәрежелі -біртекті гармоникалық
полином болсын.
Онда теңдік дұрыс

(1)
(2)
мұнда .
Бұл лемманың дәлелдеуі жұмыста көрсетілген. Дәл сондай келесі
лемма дәлелденеді.
2-Лемма. Егер және дәрежелі -біртекті гармоникалық
полином болсын, онда келесі теңдік дұрыс
(3)
3-Лемма. Егер , функция шарында бигармоникалық
болсын, онда кез-келген үшін келесі теңдік орынды

(4)

(5)
Дәлелдеу. Белгілеу бойынша тең. оператор анықтамасын
қолданып келесіні аламыз

(4) теңдік дәлелденді.
Енді екінші лемма теңдігіне өтеміз. Анықтама бойынша

Ең сонғы интегралды келесі түрде болады

және бөліктеп интегралдап келесіні аламыз

Сонғы интегралды зерттеп

Сондықтан үшін (5) теңдік дұрыс. Лемма дәлелденді.
(4) және (5) теңдіктен келесіні аламыз.
1-Салдар. үшін келесі теңдік орынды

(6)

1-Теорема. Егер , функция обласында бигармоникалық
болса, онда функцияларыда обласында бигармоникалық функция
болады және теңдікке тең.
Дәлелдеу. Егер функция обласында бигармоникалық болса,
онда Альманси теоремасыдан және функциялары обласында
гармоникалық болады, сондықтан

гармоникалық функцияларды қатар түрінде көрсетеміз

, (7)

ал үшін

(8)

Мұнда (8) есептің жіктелу коэффийенттері, ал k дәрежелі
біртекті гармоникалық полиномдардың толық системасы.
операторыны (8)- қатарға қолданып

(9)
аламыз
(9) теңдіктің оң жағынан алынған қатар обсалютті жинақы және боыйынша
бір қалыпты жинақы және олардың қосындысы гармоникалық функцияларды
көрсетеді. Ол функцияларды және арқылы белгілейміз. Онда .
Бұл теңдеуден Альманси теоремасы бойынша обласында
бигармоникалық функция.
функция (4) формула бойынша функциясы арқылы белгілейміз,
сондықтан онда обласында бигармоникалық болады.
, (4) теңдіктен .
Теорема дәлелденді.
4-Лемма. Егер k дәрежелі -біртекті гармоникалық полином болса,
Онда келесі теңдік орынды

, (10)

(11)

Дәлелдеу. Егер k дәрежелі -біртекті гармоникалық полином болса,
онда біртектілікті қолданып

сәйкесінше,

.

(10)-теңдік дәлелденді.
және (11)-дәлелдеуден

Мұнда

(11)-теңдік және лемма дәлелденді.

2-Теорема. Егер және функция обласында
бигармоникалық болса, онда кез келген үшін келесі теңдік дұрыс

(12)

Дәлелдеу. бигармоникалық функция қатар түрінде аламыз

(10) және (11) теңдіктері және қатардың бір қалыпты жинақтылығынан келесі
теңдік орынды

.

Ең сонғы өрнекте келесі түрлендіру жасаймыз

.

Сондықтан,

.

Теорема дәлелденді.
және операторлардың байланысыдан келесі тұжырым шығады.
3-Теорема. Егер функция обласында бигармоникалық болса,
онда кез келген үшін келесі теңдік дұрыс

(13)

Дәлелдеу. функция үшін 2-Теоремадағы тұжырымдың көмегімен (12)
теңдік дұрыс. (4) теңдікті қолданып

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.