Шектеусіз үздіксіз бөлшектердің қолданылуы


МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ 3

1 ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕР 5
1.1 Шектеусіз үздіксіз бөлшекке жіктеу 5
1.2 Шектеусіз үздіксіз бөлшектің лайықты бөлшектері 14
1.3 Лайықты бөлшектердің қасиеттері 16
1.4 Квадрат иррационалдық және периодты үздіксіз бөлшектер 36

2 ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕРДІ ҚОЛДАНЫП
ЕСЕПТЕРДІ (ТЕҢДЕУЛЕРДІ) ШЕШУ 54
2.1 Анықталмаған (бірінші дәрежелі) теңдеулер, оларды шешу 54
2.2 Квадрат теңдеулер және оларды шешу 60
2.3 Пелль теңдеулері. Пелль теңдеулерін шешу 64

ҚОРЫТЫНДЫ 77

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 78
КІРІСПЕ
Сандар теориясы курсында үздіксіз бөлшектер теориясының маңызы зор. Басқа әдістер арқылы мұндай шешімдердің бар екені дәлелденіп жатқан кезде үздіксіз бөлшектерді қолдана отырып есептердің дәл шешімдерін беруге болады.
Үздіксіз бөлшектердің таза практикалық қолданылуымен қатар теориялық маңызы да зор. Олардың әдістері негізінен алғанда сандар теориясында, алгебрада, ықтималдықтар теориясында, тіпті, анализ бен механикада да қолданылады.
Үздіксіз бөлшектер жайлы біраз деректерге тоқталатын болсам, үздіксіз бөлшектер туралы деректер ХVІ ғасырдағы итальян математигі Р. Бомбеллидің еңбектерінде кездеседі. Оны ХVІІ ғасырда ағылшын математигі Дж. Валлис зерттеген. Үздіксіз бөлшектердің кейбір маңызды қасиеттерін Х. Гюйгенс ашқан. Сонымен қатар ХVІІІ ғасырда үздіксіз бөлшектер теориясының дамуына Л. Эйлер өзінің үлкен үлесін қосты. Ал П.Л. Марков пен А.А. Чебышев ХІХ ғасырда үздіксіз бөлшектерді ортогональ көпмүшеліктерді зерттеу үшін қолданды.
Сонымен қатар сандар теориясы пәнінің дамуында ұлы француз математигі Жозе Луи Лагранж, Эварист Галуа еңбектерінің мәні зор. Сандар теориясында Лагранж шектеусіз үздіксіз бөлшектер теориясының негізгі теорияларын берді және олардың анықталмаған теңдеулерді шешуге қолданылуын көрсетті. Сонымен қатар Лагранждың сандар теориясынан зерттеулері, нақты сандардың арифметикалық қасиеттерін оқып-білуде үздіксіз бөлшектердің негізгі рөл атқаратындығын көрсетті.
Э. Галуа теоремасының дәлелдеуі 1828 жылы жарыққа шықты. Сонымен қатар Галуа таза периодты жіктелуде түйіндес квадрат иррационалдықтың дәл сондай элементтері болады, бірақ ол элементтер кері тәртіппен орналасатынын дәлелдеді.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. Бухштаб А.А. Теория чисел : учеб. пособие для студентов физ.-мат.
факультетов / А.А. Бухштаб. – 2-е изд., испр. М.: Просвещение, 1966. – 383 с.
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел : учеб. для гос. университетов / И.М.
Виноградов. – 8-е изд. испр. М.: Наука, 1972. – 168 с.
3. Виноградов И.М. Математическая энциклопедия : в 5 т. / И.М. Виноградов. –
М.: Советская энциклопедия, 1985. – Т. 3. – 1184 с.
4. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Ввведение в теорию чисел / Г. Дэвенпорт;
пер. с англ. Б.З. Мороза под ред. Ю.В. Линника. – М.: Наука, 1965. – 176 с.
5. Кочева А.А. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел, ч. 3. : учеб.
пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов / А.А. Кочева. – М.:
Просвещение, 1984. – 41 с.
6. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел : учеб. пособие мат-ких
спец. пед. ин-тов / Г.А. Кудреватов. – М.: Просвещение, 1970. – 128 с.
7. Куликов Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел : учеб. пособие для
студентов физ.-мат. спец. пед. институтов / Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко,
А.А. Фомин. - М.: Просвещение, 1993. – 288 с.
8. Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел, ч. 1. : учеб. пособие для студентов физ.-
мат. фак-тов пед. ин-тов / Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. – М.: Просвещение, 1974.
– 383 с.
9. Михелович Ш.Х. Теория чисел : учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак-
тов пед. ин-тов / Ш.Х. Михелович. – М.: Высшая школа, 1962.- 260 с.
10. Прохоров Ю.В. Математика. Большой энциклопедический словарь / Ю.В.
11. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел : учеб. пособие
мат-ких спец. пед. ин-тов / Л.Б. Шнеперман. – Минск: Вышейшая школа,
1982. – 223 с.
12. Хинчин А.Я. Цепные дроби / А.Я. Хинчин – 4-е изд. стереотипное, М.:
Наука, 1978. – 112 с.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 75 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 900 теңге




ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ

МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА ЖӘНЕ ТЕХНОЛОГИЯЛАР ФАКУЛЬТЕТІ

Математика кафедрасы

ДИПЛОМ ЖҰМЫСЫ

Тақырыбы: ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕРДІҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ
3
1 ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕР
5
1.1 Шектеусіз үздіксіз бөлшекке жіктеу
5
1.2 Шектеусіз үздіксіз бөлшектің лайықты бөлшектері
14
1.3 Лайықты бөлшектердің қасиеттері
16
1.4 Квадрат иррационалдық және периодты үздіксіз бөлшектер
36
2 ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕРДІ ҚОЛДАНЫП
ЕСЕПТЕРДІ (ТЕҢДЕУЛЕРДІ) ШЕШУ
54
2.1 Анықталмаған (бірінші дәрежелі) теңдеулер, оларды шешу
54
2.2 Квадрат теңдеулер және оларды шешу
60
2.3 Пелль теңдеулері. Пелль теңдеулерін шешу
64
ҚОРЫТЫНДЫ
77
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
78

КІРІСПЕ

Сандар теориясы курсында үздіксіз бөлшектер теориясының маңызы зор.
Басқа әдістер арқылы мұндай шешімдердің бар екені дәлелденіп жатқан кезде
үздіксіз бөлшектерді қолдана отырып есептердің дәл шешімдерін беруге
болады.
Үздіксіз бөлшектердің таза практикалық қолданылуымен қатар теориялық
маңызы да зор. Олардың әдістері негізінен алғанда сандар теориясында,
алгебрада, ықтималдықтар теориясында, тіпті, анализ бен механикада да
қолданылады.
Үздіксіз бөлшектер жайлы біраз деректерге тоқталатын болсам,
үздіксіз бөлшектер туралы деректер ХVІ ғасырдағы итальян математигі Р.
Бомбеллидің еңбектерінде кездеседі. Оны ХVІІ ғасырда ағылшын математигі Дж.
Валлис зерттеген. Үздіксіз бөлшектердің кейбір маңызды қасиеттерін Х.
Гюйгенс ашқан. Сонымен қатар ХVІІІ ғасырда үздіксіз бөлшектер теориясының
дамуына Л. Эйлер өзінің үлкен үлесін қосты. Ал П.Л. Марков пен А.А. Чебышев
ХІХ ғасырда үздіксіз бөлшектерді ортогональ көпмүшеліктерді зерттеу үшін
қолданды.
Сонымен қатар сандар теориясы пәнінің дамуында ұлы француз математигі
Жозе Луи Лагранж, Эварист Галуа еңбектерінің мәні зор. Сандар теориясында
Лагранж шектеусіз үздіксіз бөлшектер теориясының негізгі теорияларын берді
және олардың анықталмаған теңдеулерді шешуге қолданылуын көрсетті. Сонымен
қатар Лагранждың сандар теориясынан зерттеулері, нақты сандардың
арифметикалық қасиеттерін оқып-білуде үздіксіз бөлшектердің негізгі рөл
атқаратындығын көрсетті.
Э. Галуа теоремасының дәлелдеуі 1828 жылы жарыққа шықты. Сонымен
қатар Галуа таза периодты жіктелуде түйіндес квадрат иррационалдықтың дәл
сондай элементтері болады, бірақ ол элементтер кері тәртіппен орналасатынын
дәлелдеді.
Жұмысымның мақсаты: үздіксіз бөлшектер, соның ішінде шектеусіз
үздіксіз бөлшектердің теориялық маңызымен қатар практикалық қолданылуын
көрсету.
Диплом жұмысым мазмұн, кіріспе, екі тарау, қорытынды және әдебиеттер
тізімінен тұрады. Бірінші тарауда рационал және иррационал санның үздіксіз
бөлшекке жіктелуі, үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері, лайықты
бөлшектердің қасиеттерін қарастырдым.
Екінші тарауда шектеусіз үздіксіз бөлшектердің практикалық маңызын,
яғни қолданылу жақтарын ашып көрсеттім. Мұнда шектеусіз үздіксіз
бөлшектерді қолданып анықталмаған теңдеулерді, квадрат теңдеулерді және
Пелль теңдеулерін түрлі әдістермен шешуге болатынын, яғни шектеусіз
үздіксіз бөлшектердің қолданылу аймағы өте кең екенін көрсеттім.
Диплом жұмысымның көлемі 78 бет.

1 ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕР

1.1 Шектеусіз үздіксіз бөлшекке жіктеу

Үздіксіз бөлшектер кез келген заттық санды кез келген алдын ала
берілген дәлдікпен рационал бөлшектер арқылы өрнектеуге мүмкіндік тудырады,
бұл жағынан алғанда үздіксіз бөлшектердің маңызы ондық бөлшектердікінен кем
түспейді.

(1)
түріндегі өрнекті үздіксіз бөлшек дейді. Мұндағы сандары, -ден
басқасы, бүтін оң сандар. Олар үздіксіз бөлшектің толымсыз бөлінділері деп
аталады. Шектеулі толымсыз бөлінділері бар үздіксіз бөлшекті
шектеулі, ал шектеусіз толымсыз бөлінділері бар үздіксіз бөлшекті –
шектеусіз үздіксіз бөлшек деп атайды. Егерде толымсыз бөлінділердің мәндері
мен орналасу реті берілсе, онда үздіксіз бөлшек толық анықталған деп
саналады. Сондықтан толымсыз бөлінділі үздіксіз бөлшекті деп те
белгілейді. Олай болса,

Теорема. Кез келген рационал санды шектеулі, ал иррационал санды
шектеусіз үздіксіз бөлшек түрінде көрсетуге болады.
Дәлелдеуі. Шынында да, айталық рационал сан болсын, .
-ны -ге бөліп,
0,
(2)
екенін табамыз. Мұндағы саны -ден аспайтын ең үлкен бүтін сан,
яғни екені түсінікті.
(2) теңдікті

(3)
түрінде қайта жазып, -ні -ге бөлеміз:
,
(4)
мұндағы саны -ден аспайтын ең үлкен бүтін сан болады, яғни
.
(4) –ден мәнін тауып, (3) –ге қоямыз. Сонда

(5)
Енді -ді -ге бөлеміз:
,
мұндағы Бұдан -нің мәнін

тауып, (5)-ге қойсақ, мынау шығады:

(6)
Тағыда -ді -ге бөлеміз:

-нің мәнін (6) –ға қойып,
(7)
аламыз.
Бұдан әрі қатынасын тауып,

жоғарыдағы сияқты, (7)-ге қоямыз және осы процесті соза береміз. Мына

теңдіктері мен теңсіздіктері саны
шектеулі бөлулерден кейін, міндетті түрде алдыңғысы соңғысына қалдықсыз
бөлінетін қалдықтары шығатынын көрсетеді:
Олай болса, рационал санын көрсететін үздіксіз бөлшек саны шектеулі
толымсыз бөлінділерін ғана қамтиды, яғни

Айталық енді, - иррационал сан болсын. арқылы -дан
аспайтын ең үлкен бүтін санды белгілейік, яғни . Сонда
.
(8)
Мұнда иррационал сан болады, әйтпесе рационал сан болған болар
еді.
Айталық -нің бүтін бөлігі болсын, сонда
мұнда .
(9)
Дәл осы сияқты, егерде -нің бүтін бөлігі болса, онда
.
(10)
Жоғарыдағыдай, төмендегі теңдіктерді табамыз:
,
,
(11)
. . . . . . . . . . . . .
Мұндағы иррационал сандар

иррационал сан болғандықтан, сандардың бүтін бөлігін табу процесі
шектеулі бола алмайды.
(8), (9), (10) және (11) теңдіктерінен біртіндеп,

табамыз.
Сөйтіп, үшін шектеусіз үздіксіз бөлшек аламыз (8, 272-274б(.
иррационал санын үздіксіз бөлшекке жіктеуге мысалдар
қарастырайық.
Мысал 1. -дің жіктелуін табайық.
Шешуі. болсын. -дің бүтін бөлігін айырып алайық , ал
оның бөлшек бөлігін түрінде алайық, мұндағы . Сонда
. Осы процесті жалғастыра отырып мынаны аламыз.
,
,
.
Егер осы қадамда тоқтайтын болсақ, санын былай жазуға болады:

Екінші жағынан үшін жазылған формуладан екенін көруге
болады. Сондықтан болғандықтан, осы кезден бастап толымсыз
бөлінділер қайталанып отырады.
Ендеше санының үздіксіз бөлшекке жіктелуі

түрінде болады.
Мысал 2. - ті үздіксіз бөлшек түрінде көрсетейік.
Шешуі. -тің бүтін бөлігі –ге тең, демек

Ары қарай үздіксіз бөлшекке жіктеудегі толымсыз бөлінділері
шектеусіз қайталанып отырады. -тің үздіксіз бөлшекке жіктелуі

түрінде болады.
Мысал 3. жіктелуін табайық.
Шешуі.

Көріп отырғанымыздай толымсыз бөлінділері қайталанып отыр. Бұл
теңдіктер ақырында

береді.
санының үздіксіз бөлшекке жіктелуін қарастырайық.
Теорема.

Дәлелдеуі. -ті

қатардың қосындысы ретінде анықтайық.
Бұл қатар -тің кез келген мәнінде беттеседі; біз тек
интервалында жатқан -тің өзін қарастырамыз.

(12)
теңдігінің орындалатынын тексеру оңай.
Шынында да (12) теңдігінің сол жағындағы -ның коэффициенті

тең, ал (12) теңдігінің сол жағындағысы

тең, ендеше (12) дұрыс.
-ді арқылы белгілейік. Дербес жағдайда
,
,
болса, онда
.
болғанда (12) теңдігінен

(13)
аламыз.
оң болғандықтан (13) теңдігінен барлық үшін
яғни көрсетеді және болғанда (13)
қатынасының тізбегі

. . . . . . . . .
-дің үздіксіз бөлшекке жіктелуін береді:

(14)
Теорема.

(15)
яғни санының үздіксіз бөлшекке жіктелуіндегі элементтері
және түрінде жазылады.
Дәлелдеуі. (15) жіктелуінің оң жағының лайықты бөлшектерін
арқылы, ал (14) жіктелуінің лайықты бөлшектерін арқылы белгілейік.

орындалатынын дәлелдейік.
(15) үздіксіз бөлшегінің элементтерінің мәніне көңіл аудара отырып

жаза аламыз, одан

табамыз.
Осыған ұқсас қатынасты үшін де аламыз, сондықтан

(16)

(17)
бойынша индукциямен дәлелдейік.
(14) және (15)-ден есептейміз, ендеше (17) қатынасы және
үшін дұрыс.
(17) қатынасы -нен кіші болатын барлық номерлері үшін
дұрыс деп ұйғарайық, мұндағы , яғни көбінесе

онда (16) теңдігін қолдана отырып

аламыз.
Толық математикалық индукция принципіне байланысты (17) теңдігі
барлық үшін дұрыс.

теңдігі де дәл солай дәлелденеді.
және шамаларының қатынасының шегін қарастыра отырып мынаны
табамыз:
,
яғни
.
(15) үздіксіз бөлшегінің оң бөлігі беттесетіндіктен, және біз
аламыз, осының бәрі теореманың дәлелдері бола алады (1, 221-223б(.

1.2 Шектеусіз үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері

Шектеулі немесе шектеусіз үздіксіз бөлшек берілсін:
.
(1)
Бұл үздіксіз бөлшектің алғашқы толымсыз бөліндісінен құралған
шектеулі үздіксіз бөлшегін нөмірлі лайықты бөлшек деп атап,
деп белгілейді:
.
Дербес жағдайда, болса,

Шектеулі үздіксіз бөлшектің саны шектеулі лайықты бөлшегі, ал шектеусіз
үздіксіз бөлшектің саны шектеусіз лайықты бөлшегі болатыны түсінікті. (1)
үздіксіз бөлшек шектеусіз үздіксіз бөлшек болса, оның мәнін төмендегі
лайықты бөлшектер шегі ретінде қарастыруға болады:

(1) үздіксіз бөлшектің –ден бастап барлық келесі толымсыз
бөлінділерінен құралған

үздіксіз бөлшегін толық бөлінді деп атайды.
(1) үздіксіз бөлшекті толық бөлінді арқылы шектеулі үздіксіз
бөлшек түрінде көрсетуге болады:

мұндағы
.
Егерде шектеулі үздіксіз бөлшек болса, онда оның барлық толық
бөлінділері де шектеулі үздіксіз бөлшектер болады, ал шектеусіз
үздіксіз бөлшек болса, онда толық бөлінділері шектеусіз үздіксіз бөлшектер
болады.
мен -ның мәндерін кесте бойынша да есептеуге болады.
Кесте 1.1 Лайықты бөлшектерді есептеу




1.3 Лайықты бөлшектердің қасиеттері

Лайықты бөлшектердің қасиеттеріне тоқталайық.
Тетелес үш лайықты бөлшектің алымдары мен
бөлімдері өзара

(1)
қатысы арқылы байланысады.
Дәлелдеуі. Айталық, шектеулі немесе шектеусіз үздіксіз

бөлшек берілсін. Егер болса,
.
болғандықтан, Сөйтіп, болғанда (1) қатыс орынды болады.
Айталық (1) қатыс болғанда дұрыс болсын

(2)
Енді (1) қатыстың үшін орынды екендігін көрсетейік. Ол үшін
нөмірлі лайықты
бөлшекті алып, қосындысын деп белгілейік. Сонда біз
толымсыз бөлінділерден тұратын
,
үздіксіз бөлшекке келеміз. Бұл бөлшек үшін жоруымыз бойынша төмендегі қатыс
орынды:

Мұндағы -тың орнына оның мәні

қосындыны қойып,

табамыз, немесе (2) теңдікті алсақ,
,

шығады.
Егерде мен кез келген тетелес тұрған екі лайықты
бөлшек болса,онда

немесе

(3)
қатысы орынды.
Дәлелдеуі. Шынында да, мен лайықты бөлшектері үшін (3)
қатыстың орынды екендігін тікелей тексеру арқылы байқаймыз:
.
Айталық,
.
(4)
Онда -ге (1) қатыстан мен -нің мәнін тауып алып қойсақ:

немесе (4)-ге сүйенсек:
екенін табамыз. (3) қатыстың біріншісі екіншісін -ге бөлуден шығады.
Лайықты бөлшектер – қысқармайтын бөлшектер.
Дәлелдеуі. Шынында, айталық мен үздіксіз бөлшектің
көршілес екі лайықты бөлшектері болсын. Онда – қасиеттегі (3) қатыстың
екіншісі бойынша:
.
Бұл қатыстан лайықты бөлшегінің алымы мен бөлімі -нің
-ден басқа ортақ бөлгіші жоқ екендігі көрініп тұр.
Барлық сандары үшін

немесе

(5)
қатысы орынды.
Дәлелдеу үшін өрнегіне мен -нің (1)-дегі мәндерін
қояйық. Сонда

Бұдан (4)-ге сүйенсек:
.
Мұны -ге мүшелеп бөлсек, (5) қатыстың екіншісін аламыз.
Дәлеледенген (5) қатыстан жұп және тақ реті лайықты бөлшектердің
өзара орналасуына байланысты маңызды бір салдар шығады. - жұп сан
болсын дейік, . Онда (5) қатыстан:

немесе

шығады. Мұнда дей отырып, индексі жұп болып келген лайықты
бөлшектердің үдеме тізбек құрастыратынын байқаймыз:

(6)
Егерде - тақ сан болса, , онда (5)-ден:
,
.
Мұндағы -ге мәндер бере отырып, индекстері тақ сан болып келген
лайықты бөлшектер кеміме тізбек құрастырады деген қорытындыға келеміз:

(7)
Егерде (3)-дегі десек,
,
яғни

шығады. Сөйтіп, қандай болса да, тақ ретті лайықты бөлшек өзінің алдында
тұрған жұп ретті лайықты бөлшектен үлкен болады. Мысалы,

(8)
(6), (7) және (8) теңсіздіктерден әрбір тақ ретті лайықты бөлшек жұп
ретті лайықты бөлшектердің кез келгенінен үлкен болатындығын шығарып алу
оңай.
Сөйтіп,
Жұп ретті лайықты бөлшектер үдеме, ал тақ ретті лайықты
бөлшектер
кеміме тізбек құрастырады. Әрбір тақ ретті лайықты бөлшек кез келген жұп
ретті лайықты бөлшектен үлкен болады.
Дәлелдеуі. Ең алдымен жұп ретті лайықты бөлшектер үдеме, ал тақ ретті

лайықты бөлшектер кеміме тізбек құрастыратынын дәлелдейік. - қасиетке
байланысты
,
сондықтан жұп болғанда аламыз, ал тақ болғанда
аламыз.
Ендеше тетелес екі мен лайықты бөлшектің тақ ретті
лайықты бөлшегі жұп ретті лайықты бөлшегінен үлкен.
Үздіксіз бөлшек өзінің кез келген тақ ретті лайықты бөлшегінен
кем де, жұп ретті лайықты бөлшегінен артық болады.
Дәлелдеуі. Айталық

үздіксіз бөлшегі берілсін. Толық бөліндіні арқылы белгілейік:
.
Сонда -ні нөмірлі лайықты бөлшек ретінде қарастыруға болады.
Демек - қасиет бойынша

(9)
Мұндағы
(9)-дан лайықты бөлшегін шегеріп,

екенін табамыз, немесе (3)-ге сүйенсек

(10)
шығады.
Егер –жұп сан болса, , онда (10)-дан кез келген
үшін

(11)
аламыз, ал -тақ болса, , онда

(12)
(11) мен (12) теңсіздіктері
, ,
береді, яғни үздіксіз бөлшегінің мәні әрбір жұп ретті лайықты
бөлшектен артық, бірақ тақ ретті лайықты бөлшектен кем болады.
айырмасын табайық. Ол үшін -нің (9)-дағы мәнін
пайдаланайық. Сонда
. (13)
Егерде , , екенін ескерсек, (10) мен
(13) теңдіктерінен

(14)
теңсіздігіне келеміз. Бұл теңсіздік бізді қажетті қорытындыға әкеледі.
Үздіксіз бөлшектің мәні әрқашанда кез келген тетелес екі
лайықты
бөлшектің арасында болып, алдыңғысынан қарағанда келесісіне жақын жатады.
Дәлелдеуі. Теорема бойынша үздіксіз бөлшегі ,
лайықты
бөлшектерінің аралығында жатады, сондықтан да
.
Бірақ
,
болғандықтан, соңғы теңсіздік

түріне келеді.
Кез келген бүтін саны үшін

(15)
теңсіздігі орындалады.
Дәлелдеуі. лайықты бөлшегінің алымы мен бөлімі -нің
өсуіне байланысты өседі. Сонымен қатар, егер - шектеусіз үздіксіз
бөлшек болса, онда
,
(15) теңсіздікке қарағанда модулы -нен кем бола отырып,
қажетінше кішкене бола алатындығы шығады, яғни –нің -ке ұмтыла
өсуіне байланысты модулы -ге, -ның -ке ұмтылуына
қарағанда тезірек ұмтылады.

(16)
лайықты бөлшектердің тізбегі жинақты болса,

(17)
шектеусіз үздіксіз бөлшегі жинақты үздіксіз бөлшек деп аталады.
Жоғарыда дәлелденген үздіксіз бөлшектің қасиеттеріне сүйене отырып,
натурал мәнді толымсыз , бөлінділі (17) үздіксіз бөлшектің
жинақты болатындығын дәлелдеу қиын емес.
Шынында, (17) тізбектің бір ғана шекке ұмтылатындығын көрсетейік.
Ол үшін тізбектің жинақтылығы туралы Коши критерийін пайдаланайық.
Бұл критерий төмендегідей.
тізбегінің жинақты болуы, демек, шектеулі және бір ғана шекке
ұмтылуы үшін, алдын ала берілген оң санына сәйкес натурал сан
(жалпы алғанда -ға тәуелді) табылып, кез келген бүтін үшін

(18)
теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
(16) тізбек үшін (18) теңсіздіктің орындалатынын-орындалмайтынын
тексерейік:

Бұдан
(19)
Бірақ, бұл арада

Олай болса (19) теңсіздіктен мынаны табамыз:
.
Егерде берілсе, -нің мәні
,
(20)
теңсіздігінен анықталады.
Қандай да шектеулі берілсе де, бөлімі (20) теңсіздікті
қанағаттандыратын лайықты бөлшек табылады. Сөйтіп, берілген
мәніне сәйкес (16) тізбек үшін (18) теңсіздігін қанағаттандыратын
санын әрқашанда тауып алуға болады.
Осымен, (16) тізбектің, олай болса (17) шектеулі үздіксіз бөлшектің
жинақтылығы дәлелденді, демек,

теңдігінің заңдылығы көрсетілді.
Әрбір үшін

болады.
Дәлелдеуі. Шынында, болғандықтан,
.
Дәл осы сияқты:

Егер жұп сан болса, онда , ал егер тақ сан болса,
онда
. Бұл теореманың дұрыстығын дәлелдейді.
Әрбір үшін

(21)
теңсіздіктері орындалады.
Дәлелдеуі. Егер болса, онда біреуі жұп, ал екіншісі тақ
болатын және лайықты бөлшектері -ның әр түрлі жағында
жатады, сондықтан -дан олардың әрқайсысына дейінгі ара қашықтық осы
екі лайықты бөлшек арқылы пайда болған интервал ұзындығынан кіші болады,
яғни
.
Егер болса, онда .
Енді -ның лайықты бөлшегі болсын. Жоғарыда
дәлелдегеніміздей

.
үшін болады, сондықтан
.
Егер де - ең соңғы лайықты бөлшек болса, яғни болса, онда

.
(Лагранж теоремасы). Тетелес екі мен лайықты
бөлшектерінің арасында жататын, бөлімі -дан аспайтын болып
келген оң бөлшегі болмайды.
Дәлелдеуі. Айталық, бөлшегі мен арасында жатып,
болсын. Онда

айырмаларының таңбалары бірдей болатындығы түсінікті және

болады. - қасиет бойынша

Осыдан
,

шығады. Алайда

немесе

болғандықтан, соңғы теңсіздіктің екі жақ бөлігін де –ге көбейтіп

табамыз. Бұл теңсіздіктің оң жақ бөлігі оң және бүтін сан болғандықтан, 1-
ден артық болады. Олай болса .
(Вален теоремасы). Тетелес екі лайықты бөлшектерінің ең
болмағанда біреуі

теңдігін қанағаттандырады.
Мұндағы саны бөлшектерінің бірі.
Дәлелдеуі. Шынында, айталық

теңсіздіктері қатар орындалсын.
Онда

теңсіздігінен

алған болар едік, яғни
,
бұл болғанда орындалмайды.
(Лежандр теоремасы). қысқармайтын бөлшегінің заттық
санының үздіксіз бөлшекке жіктелуіндегі лайықты бөлшектердің біреуі болуы
үшін,

(22)
теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Шынында, айталық бөлшегі

үздіксіз бөлшегінің

лайықты бөлшегі болсын,

өрнегі –нің толық бөліндісі. Онда, бұрыннан

екендігі белгілі.
Бұдан

.
Өйткені
.
Осымен, (22) теңсіздіктің қажеттілігі дәлелденді. (22) теңсіздіктің
жеткіліктілігін дәлелдеу үшін, болғанда –ны жұп деп санап,
ал болғанда - тақ деп, әрқашан

(23)
орындалатынын алдын ала ескерте кетейік. Өйткені, болып және
- тақ болса, немесе болып, – жұп болса, онда

дей аламыз. Мұнда болғанда, жұп сан болады,
болса, тақ болады.
(22) теңсіздіктің жеткіліктілігін дәлелдеуге көше отырып, саны

теңдігінен анықталады деп жорылық. Бұдан

немесе екі жақ бөлігін де не көбейтсек,

(24)
болады. (23) пен ескерсек (-қасиет), (24)-тен

теңсіздігіне келеміз, немесе
.
Бұл соңғы теңсіздік орындалуы үшін, болғанда, шарты
орындалуы керек. Екінші жағынан, жеткілікті шарт бойынша (24)-тен

шығады. Бұл теңсіздік тек қана шарты орындалғанда ғана жүзеге
асады.
Ал бұл -дің -ның үздіксіз бөлшекке жіктелуіндегі толық бөліндісі
және
-нің -ға лайықты бөлшек екендігін көрсетеді.
Лежандр теоремасының орындалуының жеткілікті шартын көрсететін

теңсіздігі

теңсіздігі іске асса ғана орындалады, өйткені болғандықтан
әрқашан

Бұдан мынадай маңызды қорытындыға келеміз.
Егер заттық саны мен қысқармайтын бөлшегі үшін

орындалса, онда бөлшегі -ның үздіксіз бөлшекке жіктелуіндегі
лайықты бөлшектердің бірі болады.
Дәлелдеуі. болсын. бөлшегінің үздіксіз бөлшекке жіктелуін
қарастырайық:

арқылы осы жіктелудің лайықты бөлшегін белгілей отырып

(25)
санын аламыз. Онда

аламыз.
-ның үздіксіз бөлшекке жіктелуі

болсын. болғандықтан , және сондықтан

ұзындығын арқылы белгілеген кейбір үздіксіз бөлшекті көрсетеді.
- қасиетке байланысты

аламыз және осыған (25) өрнегіндегі -ның мәнін қоя отырып
ықшамдағаннан кейін шығады. Ендеше бөлшегі -ның үздіксіз
бөлшекке жіктелуіндегі лайықты бөлшектердің бірі болады.
Лайықты бөлшектердің кейбір қасиеттеріне мысалдар келтірейік:
Мысал 1. және лайықты бөлшектері –ның бір жағында
орналасатынына көз жеткізе отырып, орындалатынын дәләлдеңіз.
Дәлелдеуі. айырманың белгісі –нің жұптығына байланысты,
болғанда және болғанда аламыз.
бөлшегі мен -ның арасында жатқанына оңай көз жеткізуге болады.
Осыған байланысты
.
Ескерту. Бұл теңсіздік үшін төменгі шекараны береді, сондықтан
бізге таныс теңсіздігін толықтырады.
Мысал 2. Егер санының ретті лайықты бөлшегі болса, онда

немесе

теңсіздіктерінің тым болмағанда біреуінің орындалатынын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі. Ұйғарымның дұрыстығы

шығады. Алдыңғы қасиетте көрсеткеніміздей болғандықтан
-дің -ден де кіші болуы мүмкін. Осыдан барып

екендігі шығады.
Үздіксіз бөлшектер теориясында лайықты бөлшектермен қатар аралық
бөлшектердің де маңызы бар.
және – кез келген теріс емес бүтін сан болсын.

айырмасы

тең. Бұл теңдіктің -ның жұп немесе тақтығынан ғана тәуелді болатын
барлық үшін таңбасы бірдей болатынына оңай көз жеткізуге болады.
Осыдан барып
(26)
бөлшектері жұп болғанда үдеме, ал -ның тақ болуынан кеміме
тізбек құрастырады. Тізбектің шеткі мүшелері – жұптылығы бірдей лайықты
бөлшектер; олардың арасындағы мүшелерді (егер ондай мүшелер бар болса, яғни
егер ) біз аралық бөлшектер деп атаймыз. Лайықты
бөлшектердікіндей үлкен болмаса да, аралық бөлшектердің атқаратын рөлі аз
емес. Олардың өзара орналасу және тізбек құру заңдарын жете түсіну үшін екі
бөлшектің медиантасы ұғымын енгізейік. Нақты санға лайықты бөлшектер арқылы
жуықтауда кететін қателіктің жоғарғы шегі –қасиет арқылы анықталады.
Сол сияқты қателіктің төменгі шегін де көрсетуге болады. Ол үшін медианта
ұғымы қажет.
мен бөлшектерінің медиантасы деп бөлшегін айтады.
Лемма. Егер болса, онда әрқашан да

теңсіздіктері () орындалады.
Дәлелдеуі. Шынында да, жоруымыз бойынша , онда

Бұдан қажетті қорытындымыз шығады. (26) тізбектің әрбір аралық бөлшегі
өзінің алдындағысы мен –нің медиантасы болады. (26) тізбегінде біз
медианталардың түзілу тізбегінің жолымен қозғала отырып лайықты
бөлшегінен лайықты бөлшегіне қарай жылжимыз; соңында пайда болған
медианта -мен сәйкес келеді; бұл соңғы бөлшек мен
бөлшектерінің арасында орналасқан. Біз берілген үздіксіз бөлшектің
мәні - мен арасында жататынын және екеуінің де реті жұп
немесе тақ болатын мен бөлшектері -ның екі жағында
орналасқанын білеміз. Ендеше (26) қатары санының бір жағында
орналасқан, бөлшегі келесі жағында орналасқан. Көбінесе, және
бөлшектері әр кезде де -ның әр түрлі жағында орналасады.
Ескерту. Үздіксіз бөлшектің шамасы осы бөлшек арқылы түзілген кез
келген лайықты бөлшек пен медианта арасында орналасады.
Бұл ескерту және лайықты бөлшектерін біле отырып, бірақ
элементін білмей тұра келесі лайықты бөлшегін алуға болатын қарапайым
тәсілді береді. Ең алдымен берілген екі бөлшектің медианталарын құрамыз,
одан кейін осы медианта мен бөлшегінің медиантасын және ары қарай
осылай жылжи отырып, яғни жаңадан пайда болған медианта мен
бөлшегінің медиантасын таба отырып, бұл медианталардың басында -ға
қарай жақындайтынын көреміз. -ның бөлшегі жағында жатқан
қатардың соңғы медиантасы бөлшегіне тең болады. Ендеше осы
медианталардың арасынан бөлшегі табылып, бөлшегі екеуі -
ның бір жағында жататынын білеміз.
Енді біз келесі медиантаның -ның басқа жағында жататынын көрсетуіміз
керек, бірақ келесі медианта болады және шышында да жоғарыдағы
ескерту бойынша -ның басқа жағында жатады (12,21-24б(.
нақты санына рационал бөлшек арқылы жуықтау мүмкіндігінің
заңдылығын Дирихле теоремасы сипаттайды. Алдымен иррационал санға рационал
сандардың жәрдемімен жуықтау мүмкіндігінің принциптері туралы Дирихле
теоремасын қарастырайық:
Теорема (Дирихле теоремасы). Кез келген және нақты
сандары үшін

орындалатындай рационал бөлшегі табылады.
Дәлелдеуі. -ның үздіксіз бөлшекке жіктелгендегі лайықты бөлшегін
арқылы белгілейік.

тізбегі шектеулі немесе шектеусіз болуы мүмкін, бірақ , ал
болғандықтан орындалатындай -нің ең үлкен нөмірін табуға болады.

Теореманың шартын қанағаттандыратын бөлшегі ретінде -ді
алуға болады, яғни . Шынында да екі мүмкін жағдайды қарастырайық.
1) бөлшектің ең соңғы бөлімі емес, яғни болатындай
бар болады.
Онда үшін лайықты бөлшектің -қасиетіне байланысты
және
аламыз.
2) - -ның жіктелуіндегі соңғы лайықты бөлшектің бөлімі
емес, яғни . Онда үшін
,
аламыз.
Мысал 1. -ға дейінгі дәлдіктегі -нің -ке рационал
жуықтауын табайық.
Шешуі. Бұл есепті шешу үшін, ең алдымен, Дирихле теоремасына сәйкес
бөлшектердің арасынан бөлімдері -нан кіші болатын бөлшекті табуға
болатынын анық көреміз.
-ті үздіксіз бөлшекке жіктесек
,
яғни .
Лайықты бөлшектерін табайық.
Кесте 1.2 Лайықты бөлшектер табу




-нан кіші болатын ең үлкен бөлім -ке тең екені көрініп тұр.
Берілген бөлшек -ке тең; ендеше
.
Мысал 2. -ға дейінгі дәлдіктегі -нің -ға жуықтауын
анықтайық.
Шешуі. Ең алдымен -ті үздіксіз бөлшекке жіктей отырып

табамыз. Лайықты бөлшектер кестесінен
Кесте 1.3 Лайықты бөлшектер табу




болғанда (5) теңдігі

түріне келеді.

квадрат теңдеуін шешсек, түбірі болады. Іздеп отырған .
Аралас периодты үздіксіз бөлшектің мәнін

табу үшін ең алдымен таза периодты бөлшек

-тің мәнін тауып, одан кейін

қатынасынан –ны тауып аламыз.
Мысал 2.
үздіксіз бөлшегінің мәнін табыңыз.
Шешуі. .
Ең алдымен -ті арқылы белгілейік. Онда , мұндағы

үздіксіз бөлшегін көрсетеді. Бұл жерден екеніне оңай көз жеткізуге
болады. Ол мынадай квадрат теңдеуге келеді:

Квадрат теңдеуді шешетін болсақ . Кестені пайдалана отырып
мен -ді есептейміз.

Кесте 1.5 Лайықты бөлшектер табу




Лайықты бөлшектердің қасиетіндегі формула бойынша

табамыз. Ендеше .
Теорема (Лагранж теоремасы). Егер нақты сан квадрат иррационалдық
болса ғана, оны периодты үздіксіз бөлшек түрінде көрсетуге болады.
Айталық, - таза периодты бөлшек болсын және оның периоды
делік.
үздіксіз бөлшегінің толық бөліндісін арқылы белгілесек,
.
Бірақ болғандықтан ,

(2)
Егер

болса, онда (2)-ден

табылады, немесе ортақ бөлімнен құтқара отырып,

квадрат теңдеуін табамыз. - мұның түбірі.
Егер аралас периодты болып, периоды болса, онда

мұндағы

таза периодты бөлшек. Егер

болса, онда

(3)
(3) теңдіктің біріншісінен мәнін

тауып алып, екіншісіне қойсақ, бойынша

квадрат теңдеуі шығады.
Мұндағы

Теореманың бірінші жартысы дәлелденді. Енді жеткіліктілігін
дәлелдейік.
Айталық - бүтін рационал коэффициентті

(4)
квадрат теңдеуінің түбірі болсын. -ны үздіксіз бөлшекке жіктейік,
айталық оның жіктелуі болсын. арқылы -ның толық бөліндісін
белгілесек,
,
,

(5)
мұндағы

-ның (5)-дегі мәнін (4)-ге қоя отырып,

табамыз, немесе

(6)
Мұндағы - бүтін рационал сандар:
(7)
теңдеулері бойынша анықталады. Бұдан екендігін көру қиын емес. (6)
қатысты пайдалана отырып,
(8)
теңдігінің орынды екенін тексеру оңай. Сонымен, кез келген бүтін сан
болып келгенде толық бөлінідісі, дискриминанты бастапқы (4)
теңдеудің дискриминанты -ге тең, бүтін рационал коэффициентті (6)
квадрат теңдеуді қанағаттандырады. Енді -ның шектеусіз өсуіне
байланысты (6) квадрат теңдеудің коэфффициенттері және -ның
шектелген болып қалатындығын көрсетуіміз керек, яғни -ға тәуелсіз
және сандарын әрқашан да

теңсіздігін қанағаттандыратындай етіп табуға болады.
Шынында, - қасиетке сүйенсек,
,
мен аралығында жататын санды арқылы белгілесек,
;

(9)
екенін табамыз.
(7) теңдіктің біріншісіне (9)-дағы -дің мәнін қойсақ,

Бірақ бұл арада және – кез келген сан болғанда, (9)-ны
ескерсек,

Дәл осы сияқты, теңдігінен

Олай болса, (6) теңдеудің коэффициенттері мен шектелген, демек
(8) –ден коэффициентінің шектелгендігі шығады.
Түбірлері саны шектелмеген

толық бөлінділері болып келген (6) квадрат теңдеудің саны шектеулі
болатындығы дәлелденген және коэффициенттерінің
шектелгендігінен шығады.
Олай болса, міндетті түрде бүтін екі сан табылып, мен
(6) типті бір ғана квадрат теңдеуді қанағаттандырады. Демек,
Егер
,

болса, онда теңдігінен

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сонымен, периоды болып келген периодты, олай болса
санының өзі де периодты болады,
.
Біз бұрын квадрат иррационалдықтың периодты жіктелуіне мысалдар
қарастырдық. Кез келген квадрат иррационалдық үшін біраз қадамнан кейін біз
екі толымсыз бөліндінің сәйкес келгенін көреміз.
Лагранж теоремасы сол арқылы бізге элементтердің периодтық тізбегін табуға
мүмкіндік береді (9, 158-160б(.
Мысал. үздіксіз бөлшекке жіктейік.
Шешуі. . Біртіндеп
... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Бөлшектердің жұмыс сызбалары және эскиздері
Нақты сандарды үздіксіз бөлшектермен жуықтау
Зарядталған бөлшектердің электромагниттік өрісте қозғалысы
«Адамзатты үздіксіз толғандырар Арал»
Екі дененің есебі және бөлшектердің ыдырау теориясы
Параметрлерді сырттай реттейтін үздіксіз культивиреу
Үздіксіз – компрессолы газлифтілі әдіс
Мыстың касиеттері мен қолданылуы
Қоғам - үздіксіз дамитын жүйе
Үздіксіз суытқыш реті (цепь)
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь