Ерекшелігі әлсіз ядролы интегралдық теңдеулер
1 Ерекшелігі әлсіз ядролы интегралдық теңдеулер
2 Симметриялық ядролар және олардың кейбір қасиеттері
3 Фредгольмнің жалпы интегралдық теңдеуін ерекшеленген ядролы теңдеуге келтіру.
4. Ядроны қатарға жіктеу
5. Вольтерраның бірінші текті теңдеуі
2 Симметриялық ядролар және олардың кейбір қасиеттері
3 Фредгольмнің жалпы интегралдық теңдеуін ерекшеленген ядролы теңдеуге келтіру.
4. Ядроны қатарға жіктеу
5. Вольтерраның бірінші текті теңдеуі
Осы дәлелденген лемманы және өткен параграфтағы тұжырымдарды пайдалансақ, ерекшелігі әлсіз ядролы (38) интегралдық теңдеуінің шектелген облысында және болғанда Нейман қатары түріндегі жалғыз шешімі бар болады, ол қатар облысында бірқалыпты жинақты. Сонымен бірге жоғарыдағы ерекшелігі әлсіз (39) ядролы (38) интегралдық теңдеуін ядросы шектелген эквивалентті интегралдық теңдеумен ауыстырып шешуге болады.
Алдымен мына лемманы дәлелдейік.
түрінде бағаланады, бұндағы Cn шектелген тұрақты шама. Әрине, бұл өрнек шектелген (егер ) болса. Барлық уақытта жоғарыдағы (39) түріндегі ерекшелігі әлсіз ядролы (38) интегралдық теңдеуін ядросы қайталанған немесе , ,... ядролармен ауысқан сол типтегі теңдеулерге келтіруге болады. Ол үшін (38) теңдеуіндегі х- ті s- пен, ал s- ті t- мен ауыстырып, онда кейін теңдеуді - ке көбейтіп, пайда болған өрнекті s бойынша интегралдап,
Алдымен мына лемманы дәлелдейік.
түрінде бағаланады, бұндағы Cn шектелген тұрақты шама. Әрине, бұл өрнек шектелген (егер ) болса. Барлық уақытта жоғарыдағы (39) түріндегі ерекшелігі әлсіз ядролы (38) интегралдық теңдеуін ядросы қайталанған немесе , ,... ядролармен ауысқан сол типтегі теңдеулерге келтіруге болады. Ол үшін (38) теңдеуіндегі х- ті s- пен, ал s- ті t- мен ауыстырып, онда кейін теңдеуді - ке көбейтіп, пайда болған өрнекті s бойынша интегралдап,
Ерекшелігі әлсіз ядролы интегралдық теңдеулер
1. Фредгольм теңдеуі. Ақырлы облысында көп аргументті теңдеу
қарастырайық.
, (38) (39)
(38) түріндегі теңдеуді ерекшелігі әлсіз ядролы интегралдық теңдеу, ал (39)
түріндегі ядроны ерекшелігі әлсіз немесе полярлық ядро деп атайды. Егер
болса, онда Фредгольм ядросы деп аталады. Расында, болған
жағдайда:
Мұндағы кеңістігіндегі радиусы бірге тең сфера бетінің
ауданы, ал h – D облысының диаметрі. болғандықтан,
орынды. Бұл соңғы интегралда центрі х нүктесінде болатын сфералық
координаталарға көшсек және екенін ескерсек
болсын. Ол кезде
D облысында үзіліссіз функция болады. нүктесін бекітіп және деп
алайық. Сонда
.
Бұл өрнектің оң жағындағы 1- интеграл (40) теңсіздігіне байланысты
шамасынан үлкен бола алмайды, ендеше - ны жеткілікті дәрежеде
кішірейтіп бірінші интегралды - ден кіші етуге болады. Ал екінші
интеграл астындағы өрнектер мен облыстарында
аргументтері бойынша бірқалыпты үзіліссіз, сондықтан барлық, үшін ол
интегралды әрқашан - ден кіші етуге болады. Демек, барлық үшін
. Бұл нүктесінде - тің үзіліссіз екенін көрсетеді, яғни
. Олай болса,
теңсіздігі орынды.
Енді болсын. Коши- Буняковский теңсіздігін пайдалансақ,
Бұл K операторының кеңістігін - ға бейнелейтінін көрсетеді.
Осы дәлелденген лемманы және өткен параграфтағы тұжырымдарды
пайдалансақ, ерекшелігі әлсіз ядролы (38) интегралдық теңдеуінің шектелген
облысында және болғанда Нейман қатары түріндегі жалғыз
шешімі бар болады, ол қатар облысында бірқалыпты жинақты. Сонымен
бірге жоғарыдағы ерекшелігі әлсіз (39) ядролы (38) интегралдық теңдеуін
ядросы шектелген эквивалентті интегралдық теңдеумен ауыстырып шешуге
болады.
Алдымен мына лемманы дәлелдейік.
1-лемма. Егер болып және шектелген облыс болса, онда
(41)
полярлық ядро, оның үстіне
(42)
болады.
Дәлелдеуі. Егер болса, интегралының үшін бірқалыпты
жинақты екені түсінікті, сондықтан ядросы облысында үзіліссіз.
Лемманы толық дәлелдеу үшін болғанда (42) теңсіздігін дәлелдейік.
(41) ядросын бағалау нәтижесінде
екенін аламыз. Бұл теңсіздікке ауыстыруын негізіп, D облысын диаметрі
h болған шарына ауыстырсақ,
енді белгілеулерін енгізіп және интегралдағы айнымалыларды етіп
ауыстырсақ,
Бұл теңсіздіктің оң жағындағы бірінші интеграл болғандықтан шектелген
шама, яғни
ал болған кезде екенін ескеріп, екінші интегралды бағаласақ,
міне осы соңғы теңсіздіктерден (42) өрнегінің орынды екені шығады.
Салдар. Егер ядро әлсіз ерекшелікті болса, оның қайталанған ядролары
қайсыбір номерінен бастап шектелген болады.
Расында, ядросының n қайталанушы ядросы, 2- лемма бойынша
түрінде бағаланады, бұндағы Cn шектелген тұрақты шама. Әрине, бұл өрнек
шектелген (егер ) болса. Барлық уақытта жоғарыдағы (39) түріндегі
ерекшелігі әлсіз ядролы (38) интегралдық теңдеуін ядросы қайталанған
немесе , ,... ядролармен ауысқан сол типтегі теңдеулерге
келтіруге болады. Ол үшін (38) теңдеуіндегі х- ті s- пен, ал s- ті t- мен
ауыстырып, онда кейін теңдеуді - ке көбейтіп, пайда болған өрнекті s
бойынша интегралдап,
теңдеуін аламыз. Бұл теңдіктен және (38) теңдігінен
екені шығады, мұндағы .
Дәл осылай ,
ал мұнда міне осылай жалғаса береді.
Бұл процесті шектелген санақты түрде қайталап ядросы шектелген,
үзіліссіз болған Фредгольмнің 2- текті интегралдық теңдеуін аламыз. Демек
ерекшелігі әлсіз ядролы интегралдық теңдеуді регулялы ядролы интегралдық
теңдеуге келтірдік.
2. Вольтерра теңдеуі. Ерекшелігі әлсіз ядролы
теңдеуге келтіруге болады. Мұнда .
1- лемма. Егер (43) теңдеуінің ядросы
түрінде болса, онда ол теңдеудің ядросы қайталанушы
түрінде болады, бұнда кез келген шектелген функция.
Дәлелдеуі. Алдымен жағдайын қарастырайық: ,
бұған деп жаңа айнымалы енгізсек, ,
бұнда шектелген үзіліссіз функция, себебі бұл соңғы өрнектегі
интеграл болғанда жинақты. Осы процесті қайталап,
, ... , , ...
(43)
қатыстарын аламыз. Ал осы өрнектерден белгілі бір n номерінен бастап
ядросы шектелген, демек осындай ерекшелігі әлсіз (43) интегралдық теңдеуі
Вольтерраның шектелген ядролы теңдеуіне келеді. Сонымен ерекше ядролы
Вольтерраның интегралдық теңдеуін ядросы шенелген интегралдық теңдеуге
ауыстырдық. Соңғы теңдеуді біртіндеп жуықтау әдісімен шешеді, ол шешім
- ның кез келген мәні үшін табыдады.
22. Симметриялық ядролар және олардың кейбір қасиеттері
кеңістігінде
интегралдық теңдеуін қарастырайық. Егер нақты ядро шартын
қанағаттандырса, оны симметриялық ядро деп атайды. Мысалы,
симметриялық ядролар. Комплекстік ядросы шартын
қанағаттандырса, оны симметриялық эрмиттік ядро деп атайды. Ядросы
симметриялық ядро болатын интегралдық теңдеуді симметриялық интегралдық
теңдеу деп айтады.
Егер симметриялық (эрмиттік) ядро болса, онда бұл ядроның
қайталанған ядролары симметриялық болады. Расында, қайталанған ядро
анықтамасы бойынша
Дәл осылай жалпы жағдай үшін де бұл қасиеттің орынды екенін оңай көруге
болады.
Егер симметриялық эрмиттік ядро болса, онда Фредгольм орераторы
өзіне түйіндес, яғни болады. Расында .
Біз бұдан былай нақты аргументті симметриялық ядроларды қарастырамыз.
23. Фредгольмнің жалпы интегралдық теңдеуін ерекшеленген ядролы теңдеуге
келтіру.
Фредгольмнің ерекшеленген ядролы интегралдық теңдеуін шешу мәселесін
екі интегралдық теңдеуді шешуге келтіреміз: ол теңдеулердің біреуі
біртіндеп жуықтау әдісімен, яғни резольвента арқылы шешіледі, ал екіншісі
ерекшеленген ядролы теңдеу. Бұл жағдайда ядросы өзіне жуық
ерекшеленген ядромен аппроксимацияланады. Мұндай аппроксимациялауды бірнеше
жолмен орындауға болады. Мәселен, егер ядросы облысында
бірқалыпты жинақты дәрежелік немесе қос тригонометрикалық қатарға жіктелсе,
онда ядросына дәрежелік немесе тригонометриялық қатардың дербес
қосындысы мен жуықтауға болады, ал айырымы жинақталатын қатардың
қалдығы болғандықтан ақырсыз аз шама.
Фредгольмнің 2- текті
(49)
теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудегі ядро , яғни
болсын. функциялары аралығында ортонормаланған және ол система
толық болсын. Белгілі ядросын функцияларымен Фурье қатарына
(50)
жіктеуге болады. Бұл қатар болғанда орташа мағынада жинақты.
функциялары системасы облысында толық болғандықтан,
Парсевальдың тұйықтық шарты
(51) орынды. Егер (50) қатарының дербес
қосындысын
деп белгілесек, ол ерекшеленген ядро болады.
Енді деп белгілейік. Сонда функциясы (50)- Фурье
қатарының қалдығы болады:
деп белгілейік.. осы қатарға тұйықтық шартын пайдалансақ:
өрнегін аламыз. Алынған қатар жинақталатын (51) қатарының қалдығы,
сондықтан соңғы қатар қосындысы n жеткілікті дәрежедегі аз шама. Сондықтан
n- ның үлкен мәндерінде теңсіздігі орындалады, бұл шартты
қанағаттандыратын - ті кішкентай ядро деп айтамыз.
Сонымен ядросы түріндегі (- ерекшеленген, ал
кішкентай ) ядроларға жіктеледі. Енді (49) теңдеуі ядросын соңғы теңдіктегі
қосындымен ауыстырып
өрнегін аламыз. Осы теңдіктің оң жағындағы өрнекті
деп белгілесек, онда
теңдеуін аламыз. Бұрынғы дәлелдеулер бойынша шарты орындалғанда бұл
теңдеудің жалғыз шешімі бар болады, ол шешім ядросының резольвентасы
арқылы өрнектеледі: .
Ал F (x) функциясын оның мәнімен ауыстырсақ,
Енді
деп белгілесек, теңдеуді
түріне келтіреміз. Әрине, бұндағы - ерекшеленген ядро, себебі,
ядросы тозғындалған:
.
Сонымен,(49) түріндегі кез келген интегралдық теңдеуді ерекшеленген
ядролы теңдеуге келтіруге болады. Міне осы жағдайды пайдаланып ерекшеленген
ядролы интегралды теңдеу үшін Фредгольм теоремасы үзіліссіз ядролы немесе
ядросы - де болатын кез келген Фредгольмнің 2- текті интегралдық
теңдеуі үшін орынды деп айта аламыз.
Ескерту. Қолданбалы есептерде бұл теорияны пайдаланғанда
ядросын қажетті дәрежеде аз ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
1. Фредгольм теңдеуі. Ақырлы облысында көп аргументті теңдеу
қарастырайық.
, (38) (39)
(38) түріндегі теңдеуді ерекшелігі әлсіз ядролы интегралдық теңдеу, ал (39)
түріндегі ядроны ерекшелігі әлсіз немесе полярлық ядро деп атайды. Егер
болса, онда Фредгольм ядросы деп аталады. Расында, болған
жағдайда:
Мұндағы кеңістігіндегі радиусы бірге тең сфера бетінің
ауданы, ал h – D облысының диаметрі. болғандықтан,
орынды. Бұл соңғы интегралда центрі х нүктесінде болатын сфералық
координаталарға көшсек және екенін ескерсек
болсын. Ол кезде
D облысында үзіліссіз функция болады. нүктесін бекітіп және деп
алайық. Сонда
.
Бұл өрнектің оң жағындағы 1- интеграл (40) теңсіздігіне байланысты
шамасынан үлкен бола алмайды, ендеше - ны жеткілікті дәрежеде
кішірейтіп бірінші интегралды - ден кіші етуге болады. Ал екінші
интеграл астындағы өрнектер мен облыстарында
аргументтері бойынша бірқалыпты үзіліссіз, сондықтан барлық, үшін ол
интегралды әрқашан - ден кіші етуге болады. Демек, барлық үшін
. Бұл нүктесінде - тің үзіліссіз екенін көрсетеді, яғни
. Олай болса,
теңсіздігі орынды.
Енді болсын. Коши- Буняковский теңсіздігін пайдалансақ,
Бұл K операторының кеңістігін - ға бейнелейтінін көрсетеді.
Осы дәлелденген лемманы және өткен параграфтағы тұжырымдарды
пайдалансақ, ерекшелігі әлсіз ядролы (38) интегралдық теңдеуінің шектелген
облысында және болғанда Нейман қатары түріндегі жалғыз
шешімі бар болады, ол қатар облысында бірқалыпты жинақты. Сонымен
бірге жоғарыдағы ерекшелігі әлсіз (39) ядролы (38) интегралдық теңдеуін
ядросы шектелген эквивалентті интегралдық теңдеумен ауыстырып шешуге
болады.
Алдымен мына лемманы дәлелдейік.
1-лемма. Егер болып және шектелген облыс болса, онда
(41)
полярлық ядро, оның үстіне
(42)
болады.
Дәлелдеуі. Егер болса, интегралының үшін бірқалыпты
жинақты екені түсінікті, сондықтан ядросы облысында үзіліссіз.
Лемманы толық дәлелдеу үшін болғанда (42) теңсіздігін дәлелдейік.
(41) ядросын бағалау нәтижесінде
екенін аламыз. Бұл теңсіздікке ауыстыруын негізіп, D облысын диаметрі
h болған шарына ауыстырсақ,
енді белгілеулерін енгізіп және интегралдағы айнымалыларды етіп
ауыстырсақ,
Бұл теңсіздіктің оң жағындағы бірінші интеграл болғандықтан шектелген
шама, яғни
ал болған кезде екенін ескеріп, екінші интегралды бағаласақ,
міне осы соңғы теңсіздіктерден (42) өрнегінің орынды екені шығады.
Салдар. Егер ядро әлсіз ерекшелікті болса, оның қайталанған ядролары
қайсыбір номерінен бастап шектелген болады.
Расында, ядросының n қайталанушы ядросы, 2- лемма бойынша
түрінде бағаланады, бұндағы Cn шектелген тұрақты шама. Әрине, бұл өрнек
шектелген (егер ) болса. Барлық уақытта жоғарыдағы (39) түріндегі
ерекшелігі әлсіз ядролы (38) интегралдық теңдеуін ядросы қайталанған
немесе , ,... ядролармен ауысқан сол типтегі теңдеулерге
келтіруге болады. Ол үшін (38) теңдеуіндегі х- ті s- пен, ал s- ті t- мен
ауыстырып, онда кейін теңдеуді - ке көбейтіп, пайда болған өрнекті s
бойынша интегралдап,
теңдеуін аламыз. Бұл теңдіктен және (38) теңдігінен
екені шығады, мұндағы .
Дәл осылай ,
ал мұнда міне осылай жалғаса береді.
Бұл процесті шектелген санақты түрде қайталап ядросы шектелген,
үзіліссіз болған Фредгольмнің 2- текті интегралдық теңдеуін аламыз. Демек
ерекшелігі әлсіз ядролы интегралдық теңдеуді регулялы ядролы интегралдық
теңдеуге келтірдік.
2. Вольтерра теңдеуі. Ерекшелігі әлсіз ядролы
теңдеуге келтіруге болады. Мұнда .
1- лемма. Егер (43) теңдеуінің ядросы
түрінде болса, онда ол теңдеудің ядросы қайталанушы
түрінде болады, бұнда кез келген шектелген функция.
Дәлелдеуі. Алдымен жағдайын қарастырайық: ,
бұған деп жаңа айнымалы енгізсек, ,
бұнда шектелген үзіліссіз функция, себебі бұл соңғы өрнектегі
интеграл болғанда жинақты. Осы процесті қайталап,
, ... , , ...
(43)
қатыстарын аламыз. Ал осы өрнектерден белгілі бір n номерінен бастап
ядросы шектелген, демек осындай ерекшелігі әлсіз (43) интегралдық теңдеуі
Вольтерраның шектелген ядролы теңдеуіне келеді. Сонымен ерекше ядролы
Вольтерраның интегралдық теңдеуін ядросы шенелген интегралдық теңдеуге
ауыстырдық. Соңғы теңдеуді біртіндеп жуықтау әдісімен шешеді, ол шешім
- ның кез келген мәні үшін табыдады.
22. Симметриялық ядролар және олардың кейбір қасиеттері
кеңістігінде
интегралдық теңдеуін қарастырайық. Егер нақты ядро шартын
қанағаттандырса, оны симметриялық ядро деп атайды. Мысалы,
симметриялық ядролар. Комплекстік ядросы шартын
қанағаттандырса, оны симметриялық эрмиттік ядро деп атайды. Ядросы
симметриялық ядро болатын интегралдық теңдеуді симметриялық интегралдық
теңдеу деп айтады.
Егер симметриялық (эрмиттік) ядро болса, онда бұл ядроның
қайталанған ядролары симметриялық болады. Расында, қайталанған ядро
анықтамасы бойынша
Дәл осылай жалпы жағдай үшін де бұл қасиеттің орынды екенін оңай көруге
болады.
Егер симметриялық эрмиттік ядро болса, онда Фредгольм орераторы
өзіне түйіндес, яғни болады. Расында .
Біз бұдан былай нақты аргументті симметриялық ядроларды қарастырамыз.
23. Фредгольмнің жалпы интегралдық теңдеуін ерекшеленген ядролы теңдеуге
келтіру.
Фредгольмнің ерекшеленген ядролы интегралдық теңдеуін шешу мәселесін
екі интегралдық теңдеуді шешуге келтіреміз: ол теңдеулердің біреуі
біртіндеп жуықтау әдісімен, яғни резольвента арқылы шешіледі, ал екіншісі
ерекшеленген ядролы теңдеу. Бұл жағдайда ядросы өзіне жуық
ерекшеленген ядромен аппроксимацияланады. Мұндай аппроксимациялауды бірнеше
жолмен орындауға болады. Мәселен, егер ядросы облысында
бірқалыпты жинақты дәрежелік немесе қос тригонометрикалық қатарға жіктелсе,
онда ядросына дәрежелік немесе тригонометриялық қатардың дербес
қосындысы мен жуықтауға болады, ал айырымы жинақталатын қатардың
қалдығы болғандықтан ақырсыз аз шама.
Фредгольмнің 2- текті
(49)
теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудегі ядро , яғни
болсын. функциялары аралығында ортонормаланған және ол система
толық болсын. Белгілі ядросын функцияларымен Фурье қатарына
(50)
жіктеуге болады. Бұл қатар болғанда орташа мағынада жинақты.
функциялары системасы облысында толық болғандықтан,
Парсевальдың тұйықтық шарты
(51) орынды. Егер (50) қатарының дербес
қосындысын
деп белгілесек, ол ерекшеленген ядро болады.
Енді деп белгілейік. Сонда функциясы (50)- Фурье
қатарының қалдығы болады:
деп белгілейік.. осы қатарға тұйықтық шартын пайдалансақ:
өрнегін аламыз. Алынған қатар жинақталатын (51) қатарының қалдығы,
сондықтан соңғы қатар қосындысы n жеткілікті дәрежедегі аз шама. Сондықтан
n- ның үлкен мәндерінде теңсіздігі орындалады, бұл шартты
қанағаттандыратын - ті кішкентай ядро деп айтамыз.
Сонымен ядросы түріндегі (- ерекшеленген, ал
кішкентай ) ядроларға жіктеледі. Енді (49) теңдеуі ядросын соңғы теңдіктегі
қосындымен ауыстырып
өрнегін аламыз. Осы теңдіктің оң жағындағы өрнекті
деп белгілесек, онда
теңдеуін аламыз. Бұрынғы дәлелдеулер бойынша шарты орындалғанда бұл
теңдеудің жалғыз шешімі бар болады, ол шешім ядросының резольвентасы
арқылы өрнектеледі: .
Ал F (x) функциясын оның мәнімен ауыстырсақ,
Енді
деп белгілесек, теңдеуді
түріне келтіреміз. Әрине, бұндағы - ерекшеленген ядро, себебі,
ядросы тозғындалған:
.
Сонымен,(49) түріндегі кез келген интегралдық теңдеуді ерекшеленген
ядролы теңдеуге келтіруге болады. Міне осы жағдайды пайдаланып ерекшеленген
ядролы интегралды теңдеу үшін Фредгольм теоремасы үзіліссіз ядролы немесе
ядросы - де болатын кез келген Фредгольмнің 2- текті интегралдық
теңдеуі үшін орынды деп айта аламыз.
Ескерту. Қолданбалы есептерде бұл теорияны пайдаланғанда
ядросын қажетті дәрежеде аз ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz