Гиперболалық параболоид

Жоспар
Кіріспе

1 Гиперболалық параболоид.
2 Гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасаушылары.
3 Екінші ретті беттің дөңгелектік қималары.
4 Айналмалы беттер және олардың теңдеулері.

Айналмалы беттерге тағы бір рет тоқталып, оған әр түрлі мысалдар келтірейік. Егер жазықтықтағы бір сызықтың Ғ(х, у)=0 теңдеуі берілсе, онда осы сызықты абсцисса осінен айналдырғаннан шыққан геометриялық дене екінші ретті бет болады. Бұл айналмалы екінші ретті беттің теңдеуі жалпы түрде мынадай болады.
Ғ(х± Vу2+z2)=0.

Жазықтықтағы түзу сызықты немесе қисық сызықты бір осьтен айналдырғанда бұл формула бойынша әрқашан-да бір кеңістік дене шығады.
Берілген есептің шартын толық пайдалапып, жоғарғы айтылған формула бойынша айналмалы дененің теңдеуін дұрыс құрып, оның координаталар системасында қалай салынатынын айқын білу керек. Сондықтан осы мәселені қарастыру үшін бірнеше мысалдар келтірейік.
Координаталардың бас нүктесінен өтетін y= k х түзуі берілсін. Осы түзуді Ох осінен айналдырсақ, оның геометриялық орындары конус болады. Бұл конустың теңдеуі:

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:

Х1 lq + у1тр—рqn = 0.

х — x1 l у — Уі т
Енді ___________ = ______
___________ = _____
z — z1 п z — z1
п

қатынастарын пайдаланып, іздеген теңдеуді табамыз:
х — x1 у — у1
___________ q+у1q
___________ ― рq = 0,
z — z1 z — z1

qхх1 - qх12 + руу1 – ру12 - рqz +рqz1=0,
хх1 уу1 х12 у12
_____ + ______ = z — z1 + _____ + ______ ,
р q р q

хх1 уу1 х12 у12
_____ + ______ = z + z1 + _____ + ______ 2 z.
р q р q

Осыдан
хх1 уу1

_____ + ______ = z + z1
р q

х2 у2
Берілген _____ + ______ = z эллипстік параболоидтың
дөңгелегіндегі
4 2
нүктелерді табайық.
Ш е ш у і. Бұл эллипстік параболоидтың дөңгелегіндегі нүктелерді табу үшін
у + z = k жазықтыктарын жүргіземіз. Жанама жазықтыктар осы жазықтықгарға
параллель болу керек. Жанама жазықтықтың теңдеуі
х2 у2
_____ + ______ = z + z1,
4 2
немесе
хх1 + 2уу1- 2 z - 2 z1 = 0.
Бұл жазықтық мына у + z = k жазықтықтарына параллель. Сондықтан хх1 = 0,
2уу1 - 2 z — 2 z 1 = 0. Осыдан х1=0, уу1 — z — z 1= 0.
Мына у + z = k теңдеулеріндегі k коэффициентін табу үшін р және q
параметрлері мен бұл коэффициенттің байланысын жазамыз: k р = q,
k ∙2=1, k = 1. Осы k-ның мәнін бёрілген жазықтықтардың теңдеуіне
2
қойып, екі жазыктықтың теңдеуін жазайық:
у + z =1. Жанама жазықтық пен бұл жазықтықтар параллель.
2
Екі жазықтықтың параллельдік шарты бойынша іздеген нүктелердің
координаталарын табайық:
уу1 – z – z1 = 0,

у + z – 1 = 0.
2

А1 В1 С1 у1 1
____ = ____ = ____ , ____ = - _____
,
A2 B2 C2 1 1

у1 = - 1, х1 = 0, z = 1
_____ ;
2

уу1 – z – z = 0,

у – z - 1 = 0.
___
2

Гиперболалық параболоид.
Тік бүрышты координаталар системасында
х2 у2
_____ ― ______ = 21
р q
теңдеуімен кескінделетін екінші ретті бетті гиперболалық параболоид деп
атаймыз. Мұнда р 0, q 0. Берілген тендеудегі х, у ағымдық координаталық
екінші дәрежелі болғандықтан, бұл екінші ретті бет у z,
хz жазыктықтарына және О z апликата осіне қарағанда симметриялы болады.
Екінші ретті беттің ху жазықтығымен қиылысатын сызығын анықтау үшін z-ті
нольге тең деп алайык. Енді теңдеу былайша түрленеді:
х2 у2 х у
х у
_____ ― ______ = 0, ________ + ________ ________
― ________ = 0,
2р 2q V2р V2 q V2р
V2 q

х у
________ + ________ = 0,
V2р V2 q

х у
________ + ________ = 0.
V2р V2 q
Бұл теңдеулер ху жазықтығындағы екі түзуді кескіндейді, Бұл түзулер
координаталардың бас нүкгесінен өтеді және Ох, Оу осьтеріне симметриялы
болады. Гиперболалык параболопдка z = Һ жазықтығын жүргізсек, онда оның ху
жазыктығындағы параллель қимасы гипербола болады:

х2 у2
х2 у2
_____ ― ______ = h,
_____ ― ______ = 1.
2 р 2 q 2 рh
2h
Гиперболаның жарты осьтері а1=V2рh, b1 = V2qh. Гипербола төбелерінің
арасы 2а = 2~\2рһ. һ өскен сайын гипербола осі өсіп отырады. Бұл жағдайда
гиперболалык параболокд ху жазыктығының үстінде, Ох осінің бағытымен
шексізге дейін кетеді. h азапған сайын қима жазықтығы төмендей береді. z =
Һ = 0 болғанда кима жазықтығы ху жазықтығымен беттеседі.
Егер екінші ретті бетті z =- Һ жазықтығымен қисақ, онда оның кимасындағы
сызық тағы да гипербола болады:
х2 у2
_____ ― ______ = - h
2 р 2 q
немесе

х2 у2
_____ ― ______ = 1.
2 q h 2р h

Бұл гиперболадағы нақты жарты ось b1 = V2qh, жорымал жарты ось b1 =
V2рh.
Екінші (II) теңдеу мен үшінші (III) теңдеудің айырмасы, олардың
осьтерінін алмасатындығында.
h ескен сайын z =—h жазыктығы төмендейді. хг жазықтығы гиперболалық
параболоидты х- = 2р z параболаның бойымен қияды,

яғнн егер у = 0 болса. онда у2 = 2р z болады. Егер х = 0 болса, онда у2 = —
2qz болады.
Осы шыккан корытындыларды пайдаланып гиперболалық параболсидтың графигін
салуға болады 179-сызбада z =+h гипепбола

лык кисықтар. 180. а-сызбада пшерболалык параболоидка жүргізілген
жазыктыктын кпмалары. ал 180, б-сызбада гиперболалық параболоидтың сырткы
пішіні көрсетілген. 179-сызбадағы қималар: гиперболалар — .А2В1-А1,
.А1.А5.А6. А4В2А3, А3С1С2; параболалар — В1ОВ2, D1ОD2.
Гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасаушылары. Гиперболалық
параболоидтың түзу сызықты жасаушыларының теңдеулерін шығару үшін,
гиперболалық параболоидтың теңдеуін түрлендірейік:
х2 у2
_____ ― ______ = z,
2р 2q

х у
х у
________ + ________
________ ― ________ = z.
V2р V2 q V2р
V2 q

Осыдан екі теңдеулер системасын құрайық:
х у

________ + ________ = k1
V2р V2 q

х у
1
________ + ________ = ________
z
V2р V2 q k1

х у

________ + ________ = k2

V2р V2 q

х у
х
________ + ________ = ________
z.
V2р V2 q k2

мұндағы k1 k2 ― еркінше алынған сандар ― параметірлер.
Осы теңдеулердің әрқайсысы жазықтықты кескіндейді, екі (I), (II)
теңдеудің жиындылары екі түзуді береді. Бұл түзулер гиперболалық
параболоидтың түзу сызықты жасаушылары деп аталады (181 және 182-сызбалар).
Осы (I), (II) теңдеулеріндегі х, у, z ағымдық координаталардың мәндері
гиперболалық параболоидтың теңдеуін қанағаттандырады. Сондықтан түзу
сызықты жасаушылар гиперболалық параболоидтың бетінде жатады. Бір қуысты
гиперболоид сияқты гиперболалық параболоидтың әрбір нүктесінен екі

түзу сызықты жасаушылар өтеді, оның біреуі әрқашанда бірінші системадан
болса, ал екіншісі әрқашанда екінші системадан болады (181 және 182-
сызбалар). Бір системаның түзулері өз ара қиылыспайды. Сейтіп, мұнда екі
түрлі түзулер үйірімі болады. Бұл түзулердің біреуі бірінші системамен (I),
екіншісі екінші (II) системамен кескінделеді. k1 және k2 параметрлерінің
мәндеріне байланысты түзулер үйірімінің осыларға сәйкес теңдеулері шығады.
Берілген есептің шарты бойынша k1және k2 параметрлердің мәндерін табуға
болады. Табылған теңдеулері арқылы гиперболалық параболоидтың түзу сызықты
жасаушыларының тік бұрышты координаталар системасында қандай болып өтетінін
карастыру киын емес.
Мына Зх — 2у — 4 z = 0 жазықтығында параллель болатын
х2 у2
— - — = 2 гиперболалык параболоидтың түзу сызықты
8 2
жасаушыларын табайық.
Ш е ш у і.
х2 у2 х2 у2
_____ ― ______ = 2 z, _____ ― ______ = z,
8 2 16 4

х2 у2 х2
у2
_____ + ______ _____ ― ______ = z.
4 2 16
4

Осыдан
х у
_____ + ______
= k
4 2

х у z
_____ - ______ =
______
4 2 k

Бұл екі теңдеуді қолайлы түрге келтіру үшін әуелі оларды косайық, сонан
кейін бірінен-бірін алайық. Сонда
х z х-2 k z
_____ = k + ______ , ____ ______ = ______ ,
4 k 2 k

у у z z
_____ + ______ = k - ______ , у – k = - ______ ,
2 2 k k

z х-2k k-у z
k - у= ______ , ______ = ______ = ______ .
k 2 1 k

Есептің шарты бойынша бұл түзу берілген Зх—2у—4г = 0 жа-зыктығына
параллель. Сондықтан
3 • 2 — 2 • 1—4• k = 0, 6-2-4 k = 0, k =1.
Гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасауілыларыньщ біреуінің тендеуі
Х -2 у -1 z
______ = ______ = ______ .
2 -1 k
Енді екінші теңдеуін табайық:
Осы екі теңдеуді әуелі қосайык, сонан кейін бір-бірінен алып тас-тайык.
Сонда
х z х-2 l z
_____ = L + ______ , ____ ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.