Векторлар және олардың есептер шығаруда қолданылуы

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ 3

1. ВЕКТОР ҰҒЫМЫНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ СИПАТТАЛУЫ 6
1.1 Вектор ұғымы және оның шығу тарихы 6
1.2 Векторларға амалдар қолдану 11
1.3 Векторларды жіктеу тәсілдері 23

2 ВЕКТОРЛАРДЫ ЕСЕПТЕР ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНУ 26
2.1 Алгебраның кейбір есептерін шығаруда векторды қолдану 26
2.2 Планиметрияның кейбір есептерін шығаруға векторды қолдану 34

ҚОРЫТЫНДЫ 52

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 54

ҚОСЫМША А 57

ҚОСЫМША Ә 59
КІРІСПЕ

Қоғамдағы қазіргі кездегі қайта құрулар, экономиканы дамытудағы жаңа стратегиялық бағдарлар, қоғамның ашықтығы, оның жедел ақпараттануы мен қарқынды дамуы білім беруге қойылатын талаптарды түбегейлі өзгертті.
Әлемнің жетекші елдерінің көпшілігінің білім беру, білім берудің мақсатын, мазмұны мен технологияларын оның нәтижесіне қарап бағалайтын болды.
Жас ұрпақты жан-жақты жетілген, ақыл-парасаты, өресі биік, өз Отанын сүйетін азамат етіп тәрбиелеудегі басты тұлға – ұстаз. Қазіргі таңда жемісті еңбегімізбен шығармашылық ізденісіміз арқылы ғана реалды жаңару жолына шыға аламыз.
Математиканы оқытудағы негізгі міндет – математикалық білім, білік жүйелерін нақты және сапалы меңгеруді қамтамасыз ету қабілеттерін дамыту мен анықтау т.с.с.
Тәуелсіз Қазақстанымыздың экономикасы өркендеп, өндіріс орындарыныың жандануына байланысты математика, физика-техника салаларының ғалымдарына, білікті мамандарына деген сұраныс, қазіргі кезеңде, күрт артып отыр.
Елімізге қажет болып отырған мамандарды бүгінгі күні мектеп партасында отырған математика, физика пәндеріне бейімділік танытқан оқушылардан тәрбиелеп, өсіріп шығаруға болатыны түсінікті. Бұл тұрғыда математика бағытында білім беріп жатқан мектептер мен сыныптардың маңызы ерекше. Өйткені, олардың түлектерінің басым көпшілігі өз білімдерін жоғарғы оқу орындарында математика, техника салалары бойынша жалғастыратыны белгілі.
Біздің жоғары оқу орындарымыздың физика-математика және техника салалары бойынша мамандар дайындайтын факультеттерінің талапты да талантты студенттерінің бірқатары математикадан тереңдете білім беретін, аталмыш сыныптардың түлектері. Сондықтан, математика бағытында білім беріп жатқан сыныптарға тиісті көңіл бөлу – уақыт талабы.
Бұл тұрғыда оқушыларға мектепте оқытылатын математика салаларын, соның ішінде, техникалық ғылымдардың негізі болып табылатын векторлар ұғымы неғұрлым тереңірек білгізіп, меңгерту керек.
Ғылымның бұл саласын дамытуға үлес қосқандар қатарына К.Вексель (1745-1818), К.Гаусс (1777-1855), Л.Лоуренс (1901-1958) т.с.с. ғалымдарды атауға болады.
Осыған орай біз өз бітіру зерттеу жұмысымыздың тақырыбын «Векторлар және олардың есептер шығаруда қолданылуы» деп алуды жөн көрдік.
Мектеп математика курсында векторлар тақырыбына 15 сағат берілген. 10 сағат теория, 5 сағат практикаға берілген.
Зерттеудің мақсаты: негізгі мектепте математика курсындағы есептерді шығаруда векторларды қолдану ерекшеліктері мен тиімділігін анықтау.
Зерттеудің объектісі: оқушы танымын жетілдіретін оқу үрдісі.
Зерттеудің пәні: негізгі мектепте математика курсында есеп шығаруда танылатын оқушы іс-әрекеті.
Зерттеудің болжамы: егер математика курсында геометриялық есептерді шығаруда оқушылар векторлық әдісті жете меңгерсе, онда олардың математикалық білім, білік дағдылары жетіле түсер еді.
Зерттеудің мақсаты мен болжамына сәйкес төмендегідей міндеттер туындайды:
1. математика курсында оқытылатын векторлар ұғымының шығу тарихына шолу жасау.
2. векторлар ұғымы туралы негізгі түсініктердің мәнін ашу.
3. вектордың түрлеріне тоқталу.
4. векторларға қолданылатын негізгі амалдарды көрсету.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов, средняя школа, М, Просвещение, 1992
2. Атанасян Л.С. и другие. Геометрия для 9-10 классов средней школы.М, Просвещение, 1994.
3. Колмогоров А.И. Агебра и начала анализа. М, Просвещение, 1994.
4. Галицкий Углубленное изучение алгебры и начала анализа. М, П, 1997.
5. Гусев В.А.,Мативненко В.И. Практика по элементарной математике. М, Просвещение, 1991.
6. 3000 конкурсных задач по математике. М, Айриа пресс, 1999.
7. Зив Б.Р., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и начала анализа для 9-10 класов, С-П, 2000.
8. Қаңлыбаев Қ. Жазықтықты векторларда қолданылатын есептер., математика, №2, 11 бет.
9. Жақсыбекова К.А. Векторлық және тензорлық оқу құрал. Алматы, Қазақ университеті, 2003, 104 бет.
10. И.Қазиев Решение алгебрических задач с помощью скалярного произведения, Математика в школе, журнал, 17 стр, №4
11. И.М.Фихтенгольц Математикалық анализ негіздері, Мектеп, Алматы, 1972 жыл, 75 бет.
12. Т.Ахметқалиев Математикалық талдау, Алматы, 1997 жыл, 262 бет.
13. А.П. Ершова Самостоятельная работа по геометрии и алгебры. Москва «Илекса!, 2000, 172 бет.
14. Б.Т. з и в, Дидактические материалы геометрий. Москва, 98, 70 бет.
15. Бүкібаева К. Векторларды есептерді шығаруда қолдану, журнал, ИФМ 27 бет, №4, 1993 жыл.
Қ.Р. Білім туралы заң баптары бойынша түсінік негіздері, 75 бет.
16. М.Асқарова Векторлар және оларға амалдар қолдану.Алматы.1992 жыл 123 бет.
17. Аяпбергенова С. Аналитикалық геоетрия Алматы,1971 жыл.
18. Әмірбаев М Аналитикалықгеометрия 1.2 бөлімдері, Алматы,1963-1966жыл.
19. Жәутіков О.А. Матаматикалық анализ Алматы,1961 жыл 45 бет.
20. Ибраикулов Ә.М Жоғарғы математикадан жаттығулар мен өзінді тапсырмалар Алматы,ҚАЗҰТУ 200 жыл 132 бет.
21. Ибрашев Х.И, Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы 1.2-том Алматывы,1963-1970 жыл.
22. Клетеник Д .В. Сборник задач по аналитической геометрий. Москва :наука,1983-244 бет.
23. Хасеинов К.А. Математика канондары Алматы,2004-56бет.
24. Глейзер Н.С Ұлы матеатика курсы Алматы 1995 жыл.
25. Бекер Б.Н. Применеие векторов Москва,Шкоа пресс-120 стр.
26. Тасболатов Р.М Планиметрия есептері Алматы,Ы.Алтынсарин атындағы білім ордасы,2000 жыл 133-бет.
27. Просолов В.В. Задачи планиетрий Москва, Наука 1986 год, 1-часть 37стр, 2-часть1991 год 240 бет.
28. Гусятиков В,Г. Векторая алгебра в примерах и задачах. Москва, Высшая школа 1985 год,232 стр.
29. Колмагоров А.Э Матеатик все историй рзвития Москв,ук 1991 год 204стр.
30. Ермалаева .Н.А. Новые курсы математики средей школы. Москва,Просвещеия 1985 год.
Погорелов А.В ГЕометрия 7-11 сыып Алматы, Рауа, 1997-384
        
        ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ
БІТІРУ ЖҰМЫСЫ
Тақырыбы: ВЕКТОРЛАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ЕСЕПТЕР ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНЫЛУЫ
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 3
1. ВЕКТОР ҰҒЫМЫНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ ... ... ... ... және оның шығу ... ... ... амалдар қолдану 11
1.3 Векторларды жіктеу тәсілдері 23
2 ВЕКТОРЛАРДЫ ЕСЕПТЕР ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНУ ... ... ... ... шығаруда векторды қолдану 26
2.2 Планиметрияның кейбір есептерін ... ... ... 34
ҚОРЫТЫНДЫ 52
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 54
ҚОСЫМША А 57
ҚОСЫМША Ә ... ... ... ... ... экономиканы дамытудағы жаңа
стратегиялық бағдарлар, қоғамның ашықтығы, оның жедел ақпараттануы мен
қарқынды дамуы білім беруге ... ... ... өзгертті.
Әлемнің жетекші елдерінің көпшілігінің білім беру, білім берудің
мақсатын, ... мен ... оның ... қарап бағалайтын
болды.
Жас ұрпақты жан-жақты жетілген, ақыл-парасаты, өресі биік, өз ... ... етіп ... ... ...... Қазіргі таңда
жемісті еңбегімізбен шығармашылық ізденісіміз арқылы ғана ... ... шыға ... ... ... ...... білім, білік
жүйелерін нақты және сапалы меңгеруді қамтамасыз ету қабілеттерін дамыту
мен анықтау т.с.с.
Тәуелсіз Қазақстанымыздың экономикасы өркендеп, өндіріс орындарыныың
жандануына байланысты ... ... ... ғалымдарына,
білікті мамандарына деген сұраныс, қазіргі кезеңде, күрт артып отыр.
Елімізге қажет болып отырған мамандарды ... күні ... ... ... физика пәндеріне ... ... ... ... шығаруға болатыны түсінікті. Бұл тұрғыда
математика бағытында білім ... ... ... мен ... ... ... олардың түлектерінің басым көпшілігі өз білімдерін жоғарғы
оқу орындарында ... ... ... ... ... жоғары оқу орындарымыздың физика-математика және техника
салалары бойынша мамандар дайындайтын факультеттерінің талапты да ... ... ... ... ... ... ... түлектері. Сондықтан, математика бағытында білім беріп жатқан
сыныптарға тиісті көңіл бөлу – ... ... ... ... ... ... ... салаларын,
соның ішінде, техникалық ғылымдардың негізі болып табылатын ... ... ... ... ... ... бұл саласын дамытуға үлес қосқандар қатарына К.Вексель (1745-
1818), ... ... ... (1901-1958) т.с.с. ғалымдарды атауға
болады.
Осыған орай біз өз бітіру зерттеу жұмысымыздың ... ... ... ... шығаруда қолданылуы» деп алуды жөн көрдік.
Мектеп математика курсында векторлар тақырыбына 15 сағат берілген. 10
сағат теория, 5 ... ... ... ... ... ... математика курсындағы есептерді
шығаруда векторларды қолдану ерекшеліктері мен тиімділігін анықтау.
Зерттеудің ... ... ... жетілдіретін оқу үрдісі.
Зерттеудің пәні: негізгі мектепте математика курсында есеп шығаруда
танылатын оқушы іс-әрекеті.
Зерттеудің болжамы: егер математика курсында ... ... ... ... ... жете ... онда ... білім, білік дағдылары жетіле түсер еді.
Зерттеудің мақсаты мен болжамына сәйкес төмендегідей ... ... ... ... векторлар ұғымының шығу тарихына
шолу жасау.
2. векторлар ұғымы туралы негізгі түсініктердің мәнін ... ... ... ... ... ... ... амалдарды көрсету.
5. негізгі мектеп математика курсындағы есептерді шығаруда
векторларды қолданудың тиімділігін ... ... ... ... екі негізгі ... ... ... ... және ... ... ... ҰҒЫМЫНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ СИПАТТАЛУЫ
1.1 Вектор ұғымы және оның шығу тарихы
Қазіргі заман математикасының негізгі де ілгерлі ұғымдарының бірі ... ... ... Бұл ұғым ... ... алгебра, сыөызқтық
программалау, функционалдық анализ және физиканың толып жатқан салаларында
қолданылады. Векторлар теориялық ... ... ... ... теориясында, қолданбалы математикада, химияда,
экономикада табысты қолданыс тауып отыр.
Векторлық аппарат қазіргі заман математикасында қолданумен шектелмей,
жоғары оқу ... ... ... математикалық пәндердің
оқулықтарында лайықты орын алды. Векеторлық аппаатың атқаратын ... ...... ... векторлардың өздеріне қажетті
тарауларын толығымен қамтиды. Дифференциалдық геометрия, ... ... ... ... ... ... ... кезде экономикалық есептердің көпшілігі векторлық аппарат
көмегімен шешіледі. Компьютерді дифференциалдық ... ... ... ... ... ... ... негізінде
баяндалады.
Қазіргі кезде экономикалық есептердің көпшілігі ... ... ... ... ... ... кескінін жасау үшін
векторлық графика пайдаланылады. ... ... ... толып жатқан практикалық мәселелер шешіледі. Мәселенки, өніріс
орнының ең тиімді жұмыс кестесін жасау, жүк тасымалдаудың ең ... ... ... матаны, қаңылтырды, тағы да сол сияқты заттарды кесіп-пішудің
үнемді әдісін табу – міне осы сияқты мәселелер. ... ... ... ... ... векторлардың көмегімен қарастырылады.
Қазіргі кезде өндіріс орнының қуатын вектор түрінде өрнектеу аса ... ... ... ... өте ... есептеулер математиканың жас салаларның бірі екендігіне
қарамастан, өзінің маңыздылығының арқасында, ... ... ... ... елу – алпыс жыл шамасында көптеген елдерде ... ... оның ... ... болып, орнығып алды.
Векторлар мектептерімізде оқытыла батағанына ширек ғасырдан артық
уақыт болды. Бірақ, ... ... ... ... ... ... ... векторларды оқушыларға саналы да
терең меңгерту үшін, олардың векторларды оқып-білуге деген ынтасын арттыру
үшін тарихимағлұматтар бере ... ... ... сөзсіз, Математика
пінінің мұғалімдері векторлық есептеулердің жасалу тарихын, векторлардың
қолдануларын, ғылым және техника ... ... ... ... ... ескере келе, мұғалімдердің пайдалануына арнайы
дайындалған, векторлық есептеулердің жасалу тарихының ... ... ... ... ғылымдардың қауырт дамуына байланысты он сегізінші ғасырдың
өзінде-ақ есептеу аппаратын жетілдірудің қажет екендігі ... ... ... ... ... ... ... қажеттілікті қанағаттандыра
алмайтын болып шықты. Теориялық физиканың жедел де аса ... ... ... он ... ғасырдың басныда математикалық аппаратты
жетілдіруге деген талап күшейе түсті. ... ... сай жаңа ... ... ... ... он тоғызыншы ғасырдың екінші жартысында
веторлық есептеулер дүниеге келді де, үлкен ... тез ... ... ... бір бөлігі болып қалыптасты.
Векторлық есептеулерді жасауға көптеген елдердің ... ... ... ... мен ... ... қыруар үлес
қосты. Векторлық есептеулердің жасы ... ... ... көзі сонау рете
заманда өмір сүрген данышпан Аристотельдің ... ... ... табылды. Аристотель осы еңбегінде бір нүктеге түсірілген және де
өзара бұрыш жасай бағытталған екі күштің ... ... ... ... ... ... етіп қояды. Оның жиырма төртінші мәселесінің мазмұны
төмендегідей:
«Ромбтың қабырғасының бойымен бірі-бірімен қарама-қарсы бағытта ... ... ... қозғалып келеді. Ромбтың қабырғасы дәл сондай
жылдамдықпен қарсы жатқан қабырғаға қарай ... ... ... ... Әр ... ромб ... ... қоғалады”.
Сұрақ: бірдей жылдамдықпен қозғалып келе жатқан нүктелер бірдей
уақытта неге әртүрлі жол ... ... ... қозғалыстарды (орын ауыстыруларды) қосуға параллелограмм ережесін
қолданғандығы.
- ... ... ... ... ... біз қолданып
жүрген түріне өте жақын келгендігі анық байқалады.
Он жетінші ғасырда Аристотельдің “қозғалыстар параллелограмы”
қайтадан жанданды. Галилео Галилей (1564-1642) күш және оның ... ... ... ... ... ... Оның
еңбектеріне қарап, Галилейдің “теңәсерлі күш”, “қорытқы жылдамдық”
ұғымдарына өте жақын, қапталдас келгенін көруге ... ... ... ... атақты Исаак Ньютон (1643-1727) қозғалыстарды қосуға алғаш рет
“параллелограмм” ережесін пайдаланды. Неміс математигі Готфрид Вильгельм
Лейбниц (1646-1716) “геометриялық есептеулер” ... ... оны әрі ... ... алгебраның негізін қалаушы Джон Валлис (1616-
1703) механикаға геометриялық аппарат жасап беруде жаңа әрі аса ірі қадам
жасады. Ол екі, үш ... тең ... және ... күшін табуға, қорытқы
жылдамдықты табуға қолданылатын ... ... ... ... Джон ... болды. Күштерді, жылдамдықтарды қосу, жіктеу; векторды
санға көбейту амалдарын алғаш берген де осы ... ... , Джон ... ... ... ... ... оқымысты болды.
Он сегізінші ғасырда ... мен ... ... ... ... Леонард Эйлер (1707-1783) мен Лагранждың
арқасында механика математиканың жаң бір ... ... ... Тек қана он ... ... ... кезінде Монждың (1746-
1816) геометрия ... ... ... ... ... ... ... Әсіресе кинематикадағы қозғалыстарды зерттеуге
геометриялық әдіс аса ... ... ... Л. ... бұл бағытта аса табысты
еңбек етті. Ол “Қозғалыстың геометриялық теориясын” ... ... ... қосудың “көпбұрыш ережесін” және қазір пайдаланып жүрген
векторлық есептеудің символдық аппаратын жасап шықты.
Множ-Понселе мектебінің ... ... Баре де ... (1797-1886)
серпімділік теориясындағы, гидродинамикадағы, термодинамикадағы, ... ... ... ... мен ... ... аса
танымал тұлға еді. Сен-Венан векторлық есептеулер саласында да ... ... ... қолданылатын векторлық аппаратты жетілдіруде ... ... ... ... әрі қарай дамытты. “Об геометрических
суммах и разностях и их применение для упрощения ... атты 1845 – ... ... ... ... көбейтінді, векторлық көбейтінді,
ветор функцияны дифференциялдау, интегралдау ережелерін ... ... ... вектор негізінде құрудың жалпы схемасын жасап шықты.
Понселенің шәкірті Резаль (1820-1896) 1862-жылы жарияланған “Чистая
кинематика” еңбегінде Сен-Венан жасаған векторлық апаратты жетілдіре ... ... ... ... қолдануларына толып жатқан мысалдар
көрсетті.
Векторлық есептеулердің негізін салушылар Ирландия математигі әрі
астрономы Уильям Гамильтон ... және ... ... Герман
Грассман (1809-1877) деп айтылып жүр.
1844-жылы Уильям Гамильтонның ... ... ... алғашқы
мақалалары және Герман Грассманның “Учение о протяженности” атты көлемді
еңбегі жарияланды. ... ... ... о ... ... ... ... Бұлардың әрқайсысы есептеудің жаңа әрі ... ... ... ... ... ... еңбек сіңірді. “Вектор
ұғымын” 1846-жылы ғылымға енгізген Гамильтон болды.
Векторлық есептеулердің негізін ... деп ... ... ... баршылық. Бірақ аталмыш еңбектермен бір кезде дерлік
жарық көрген Сен-Венанның мемуарлары идея жағынан да, ... ... ... ... ... да, ... геометриялық
анализіне де тәуелсіз, әрі өте құнды еңбек болып табылады.
Д. Валлис, Л. Карно, Сен-Венан, резаль ... ... ... ... ... ... ғылымға енгізді, ... ... ... жасау жолында жемісті еңбек етті.
Есептеудің жаңа түрі бойынша жинақталған бай, ... ... бір идея ... ... механикалық “тұғырынан” ажыратып, бұл
апаратты математикалық пән ... ... ... ... ... ... университетінің профессоры Иосиф Иванович ... ... ... ... ... “Об ... ... порядков”, деп
аталатын еңбегінде абыроймен орындап шықты. Жоғарыда ... ... ... ... ... еткендердің негізгі ... ... ... ... ... И.И. Сомов математика көзімен
қарады.Ол векторлық есептеулерді математикалық пән жәрежесіне ... ... ... студенттер аудиториясына жол ашты: веторлық
есептеулерді механика ... ... ең ... ... дифферинциал
геометрияны векторларды қолданып, жазып шықты. Ол векторлық есптеулердің
бірқатар ұғымдары мен ... ... ... аппаратты
пайдаланғанда нәтиже координаталар жүйесіне тәуелсіз екендігін ол бірінші
болып айтқан адам. ... ... сол ... ... ... ... ... көбейтіндіні қолдағанда да И.И. Сомов болды.
1918 жылы танымал математик Герман ... ... ... ... Вейль аксиоматикасы қазіргі заман геометриясында, оның
қолдануларында пайдалануға аса қолайлы ... ... ... ... үлес ... ең ... қысқаша тоқталдық. Ғылымның бұл саласын дамытуға, ... ... ... да үлес ... аз ... жоқ. ... К.Бессель (1745-1818), К. Гаусс (1777-1855), Г. Белловитис (1803-
1880), К. Максвелл (1813-1879), Д. Гиббс (1839-1903), Л. ... ... А. ... ... ... (1768-1882), Хивисоид т.б. атауға
болады.
Векторлық есептеулерді және ... ... ... ... ... Сомовтан басқа да орыс және Кеңес ғалымдарының қосқан үлкен үлесі болды.
Осы тұрғыда атақты математик – Санкт-Петербург академиясының академигі ... ... және П.А. ... А.Л. ... ... Я.И. Френкель (1894-1952), П.А. Широков (1895-1944), Д.И. Зейлиегер
(1864-1936) сияқтыларды атаған жөн.
1.2 Векторларға амалдар ... мен ... ... кейбір шамалар тек сан мәнімен ғана
сипатталады (абсолют шамасымен). Мысалы, масса, уақыт, ... ... Бұл ... ... ... деп атайды. Ал, кейбір шамалар ... ғана ... ... ... ... де ... ... үдеу, күш, импульс жәке т. б. Бұл - векторлық шамалар.
Бір қызығы, жоғарыда ... ... ... ... ... ... механиканың дамуы кезінде векторлық анализ тіпті
болмаған. Векторлық анализ тек ... ... ... ғана ... болды. Себебі, электр және магнит өрістерінің ... ... ... ... (вектордың шамасына пропорционал) мен
бағыты болады.
Векторларды қосу ережелері:
1) Үшбұрыш ережесі
2) Параллелограмм ...... ... ... геометриялық объектер.
Мысалы А-векторы (1-сурет). Координаталар жүйесінің басынан басталып. ... ...... күш, ... ... Ал ... ... басынан
нүктесіне дейінгі арақашықтықты арнайы -(радиус-вектор)
символымен белгілейді:
(1.1)
-радиус-вектордың абсолют шамасы болсын. ... және - ... ... деп ... ... және осьтерінің оң бағыты мен - ... ... және ... - радиус
векторының (декарттық) компоненттері немесе проекциялары деп атайды.
Кез ... ... ... жіктеуге болады:
(1.3)
Енді және - бірлік векторларын енгізейік. Олардың
ұзындықтары бірге тең және ... ... ... ... ... = 0 ... онда ... теоремасы бойынша ... ... ... және ... ... ... жүйесінің бұрылуы. радиус-векторды пайдаланып,
вектордың жңна ... ... Оған ... ... бар. Біз
математика көмегімен табиғатты сипаттаймыз, ... ... ... ... ... болуы керек. Егер физикалық
теорияны үй деп ... онда ... ... ... құрылыс жүргізе алмаймыз. Құрылыс ... ... ... ... деп ... ... ... физикалық
жүйеміз немесе физикалық заң координаталар жүйесінің бағыттарына тәуелсіз.
2-сурет
радиус-векторын екі жүйеде қарастырайық, х және у ... ... ... ... қарсы бағытта бұрышына бұралық (2-
сурет). Пайда болған ... х' және у' деп ... ... ... , ... (1.7) - координаталар ... ... ... компоненттерінің түрлену заңы. Егер және ... ... ... ... ... ... онда
олар векторының компоненттері болады. Егер және ... онда ... ... ... ... ... болу ... тендеуіндегі және шамаларының мағынасын ізделік. А
векторы координаттар және кез ... ... ... ... кездегісі:
(1.9)
(1.6) теңдеуін пайдаланып, координаттарын ... ... мен ... арқылы сипаттауға болады. Алайда
бұрышқа ... ... ... ... ... ... ... тәуелсіз функциялармен шектелейік. Егер болса,
онда .
Мысалы:
1. Екі шама ... (-у, х). Екі ... ... ... ... ... ... осы шамалардың түрленуін қарастырайық.
,
мұндағы (1.6) ... ... және ... (1.7) ... қанағаттандырады. Демек. (-у,х) жұбы вектор
компоненттері.
2. ... (1.7) ... ... ... ... бола ... Осы теңдіктерді басқа түрде жазайық:
(1.10)
(1.9) тендеуі:
(1.11)
коэффициенттерін ... ... деп ... ( және , ... ... ... қысқаша былай жазуға болады:
(1.12)
Енді осы айтылғандарды 3,4 және одан көп өлшемдер үшін оңай ... ... ... ... ... осы ... басқа (бұрылған) жүйеде мына теңдеумен берілсе:
(1.13)
мұндағы және араларындағы бұрыш.
коэффициентінің ... ... ... ... ... ... туындылар (1.14) теңдеуін (1.13) теңдеуіне қоялық:
(1.15)
Бағыттаушы косинустар ортогональдық ... ... - ... ... (1.10) ... (1.16) және ... қойсақ, онда белгілі тендеуді аламыз:
(1.16) теңдеуінің дұрыстығына көз жеткізу үшін (1.14) ... ... ... ... ... ... 2 ... шығады:
Әртүрлі физикалық кұбылыстарды сипаттауға қолайлы;
Математиканың жаңа бөлімі-тензорлық талдауға көшуге мүмкіндік береді.
Осыған байланысты жаттығулар көрсетілген ... ... ... ... мен векторларының
скаляр көбейтіндісі деп санын атайды.
Анықтама. Нөлдік емес екі ... ... ... ... ... мен ... ... косинусының көбейтіндісіне тең
сады айтыз.
=**Cos
1 болғандықтан
=* (21)
Егер ... ... ... =, ... * және =, ... * ... ... кеңістіктсгі векторлар үшін
+ * ... ... ... де, ... ... орындайды, скаляр кебейтінді деп атайды.[11,20]
Векторлардың математикалық көбейту зандары бір-біріне қайшы келмеуі
керек. Барлық мүмкін ... ... ... ... және ... қажетті екі анықтаманы тандалық. Үшінші тарауда басқа анықтама
беріледі.
көбейтіндісі физикада жиі ... А,В - екі ... ... ... Ө - ... арасындағы
бұрыш.
Мысалы: жұмыс =күш х жол х соsӨ.
Скаляр көбейтіндіні анықтайық ( және - ... ... ... ... ... ... ... х осін ... ... онда және ... және ... онда (1.20) және т.с. ... және — ... ... және
векторлары да өзара ортогонал.
Ортогоналдық түсінігін жалғастыралық, - бірлік векторы болсын,
ал -нөлдік емес, ху ... ... ... Егер ... ... - кез-келген вектор, онда векторы ху жазықтығына
перпендикуляр.
Енді скаляр көбейтіндінің скаляр шама ... ... Ол ... ... жүйесін бұру арқылы зерттейік. (1.13)
теңдеуінің арқасында:
(1.22)
және индекстерін пайдаланып, қысқаша жазалық: векторының
өз-өзіне ... ... ... (1.25)
Скаляр шама, координаталар жүйесін бұруға инвариантты.
векторының өз-өзіне көбейтіндісін қарастырайық:
(1.26)
(1.27)
(1.28)
А • В -координаталар жүйесін бұруға ... ... ... оң жағы ... ... (1.26) ... ... басқа түрде
жазалық:
(1.29)
8-сурет
Косинустар заңы. (1.26) және (1.29) теңдеуін салыстырып, косинустар
заңының ... ... ... (3-сурет).
Векторлардың векторлық көбейтіндісі. Бұл көбейтіндіде екі вектордың
арасындағы бұрыштың синусын пайдаланады.
(1.30)
мұндағы, , бірақ мұндағы -вектор, және ол ... ... ... ... , және
оң координаттар жүйесін құрасын, онда ... ... ... маңызды геометриялық қасиеті бар (4 сурет).
4-сурет
- параллелограмм ... ... ... жазықтығына перпендикуляр, ал
абсолют шамасы осы параллелограмның ауданына тең болады ... ... ... ... ... - әртүрлі. — (1.32) ... ... ... ... ... ... жазған ыңғайлы:
(1.33)
(1.30) және (1.31) көбейтіңділердің эквиваленттілігін ... үшін және ... ... және (1.35) ... С ... А ... да, ... да перпендиқуляр. А және В ... ... ... ... ... (1.31) теңдеуі ... ... ... ... (1.20) ... ... (1.34), (1.35) және (1.37) теңдеулерінен (1.30) және ... ... ... ... ... екенін керсетейік (яғни, вектордың түрлендіру
заңына бағынатынын). Бұрылған координаталар жүйесінде:
(1.38)
мұндағы. — циклдік ... ... ... болғанда
(1.38) ... ... ... онда ... рет):
(1.39)
(1.39) теңдеуін (1.38) теңдеуіне қоялық:
(1.40)
Осылай және үшін ... Олар (1.13) ... ... ... шама ... ... байланысты жеке жаттығу жұмыстары көрсетілген. (Қосымша А)
Үш вектордың аралас және ... ... ... - ... ... комбинациясы жиі
кездеседі. ... ... ... деп атайды.
- көбейтіндісінен ... ... А ... ... ... шама ... ... вектор, ал бүл операция белгісіз. Сондықтан
оны ... ... ... ... ... симметриялы (1.42) тендігінен шығады.
Үш ... ... ... ... ... ... А,В және С векторлары параллелепипедтің "қабырғалары" болса онда
- ... ... осы ... ... тең болады
(әрине, аралас көбейтінді теріс санға да тең болуы мүмкін).
-2 рет ... ... ... Бұл жолы ... ... ... бұл ... вектор шығады. Оның бағыты А ... ... ... ... ... - ... ... С векторлары тиісті жазықтықта жатады. ... ВС ... ... ... ... ... ... В және С
векторларының сызықты комбинациясына байланысты:
(1.44)
Аралас және ... ... ... ... одан көп
векторлар көбейтінділерін қысқартуға болады. Мысалы: Аралас көбейтінді
кері кристалл ... ... ... және ... ... өзара перпендикуляр емес)- кристалл торларын ... ... Онда ... 2 ... ... ... беріледі. Мұндағы, және пс - бүтін сандар.
(1.45)
векторларын жазуға болады. (1.50) => ... ( және ... ... ал ... ... - ге ... ... тендеулер кері торларды анықтайды. Кері тор толқындардың
кристалдағы әртүрлі жазықтықтарда ... ... ... ... көбейтіндісіне шығаруға арналған есептер көрсетілген (Қосымша Ә).
1.3 Векторларды жіктеу ... ... ... ... ... жіктеу.
Егер вектордың абсолют шамасы бірге тең болса, оны бірлік вектор деп
атайды. Бағыты координаттың оң жарты ... ... ... ... векторлар немесе орттар деп аталады. Біз оларды х осі ... у осі ... деп ... ... ... нөлдік вектордан өзге және де коллинеар
емес болатындықтан, кез ... ... осы ... бойынша
жіктеуге болады:
(*)
Осы жіктеудің мен коэффициенттерің табамыз. Ол үшін (*)
теңдіктің екі жақ бөлігін де ... ... ... ...
(*) ... екі жақ ... де е 2 ... осылайша кебейтіп,
екенін табамыз.
Сонымен, кез ... ... ... жіктеуге болады:
Сондықтан, егер болса, онда В нүктесі ОА ... ... ... одан ... мен ... бірдей бағытталады. Егер де
болса, онда В нүктесі толықтауыш ... ... ... да, ... ... бағытталады. векторыньщ абсолют шамасы
мынаған тең:
Теорема дәлелденді.
Есеп. мен ... ... ... АВ мен ВА
векторларының қарама-қарсы ... ... АВ ... ... мен ... ВА
векторының координаттары мен болады. Біз мынаны көріп отырмыз:
. Олай болса, АВ мен ВА ... ... ... ... ... ... коллинеар емес екі вектор бойынша жіктеу.
Бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында жатқан нөлдік емес
екі вектор ... ... деп ... ... ... не бірдей
багытталган болады, не қарама-қарсы бағытталған болады.
Айталық, мен — ... өзге ... ... ... саны ... ... ... мен векторлары бірдей багытталған болсын.
Сонда және ... да ... ... ... ... ... да бірдей болады. Демек. олар тең:
мен ... ... ... ... тұжырымдаймыз:
дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Айталық, мен — нөлден өзге коллинеар емес ... Енді кез ... ... ... ... ... А мен В - ... басы мен ұшы болсын. А мен В
нүктелері арқылы және ... ... ... Олар қандай да бір С нүктесінде қиылысады. Сонда:
- мен векторлары коллинеар ... ... мен ... коллинеар болгандықтан, болады.
Сонымен, дәлелдемекшіміз де осы болатын.
2 ВЕКТОРЛАРДЫ ЕСЕПТЕР ШЫҒАРУДА ... ... ... ... ... векторды қолдану
Скалярлық көбейтінді көмегімен алгебралық есептерді шығару.
Векторлардың скалярлық ... ... ... ... ... көптеп қолданылады. Сонымен, қатар нөлдік емес екі
вектордың скалярлық көбейтіндісін теңсіздіктерді дәлелдеу, теңдеулерді,
теңдеулер жүйесін шешу және ... ең ... ең кіші ... ... ... ... ... -= х теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Бірінші түбір астындағы өрнекті ... =+6 ... ... ... ... [0; +], себебі х0 болу
керек.
=(х;3), ) ... ... ... ... ... ; = ; * х +6 ... ... жазуға болады.
Соңғы теңдеу және векторларының арасындағы ... ... 1-ге тең ... яғни ... ғана орындалады.
Олай болса, .Олардың координаталары пропорционал х=0 мәні
теңдеуді қанағаттандырады, демек 0 - ... ... ... =; ; х=
Жауабы: )
2-есеп. 5 =4х+6у-3 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. = (х:2у), =(4;3) ... ... ... ; ==5; ... ... қолдаисақ
54х+6у
Олай бслса, берілген теңдеудің шешімі жоқ.
3-есеп. Кез-келгсн х, у, z үшін х+у+z = 1 ... ... ... , ... ... ... ) =
= ; =
(3) теңсіздік көмегімеy хуz ... ... ... ... шещу ... ; векторларын алайық
= 1; ==
* =4
Берілгеи жүйені төмендегідей етіп жазамыз:
|
=4
болу керек, бізде 4 >. Бұлай болуы ... ... ... ... шешімдері жоқ.
5-есеп. у=+функциясының ең үлкен мәнін табу керек.
Шешуі. Функция [-4,5; 6.5] ... ... ; ... қарастырамыз, сонда
; * = + .
Демек, =(1) қасиетке сүйенсек, онда
Бұдан max = 2 . Бұл ... = ... ... х=1 және ... ... ... функциясы ең үлкен мән қабылдайтын х-тің
мәнін табу керек.
Шешуі. Функция ... ... ... ... анықталған.
= 4х; 4x; =(1;1) векторларын еңгіземіз.
=2; =; *=4х+4x.
(1) 4х; 4x
Берілген функция екі ... ... ... ... ол да ... Ол ... 4х=4x ... кабьлдайды.
Бұдан =1, х=, nZ.
Жауабы: х=, nZ.
7-есеп.
теңсіздігі,
онын мағынасы бар барлық х үшін, орындалатындығын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі. ... сол жағы ... ... ... ... ... және =() векторларын қарастырайық.
* =
= = =
(3) теңсіздіктен екені шығады.
8-есеп.
аболғанда а+в+стеңсіздігі ... ... ... =() деп алсақ, (3) теңсіздікті пайдаланғанда
теңсіздіктің дұрыс екендігін көреміз.
Кесінділердің ... ... ... ... келген
геометриялық теңсіздіктерді және үшбұрыштың бұрыштарының тригонометриялық
функцияларымен байланысты болып келген теңсіздіктерді векторлық ... ... ... ... ... векторлық әдісті пайдаланып дәлелдеуге жоғары
сынып окушыларын баулу — олардың математика пәніне деген шзығушылығы мен
ынта-ыкыласын ... ... ... терендетудін, математикалык
ұғышар жөнін-дегі тусініктерін байытудың, сондай-ак математика-лык
мәдениетін ... ... ... ... ұзақ жылғы
педагогикалык іс-тәжі-рибеміз ... ... бұл ... ... такырып бойынша жо-ғары сыныптардың
окушыларымен уйірмеде, факуль-тативте, қосымша ... ... ... ... ... ...... карастырып келген падагогикалык және вдістемелік бағыттағьг
зертгеу жұмысымыздын мазмұнына кыскаша ... ... сөз ... ... ... әдісті
пайдаланып, дәледлеуге баулуды іс жузіне асыруда, оларға ... ... ... ... келесі тенсіздіктерлі пайдаландык:
1. Кез келген екі және ... ... осы ... ... ... артық емес, яғни
+ ; (А)
2. Кез келген = векторының ... ...... емес
шама, яғни
=0; ... ... екі және ... скаляр
көбейтіндісінің абсолют шамасы осы ... ... ... ... * ... жиі ... ... кажетті ұғымдар, қатыстар және
белгілеулерге тоқтала кетейік, олар ... ... ... ... бір ... ... ... нүктесі әрқашан үшбұрыштың ішінде жатады. Бұл нүкте
үшбұрыштың ауырлық ... ... ... деп аталалы.
2. Үшбұрыштың биіктіктері әрқашан бір ... ... ... ... берілген үшбұрыштың түріне байланысты оның не
ішінде, не сыртында жатады. Бұл нүкте үшбұрыштың орто-центрі деп аталалы.
3. Тетраэдрдың ... мен оған ... ... жататын центроидын
қосатын кесіңді тетраэдрдын медианасы деп аталады.
4. векторының ұзындығы деп оған ... ... ... ... ... яғни
|ав|=ав.
5. векторынык скаляр квадраты оның ұзындығының ... ... ... атап ... ... ... ... кіріспес бұрын,
оқушылармен алдын ала кейбір маңызды да қажетті векторлық ... ... ... Біз ... ... ... «тірек есептері»
ретінде қарастырдык және оқушыларға жан-жақты түсіндіре ... ... ... есептері» ретінде пайдаланылған векторлық теңдіктердің
негізгілерін (осы мақалаға қатысы барларын) ғана келтіреміз, олар:
1. = , ... , ... Q ... — АВС ... ВС ... ... ңүктесі — NАВС тетраэдрыньң АВС жағының центроиды.
II. * = , (3) ... А, В және С кез ... ... ... А, В және С кез ... үш ... = + +, ... , ... О ... — АВС ... ... ... шеңбердің центрі,
Н нүктесі — үшбұрыштың ортоцентрі, М — нүктесі үшбұрыштың цетроиды. Енді
мысалдар қарастыралық.
Векторларды мектептегі алгебра ... ... ... ... ... болатындығын іс-тәжірибеміз көрсетіп отыр.
Векторлық әдісті кейбір теңдеулерді және теңдеулер жүйелерін шешуге,
теңсіздіктерді (шартты және ... ... ... ... экстремумдарын табуға берілген есептерді шығаруға колдануға
болады. Бұған ... ... ... есептерді дәстүрлі әдістер
боііынша шығару процесіне ... ... ... ... ... ... болып табылды.
XI сынып оқушыларын алгебралық есептерді (стандарт және стандарт
емес) векторлық әдіс бойынша шығаруға ... ... ... ... ең ... ... «векторларға амалдар қолдану», «вектордың ұзындығы»
және «векторлардың скаляр көбейтіндісі» ұғымдарын, векторлардың ... ... ... ... ... ұзыңдықтары
арасындағы векторлық теңсіздіктерді тынғылықты да терең кайталап, пысықтап
алған жөн. Бұл ... ... ... геометриялық
интерпретациялардың жәрдемімен түсіндірген тиімді.
Төменде алгебралы есептерді векторлық әдіс бойынша шығару процесінде
қолдануға қажетті векторлыкқ теңсіздіктерге қысқаша ... ... ... ... емес , , ,....., векторлары үшін
+ +
Теңсіздігінің, дербес жағдайда кез-келген ... ... және ... ... ... + ... + + ... ... ... ... түсіндіру қиын емес.
(А)—(Д) — лардағы теңдік ("='') белгісі тек қана олардың құрамындағы
векторлар бағьттас болғанда тек ... ғана ... Атап ... ... ... және , (В)-да, , және ,
(С)-да ,, , және мен және мен ... ... ... тек сонда ғана орындалады.
және векторларының скаляр көбейтіндісі деп ... ... мен ... арасындағы бұрыштың
косинусының көбейтіндісіне тең болатын санды айтады,
Яғни = * * ... ... ... ... ... жағдайда
* теңсіздігі келіп шығады.
Теңдік белгісі ("=") (Е)-де және ... ал ... ... ... тек ... ғана ... ... жазықтықта өздерінің координаталары арқылы берілген
болса, мысалы =(А) және (Ғ) сәйкес келесі түрге келеді.
+ ()
* ... егер және ... ... ... яғни ... = , онда (А) және (Ғ) сәйкес төмендегіше жазылады:
+
* ... ) және () те ... ("=") ... ... ... болғанда, яғни олардың аттас кординаттары пропорционал
= болғанда тек сонда ғана ... (С), (Д), (Е) ... ... белгісі үшін
де,жоғарыдағыға ұқсас сәйкес тұжырымдарды ... ... ... ... келтіруге болады.
1-есеп. xy+yz+zxx++z (1)
(мұндағы х, у, z>0) теңсіздігін дөлелдеңдер.
Шешуі. Аллымен (1)-ді ... ... ... аламыз:
++xy+zy+zx*+*+*
Енді -= және = векторларын енгізіп, олар үшін
төмендегілерді ... ... *=х ... сүйеніп, (2)-қатыстардан (1)-ді аламыз. Дәлелдеу керегі де осы
еді.
2-есеп. + ... ... ... ... ... ... және векторларьш енгізіп, олар үшін
мыналарды табамыз:
,
, * + ... ... + ^х. ... ... онда ... (3) ... шығады.
2. Планиметрияның кейбір есептерін шығаруға векторды қолдану
Мектеп көлемінде оқытылатын «Векторлар ... ... ... ... «Векторлар тақырыбын оқыту әдістемесін» сөз
етер болсақ ІХ-сыныптың геометрия пәні ... ... ... ... көшіру және оның қасиеттері» тақырыбы. ... ... ... ... ... ... Жазықтық бетіне декарттық
координаттар х пен у-ті ... F ... кез ... (х, ... (х+a, у+b) ... көшетіндей етіп, а мен b — турақты шамалар,
түлрендіруді параллель көшіру деп ... ... ... ... ... береді:
Бұл формулалар параллель көшіргенде (х, у) нүктесі ауысатын ... пен у' ... ... деп ... беру үшін ... ... ... Оқушыларға жоғарыдағыдай түсінік
берсек олардың ... ... да ... себебі беріліп тұрған
анықтама ... ... ... сана ... ... ... ... бұрын координаттық жүйені енгізіп, одан
координаттары (х, у) және (х', у') ... М және N ... ... Осы екі ... х осіндегі және у осіндегі сәйкесінше аралық ... және b ... деп ... ... ... М(х,у) нүктесін N(х+a, у+b)
нүктесіне ... ... ... ... ... ... ... Ғ фигурасының кез-келген нүктесін Ғ1
фигурасының кез-келген нүктесіне ... ... ... Олай ... ... ... Ғ1 фигурасына параллель көшіруге болады.
Қысқаша былай жазамыз: .
1-ЕСЕП. Үшбұрыштың бір төбесінен жүргізілген медианасының ұзындығы,
оның осы ... ... ... ... ... кіші ... дәлелдеңдер.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталық АВС берілген үшбұрыш, ал АQ ...... ... ... ... (1) ... = ... ... ... және ... ... емес, сондықтан (А)
теңсіздігі бойынша
болады.
Ендеше немесе AQ ... ... ... осы ... ... бір ... ... медианасының ұзындығы,
оның осы төбеден тараған қырларының ұзындықтарының ... ... кіші ... ... ... NАВС ... ... ал G нүктесі — онын АВС
жағынын центроиды болсын, онда NG ...... ... (2-сурет). Онда (2) теңдіктен
= теңдігі келіп шығады. Ал , және ... ... ... (А) ... ... ... аламыз:
Олай болса екі қатыстан
немесе
NG теңсіздігі келіп шығады.
Дәлелдеу керегі де осы ... ... АВ және СВ ... ... М және ...... осы ... орталары. МN кесіндісінің ұзындығы, АD
және ВС ... ... ... ... ... кез ... О нүктесін аламыз (3-сурет).
Сонда (1) теңдікке сәйкес келесі теңдіктерді табамыз:
3-сурет
Енді векторын және ... арқ ылы ... ... ... ... келіп шығады:
. Ал АВ және СD — ... кез ... ... (А) ... ... ... Олай болса соңғы екі
катыстан = MN ... ... ... ... де осы ... теңсіздіктегі теңдік (=) белгісі ... ... ... басқаша етіп айтканда АВСD төртбұрышы —
трапеция болғанда тек сонда ғана орындалады.
4-ЕСЕП. Үшбұрышқа ... ... ... ... ... ... ... сырттай сызылған шеңбердің радиусының үш
еселенген ұзындығынан артпайтындығын дәлелдеңдер.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталык Н ... - АВС ... ... О ... оған ... ... ... центрі, R — сырттай сызыл-ған шеңбердің
радиусының ұзындығы ... ... (4) ... ... Оның оң және сол ... ... салыстыра отырып, келесі теңсіздікті аламыз:
Бірақ = = = R, онда ... ... 3R ... келіп шығады.
Дәлелдеу керегі де осы болатын.
Векторлардың мектептегі геометрия курсында кеңінен пайдаланылатындығы
белгілі. Дәлірек ... ... ... ... ... скаляр көбейтіңдісі» ұғымдары геометрия курсыңда ... ... ... арасындағы бұрышты және арақашықтықты
табумен байланысты болып ... ... ... ... ... параллель көшірудің қасиеттеріне тоқталайық.
1°. Параллель көшіру дегеніміз козғалыс болады. Мұны дәлелдеу ... ... ... болу үшін М және N ... ... М1 және ... арақашықтығына тең бөлу керек, соны тексереміз.
бұдан МN= М1N1 олай болса параллель ... ... ... Параллель көшіргенде нүктелер параллель (не беттесетін) түзулер
бойымен ... ... ... ... ... NМ1- кесіндісінің ортасын табайық,
сонда ... ... ... ... МN1 ... ... табайық, сонда яғни, О1 және О2
нүктелерінің координаттары бірдей, бұл екі ... бір ғана О ... ... ... өтілген параллелограмм туралы теорема ... ... ... ... ... және
параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең деген теорема бойынша.
Егер N нүктесі ММ1 ... ... онда ... де ... жатады. Себебі , кесіндісінің ортасы NМ1 кесіндісінің
ортасымен дәлме –дәл ... ... М, N, М1, N1 ... ... ... ... ... ал М және N нүктелері МN түзуінің
бойымен қашықтыққа жылжиды. Сонымен бұл ... мына ... ... түзу ... ... (не ... ... мына төмендегі теореманы дәлелдеу әдісіне көңіл бөлейік.
Теорема: М және М1 екі ... ... ... да М ... М1 ... параллель көшіру бар болады және ол тек біреу ғана болады.
Алдымен 1-сызбаны пайдалана отырып, ондай ... ... ... ... дәлелдейміз.
Айталық N1 нүктесі N нүктесі параллель көшіргенде оның көшетін
нүктесі ... ... ... мен ... ... О ... N ... көрсетіп берудің өзі кесіндісінің
ортасы - О нүктесін бір мәнді анықтайды. Ал М мен О ... N1 ... ... ... ... О ... кесіндісінің ортасы болып
табылады.
N1 нүктесін анықтаудағы бір ... ... сол ... ... ... ... Енді М нүктесін М1 нүктесіне көшіретін
параллель көшірудің бар ... ... М ... — М. нүктесінің координаттары болсын,
сонда 3-сызба бойынша
екіншіден
бұл М нүктесі М1 нүктесіне мына ... ... ... сөз, яғни М ... М1 ... ... параллель көшіру бар
екен.
Айта кетер жайт параллель көшірудің анықтамасын беру мен қасиеттерін
дәлелдеуге және есептер ... 1 сағ. ... екі ... ... есеп ... 1 сағ, ... ... өтілгенді қорытындылауға және
есептер шығаруға 1 сағ. уқыт бөлген дұрыс қой деп есептеймін.
Теорема: ... ... кері ... ... ... ... ... екіншісі орындалатын параллель екі көшіру тағы да
параллель көшіру болады.
Оқушыларға белгілі бір ... ... ... туралы ұғым
берілгендіктен жоғарыдағы теоремалардың дәлелдемесін оқушылардың ойлау
қабілетіне ... ... ... жеткілікті.
шынында да
болса, онда
мұндағы сандар.
Параллель көшіру такырыбына есептер шығарғанда жалаң шығармай, оны
координат ... ... ... аса ... себебі векторлар туралы
өткен кезде оның пайдасы өзінен-өзі көрініс береді. Енді есеп ... ... ... кету ... ... деп ойлаймын.
Есеп: Параллель көшіру мына формулалармен көрсетіп беріледі.
Осы параллель көшіруде (0, 0), (1,0), (0, 2) ... ... ... ... (0, ... 2)-?
Шешуі:
Яғни
мұны координат жазықтығында көрсетейік. Есеп: Мынадай паралель көшіру
формулаларындағы а мен b шамаларын табыңдар, сонда (1,2) нүктесі ... ... ... ... а, ... 1+а=3, ... +b = 4, b ... жазықтығын пайдалана отырып параллель көшіруге есептер
шығару алдын-ала айтылмаса да бұл ... ... ... ... ... туралы, вектордың бағыттары туралы ... ... ... ... ... ұғым бергенде физика оқулығынан оларға таныс
физикалық шамадарды, айталық күш, жылдамдық үдеу ... ... ... ... олардың бағыты да көрсетілетіндігін, айта кеткен орынды.
Физикада да, геометрияда да бағытталған кесіндіні вектор ... ... ... ... абсолют шамасы және бағыты» деген такырыпта
бес анықтама үш теорема ... ... ... ... ара жігі ашып көрсетілген ... ... ... Бұл ... ... ... ... жіберуі әбден мүмкін.
Сол себепті мұғалімнің басты міндеті олардың ара жігін ашып ... ... ... ... жоспарларда оқушылардың алған білімін
ұштап бекітіп отыруға өте аз уақыт қарастырылған.
Егер ... ... сол ... басы мен ... ... көрсетер болсақ
Егер яғни векторының координаттарын оның осьтердегі
проекциясының ұзындығымен ... ... деп ... Осы ... ... жәй IX ... физика оқулығындағы «Векторларға амалдар қолдану» бір-
ақ сағатта өтіледі, онда ... ... ... ... ... ... ... скалярға көбейту, векторларды азайту
қарастырылған. Көріп ... ... ... ... ... ... жеткіліксіз болады, ал геометрияда вектор проекциясы ... ... мына ... есептерді қарастырып және оларды салыстыру
арқылы сол тұйықтан шықтым ғой деп ойлаймын.
Есеп: Материялық нүктенің орын ... ... ... ... ... ... проекцияларын табыңдар.
Жоғарыдағы векторлар басы координат ... дәл ... ... ... біз ... алдық.
Вектордың проекциялары деген ұғыммен векторды координаттары деген
ұғым мағыналас ... ... ... ... онда біз ... ... ... мағлұмат бердік деуге әбден болады.
Егер вектордың абсолют шамасын берілген екі нүктенің координаттарымен
көрсетер болсақ ... ал ... ... ... ... проекцияларының ұзындығымен көрсетер болсақ.
Теорема: Тең векторлардың сәйкес координаттары тең болады.
Теорема: Егер векторлардың сәйкес ... тең ... ... тең ... және ... ... ... бұдан десек
Осы формулалармен берілген праллель көшіру арқылы М ... ... N ... N1 нүктесіне көшеді, яғни =
Есеп: Мына ... ... А(0,1), В(1,0), С(1,2), D(2,1). ... мен векторының тең болатындығын ... ... ... ... вектор тақырыбын оқып болғаннан кейін жинақтап бір-
ақ берілген. Бұл оқушының өз ... ... ... үшін ... ... ... мұғалім оқушының міндеті қай ... ... ... ... ... ... ... қосудың анықтамасын және оларды қосудың ауыстырымдылық,
терімділік ... ... ... ... ... ... ... Есептер шығару кезінде векторларға берілген анықтама
бойынша және жазықтықтағы координат жүйесін ... ... ... ... ... ... ... оқушылардың вектор туралы білімін ұштай
түседі. Сөзіміз дәлелді болу үшін бірнеше ... ... ... Векторлар қосындысын табыңдар мен .
Анықтама бойынша ... ... ... сонда: ,
Анықтама бойынша
Есеп: векторының абсолют шамасын табыңдар, сонда:
Шешуі:
Оқушылардың вектор туралы ұғымын ... түсу үшін мына ... ... ... аса ... М мен N нүктелері АВ мен СD ... ... ... ... Мына векторлық теңдікті
дәлелдеңдер.
Берілгені:
1) векторын В нүктесі С нүктесімен дәл ... ... ...
2) ... ... бұдан бұдан
3) өлшем саламын
МВ=КМ' бұдан МА=КМ, бұдан олай болса КМ'||АВ
Ендеше ... ... ... ... мен ... ... Сонда
болатындығын дәлелдендер.
Берілгені: ... ... ... ... ... ... төбелері А(1,1), В(4,1), С(4.5) берілген. Үшбұрыш
бұрыштарының косинустарын табындар.
Табу ... соsА, соsВ, ... ... ... ... ... ... оқыту үш бағытта,
вектордың басы мен ұшының координаттарын ... ... ... ... отырып оқыту және координаттары ескерусіз қалдырылған
таза векторлық тұрғыда оқыту көзделген. Оқытушының ... осы үш ... ... отырып оқушыларға талап деңгейінде білім беру.
1—есеп. Трапсцияның орта сызығы оның ... ... ... ... ... тең ... ... ксрек.
Берілгені: АВСД —- трапеция. ЕҒ — трапецияның орта сызығы.
В ... ... ... ... 1. ЕҒ‌‌‌‌‌‌параллель АД, ЕҒ‌‌‌‌‌‌параллель ВС
2. ЕҒ
Дәлелдеуі: 1— суретте көрсетілгендей етіп ... ... ... ЕВСҒ векторлық көпбұрышынан табамыз:
(векторларын қосудың көпбұрыш ережесі бойынша ).
векторын ЕАДҒ векторлық көпбқрышынан табамыз.
(2) болады. Осы екі ... ... ... (3) мен , пен , ... ... вектрлар. Қарама-қарсы вектарлардың қосындысы нөл ... (3) ... ... ... келеді:
2
Осыдан немесе
Ал, соңғы теңдіктен
параллель , параллель келіп ... . ... , ... ... және ... Дәлелдеу орындалды.
2— ессп. АВСД — кезкелгеи ... Е және Ғ ... АВ және ... ... нүктелер.
векторы және векторларының косыңдысының жартысына
тең болатындығын дәлелдеу керек.
В ... ... ... 2— ... ... ... ... Алдыңгғы
есептің дәлелдеуі сияқты ЕВСҒ және ЕАДЕ векторлық ... ... ... және Е ... ... АВ және СД
қабырғаларының орталарында жатқандықтан , ,
мен қарама-қарсы ... ... ... ... мол болғаңдықтан, бұл жағдайда да алдыңғы есептегі
сияқты
болып шығады. Дәлелдеу ... ... ... ... жатқан фигуралар
еді. Төртбұрыш кеңістік фигура болган жағдайда есептің дәлелдеуі кандай
болатындығын байқайық.
3— есеп. а— — ... ... ... b— осы ... ... қиып ... түзу. Екі төбесі а түзуінде, ал калган екі төбесі в
түзуіңде жататын АВСД төртбұрышының (3-сурет) АВ ... ... ... ал СД ... ... Ғ ... ... дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі: Есептің шарты бойынша а және b ... бір ... ... олар айқас түзулер. Ендеше АВСД ... ... мен АД ... бір ... ... АВСД ... ... Векторларды қосудың көпбұрыш ережесін пайдаланып
векторын ЕВСҒ жәнс ЕАДҒ векторлық көпбұрыштардың әрқайсысынан табамыз,
Алдыңғы екі есептің дәлелдеуіне аналогиялы ой ... ... ... ... болады. Дәлелдеу
орындалды.
Қорытынды . 1. Қарастырылғаи үш есеп аналогиялы.
2. Мейлі төртбұрыш жазықтықта жатсын мейлі ол төртбұрыш ... ...... шешуі бірдей.
Ескерту: теңдігінен
өрнегі ... Бұл ... ... белгісі мен
коллинеар болғанда ғана орындалады. ... ... ЕҒ ... ВС мен АД ... ... ... кем болады.
Қарастырылған есептің шешуі тетраэдрдің орта сызығы үшін де ... ... ... ВАСД ... АВ және ДС ... ... сәйкес Е
және Ғ нүктелері
дәлелдеу керск.
4— сурет
Бұл ссептің шешуі ... ... ... ... ... ... берумен шектелем. Векторлық әдісті
қолданғанда аналогияны пайдалануға ... ... ... ... мына ... ... ... аналогиялы болып келеді.
Теорема. Параллелограмның диагональдарың квадраттарының ... ... ... ... ... Параллелепипедтің диагональдарының квадраттарының қосыңдысы
оныи қырларының квадраттарының қосындысына тең.
Мына төмендегі екі ... ... де ... болады.
Теорема. Ромбтың диагональдары өзара перпендикуляр.
Тіктөрібұрыштың диагональдары өзара тең.
Векторларды қолданып түрлі фигураларды бір теңдеумен ... ... және ... бір ... ... болатындығын
көрсетейік.
Түзудің теңдеуі. Кез келген а түзуінің теңдеуін табу үшін осы түзудің
бойынан бір нүкте белгілейік. Ол М() нүктесі ... ... а ... ... ... М деп ... ... еңгізейік. М0М және а
түзуіне перпендикуляр векторларын қарастырайық. Өзара перпеңдикуляр
векторлардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең ... * =0 Бұл ... а ... векторлық
тендеуі.
1 –сурет
Жазықтықтағы теңдеу. Кез келген жазықтығының ... ... осы ... ... бір ... дсп ... ... нүктесін М деп белгілейік. (2-
сурет). және ... ... ... ... жазықтыққа перпендикуляр болғандықтан, ол ... ... ... да ... ... ... бұл
екі вектордың скаляр көбейтіңдісі нөлге тең болады:
*=0
2-сурет
Сөйтіп түзудің нормаль теңдеуі (векторлық) мен жазытықтың нормаль
тендеуі ... ... ... Шеңбер меи сфераның теңдеулері бірдей ... ... ... R, ... В ... ... ... (3-сурет). Шеңбердің кезкелген нүктесін М деп ... О ... ... ... ... В жөне М нүктелерін О ... ... ... ОВМ векторлық үшбұрышынан
- болады (екі вектордың айырым — векторын табу ережесі
бойынша). Осы теңдеудегі -нің ... ... ... болады. Мұндағы нүктесінің радиус ... деп ... ОВ— ... ... ...... деп белгілейік. Мұндағы «ц» центр ... ... ... ... мына ... ... ... - =
( ... екі ... да ... ... ... ... (5)
болады. Осы тендеуді шеңбердің векторлық теңдеуі дейді.
Сфераның теңдеуі. Сфераның радиусы , ал ... В ... ... ... ... кез ... М деп белгілейік. О — кеңістіктегі
кезкелген нүкте болсын. В және М ... О ... ... Векторлар
еңгізейік. Сонда - немес
- шығады. Егер және векторларын сәйкес
және деп ... ... мына ... ... ... ... екі жағының скаляр көбейтіңдісін жазайық:
Осы теңдеу сфераның векторлық теңдеуі деп ... ... ... ... ... ... ... есепке бір шешу беруге болатыидығын көрсетейік.
ҚОРЫТЫНДЫ
Ғылым мен техникада кездесетін кейбір шамалар тек сан мәнімен ғана
сипатталады (абсолют шамасымен). ... ... ... ... және ... Бұл ... ... шамалар деп атайды. Ал, кейбір шамалар сан мәнімен
ғана ... ... ... ... де ... Мысалы: жылдамдық, үдеу,
күш, импульс және т. б. Бұл - векторлық шамалар.
Векторлық есептеулер ... жас ... бірі ... ... маңыздылығының арқасында, қолдану ауқымның кеңдігі
арқасында ... елу – ... жыл ... көптеген елдерде мектеп
математикасына еніп, оның құрамдас бөлігі болып, орнығып алды.
Векторлар мектептерімізде ... ... ... ... ... ... Бірақ, мұғалімдерге қажетті тарихи-әдістемелік материалдар
әзірше ... ... ... ... ... ... ... меңгерту үшін, олардың векторларды оқып-білуге деген ынтасын арттыру
үшін тарихи мағлұматтар бере отырудың маңызды ... ... ... мұғалімдері векторлық есептеулердің жасалу тарихын, векторлардың
қолдануларын, ғылым және техника салаларындағы маңызын білгендері абзал.
Жоғарыда ... ... ... ... ... ... векторлық есептеулердің жасалу тарихының қысқаша мазмұнын
төменде беріп отырмыз.
Техника ... ... ... ... он сегізінші ғасырдың
өзінде-ақ есептеу аппаратын жетілдірудің қажет екендігі байқалды. ... ... ... түрлері ендігі жерде қажеттілікті қанағаттандыра
алмайтын болып шықты. Теориялық физиканың жедел де аса ... ... ... он ... ... ... математикалық аппаратты
жетілдіруге деген талап күшейе түсті. Есептеудің талапқа сай жаңа түрін
іздестіру қажет болды. ... он ... ... екінші жартысында
веторлық есептеулер дүниеге келді де, үлкен қарқынмен тез ... ... ... бір ... болып қалыптасты.
Векторлық есептеулердің негізін салушылар деп ... мен ... ... ... ... еңбектермен бір кезде дерлік жарық
көрген Сен-Венанның мемуарлары идея ... да, ... ... ... кватерниондар алгебрасына да, Грассманның геометриялық
анализіне де ... әрі өте ... ... ... ... ... Л. ... Сен-Венан, Резаль бұлар векторлық ... ... ... ... ... ... механикаға қажетті
геометриялық аппарат жасау жолында жемісті еңбек ... жылы ... ... Герман Вейль (1885-1955) векторлық
аксиоматиканы берді. Вейль аксиоматикасы қазіргі заман геометриясында, оның
қолдануларында ... аса ... ... отыр.
Векторлық есептеулерді жасауға үлес қосқандардың ең ... ... ... ... бұл саласын дамытуға, практикада
қолдануға бұлардан басқа да үлес қосқандар аз ... жоқ. ... ... ... К. ... (1777-1855), Г. Белловитис (1803-
1880), К. Максвелл (1813-1879), Д. Гиббс (1839-1903), Л. ... ... А. ... ... Арган (1768-1882), Хивисойд т.б. атауға
болады.
Мектеп көлемінде ... ... ... ... қатарына жатады. «Векторлар тақырыбын оқыту әдістемесін» сөз
етер болсақ ... ... пәні ... өтетін алғашқы сабағы
«Параллель көшіру және оның ... ... ... ... Ш.А. ... и ... ... Учебник для 10-11 классов,
средняя школа, М, Просвещение, ... ... Л.С. и ... ... для 9-10 классов средней
школы.М, Просвещение, 1994.
3. Колмогоров А.И. Агебра и начала анализа. М, Просвещение, 1994.
4. ... ... ... ... и ... анализа. М, П,
1997.
5. Гусев В.А.,Мативненко В.И. ... по ... ... ... ... 3000 ... задач по математике. М, Айриа пресс, 1999.
7. Зив Б.Р., Гольдич В.А. Дидактические ... по ... и ... для 9-10 ... С-П, 2000.
8. Қаңлыбаев Қ. Жазықтықты ... ... ... №2, 11 ... ... К.А. ... және ... оқу құрал. Алматы, Қазақ
университеті, 2003, 104 бет.
10. И.Қазиев Решение алгебрических задач с помощью ... ... в ... журнал, 17 стр, №4
11. И.М.Фихтенгольц Математикалық анализ негіздері, Мектеп, Алматы,
1972 жыл, 75 ... ... ... ... Алматы, 1997 жыл, 262 бет.
13. А.П. Ершова Самостоятельная работа по геометрии и алгебры. Москва
«Илекса!, 2000, 172 бет.
14. Б.Т. з и в, ... ... ... Москва, 98, 70 бет.
15. Бүкібаева К. Векторларды есептерді шығаруда қолдану, журнал, ИФМ
27 бет, №4, 1993 ... ... ... заң ... ... түсінік негіздері, 75 бет.
1. М.Асқарова Векторлар және оларға амалдар қолдану.Алматы.1992 жыл
123 бет.
2. Аяпбергенова С. ... ... ... ... Әмірбаев М Аналитикалықгеометрия 1.2 бөлімдері, Алматы,1963-
1966жыл.
4. Жәутіков О.А. Матаматикалық анализ Алматы,1961 жыл 45 ... ... Ә.М ... ... ... мен өзінді
тапсырмалар Алматы,ҚАЗҰТУ 200 жыл 132 бет.
6. Ибрашев Х.И, Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық ... ... ... жыл.
7. Клетеник Д .В. Сборник задач по ... ... ... ... Хасеинов К.А. Математика канондары Алматы,2004-56бет.
9. Глейзер Н.С Ұлы ... ... ... 1995 ... ... Б.Н. ... векторов Москва,Шкоа пресс-120 стр.
11. Тасболатов Р.М Планиметрия есептері Алматы,Ы.Алтынсарин ... ... жыл ... ... В.В. ... ... ... Наука 1986 год, 1-часть
37стр, 2-часть1991 год 240 бет.
13. Гусятиков В,Г. ... ... в ... и задачах. Москва,
Высшая школа 1985 год,232 стр.
14. ... А.Э ... все ... ... ... 1991 ... Ермалаева .Н.А. ... ... ... ... ... 1985 год.
16. Погорелов А.В ГЕометрия 7-11 сыып Алматы, Рауа, 1997-384 бет.
17. Погорелов А.В. Элеметарая геоетрия ... ... ... ... 10-11 ... А,Д ... ... Москва,
Просвещеия 1992год-404 стр.
19. Шыыбеков Ә.Н ... ... ... Қ.Р. ... туралы заң баптары бойынша түсінік негіздері, 75 бет.
ҚОСЫМША ... ... және ... ... ... ... ... вектор берілген.
Бұрылған координаталар жүйесінде екенін көрсетіңіздер.
(Тұракты вектор ... ... біз бір ... ... ... ... ... түрлендіру заңын (з.т.з.) (1.15)
қанағаттандыра ма?
а) (х - у, х+у, 0) ... z ... ... (0, 2 z+у, z - 2у) ... х осі ... ... (у1 + z2, - ху, - хz) векторын барлық осьтер бойынша бұрғанда;
3. вектор болатынын дәлелдеңздер. Сх және Су ... ... ... . ... үшін де ... Барлық осьтер бойынша ... ... мына ... ... ... ... вектор
компоненттері бола ала ма?
5. Екі өлшемді векторы ... сх+dy) ... ... ... ... векторынын
радиал және тангенциал векторларының ... ... ... ... ... заңы ... бұрыш және кез-келген
нүкте (х,у) орындалады.
6. және ... ... және ... ... ... ... ... нүктелерінің координаттары берілген:
(2. 1, 5), (5, 2, 8) және (4, 8, 2). Осы ... ... және ... ... ... ... ... және қайсылары
өзара не , не ?
10.
векторларын ... ... және ... ... А ... табыңыздар. А
векторы бірлік вектор болу үшін қандай қосымша шарт керек?
12. және векторлары бір ... ... ... В ... ... ... теңдеуінен анықталады:
электр зарядының ... ... әсер ... күш.
1) ; 2) ; 3) ... үш ... в ... табу керек. Жауабы:
ҚОСЫМША Ә
Векторлардың аралас көбейтіндісіне арналған жаттығулар
1. ... ... ... ... ... . - ... және -тангенсиалды
векторларға жіктелген, - ... ... ... ... ... ... ... емес) А,В және С векторларының компланарлығының қажетті ... ... ... олардың аралас көбейтінділерінің нөлге теңдігі
болып табылатындығын дәлелдеңіз:
Үш вектор берілген.
және және ... табу ... күші ... ... ... әсер етеді.
Координат басынан жүргізілген ... ... ... ... ... ға тең екенін көрсету керек. Мұндағы а- осы ... ... ... ... ... ... ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 51 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 900 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Векторларды геометриялық есеп шығаруда қолдану35 бет
Corel draw векторлық графиканың интерфейсі68 бет
Matlab-та векторлармен жұмыс10 бет
Microsoft Visio векторлақ графикалық бағдарламала5 бет
Microsoft visio векторлық графикасының пакеті4 бет
Асқын өткізгіштік. Бравэ торлары. Бриллюэн зоналары. Кристалдың трансляциялық симметриясы. Элементар ұяшық. Негізгі векторлар8 бет
Векторлармен жұмыс34 бет
Векторлық графика4 бет
Векторлық кеңістік14 бет
Кеңістіктегі вектор25 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь