Жай сандардан құрылған арифметикалық прогрессиялар
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...2
1 Арифметикалық прогрессия
1.1 Арифметикалық прогрессия анықтамасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1.2 Арифметикалық прогрессия қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
2 Жай сандардан құрылған арифметикалық прогрессиялар.
2.1 Прогрессиядағы жай саны туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12 2.2 Жай сандар санын есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
2.3 Асимптотикалық формулалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21 Пайданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
1 Арифметикалық прогрессия
1.1 Арифметикалық прогрессия анықтамасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1.2 Арифметикалық прогрессия қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
2 Жай сандардан құрылған арифметикалық прогрессиялар.
2.1 Прогрессиядағы жай саны туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12 2.2 Жай сандар санын есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
2.3 Асимптотикалық формулалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21 Пайданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
Зерттеу жұмысы арифметикалық прогресия ұғымына, жай сандар ұғымына негізделген, сондықтан осы ұғымдардын анықтамасын еске түсірейік. Жай сандар деп тек бірге және өзіне бөлінетін оң бүтін сандарды айтамыз. Арифметикалық прогрессия–дегеніміз натурал қатардың шектеусіз ең бір қарапайым бөлімше тізбегі.
Зерттеу жұмысының өзектілігі. Мектеп математикасында оқушылар арифметикалық прогрессияның қарапайым түрінен бастап күрделі түріне дейін оқып танысады. Солардың ішінде ерекшелері де бар. Оларды жете меңгеру, олардың жағдайларын егжей-тегжейлі білу, шеше білу болашақ мұғалімдерге өте қажетті мәліметтер. Сондықтан бұл зерртеу жұмысының тақырыбының өзектілігі сөзсіз. Зерттеу жұмысының негізгі мақсаты жай сандардан құралған арифметикалық прогрессияны оқып-зерттеу болып табылады. Математика ғылымына жай сандар туралы ұғым қашан енгені тарихта белгісіз. Курстық жұмысымның мазмұнында арифметикалық прогрессия анықтамасы, Дирехле функциясы мен қасиеттері, сонымен қатар жай сандар саны туралы,жай сандарды есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы және асимпототикалық формулалар қарастырылады.
1837 жылы Дирехле арифметикалық прогрессияда шексіз көп жай сандар бар болатындығын дәлелдеген.
Қорынды бөлімде курстық жұмысқа қосымша шолу мен,соңында әдебиеттер тізімі келтірілген.
Зерттеу жұмысының өзектілігі. Мектеп математикасында оқушылар арифметикалық прогрессияның қарапайым түрінен бастап күрделі түріне дейін оқып танысады. Солардың ішінде ерекшелері де бар. Оларды жете меңгеру, олардың жағдайларын егжей-тегжейлі білу, шеше білу болашақ мұғалімдерге өте қажетті мәліметтер. Сондықтан бұл зерртеу жұмысының тақырыбының өзектілігі сөзсіз. Зерттеу жұмысының негізгі мақсаты жай сандардан құралған арифметикалық прогрессияны оқып-зерттеу болып табылады. Математика ғылымына жай сандар туралы ұғым қашан енгені тарихта белгісіз. Курстық жұмысымның мазмұнында арифметикалық прогрессия анықтамасы, Дирехле функциясы мен қасиеттері, сонымен қатар жай сандар саны туралы,жай сандарды есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы және асимпототикалық формулалар қарастырылады.
1837 жылы Дирехле арифметикалық прогрессияда шексіз көп жай сандар бар болатындығын дәлелдеген.
Қорынды бөлімде курстық жұмысқа қосымша шолу мен,соңында әдебиеттер тізімі келтірілген.
1. Шидловский А.Б. Диофантовы приближения и транцендентые числа: Учеб. Пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1982г. 225-228 бб.
2. Оразбаев Б.М. Сандар теориясы. Педагогикалық институт арналған оқулық-Алматы : «Мектеп» баспасы, 1970ж.
3. Асенова А.Е. , Асен Е.Қ. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж. 100-108 бб.
4. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Изд-во «Просвещение», 1966г. 201-213 бб.
5. Қ. Жетпісов, Қ. Сексенбаев, А.О.Башеева. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж. 120-127 бб.
6. Гельфонд А.О., Линник Ю.В.Элементарные методы в аналитической теории чисел. – М.: Физматкиз, 1962г. 301-310 бб.
7. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г.
Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г. 50-60 бб.
8. Избранные труды. – М.: Наука, 1973г.
Транценденные и алгебрические числа. – М.: Гостехиздат, 1952. 250-271 бб.
9. Сушкевич А.К. Теория чисел. – Харьков: Изд-во Харьковского Гос. Ун-та, 1954г. 180-194 бб.
10. Хуа Ло-ген. Тригонометриялық қосындылар әдісі және оның сандар теориясында қолданылуы.
11. Неміс тілінен аударма А.М.Полосуев. Чуданова Н.Г. «Мир» баспасы,1964, 52-57 бб.
12. Крендалл Р., Померанс К. Жай сандар: Криптографиялық және есептеу аспктілері. Ағылшын тілінен аударылған. 2011ж. 31-36 бб.
13. Виноградов И.М. Сандар теориясының негіздері. Ижевск, РХД, 2003ж.13 б.
14. Серпинский В. Жай сандар туралы біз не білеміз және не білмейміз. Г.ИФ–М.Л. Москва, 1963 ж. 48-77 бб.
15. Акылбаев М.И., Уштенов Е.Р. Жай сандар туралы жаңа теорема. 255-258 бб.
16. «Қолданбалы және фундаментальді зерттеулердің Халықаралық журналы» Москва 2014 ж. №1 саны, 2 бөлім.
2. Оразбаев Б.М. Сандар теориясы. Педагогикалық институт арналған оқулық-Алматы : «Мектеп» баспасы, 1970ж.
3. Асенова А.Е. , Асен Е.Қ. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж. 100-108 бб.
4. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Изд-во «Просвещение», 1966г. 201-213 бб.
5. Қ. Жетпісов, Қ. Сексенбаев, А.О.Башеева. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж. 120-127 бб.
6. Гельфонд А.О., Линник Ю.В.Элементарные методы в аналитической теории чисел. – М.: Физматкиз, 1962г. 301-310 бб.
7. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г.
Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г. 50-60 бб.
8. Избранные труды. – М.: Наука, 1973г.
Транценденные и алгебрические числа. – М.: Гостехиздат, 1952. 250-271 бб.
9. Сушкевич А.К. Теория чисел. – Харьков: Изд-во Харьковского Гос. Ун-та, 1954г. 180-194 бб.
10. Хуа Ло-ген. Тригонометриялық қосындылар әдісі және оның сандар теориясында қолданылуы.
11. Неміс тілінен аударма А.М.Полосуев. Чуданова Н.Г. «Мир» баспасы,1964, 52-57 бб.
12. Крендалл Р., Померанс К. Жай сандар: Криптографиялық және есептеу аспктілері. Ағылшын тілінен аударылған. 2011ж. 31-36 бб.
13. Виноградов И.М. Сандар теориясының негіздері. Ижевск, РХД, 2003ж.13 б.
14. Серпинский В. Жай сандар туралы біз не білеміз және не білмейміз. Г.ИФ–М.Л. Москва, 1963 ж. 48-77 бб.
15. Акылбаев М.И., Уштенов Е.Р. Жай сандар туралы жаңа теорема. 255-258 бб.
16. «Қолданбалы және фундаментальді зерттеулердің Халықаралық журналы» Москва 2014 ж. №1 саны, 2 бөлім.
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігі М. Өтемісұлы атындағы Батыс Қазақстан мемлекеттік университеті
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Жай сандардан құрылған арифметикалық прогрессиялар
Орындаған: 04302 топ студенті Кунисбаев Б.С.
Жетекшісі: жаратылыстану ғылымдарының магистрі Маутеева С.М.
Орал 2016
Мазмұны Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .2
1 Арифметикалық прогрессия
1.1 Арифметикалық прогрессия анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..3
1.2 Арифметикалық прогрессия қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .5
2 Жай сандардан құрылған арифметикалық прогрессиялар.
2.1 Прогрессиядағы жай саны туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ...12 2.2 Жай сандар санын есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
2.3 Асимптотикалық формулалар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21 Пайданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
Кіріспе
Зерттеу жұмысы арифметикалық прогресия ұғымына, жай сандар ұғымына негізделген, сондықтан осы ұғымдардын анықтамасын еске түсірейік. Жай сандар деп тек бірге және өзіне бөлінетін оң бүтін сандарды айтамыз. Арифметикалық прогрессия - дегеніміз натурал қатардың шектеусіз ең бір қарапайым бөлімше тізбегі.
Зерттеу жұмысының өзектілігі. Мектеп математикасында оқушылар арифметикалық прогрессияның қарапайым түрінен бастап күрделі түріне дейін оқып танысады. Солардың ішінде ерекшелері де бар. Оларды жете меңгеру, олардың жағдайларын егжей-тегжейлі білу, шеше білу болашақ мұғалімдерге өте қажетті мәліметтер. Сондықтан бұл зерртеу жұмысының тақырыбының өзектілігі сөзсіз. Зерттеу жұмысының негізгі мақсаты жай сандардан құралған арифметикалық прогрессияны оқып-зерттеу болып табылады. Математика ғылымына жай сандар туралы ұғым қашан енгені тарихта белгісіз. Курстық жұмысымның мазмұнында арифметикалық прогрессия анықтамасы, Дирехле функциясы мен қасиеттері, сонымен қатар жай сандар саны туралы,жай сандарды есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы және асимпототикалық формулалар қарастырылады.
1837 жылы Дирехле арифметикалық прогрессияда шексіз көп жай сандар бар болатындығын дәлелдеген.
Қорынды бөлімде курстық жұмысқа қосымша шолу мен,соңында әдебиеттер тізімі келтірілген.
1 Арифметикалық прогрессия
1.1 Арифметикалық прогрессия анықтамасы
1-реттік арифметикалық қатар -- әрбір келесі саны (2-саннан бастап) алдыңғысына бір тұрақты d санын қосқанда шығатын сандар тізбегі.
a1, a1 + d, a1 +2d, ... , a1 +(n+1)d, ... (1.1.1)
d саны арифметикалық прогрессияның айырмасы деп аталады. Сонымен әрбір арифметикалық прогрессия мына түрде жазылады:
an= an-1 + d (1.1.2 )
Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесі
an = a1 + (n-1)d ∀n =1 (1.1.3)
формуласымен өрнектеледі. Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің тағы бір қасиеті мынадай: . Егер d0 болса, онда арифметикалық прогрессия өспелі, егер d0 болса, онда кемімелі болады. Арифметикалық прогрессияның ең қарапайым мысалына натурал сандар тізбегі жатады. Арифметикалық прогрессия мүшелерінің саны шектелген не шектелмеген болуы мүмкін. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы
Sn = i=1nai = a1+an 12n = 2a1+ dn-12 n (1.1.4)
формуласы арқылы есептеледі.
Бірінші мүшесі a1, екінші мүшесі a2 = a1 + d, үшінші мүшесі a3 = a2 + d ,..., n-ші мүшесі an = an -1 + d болатын сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады.
Мұндағы d -тұрақты сан.
Мысалдар:
a) 1, 2, 3,... сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды.
Бұнда a1=1,a2=2,a3=3,d=1. Шынымен де a1=1,a2=a1+1=1+1=2,a3=a2+1=2+1=3.
Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы an=an-1+1.
b) 4, 7, 10, 13,... сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды.
Бұнда a1=4,a2=7,a3=10,a4=13,d=3. Шынымен де a1=4,a2=a1+3=4+3=7, a3=a2+3=7+3=10, a4=a3+3=10+3=13.
Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы an=an-1+3.
1.2 Арифметикалық прогрессия қасиеттері
Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қасиеттері:
a) an = a1+d·(n-1) (1.2.1)
b) an= an-1+an+12 (1.2.2)
c) an= an-k+an+k2 , kn (n != 1) (1.2.3)
Sn символымен арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын белгілейік. Яғни
Sn = a1+a2+...+an (1.2.4)
Мысалы:
Жоғарыдағы 4, 7, 10, 13,... арифметикалық прогрессия үшін S1=4, S2=4+7=11, S3=4+7+10=21.
Тұжырым.
Sn= a1+an2 n (1.2.5)
немесе
Sn = 2a1+ d(n-1)2 n (1.2.6)
Арифметикалық прогрессия өзінше қызықты екенін байқауға болады, себебі кез-келген 9 тізбектей алынған натурал сандар қатарынан құрылған арифметикалық прогрессиядан сиқырлы шаршы құруға болады.
Шындығында а, а+d, a+2d;...,a+8d. Мұндағы а және d натурал сандар. Прогрессияның бұл мүшелерін сиқырлы шаршыға мына заңдылықпен орналастыруға болады.
a+3d
a+8d
a+d
a+2d
a+4d
a+6d
a+7d
a
a+5d
11
26
5
8
14
20
23
2
1
Мысалы, бірінші мүшесі 2-ге, айырмасы 3-ке тең арифметикалық прогрессия жазайық:
2;8;11;17;20;23;26
осы 9 санды сиқырлы шаршыға 2- сурет көмегімен орналастырайық. Түсінікті болу үшін, мұндағы
1)a=2
2)a+2d=5
3)a+2d=8
4)a+3d=11
5)a+4d=17
6)a+5d=17
7)a+6d=20
8)a+7d=23
9) a+8d=26
Бұл шаршыдағы С=42. М.Горднердің математические досуги (М...Мир 1972) атты атақты кітабында жай сандар қатарынан құралған сиқырлы шаршы кеңінен қарастырылған.Осы кітаптың 420 бетінде соңғы цифрлары 1,3 және 7 цифрларымен аяқталатын 8 жай саннан,мұндағы 1 саны жай сан емес екені белгілі сиқырлы шаршы мына түрде құрылған:
67
1
43
13
37
61
31
73
7
С=111.Бұл шаршыда орналасу заңдылығы мына түрде:
a=1
a+d=7
a+2d=13
a+3d=31
a+4d=37
a+5d=43
a+6d=61
a+7d=67
a+8d=73
С =3a+12d
a+7d
a
a+5d
a+2d
a+4d
a+6d
a+3d
a+8d
a+d
Келесі жай сандар қатары мына түрде болса: 11,29,47,71,89,107,131,149,167.
71
167
29
47
89
131
149
11
107
С=267
Соңғы цифрлары 1,3, және 7 санарымен аяқталатын 9 жай сандар қатарынан сиқырлы шаршы құрастыру өз бетінше бір ғанибет
151,181,211,571,601,631,991,1021,10 51,
a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,a+5d,a+6d,a+7d ,a+8d.
a+3d
a+8d
a+d
a+2d
a+4d
a+6d
a+7d
a
a+5d
571
1051
181
211
601
991
1021
151
631
С=1803
2.67,97,127,307,337,367,547,577,607
307
607
97
127
337
547
577
67
367
С=1011
Бірыңғай жай сандар қатарынан сиқырлы шаршы құру оңай шаруа емес,алайда оны арифметикалық прогрессия көмегімен жеңілдетуге болатынын байқадық.
Осылайша 16 санды 4*4 шаршыға орналастырып көрейік.
1-ден 16-ға дейін натурал сандар қатарын қарастырайық:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,16
бұл сандарды 4*4 төркөзге орналастыру үшін тағы да арифметикалық прогрессияға жүгінейік.
a+13d
a+6d
a
a+11d
a+8d
a+3d
a+5d
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
a+14d
a+7d
a+12d
a+10d
a+d
a+2d
a+9d
a+15d
a+4d
Мұндағы С= 4a+30d
14
7
1
12
9
4
6
15
8
13
11
2
3
10
16
5
Мұндағы С= 34
2) a1=3 d=2 арифметикалық прогрессияның 16 мүшесінен құралған тізбекті торкөзге орналастырайық.
25
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
15
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
3
29
31
9
13
19
5
27
23
17
11
21
33
7
a1=3
a+d=5
a+2d=7
a+3d=9
a+4d=11
a+5d=13
a+6d=15
a+7d=17
d1=64
d2=80
a+8d=19
a+9d=21
a+10d=23
a+11d=25
a+12d=27
a+13d=29
a+14d=31
a+15d=33
С=72
Арифметикалық прогрессия көмегімен 18 шеңберге 1 ден 18 ге дейінгі натурал сандар қатарын орналастыруға болады.
a+4d
A+2d
a+14d
a=1, a+6d=7, a+12d=13
a+d=2, a+7d=8, a+13d=14
a+2d=3, a+8d=9, a+14d=15
a+3d=4, a+9d=10, a+15d=16
a+4d=5, a+10d=11, a+16d=17
a+5d=6, a+11d=12, a+17d=18
2- мысал
6=a 12=a+6d 18=a+12d
7=a+d 13=a+7d 19=a+13d
8=a+2d 14=a+8d 20=a+14d
9=a+3d 15=a+9d 21=a+15d
10=a+4d 16=a+10d 22=a+16d
11=a+5d 17=a+11d 23=a+17d
2 Жай сандардан құрылған арифметикалық прогрессиялар
2.1 Прогрессиядағы жай саны туралы.
Меншікті бөлгіштері болмайтын бүтін Р санын жай сан деп атайды. Жай санның қашан да екі бөлгіші болады: бір және сол саннын өзі. Жай саннан өзгеше, яғни меншікті бөлгіштері болатын сандардың әрқайсысын да құрама сандар деп атаймыз.
Жай санның мынадай қасиеті бар:
Егер екі немесе бірнеше бүтін сандардың көбейтіндісі жай санға бөлінсе,онда бұл санға көбейткіштердің кемінде біреуі бөлінеді.
Жай сандар қанша деген мәселеге келсек, бұл сұраққа Евклидтің мынадай бір теоремасы жауап береді.
Евклид теоремасы. Натурал сандар қатарында шектеусіз көп жай сандар болады.
Евклид теоремасын тағы былай тұжырымдауға болады. Айырымы бірге тең шектеусіз арифметикалық прогрессия құрамында сансыз көп жай сандар болады.
Мысалы айырмасы 4-ке тең прогрессияны қарастырайық:
3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43 ...
Прогрессия мүшелерінің арасында жай сандар :
3,7,11,19,23,31,43 ...
кездесіп отыр.Осы алынған прогрессияда қанша жай саннын бар екенін және х-тің көрсетілген шекаралығында олардың қанша болатынын анықтау қызықты еді.1837 жылы Дирехле (Л.Дирехле-неміс математигі 1805-1859) бірінші мүшесі мен айырмасы өзара жай сандар болатын кез келген арифметикалық прогрессия үшін мынадай фактіні дәлелдеп берді.
Дирехле теоремасы.Егер прогрессияның айырмасы k және бірінші мүшесі l өзара жай натурал сандар болса (𝑙,k)꞊1,онда арифметикалық прогрессиясында шектеусіз көп жай сандар бар болады.
(𝑙,k)꞊1 шарты маңызды шарт,өйткені (𝑙,k)꞊ d 1 болғанда арифметикалық прогрессияның барлық мүшелері d - ге бөлінеді және прогрессияда көп дегенде бір жай сан болады.
Ал, берілген х шамасынан аспайтын жай PI(х,k,𝑙) сандарының 𝑙,𝑙+k,𝑙+2k+3k, ... . прогрессиядағы санын анықтау мәселесі қиынға соқты.Бұл жөнінде айтарлықтай нәтиже тапқан адам Н.Г.Чудаков болды.Академик И.М.Винаградовтың қуатты аналитикалық әдісін қолданып Н.Г.Чудаков PI(х,k,𝑙) үшін асимптотикалық формула құрды.
PI(х,k,𝑙)꞊1φ(k) 2хdtInt + О (хе ¯с(In х)μ )
Мұндағы с 0.- тұрақты сан.μ ꞊1121 ε,ε0 кез келген сан φ(k)-Эйлер функциясы.Асимпотикалық формуладағы қалдық мүшені анықтау мәселесі Дирехле L-функциясының нөлдерінің кризистік жолақта орналасу мәселесімен тығыз байланыстысөйтіп,ақырында,сол Риманың жалпыланған гипотезасына келіп тіреледі.
2.2 Жай сандар санын есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы
Дирехле қатары деп аталатын n=1infinityαⁿn шектеусіз қатарды қарастырайық. Мұнда S-комплекс сан және αn коэффициенттері де комплекс сандары болып табылады. Егер αn = X (n) десек онда,
n=1infinityх (n)n2,S=σ+it ,
болады. Мұндағы X (n) - сандық функция, Дирехле сипаты деп аталады.
X (n) =1
Дирехле қатары σ ˃1 жарты жазықтықта жатқан әрбір шектеулі облыста абсолют және бірқалыпты жинақты болады және де регуляр аналитикалық L(s; X) функциясын өрнектейді. Мұнымен бірге L(s; X) функциясы тұтас комплекс жазықтыққа аналитикалық жолмен созылуы мүмкін. Біз X түрліше сипаттары үшін L(s; X) әр түрлі функцияларды аламыз. Мұнда егер X!= X0 болса онда L(s; X) функциясының комплекс жазықтықтың шектеулі бөлігінде ерекше нүктелері болмайды,ол-бүтін функция.Егер X=X0 болса онда L(s; X) функциясының S=1 нүктесінде жалғыз ғана жай полюсі болады.
Риманның дзете-функциясын Дирехле қатарының дербес жағдайы ретінде қарастыруға болады.Егер X0 (n) - бас сипат,яғни k-мен өзара жай болатын барлық натурал n үшін X0 (n)=1 болса ,онда X0 сипатқа сәйкес L(s; X0 ) Дирехле функциясының Риманның ξ(s ) дзете-функциясынан айырмашылығы тек тұрақты көбейткіште ғана болады,өйткені
L(s; X0 )=р(1-1р2) ξ(s )
мұнда Р шамасы k санының барлық жай бөлгіштерін қабылдайды.
Lфункцияларының қасиеттерін қарастыру барысында мына екі жағдайды бақылау қиын емес.
1.Х сипаты қашан бас сипат Х1
2. қашан X!= X1 болады.
Теорема.егер σ˃1 болса,онда кез келген γ модулі бойынша Х үшін төмендегі жіктелуі
L(s; X0 )=рк(1-хрр2)-1= р(1-х(р)р2) -1
орындалды.Бұл тұжырым мына теоремадан шығады.
Айталық,ʄ(n)-барлық натурал n үшін анықталған нақты немесе комплексті мультипликатты функция болсынғяғни (n,m)= және ʄ(1)=1 болғанда
ʄ(n,m)= ʄ(n) ʄ(m).Егер nʄ˂infinity
болса онда
р1+ʄ(р)+ ʄ(р2)+...=nʄ(n)
Егер рk болғанда ʄ(р)=0 және рk болғанда ʄ(р)=х(р)р2 деп ұйғарсақ және мына арақатынастан
1+х(р)р2+ х(р2)р2ⁿ+ ...=1+х(р)р2+х(р)р2ⁿ+...=(1-х(р)рⁿ) -1
дербес жағдай ретінде мына формула орынды
L(s; X0 )=р(1-1р2)-1 =рk(1-1р ε) ξ(s) (σ˃1)
Мысалы k=2 болғанда тек X0 негізгі сипат бар болады.Сондықтан
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Жай сандардан құрылған арифметикалық прогрессиялар
Орындаған: 04302 топ студенті Кунисбаев Б.С.
Жетекшісі: жаратылыстану ғылымдарының магистрі Маутеева С.М.
Орал 2016
Мазмұны Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .2
1 Арифметикалық прогрессия
1.1 Арифметикалық прогрессия анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..3
1.2 Арифметикалық прогрессия қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .5
2 Жай сандардан құрылған арифметикалық прогрессиялар.
2.1 Прогрессиядағы жай саны туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ...12 2.2 Жай сандар санын есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
2.3 Асимптотикалық формулалар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21 Пайданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
Кіріспе
Зерттеу жұмысы арифметикалық прогресия ұғымына, жай сандар ұғымына негізделген, сондықтан осы ұғымдардын анықтамасын еске түсірейік. Жай сандар деп тек бірге және өзіне бөлінетін оң бүтін сандарды айтамыз. Арифметикалық прогрессия - дегеніміз натурал қатардың шектеусіз ең бір қарапайым бөлімше тізбегі.
Зерттеу жұмысының өзектілігі. Мектеп математикасында оқушылар арифметикалық прогрессияның қарапайым түрінен бастап күрделі түріне дейін оқып танысады. Солардың ішінде ерекшелері де бар. Оларды жете меңгеру, олардың жағдайларын егжей-тегжейлі білу, шеше білу болашақ мұғалімдерге өте қажетті мәліметтер. Сондықтан бұл зерртеу жұмысының тақырыбының өзектілігі сөзсіз. Зерттеу жұмысының негізгі мақсаты жай сандардан құралған арифметикалық прогрессияны оқып-зерттеу болып табылады. Математика ғылымына жай сандар туралы ұғым қашан енгені тарихта белгісіз. Курстық жұмысымның мазмұнында арифметикалық прогрессия анықтамасы, Дирехле функциясы мен қасиеттері, сонымен қатар жай сандар саны туралы,жай сандарды есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы және асимпототикалық формулалар қарастырылады.
1837 жылы Дирехле арифметикалық прогрессияда шексіз көп жай сандар бар болатындығын дәлелдеген.
Қорынды бөлімде курстық жұмысқа қосымша шолу мен,соңында әдебиеттер тізімі келтірілген.
1 Арифметикалық прогрессия
1.1 Арифметикалық прогрессия анықтамасы
1-реттік арифметикалық қатар -- әрбір келесі саны (2-саннан бастап) алдыңғысына бір тұрақты d санын қосқанда шығатын сандар тізбегі.
a1, a1 + d, a1 +2d, ... , a1 +(n+1)d, ... (1.1.1)
d саны арифметикалық прогрессияның айырмасы деп аталады. Сонымен әрбір арифметикалық прогрессия мына түрде жазылады:
an= an-1 + d (1.1.2 )
Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесі
an = a1 + (n-1)d ∀n =1 (1.1.3)
формуласымен өрнектеледі. Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің тағы бір қасиеті мынадай: . Егер d0 болса, онда арифметикалық прогрессия өспелі, егер d0 болса, онда кемімелі болады. Арифметикалық прогрессияның ең қарапайым мысалына натурал сандар тізбегі жатады. Арифметикалық прогрессия мүшелерінің саны шектелген не шектелмеген болуы мүмкін. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы
Sn = i=1nai = a1+an 12n = 2a1+ dn-12 n (1.1.4)
формуласы арқылы есептеледі.
Бірінші мүшесі a1, екінші мүшесі a2 = a1 + d, үшінші мүшесі a3 = a2 + d ,..., n-ші мүшесі an = an -1 + d болатын сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады.
Мұндағы d -тұрақты сан.
Мысалдар:
a) 1, 2, 3,... сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды.
Бұнда a1=1,a2=2,a3=3,d=1. Шынымен де a1=1,a2=a1+1=1+1=2,a3=a2+1=2+1=3.
Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы an=an-1+1.
b) 4, 7, 10, 13,... сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды.
Бұнда a1=4,a2=7,a3=10,a4=13,d=3. Шынымен де a1=4,a2=a1+3=4+3=7, a3=a2+3=7+3=10, a4=a3+3=10+3=13.
Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы an=an-1+3.
1.2 Арифметикалық прогрессия қасиеттері
Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қасиеттері:
a) an = a1+d·(n-1) (1.2.1)
b) an= an-1+an+12 (1.2.2)
c) an= an-k+an+k2 , kn (n != 1) (1.2.3)
Sn символымен арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын белгілейік. Яғни
Sn = a1+a2+...+an (1.2.4)
Мысалы:
Жоғарыдағы 4, 7, 10, 13,... арифметикалық прогрессия үшін S1=4, S2=4+7=11, S3=4+7+10=21.
Тұжырым.
Sn= a1+an2 n (1.2.5)
немесе
Sn = 2a1+ d(n-1)2 n (1.2.6)
Арифметикалық прогрессия өзінше қызықты екенін байқауға болады, себебі кез-келген 9 тізбектей алынған натурал сандар қатарынан құрылған арифметикалық прогрессиядан сиқырлы шаршы құруға болады.
Шындығында а, а+d, a+2d;...,a+8d. Мұндағы а және d натурал сандар. Прогрессияның бұл мүшелерін сиқырлы шаршыға мына заңдылықпен орналастыруға болады.
a+3d
a+8d
a+d
a+2d
a+4d
a+6d
a+7d
a
a+5d
11
26
5
8
14
20
23
2
1
Мысалы, бірінші мүшесі 2-ге, айырмасы 3-ке тең арифметикалық прогрессия жазайық:
2;8;11;17;20;23;26
осы 9 санды сиқырлы шаршыға 2- сурет көмегімен орналастырайық. Түсінікті болу үшін, мұндағы
1)a=2
2)a+2d=5
3)a+2d=8
4)a+3d=11
5)a+4d=17
6)a+5d=17
7)a+6d=20
8)a+7d=23
9) a+8d=26
Бұл шаршыдағы С=42. М.Горднердің математические досуги (М...Мир 1972) атты атақты кітабында жай сандар қатарынан құралған сиқырлы шаршы кеңінен қарастырылған.Осы кітаптың 420 бетінде соңғы цифрлары 1,3 және 7 цифрларымен аяқталатын 8 жай саннан,мұндағы 1 саны жай сан емес екені белгілі сиқырлы шаршы мына түрде құрылған:
67
1
43
13
37
61
31
73
7
С=111.Бұл шаршыда орналасу заңдылығы мына түрде:
a=1
a+d=7
a+2d=13
a+3d=31
a+4d=37
a+5d=43
a+6d=61
a+7d=67
a+8d=73
С =3a+12d
a+7d
a
a+5d
a+2d
a+4d
a+6d
a+3d
a+8d
a+d
Келесі жай сандар қатары мына түрде болса: 11,29,47,71,89,107,131,149,167.
71
167
29
47
89
131
149
11
107
С=267
Соңғы цифрлары 1,3, және 7 санарымен аяқталатын 9 жай сандар қатарынан сиқырлы шаршы құрастыру өз бетінше бір ғанибет
151,181,211,571,601,631,991,1021,10 51,
a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,a+5d,a+6d,a+7d ,a+8d.
a+3d
a+8d
a+d
a+2d
a+4d
a+6d
a+7d
a
a+5d
571
1051
181
211
601
991
1021
151
631
С=1803
2.67,97,127,307,337,367,547,577,607
307
607
97
127
337
547
577
67
367
С=1011
Бірыңғай жай сандар қатарынан сиқырлы шаршы құру оңай шаруа емес,алайда оны арифметикалық прогрессия көмегімен жеңілдетуге болатынын байқадық.
Осылайша 16 санды 4*4 шаршыға орналастырып көрейік.
1-ден 16-ға дейін натурал сандар қатарын қарастырайық:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,16
бұл сандарды 4*4 төркөзге орналастыру үшін тағы да арифметикалық прогрессияға жүгінейік.
a+13d
a+6d
a
a+11d
a+8d
a+3d
a+5d
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
a+14d
a+7d
a+12d
a+10d
a+d
a+2d
a+9d
a+15d
a+4d
Мұндағы С= 4a+30d
14
7
1
12
9
4
6
15
8
13
11
2
3
10
16
5
Мұндағы С= 34
2) a1=3 d=2 арифметикалық прогрессияның 16 мүшесінен құралған тізбекті торкөзге орналастырайық.
25
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
15
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
3
29
31
9
13
19
5
27
23
17
11
21
33
7
a1=3
a+d=5
a+2d=7
a+3d=9
a+4d=11
a+5d=13
a+6d=15
a+7d=17
d1=64
d2=80
a+8d=19
a+9d=21
a+10d=23
a+11d=25
a+12d=27
a+13d=29
a+14d=31
a+15d=33
С=72
Арифметикалық прогрессия көмегімен 18 шеңберге 1 ден 18 ге дейінгі натурал сандар қатарын орналастыруға болады.
a+4d
A+2d
a+14d
a=1, a+6d=7, a+12d=13
a+d=2, a+7d=8, a+13d=14
a+2d=3, a+8d=9, a+14d=15
a+3d=4, a+9d=10, a+15d=16
a+4d=5, a+10d=11, a+16d=17
a+5d=6, a+11d=12, a+17d=18
2- мысал
6=a 12=a+6d 18=a+12d
7=a+d 13=a+7d 19=a+13d
8=a+2d 14=a+8d 20=a+14d
9=a+3d 15=a+9d 21=a+15d
10=a+4d 16=a+10d 22=a+16d
11=a+5d 17=a+11d 23=a+17d
2 Жай сандардан құрылған арифметикалық прогрессиялар
2.1 Прогрессиядағы жай саны туралы.
Меншікті бөлгіштері болмайтын бүтін Р санын жай сан деп атайды. Жай санның қашан да екі бөлгіші болады: бір және сол саннын өзі. Жай саннан өзгеше, яғни меншікті бөлгіштері болатын сандардың әрқайсысын да құрама сандар деп атаймыз.
Жай санның мынадай қасиеті бар:
Егер екі немесе бірнеше бүтін сандардың көбейтіндісі жай санға бөлінсе,онда бұл санға көбейткіштердің кемінде біреуі бөлінеді.
Жай сандар қанша деген мәселеге келсек, бұл сұраққа Евклидтің мынадай бір теоремасы жауап береді.
Евклид теоремасы. Натурал сандар қатарында шектеусіз көп жай сандар болады.
Евклид теоремасын тағы былай тұжырымдауға болады. Айырымы бірге тең шектеусіз арифметикалық прогрессия құрамында сансыз көп жай сандар болады.
Мысалы айырмасы 4-ке тең прогрессияны қарастырайық:
3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43 ...
Прогрессия мүшелерінің арасында жай сандар :
3,7,11,19,23,31,43 ...
кездесіп отыр.Осы алынған прогрессияда қанша жай саннын бар екенін және х-тің көрсетілген шекаралығында олардың қанша болатынын анықтау қызықты еді.1837 жылы Дирехле (Л.Дирехле-неміс математигі 1805-1859) бірінші мүшесі мен айырмасы өзара жай сандар болатын кез келген арифметикалық прогрессия үшін мынадай фактіні дәлелдеп берді.
Дирехле теоремасы.Егер прогрессияның айырмасы k және бірінші мүшесі l өзара жай натурал сандар болса (𝑙,k)꞊1,онда арифметикалық прогрессиясында шектеусіз көп жай сандар бар болады.
(𝑙,k)꞊1 шарты маңызды шарт,өйткені (𝑙,k)꞊ d 1 болғанда арифметикалық прогрессияның барлық мүшелері d - ге бөлінеді және прогрессияда көп дегенде бір жай сан болады.
Ал, берілген х шамасынан аспайтын жай PI(х,k,𝑙) сандарының 𝑙,𝑙+k,𝑙+2k+3k, ... . прогрессиядағы санын анықтау мәселесі қиынға соқты.Бұл жөнінде айтарлықтай нәтиже тапқан адам Н.Г.Чудаков болды.Академик И.М.Винаградовтың қуатты аналитикалық әдісін қолданып Н.Г.Чудаков PI(х,k,𝑙) үшін асимптотикалық формула құрды.
PI(х,k,𝑙)꞊1φ(k) 2хdtInt + О (хе ¯с(In х)μ )
Мұндағы с 0.- тұрақты сан.μ ꞊1121 ε,ε0 кез келген сан φ(k)-Эйлер функциясы.Асимпотикалық формуладағы қалдық мүшені анықтау мәселесі Дирехле L-функциясының нөлдерінің кризистік жолақта орналасу мәселесімен тығыз байланыстысөйтіп,ақырында,сол Риманың жалпыланған гипотезасына келіп тіреледі.
2.2 Жай сандар санын есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы
Дирехле қатары деп аталатын n=1infinityαⁿn шектеусіз қатарды қарастырайық. Мұнда S-комплекс сан және αn коэффициенттері де комплекс сандары болып табылады. Егер αn = X (n) десек онда,
n=1infinityх (n)n2,S=σ+it ,
болады. Мұндағы X (n) - сандық функция, Дирехле сипаты деп аталады.
X (n) =1
Дирехле қатары σ ˃1 жарты жазықтықта жатқан әрбір шектеулі облыста абсолют және бірқалыпты жинақты болады және де регуляр аналитикалық L(s; X) функциясын өрнектейді. Мұнымен бірге L(s; X) функциясы тұтас комплекс жазықтыққа аналитикалық жолмен созылуы мүмкін. Біз X түрліше сипаттары үшін L(s; X) әр түрлі функцияларды аламыз. Мұнда егер X!= X0 болса онда L(s; X) функциясының комплекс жазықтықтың шектеулі бөлігінде ерекше нүктелері болмайды,ол-бүтін функция.Егер X=X0 болса онда L(s; X) функциясының S=1 нүктесінде жалғыз ғана жай полюсі болады.
Риманның дзете-функциясын Дирехле қатарының дербес жағдайы ретінде қарастыруға болады.Егер X0 (n) - бас сипат,яғни k-мен өзара жай болатын барлық натурал n үшін X0 (n)=1 болса ,онда X0 сипатқа сәйкес L(s; X0 ) Дирехле функциясының Риманның ξ(s ) дзете-функциясынан айырмашылығы тек тұрақты көбейткіште ғана болады,өйткені
L(s; X0 )=р(1-1р2) ξ(s )
мұнда Р шамасы k санының барлық жай бөлгіштерін қабылдайды.
Lфункцияларының қасиеттерін қарастыру барысында мына екі жағдайды бақылау қиын емес.
1.Х сипаты қашан бас сипат Х1
2. қашан X!= X1 болады.
Теорема.егер σ˃1 болса,онда кез келген γ модулі бойынша Х үшін төмендегі жіктелуі
L(s; X0 )=рк(1-хрр2)-1= р(1-х(р)р2) -1
орындалды.Бұл тұжырым мына теоремадан шығады.
Айталық,ʄ(n)-барлық натурал n үшін анықталған нақты немесе комплексті мультипликатты функция болсынғяғни (n,m)= және ʄ(1)=1 болғанда
ʄ(n,m)= ʄ(n) ʄ(m).Егер nʄ˂infinity
болса онда
р1+ʄ(р)+ ʄ(р2)+...=nʄ(n)
Егер рk болғанда ʄ(р)=0 және рk болғанда ʄ(р)=х(р)р2 деп ұйғарсақ және мына арақатынастан
1+х(р)р2+ х(р2)р2ⁿ+ ...=1+х(р)р2+х(р)р2ⁿ+...=(1-х(р)рⁿ) -1
дербес жағдай ретінде мына формула орынды
L(s; X0 )=р(1-1р2)-1 =рk(1-1р ε) ξ(s) (σ˃1)
Мысалы k=2 болғанда тек X0 негізгі сипат бар болады.Сондықтан
... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz