Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа тәсілдері

I. Кіріспе.
1. Мақсаты мен міндеті

2. Зерттеу жаңалығы

II. Негізгі бөлім:.

1. Анықталмаған теңдеулерді шешу әдістері.

Есептеудегі жаңалықтар тізбесі:

2. Анықталмаған теңдеуді жаңа әдіспен (анықтауыштар әдісімен) шешу.

3. Анықталмаған теңдеулер жүйесін анықтауыштар әдісімен шешу.

4. n . ші дәрежелі анықталған теңдеулерді теңдеулер жүйесіне ауыстыру.

5. Анықталған теңдеуді (квадрат теңдеуді) анықтауыштар әдісімен шешу.

6. Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің жаңа әдістері.

6.1 Дискриминанты әр түрлі жағдайдағы үшінші дәрежелі теңдеулерді шешу формулалары.

6.2 Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің графиктік әдісі.

III. Қорытынды: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Зерттеу жұмысын есептер шығаруда қолдану.
дың мәні

IV. Пайдаланған әдебиеттер тізімі.

Екі және одан да көп айнымалысы бар теңдеулерді анықталмаған теңдеулер деп атайды. Анықталмаған теңдеудің шешімі деп осы теңдеуді қанағаттандыратын айнымалылар мәндерінің барлық жиынын айтады.
Математикада 1, 2, 3, 4 дәрежелі теңдеулерді шешудің (радикалдарда) жалпы әідістері табылған, бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулерді шешудің жалпы әдістері, сонымен бірге анықталмаған теңдеулерді шешудің жалпы әдістері қарастырылмаған.
Міне, осы мақсатта, анықталған және анықталмаған теңдеулер арасындағы тығыз байланысты ескере отырып, анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері қарастырылып, мысалдар қарастыру арқылы дұрыстығын көрсеттік.

Осы мақсатта төмендегі ізденіс жұмыстары жүргізілді:

а) Теңдеу түрлерінің бір-біріне байланыстылығына негізделе отырып, анықталмаған теңдеуді анықтауыш әдісі бойынша шештік.
ә) Анықталмаған теңдеулер жүйесін анықтауыштар арқылы шештік.
б) Үшінші дәрежелі теңдеуді дискриминантына (∆ = 0, ∆ > 0, ∆ < 0) байланысты және график тәсілімен шешуге ізденіс жұмыстары жүргізілді.

Ғылыми жұмыс мынадай жоспарда жүргізілген :

I. Анықталмаған теңдеулерді шешу әдістері.

Есептеудегі жаңалықтар тізбесі:

II. Анықталмаған теңдеуді жаңа әдіспен (анықтауыштар әдісімен) шешу.

III. Анықталмаған теңдеулер жүйесін анықтауыштар әдісімен шешу.

IV. n – ші дәрежелі анықталған теңдеулерді теңдеулер жүйесіне ауыстыру.

V. Анықталған теңдеуді (квадрат теңдеуді) анықтауыштар әдісімен шешу.

VI. Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің жаңа әдістері.

1. Дискриминанты әр түрлі жағдайдағы үшінші дәрежелі теңдеулерді шешу, үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің тиімді формулаларын қорытып шығару және мысалдар қарастыру арқылы дәлелдеу.

2. Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің графиктік әдісі.

1. Ф.Л.Варлаховский, А.С.Солодовников. Задачник – практикум по алгебре. Часть 1. Москва, 1982
2. Э.Б. Винберг. Алгебра многочленов. Москва, 1980
3. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. Москва, 1981
4. И.А. Гибш. Алгебра пособие для учителей. Москва, Учпедгиз, 1960
5. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Москва, 1977
6. В.С. Михельсон. Элементы вычеслительной математики. Москва, 1966
7. А.И. Маркушеивич, К.П. Сикорский, Р.С. Черкасов. Алгебра и элементарные функции. Москва, 1968
8. Математическая энциклопедия 1 том. Москва, 1964
9. .Математическая энциклопедия 2 том. Москва, 1964
10. С.Н. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры.
11. В.А.Никифоровский. В мире уравнений. Москва, Наука, 1987
12. С.И. Туманов. Элементарная алгебра. Москва, 1960
13. Л.Я. Окунев. Высшая алгебра. Москва, 1966
14. Е.П.Ожигова. Что такое теория чисел. Москва, Знание, 1970
15. Б.М. Оразбаев. Анықтауыштар теориясы. Алматы, 1967
16. А.К. Окунов. Квадратные функций, уравнения и неравенства. Москва, 1966
17. Р.Н. Искандаров, Р. Назаров. Алгебра ва сонлар назарияси I том. Тошкент, 1977
18. Интернет желісі. Ферманың үлкен теоремасы.
Неопределенные уравнение.
Книга Диофанта.(www.5ballov.ru)
19. Журнал Квант № 2, 2000

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы
Білім және Ғылым Министрлігі

Ленгер қаласы Төлеби ауданы
арнайы дарынды балалар мектебі

Бақашбаев Азат, 11 – сынып
Рысбеков Нұрсұлтан, 10 – сынып

Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері

Экономикалық және әлеуметтік процестерді
математикалық модельдеу

Секция: Математика

Шығармашылық жетекші: Бақашбаева Зәуре
Арнайы дарынды балалар
мектебінің жоғарғы

санатты математика пән

мұғалімі.

Ғылыми жетекші: Ибрагимов Рысқұл

Халықаралық Қазақ – Түрік

университетінің Шымкент

институты жоғары

математика кафедрасының
доценті,
педагогика

ғылымының докторы

Шымкент 2007

Аннотация

Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері тақырыбындағы жазылған
ғылыми - ізденіс жұмысында анықталған және анықталмаған теңдеулер
арасындағы байланыс, анықталған теңдеулер жүйесін анықталмаған теңдеуге
келтіру және керісінше, анықталған және анықталмаған теңдеуді және
анықталмаған теңдеулер жүйесін шешудің анықтауыш әдісі мен шешу жолдары
іздестіріліп, қорытындыланып, мысалдар арқылы дәлелденген, анықталмаған
теңдеудің бүтін шешімдерін және өзге де шешімдерін табудың жаңа әдістері
қарастырылып, қорытындысы жасалған.

Аннотация

Научно-исследовательская работа на тему Новые методы решения
неопределенных уравнений является ценной научно-обоснованной методической
новинкой в решении определенных и неопределенных уравнений.
Вместе с тем, в поисковой работе сделан глубокий анализ решения системы
определенных уравнений в неопределенные и, наоборот, определенные и
неопределенные уравнения и систему неопределенных уравнений с
использованием определителей и методов решения и доказаны на примере
решенных задач.

Annotation
The research work on a theme " New methods of the decision of the uncertain
equations " is a valuable scientifically - is proved methodical novelty in
the decision of the certain and uncertain equations.
At the same time, in search work the deep analysis of the decision of
system of the certain equations in uncertain and, on the contrary is made,
the certain and uncertain equations and system of the uncertain equations
with use of determinants and methods of the decision and are proved on an
example of the decided tasks.

Төлеби аудандық арнайы дарынды балалар мектебінің 11-сынып оқушысы
Бақашбаев Азат пен 10-сынып оқушысы Рысбеков Нұрсұлтанның Анықталмаған
теңдеулерді шешудің жаңа әдістері тақырыбында жазған ғылыми жұмысына

Пікір

Зерттеушінің Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері
тақырыбындағы ғылыми жұмысы көпмүшелер теориясының негізгі мәліметтерінің
бірі болған теңдеулер теориясына қатысты жазылған. Ғылыми жұмыста n-ші
дәрежелі теңдеулерді шешу жаңаша көзқарас тұрғысында баяндалған.
Олар:
- анықталған және анықталмаған теңдеулерді шешу;
- анықталмаған теңдеулерді анықтауыш әдісімен шешу;
- n-ші дәрежелі анықталған теңдеулерді анықтауыш әдісімен шешу;
- жоғары дәрежелі теңдеуді шешудің жаңа әдістері т.с.с.

Зерттеу жұмыстарының ғылыми жаңалығы өте құнды. Жаңа әдіспен жоғары
дәрежелі теңдеулердің түбірлерін есептеу теориясы берілген және
зерттеушілер өз әдістерін мысалдар арқылы дәлелдеген. Анықталған және
анықталмаған теңдеулерді шешуде зерттеушілердің өз талдауы, өз болжамы
берілген, сондықтан еңбектің маңызы зор.
Сол себепті ғылыми жұмысты байқауға жіберуге болады.

Пікір білдіруші:
Ибрагимов Рысқұл

Халықаралық Қазақ-

Түрік университеті

Шымкент институты

жоғарғы математика

кафедрасының доценті,

педагогика ғылымының

докторы

Төлеби аудандық арнайы дарынды балалар мектебінің 11-сынып оқушысы
Бақашбаев Азат пен 10-сынып оқушысы Рысбеков Нұрсұлтанның Анықталмаған
теңдеулерді шешудің жаңа әдістері тақырыбында жазған ғылыми жұмысына

ПІКІР

Зерттеушінің Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері
тақырыбындағы ғылыми-ізденіс жұмысы математика ғылымының негізгі бөлігінің
бірі болған теңдеулерді шешу, атап айтқанда, анықталған және анықталмаған
теңдеулер, жоғары дәрежелі теңдеулер, Пьер Ферманың теоремалары,
теңдеулерді анықтауыш әдісіне сүйене отырып табуға негізделген.
Анықталған және анықталмаған теңдеулерді шешуде зерттеушінің өз
пікірі мен өз талдауы қарастырылған. Жұмыс n-ші дәрежелі теңдеулердің
шешімін жаңа әдістермен қарастырылуымен бағалы.
Ғылыми-ізденісті байқауға жіберуге болады.

Шығармашылық жетекшісі: Бақашбаева З.К.
Арнайы дарынды
балалар
мектебінің
жоғарғы

санатты
математика пән

мұғалімі.

Мазмұны

I. Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1. Мақсаты мен міндеті

2. Зерттеу жаңалығы

II. Негізгі бөлім: ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ..

1. Анықталмаған теңдеулерді шешу әдістері.

Есептеудегі жаңалықтар тізбесі:

2. Анықталмаған теңдеуді жаңа әдіспен (анықтауыштар әдісімен) шешу.

3. Анықталмаған теңдеулер жүйесін анықтауыштар әдісімен шешу.

4. n – ші дәрежелі анықталған теңдеулерді теңдеулер жүйесіне ауыстыру.

5. Анықталған теңдеуді (квадрат теңдеуді) анықтауыштар әдісімен шешу.

6. Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің жаңа әдістері.

6.1 Дискриминанты әр түрлі жағдайдағы үшінші дәрежелі теңдеулерді
шешу формулалары.

6.2 Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің графиктік әдісі.

III. Қорытынды: ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ..

Зерттеу жұмысын есептер шығаруда қолдану-
дың мәні

IV. Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

Кіріспе

Екі және одан да көп айнымалысы бар теңдеулерді анықталмаған теңдеулер
деп атайды. Анықталмаған теңдеудің шешімі деп осы теңдеуді
қанағаттандыратын айнымалылар мәндерінің барлық жиынын айтады.
Математикада 1, 2, 3, 4 дәрежелі теңдеулерді шешудің (радикалдарда)
жалпы әідістері табылған, бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулерді
шешудің жалпы әдістері, сонымен бірге анықталмаған теңдеулерді шешудің
жалпы әдістері қарастырылмаған.
Міне, осы мақсатта, анықталған және анықталмаған теңдеулер арасындағы
тығыз байланысты ескере отырып, анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа
әдістері қарастырылып, мысалдар қарастыру арқылы дұрыстығын көрсеттік.

Осы мақсатта төмендегі ізденіс жұмыстары жүргізілді:

а) Теңдеу түрлерінің бір-біріне байланыстылығына негізделе отырып,
анықталмаған теңдеуді анықтауыш әдісі бойынша шештік.
ә) Анықталмаған теңдеулер жүйесін анықтауыштар арқылы шештік.
б) Үшінші дәрежелі теңдеуді дискриминантына (∆ = 0, ∆ 0, ∆ 0)
байланысты және график тәсілімен шешуге ізденіс жұмыстары жүргізілді.

Ғылыми жұмыс мынадай жоспарда жүргізілген :

I. Анықталмаған теңдеулерді шешу әдістері.

Есептеудегі жаңалықтар тізбесі:

II. Анықталмаған теңдеуді жаңа әдіспен (анықтауыштар әдісімен) шешу.

III. Анықталмаған теңдеулер жүйесін анықтауыштар әдісімен шешу.

IV. n – ші дәрежелі анықталған теңдеулерді теңдеулер жүйесіне ауыстыру.

V. Анықталған теңдеуді (квадрат теңдеуді) анықтауыштар әдісімен шешу.

VI. Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің жаңа әдістері.

1. Дискриминанты әр түрлі жағдайдағы үшінші дәрежелі теңдеулерді шешу,
үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің тиімді формулаларын қорытып шығару
және мысалдар қарастыру арқылы дәлелдеу.

2. Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің графиктік әдісі.

Қорытынды: ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ..

Зерттеу жұмысын есептер шығаруда қолдану-
дың мәні

Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

1-тарау. Анықталмаған теңдеулерді шешу әдістері.

Егер a, b, c – бүтін сандар болса, онда ах + by = c сызықтық теңдеуін
бүтін сандар жиынында шешу тәсілдерін анықтайтын бірнеше теоремалар
қарастыралық.

Теорема 1. Егер (а, b) = d болса, онда ах + by = d теңдеуінің бүтін
шешімдері бар.
Анықталмаған теңдеудің бүтін шешімін табуды қарастырайық.
ах + ву + с = 0 теңдеуінде d = ( а, в ) болғанда, теңдікті d-ға бөліп,
с d = c1, депe алатын болсақ

а1х + в1у + с1= 0 теңдеуі шығады.

Егер с = 0 деп алсақ, ах + ву = 0 болады.

Теорема 2. Егер (а, b) = 1 болса, онда ах + by = 1 теңдеуінің кем
дегенде бір пар (х, у ) бүтін шешімі бар.

1 - мысал. 15х + 37у = 1 теңдеуінің бүтін шешімдерін табу керек.
Шешуі. 1 – тәсіл. 1 – санын 15 пен 37 сандары арқылы жіктеу
керек: 1 = 15 . 5 + 37 . ( - 2). Осыдан х = 5, у= - 2.
2 – тәсіл. Евклид алгоритмін қолдана
отырып,
37 = 15 . 2 15 = 2 . 7 + 1 теңдігін аламыз. Осыдан
1 = 15 – 2 . 7 = 15 – 2(37 – 15 . 2) = 15 . 5 + ( - 2) . 37. Онда x
= 5, y = - 2

2 - мысал. (16, 34) = 2және 7 саны 2-ге бөлінбейтіндіктен, 16х - 34у
= 7 теңдеуінің бүтін шешімдері болмайды.

Теорема 3. Егер (а, b) = d 1 және с саны d – ға бөлінбейтін болса,
онда ах + bу = с теңдеуінің бүтін шешімдері болмайды.

Теорема 4. Егер (а, b) = 1 болса, онда ах + bу = с теңдеуінің барлық
бүтін шешімдері
х0 = х0с + bt, y = y0c – at
формуласымен анықталады. Мұнда х0,y0 сандары – ax + by = 1 теңдеуінің бүтін
шешімдері, ал t – кез келген сан.

Мысалы: 127х - 52у + 1 = 0
теңдеудің дербес шешімі х = 9, у = 22 болады.
Олай болса, ( t=0, ±1, ±2,... ) болғанда
х = 9+52t,
y = 22+127t теңдеудің барлық бүтін шешімдері болады.

Анықталмаған теңдеудің бүтін шешімдерін табу, оның дербес шешімін табуға
келіп тірелді. Осы дербес ( х0; у0 ) түбірді оңай, жылдам табу жолын
қарастырайық.
Жоғарғы сыныптың алгебра курсында бұл анықталмаған теңдеулердің бүтін
шешімін табудың шектеусіз бөлшектер әдісі қолданылады.
Ол әдісті Евклид алгоритмі жәрдемінде лайықты бөлшектер арқылы келтіріп
шығаруға болады.

Теорема 5. Егер ( х0; у0 ) ах + by + c = 0, ( a, b ) = 1 болғандағы
теңдеудің дербес бүтін түбірі болса,
х0 = ( -1 )n-1·c·Qn-1,
y0=( -1 )n·c·pn-1
болады, ал жалпы түбірлері
х = ( -1 )n-1·c·Qn-1 - bt
y = ( -1 )n·c·pn-1 + at ( t = 0, ± 1, ± 2..., ал pn-1 пен Qn-1
лайықты бөлшектер).
Сандар теориясы курсында ах + by = c түріндегі қарапайым
анықталмаған теңдеулер мен х2 - Dy2 = ±1 Пелль теңдеулерін шешу
әдістері қарастырылады.

Осындай теңдеулерді шешудің жоғарыдағы теореманы қолдану әдісін
келтірейік:

Мысалы : 91х + 27у = 11

теңдеуінің бүтін шешімдерін табайық
мұнда
а = 91 b = 27 болғандықтан ,
9127 = 3, 2, 1, 2, 3 .

Лайықты бөлшектердің мәнін біртіндеп табайық :

P0Q0 = 31=3,
p1Q1 = 72,
p2Q2 = 103,
p3Q3 = 278,
P4Q4 = 9127.

Демек, К = 4, p3 = 27, Q3 = 8 болғанда,

х0 = ( -1 )4+1·11·8 = -88

у0 = ( -1 )4·11·27 = 297 болады, олай болса,

х = -88 + 27t, y = 297 - 91t жалпы шешім болады.

Салдар. Егер (а, b) = 1 және х1, y1 сандары ах + by = с теңдеуінің
бүтін шешімдері болса, онда бұл теңдеудің өзге бүтін шешімдері
х = х1 + bt, y = y1 – аt формулаларымен анықталады. Мұнда t – кез келген
натурал сан.

Теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен (анықтауыштар әдісімен) шешу.

a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2 (6) теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешу жоғарғы
математика курсынан белгілі болғандықтан, оның формуласын келтірейік

a1 b1 c1 b1 a1
c1
∆ = ∆x =
∆ y =
a2 b2 c2 b2 a2
c2

Егер ∆ ≠ 0 болса, ( 6 ) теңдеудің шешімі х = ∆x∆, y = ∆y∆
формулалары арқылы табылады.

n – дәрежелі үш айнымалысы бар теңдеулер және оларды шешу.

Мынадай анықталмаған теңдеулерді шешудің жалпы формуласын келтірейік.
( бұл біздің жеке шешу әдісіміз болады )

а) х + у = z теңдеуін шешу үшін мына формулаларды пайдалануға болады :

1) х = 2n, y = 1 – n, z = n+1 (7) n = 0,1,2, . . . , болғанда бүтін
шешімдері болады.

2) x = 2n, y = ( 1 - 2n )2, z = ( 2n + 1 )2 теңдіктерін
пайдаланып, қалған шешімдерін табуға болады.

б) x 2 + y2 = z2 теңдеуінің шешімін табу үшін мынадай түрлендіруді
орындаймыз :
( х + у )2 = х2 + 2ху + у2 формуласын пайдаланып, х2 + у2 = z2
теңдеуін былай жазуға болады:

( х + у )2 - 2ху = z2. Бұл теңдеудегі x, y, z орнына (7) теңдіктегі
мәндерін қойғанда:

4n2 + 4n( 1 – n )+(1 – n)2 = ( 1 + n )2 теңдігін алуға болады. Осыдан
мынадай формула
x2 = 4n2 , y2 = 4n( 1 – n ) + (1 – n)2, z2 = ( 1 + n )2 ( 8 ) келіп
шығады.

Демек x2 + y2 = z2 теңдеуінің шешімдері
x = 2n, y = 2 , z = 1 + n (8) болады.

в) x3 + y3 = z3 теңдеудің шешімдерін табайық, ол үшін
2n + ( 1 – n ) = n + 1 теңдігін пайдаланайық .Осы теңдікті куб дәрежеге
шығарғанда,
( 2n )3 + 3*( 2n )2*( 1 – n ) + 3*2n*( 1 - n )2 + ( 1 – n )3 = ( n + 1 )3
болады

Бұл теңдіктен x3 = 8n3
y3 = 6n*( 1 - n2 ) + ( 1 – n )3
z3 = ( n + 1 )3 формулаларды табуға
болады.

Олай болса, кез келген n 2 үшін xn + yn = zn теңдеудің шешімдерін
табуға болады.

г) xn + yn = zn

теңдеудің шешімдерін табу немесе Пьер Ферманның үлкен теоремасына ерекше
жасалған жол .
Диофант Александрскийдің Арифметика кітабына жазылған Пьер Ферманның
сонау Мен мұны дәлелдеуді білемін , бірақ бос жай жетпегендіктен дәлелді
келтірмедім деген сөзіне әлі күнге дейін толық жауап берілмегені
математиктерге белгілі жай .

Сол анықталмаған Ферма теңдеуін

xn + yn = zn n 2 болғандағы шешудің жалпы жолын қарастырамыз.
xn = ( 2m )k+1 , yn = 2m( k + 1 )*( 1 - mk ) + ( 1 - m )k+1 , zn = ( 1
+ m)k+1 (10)

Мұндағы m ( -, ), n= 1, 2, 3, ...
k = 0, 1, 2, ...

2-тарау.Анықталмаған теңдеулерді анықтауыш әдісімен шешу және мысалдар
арқылы дәлелдеу

Анықталған теңдеулерді теңдеулер жүйесіне келтіру мүмкіндігін және
теңдеулер жүйесін анықталмаған теңдеулерге келтіру мүмкіндігін пайдаланып,
анықталмаған теңдеуді шешудің анықтауыш әдісін келтіріп шығаруға болады.
Осылардан пайдаланып , кейбір есептеудің дербес және жалпы түбірлерін
табуға мысалдар келтірейік:

ax + by = c

мұндағы а, в, с - тұрақты сандар.
Осы теңдеуді анықтауыш әдісімен шешейік.

∆ = а – в болғанда,
, ал

болады. Сөйтіп теңдеудің дербес шешімі

x0 = c (a – b)
y0 = - c (a – b) болады.

Олай болса, оның жалпы шешімі

x = c (a – b) + bt y = - c (a – b) – at болатындығын табамыз.

Мысал 1: 54x+37y=1

∆ = a – b = 54 – 37 = 17 ∆ = 17
∆, ∆y = ,

Тексеру:
Жауабы: x = 117, y = - 117

Мысал 2: 27x-40y=1

∆ = 27 + 40 = 67

, ,

Тексеру:

Жауабы: x = 1 67, y = - 1 67

Мысал 3: 13x-15y=7

∆ = 13 - (-15) = 28

, , , .

Тексеру:

Жауабы: x = 1 4, y = - 1 4

Мысал 4: 253x-449y=3

∆ = 253 + 449 = 702

, , ,

,

Тексеру:

Жауабы: x = 1 234, y = - 1 234

3-тарау. Анықталмаған теңдеулер жүйесін анықтауыш
әдісімен шешу
1-әдіс:

f(x) == 0, ,

x = 0 болғанда, y = -1.5 ( ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.