Сызықтық тендеулер жүйесі

Жоспар:

1. Жалпы ұғымдар және анықтамалар.
2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығару.
3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан.Гаусс әдісімен шешу.
4. n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу Кронекер.Капелли теоремасы.

Жоспар:
1. Жалпы ұғымдар және анықтамалар.
2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығару.
3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу.
4. n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу Кронекер-Капелли теоремасы.

1. Жалпы ұғымдар мен анықтамалар.
n белгісізі бар n сызықты теңдеулер жүйесі берілсін делік:


(1)



Мұндағы, aij – кез келген нақты сандар; xi – белгісіз шамалар; ал bi – бос мүшелер; i=( ); j= ( ).
Берілген жүйедегі aij – осы жүйенің коэффициенттері, ал bi бос мүшелері деп аталады. Сызықты теңдеулер жүйесіндегі b1, b2,…, bn бос мүшелерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болмаған жағдайда, жүйені біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесі деп атайды. b1, b2,…, bn бос мүшелерінің бәрі нөлге тең болса, онда ол біртекті сызықты теңдеулер жүйесі деп аталады.
Анықтама. Егер x1=α1, x2=α2, …, xn=αn – сандар жиыны теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің бәрін қанағаттандырса, онда осы сандар жиыны (1) сызықты теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.
Егер (1) – сызықты теңдеулер жүйесінің кем дегенде бір шешімі бар болса, онда ол үйлесімді жүйе, ал егер бірде бір шешімі болмаса (жоқ болса), онда ол үйлесімсіз жүйе деп аталады.
Сонымен, үйлесімді жүйенің тек бір ғана шешімі немесе бірден көп шешімі бар. Тек бір ғана шешімі бар жүйе анықталған жүйе деп аталады. Кем дегенде екі шешімі бар жүйе анықталмаған жүйе деп аталады. Егер екі теңдеулер жүйелерінің шешімдері бірдей болса, онда ол теңдеулер жүйелерін тең күшті деп атайды.

2. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығару.
n белгісізі бар біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық:


(1)


Бұл жүйенің белгісіздер саны теңдеулер санына тең, жүйенің негізгі матрицасы n жатық, n тік жолдардан тұрады. Сондықтан жүйенің негізгі матрицасы n-ретті квадрат матрица болады.
A= (2)
А матрицаның анықтауышы берілген сызықты теңдеулер жүйесінің бас анықтауышы деп аталады.
(1) жүйенің анықтауышы нөлге тең болмасын, яғни .
(1) жүйенің бас анықтауышы
Берілген жүйенің бас анықтауышының бірінші тік жолының элементтері x1 белгісіздің коэффициенттері, ал екінші тік жолдың элементтері x2 белгісіздің коэффициенттері т.с.с. Осы анықтауыштың кез келген тік жолының, мысалы к-тік жолының элементтерін (xк белгісізінің коэффициенттерін) (1) жүйенің сәйкес бос мүшелерімен орын алмастырғанда алынған анықтауышты таңбасымен белгілейік:
= к=( )
Крамер теоремасы. Егер (1) біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең болмаса, онда ол анықталған жүйе. Бұл жүйенің шешімі Крамер формуласымен анықталады:
xk = , k=( ) (3)
(3) – Крамер формулалары деп аталады.
Мысал. Крамер формулаларын қолданып мына жүйені шешіңіз:

Шешімі:

, берілген жүйе – анықталған, оның бір ғана шешуі бар.
; ;

x1 = x2 = x3 = n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу

Жауабы: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3.

3. n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица және Жордан-Гаусс әдісімен шешу.