Сызықтық алгебра элементтері. анықтауыштар.матрицалар

Жоспары.

1. n.ретті анықтауыштар түралы түсінік.
2. Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу әдістері.
3. Лаплас жіктеуі ( теоремасы).
4. Матрицалар және олардың түрлері.
5. Матрицаларға қолданылатын амалдар.
6. Кері матрица.Матрица рангісі.
Жоспары.
1. n-ретті анықтауыштар түралы түсінік.
2. Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу әдістері.
3. Лаплас жіктеуі ( теоремасы).
4. Матрицалар және олардың түрлері.
5. Матрицаларға қолданылатын амалдар.
6. Кері матрица.Матрица рангісі.

1.n-ретті анықтауыштар туралы тусінік.
Біз элементтен жасалған мынандай кесте алайық:

(1)

Мұндай кестені матрица деп атайды. Бұл матрицаның элементтері n жатық және n тік жол бойымен орналасқан.
Анықтама. Реті n-ге тең анықтауыш деп (1) матрицаның жатық жолдары мен тік жолдарының әрқайсысынан бір-бірден алынған n элементтің көбейтіндісінен тұратын n! қосылғыштың алгебралық қосындысын айтады. n -ші ретті анықтауышты былай белгілейді:




Δ =

Мұндағы - анықтауыштың элементтері болады. Бірінші индекс i жатық жолдың, екінші индекс j тік жолдың нөмірі. элементтерінен тұратын диагонал басты диагонал деп, ал , , ,... элементтерінен тұратын диагонал көмекші (қосалқы) диагонал деп аталады.

n-ші ретті анықтауыштардың негізгі қасиеттері.
Анықтауыштарды есептеудің барлық тәсілдері сол анықтауыштың қасиеттеріне негізделген.
Жатық жолдары мен тік жолдарын ауыстырып қоюдан анықтауыштың шамасы өзгермейді.
Анықтауыштың кез келген екі жатық не екі тік жолдарын өзара ауыстырып қоюдан анықтауыштың тек таңбасы ғана өзгереді.
Егер анықтауыштың екі жатық не екі жолдары бірдей болса, онда ол анықтауыш нөльге тең.
Анықтауыштың бір жатық не тік жолының барлық элементтерін кез келген санына көбейту амалы анықтауышты осы санына көбейтумен бірдей.
Егер анықтауыштың кез келген жатық не тік жолының барлық элементтері нөльге тең болса, онда анықтауыш та нөльге тең.
Егер анықтауыштың екі жатық, не тік жолдарының сәйкес элементтері пропорционал болса, онда анықтауыш нөльге тең.
Егер анықтауыштың кез келген жатық не тік жолының барлық элементтері екі (не бірнеше) санның қосындысынан тұрса, онда ол анықтауыштың қосындысы етіп жазуға болады.
Анықтауыштың кез келген бір жатық жолының не тік жолының артық көбейткішін оның алдына шығаруға болады.
Анықтауыштың кез келген бір жатық жолының не тік жолының элементтерін бірдей санға көбейтіп, басқа жатық жолдың не тік жолдың сәйкес элементтеріне қосқаннан анықтауыш өзгермейді.

2.Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу әдістері.
санын екінші ретті анықтауыш (детерминант) деп атайды және былай белгілейді
=
сонда анықтама бойынша
= = (3)
=
санын үшінші ретті анықтауыш (детерминант) деп атайды және былай белгілейді

= = (4)

Бұл формула Саррюс ережесі деп аталады («үшбұрыш» ережесі), оны үшінші ретті анықтауыштарды есептеу үшін қолданады. Схема түрінде былай көрсетуге болады:


Мысалдар: Анықтауышты есептеңіз
        
        Сызықтық алгебра элементтері.
Анықтауыштар.Матрицалар.
Жоспары.
1. n-ретті анықтауыштар түралы түсінік.
2. Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу әдістері.
3. Лаплас ... ( ... ... және ... түрлері.
5. Матрицаларға қолданылатын амалдар.
6. Кері матрица.Матрица рангісі.
1.n-ретті анықтауыштар туралы тусінік.
Біз элементтен жасалған мынандай кесте алайық:
(1)
Мұндай ... ... деп ... Бұл ... ... n ... және
n тік жол бойымен орналасқан.
Анықтама. Реті n-ге тең анықтауыш деп (1) матрицаның жатық жолдары мен ... ... ... ... n ... көбейтіндісінен
тұратын n! қосылғыштың алгебралық ... ... n -ші ... ... белгілейді:
Δ =
Мұндағы - анықтауыштың элементтері болады. Бірінші индекс i жатық
жолдың, екінші ... j тік ... ... ... ... басты диагонал деп, ал , ,,... элементтерінен
тұратын диагонал көмекші (қосалқы) диагонал деп ... ... ... ... ... ... барлық тәсілдері сол анықтауыштың
қасиеттеріне негізделген.
Жатық жолдары мен тік жолдарын ... ... ... ... кез ... екі ... не екі тік ... өзара ауыстырып
қоюдан анықтауыштың тек таңбасы ғана ... ... екі ... не екі ... ... ... онда ... нөльге тең.
Анықтауыштың бір жатық не тік жолының барлық элементтерін кез келген
санына көбейту ... ... осы ... ... ... ... кез келген жатық не тік жолының барлық элементтері
нөльге тең ... онда ... та ... ... ... екі жатық, не тік жолдарының ... ... ... онда ... нөльге тең.
Егер анықтауыштың кез келген жатық не тік жолының барлық ... (не ... ... ... ... онда ол ... қосындысы
етіп жазуға болады.
Анықтауыштың кез келген бір жатық жолының не тік ... ... оның ... ... болады.
Анықтауыштың кез келген бір жатық жолының не тік жолының элементтерін
бірдей санға көбейтіп, ... ... ... не тік ... ... ... анықтауыш өзгермейді.
2.Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу ... ... ... ... (детерминант) деп атайды және былай
белгілейді
=
сонда анықтама бойынша
= = ... ... ... ... ... (детерминант) деп атайды және былай белгілейді
==
(4)
Бұл формула Саррюс ережесі деп аталады («үшбұрыш» ережесі), оны ... ... ... үшін қолданады. Схема түрінде былай көрсетуге
болады:
Мысалдар: Анықтауышты есептеңіз
а) = = 4*3 – 5*(-2) = 12 + 10 = ... = = ... ... ... ... ( ... үлкен анықтауыштарды есептеу қиындыққа келтіреді, сондықтан
оларды есептеу үшін ... ... ... және ... ... ... ... берілген анықтауыштың ретін
төмендетеді.
n -ші ретті анықтауыш берілсін делік:
= ... ... ... ... деп, ... і ... жолы мен j тік ... сызып тастағаннан кейін қалатын
(n-1) ретті анықтауышты айтады.
= (5)
Берілген ... ... ... толықтауышы
деп, осы элементтің миноры мен ... ... ... ... ретті анықтауыш берілген.
=
Осы анықтауыштың ... ... ... оның ... ... ... теоремасы (Лапластың жіктеу теоремасы). Анықтауыштың кез келген
жатық (тік) жолдарының элементтерімен оның алгебралық ... ... осы ... ... тең, яғни
(7)
Кез келген n-ші ретті анықтауыштарды есептеу үшін олардың тік ... ... ... ... ... есептеуге болады. Бұл әдістің
мақсаты – анықтауыштардың ретін төмендету. Лаплас теоремасы реті төртке ... ... ... ... есептеуде қолданылады. (7) формуланы
қолдану арқылы анықтауыштың ретін бірге төмендете отырып ... ... ... ... ... ... анықтауыштарға келтіруге болады және
анықтауыштың қасиетін пайдаланып жіктейін деп ... тік ... ... бір ... ... нөльге айналдыру арқылы ... ... ... төртінші ретті анықтауышты есептеңдер:
Анықтауышты екінші жатық жолының элементтері ... ... ... және олардың түрлері.
Анықтама. m*n-ретті матрица деп, m-жатық және n-тік жолдардан анықталған
тік бұрышты кестені айтады, ол мына ... ... ; ; ... ... ... деп ... ... индекс і
матрицаның жатық жолының, ал екінші индекс j-тік жолының нөмерін анықтайды.
Матрицалар латын алфавитінің бас ... ... ... ... элементтері – кіші әріптерімен: , .
Матрицаның дербес түрлері.
Егер матрицаның жатық жолының саны тік жолының санына тең болса, ... ... ол ... квадратты (квадрат) матрица деп аталады, яғни:
A=(2)
Бұл жағдайда А матрица n-ші ретті матрица деп аталады.
Квадратты матрицаның элементтері оның бас ... ал ... ... ... деп аталады.
Егер матрицаның барлық элементтері нөлге тең болса, онда ол ... ... деп ... және ол 0 ... ... ... бас диагоналының элементтерінен өзге элементтері
нөлге тең болса: егер егер ... ол ... ... ... деп аталады және мына түрде белгіленеді:
Егер диагоналды матрицаның барлық элементтері бірге тең ... ... ... ... деп ... және ол Е ... белгіленеді. Мысалы,
үшінші ретті бірлік матрица мынадай болады:
Е =
Егер бас диагоналдан төмен орналасқан немесе жоғары орналасқан ... тең ... онда ... ... A=
матрица үшбұрышты матрица деп ... ... бір тік ... ... ... онда ол ... тік
(жатық) жолды матрица деп аталады және ол
; ... ... ... A мен B ... тең деп ... егер ... сәйкес
элементтері тең болса.
Біз кез келген m*n ретті:
матрицаны қарастырайық.
Анықтама. ... m*n ... А ... ... ... ... егер ... орындалса, және ол былай белгіленеді:
(3) ... ... ... жатық жолдарының элементтерін оның ... ... ... элементтерімен орын алмастыру нәтижесінде берілген А
матрицасының транспонирленген матрица n* m-ретті матрица екендігі шығады.
Берілген квадрат А матрицаның ... ... ... мына
түрде белгіленеді
немесе det A=
Анықтама. Егер А матрицасының анықтауышы нөлге тең ... яғни ... А ... ... емес ... деп ... ал егер ... онда
ол ерекше матрица деп аталады.
5. Матрицаларға қолданылатын амалдар.
Матрицаларға қосу, алу, көбейту және ... ... ... ... ... ... қосу және азайту.
Бірдей ретті мен матрицаларының қосындысы (айырмасы) деп ... ... ... және оның кез ... ... ... ...
Мысалы: және ... ... ... ... ... ... енді A және B ... айырмасын табайық:
2. Матрицаларды нақты санға көбейту:
Кез келген А матрицаны нақты ... ... үшін ... ... сол ... ... керек. Мысалы, егер және
онда:
3. Матрицаларды көбейту.
Берілген m*n ретті А матрицаның n*k ретті В ... ... m*n ... С ... айтады:
Ал оның кез келген элементтері (4) ... ... А ... В ... ... болады, егер А матрицаның
тік жолының саны В матрицасының жатық ... ... тең ... ... матрицаның жатық жолының саны А ... ... ... тең, ал оның тік жолының саны В матрицаның тік жолының санына тең.
Мысал: ; ... ... ... бола ма? . Бұл ... А
матрицаны В матрицаға көбейтуге болады, себебі А ... тік ... В ... ... ... ... тең:
AB= =
=
=
Ал В матрицаны А матрицаға көбейтуге ... ... В ... ... саны А ... ... жолының санына тең емес.
Енді екінші ретті А мен В квадрат матрицаларының көбейтінділерін
қарастырайық, мысалы:
A=; ... ... ... AB= ал ... егер А*В мен В*А ... бар болғанымен де олар өзара тең
емес, яғни . ... ... ... көбейтінділеріне ауыстырымдылық
қасиет орындалмайды. Сонымен (4) формуладан матрицалардың көбейтінділеріне
мына қасиеттер орындалады (егер көбейтінділер бар болса):
1) терімділік ...
2) ... ... ... көбейту арқылы А*Е=Е*А=А теңдігі ... оңай ... Кері ... ... рангісі.
Бізге n-ретті ерекше емес А матрица берілсін.
Анықтама. матрица А матрицасының кері матрицасы деп аталады, егер
(5)
теңдігі ... ... Е- n ... ... ... ... ... бар болуы). Кез келген квадратты А матрицаның
кері матрицасы бар болуы үшін, ол матрица ... емес ... ... әрі жеткілікті және ол мына төмендегі:
= (6)
формуламен анықталады.
Мұндағы ... А ... ... ... Берілген матрицаның кері матрицасын ... 1 ... ... ... кері ... бар ... Ол үшін матрицаның анықтауышын есептейміз
=0+4-1-0-2+6=70
Демек, берілген матрицаның кері матрицасы бар және оны ... ... Енді ... ... ... ... ... A21=(-1)2+1=-(2+1)=-3
A12=(-1)1+2=-(1-2)=1 A22=(-1)2+2=3-1=2
A13=(-1)1+3=-1-0=-1 ... Енді кері ... ... A A-1=Е
Сонда, A A-1===
===E Жауабы: A-1=
Матрицаның рангісі.
Анықтама. А ... ... тең емес ... ең ... реті ... деп ... және ол rang А деп ... түрлендірулер матрицаның рангісін өзгертпейді. Элементар
түрлендірулер деп мына түрлендірулерді айтамыз:
1) Транспонирлеу – матрицаның барлық тік жолдарын ... ... ... ... Екі тік (жатық) жолдын орын ауыстыру;
3) Кез келген тік (жатық) элементтерін санына ... Кез ... тік ... ... элементтерін санына көбейтіп келесі
кез келген тік (жатық) жолының сәйкес элементтеріне қосу.
m*n-ретті А матрицасын қарастырайық:
Берілген m*n-ретті ... ... С C ... ... ... k n, k m ... 3*4 ... ... ... (k=1) C C=12 минор құруға болады.
Ол минорлар берілген матрицаның элементтері. Ал екінші ретті (k=2) ... ... ... ... ... ... өзгеше екінші дәрежелі
миноры бар болады.
Үшінші ретті минорлар (k=3) минор ... ... ... ... ... да ... ... матрицаның реттілігі бұдан жоғары минорлары болмайды. Олай болса,
бұл матрицаның рангісі rang A=2. Енді осы есепті екінші ... ... ... әдіспен:
Сонымен, r=rang A=2.
Өздік жұмысына арналған есептер.
Берілген анықтауыштарды есептеңіз:
1) 2) 3) 4) 5) ... 1)-3 2)25 3)160 4)-252 ... ... ... ... ... дегеніміз не?
а) әріп
b) функция
c) сан
d) аргумент
2. Берілген ... ... ... табыңыз.
а) 1
b) 4
c) -3
d) 3
3. элементінің алгебралық толықтауыш формуласын көрсетіңіз.
а)
b)
c)
d)
4. ... ... ... және екінші жатық
жолдарының орнын ауыстырғанда, онда
а) анықтауыштың таңбасы кері таңбаға ауысады;
b) ... мәні үш есе ... ... мәні ... ... анықтауыштың мәні өзгермейді
5. Берілген
Есептемей, осы анықтауыштың мәнін анықтаңдар
а) -12 в) 0 с) 8 d) ... ... ... ... есептеңіз
а)0 в)2 с)-2 ... ... ... в)-120 с)120 ... ... ... ... ... ... ... табыңыздар.
1) 2)
3. ... ... ... ... матрицаларға кері матрицаны табыңыз.
4) 5)
6. ... ... ... ... 2) 3) 4)
5) 6) ... ... тексеруге арналған сұрақтар.
1) Матрица дегеніміз не?
a) сан
b) ... ... ... ... ... ... ... болады?
a) бір ретті матрицаларды
b) бір ретті емес матрицаларды
c) егер бір ... ... жол саны ... тік жол ... тең ... егер бір матрицаның тік жол саны екіншінің жатық жол санына тең ... ... ... бір ... көбейтуге болады?
a) егер бірінші матрицаның жатық жол саны екінші ... тік жол ... ... егер ... ... тік жол саны ... ... жатық жол санына
тең болса
c) егер бірінші матрицаның тік жол саны екінші матрицаның тік жол ... ... егер ... ... ... жол саны ... ... жатық жол
санына тең болса
-----------------------
-2
2

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 14 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 400 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Анықтауыш29 бет
Тиімді шешім туралы ұғым23 бет
Алгебралық теңдеулер жүйесін шешу56 бет
Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері23 бет
Қазіргі қазақ тіліндегі етістіктен жасалған анықтауыштар53 бет
C++ тілінде сызықтық тізіммен жұмыс29 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
Алгебра жалпы ұғым ретінде51 бет
Алгебра және математикалық анализ бастамалары3 бет
Алгебра элементтерін оқыту әдістемесі15 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь