Сызықтық тендеулер жүйесі

Жоспар:

1. Жалпы ұғымдар және анықтамалар.
2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығару.
3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан.Гаусс әдісімен шешу.
4. n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу Кронекер.Капелли теоремасы.
Жоспар:
1. Жалпы ұғымдар және анықтамалар.
2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығару.
3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу.
4. n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу Кронекер-Капелли теоремасы.

1. Жалпы ұғымдар мен анықтамалар.
n белгісізі бар n сызықты теңдеулер жүйесі берілсін делік:


(1)



Мұндағы, aij – кез келген нақты сандар; xi – белгісіз шамалар; ал bi – бос мүшелер; i=( ); j= ( ).
Берілген жүйедегі aij – осы жүйенің коэффициенттері, ал bi бос мүшелері деп аталады. Сызықты теңдеулер жүйесіндегі b1, b2,…, bn бос мүшелерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болмаған жағдайда, жүйені біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесі деп атайды. b1, b2,…, bn бос мүшелерінің бәрі нөлге тең болса, онда ол біртекті сызықты теңдеулер жүйесі деп аталады.
Анықтама. Егер x1=α1, x2=α2, …, xn=αn – сандар жиыны теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің бәрін қанағаттандырса, онда осы сандар жиыны (1) сызықты теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.
Егер (1) – сызықты теңдеулер жүйесінің кем дегенде бір шешімі бар болса, онда ол үйлесімді жүйе, ал егер бірде бір шешімі болмаса (жоқ болса), онда ол үйлесімсіз жүйе деп аталады.
Сонымен, үйлесімді жүйенің тек бір ғана шешімі немесе бірден көп шешімі бар. Тек бір ғана шешімі бар жүйе анықталған жүйе деп аталады. Кем дегенде екі шешімі бар жүйе анықталмаған жүйе деп аталады. Егер екі теңдеулер жүйелерінің шешімдері бірдей болса, онда ол теңдеулер жүйелерін тең күшті деп атайды.

2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығару.
n белгісізі бар біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық:


(1)


Бұл жүйенің белгісіздер саны теңдеулер санына тең, жүйенің негізгі матрицасы n жатық, n тік жолдардан тұрады. Сондықтан жүйенің негізгі матрицасы n-ретті квадрат матрица болады.
A= (2)
А матрицаның анықтауышы берілген сызықты теңдеулер жүйесінің бас анықтауышы деп аталады.
(1) жүйенің анықтауышы нөлге тең болмасын, яғни .
(1) жүйенің бас анықтауышы
Берілген жүйенің бас анықтауышының бірінші тік жолының элементтері x1 белгісіздің коэффициенттері, ал екінші тік жолдың элементтері x2 белгісіздің коэффициенттері т.с.с. Осы анықтауыштың кез келген тік жолының, мысалы к-тік жолының элементтерін (xк белгісізінің коэффициенттерін) (1) жүйенің сәйкес бос мүшелерімен орын алмастырғанда алынған анықтауышты таңбасымен белгілейік:
= к=( )
Крамер теоремасы. Егер (1) біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең болмаса, онда ол анықталған жүйе. Бұл жүйенің шешімі Крамер формуласымен анықталады:
xk = , k=( ) (3)
(3) – Крамер формулалары деп аталады.
Мысал. Крамер формулаларын қолданып мына жүйені шешіңіз:

Шешімі:

, берілген жүйе – анықталған, оның бір ғана шешуі бар.
; ;

x1 = x2 = x3 = n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу

Жауабы: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3.

3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу.
        
        Сызықтық тендеулер жүйесі.
Жоспар:
1. Жалпы ұғымдар және анықтамалар.
2. n ... бар n ... ... жүйесін Крамер әдісімен шығару.
3. n белгісізі бар n ... ... ... кері ... және Жордан-
Гаусс әдісімен шешу.
4. n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу Кронекер-Капелли
теоремасы.
1. Жалпы ұғымдар мен ... ... бар n ... теңдеулер жүйесі берілсін делік:
(1)
Мұндағы, aij – кез келген нақты сандар; xi – ... ... ... – бос ... i=(); j= ... жүйедегі aij – осы жүйенің коэффициенттері, ал bi ... деп ... ... теңдеулер жүйесіндегі b1, b2,…, bn ... кем ... ... нөлге тең болмаған жағдайда, жүйені біртекті
емес сызықты теңдеулер жүйесі деп атайды. b1, b2,…, bn бос ... ... тең ... онда ол ... ... ... ... деп
аталады.
Анықтама. Егер x1=α1, x2=α2, …, xn=αn – ... ... ... ... ... қанағаттандырса, онда осы сандар жиыны (1)
сызықты теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.
Егер (1) – ... ... ... кем ... бір ... бар
болса, онда ол үйлесімді жүйе, ал егер бірде бір ... ... ... онда ол ... жүйе деп аталады.
Сонымен, үйлесімді жүйенің тек бір ғана шешімі немесе бірден ... бар. Тек бір ғана ... бар жүйе ... жүйе деп ... ... екі ... бар жүйе ... жүйе деп аталады. Егер екі
теңдеулер жүйелерінің шешімдері бірдей ... онда ол ... ... ... деп ... n ... бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер ... ... бар ... емес ... ... ... ... жүйенің белгісіздер саны теңдеулер санына тең, жүйенің негізгі
матрицасы n жатық, n тік ... ... ... ... ... n-ретті квадрат матрица болады.
A= (2)
А матрицаның ... ... ... ... ... ... деп аталады.
(1) жүйенің анықтауышы нөлге тең болмасын, яғни .
(1) жүйенің бас анықтауышы
Берілген жүйенің бас ... ... тік ... ... ... коэффициенттері, ал екінші тік жолдың ... ... ... ... Осы анықтауыштың кез келген тік жолының,
мысалы к-тік жолының элементтерін (xк ... ... ... ... бос ... орын ... ... анықтауышты
таңбасымен белгілейік:
= к=()
Крамер теоремасы. Егер (1) біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің
негізгі ... ... ... тең ... онда ол ... ... жүйенің шешімі Крамер формуласымен анықталады:
xk = , k=() ...... ... деп ... ... ... ... мына жүйені шешіңіз:
Шешімі:
, берілген жүйе – анықталған, оның бір ғана ... ... ;
x1 = x2 = x3 = n ... бар n сызықтық
теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу
Жауабы: x1 = 1; x2 = 2; x3 = ... n ... бар n ... ... ... кері ... және
Жордан-Гаусс әдісімен шешу.
Кері матрица әдісі.
Берілген (1) ... кері ... ... шешу үшін осы ... төмендегі
матрицаларын қарастырайық:
A = ; Х =; B ... ... Х – ... n1 ... ... қолданылатын амалдарға сүйене отырып, А мен Х
матрицаларының ... (1) ... сол ... ... ... тең деп ... ... А мен Х матрицаларының көбейтіндісін
анықтайық:
А*Х =
А*Х пен В матрицаларының теңдігінен мына ... ... = В; ... Х – ... n1 ... және (4) теңдеу (1)
жүйенің матрица түріндегі теңдеуі деп аталады.
Берілген жүйенің матрицасы ерекше емес ... ... оның ... бар.
Енді (4) теңдеудің шешімін табу үшін осы теңдеуді солдан оңға ... ... кері ... ... ... және ... Олай ... (5)
болады, ... А-1*В – ... ... ... ... төмендегі жүйені шешіңіз.
немесе А*Х=В – берілген жүйенің матрицалық түрі.
Шешімі: Алдымен А, В, Х ... ... В=; ... , А ... кері А-1 ... ... А ... кері матрицасын анықтайық.
А11= А21= ... А22= ... А23= ... кері матрица А-1 тең болады:
А-1 =
А-1 =
Енді (5) формула арқылы Х табамыз:
Х = ... = ... Х = , ... ... х1 = 1, х2 = 2, х3 = ... ... жою әдісі (Гаусс әдісі).
Сызықты n белгісізді n теңдеулер жүйесін Крамер ережесімен шешкенде n-
ші ... n+1 ... ... тура ... Ол оңай ... ... Енді
белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп аталатын (Гаусс әдісі) ... ... ... xi ... арасында нөлден өзгешесі бар деп
ұйғарайық. Мысалы, ол a11 коэффициенті болсын делік. Оны ... ... ... ... ... ... a11-ге бөлеміз.
Осы теңдеуді a21-ге көбейтіп екінші теңдеуден аламыз. Содан кейін a31-
ге көбейтіп үшінші ... ... ... Осы операциялар көмегімен,
екінші теңдеуден бастап, барлық теңдеулерде x1-ді жоямыз. Осы ... ... ... ... (1) теңдеулер жүйесін үшбұрышты түрге келтіреміз:
Егер болса, соңғы теңдеуден ді ... Одан ... ... ді табамыз, т.с.с. Ең соңғы ді табамыз.
Егер (1) жүйенің анықтауышы нөлге тең ... онда жүйе ... ... ... ... ... ... түрленген жүйені қайта-қайта көшіріп жазудың
қажеті жоқ. (1)-ші ... ... ... көшіріп жазып, сол
матрицаны түрлендіру керек.
Мысал 1. Теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу керек.
Жүйенің кеңейтілген матрицасын ... ... x3 x2 х1 x3 x2
~ ... ... ... ... ... шешуі:
Тексеру:
Жауабы:
Мысал 2.
Шешуі:
~ ~
яғни 0 = -10. ... ... ... жүйесі үйлесімсіз
(шешуі жоқ).
Гаусс әдісінің модификациясы – Жордан-Гаусс әдісі және ... ... ... әдісінің модификациясы болып табылады. Бұл
әдіс бірнеше қадамдардан тұрады.
1 қадам. Жүйедегі ... бір ... ... оны ... теңдеу деп
атаймыз.
2 қадам. Шешуші теңдеуден алдындағы коэффициентті нөлге тең ... тең ... ... ... ... ... ... алдында бірге тең коэффициент алу үшін теңдеуді мүшелей
айнымалы алдында тұрған санға бөлеміз. Таңдап алынған коэффициентті ... деп ... ... ... ... ... шешуші теңдеуден басқасынан
арылтамыз.
4 қадам. Жүйедегі ... ... ... ... үшін ... 3 ... қайталаймыз да ең соңынан есептің ... ... ... ... ... ... сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді кестеде
орындайды.
1. Шешуші жол шешуші элементке бөлінеді.
2. Жаңа кестеде шешуші ... ... тең ... тік жолдағы элементтер
нөлге толтырылады.
3. Егер шешуші жатық жолда (тік жолда) нөлдер болса, онда оларға ... ... ... ... ... ... ... элементтері «төртбұрыш» ережесімен есептеледі.
В ...... ... Д ...
Мысал 3. Берілген үшінші ретті жүйені Жордан-Гаусс ... ... үш ... бар, үш ... ... бар. Әрбір теңдеу
бірақ рет шешу теңдеу болады. Сондықтан жүйені шешу үшін төрт ... ... |x2 |x3 |b |
|4 |3 |-2 |10 |
|3 |-2 |5 |-1 |
|1 |5 |-3 |11 |
|0 |-17 |10 |-34 |
|0 |-17 |14 |-34 |
|1 |5 |-3 |11 |
|0 |1 |-10/1|2 |
| | |7 | |
|0 |0 |4 |0 |
|1 |0 |-1/17|1 |
|0 |1 |0 |2 |
|0 |0 |1 |0 |
|1 |0 |0 |1 ... = 1 – ... ... ... )
a12 = -17 – шешуші элемент
2 кесте
( ) a23 = 4 – ... ... ... ... 4.
Шешуі: Бұл жүйені шешу үшін бес кесте ... |x2 |x3 |x4 |b |
|1 |2 |-3 |-1 |-8 |
|2 |-1 |2 |-1 |2 |
|4 |3 |-1 |-1 |3 |
|1 |2 |1 |1 |12 |
|1 |2 |-3 |-1 |-8 |
|0 |-5 |8 |1 |18 |
|0 |-5 |11 |3 |35 |
|0 |0 |4 |2 |20 |
|1 |2 |-1 |0 |2 |
|0 |-5 |6 |0 |8 |
|0 |-5 |5 |0 |5 |
|0 |0 |2 |1 |10 |
|1 |1 |0 |0 |3 |
|0 |1 |0 |0 |2 |
|0 |-1 |1 |0 |1 |
|0 |2 |0 |1 |8 |
|1 |0 |0 |0 |1 |
|0 |1 |0 |0 |2 |
|0 |0 |1 |0 |3 |
|0 |0 |0 |1 |4 ... = 1 – ... элемент
a44 = 2 – шешуші элемент
( ... = 5 – ... ... ... = 1 – шешуші элемент
Сонымен, х1 = 1
х2 = 2
х3 = 3
х4 = 4
Жауабы:
4. n белгісізі бар m ... ... ... ... ... ... бар біртекті емес m сызықты теңдеулер ... ... ... матрицасының рангісі мен оның кеңейтілген
матрицасының ... ... бар, ... ... ... матрицасы, яғни
болады, ал жүйенің кеңейтілген матрицасы
болады.
Берілген жүйені зерттеу немесе ... ... ... болатынын
айқындайтын Кронекер-Капелли теоремасы.
Теорема. (Кронекер-Капелли)
Біртекті емес (1) сызықты ... ... ... болу ... негізгі матрицасының рангісі оның ... ... тең ... әрі ... екі ... ... болады:
Бірінші жағдай:
Бұл жағдайда (1) жүйе мына түрде жазылады:
(2)
Егер де ескерсек, онда ... ... тек ... ғана ... ... формуласымен анықталады. Бұл шешу (1) жүйенің қалған
теңдеулерін қанағаттандырады. Сонымен, (1) жүйе ... және ... ... . Бұл ... (1) ... мына ... жазуға
болады:
(3)
Мұндағы, белгісіздер бос мүшелер. Олар кез келген тұрақты
сандарды ... Енді ... ... ... ... (3)
жүйенің де шешімін анықтаймыз. Сонымен, (1) жүйе ... Бұл ... ... (1) ... ... яғни оның ... көп
шешімі бар. Сонымен, ... ... мына ... келтіреді:
1) Егер , онда (1) жүйенің тек бір ғана ... ... Егер ... онда (1) жүйенің шексіз көп шешімі бар және ол
шешімдер (3) жүйеден анықталады. (3) ... ... ... ... ... шешімі деп аталады.
Егер айнымалы шамаларға кез келген ... ... ... ... ... ... ... дербес шешімін анықтаймыз. (3) жүйенің
коэффициенттерінен анықталған
(4)
анықтауыш (3) жүйенің негізгі миноры деп ... (1) ... ... табу үшін мына ережені ... ... ... не ... ... ... ... Ол үшін
негізгі матрица мен кеңейтілген матрицаның рангілерін табу
қажет.
2) Егер жүйе үйлесімді ... , онда ... (4) ... ... негізгі минордың коэффициенттері арқылы
анықталған ... ... ал ... ... ... (3) ... ... мұндағы - белгісіздер, ал -
бос мүшелер.
3) Жоғарыда қарастырылған әдістермен ... ... ... ... ... ... бар біртекті емес
сызықты теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... шешімдерін табыңдар:
1) 2)
3) ... ... ... ... ... мен ... ... рангілерін табамыз:
~ ~
~ ~ ; ... . Олай ... ... ... ... жүйе ... ... анықталмаған, оның шексіз көп шешімі бар.
. Осы ... ... ... ... ... жалпы шешімі:
Енді жүйенің кез келген бір ... ... табу үшін ... ... ... бір дербес шешімі.
Осы сияқты, берілген жүйенің басқа да дербес шешімдерін табуға болады.
2) Берілген ... ... және ... матрицаларының
рангілерін табайық:
~ ~ ~
~ ~
. Бұл жүйе ... және ... Оның тек бір ғана ... ... ...
3) ... жүйені Кронекер-Капелли теоремасы арқылы зерттейік.
~ ~
~ ... ... ; ; ... ... жүйе ... ... ... сызықты теңдеулер жүйесі.
n белгісізі бар біртекті m теңдеулер жүйесі ... ... (5) ... мен ... рангісі тең,
себебі матрицасының соңғы тік жолының барлық элементтері нөлге тең.
Сонымен, Кронекер-Капелли теоремасы бойынша ... (5) ... ... да ... және оның ... да ... ... бар: . Ал
бізге (5) жүйенің нөлдік шешімнен өзге шешімдерін табу қажет.
(5) жүйенің ... -ге тең ... деп ... . ... ... алғашқы жатық жолы сызықты тәуелсіз болсын.
Теорема 1. (5) біртекті ... ... ... ... ... бар ... үшін ... орындалуы қажетті әрі
жеткілікті.
Теорема 2. белгісізі бар біртекті ... ... ... өзге ... бар ... үшін жүйенің анықтауышы нөлге тең
болуы: қажетті әрі жеткілікті.
1. Егер болса, онда ... ... ... (5) ... ... нөлдік шешімнен өзге ... жоқ, ... ... ... Егер болса, онда (5) ... ... ... шешімнен өзге
шексіз көп шешімдері бар. Бұл жағдайда ... ... ... жолдары сызықты тәуелсіз, ал ... ... осы ... жолдары арқылы сызықты өрнектеледі.
Анықтама. Біртекті сызықты (5) теңдеулер жүйесінің кез келген ... ... ... осы ... ... ... деп аталады, мұндағы
- жүйенің белгісіздер саны, саны ... ... 3. Егер ... ... онда (5) ... ... жүйесінің іргелі шешімі бар болады.
Мысалдар. Төмендегі жүйелердің жалпы және ... ...
2. ... ... жүйенің рангісін табайық:
~ -3 ... -2
~ ~
~~ - ... ... ... ... оның ... көп ... бар. Сондықтан берілген жүйе
төмендегі жүйемен мәндес болады:
немесе ... ... табу үшін , ал деп ... онда ... ... ... ... жүйе шешімі мынадай болады:
және
Жауабы: Жалпы шешімі
іргелі шешімі: және
2. ... ... ... ... ~
, жүйе анықталған.
Сондықтан,
Бұл ... тек ... ... ғана бар, ал ... ... ... ... жұмысына арналаған есептер.
(1-3) Крамер формулаларын қолданып мына жүйелерді шешіңіз:
1) 2)
3) ... ... ... ... ... 5) ... 2) 3)
4) 5) ... ... ... ... ... Қандай теңдеулер жүйесін анықталмаған дейді?
a) егер бір ғана шешуі болса
b) егер екі шешімі болса
с) шексіз көп шешуі болса
d) ... ... Кері ... ... ... анықтаңыз.
a)
b)
с)
d)
3. Крамер формулаларын анықтаңыз.
a)
b)
с)
d)
4. ... ... ... ... деп атайды?
a) шешімі болмаса
b) кем дегенде бір ... ... бес ... ... ... ... есептер.
Берілген есептерді Гаусс немесе Жордан-Гаусс әдістерімен шығарыңыз:
1)
2)
3)
4)
Жауаптары:
1) 2)
3) ... жоқ, жүйе ... ... ... ... ... тестілер.
1) Теңдеулер жүйесін Жордан-Гаусс әдісімен шешіңіз:
a) (-8; 4; 3) b) ... жоқ c) (8; -4; ... (-2; 1; 0) e) (1; 2; ... ... ... Гаусс әдісімен шешіңіз:
a) (1; 1; -2; 0) b) (0; 2; 5; 1) c) ... ... (1; 4; 2; 0) e) (-2; 1; 3; ... ... ... ... әдісімен шешіңіз:
a) (1,5; 0,7; -0,1; 0) b) (0; 0,4; 0,7; 5,2) c) (2,5; -0,7; ... (-1,5; 0,7; 0,2; 0) e) (0; 2,5; -0,1; ... ... ... ... ... ... шешімдерін табыңыз:
1. 2.
3. 4.
5. 5. ... 2. Жүйе ... ... ... 4. ... ... , ... шешімі
5. Жалпы шешімі , іргелі шешімі
6.
Өз білімін тексеруге арналған тестілер.
1) белгісізі бар ... ... ... ... ... ... жүйенің шексіз көп шешуі болады;
b) жүйенің бір ғана ... ... жүйе ... ... шешуі болмайды.
2) Егер берілген белгісізі бар ... емес ... ... онда:
a) жүйенің шексіз көп шешуі бар;
b) жүйе анықталмаған;
c) жүйе үйлесімсіз;
d) жүйе үйлесімді.
3) Қандай теңдеулер жүйесін анықталмаған дейді?
a) егер жүйенің бір ғана ... ... егер ... ... ... егер ... шексіз көп шешуі болса;
d) шешуі қанша болатынын алдын-ала білу мүмкін болмаса.
4) Берілген біртекті жүйенің шешімін ...
b)
c)
d)
5) ... ... ... іргелі және жалпы шешімін табыңыз:
a) Жалпы шешімі , іргелі ...
b) ... ... , ... ...
c) ... ... , іргелі шешімі
d) Жалпы шешімі , іргелі шешімі
-----------------------

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 18 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 400 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
Жазбалар. Graph модулі. Сызықтық емес теңдеулер жүйесінің түбірлерін Итерация және Ньютон әдісімен жуықтап шешу. Анықталған интегралды Симпсон, Трапеция, Тіктөртбұрыштар формуласы арқылы есептеу13 бет
N сызықты теңдеулерден тұратын жүйенің жауабын табатын программа құру15 бет
«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»47 бет
Алгебралық теңдеулер жүйесін шешу56 бет
Анықтауыш29 бет
Дифференциалдық теңдеулер37 бет
Дифференциалдық теңдеулер курсында тірек конспектілерін қолдану, және де дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдары36 бет
Зерттеу процессі кезіндегі экспериментті жоспарлау әдістері4 бет
Интегралдық теңдеулер60 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь