Функцияны интерполяциялау материалдары негізінде электрондық курс құру

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ

1 ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ
1.1 Интерполяциялау есебінің қойылуы
1.2 Әртүрлі ретті ақырғы айырмалар
1.3 Айырмалар кестесі
1.4 Жалпыланған дәреже
1.5 Ньютонның интерполяциялық формулалары
1.5.1 Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы
1.5.2 Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы
1.5.3 Функцияның кестесін тығыздау
1.5.4 Ньютонның интерполяциялық формуласының қалдық мүшелері
1.6 Лагранж интерполяциялық формулалары
1.6.1 Лагранж интерполяциялық формуласы
1.6.2 Лагранж интерполяциялық формуласының ықшамдалған түрі
1.6.3 Лагранж формуласы бойынша есептеуді ұйымдастыру
1.6.4 Бірдей қашықтықта орналасқан түйіндер үшін Лагранж
интерполяциялық формуласы
1.6.5 Лагранж интерполяциялық формуласының қалдық мүшесін бағалау
1.7 Гаусс интерполяциялық формулалары
1.7.1 Гаусстың бірінші және екінші интерполяциялық формулалары
1.8 Стирлинг интерполяциялық формуласы

2 «ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ» ЭЛЕКТРОНДЫҚ КУРСЫН ҚҰРУ
2.1 Электрондық курстың құрылымы
2.2 HTML тілі және оның командаларын қолдану
2.3 FrontPage бағдарламалық жабдығы
2.4 «Функцияны интерполяциялау» курсының құрылымы

ҚОРЫТЫНДЫ

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

КІРІСПЕ
Күнделікті өмірде кездесетін көптеген ғылыми-техникалық есептерді шешу барысында бір функцияны басқа бір функциямен жуықтатуға тура келеді. Мұндай есептер әсіресе эксперимент нәтижесінде алынған сандарды өңдеу мәселелерімен тығыз байланысты. Мысалы, функция алдын ала белгісіз болып, оның дискретті мәндері эксперимент арқылы алынған болса, онда осы мәндер арқылы функцияы жуықтатуға болады, не болмаса функцияның аналитикалық түрі өте күрделі болса, онда оны есептеу үшін қарапайым функциямен алмастырады.
Әдетте, жуықтаушы функцияны интерполяциялаушы функция деп атайды. Соңғы аталған функция көбінесе алгебралық полином болғандықтан, оны кейде итерполяциялаушы полином деп те атайды. Олар анықталған интегралдарды жуық шамамен есептеуде, дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін табуда т.с.с. кеңінен қолданылады.
Курстық жұмыстың мақсаты: Ньютон, Лагранж, Гаустың бірінші және екінші интерполяциялық формулаларын, Стирлинг интерполяциялық формуласын қарастыру, «Функцияны интерполяциялау» электрондық курсын құру.
Жоғарыдағы интерполяциялау формулаларының қорытылу жолдарын қарастырып, аталған тақырыпқа электрондық курс құрып оларды методикалық нұсқаулар ретінде студенттерге ұсыну.
Курыстық жұмыстың өзектілігі: жұмыстың нәтижелерін «Сандық әдістер» пәнінен зертханалық сабақтарды жүргізу барысында, студенттердің өз бетімен жұмысын ұйымдастыруда, білім деңгейлерін толықтырып отыруда, емтиханға дайындалу үрдісінде көмек беретін, қашықтықтан оқыту кезінде қолдануға болады мемлекеттік тілде электрондық курс құру.
Курстық жұмыс теориялық, электрондық курс құру бөлімдерінен, кіріспеден, қорытындыдан, әдебиеттер тізімінен тұрады.
Теориялық бөлімінде «Функцияны интерполяциялау» формулаларына толықтай талдау жасалып, қортылу жолдарын қарастырамыз. Электрондық

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. Атанбаев С.А. Сандық әдістер курсы / С.А. Атанбаев. –А.: Рауан, 2001.
2. Сұлтанғазин Ө. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы / Ө. Сұлтанғазин, С.А. Атанбаев. – А.: Білім, 2001.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов – М.: Наука, 1973.
4. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон.-М.: Просвещение, 1966.
5. Заварыкин В.М. Численные методы / В.М. Заварыкин. – М.: Просвещение, 1991.
6. Заварыкин В.М. Численные методы / В.М. Заварыкин, В.Т. Житомирский, М.П. Лапчик. – М.: Просвещение, 1991.
7. Қазақша-орысша, орысша-қазақша терминологиялық сөздік, Алматы: Математика, 1999.
8. Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – М.: Наука, 1967.
9. Самарский А.А. Введение в численные методы / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1982.
10. Лапчик М.П. Вычисления. Алгоритмизация. Программирование / М.П. Лапчик. – М.: Просвещение, 1988.

Пән: Информатика, Программалау, Мәліметтер қоры
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 41 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ
МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА ЖӘНЕ ТЕХНОЛОГИЯЛАР ФАКУЛЬТЕТІ

Математикалық үлгілеу және
компьютерлік технологиялар
құжырасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

тақырыбы ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ МАТЕРИАЛДАРЫ НЕГІЗІНДЕ
ЭЛЕКТРОНДЫҚ КУРС ҚҰРУ

МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
1 ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ
1.1 Интерполяциялау есебінің қойылуы
1.2 Әртүрлі ретті ақырғы айырмалар
1.3 Айырмалар кестесі
1.4 Жалпыланған дәреже
1.5 Ньютонның интерполяциялық формулалары

1.5.1 Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы

1.5.2 Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы

1.5.3 Функцияның кестесін тығыздау

1.5.4 Ньютонның интерполяциялық формуласының қалдық мүшелері

1.6 Лагранж интерполяциялық формулалары

1.6.1 Лагранж интерполяциялық формуласы

1.6.2 Лагранж интерполяциялық формуласының ықшамдалған түрі

1.6.3 Лагранж формуласы бойынша есептеуді ұйымдастыру

1.6.4 Бірдей қашықтықта орналасқан түйіндер үшін Лагранж

интерполяциялық формуласы

1.6.5 Лагранж интерполяциялық формуласының қалдық мүшесін бағалау

1.7 Гаусс интерполяциялық формулалары

1.7.1 Гаусстың бірінші және екінші интерполяциялық формулалары

1.8 Стирлинг интерполяциялық формуласы
2 ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ ЭЛЕКТРОНДЫҚ КУРСЫН ҚҰРУ
2.1 Электрондық курстың құрылымы
2.2 HTML тілі және оның командаларын қолдану
2.3 FrontPage бағдарламалық жабдығы
2.4 Функцияны интерполяциялау курсының құрылымы
ҚОРЫТЫНДЫ
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

КІРІСПЕ
Күнделікті өмірде кездесетін көптеген ғылыми-техникалық есептерді шешу
барысында бір функцияны басқа бір функциямен жуықтатуға тура келеді. Мұндай
есептер әсіресе эксперимент нәтижесінде алынған сандарды өңдеу
мәселелерімен тығыз байланысты. Мысалы, функция алдын ала белгісіз болып,
оның дискретті мәндері эксперимент арқылы алынған болса, онда осы мәндер
арқылы функцияы жуықтатуға болады, не болмаса функцияның аналитикалық түрі
өте күрделі болса, онда оны есептеу үшін қарапайым функциямен алмастырады.
Әдетте, жуықтаушы функцияны интерполяциялаушы функция деп атайды.
Соңғы аталған функция көбінесе алгебралық полином болғандықтан, оны кейде
итерполяциялаушы полином деп те атайды. Олар анықталған интегралдарды жуық
шамамен есептеуде, дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін табуда т.с.с.
кеңінен қолданылады.
Курстық жұмыстың мақсаты: Ньютон, Лагранж, Гаустың бірінші және екінші
интерполяциялық формулаларын, Стирлинг интерполяциялық формуласын
қарастыру, Функцияны интерполяциялау электрондық курсын құру.
Жоғарыдағы интерполяциялау формулаларының қорытылу жолдарын
қарастырып, аталған тақырыпқа электрондық курс құрып оларды методикалық
нұсқаулар ретінде студенттерге ұсыну.
Курыстық жұмыстың өзектілігі: жұмыстың нәтижелерін Сандық әдістер
пәнінен зертханалық сабақтарды жүргізу барысында, студенттердің өз бетімен
жұмысын ұйымдастыруда, білім деңгейлерін толықтырып отыруда, емтиханға
дайындалу үрдісінде көмек беретін, қашықтықтан оқыту кезінде қолдануға
болады мемлекеттік тілде электрондық курс құру.
Курстық жұмыс теориялық, электрондық курс құру бөлімдерінен,
кіріспеден, қорытындыдан, әдебиеттер тізімінен тұрады.
Теориялық бөлімінде Функцияны интерполяциялау формулаларына толықтай
талдау жасалып, қортылу жолдарын қарастырамыз. Электрондық курс жасау
бөлімінде HTML тілінің мүмкіншіліктеріне, Web – парақтардың элементтеріне,
FrontPage бағдарламалық жабдығына шолу жасалып, Функцияны интерполяциялау
электрондық курсының құрылымдық элементтеріне толығырақ тоқталамыз.
Курстық жұмыс нәтижелерін Сандық әдістер пәнінен информатика,
қолданбалы математика, математика, ақпараттық жүйелер мамандықтары бойынша
даярланатын студенттер үшін зертханалық сабақтарды жүргізу кезінде
методикалық нұсқау ретінде қолдануға болады.

1 ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ

1.1 Интерполяциялау есебінің қойылуы

Бізге функция [a,b] аралығында кесте түрінде берілген. [a,b] аралығы
тең бөлікке бөлінген. - интерполяциялау түйіндері деп аталады.

Белгілі бір класқа жататын, интерполяциялау түйіндерінде қабылдайтын
мәндері, функциясының кестелік мәндерімен бірдей болатын, яғни:

- функциясының түрін анықтау керек.
- интерполяциялаушы функция деп аталады. Геометриялық тұрғыдан
қарастырсақ, графигі нүктелер жүйесі арқылы өтетін қисығын
анықтау керек. Жалпы түрде қойылған мұндай есептің шешімі өте көп болады
немесе жоқ болады (сурет 1.1).
Егер функциясын -ші дәрежелі полином түрінде іздесек,
жоғарыда қойылған есеп бір мәнді шешіледі.
Сонымен функцияны интерполяциялау есебі төмендегідей түрде қойылады:
Дәрежесі -нен артық емес, интерполяциялау түйіндерінде
қабылдайтын мәндері функциясының кестелік мәндерімен бірдей болатын,
яғни:
-ші дәрежелі полиномының түрін анықтау қажет. Табылған
полиномды интерполяциялаушы функция деп атайды.

Сурет 1.1

1.2 Әртүрлі ретті ақырғы айырмалар

функциясы берілген.
арқылы функцияның аргументінің өсімшесін белгілейік (қадам).
Онда: функциясының бірінші ақырғы айырмасы деп аталады.
Осы сияқты жоғарғы ретті ақырғы айрмаларын анықтауға болады:

Мысалы:

Мысал қарастырайық: функциясы үшін ақырғы айырмаларын құрыңдар,
қадам

3-ші ретті ақырғы айырманың тұрақты екені көрініп тұр.
Егер -ші ретті көпмүшелік болса, онда оның -ші ретті
ақырғы айырмасы тұрақты, және
формуласымен анықталады. Мұндағы
Шындығында да:

Ньютон биномының формуласын қолданып, -тің -1-ші ретті
полином екендігіне көз жеткіземіз:
, мұндағы
Дәл осындай жолмен -тің -2-ші ретті полином болатындығын
анықтаймыз:
мұндағы
Осылайшы қарастыра отырып:
екендігіне көз жеткіземіз.
егер
Мұндағы символын функциясына сәйкес қоятындай
оператор ретінде қарастыруға болады.
Мұндағы - тұрақты және үшін төмендегідей қасиеттер орынды
болады:
1)
2) с – тұрақты
3) (оператор теоремасынан белгілі).

1.3 Айырмалар кестесі

Практикада функциясы көбінесе кесте түрінде беріледі, яғни

Мұндағы нүктелері бір-бірінен бірдей қашықтықта орналасқан, яғни
қадам тұрақты:
.
-ақырғы айырмаларды төмендегі қатынастардың көмегімен анықтауға
болады:

Сонымен ақырғы айырмасын анықтау үшін және анықтау
керек.
Алдымызға төмендегідей есеп қояйық:
кестелік мәндерін ғана пайдаланып, есептейтіндей формуланы
қорытып шығаруға бола ма?
(2)-нің бірінші теңдеуінен:
Ньютон биномының формуласын қолданып, . Енді Ньтон
биномының көмегімен жазайық:
.
Немесе
(4)
Мысалы:
т.с.с.
Сонымен -ші ретті ақырғы айырманы есептеу үшін тізбегінің
мүшесінің белгілі болуы жеткідікті.
Ақырғы айрмаларды есептеу үшін горизонталь және диагоналдық
кестелерді қолдануға болады.
Практикада көбінесе диагоналдық кестелер қолданылады:

1.4 Жалпыланған дәреже

Анықтама. санының -ші дәрежесі деп бірінші мүшесі , ал
әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінен -қа кем болатын
көбейткіштердің көбейтіндісін айтады, яғни:

Мұндағы -кезкелген белгіленген тұрақты сан.
.
Ал болғанда, кәдімгі дәрежемен сәйкес келеді:
, .
Жалпыланған дәреженің бірінші ақырғы айырмасын қарастырайық:

Сол сияқты:

Мұндағы . =0, егер kn.

1.5 Ньютонның интерполяциялық формулалары

1.5.1 Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы

функциясы аралығында кесте түрінде берілген.
берілген болсын. Интерполяциялау түйіндері бір-бірінен бірдей қашықтықта
орналасқан, яғни:
const.
Интерполяциялаушы полиномды төмендегідей түрде іздейміз:
(1) полиномы төмендегідей екі шартты қанағаттандыруы қажет:
1) (1) -дің дәрежесі n-нен артық емес болу қажет.
2) (1) полиномының интерполяциялау түйіндерінде қабылдайтын мәндері
кесте түрінде берілген мәндерімен бірдей:
және ,
Жалпыланған дәреженің анықтамасын пайдаланып, (1)-ді төмендегідей
түрде жазайық:
.
Сонымен, полиномының түрін анықтау үшін коэффициенттерін
анықтау қажет. Коэффициенттерін анықтауды қарастырайық:
а) -ді анықтау үшін (3)-те десек: , екінші жағынан,
(2) бойынша , сонымен .
в) анықтау үшін полиномының бірінші ретті ақырғы айырмасын
қарастырайық:
Мұнда десек, онда
.

с) коэффициентін анықтау үшін, екінші ақырғы айырмасын
қарастырамыз:

мұнда десек, онда:

Осы үрдісті әрі қарай жалғастыра отырып, (3) полиномының кезкелген
-ші коэффициентін анықтауға болады:
, () (4)
Табылған коэффициенттердің мәндерін (3)-ке қойсақ:
Немесе жалпыланған дәрежені ашып жазсақ:
(5), (6) Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласы деп аталады.
(5) немесе (6) полиномға қойылған (2) шартты қанағаттандырады:
1) Жақшаларды ашып жазсақ, полиномның дәрежесі n-нен артық
болмайтынына көз жеткіземіз.
2) . Енді десек, онда:

Сонымен,
Практикада есептеуді жеңілдету үшін, Ньютонның (5), (6) түріндегі
формуласында белгілеуін қолданамыз.

(7) формуласында болғанда сызықтық интерполяция,
болғанда квадраттық интерполяция аламыз.
Сонымен, Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы кез-келген
нүктесі -дің аймағында орналасқан жағдайда, кез-келген үшін
нүктесінде функцияның мәнін жуықтап есептеу үшін қолданылады.

1.5.2 Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы

функциясы аралығында кесте түрінде берілген.
Функцияның интерполяциялау нүктелерінен өзге нүктелердегі мәнін
жуықтап есептеу қажет. Интерполяциялау тораптары бір-бірінен бірдей
қашықтықта орналасқан болсын:
, - const, .
Интерполяциялаушы полиномды төмендегідей түрде іздейміз:

Жалпыланған дәреженің анықтамасын пайдаланып:

(1) немесе (2) полиномдары төмендегідей екі шартты қанағаттандыруы
қажет:
1) Полиномның дәрежесі n-нен артық емес.
2) Интерполяциялау түйіндерінде полиномның қабылдайтын мәндері
функцияның кестелік мәндерімен бірдей болуы керек.
және , .
Полиномының түрін анықтау үшін a0 ,a1 ,..., an коэффициенттерін
анықтау керек:
а) a0 коэффициентін анықтау үшін (2)-де ,

в) a1 коэффициентін анықтау үшін қарастырамыз:
мұнда болсын, онда: .

с) а2 коэффициентін анықтау үшін полиномның қарастырамыз:

Мұнда болсын, онда:
Осы үрдісті әрі қарай жалғастыра отырып, коэффициентін анықтау
үшін -ті қарастырып, онда десек, онда:
, (3)
(3) формула бойынша анықталған коэффициенттерінің мәндерін (2)-
ге қойсақ:
,
немесе

(4), (5) формулаларын Ньютонның екінші интерполяциялау формуласы деп
атайды.
Сонымен, нүктесі аралығының нүктесіне жақын
орналасса, функцияның мәнін жуықтауын есептеу үшін Ньютонның екінші
интерполяциялау формуласын қолдану жақсы нәтиже береді (есептеу кезінде
жіберген қатенің шамасы мейлінше аз болады).
(4), (5) формулаларын практикада қолдану үшін белгілеуін

енгізіп, ықшам түрге келтіруге болады:

1.5.3 Функцияның кестесін тығыздау

Практикада, кесте түрінде берілген функцияның қасиеті туралы толығырақ
мағлұмат алу үшін, оның өзгеру бөлігіндегі интерполяциялау түйіндерін
көбейтуге тура келеді. Ол үшін интерполяциялау әдісін қолдануға болады.
Бұл операцияны функцияның кестесін тығыздау немесе субтабуляциялау деп
атайды.
Есептеу жұмыстарын жүргізуді жеңілдету үшін Горнер сызбасы
қолданылады. Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласын Горнер сызбасының
көмегімен төмендегі түрде қолдану ыңғайлы:
.
Мұнда ақырғы айырмалар кестесі құрылады. Ақырғы айырмалардың мәндері
нольге жуық болуы мүмкін, онда да оларды ескермеуге болады.
Практикада функцияның кестесін тығыздау үшін көп жағдайда
интерполяциялық формуласының стандартты түрлері қолданылады (сызықтық ,
квадраттық , интерполяциялық формулалар).
Мысал: функциясы аралығында қадаммен берілген. Осы
кестені аралығында қадаммен тығыздау керек.
n x Sinx ∆yi ∆2yi ∆3yi
0 0,15 0,14944 0,00494 0 -0,0001
1 0,155 0,15438 0,00493 -0,0001 -0,0001
2 0,16 0,15932 0,00493 0 0
3 0,165 0,16425 0,00493 0 0
4 0,17 0,16918 0,00493 0 -0,0001
5 0,175 0,17411 0,00493 -0,0001
6 0,18 0,17903 0,00492
7

Бұл кестеде тұрақты деп қарастыруға болады. Олай болса, функция
кестесін тығыздау үшін стандартты формуланы қолдануға болады (квадраттық
интерполяция).

Есептеуді Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы бойынша
жүргізейік:
ретінде деп алайық . ;
Есептеуді төмендегі блок-сызба бойынша ұйымдастыруға болады, мұндағы:
жаңа аралық , Н1 – жаңа қадам, хО – жаңа аралықтың алғашқы
нүктесі, у1 – кесте түрінде берілген функцияның 1-ші ретті ақырғы айырмасы,
у2 – сәйкес 2-ші ретті ақырғы айырмасы.

Сурет 1.2 Субтабуляциялау блок - сызбасы
Нәтижесіндетиже кесте:
x y
0,155 0,15932
0,156 0,15932
0,157 0,15931
0,158 0,15929
0,159 0,15926
0,16 0,15922
0,161 0,15917
0,162 0,15911
0,163 0,15904
0,164 0,15896
0,165 0,15887

1.5.4 Ньютонның интерполяциялық формуласының қалдық мүшелері

Ньютонның формуласын қарастырған кезде интерполяциялау түйіндері бір-
бірінен бірдей қашықтықта орналасқан деп ұйғарамыз,

Лагранждың қалдық мүшесінің формуласында:
екенін ескерсек, онда:
(1) формуласын аламыз. Мұндағы
Сонымен Ньютонның І-ші интерполяциялық формуласының қалдық мүшесі (1)
формуламен анықталады.
Дәл осылай Ньютонның ІІ-ші интерполяциялық формуласының қалдық мүшесін
анықтаймыз:
(2)
Жіберілген қатенің шамасына тигізетін ықпалы үлкен, әсіресе
қарастырылып отырған нүктесі интерполяциялау түйіндерінің ортасында
орналасса, шамасы кішірейеді.
Сондықтан, нүктесі екі тораптық нүктенің ортасында орналасса,
онда тораптық түйіндердің саны жұп етіп алған тиімді . Ал егер
мәні тораптық түйіндердің біреуіне жақын орналасса, онда тораптық түйіндер
санының тақ болғаны, яғни болғаны жақсы нәтиже береді.
Ньютонның интерполяциялық формуласын құру кезінде нольге жуық ақырғы
айырмаларды ескермеуге болады. Сондықтан, есептеуде Ньютон полиномының
мүшелерін қиюға рұқсат етіледі, әсіресе берілген дәлдікпен есептеуді
жүргізген кезде тұрақты деп санауға болатын ақырғы айырмалармен тұрған
мүшелерді алып тастауға болады.
және функциясы үзіліссіз екендігін ескеріп, h-тың өте
кішкене мәндері үшін (3)
алуға болады, мұндағы , яғни (n+1)-ші ретті ақырғы айырмалардың
ішіндегі ең үлкені (модулі бойынша).
Сонымен, Ньютонның бірінші формуласының қалдық мүшесі:
,
(4)
Ньютонның екінші формуласының қалдық мүшесі:

,
(5)

1.6 Лагранж интерполяциялық формулалары

1.6.1 Лагранж интерполяциялық формуласы

Біз бұған дейін интерполяциялау түйіндерінің ара қашықтықтары
деп қарастырдық, енді интерполяциялау түйіндерінің бір-бірінен ара-
қашықтықтары әртүрлі болсын.
Бізге функциясы кесте түрінде берілген болсын.
,

Дәрежесі n-нен артық емес және интерполяциялау түйіндерінде
қабылдайтын мәндері, функцияның осы нүктелердегі мәндерімен бірдей болатын
қайсы бір полиномының түрін анықтау керек, яғни
Сурет 1.3
Алдымен төмендегідей есепті қарастырайық:
(1) болатындай полиномының
түрін анықтайық.
Ізделініп отырған полиномы n нүктесінде нольге айналады, олай
болса ол полиномды төмендегідей түрде анықтауға болады:
(2)
Сі тұрақты коэффициент.
(2)-де , =1.

Сі –дің мәнін (2)-ге қойып:
, (3)
Интерполяциялау қадамы тұрақты болмаған жағдайда функцияның мәнін
жуықтап есептеу үшін интерполяциялаушы формуланы төмендегідей іздейміз:
,
(4)
Бұл полином төмендегідей шарттарды қанағаттандырады:
1) полиномның дәрежесі n-нен артық емес.
2)
, (5)
(5) Лагранждың интерполяциялау формуласы деп аталады.

Мысалы: Функция кесте түрінде берілген. Функция мәнін жуықтап
есептейтін полиномның түрін анықтаңдар.
x 1 3 4
y 5 2 12

n=2

1.6.2 Лагранж интерполяциялық формуласының ықшамдалған түрі

Практикада Лагранж интерполяциялық формуласын қолдану үшін
төмендегідей белгілеу енгізіледі:
, (1)
(1)-ді х бойынша дифференциалдасақ,
, (2)
(2)-де , онда:
, (3)
(1) мен (3)-ті (5) формулаға қойсақ:
, (4)

(4) түріндегі Лагранж интерполяциялық формуласы практикада функцияның
мәнін жуықтап есептеу қолданған тиімді, мұнда .

Сурет 1.4 Лагранж интерполяциялық формуласының блок – сызбасы

1.6.3 Лагранж интерполяциялық формуласы бойынша есептеуді ұйымдастыру

Лагранж интерполяциялау формуласымен функцияның мәнін жуықтап
есептеуді жеңілдету үшін yi –дің коэффициенттерін төмендегідей түрде
белгілейік:
, (1)

- Лагранж коэффициенттері деп аталады.
Сонымен Лагранж интерполяциялық формуласы:

(2)
Мұндағы ,
(3)
Лагранж коэффициенттерінің формасы (3) бүтін сызықтық ауыстыру -
ға қатысты инвариантты.
Шындығында да , және және мәндерін (1)-ге
қойсақ:

(3`)
Мұндағы
Енді Лагранж коэффициенттерін есептеу сызбасын қарастырайық.
Коэффициенттерді есептеу үшін төмендегідей сызба қолданылады:
(4)
Бірінші жатық жолының элементтерінің көбейтіндісін P0 , екінші жатық
жолының көбейтіндісін P2, т.с.с. белгілейік. Негізгі диогнальдың
элементтерінің көбейтіндісі болады.
Сонымен, ,
(5)
Ал,
,
(6)
Егер интерполяциялау тораптары бір-бірінен ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.