Сызықтық тендеулер жүйесі


Жоспар:

1. Жалпы ұғымдар және анықтамалар.
2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығару.
3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан.Гаусс әдісімен шешу.
4. n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу Кронекер.Капелли теоремасы.
Жоспар:
1. Жалпы ұғымдар және анықтамалар.
2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығару.
3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу.
4. n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу Кронекер-Капелли теоремасы.

1. Жалпы ұғымдар мен анықтамалар.
n белгісізі бар n сызықты теңдеулер жүйесі берілсін делік:


(1)



Мұндағы, aij – кез келген нақты сандар; xi – белгісіз шамалар; ал bi – бос мүшелер; i=( ); j= ( ).
Берілген жүйедегі aij – осы жүйенің коэффициенттері, ал bi бос мүшелері деп аталады. Сызықты теңдеулер жүйесіндегі b1, b2,…, bn бос мүшелерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болмаған жағдайда, жүйені біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесі деп атайды. b1, b2,…, bn бос мүшелерінің бәрі нөлге тең болса, онда ол біртекті сызықты теңдеулер жүйесі деп аталады.
Анықтама. Егер x1=α1, x2=α2, …, xn=αn – сандар жиыны теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің бәрін қанағаттандырса, онда осы сандар жиыны (1) сызықты теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.
Егер (1) – сызықты теңдеулер жүйесінің кем дегенде бір шешімі бар болса, онда ол үйлесімді жүйе, ал егер бірде бір шешімі болмаса (жоқ болса), онда ол үйлесімсіз жүйе деп аталады.
Сонымен, үйлесімді жүйенің тек бір ғана шешімі немесе бірден көп шешімі бар. Тек бір ғана шешімі бар жүйе анықталған жүйе деп аталады. Кем дегенде екі шешімі бар жүйе анықталмаған жүйе деп аталады. Егер екі теңдеулер жүйелерінің шешімдері бірдей болса, онда ол теңдеулер жүйелерін тең күшті деп атайды.

2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығару.
n белгісізі бар біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық:


(1)


Бұл жүйенің белгісіздер саны теңдеулер санына тең, жүйенің негізгі матрицасы n жатық, n тік жолдардан тұрады. Сондықтан жүйенің негізгі матрицасы n-ретті квадрат матрица болады.
A= (2)
А матрицаның анықтауышы берілген сызықты теңдеулер жүйесінің бас анықтауышы деп аталады.
(1) жүйенің анықтауышы нөлге тең болмасын, яғни .
(1) жүйенің бас анықтауышы
Берілген жүйенің бас анықтауышының бірінші тік жолының элементтері x1 белгісіздің коэффициенттері, ал екінші тік жолдың элементтері x2 белгісіздің коэффициенттері т.с.с. Осы анықтауыштың кез келген тік жолының, мысалы к-тік жолының элементтерін (xк белгісізінің коэффициенттерін) (1) жүйенің сәйкес бос мүшелерімен орын алмастырғанда алынған анықтауышты таңбасымен белгілейік:
= к=( )
Крамер теоремасы. Егер (1) біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең болмаса, онда ол анықталған жүйе. Бұл жүйенің шешімі Крамер формуласымен анықталады:
xk = , k=( ) (3)
(3) – Крамер формулалары деп аталады.
Мысал. Крамер формулаларын қолданып мына жүйені шешіңіз:

Шешімі:

, берілген жүйе – анықталған, оның бір ғана шешуі бар.
; ;

x1 = x2 = x3 = n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу

Жауабы: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3.

3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 18 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 400 теңге




Сызықтық тендеулер жүйесі.
Жоспар:
1. Жалпы ұғымдар және анықтамалар.
2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығару.
3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-
Гаусс әдісімен шешу.
4. n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу Кронекер-Капелли
теоремасы.

1. Жалпы ұғымдар мен анықтамалар.
n белгісізі бар n сызықты теңдеулер жүйесі берілсін делік:

(1)

Мұндағы, aij – кез келген нақты сандар; xi – белгісіз шамалар; ал
bi – бос мүшелер; i=(); j= ().
Берілген жүйедегі aij – осы жүйенің коэффициенттері, ал bi бос
мүшелері деп аталады. Сызықты теңдеулер жүйесіндегі b1, b2,..., bn бос
мүшелерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болмаған жағдайда, жүйені біртекті
емес сызықты теңдеулер жүйесі деп атайды. b1, b2,..., bn бос мүшелерінің
бәрі нөлге тең болса, онда ол біртекті сызықты теңдеулер жүйесі деп
аталады.
Анықтама. Егер x1=α1, x2=α2, ..., xn=αn – сандар жиыны теңдеулер
жүйесіндегі теңдеулердің бәрін қанағаттандырса, онда осы сандар жиыны (1)
сызықты теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.
Егер (1) – сызықты теңдеулер жүйесінің кем дегенде бір шешімі бар
болса, онда ол үйлесімді жүйе, ал егер бірде бір шешімі болмаса (жоқ
болса), онда ол үйлесімсіз жүйе деп аталады.
Сонымен, үйлесімді жүйенің тек бір ғана шешімі немесе бірден көп
шешімі бар. Тек бір ғана шешімі бар жүйе анықталған жүйе деп аталады. Кем
дегенде екі шешімі бар жүйе анықталмаған жүйе деп аталады. Егер екі
теңдеулер жүйелерінің шешімдері бірдей болса, онда ол теңдеулер жүйелерін
тең күшті деп атайды.

2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен
шығару.
n белгісізі бар біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық:

(1)

Бұл жүйенің белгісіздер саны теңдеулер санына тең, жүйенің негізгі
матрицасы n жатық, n тік жолдардан тұрады. Сондықтан жүйенің негізгі
матрицасы n-ретті квадрат матрица болады.
A= (2)
А матрицаның анықтауышы берілген сызықты теңдеулер жүйесінің бас
анықтауышы деп аталады.
(1) жүйенің анықтауышы нөлге тең болмасын, яғни .
(1) жүйенің бас анықтауышы
Берілген жүйенің бас анықтауышының бірінші тік жолының элементтері x1
белгісіздің коэффициенттері, ал екінші тік жолдың элементтері x2
белгісіздің коэффициенттері т.с.с. Осы анықтауыштың кез келген тік жолының,
мысалы к-тік жолының элементтерін (xк белгісізінің коэффициенттерін) (1)
жүйенің сәйкес бос мүшелерімен орын алмастырғанда алынған анықтауышты
таңбасымен белгілейік:
= к=()
Крамер теоремасы. Егер (1) біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің
негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең болмаса, онда ол анықталған жүйе.
Бұл жүйенің шешімі Крамер формуласымен анықталады:
xk = , k=() (3)
(3) – Крамер формулалары деп аталады.
Мысал. Крамер формулаларын қолданып мына жүйені шешіңіз:

Шешімі:

, берілген жүйе – анықталған, оның бір ғана шешуі бар.
; ;

x1 = x2 = x3 = n белгісізі бар n сызықтық
теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу

Жауабы: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3.

3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және
Жордан-Гаусс әдісімен шешу.
Кері матрица әдісі.
Берілген (1) жүйені кері матрица әдісімен шешу үшін осы жүйенің төмендегі
матрицаларын қарастырайық:
A = ; Х =; B =;
Мұндағы болсын, Х – белгісіз n1 өлшемді матрица.
Матрицаларға қолданылатын амалдарға сүйене отырып, А мен Х
матрицаларының көбейтіндісі (1) жүйенің сол жағындағы өрнектен анықталған
матрицаға тең деп аламыз. Алдымен А мен Х матрицаларының көбейтіндісін
анықтайық:
А*Х =
А*Х пен В матрицаларының теңдігінен мына теңдеуді аламыз:
А*Х = В; (4)
Мұндағы, Х – белгісіз n1 матрица және (4) теңдеу (1)
жүйенің матрица түріндегі теңдеуі деп аталады.
Берілген жүйенің матрицасы ерекше емес матрица, сондықтан оның кері
матрицасы бар.
Енді (4) теңдеудің шешімін табу үшін осы теңдеуді солдан оңға қарай А
матрицасының кері матрицасына көбейтейік:
А-1*А*Х=А-1*В
Мұндағы, А-1*А=Е және Е*Х=Х. Олай болса
Х=А-1*В (5)
болады, мұндағы А-1*В – көбейтіндісі бар.
Мысал. Матрица әдісімен төмендегі жүйені шешіңіз.
немесе А*Х=В – берілген жүйенің матрицалық түрі.
Шешімі: Алдымен А, В, Х матрицаларын жазайық:
А=; В=; Х=
Мұндағы , А матрицаның кері А-1 матрицасы бар.
Енді А матрицасының кері матрицасын анықтайық.
А11= А21= А31=
А12= А22= А32=
А13= А23= А33=

Онда кері матрица А-1 тең болады:
А-1 =
А-1 =
Енді (5) формула арқылы Х табамыз:
Х = А-1*В
Х =
Сонымен, Х = , немесе
Жауабы: х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3.

Белгісіздерді біртіндеп жою әдісі (Гаусс әдісі).
Сызықты n белгісізді n теңдеулер жүйесін Крамер ережесімен шешкенде n-
ші ретті n+1 анықтауышты есептеуге тура келеді. Ол оңай жұмыс емес. Енді
белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп аталатын (Гаусс әдісі) әдісті
қарастырайық.
Теңдеулер жүйесі берілсін:

(1)

Белгісіздер xi коэффициенттерінің арасында нөлден өзгешесі бар деп
ұйғарайық. Мысалы, ол a11 коэффициенті болсын делік. Оны шешуші элемент деп
атаймыз. Жүйенің бірінші теңдеуін a11-ге бөлеміз.

Осы теңдеуді a21-ге көбейтіп екінші теңдеуден аламыз. Содан кейін a31-
ге көбейтіп үшінші теңдеуден аламыз, т.с.с. Осы операциялар көмегімен,
екінші теңдеуден бастап, барлық теңдеулерде x1-ді жоямыз. Осы сияқты x2-ні
де жоямыз, т.с.с.
Сонымен (1) теңдеулер жүйесін үшбұрышты түрге келтіреміз:

Егер болса, соңғы теңдеуден ді табамыз. Одан жоғары
теңдеуге қойып ді табамыз, т.с.с. Ең соңғы ді табамыз.
Егер (1) жүйенің анықтауышы нөлге тең болса, онда жүйе үйлесімді
болмайды немесе анықталмаған болады.
Гаусс әдісін қолданғанда түрленген жүйені қайта-қайта көшіріп жазудың
қажеті жоқ. (1)-ші жүйенің кеңейтілген матрицасын көшіріп жазып, сол
матрицаны түрлендіру керек.

Мысал 1. Теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу керек.

Жүйенің кеңейтілген матрицасын құрайық:
~ ~

х1 x3 x2 х1 x3 x2
~

Үшінші теңдеуден:

Екінші теңдеуден:

Бірінші теңдеуден:

Сонымен жүйенің шешуі:

Тексеру:

Жауабы:

Мысал 2.

Шешуі:
~ ~

яғни 0 = -10. Сондықтан, берілген теңдеулер жүйесі үйлесімсіз
(шешуі жоқ).

Гаусс әдісінің модификациясы – Жордан-Гаусс әдісі және оның
алгоритмі.
Жордан-Гаусс әдісі Гаусс әдісінің модификациясы болып табылады. Бұл
әдіс бірнеше қадамдардан тұрады.
1 қадам. Жүйедегі қолайлы бір теңдеуді алып, оны шешуші теңдеу деп
атаймыз.
2 қадам. Шешуші теңдеуден алдындағы коэффициентті нөлге тең емес
бірге тең болса тіпті қолайлы, айнымалыны таңдап аламыз.
Айнымалының алдында бірге тең коэффициент алу үшін теңдеуді мүшелей
айнымалы алдында тұрған санға бөлеміз. Таңдап алынған коэффициентті шешуші
элемент деп атаймыз.
3 қадам. Таңдап алынған айнымалыны шешуші теңдеуден басқасынан
арылтамыз.
4 қадам. Жүйедегі теңдеулерден біртіндеп айнымалыларды арылту үшін 1
– 3 қадамдарды қайталаймыз да ең соңынан есептің шешуін немесе жүйенің
шешуі болмайтындығын көрсетеміз.
Жордан-Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді кестеде
орындайды.
1. Шешуші жол шешуші элементке бөлінеді.
2. Жаңа кестеде шешуші коэффициент бірге тең болып тік жолдағы элементтер
нөлге толтырылады.
3. Егер шешуші жатық жолда (тік жолда) нөлдер болса, онда оларға сәйкес
тік жолдар (жатық жолдар) өзгеріссіз жазылады.
4. Басқа элементтері төртбұрыш ережесімен есептеледі.
В С

С – шешуші элемент

А Д Ажаңа=
Мысал 3. Берілген үшінші ретті жүйені Жордан-Гаусс әдісімен
шығарайық.

Шешуі: Жүйеде үш белгісіз бар, үш теңдеулер жүйесі бар. Әрбір теңдеу
бірақ рет шешу теңдеу болады. Сондықтан жүйені шешу үшін төрт кесте құру
керек.

x1 x2 x3 b
4 3 -2 10
3 -2 5 -1
1 5 -3 11
0 -17 10 -34
0 -17 14 -34
1 5 -3 11
0 1 -1012
7
0 0 4 0
1 0 -1171
0 1 0 2
0 0 1 0
1 0 0 1

a31 = 1 – шешуші элемент
1 кесте
( )
a12 = -17 – шешуші элемент
2 кесте

( ) a23 = 4 – шешуші элемент
3 кесте

4 кесте

Сонымен,

Жауабы:

Мысал 4.

Шешуі: Бұл жүйені шешу үшін бес кесте құрамыз.

x1 x2 x3 x4 b
1 2 -3 -1 -8
2 -1 2 -1 2
4 3 -1 -1 3
1 2 1 1 12
1 2 -3 -1 -8
0 -5 8 1 18
0 -5 11 3 35
0 0 4 2 20
1 2 -1 0 2
0 -5 6 0 8
0 -5 5 0 5
0 0 2 1 10
1 1 0 0 3
0 1 0 0 2
0 -1 1 0 1
0 ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Теңдеулер жүйесі
Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер теориясы
Математикалық теңдеулер жүйесі
Сызықтық теңдеу
Сызықтық бағдарламалау
Сызықтық программалаудың негізгі есебі
Дифференциалдық теңдеулер
Интегралдық теңдеулер
Сызықтық регрессия
Трансцендентті теңдеулер
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь