Қолданбалы математика

Кіріспе
2.Векторлар,матрицалар және анықтауыштар
2.1. Сызықтық теңдеулер жүйелері
2.2. Дөнес жиындар туралы.
3.1.ҚАРАПАЙЫМ ЭКОНОМИКА ЕСЕПТЕРІНІҢ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕРІН ҚҰРАСТЫРУ
Симплекс тәсілінің алгоритмі
Тиімділік шарттың орындалуын тексеру.
6. Қосжақтылық теориясы мен қосжақтылық симплекс әдісі
4 ТІРШІЛІК ҚАУІПСІЗДІК БӨЛІМІ
4.1 Еңбекті қорғау және техника қауіпсіздігіне арналған іс.шараларды құру
4.1.1 Жұмыс орнын жоспарлау
4.1.2 Жұмыс орнының санитарлық.техникалық талаптар
4.1.3. Ауаны вентиляциялау және конденцинирлеу
5 ТЕХНИКО . ЭКОНОМИКАЛЫҚ НЕГІЗДЕМЕ БӨЛІМІ
5.1 Жүйенің барлық қосылған құрылымдарының шығыннын есептеу
5.2 Экономикалық эффективтігін есептеу жолы

Болашақ информатиктер үшін қолданбалы математиканың ең маңызды саласының бірі – экономикалық есептерді компьютерде модельдеу және шешу әдістеріне арналған. Бұл пәнді оқыту студентке қарапайым экономика есептерінің математикалық модельдерін құрастыруда алғашқы қадам жасауға, олардың математикалық қойылуы мен шешу әдістерін үйренуге мүмкіншілік береді.
Бұл пән жоғары математика курсынан кейін оқылуға тиіс; бұл жерде сызықтық алгебра мен шектелген өлшемді кеңістіктегі дөңес жиындар теориясының рөлі аса маңызды. Математикалық бағдарламалауды оқу кезінде алған білімін студент мамандығы бойынша экономика саласының есептерінің экономика-математикалық модельдерін құрастыру, осыдан аланатын математикалық есептерді қою, оның алгоритмін құрастыру және есептеу техникасын пайдаланып, шешімдерін табу үшін қолданады.
Қойылу шарттарына байланысты экономикалық есептері екі түрге бөлінеді: сызықтық бағдарламалау есептері және сызықтық емес бағдарламалау есептері.
Олардың ішінде сызықтық бағдарламалау есептері жақсырақ зерттелген; олар үшін қуатты шешу тәсілдері мен ЭЕМ үшін құрастырылған қолданбалы бағдарламалар пакеттері бар. Осыған байланысты көпшілік жағдайда сызықтық есептер қарастырылып, экономика есептерінің математикалық модельдерін сызықтық бағдарламалау есебіне келтіруге тырысады. Сызықтық емес бағдарламалау есептерін шешу тәсілдері де бар; бірақ олардың өзіне тән қиыншылықтары болғандықтан оған сәйкес модельдер әзірше азырақ қолданылуда.
Экономикалық математикалық модельдеу ғылым саласы және оқу пәні ретінде кейінірек пайда болған; күрделі экономика есептерін шешу қажеттілігі, үйлесімді шешімдер жиынынан ең тиімдісін (оптималь) таңдау және басқалар математика мен есептеу техникасын экономика саласына енгізуге себепші болды. Бұл операциялық зерттеудің пайда болуына әкелді.
Қазіргі кезде көптеген оқулықтар, оқу құралдары және басқа да әдебиеттер жарық көруде. Бірақ олардың ішінде қарапайым есеп жинақтары өте аз және республика кітапханаларында жоқтың қасы деуге болады. Бұл пәннің есептерін шешуге арналған қазақ тілінде оқу құралдары мүлдем жоқ.
Осыған байланысты осы оқу құралы ұсынылып отыр. Ол экономика және информатика мамандықтарында оқитын студеттер мен жоғарыда аталған мәселелер туралы білім алғысы және практикалық есептерді шешуге машықтанғысы келетіндерге арналған.

1. О. Камардинов. Х. Жантелі
Delphi 5-6. Шымкент. 2002 ж.
2. Савинков В. М., Бойко В. В.
Проектирование баз данных. Москва., 1998 г.
3. Епанешиков А. М.
Программирование в среде Delphi.
4. Владимир Гофман.
Работа с базами данных в Delphi. Санкт-Петербург, «БХВ -
Петербург»., 2002 г.
5. Культин Н.
Самоучитель в Delphi. Санкт-Петербург., 1999г.
6. Бобровский С.
Delphi-5. Учебный курс., Москва, 2000 г.
7. Фааронов В. В.
Delphi 4.0. Начинающий курс., 1999 г.
8. Гринберг Ф., Гринберг Р.
Самоучитель прогаммирование на входным языке СУБД dBase. Москва, «Мир»., 1989 г.
9. Шумаков П. В.
Delphi и создание базы данных. Москва., 1997 г.
10. Рубенкинг Н. Программирования Delphi для «чайников». Киев, «Диалектика», 1996 г.
11. Гринберг Ф.
Самоучитель прогаммирование на Delphi. Москва, «Мир»., 1998 г.
12. Фааронов В. В.
Delphi 5.0. и Turbo Pascal 7.0. Москва, 1999 г.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 67 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе
Болашақ информатиктер үшін қолданбалы математиканың ең маңызды
саласының бірі – экономикалық есептерді компьютерде модельдеу және шешу
әдістеріне арналған. Бұл пәнді оқыту студентке қарапайым экономика
есептерінің математикалық модельдерін құрастыруда алғашқы қадам жасауға,
олардың математикалық қойылуы мен шешу әдістерін үйренуге мүмкіншілік
береді.
Бұл пән жоғары математика курсынан кейін оқылуға тиіс; бұл жерде
сызықтық алгебра мен шектелген өлшемді кеңістіктегі дөңес жиындар
теориясының рөлі аса маңызды. Математикалық бағдарламалауды оқу кезінде
алған білімін студент мамандығы бойынша экономика саласының есептерінің
экономика-математикалық модельдерін құрастыру, осыдан аланатын
математикалық есептерді қою, оның алгоритмін құрастыру және есептеу
техникасын пайдаланып, шешімдерін табу үшін қолданады.
Қойылу шарттарына байланысты экономикалық есептері екі түрге бөлінеді:
сызықтық бағдарламалау есептері және сызықтық емес бағдарламалау есептері.
Олардың ішінде сызықтық бағдарламалау есептері жақсырақ зерттелген;
олар үшін қуатты шешу тәсілдері мен ЭЕМ үшін құрастырылған қолданбалы
бағдарламалар пакеттері бар. Осыған байланысты көпшілік жағдайда сызықтық
есептер қарастырылып, экономика есептерінің математикалық модельдерін
сызықтық бағдарламалау есебіне келтіруге тырысады. Сызықтық емес
бағдарламалау есептерін шешу тәсілдері де бар; бірақ олардың өзіне тән
қиыншылықтары болғандықтан оған сәйкес модельдер әзірше азырақ қолданылуда.
Экономикалық математикалық модельдеу ғылым саласы және оқу пәні
ретінде кейінірек пайда болған; күрделі экономика есептерін шешу
қажеттілігі, үйлесімді шешімдер жиынынан ең тиімдісін (оптималь) таңдау
және басқалар математика мен есептеу техникасын экономика саласына енгізуге
себепші болды. Бұл операциялық зерттеудің пайда болуына әкелді.
Қазіргі кезде көптеген оқулықтар, оқу құралдары және басқа да
әдебиеттер жарық көруде. Бірақ олардың ішінде қарапайым есеп жинақтары өте
аз және республика кітапханаларында жоқтың қасы деуге болады. Бұл пәннің
есептерін шешуге арналған қазақ тілінде оқу құралдары мүлдем жоқ.
Осыған байланысты осы оқу құралы ұсынылып отыр. Ол экономика және
информатика мамандықтарында оқитын студеттер мен жоғарыда аталған мәселелер
туралы білім алғысы және практикалық есептерді шешуге машықтанғысы
келетіндерге арналған.

2.Векторлар,матрицалар және анықтауыштар
1. Реттелген n нақты сандар жүйесін n өлшемді вектор деп атайды; ол
былайша белгіленеді:
Х=(x1, x2, ... ..xn),
Мұндағы x1 x2 ... xn вектордың компоненттері немесе құрастырушылары деп
аталады. Векторлар бас әріптермен, ал компоненттері кіші әріптермен
белгіленеді.
2. Екі вектор Х және Ү бір-біріне тең деп есептелінеді, егер олардың
сәйкес компоненттері бірдей болса, немесе x1=y1, і=1,2, ..., n
3. Х және Ү векторларының қосындысы деп ( векторын атаймыз, егер оның
компоненттері былайша анықталса :
zi=xi+yi, і=1,2, ... .,n
4. Қос Х және Ү векторларының айырмасы деп келесі ( векторын
айтамыз:
(=Х-Ү=(x1-y1, x2-y2,..., xn-yn)
5. Барлық компоненттері нөлге тең векторды нөлдік вектор деп
атайды:
o=(o,o, ... o)
6. Х векторының а нақты санына көбейтіндісі деп келесі векторды
атайды:
a∙Х=(ax1, ax2,..., axn)
7. Қосу, алу және санға көбейту тәртібі енгізілген n өлшемді барлық
векторлардың жиынын n өлшемді векторлық кеңістік деп атайды.
8. Егер n = 3 болса, онда векторлық кеңістік қарапайым үш өлшемді
кеңістік болып табылады.
9. Х және Ү екі векторының скалярлық көбейтіндісі деп келесі санды
атайды:
S=(Х,Ү)=
10. Екі Х және Ү векторлары ортогональды деп аталады:
(Х,Ү)=0
11. Х векторының ұзындығы (нормасы) деп келесі санды атайды:

12. Скалярлық көбейтінді туралы түсінік (немесе метрика) енгізілген n
өлшемді векторлық кеңістік Эвклид кеңістігі деп аталып, Еn деп
белгіленеді.
13. Тіктөртбұрышты сандар кестесі

матрица деп аталады. Ол мұнда n жатық жол мен m тік жолдан тұрады.
Матрицаны құрайтын сандар оның элементтері деп аталады. Оның бірінші
индексі жатық жол, ал екіншісі тік жол нөмірін көрсетеді.
Кейде матрица былайша белгіленеді:
A=(A1, A2, ..., Am),
мұндағы Aj-j-ші тік жол немесе вектор – тік жол:
Aj=
14. Егер n=m болса, онда А матрицасы квадрат матрица деп аталады.
аіі, і=1 , 2, ..., n, элементтері А матрицасының бас диагоналін құрайды
.
15. А және В матрицаларының қосындысы (айырмасы) деп элементтері келесі
формула бойынша анықталатын С матрицасын атайды:
C=AB, cij=aijbij, i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m
16. А матрицасының с санына көбейтіндісі деп келесі В матрицасын атайды:
B=c∙A, bij=c∙aij, i=, j=
17. А матрицасының с вектор–тік жолға көбейтіндісі деп компоненттері
келесі формуламен анықталатын В векторын атайды:
B=A∙C, bi= i=
18. А матрицасының В матрицасына көбейтіндісі келесі формула бойынша
анықталатын С матрицасын атайды.
C=A∙B, cij=

Көбейту амалын орындау үшін бірінші матрицаның тік жол саны
екіншісінің жатық жол санына тең болуы тиіс.
19. Транспонирленген матрица Ат деп жатық жол ретінде алғашқы А
матрицасының оған сәйкес тік жолы болатын матрицаны атайды:

20. Квадрат А матрицасын қарастырайық. А матрицасына сәйкес n–ші
дәрежелі анықтауыш деп келесі тәртіппен құрастырылған n! мүшелердің
қосындысын атаймыз: әрбір мүше матрицаның n элементінің көбейтіндісі
ретінде, әр жатық жолынан және тік жолынан бір элементтен алынған; ал
оның таңбасы индекстерге байланысты егер олар жұп болса , онда оң ,
ал керісінше жағдайда –теріс болады. Анықтауыш келесі түрде
жазылады:

21. Транспонирлеу кезінде матрица анықтаушы өзгермейді:

22. Егер анықтауыштың бір жолы нөлдерден тұрса, онда ол нөлге тең болады.
23. Екі жодың орынын ауыстыру кезінде анықтауыштың абсолют мәні өзгермей,
таңбасы ғана өзгереді.
24. Екі жолы бірдей анықтауыш нөлге тең болады.
25. Егер бір жолдың барлық элементін С деген санға көбейтсек , онда
анықтауыштың өзі де сол С санына көбейтіледі .
26. Егер анықтауыштың бір жолына екінші жолды кез келген санға көбейтіп
қосқанда анықтауыштың мәні өзгермейді.
27. Бір –біріне пропорциональ екі жолы бар анықтауыш нөлге тең болады.
28. Егер бір жолы басқа жолдардың сызықтық комбинациясы болса, онда ол
анықтауыш нөлге тең болады. Анықтауыштың і-ші жолы басқаларының
сызықтық комбинациясы болуы үшін барлығы нөлге тең емес сандары
табылып, келесі шарт орындалуыға тиіс:
aij=

29. Бүтін сан k қарастырылсын: 1≤k≤n-1, және анықтауышта k тік жол мен k
жатық жол таңдалынсын. Осы тік және жатық жолдардың қиылысына
орналасқан элементтер k дәрежелі матрицаны құрайды. Осы матрица
анықтауышы к-ші дәрежелі минор деп аталады .
30. Берілген А матрицасының аij элементі орналасқан жатық және тік жол
сызып тасталынсын. Қалған элементтерден n-1 -ші дәрежелі матрица
құралады; оның анықтауышы Мij деп белгіленсін. Cонда А матрицасының
аij элементінің алгебралық қосымшасы деп келесі санды атайды:
Aij=(-1)i+j∙Mij
31. Квадрат матрица ерекше деп аталады, егер оның анықтауышы нөлге тең
болса, ал керісінше жағдайда ерекше емес деп аталады.
32. А-1 матрицасы А матрицасының кері матрицасы деп аталады,
егер A-1∙A=E

Мұндағы Е –n-ші дәрежелі бірлік матрица:

Кері матирца A-1 былайша анықталады:
A-1=
мұндағы анықтауыш, Aij алгебралық қосымшалар

33. n - өлшемді А1, А2, ... .,Аs векторлар берілсін. Онда вектор

k1 ∙ A1 + k2 ∙ A2 + ... + ks ∙ As
берілген векторлардың сызықтық комбинациясы деп аталады. А1, А2, ... .,Аs
векторлар жүйесі сызықтық байланыста деп есептелінеді, егер нөлдік вектор
олардың сызықтық комбинациясы болып және к1, к2, ... .,кs
коэффициеннетрінің ішінде нөлге тең еместері болса. Керісінше жағдайда
бұл векторлар жүйесі сызықтық байланыссыз деп аталады, немесе мына шарт

тек келесі жағдайда мүмкін:
k1=k2= ... =ks=0

34. Нөлге тең емес минорлардың ең үлкен дәрежесі матрицанын рангысы деп
аталады.

2.1. Сызықтық теңдеулер жүйелері
1. Сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы түрі:
(1.1)

ол n белгісізі бар m теңдеуден тұрады: оның коэффиценттері жүйенің
матрицасын құрайды:

ал вектор
B=(b1,b2...,bn)T
Жүйенің бос мүшелерінің тік жолы деп аталады.
Теңдеулер жүйесін келесі түрлерде де жазуға болады:

Мұндағы

X=(x1,x2...,xn)T

Белгісіздер тік жолы деп аталады.
2. Берілген жүйенің кеңейтілген матрицасы деп келесі матрицаны атаймыз:

=(A1,A2 ... ,An,B)

3. Егер теңдеулер жүйесін қанағаттандыратын X1(1=1,n) мәндері табылса,
онда келесі векторды соның шешуі деп атайды:

4. Ең болмағанда бір шешімі болатын сызықтық теңдулер жүйесін үйлесімді,
ал керісінше жағдайда үйлесімсіз деп атайды.
5. Сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді болуы үшін оның матрицасынан
рангысы кеңейтілген матрица рангысына тең болуы керек.
6. Жордан- Гаусс әдісі
Бұл әдісті пайдалану үшін теңдеулер жүйесін келесі
түрде жазайық:

Бұл жүйені шешу процесі n қадамнан тұрады. Кез-келген к-ші
қадамда к-ші теңдеудегі хк белгісізінің коэффиценті нолге тең емес деп,
теңдеулер жүйесінің коэффиценттерімен келесі формулалар бойынша
өзгертіледі:
(1.3)

(1.4)

Бұл формулалар Жордан-Гаусс формулалары деп аталады және олар
кейінірек, Симплекс тәсілінің алгоритмін қарастыру кезінде қолданылады.

2.2. Дөнес жиындар туралы.
1. Гипержазықтық деп келесі сызықтық теңдеуді қанағаттандыратын n өлшемді
кеңістіктіктегі нүктелер жиынын атаймыз:

мұндағы

2. Гипержазықтық жарты кеңістік деп аталынатын екі жиынды туғызады:

және

3. Вn кеңістігіндегі кез-келген түзудің теңдеуі келесі түрде жазылады.
X=A+Bt,
Мұндағы А және В –векторлар: В –бағыттаушы вектор деп аталады.

Егер t параметрі төменнен немесе жоғарыдан нақты санмен шектелген
болса, онда оған сәйкес жиынды бағыттаушы векторы В сәуле деп атайды.
Егер t екі жағынан шектелген болса, онда ол жиын кесінді деп аталады.
4. Кесіндінің кез келген х нүктесін оның ұштарынан А А сызықтық
комбинациясы ретінде қарастыруға болады.

Шын мәнінде

Ескертетін жай

Сонымен, ұштары А және А болатын кесінді келесі түрдегі х нүктелерінің
жиыны болады:

5. С жиынынын әрбір х нүктесіне Р(х) нақты санын сәйкес келтіретін Ғ(х)
функциясы делік. Онда С жиыны Ғ(х) фукциясының анықталу облысы немесе онын
берілу облысы деп аталады.

6.Егер кез келген екі А және В нүктелерн қосатын кесінді толығымен G
жиынына жататын болса, онда оны жыйн деп аталады:

7. Егер n өлшемді кеіңстікте сызықтық теңсіздіктер жүйесі қарастырылса:

Онда ол дөңес көпжақ құрайды, себебі ол теңсіздіктердің әр қайсысы жарты
кеіңстікті анықтайды. Ескертетің жәй - ол көпжақ облыс болуы да мүмкін.
Екі өлшемді кеіңістікті немесе жазықтықтағы жағдайды қарастырайық:
Онда ІІІ шартты жазықтықтың қиылысы көпбұрыш құрайтыны көруге болады.
(№ 26 есепті қараңыз).

3.1.ҚАРАПАЙЫМ ЭКОНОМИКА ЕСЕПТЕРІНІҢ МАТЕМАТИКАЛЫҚ
МОДЕЛЬДЕРІН ҚҰРАСТЫРУ
Кез келген ғылым саласында есептеу техникасы мен математикалық зерттеу
тәсілдерін қолдану үшін (мысалы, эканомикада) алдымен зерттелінетін
құбылыстың математикалық моделін құрастыру қажет.
Математикалық модель деп есептің мақсаты мен шарттарына сәйкес
құрастырылған оның негізгі параметірлерін байланыстыратын математикалық
формулалардың (теңдеулер, теңсіздіктер, интегралдар және т.б.) жиынын
айтамыз. Математикалық модель математикалық есепті құрастыруға мүмкіншілік
жасайды.
Есептің математикалық моделі қандай болуы тиіс ? – деген сұрақ тууы
мүмкін.
Бұл жерде ол туралы екі түрлі көзқарасты қарастырайық. Кез келген қарапайым
есептің өзі көптеген факторларға байланысты болады; ал олардың тек белгілі
біреулері ғана есепке алынуы мүмкін. Кейде, барынша көп фактордың
құбылысқа тигізетін әсерін анықтауға мүмкіншілік бермейтін есепке
келтірілуі мүмкін. Екіншіден, көпшілік факторларды есепке алмау
математикалық есепті оңайлатқанмен оның шешімінде ешқандай мағына болмайтын
жағдайға келтірілуі мүмкін. Сондықтан кез келген құбылысты зерттеу ісінің
табысты болуы оның математикалық моделін сәтті құрастыруға байланысты.
Енді әртүрлі қарпайым экономика есептерінің математикалық моделін
қарастырайық.
Төменде қарастырылған есептердің барлығына тән қасиет берілген шартар
бойынша теңдеу немесе теңсіздіктер күйінде жазылған шектеулер мен есепті
шешудің критерийін (белгісін) анықтайтын мақсат функциясы
құрастырылады. Бұл жерде критерийі мақсат фукциясының экстремаль (maximum
немесе minimum) мәндерін табуға арналған математикалық бағдармалау
есептері қарастырылады; олар вариациялық есептер класына жатады.

№І. (Өндірісті жоспарлау туралы есеп)
белгілі бір кәсіпорын n түрлі бұйым А1, А2 ... ..Аn шығару үшін m
түрлі шикізат В1, В2 ... ..Вm пайдаланады. Кәсіпорын қоймасындағы шикізат
қоры әрбір бұйымға жұмсалынатын шикізат мөлшері мен дайын бұйымнан
түсетін пайда келесі кестеде көрсетілген:
Бұйым түрі Жұмсалатын шикізат мөлшері Пайда Жоспар
B1 B2 Bj Bm

Іске асырылғанда өте көп пайда беретін өндіріс жоспарын жасау керек.
Шешуі: Алдымен әрбір шығарылатын А бұйымның мөлшерін белгілейміз.
Онда түсетін жалпы пайда мөлшері келесі формула бойынша анықталады:

F=c1x1 + c2 x2 + ... +cnxn (2.1)

Сонымен бірге жұмсалатын әрбір шикізат оның қоймадағы қорынан аспауға
тиіс:
(2.2)
ал бұйым мөлшері теріс мән қабылдай алмайды:
(2.3)
Қарастырылып отырған есептің математикалық модельі (2, 1), (2,2), (2,3)
формулалары арқылы анықталады. Осыдан келесі математикалық есепті қоюға
болады: (2.2) мен (2.3) теңсіздіктерін қанағаттандыратын Ғ(х) фук
№2 (Азық құрамы туралы есеп)

Айталық n түрлі азық-түлік А1А2... Ап болсын делік олардың бірліктерінің
құны С1С2... Сп белгілі. Әрбір азық-түлікте түрлі В1В2 Вт пайдалы заттары
(белок, май, көмірсутегі, витаминдер және т.б.) болатындығын ескеріп, азық
құрамын жасау керек: ондағы пайдалы заттардың әрқайсысы В1В2 Вn-нен кем
мөлшерде болмауға тиіс.
Осындай шарттарды қанағаттандыратын және жалпы құны ең арзан болатын
азық құрамын жасау керек.
Пайдалы заттардың әрбір азық-түліктегі мөлшері төмендегі кестеде
көрсетілген.

Азық түлік Пайдалы заттар Құны Мөлшері

В1 В2 . . .Вj . . .Вm

Шешуі:
Азық құрамына кіретін азық-түлік түрлерінің мөлшерін х1, 1=1,n деп
белгілейік. Сонда жалпы жұмсалынатын қаржы келесі формуламен анықталады:
F=C1 X1 +C2 X2 + . . . . Cn Xn (2.4)

Есептің шарты бойынша азық құрамындағы пайдалы заттар көрсетілген
мөлшерден кем болмауы тиіс:
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn ≥b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn ≥b2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ≥bm
(2.5)

aл азық-түлік мөлшері теріс мән қабылдай алмайды:
хі ≥0, і =1,n (2.6)

Сонымен, қарастырылған есептің математикалық моделі (2.4)-(2.6)
формулаларымен анықталады. Мұнда келесі математикалық есепті қоюға
болады:
(2.5) және (2.6) теңсіздіктерді қанағаттандыратын әрі (2.4) функциясының
минимумына сәйкес келетін белгісіздер Х1Х2 ... Хn –нің мәндерін табу керек.
Мұндағы Р(х)-мақсат фунуциясы ал (2.5) (2.6) теңсіздіктері шектемелер
деп аталады. Есептің критерийі –оның мақсат функциясының минимумы.
№ 3. (Тапсырманы кәсіпорындарға бөлу туралы есеп)
Өндіріс саласының жоспары бойынша белгілі бір т уақытта А1 бұйымынан
М1 дана (1-1,n) шығарылуғатиіс. Бұл бұйымдар т кәсіпорындарында
шығарылады, бірақ бір кәсіпорын бір кезеңде бірнеше түрлі бұйымды қатарынан
шығара алмайды. Сонымен бірге a1j -ші кәсіпорын уақыт бірлігінде шығаратын
А1 бұйымының саны мен b1j -осы кәсіпорындашығарылатын А1 бұйымының
біреуінің құны белгілі.Шығарылатын барлық өнімнің құны аз болатындай етіп
тапсырманы кәсіпорындарға бөлу жоспарын жасау керек.
Шешуі: А1 бұйымын шығаруға жұмсалынатын кәсіпорынның уақытын x1j деп
белгілейміз. Онда өндіріс кәсіпорындарының шығарылатын барлық өнімдерінің
құны:
n m
F=∑ ∑ a1j b1j x1j (2.7)
1=1 j=1
Сонымен бірге, әрбір кәсіпорынның жұмыс уақыты Т-дан аспауға тиіс.
x1j + x2j + . . . + xnj ≤ T, J=1, m (2.8)

Шығарылатын өнім мөлшері тапсырмаға сәйкес болуы керек:
аі1 xj + аі2 x2 + . . . + а1m xm =N1 , J=1, m
(2.9)

Есептің шарты бойынша (2.8) және (2.9.) шектемелері орында-латын (2.7)
функциясының мәні минимум болатын белгісіздердің Х1j мәндерін табу керек.

№4.( Тасымалдау туралы есеп)
Айталық,n қойманың А1 , А2 ... , Аn әрқайсысында көлемі а1, а2 ... аn жүк бар
делік оны m пайдаланушыға В1, В2 , ..., Вm қажетті мөлшерде b1 ,b2 , ... ,bm
жеткізілуге тиіс. Әрбір қоймадан А1 жүктің көлемінің бірлігін пайдаланушыға
Вj жеткізуге жұмсалынатын қаржы С1j. Барлық жұмсалынатын қаржы ең аз
болатын тасымалдау жоспарын жасау керек.
Шешуі:
Есептің барлық шартын келесі беттегі кесте күйінде бейнелеген ыңғайлы.
А1 қоймасынан В1 пайдалану-шыға жіберілінетін жүк көлемін x1j деп
белгілейік сонда бар жұмсалынатын қаржы келесі формула бойынша анықталады:
n m
F= ∑ ∑ 01j x1j (2.10)
1=1 j=1
Осы есептің математикалық моделін қарастыру кезінде үш түрлі жағдай
болуы мүмкін. Соларды қарастырайық.
А) Барлық жүк қоймаларындағы жүк қоры барлық пайдаланушыға қажетті
мөлшергек тең.
n m
∑ a1= ∑ xj (2.11)
і=1 j=1

Қоймалар Пайдаланушылар Жүк
қоры
В1 В2
... Вm
А1 011 012 ... 01m a1
x11 x12 ... x1m
А2 021 022 ... 02m a2
x11 x12 ... x1m
. . . ... ... ... ...
. . . ... ... ... ...
А n 0n1 0n2 ... 0nm an
xn1 xn2 ... xnm
Қажеттілік b1 b2 ... bm

Бұл жағдайда тасымалдау туралы есептің жабық моделін аламыз.
Әрбір пайдаланушы В өз қажеттілігін толық қамтамасыз етеді:
x1j + x2j + . . . + xnj = bj, J=1, m (2.12)

Барлық қоймадан жүк қоры түгелімен алынып кетуге тиіс:
xіj + xіj + . . . + xіm = aі, і=1, n (2.13)
Қоймадан алынған жүк қайтарылмауға тиіс:
x1j ≥0

Сонымен, (2.10)-(2.14) формулалар жиыны жабық тасымалдау туралы есептің
математикалық моделі болады.
Б) Барлық жүк қоймаларындағы жүк мөлшері барлық пайдаланушыға қажетті
мөлшерден артық:
n m
∑ a1 ∑ bj (2.15)
і=1 j=1

Бұл жағдайда тасымалдау туралы есептің ашық моделі болады; барлық
қоймадан жүк түгелімен алынып кетілмейді:
xі1 + xі2 + . . . + xіm ≤ aі, і=1, n (2.16)

aл қалған формулалар (2.10) (2.12) (2.14) осы жағдайда да орындалады.
Сонымен (2.10) (1.12) (2.14) (2.15 (2.16) формулалар жиыны тасымалдау
туралы есептің ашық моделін құрайды.
В) Барлық жүк қоймаларындағы жүк қоры барлық пайдаланушыға қажетті
мөлшерден кем:

n m
∑ a1 ∑ bj (2.17)
і=1 j=1

Бұл жағдайда да тасымалдау туралы есептің ашық моделі болады: барлық
пайдаланушы өз қажеттілігін толық қанағаттандыра алмайды:
x1j + x2j + . . . + xn j ≤ bj, j=1, m (2.18)

aл қалған формулалар (2.10) (2.13) (2.14) осы жағдайда да орындалады.
Сонымен (2.10) (2.13) (2.14 (2.17) (2.18) формулалар тасымалдау туралы
есептің тағы бір ашық моделін құрайды.
№5. ( Материалдарды тиімді пішу туралы есеп)
Белгілі бір бұйымды шығару үшін әрқайсысында көлемі В1-ге тең п партия
материал бар делік. Әрбір бұйымды жасау үшін осы материалдардан в түрлі
бөлшек дайындалуға тиіс; бір бұйымға қажетті әрбір бөлшек саны Рк болуы
керек. Ол бөлшектерді пішудің ( дайындаудың т түрлі тәсілі бар; егер1-ші
партияның материал бірлігін тәсілмен пішетін болса, онда дене К-ші
бөлшек алуға болады. Қолда бар материалдардан дайындалатын бұйым саны ең
көп болатын пішу жоспарын табу керек.
Шешуі:
Белгілеу негізейік х1j-1-ші партия материалдарының j=ші тәсіл бойынша
пішілетін көлемі делік.
Сонда 1-ші партия материалдарын j-ші тәсілмен пішкенде алынатын k-ші
бөлшек саны :
a1jk x1j
Ал 1-ші партия материалдарын барлық тәсілдермен пішкенде алынатын k-ші
бөлшек саны :
Сонымен , барлық n партиядағы материалдарды барлық m тәсілмен пішу
кезінде дайын болатын k-ші бөлшек саны :
m
∑ a1jk x1j
(2.18) j=1
Сонымен, барлық n партиядағы материалдарды барлық m тәсілмен пішу
кезінде дайын болатын k-ші бөлшек саны:
n m
fk = ∑ ∑ a1jk x1j , k= 1.s
(2.19)
і=1 j=1

Бір бұйым үшін қажетті k-ші бөлшек саны Pк болғандықтан, дайын бұйым
саны келесідей болуы тиіс : f k
F=min Pk , k= 1,s (2.20)

немесе , (2.19) формуласы бойынша :
n m
∑ ∑ ai jk x ij
F= min 1=1 j=1 , k = 1.s
(2.21)
Pk

Әрбір партиядан жұмсалынатын материал саны белгілі , сондықтан :
xі1 + xі2 + . . . + xіm = bі, і=1, n (2.22)

Сонымен бірге:
xіj ≥0
(2.23)

Бұл есептің математикалық моделі ретінде (2.21) , (2.22) , (2.23)
формулаларының жиынын қарастыруға болады :
Мұнда (2.22) және (2.23) шарттарын қанағаттандыратын әрі F
функциясының максимумына сәйкес болатын белгісіздер xij-дің мәндерін табу
керек. Бұл есепті максмин есебі деп те атайды.
№ 6.
Арматура цехында жеткілікті мөлшерде ұзындығы 5 метрден арматуралық
сым бар. Темірбетон бұйымдарын шығаруға қажетті үш түрлі дайындама
жасалуға тиіс. Олардың біріншісінің ұзыяндығы 2 м , саны 140 дана ,
екіншісінің ұзындығы 1,8 м саны 150 дана , ал үшіншісінің ұзындығы 1м, саны
160 дана болуы керек. Ең аз арматуралық сым жұмсалынатын осы дайындамаларды
жасау жоспарын табу керек.
Шешуі:
Бұл есептің математикалық моделін құрастырудан бұрын бес метрлік сымды үш
түрлі дайындама алу үшін қандай жолмен кесуге болатынын қарастырк керек.
Оны кесудің варианттары мынадай болады:

Дайындама Кесу вариантттары
Дайындама саны
ұзындығы, (м) 1 2 3 4
5

2,0 2 1 0 0 0
140
1,8 0 1 2 1
0 150
1,0 1 1 1 3
5 160

Жоспар х1 х2 х3 х4
х5

Кестедегі Х1 -әрбір кесу вариантына жіберілетін сымның саны.Онда жалпы
кесілетін сымның саны.

F (Х)= х1 + х2 +х3 +х4+х5 ( min
Әрбір дайындама санына байланысты келесі теңдеулерді жазуға болады:

2х1+х2 =140
х2+2х3+х4=150
х1+х2+х3+3х4+5х5=160
Әрине Х1 теріс мән қабылдамауға тиіс:
х1 ≥ 0
Сонымен, қарастырылған есептердің математикалық модельдері мақсат
функциясы және теңдеулер мен теңсіздіктер күйінде жазылған шектеулерден
тұрады екен.
Келесі есептер(№7-25 ) үшін олардың математикалық модельдерін құрастыру
керек.
№7
А және в бұйымдарын дайындау үшін үш түрлі станок пайданылады. А
бұйымның біреуін дайындау үшін бірінші станок а1 сағат пайдаланылады, ал
екінші станок-а2 сағат үшінші станок-а3 сағат ал в бұйымның біреуін
дайындау үшін бірінші станок в1 сағат екінші станок в2 сағат үшінші станок
–в3 сағат пайдаланылады. Станоктардың жұмыс істеу мерзімі шектелген,
олардың әрқайсысы t1 t2 t3 сағат жұмыс істейді. А бұйымның біреуінен
түсетін пайда С1 теңге ал В бұйымынан-С2 теңге. Түсетін пайда максимум
болатын тиімді жоспар туралы есептің маиематикалық моделін құрастыру керек.
№8
Цех темірбетон бұйымдарының екі түрін шығарады. Бірінші бұйымға 5кг темір
арматурасы мен 3 кг сым, ал екіншісіне 3кг арматура мен 1,6 кг сым
жұмсалынады. Цех қоймасында 350кг арматура мен 240кг сым бар. Жоспар
бойынша цех ең кемінде 20 дана бірінші бұйым және ең кемінде 30 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.