Матрицаларға амалдар қолдануды, анықтауыштар мәселелерін қарастыру, нәтижесінде сызықты теңдеулер жүйесін зерттеу, яғни олардың шешімдерінің бар және жалғыз ғана болатындығын және оларды табудың әдістері

Кіріспе
Бірінші тарау
Матрицалар туралы негізгі ұғымдар және түсініктер
1.1 Негізгі анықтамалар және мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Матрицаларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2.1.Матрицалар теңдігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2.2 Матрицаларды қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.2.3 Матрицаларды санға көбейту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..1.2.4 Матрицаларды көбейту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2.5 Матрицаны транспонирлеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.3 Матрицалар алгебрасының маңызы
және рөлі туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.4 Матрица рангі туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.5 Матрицаның жатық жолдарына
жүргізілетін элементар түрлендірулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.6 Матрицаны сатылы түрге келтіру
және оның матрица рангімен байланысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Екінші тарау
Сызықты теңдеулер жүйесі және матрица
2.1 Негізгі ұғымдар және анықтамалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2 Біртектес теңдеулер жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2.1 Негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.2 Жүйенің жалпы шешімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2.3 Гаусс әдісі туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2.3.1 Есте болатын бір жағдай ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.3 Біртектес емес теңдеулер жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3.1 Жүйе шешімдерінің негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3.2 Біртектес емес теңдеулер жүйесінің
үйлесімділік критерийі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

Үшінші тарау
Матрицаның анықтауыштары туралы
3.1 Екінші және үшінші ретті анықтауыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3.2 Анықтауышты жатық жол бойынша жіктеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3.3 Анықтауыштардың негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3.4 Негізгі ескертулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Төртінші тарау
Кері матрица және оны есептеу туралы
4.1 Кері матрица ұғымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4.2 Кері матрицаны есептеу ережесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
4.3 Кері матрицаны есептеуде Гаусс әдісін
пайдалану туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4.4 Біртектес емес теңдеулер жүйесін шешуде
кері матрицаны пайдалану идеясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Бесінші тарау
Есептер шығаруға мысалдар
5.1 Матрицаларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
5.2 Матрицаны сатылы түрге келтіру және
оның рангісін анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
5.3 Сызықты теңдеулер жүйесін шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
5.3.1 Біртектес теңдеулер жүйесін шешу ерекшелігі ... ... ... ... ... ...
5.3.2 Біртектес емес теңдеулер жүйесін шешудегі ерекшелік ... ... .
5.4 Жатық жол (немесе тік жол/баған) бойынша
жіктеу арқылы анықтауыштарды есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
5.5 Анықтауыштарды есептеуде Гаусс
әдісін пайдалану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
5.6 Кері матрицаны табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Алтыншы тарау
Біліктілікті бекіту алгоритмдері
6.1 Негізгі тақырыптар бойынша
біліктілік алгоритмдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
6.2 Негізгі тақырыптар бойынша
біліктілік тренингтеріне мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
6.3 Өзіндік жұмысқа тапсырмалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
6.4 Глоссарий ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Математика ғылымының барлық салаларында, оның ішінде, әсіресе, экономикалық есептерді шешуде және келешек математикалық ғылыми зерттеулерде ең жиі қолданылатын математикалық аппаратқа сызықты алгебра элементтері жатады. Ұсынылып отырған оқу құралы оқырманның (студенттің, жас маманның) сызықты алгебра элементтерін өз беттерінше тиімді оқып-үйренуіне және оның негізгі жиі кездесетін қолданбалы әдістерін және тәсілдерін сапалы меңгеруіне арналады.
Матрицалар алгебрасының математиканың өзінің ішкі дамуындағы рөлі де бүгінгі күні жоғарыламаса әлі де төмендей қойған жоқ. Матрицалар теориясы әлі де даму үстінде. Өйткені, жылдан жылға оларды пайдаланудың әртүрлі бағыттары және түрлері көбейе және кеңи түсуде. Сондықтан американдық математик Ричард Беллман матрицалар теориясын «жоғары математиканың арифметикасы» деп бекер атамаған.
Жалпы математиканың даму тарихына көз жүгіртсек мына жағдайларды байқауға болады. Матрица туралы мәселе алғашқы рет ХІХ ғасырдың екінші жартысынан бастап ирландық астраном және математик У.Гамильтонның (...) және ағылшын математиктері Дж.Силвестрдің (...), А.Кэлидің еңбектерінде кездесе бастайды. Ал матрицалар теориясының негізін ХІХ ғасырдың екінші жартысында неміс математиктері К.Вейерштрасс (1815-1897) және Фробениус қалаған. Тарих тілінде айтсақ, матрицалар теориясы математиканың «жас» бағыттарының қатарына жатады. Сол себептен математиканың бұл бағыты әлі де даму кезеңінде. Өйткені, жылдан жылға матрица аппаратын пайдаланатын есептер аумағы көбейе түсуде.
Бұл оқ-әдістемелік құралының мақсаты – матрицаларға амалдар қолдануды, анықтауыштар мәселелерін қарастыру, нәтижесінде сызықты теңдеулер жүйесін зерттеу, яғни олардың шешімдерінің бар және жалғыз ғана болатындығын және оларды табудың әдістері (тәсілдері) туралы мәселелер ауқымын анықтау.
Қазіргі кезеңде математикалық әдістердің барлық дерлік ғылым, техника, экономика салаларында және барлық дерлік мамандардың практикалық қызметтерінде кеңінен қолданыс табуына байланысты математикалық білімді және дайындықты сапалы жақсарту мәселесі күн тәртібінен түспек емес, оның өзектілігі күннен-күнге күшейе түсуде. Оның ішінде, әсіресе, қарапайым және солғұрлым маңызды болып келетін сызықты алгебраның әдістерін және тәсілдерін меңгеру бірінші кезекте қажет болып тұр. Оқу құралы осы жағдайды ескеріп дайындалынып отыр.

1 Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.:,Наука, 1987.
2 Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.:,Наука, 1987.
3 Мышкис А.Д. Лекций по высшей математике. – М.:,Наука, 1967.

4 Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.:,Наука, 1970.

5 Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.:,Наука, 1984.

6 Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. 9-сыныптарға арналған оқулық. – Алматы, Атамұра, 2004.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 50 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
Кіріспе

Бірінші тарау

Матрицалар туралы негізгі ұғымдар және түсініктер

1.1 Негізгі анықтамалар және
мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

1.2 Матрицаларға амалдар
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

1.2.1.Матрицалар
теңдігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..

1.2.2 Матрицаларды
қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ..

1.2.3 Матрицаларды санға
көбейту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1.2.4 Матрицаларды
көбейту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
...

1.2.5 Матрицаны
транспонирлеу ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
...

1.3 Матрицалар алгебрасының маңызы

және рөлі
туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ..

1.4 Матрица рангі
туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..

1.5 Матрицаның жатық жолдарына

жүргізілетін элементар
түрлендірулер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...

1.6 Матрицаны сатылы түрге келтіру

және оның матрица рангімен
байланысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ...

Екінші тарау

Сызықты теңдеулер жүйесі және матрица

2.1 Негізгі ұғымдар және
анықтамалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2.2 Біртектес теңдеулер
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

2.2.1 Негізгі
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... .

2.2.2 Жүйенің жалпы
шешімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2.2.3 Гаусс әдісі
туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...

2.2.3.1 Есте болатын бір
жағдай ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...

2.3 Біртектес емес теңдеулер
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ..

2.3.1 Жүйе шешімдерінің негізгі
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ..

2.3.2 Біртектес емес теңдеулер жүйесінің

үйлесімділік
критерийі ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...

Үшінші тарау

Матрицаның анықтауыштары туралы

3.1 Екінші және үшінші ретті
анықтауыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

3.2 Анықтауышты жатық жол бойынша
жіктеу ... ... ... ... ... ... ... . ... ... .

3.3 Анықтауыштардың негізгі
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... .

3.4 Негізгі
ескертулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ..

Төртінші тарау

Кері матрица және оны есептеу туралы

4.1 Кері матрица
ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .

4.2 Кері матрицаны есептеу
ережесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

4.3 Кері матрицаны есептеуде Гаусс әдісін

пайдалану
туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... .

4.4 Біртектес емес теңдеулер жүйесін шешуде

кері матрицаны пайдалану
идеясы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...

Бесінші тарау

Есептер шығаруға мысалдар

5.1 Матрицаларға амалдар
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

5.2 Матрицаны сатылы түрге келтіру және

оның рангісін
анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...

5.3 Сызықты теңдеулер жүйесін
шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

5.3.1 Біртектес теңдеулер жүйесін шешу
ерекшелігі ... ... ... ... ... ...

5.3.2 Біртектес емес теңдеулер жүйесін шешудегі
ерекшелік ... ... .

5.4 Жатық жол (немесе тік жолбаған) бойынша

жіктеу арқылы анықтауыштарды есептеу
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

5.5 Анықтауыштарды есептеуде Гаусс

әдісін
пайдалану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... .

5.6 Кері матрицаны
табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ..

Алтыншы тарау

Біліктілікті бекіту алгоритмдері

6.1 Негізгі тақырыптар бойынша

біліктілік
алгоритмдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... .

6.2 Негізгі тақырыптар бойынша

біліктілік тренингтеріне
мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

6.3 Өзіндік жұмысқа
тапсырмалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

6.4
Глоссарий ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ..

Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... .

Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ..

Кіріспе

Математика ғылымының барлық салаларында, оның ішінде, әсіресе,
экономикалық есептерді шешуде және келешек математикалық ғылыми
зерттеулерде ең жиі қолданылатын математикалық аппаратқа сызықты
алгебра элементтері жатады. Ұсынылып отырған оқу құралы оқырманның
(студенттің, жас маманның) сызықты алгебра элементтерін өз беттерінше
тиімді оқып-үйренуіне және оның негізгі жиі кездесетін қолданбалы
әдістерін және тәсілдерін сапалы меңгеруіне арналады.

Матрицалар алгебрасының математиканың өзінің ішкі дамуындағы рөлі де
бүгінгі күні жоғарыламаса әлі де төмендей қойған жоқ. Матрицалар теориясы
әлі де даму үстінде. Өйткені, жылдан жылға оларды пайдаланудың әртүрлі
бағыттары және түрлері көбейе және кеңи түсуде. Сондықтан американдық
математик Ричард Беллман матрицалар теориясын жоғары математиканың
арифметикасы деп бекер атамаған.

Жалпы математиканың даму тарихына көз жүгіртсек мына жағдайларды
байқауға болады. Матрица туралы мәселе алғашқы рет ХІХ ғасырдың екінші
жартысынан бастап ирландық астраном және математик У.Гамильтонның (...)
және ағылшын математиктері Дж.Силвестрдің (...), А.Кэлидің еңбектерінде
кездесе бастайды. Ал матрицалар теориясының негізін ХІХ ғасырдың екінші
жартысында неміс математиктері К.Вейерштрасс (1815-1897) және Фробениус
қалаған. Тарих тілінде айтсақ, матрицалар теориясы математиканың жас
бағыттарының қатарына жатады. Сол себептен математиканың бұл бағыты әлі де
даму кезеңінде. Өйткені, жылдан жылға матрица аппаратын пайдаланатын
есептер аумағы көбейе түсуде.

Бұл оқ-әдістемелік құралының мақсаты – матрицаларға амалдар қолдануды,
анықтауыштар мәселелерін қарастыру, нәтижесінде сызықты теңдеулер жүйесін
зерттеу, яғни олардың шешімдерінің бар және жалғыз ғана болатындығын және
оларды табудың әдістері (тәсілдері) туралы мәселелер ауқымын анықтау.

Қазіргі кезеңде математикалық әдістердің барлық дерлік ғылым, техника,
экономика салаларында және барлық дерлік мамандардың практикалық
қызметтерінде кеңінен қолданыс табуына байланысты математикалық білімді
және дайындықты сапалы жақсарту мәселесі күн тәртібінен түспек емес, оның
өзектілігі күннен-күнге күшейе түсуде. Оның ішінде, әсіресе, қарапайым және
солғұрлым маңызды болып келетін сызықты алгебраның әдістерін және
тәсілдерін меңгеру бірінші кезекте қажет болып тұр. Оқу құралы осы жағдайды
ескеріп дайындалынып отыр.

Оқу құралында мына бастапқы мәселелерге баса назар аударылған:
матрицалар туралы негізгі ұғымдар және түсініктер, матрица рангі
туралы, матрицаның жатық жолдарына жүргізілетін элементар
түрлендірулер, матрицаны сатылы түрге келтіру және оның матрица
рангімен байланысы, сызықты теңдеулер жүйесі және матрица, матрицаның
анықтауыштары туралы, кері матрица және оны есептеу туралы, матрица
аппаратын пайдаланып есептер шығару мәселелері.

Оқу құралы бірінші кезекте көптеген мамандықтар студенттеріне,
магистранттарға және жас оқытушыларға ұсынылады. Оқу құралын
әдістемелік құрал ретінде де пайдалануға болады деп ойлаймыз.

Бірінші тарау

Матрицалар туралы негізгі ұғымдар және түсініктер

1.1 Негізгі анықтамалар және мысалдар
Математикада матрица (немісше matrіse, латынша matrіx – аналық
деген мағынада) деп кез келген нақты элементтер жиынынан құрылған және m
жол (немесе жатық жол) мен n бағаннан (немесе тік жолдан) тұратын тік
төртбұрышты А кестесін айтады.
Жалпы түрде матрицаны былайша жазады:
А=.
Немесе матрицаны қысқаша былай да белгілейді: А=(аіj)mn, мұндағы
i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.
Матрицаны түзетін (құрайтын) нысандар оның элементтері деп аталады.
Матрицаның элементтері оның жатық жолдары немесе бағаналарының (тік
жолдардың) бойымен орналасады. Матрицаның элементтері аіj түрінде қос
индекспен өрнектеледі, мұндағы бірінші индекс і – матрицаның аіj элементі
орналасқан жатық жолының нөмірін, екінші индекс j — оның аіj элементі
орналасқан бағананың нөмірін көрсетеді. Матрица символдық түрде не дөңгелек
жақша, не қос тік сызық арқылы өрнектеледі. Мұндай матрицаны (m,n) өлшемді
тікбұрышты матрица деп, ал егер m=n болса, квадрат матрица (n санын оның
реті) деп атайды.
Мысалы, В= матрицасын 2х3 типті, немесе 2х3 ретті (өлшемді)
матрица деп атайды.
Жатық жолдарының саны мен бағаналары санының бірі немесе екеуі де
шексіз болатын матрицаны шексіз матрица деп түсінеміз. Бір ғана жатық
жолдан немесе бір ғана бағанадан тұратын матрицалар да болады, яғни
тікбұрышты матрицаның дербес жағдайлары вектор-жол немесе вектор-баған
түрінде болуы мүмкін. Мысалы, С14=(0, 1, 1, -3) түріндегі матрицаны
төртөлшемді вектор (0, 1, 1, -3) деп, ал D51= матрицасын бес өлшемді
арифметикалық кеңістік векторы (5, 1, -1, 0, 2) деп қарастыруымызға да
болады.
аіі диагоналды элементтері ғана нөльден өзгеше болатын квадрат
матрицаны диагоналдық матрица деп атайды, dіag(а11 ... аnn) таңбасымен
белгілейді.
Диагоналдық матрицаның барлық элементтері (аіi=1) болса, онда ол
бірлік матрица деп аталады. Бірлік матрицаны былайша жазады:
Е=.
Матрицалық есептеулерде бірлік матрицаның рөлі ерекше болып келеді. Ол
туралы келесі беттерде айтатын және мысалдар келтіретін боламыз.
Сонымен, егер квадраттық матрицаның диагоналдық элементтерінің барлығы
бірге тең, ал қалған элементтері нөльге тең болса, онда мұндай матрицаны
бірлік матрица деп атаймыз.
– бірлік матрица; мысалы, АЕ=А.
Егер барлық (аіi=а) болса, онда скаляр матрица шығады.
Барлық элементтері нөльге тең матрица нөльдік матрица деп аталады.
Бірлік және нөльдік матрицалар матрицалық есептеулерде сандардағы 1 және 0
сандары сыяқты рөльдерді орындайды.
Жатық жолдары мен бағаналарын ауыстыру арқылы алынған матрицаны
транспонирленген матрица деп атайды, оны А немесе АТ арқылы белгілейді.
Егер матрицаның элементтерін комплекс түйіндеске ауыстырсақ, онда
комплексті түйіндес матрицасы шығады. Ал егер А транспонирленген матрица
элементтерін комплексті түйіндеске ауыстырсақ, онда А матрицасымен түйіндес
болатын А* матрицасы шығады.
Квадрат матрицаның анықтауышы A немесе det A деп белгіленеді. Квадратты
матрица үшбұрышты деп аталады, егерде бас диагоналдан төмен (немесе жоғары)
орналасқан барлық элементтер нөльге тең болатын болса. Мысалы,
В=
матрицасы жоғарғы үшбұрышты, ал

С=

түріндегі матрицаны төменгі үшбұрышты матрица деп атайды.

1.2 Матрицаларға амалдар қолдану

Матрицаларға қосу, азайту, көбейту және санды матрицаға көбейту
амалдары орындалады. Бірақ осы аталған амалдар кез келген матрицалар үшін
орындалмайды. Сондықтан матрицалармен жұмыс істеген кездері осы жағдайды
үнемі назарда ұстауымыз керек болады.

1.2.1 Матрицалардың теңдігі
Бірдей ретті екі матрица Amn = Bmn тең деп аталады, егер екі
матрицадағы индекстері бірдей барлық элементтер өзара тең болса ғана.
Мысалы, егер
В=,
онда b11= а11=-1, b12=а12=0, b13=а13=1, b21=а21=b22=а22=b23=а23=5.

1.2.2 Матрицаларды қосу
Матрицаға қосу, көбейту сыяқты алгебралық амалдар қолданылады.
Бірдей ретті екі матрицаны қосу деп, сол типтес, элементтері сәйкес екі
матрицаның (қосылғыштардың) элементтерінің қосындысы болып келетін
Amn + Bmn = Cmn матрицасын айтады, яғни сij=aij+bij, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.
Мысалы, егер
А23=, В23=
болса, онда олардың қосындысы тең болады

С23=А+В=.
Есте болуы керек, егер О нөльдік матрица болса, онда А+О=О+А=А (мұнда
нөльдік матрицаның реті А матрицасы ретімен бірдей болуы тиіс).
Матрицаларды қосу амалының қасиеттерін атап кетейік:
А+В =В+А (қосудың коммутативтілігі);
(А+В)+С=А+(В+С) (қосу амалының ассоциативтілігі).

1.2.3 Матрицаны санға көбейту
Аmn тікбұрышты матрицасының санына көбейтіндісі деп барлық аіj
элементтерін осы санға көбейткеннен шығатын жаңа Вmn матрицаcын айтады:
В=А, мұнда В мен А матрицаларының реттері бірдей және барлық i,j
индекстері үшін bij=aij.
Мысалы,
-6Е=, яғни мұндағы =-6, Е=,

ал В=матрицасында 2 санын матрица таңбасының алдына шығаруға
болады:
В =2,

бұл мысалда =2, А=aij=.
Матрицаны санға көбейту амалының қасиеттерін атап кетейік:
Егер нақты сандар, ал А және В – берілген матрицалар болса, онда

()A=,

Мына жағдайды атап кетуіміз керек: жоғарыдағы енгізілген амалдар бірдей
ретті матрицаларға ғана қолданылады. Мысалы, С=А-В матрицасын алу үшін А
матрицасының сәйкес элементтерінен В матрицасының сәйкес элементтерін алу
керек болады.

А=, ал – кейбір сан болсын. Онда
А –.

1.2.4 Матрицаларды көбейту
Матрицаларды бір-біріне көбейту амалын іске асыру, жоғарыдағы
амалдармен салыстырғанда күрделі ережелерді орындау арқылы іске асырылады.
Бір матрицаны екінші матрицаға көбейту амалы 1-көбейткіш (бірінші
матрица) бағаналарының саны 2-көбейткіш (екінші матрицаның) жатық
жолдарының санына тең тік бұрышты матрицалар үшін ғана орындалады.
(m,p) өлшемді А матрицасының (p,n) өлшемді В матрицасына
көбейтіндісінің элементтері сіj=аі1b1j+аі2b2j+ +...+аіpbpj, і=1,...,m, j=1,...,n
болатын (m,n) өлшемді C матрицасы болып табылады. Мысалы,
А23= матрицасын
В33= матрицасына
көбейтуге болады. Көбейтіндінің (С – ның) размері (реті, өлшемі) 2х3
болады.
Енді, матрицаларды көбейтудің С=А ережесін тұжырымдайық. Ол үшін А
матрицасының і – жатық жолын және В матрицасының j –бағанын аламыз, яғни
(ai1 ai2 ... ain); .
Бөліп алған жатық жолмен және бөліп алған бағанның ұзындықтары
(элементтер саны) бірдей болуы тиіс. Бөліп алған векторлардың бірдей орында
тұрған элементтерін қос-қостан көбейтеміз және оларды қосамыз (яғни, осы
векторлардың скалярлық көбейтіндісін есептейміз). Алынған қосындыны сij деп
белгілейміз және оны C матрицасының і-жолы мен j-бағанының қиылысуындағы
элементі деп қабылдаймыз:
сіj=аі1b1j+аі2b2j+ +...+аіnbnj
Осы амалды А матрицасының әрбір жолымен және В матрицасының әрбір
бағанымен орындай отырып, С матрицасы-көбейтіндінің элементтерін
толтырамыз.
Мысалы:
С=
Егер элементі

– бірлік матрица болса, онда АЕ=А.
Мысал келтірейік.
Жоғарыдағы А23 матрицасын В33 матрицасына көбейтейік:

Келтірген ереже бойынша А матрицасының бірінші жатық жолы – (1 -1 2),
В матрицасының 1-ші бағаны – мынаны береді: с11=1; тура осылайша
А матрицасының бірінші жатық жолы – (1 -1 2) және В матрицасының 2-ші
бағаны мынаны береді: с12 =1; келесі
с13 элементі с13=1.
Тура осылайша А матрицасының 2-ші жатық жолы – (0 1 1) мен В матрицасының
1-ші бағаны – береді: с21=3; осылайша А матрицасының 2-ші жатық жолы –
(0 1 1) мен В матрицасының 2-ші және 3-ші бағандары сәйкес с22=0 және с23=1
–ді береді. Нәтижесінде С матрицасын аламыз:
С=.

Матрицаларды көбейту ассоциативтілік қасиетіне (АВ)С=А(ВС) бағынады.
Бұл жерде мына жағдайға баса назар аударамыз: жалпы, сандарды
көбейтумен салыстырғанда матрицаларды көбейту нәтижесі көбейткіштердің
орналасу ретіне байланысты болады. Сонымен, матрицаларды көбейтуде
көбейткіштердің орнын ауыстыру қасиеті орын алмайды (матрицаларды көбейту
амалы коммутативті емес).
Бұл деген сөз АВ=ВА орындалмай қалуы да мүмкін. АВ және ВА
матрицаларының көбейтіндісі бірінші ретті квадрат матрица үшін ғана
анықталады және көбейткіштердің ретіне де байланысты, яғни егер АВ=ВА
болса, онда А және В матрицалары ауыспалы деп аталады. Мысалы, жоғарыдағы
мысалда АВ анықталған, ал ВА анықталмаған, өйткені, В матрицасының бағандар
саны А матрицасының жатық жолдарына тең емес.
Ал егерде А және В – бірдей өлшемді квадрат матрицалар болса, онда АВ
және ВА көбейтінділерінің екеуі де бар болады, бірақта АВ= ВА болуы
міндетті емес.
Мысалы, А = және В= болсын. Онда
АВ= болады.
Матрицаларды көбейтуде Е бірлік матрицасы ерекше орын алады, ол
сандарды көбейту кезіндегі 1 санының рөлін орындайды. Егер х бір сан
болса, онда х, яғни санды бірге көбейткеннен ол өзгермейді. Мысалы,
квадратты А матрицасын Е матрицасына қөбейтсек те солай, А матрицасы
өзгермейді. Яғни мұндай қасиетке тек Е бірлік матрицасы ғана ие болады: АЕ
= EA=A.
Біз білеміз, сандардың көбейтіндісі 0-ге тең болады тек сонда ғана,
егерде көбейткіштердің бірі 0-ге тең болатын болса. Ал матрица жағдайында
–
әрбір көбейткіші нөльден өзгеше болса да, екі матрицаның көбейтіндісі
нөльдік матрицаға тең болуы әбден мүмкін.
Мысалы, А=. Ал бірақта АВ= болады, оны өздерің нақты тексеріп
көріңдер..
Екі квадрат матрицаның көбейтіндісінің анықтауышы көбейтілетін
матрицалар анықтауышының көбейтіндісіне тең. Егер анықтауышы нөльге тең
болмаса, онда А=(аіj) квадрат матрицасы өзгеше емес деп, ал кері жағдайда
ерекше матрица деп аталады. Кез келген өзгеше емес матрицаның АА–1=Е
теңдеуімен анықталатын бір ғана кері А–1 матрицасы болады. Бірдей n-ретті А
және В квадраттық матрицалары ұқсас матрицалар деп аталады.

1.2.5 Матрицаны транспонирлеу

mxn ретті Amn матрицасы берілсін. Осы матрицада жатық жолдар мен
бағандар орындарын ауыстырайық, яғни 1-жатық жолдың орнына 1-бағанды, 2-
жатық жолдың орнына 2-бағанды және т.с.с. Алынған жаңа матрицаны АТ деп
белгілейміз.

Сонымен,

А=, ал АТ=.
АТ матрицасы А-ға транспонирленген деп аталады, оның реті nxm
болады. Мысалы, егер

A34 = болса, онда АТ =, яғни соңғы матрицаның реті 4х3
болады.

Егер А – вектор-жол А=(1 1 1 1 1) болса, онда АТ =– вектор-
баған болады.

Сонымен, транспонирленген матрица элементтері үшін

қатынасын аламыз.

Егер А – квадраттық матрица болса, онда АТ– да сондай ретті
квадраттық матрица болады. Егерде квадраттық матрица транспонирлену
нәтижесінде өзгермесе, яғни АТ =А болса, онда А матрицасын симметриялық
матрица деп атайды. Мысалы,

А=

матрицасы симметриялық болады. Өзіңіз тексеріңіз.

Әрбір симметриялық (симметриялы) матрицаның басты диагоналдыға
қарағандағы симметриялы элементтері өзара тең болады.

Мысал келтірейік.

А=болсын, онда АТ =түрінде болады. реттері

А және АТ реттері келісілген, өйткені, А-ның бағандарының саны АТ-ның
жатық жолдары санына тең. Олай болса бұларды бір-біріне көбейтуге

болады.

А* АТ =; АТ *А= =,

яғни екі көбейту де орын алады. Көбейтулер нәтижелерінің дұрыстығына
өздеріңіз жаттығу ретінде көздеріңізді жеткізіңіздер.

1.3 Матрицалар алгебрасының маңызы

және рөлі туралы

Матрицалар теориясы әлі де даму үстінде. Өйткені, жылдан жылға оларды
пайдаланудың әртүрлі бағыттары және түрлері көбейе және кеңи түсуде.
Жоғарыда атап кеткендей, американдық математик Ричард Беллман матрицалар
теориясын жоғары математиканың арифметикасы деп атап отырғанын тағы да
еске түсіруді жөн көрдік. Бұл біздің қарастыратын мәселеміздің маңыздылығын
көрсетсе керек.
Математиканың даму тарихына матрица туралы мәселе алғашқы рет ХІХ
ғасырдың екінші жартысынан бастап ирландиалық астраном және математик
У.Гамильтонның және ағылшын математиктері Дж.Силвестрдің, А.Кэлидің
еңбектерінде кездесе бастайды. Ал матрицалар теориясының негізін ХІХ
ғасырдың екінші жартысында неміс математиктері К.Вейерштрасс және Фробениус
қалаған, сондықтан, матрицалар теориясы математиканың жас бағыттарының
қатарына жатады және сол себептен математиканың бұл бағыты әлі де даму
кезеңінде. Өйткені, жылдан жылға матрица аппаратын пайдаланатын есептер
аумағы көбейе түсуде.

Мектеп математика курсында екі және үш белгісіздері бар сызықты
теңдеулер жүйесі қарастырыла бастайды, мысалы:

(1) және (2)

теңдеулер жүйелері, мұндағы a11,a12,a13,...,a32,a33 және b1,b2,b3 сандары
– берілген сандар, ал x1,x2,x3 – белгісіздер болып табылады, осы
белгісіздерді анықтауымыз керек болады.
Сондықтан біздің келешектегі басты мақсатымыз осы тәріздес n белгісіздері,
біздің мысалда x1,x2,x3 белгісіздері, бар сызықты теңдеулер жүйесін қалай
шешу керек, яғни белгісіздерді табудың әртүрлі әдістерін (тәсілдерін) жалпы
жағдайларда қарастыратын боламыз. Бұл жерде мына жағдайларды байқаймыз –
келтірілген жүйелерді мына матрицаларды беру арқылы анықтауға болатындығын:

A= матрицасын, – вектор-бағанды, ал x1,x2,x3
белгісіздерін вектор-бағанныңбелгісіз координаттары түрінде
қарастыруымызға болады. Осындай белгілеулерді енгізе отырып, (1)және
(2 жүйелерін мына төмендегі матрицалық-векторлық формада жазуға
болатындығын оңай тексеруге болдаы, яғни,
.
(3)
Шындық өмірде (практикада) А матрицасының реті бірнеше ондаған, яғни
теңдеулер жүйесінің саны өте үлкен болып келуі мүмкін. Мұндай жағдайларда
(2) түріндегі үлкен жүйелерді компактылы (3) түрінде жазудың және
пайдаланудың қаншалықты ыңғайлы екендігін түсінуімізге болады ғой деп
ойлаймыз. Бұдан біз, осындай үлкен сызықты теңдеулер жүйелерін шешуде
матрицалық аппаратты тиімді пайдалануға болатындығын көреміз.
Сызықты алгебра және матрицалар теориясы әдістері, әсіресе,
экономикалық процестердіматематикалық модельдеудекеңінен қолданыс табуда.
ХХ ғасырдың 40-шы жылдарында экономиканың экстремальдік есептерін
шешуге мүмкіндік беретін сандық әдістер пайда бола бастады. Математиканың
осындай бағыттарының бірі сызықты программалау деп аталады. Сызықты
программалау әдістерінің тиімді дамуына Кеңес академигі Л.В.Канторовичтің
(1912-1986) еңбектері үлкен әсер етті. Осы үлкен зор еңбегі үшін ол 1975
жылы экономика саласы бойынша Нобельдік сыйлықтың лауреаты болды.
Сызықты программалау есебіне бір-екі мысал келтірейік.

1.
2.Бір завод құрылыс материалының жаңа екі түрін шығаратын болсын.
Оларды сәйкесінше М1 және М2 деп белгілейік.
Құрылыс материалының М1 түрінің 1 тоннасын сатудан 7, ал М2 түрінің 1
тоннасын сатудан 9 шартты бірлік табыс түсіретін болсын.
Осы құрылыс материалдарын шығару үшін завод мына ресурстарды
пайдаланады: цемент, құм араласқан майда тастар (гравий), болат, жұмыс
күшін (адам күндерін). Әрине, шындық өмірде (практика жүзінде) бұл
ресурстардың түрлері әлдеқайда көп болады. Қарастырып отырған уақыт
аралығында пайдаланылатын ресурстардың көлемдері шектеулі. М1 және М2
түрлеріндегіқұрылыс материалдарының сәйкес 1 тоннасын шығаруға қажетті
ресурстардың әрқайсысынан алынатын көлемдері 1-кестеде көрсетілген.
Кестенің соңғы жатық жолында ресурстарға қойылатын шектеулер жазылған.

1-кесте
Материалдар Цемент Гравий Болат Жұмысшы Бір Шығару
күші бірліктен жоспары
түсетін
пайда
(түсім)
М1 35 16 5 110 7 Х1
М2 28 26 3 125 9 Х2
Ресурстарға 850 1300 55 2050
қойылатын
шектеулер

Завод құрылыс материалдарын шығарудың жоспарын құрған болсын,
яғни, М1 түрінен х1 тонна, М2 түрінен х2 тонна құрылыс материалдарын шығару
жоспарланған болсын. Онда құрылыс материалдарын бағасы-вектор
бойынша сатудан түсетін пайда (түсім) Р=7x1+9x2 –ні құрайды.
Енді осы көрсетілген жоспарды орындауға ресурстардың әрқайсысынан
қаншадан жұмсалатынын есептейік.
Айталық, ресурс-цемент құрылыс материалдарының екі түрін шығаруда да
пайдаланылады (яғни жұмсалынады), жоспарды орындауға 35х1+28х2 цемент
жұмсалады, тура солайынша 16х1+26х2 гравий, 5х1+3х2 болат сәйкесінше
жұмсалатын болады. Ал завод пайдаланатын жұмыс күші 110х1+125х2-ні құрайды.
Олай болса, ресурстарға қойылатын шектеу мына теңсіздіктер жүйесі түрінде
жазылатын болады:

Мұндағы х1 (яғни, жоғарыдағы теңсіздіктерде х1, х2 мағынасы да
ескерілетін болады).
Осы есепті формализациялауды жалғастыра отырып, оны векторлық-
матрицалық формада жазуға болады. Сонымен, – құрылыс материалын
шығарудың жоспарлық векторы, ал (7, 9) – түсетін пайда (түсім)
векторы; пайдаланылатын ресурстар матрицасы А=(aij)4,2 былайша көрсетіледі:

A=,

мұндағы аij – j –ші материал бірлігін шығаруға жұмсалатын і –ші ресурстық
материалдың көлемін көрсетеді, яғни i=1,2,3,4; ал j=1,2.
Сонымен, завод шешетін есептің математикалық моделі былайша
тұжырымдалынады: шектеулік теңсіздіктерінде функциясының
(түсетін пайданың) максимумын (max-ты) табу керек. Мұндағы және
векторлары бағандар түрінде жазылады.
Тура осы идея негізінде есептің мазмұнын үлкен ірі заводтар, арнаулы
цехтар, мекемелерге арнап құруға болатындығы, мысалы, әртүрлі тағам
өнімдерін шығаратын өндіріс орындары, немесе, транспорт жұмысын тиімді
ұйымдастыру, кез келген елді мекенді, үлкен қаланы азық-түліктің шектеулі
ресурстарында қамтамасыз ету, т.с.с. басқа да есептерді қоюға және шешуге
болатындығы айқын көрініп тұр ғой деп ойлаймыз.

1.4 Матрица рангі туралы
Жоғарыда көрсеткеніміздей, m жатық және n тік жолдары бар нақты сандардан
тұратын тікбұрышты кестені mxn ретті марица деп, ал егер m=n болса, онда
ондай матрицаны квадраттық матрица деп атайтын боламыз. Жалпы жағдайда
матрицаны мына түрлерде жазуымызға болады:

мұндағы - матрицаның элементтері; бірінші i – индексі – матрицаның
жатық жолының, ал екінші j индексі – тік жолының (бағанның) нөмерін
көрсетеді.
Матрицаларды латын алфавитінің бас әріптері А, В, С, ... арқылы
белгілейді.
Мысалы, матрицасының реті 3х3 болады.

Сонымен, Аmn матрицасы берілсін. Осы матрицаның і нөмірлі жатық жолын
(яғни і-ші жатық жолды) қарастырайық. Ол жол n нақты сандардың реттелінген
жинағы, яғни n өлшемді Rn арифметикалық кеңістігінің векторы болады. Бұл
векторды арқылы белгілейміз.
Міне, осыдан кейін А матрицасын мына түрде жазуға болады:

A=.
Тура осылайша А матрицасының вектор-бағанын
деп белгілей отырып, яғни векторы m-өлшемді вектор болады, ал енді А
матрицасын былайша жаза аламыз:

A=.

Векторларға байланысты мына жағдайларды еске түсірейік.
векторлары сызықты тәуелсіз болады, егерде олардың ешқайсысы қалғандарының
сызықты комбинациясы болмайтын болса. Кері жағдайда векторлар сызықты
тәуелді болады. Сондықтан, А матрицасының жатық жолдарын (немесе
бағандарын) сызықты тәуелді деп есептейтін боламыз, егерде олардың ең
болмағанда біреуі басқалары арқылы сызықты өрнектелетін болса. Мысалы,

А матрицасында үшінші жатық жолдың элементтері былайша алынады:
екінші жолдың және екі еселенген бірінші жолдың сәйкес элементтерін
қосудан, яғни былайша айтқанда, вектор-жолының сызықты комбинациясы
алынады. және векторлары сызықты тәуелсіз векторлар
жүйесін құрайды, ал егерде олардың қатарына векторын енгізсек, онда
векторлар-жол жүйесін аламыз, бұл сызықты тәуелді болады, яғни А
матрицасының сызықты тәуелсіз жолдарының максимальді саны 2-ге тең болады.
Сызықты тәуелсіз вектор-бағандардың максимальді саны сызықты тәуелсіз
вектор-жолдардың максимальді санына тең болатындығын көрсетуге болады. Осы
жалпы сан А матрицасының рангы деп аталады. Матрица рангы оның негізгі
көрсеткіштерінң бірі болып саналады.
Мысал. E= матрицасы берілсін.
Бұл матрицаның вектор-жолдары (немесе вектор-бағандары) сызықты
тәуелсіз жүйені құрайды, олар Rn кеңістігінде базистік векторлар болады.
Егерде А матрицасының рангын r(A) деп белгілесек, онда r(E)=4 болады.

1.5 Матрицаның жатық жолдарына

жүргізілетін элементар түрлендірулер

А матрицасы mxn ретті болсын. Бұл матрицаның әрбір жатық жолының Rn
кеңістігінің векторы болатындығын атап кеттік. А матрицасының жатық
жолдарына (мұндағы ) элементар түрлендірулер жүргізейік.

A жазбасы В матрицасының А матрицасына элементар түрлендірулер
жүргізу нәтижесінде алынғандығын білдіреді. В матрицасының реті тура А
матрицасының ретімен бірдей болады, яғни элементар түрлендірулер
нәтижесінде матрицаның реті (размері) өзгермейді. Түрлендірулер нәтижесінде
алынған матрицаның жатық жолдарын арқылы белгілейік.

Элементар түрлендірулердің екі типі болады:

1) А матрицасының бір жолына, мысалы, -ға басқа бір жолды, мысалы,
-ны, мұндағы , алдынала кейбір сандық коэффициентке (мысалы,
-ға) көбейтіп алып қосайық, ал А матрицасының қалған жолдары
өзгеріссіз қалатын болады, яғни В матрицасына ол жолдар өзгеріссіз
көшіріліп жазылады. Сонымен, егер болса. А матрицасының

k-шы жолының да өзгеріссіз қалатындығын ескертеміз.

Мұндай түрлендіруді 1-ші типті элементар түрлендіру деп атайды.

Мысалы,

А=

болсын.

Осы матрицаның екінші жолына (i=2) алдынала санына көбейтілген
бірінші жолды (k=1) қосайық. Нәтижесін екінші жолдың орнына жазамыз, ал 1-
ші және 3-ші жолдар өзгеріссіз қалатын болады.

Яғни,

Мұнда

В=.

Енді тағы да бір қадам жасайық, яғни тағы да бір бірінші типті
элементар түрлендіру жүргізейік: 3-ші жолға, алдынала санына
көбейтілген бірінші жолды (k=1) қосамыз, яғни, шын мәнінде 3-ші жолдан 1-ші
жолды аламыз, нәтижені 3-ші жолдың орнына жазамыз, ал 1-ші және 2-ші
жолдарды өзгеріссіз қалдырамыз:

В.

Бұл жерде мына жағдайды байқаймыз: 1-ші типті элементар түрлендірулер
жүргізу нәтижесінде матрицаның сызықты тәуелсіз жолдарының саны өзгермейді,
яғни, бұл матрицаның рангы да өзгермейді дегенді білдіреді.

2) 2-ші типті элементар түрлендірулер жүргізудің идеясы мынада: А
матрицасының екі жолдарының (і және k, i) орындары өзара орын
ауыстырылады, ал қалған жатық жолдар өз орындарында өзгеріссіз қалады, яғни
.

Мысалы, сол берілген А матрицасында 1-ші (і=1) және 3-ші (k=3)
жолдарды орындарымен ауыстырайық, ал 2-ші (і=2) жол өзгеріссіз өз орнында
қалады:

А.

Бұл жағдайда да, яғни 2-ші типті элементар түрлендірулер жүргізудің
нәтижесінде де, , матрица рангы өзгермейді, яғни r(A)=r(B).

1.6 Матрицаны сатылы түрге келтіру

және оның матрица рангімен байланысы

Үшінші тарау

Матрицаның анықтауыштары туралы

3.1 Екінші және үшінші ретті анықтауыштар

nxn ретті (размерлі) А матрицасының, яғни квадраттық матрицаның тағы да
бір маңызды көрсеткіші – ол оның анықтауышы болып табылады. А матрицасының
анықтауышы – бұл А матрицасына сәйкестендірілген сан, оны (анықтауыш)
немесе detA (А матрицасының детерминанты) түрінде белгілейді. А квадраттық
матрицасының реті – n саны анықтауыштың да реті деп аталады.
Анықтауыш ұғымы жете түсінікті болуы үшін алдымен екінші және үшінші
ретті матрицаға сәйкес анықтауыштарды қарастырайық.
Екінші ретті
А=
матрицасы берілсін. Бұл матрицаға
detA=
ережесі бойынша А матрицасы элементтерінен алынған detA cанын сәйкес
қоямыз. Мысалы,
А=
болса, онда detA=-1–1–10=11.
Енді А матрицасының реті n=3 болсын, яғни
A=.
Үшінші ретті анықтауыш деп мына ереже бойынша анықталған detA санын
айтамыз:

detA=
=a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 – a13a22a31 – a12a21a33 –a11a23a32.
(1)

3.2 Анықтауышты жатық жол бойынша жіктеу

Үшінші ретті анықтауыштың алты қосылғыштардан тұратынын, әрбір
қосылғыштың матрицаның үш элементтерінің көбейтіндісінен құралатынын және
соңғы үш қосылғыштар (-1)-ге көбейтілгенін көреміз.
Үшінші ретті анықтауышты есептеудің ережесін 1-ші жатық жол бойынша
жіктеу арқылы тұжырымдайық: ол үшін бірінші жолдың а11, а12, а13
элементтерін қарастырамыз; олардың біріншісі а11-ді аламыздағы А
матрицасынан бірінші жолды және бірінші бағанды ойша сызып тастаймыз,
олардың қиылысында а11 элементі тұр; сызып тастағаннан кейін қалған екінші
ретті

матрицасының анықтауышы detA=a22a33–a23a32 болады. Бұл шаманы а11
элементінің алгебралық қосымшасы деп атайды және оны былайша белгілейтін
боламыз:

A11=,
vұндағы i=1, j=1.
Бірінші жолдағы келесі элемент а12, оның индекстері i=1, j=2. Оған
сәйкес алгебралық қосымша
A12=,
яғни, бұл анықтауыш матрицаның ойша бірінші жолын және екінші бағанын
сызып тастағаннан кейін шығады, ал олардың қиылысуында а12 элементі тұр.
Тура осылайша а13-тің алгебралық қосымшасын
А13=
аламыз, мұнда i=1, j=3. Мұндағы екінші ретті анықтауыш А матрицасындағы
бірінші жолды және 3-бағанды ойша сызып тастағаннан қалып отыр.
Сонымен, мына анықтаманы аламыз: үшінші ретті матрицаның анықтауышы
detA деп
detA=a11A11+a12A12+a13A13
(2)
санын айтады.
(2) формуласы анықтауыштың 1-ші жатық жолы бойынша жіктелуі деп
аталады. Осы формула бойынша есептелініп алынған санның да (1) формуласы
бойынша есептелініп алынған санға тең болатындығын тексеру қиын емес.
Бұл жерде мына жағдайды атап кетейік: А матрицасының бірінші жолы оның
басқа жолдарынан немесе бағандарынан асып бара жатқан ештеңесі жоқ. Біз
ол жол тек бірінші болып тұрған соң ғана сол жолдан бастадық. Сондықтан
жоғарыдағыдай жіктеулерді матрицаның кез келген жолы немесе бағандары үшін
жазуға болады және барлық жағдайда да сол А матрицасының анықтауышы
алынатын болады, яғни оның сандық мәні барлық жағдайда да (1) формуласы
бойынша есептелініп алынған санға тең болады.
Мысал қарастырайық.
А=
матрицасы берілсін. detA – ны үшінші баған бойынша жіктей отырып, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.