Геометриялық есептерді шешу
Мазмұны
Кіріспе
1 Геометриялық есептерді шешудің ғылыми . теориялық негіздері.
1.1 Геометрия ғылымының даму тарихы, кезеңдері.
1.2 Геометрия түрлері, планиметрия курсын шешуге үйрену.
1.3 Геометриялық есептердің шешу жолдары, мысалдар.
2 Геометриялық есептердің қолданулары
2.1 Геометриялық есептердің алгебралық қолданулары, мысалдар келтіру.
2.2 Геометриялық есептердің тригонометриялық қолданулары.
2.1.1 Геометриялық есептерді алгебралық теңдеу және теңдеулер жүйесінде қолдану.
2.1.2 Геометриялық есептерді функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуда қолдану
2.1.3 Геометриялық есептерді векторда қолдану.
2.1.4 Геометриялық есептерді параметрлік теңдеулерде қолдану.
Қорытынды.
Пайдаланылған әдебиеттер
Кіріспе
1 Геометриялық есептерді шешудің ғылыми . теориялық негіздері.
1.1 Геометрия ғылымының даму тарихы, кезеңдері.
1.2 Геометрия түрлері, планиметрия курсын шешуге үйрену.
1.3 Геометриялық есептердің шешу жолдары, мысалдар.
2 Геометриялық есептердің қолданулары
2.1 Геометриялық есептердің алгебралық қолданулары, мысалдар келтіру.
2.2 Геометриялық есептердің тригонометриялық қолданулары.
2.1.1 Геометриялық есептерді алгебралық теңдеу және теңдеулер жүйесінде қолдану.
2.1.2 Геометриялық есептерді функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуда қолдану
2.1.3 Геометриялық есептерді векторда қолдану.
2.1.4 Геометриялық есептерді параметрлік теңдеулерде қолдану.
Қорытынды.
Пайдаланылған әдебиеттер
Кіріспе
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.
Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиеленіп өсуі бүгінгі мемлекеттің алдына қойылған мақсат, міндеттерінің бірі. Бұл мақсат әрбір орта мұғалімімен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы оқу бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, ұрпақты жеке тұлға етіп тәрбиелеуге математика пәнінің де алатын орны зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп – басты қызметші болып табылады. Есептің негізгі: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін математикалық білім алады. Шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбнесе әр есеп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғамның дамуының әртүрлі кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде есептер жинағы көпестердің сауда – саттығында, тағы сол сияқты мазмұнда болды. Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғарғы маральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, инернационалдық және патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Жалпы келешек ұрпақты есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймай, оларды есеп шығаруды үйретуге тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару,сөйлеу мәдениетіне, мінез – құлықтың қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа, бастаған істі аяғына дейін жеткізуге, қиындықты жеңе білугетағы сол сияқты қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпал тигізетіні анық.
Бұл жұмыс геометриялық есептерді шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне: алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығаруға арналады.
Геометриялық есептерді шешу математикадағы маңызды тақырыптарының бірі болып саналады. Себебі, көптеген табиғи процестер мен құбылыстар т.с.с оқытудың мазмұны пән аралық байланыстар және пәннің ішкі байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ортаны математика тілімен зерттеу, түсіну, ой қорыту мақсатында жинақталады. Жас ұрпақтың осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады.
Геометрия – бұл түсінудің әдісі, ойлау түрі әрі ғылым мен техниканы меңгерудің тілі десе де болады. Геометриялық білімнің қолданылумәнін үйрену әр тұрлі мамандықтарды игеруде кеңістікті жан - жақты ойлау қабілеттілігінен туындайды.
Бұл дипломдық жұмыстың негізгі екі геометриялық бағыты бар, оның біріншісі фигуралардың және денелердің түріне байланысты теңдіктер белгісін ажырату және нүктелер, түзулер, жазықтардың өзара байланысын анықтау болады. Ал, екіншісі геометриялық фигуралар мен денелерге әр түрлі өлшеу жұмыстарын жүргізуге байланысты бағытталады. Жұмысбарысында біз геометриялық шамалармен (ұзындық, бұрыш, аудан, көлем т.с.с) танысамыз, фигуралар элементтерінің өзара байланысын білдіретін сандық мінездеушілеріне қатысты формулалар пайдаланып есеп шығаруға, есеп шығару барысында оларды дәлелді талқылауға, логикалық ойлау арқылы шешу мақсатын ұстанамыз.
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.
Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиеленіп өсуі бүгінгі мемлекеттің алдына қойылған мақсат, міндеттерінің бірі. Бұл мақсат әрбір орта мұғалімімен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы оқу бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, ұрпақты жеке тұлға етіп тәрбиелеуге математика пәнінің де алатын орны зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп – басты қызметші болып табылады. Есептің негізгі: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін математикалық білім алады. Шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбнесе әр есеп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғамның дамуының әртүрлі кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде есептер жинағы көпестердің сауда – саттығында, тағы сол сияқты мазмұнда болды. Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғарғы маральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, инернационалдық және патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Жалпы келешек ұрпақты есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймай, оларды есеп шығаруды үйретуге тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару,сөйлеу мәдениетіне, мінез – құлықтың қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа, бастаған істі аяғына дейін жеткізуге, қиындықты жеңе білугетағы сол сияқты қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпал тигізетіні анық.
Бұл жұмыс геометриялық есептерді шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне: алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығаруға арналады.
Геометриялық есептерді шешу математикадағы маңызды тақырыптарының бірі болып саналады. Себебі, көптеген табиғи процестер мен құбылыстар т.с.с оқытудың мазмұны пән аралық байланыстар және пәннің ішкі байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ортаны математика тілімен зерттеу, түсіну, ой қорыту мақсатында жинақталады. Жас ұрпақтың осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады.
Геометрия – бұл түсінудің әдісі, ойлау түрі әрі ғылым мен техниканы меңгерудің тілі десе де болады. Геометриялық білімнің қолданылумәнін үйрену әр тұрлі мамандықтарды игеруде кеңістікті жан - жақты ойлау қабілеттілігінен туындайды.
Бұл дипломдық жұмыстың негізгі екі геометриялық бағыты бар, оның біріншісі фигуралардың және денелердің түріне байланысты теңдіктер белгісін ажырату және нүктелер, түзулер, жазықтардың өзара байланысын анықтау болады. Ал, екіншісі геометриялық фигуралар мен денелерге әр түрлі өлшеу жұмыстарын жүргізуге байланысты бағытталады. Жұмысбарысында біз геометриялық шамалармен (ұзындық, бұрыш, аудан, көлем т.с.с) танысамыз, фигуралар элементтерінің өзара байланысын білдіретін сандық мінездеушілеріне қатысты формулалар пайдаланып есеп шығаруға, есеп шығару барысында оларды дәлелді талқылауға, логикалық ойлау арқылы шешу мақсатын ұстанамыз.
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
1. Куликова Л. В. ,Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008.
2. В.А. Филимонов, Геометрия помогает решить задачу – Математика в школе № 2-3, 1992
3. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др., Алгебра и начало анализа: Учеб. Для 10-11 кл. образоват. учреждений ,– 10-е изд., дораб. – М.: Просвящение, 2002. – 384с.
4. А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа» 10-11 сынып оқулығы
5. «2000 задач по алгебре и началам анализа»;
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. – М.: АСТ, 2007 – 474 с.
Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу: Учебное пособие. - М.: МЦНМО, 2007. – 608 с.
6. Сергеев И. Н. Математика. Задачи с ответами и решениями: учебное пособие. - М.: КДУ; Владимир: ВКТ, 2008. – 368 с.
7. Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике: Решение задач.: Учебное пособие для 11 кл. сред. шк. – М. Просвещение, 1991. – 384 с.
10. П.И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.
11. М. И. Башмаков. Уравнения и неравенства. – М.: Наука: библиотечка физико-математической школы, 1976.
12. Балаян Э.Н. Математика. Сам себе репетитор. Задачи повышенной сложности. Серия «Абитуриент», Ростов на –Дону: Изд-во «Феникс», 2004.
13. Гусев В.А. и др. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. – М., Просвещение. 1977.
14. Гусев В.А. и др. Практикум по решению задач. Геометрия. –М., Просвещение. 1985.
15. Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Методические рекомендации и дидактические материалы. Пособие для учителя. –М., 1987.
16. Дорофеев Г.В. Язык преподавания математики и математический язык. Современные проблемы методики преподавания математики.
–М., 1985.
17. Есмұқан М.Е. Математиканы мектепте ақпарлық технологиямен оқыту, Көкшетау, 2002 ж. 327б
18. Епишева О.Е., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Книга для учит. – М., 1990.
19. Жәутіков О. А. Математиканың даму тарихы. –А., 1967. -331б.
20. Кабанова-Меллер Е.Н. Учебная деятельность и развивающее обучение, М., 1981, 96 с.
21. Каңлыбаев Қ. және т.б. Математикадан кластан тыс жұмыстар. А., Мектеп. 1983.
22. Көбесов А. Орта мектепте математиканы оқыту методикасы.-А,
23. Көбесов А. Математика тарихы. Оқу құралы. –А., 1997. -240б.
24. Кенеш Ә. С. Математикалық ұғымдарды оқыту негіздері. А., 1999.
25. Кожабаев К.Г. О воспитательной направленности обучения математике в школе. Книга для учителя. –М., Просвещение. 1988.
26. Колягин Ю.М. и др. Основные понятия современного школьного курса математики / Под ред. А.И. Маркушивича. –М., Просвещение, 1974.
27. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. –М., Просвещение.
28. Колягин Ю.М. и др. Сборник задач и упражнеий по алгебре для 6-8 классов. Пособие для учителей. –М., Просвещение. 1987.
29. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. –М., Наука, 1986.
30. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. Учеб. Пособие для студ. Физ-мат./Е.И.Лященко, К.Б.Зубкова и др.-М.,1988.
1. Куликова Л. В. ,Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008.
2. В.А. Филимонов, Геометрия помогает решить задачу – Математика в школе № 2-3, 1992
3. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др., Алгебра и начало анализа: Учеб. Для 10-11 кл. образоват. учреждений ,– 10-е изд., дораб. – М.: Просвящение, 2002. – 384с.
4. А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа» 10-11 сынып оқулығы
5. «2000 задач по алгебре и началам анализа»;
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. – М.: АСТ, 2007 – 474 с.
Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу: Учебное пособие. - М.: МЦНМО, 2007. – 608 с.
6. Сергеев И. Н. Математика. Задачи с ответами и решениями: учебное пособие. - М.: КДУ; Владимир: ВКТ, 2008. – 368 с.
7. Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике: Решение задач.: Учебное пособие для 11 кл. сред. шк. – М. Просвещение, 1991. – 384 с.
10. П.И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.
11. М. И. Башмаков. Уравнения и неравенства. – М.: Наука: библиотечка физико-математической школы, 1976.
12. Балаян Э.Н. Математика. Сам себе репетитор. Задачи повышенной сложности. Серия «Абитуриент», Ростов на –Дону: Изд-во «Феникс», 2004.
13. Гусев В.А. и др. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. – М., Просвещение. 1977.
14. Гусев В.А. и др. Практикум по решению задач. Геометрия. –М., Просвещение. 1985.
15. Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Методические рекомендации и дидактические материалы. Пособие для учителя. –М., 1987.
16. Дорофеев Г.В. Язык преподавания математики и математический язык. Современные проблемы методики преподавания математики.
–М., 1985.
17. Есмұқан М.Е. Математиканы мектепте ақпарлық технологиямен оқыту, Көкшетау, 2002 ж. 327б
18. Епишева О.Е., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Книга для учит. – М., 1990.
19. Жәутіков О. А. Математиканың даму тарихы. –А., 1967. -331б.
20. Кабанова-Меллер Е.Н. Учебная деятельность и развивающее обучение, М., 1981, 96 с.
21. Каңлыбаев Қ. және т.б. Математикадан кластан тыс жұмыстар. А., Мектеп. 1983.
22. Көбесов А. Орта мектепте математиканы оқыту методикасы.-А,
23. Көбесов А. Математика тарихы. Оқу құралы. –А., 1997. -240б.
24. Кенеш Ә. С. Математикалық ұғымдарды оқыту негіздері. А., 1999.
25. Кожабаев К.Г. О воспитательной направленности обучения математике в школе. Книга для учителя. –М., Просвещение. 1988.
26. Колягин Ю.М. и др. Основные понятия современного школьного курса математики / Под ред. А.И. Маркушивича. –М., Просвещение, 1974.
27. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. –М., Просвещение.
28. Колягин Ю.М. и др. Сборник задач и упражнеий по алгебре для 6-8 классов. Пособие для учителей. –М., Просвещение. 1987.
29. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. –М., Наука, 1986.
30. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. Учеб. Пособие для студ. Физ-мат./Е.И.Лященко, К.Б.Зубкова и др.-М.,1988.
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 54 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 54 бет
Таңдаулыға:
Аннотация
Студенттің аты-жөні: Пажир Ахсунхар
Павлодар мемлекеттің униврситетінің, физика математика және ақпараттық технология кафедрасының, актуарлы математика мамандығының 4 курс студенті.
Дипломдық жобаның тақырыбы: геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу.
Дипломдық жобаның мақсаты:
* Геометриялық есептердің түрлерін зерттеп, оларды алгебралық, тригонометриялық теңдеулер түрінде шешу жолдарын қарастыру.
Зерттеу кезеңдері:
* тақырыпты негіздеу, мақсаттары мен міндеттерін айқындау;
* тақырыпқа байланысты теориялық ақпараттар жинақтау, әдебиеттерге шолу жасау, талдау;
* геометрияға шолу жасау;
* алгебралық теңдеулердің түрлерін қарастыру, мысалдар келтіру;
* тригонометриялық теңдеулердің түрлерін қарастыру, мысал келтіру;
* геометрия есептерін алгебралық, тригонометриялық теңдеулер жүйесі арқылы шешу жолдарын қарастыру;
* алынған нәтижелер бойынша есептер жинағын құру, жинақтау;
* жұмысты қорытындылау.
Жұмыс нәтижелері мен қорытындылары:
oo Есепті бұл жолмен шығару бастапқы іс - әрекетті нақты айқындайды;
oo Графиктік сурет - теңдеулерді құрастыруда, есептердің бірнеше шығару жолдарын қарастырғанда талдау жасауды жеңілдетеді;
oo Теңдеулерді шешудің жаңа технологиясын көрсетеді;
oo Әр түрлі есептерді қарастыра отырып, бірнеше геометриялық есептерді көрсетіп, есептерді шешуде алгебралық, тригонометриялық әдіс пен геометриялық әдісті салыстырдық;
oo Бұл жерде геометриялық әдіспен шығару ойлау қабілетін арттырады және уақытты үнемдей білуге үйретеді.
Мазмұны
Кіріспе
1
Геометриялық есептерді шешудің ғылыми - теориялық негіздері.
1.1
Геометрия ғылымының даму тарихы, кезеңдері.
1.2
Геометрия түрлері, планиметрия курсын шешуге үйрену.
1.3
Геометриялық есептердің шешу жолдары, мысалдар.
2
Геометриялық есептердің қолданулары
2.1
Геометриялық есептердің алгебралық қолданулары, мысалдар келтіру.
2.2
Геометриялық есептердің тригонометриялық қолданулары.
2.1.1
Геометриялық есептерді алгебралық теңдеу және теңдеулер жүйесінде қолдану.
2.1.2
Геометриялық есептерді функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуда қолдану
2.1.3
Геометриялық есептерді векторда қолдану.
2.1.4
Геометриялық есептерді параметрлік теңдеулерде қолдану.
Қорытынды.
Пайдаланылған әдебиеттер
Кіріспе
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.
Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиеленіп өсуі бүгінгі мемлекеттің алдына қойылған мақсат, міндеттерінің бірі. Бұл мақсат әрбір орта мұғалімімен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы оқу бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, ұрпақты жеке тұлға етіп тәрбиелеуге математика пәнінің де алатын орны зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп - басты қызметші болып табылады. Есептің негізгі: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін математикалық білім алады. Шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбнесе әр есеп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғамның дамуының әртүрлі кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде есептер жинағы көпестердің сауда - саттығында, тағы сол сияқты мазмұнда болды. Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғарғы маральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, инернационалдық және патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Жалпы келешек ұрпақты есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймай, оларды есеп шығаруды үйретуге тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару, сөйлеу мәдениетіне, мінез - құлықтың қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа, бастаған істі аяғына дейін жеткізуге, қиындықты жеңе білуге тағы сол сияқты қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпал тигізетіні анық.
Бұл жұмыс геометриялық есептерді шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне: алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығаруға арналады.
Геометриялық есептерді шешу математикадағы маңызды тақырыптарының бірі болып саналады. Себебі, көптеген табиғи процестер мен құбылыстар т.с.с оқытудың мазмұны пән аралық байланыстар және пәннің ішкі байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ортаны математика тілімен зерттеу, түсіну, ой қорыту мақсатында жинақталады. Жас ұрпақтың осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады.
Геометрия - бұл түсінудің әдісі, ойлау түрі әрі ғылым мен техниканы меңгерудің тілі десе де болады. Геометриялық білімнің қолданылу мәнін үйрену әр тұрлі мамандықтарды игеруде кеңістікті жан - жақты ойлау қабілеттілігінен туындайды.
Бұл дипломдық жұмыстың негізгі екі геометриялық бағыты бар, оның біріншісі фигуралардың және денелердің түріне байланысты теңдіктер белгісін ажырату және нүктелер, түзулер, жазықтардың өзара байланысын анықтау болады. Ал, екіншісі геометриялық фигуралар мен денелерге әр түрлі өлшеу жұмыстарын жүргізуге байланысты бағытталады. Жұмысбарысында біз геометриялық шамалармен (ұзындық, бұрыш, аудан, көлем т.с.с) танысамыз, фигуралар элементтерінің өзара байланысын білдіретін сандық мінездеушілеріне қатысты формулалар пайдаланып есеп шығаруға, есеп шығару барысында оларды дәлелді талқылауға, логикалық ойлау арқылы шешу мақсатын ұстанамыз.
Есеп ұғымын анықтауда ғалымдар арасында бірнеше көзқарастар болған. Есеп дененіміз не? деген сұраққа белгілі әдіскер В.М.Брадис былай дейді: Есеп деп өтілген крустан қандай да бір анықтаманы, текстіні немесе теоремалардың дәлелденуін, аксималар немесе ережелердің тұжырымдалуын жай ғана қайталап келтіру оған жауап беруге жеткіліксіз болатын кез келген математикалық сұрақтар .
Демек,есеп шығару математикалық ұғымдарды қалыптастырып, байытуға, математикалық ойлау өрісін кеңейтуге, білімді практикада қолдануға, табандылық, ізденгіштік, еңбек сүйгіштік қасиеттерін тәрбиелеуге бағытталады.
Осыған жақын анықтаманы математикадан білім беру жөніндегі халықаралық комиссияда жасалған америка өкілінің баяндамасында да кездестіруге болады: математикалық есеп-жауабы бірден тікелей немесе белгілі бір схеманы қолдану арқылы табылмайтын математикалық сұрақ
Қазіргі педагогиканың түйінді мәселелерінің бірі - білімгерлердің логикалық ойлауын дамыту, алған білімдерін тиімді қолдануға бағыттау, математикаға қызығушылықты арттыру, табиғат пен күнделікті тіршілікке жақындату, дамыта отырып оқыту, ынтымақтастық педагогикасының қағидаларын пайдалану және адамгершілікке тәрбиелеу.
Стандарт емес ойлауды талап ететін геометриялық есептерді тек білім дәрежесі жоғары оқушыларға ғана емес, барлығына ұсыну керек. Әсіресе логикалық ойлау дәрежесі төмен білім алушыларға мұндай есептер қажет.
Білім беру туралы Қазақстан Республикасының заңында пәнаралық байланысқа көңіл бөлу қажеттілігі айтылған. Осыған орай жаңа заңға байланысты математиканың ішкі және басқа пәндермен байланыстарына ерекше көңіл бөлу қажет. Математиканың ішкі байланысы дегеніміз - алгебра, тригонометрия және геометрия курстарының арасындағы байланысын айтамыз. Геометрия фигураларының аудандарын, қабырғаларын, бұрыштарын және т.б. табуға байланысты кейбір есептерді шешкенде алгебраның, тригонометрияның геометриямен байланысын байқаймыз.
Орта мектептерде, педагогикалық жоғарғы оқу орындарының физика - математика факультеттерінде геометрияны оқытудың аса маңызды міндеттерінің бірі - студеттердің кеңістік жөніндегі түсінігін жан-жақты дамыту, сондай-ақ кеңістіктегі объектілерді ойша көз алдына елестетіп, оларға әр түрлі амалдар қолдана білу дағдысын қалыптастыру болып табылады.
Дайын формулалардың көмегімен кеңістіктегі фигуралардың толық бетін, көлемін оңай есептегенімен, кейбір білім алушылар кеңістіктегі жай фигуралар арасындағы қатынастарды анықтауда қиналады. Білім алушылардың кеңістік жөніндегі түсінігін дамытуда стереометриялық салу есептерінің де маңызы зор. Академик А.Н. Колмогоров айтқандай Инженерлер мен техниктерге жұмыс барысында математика қажет. Алгебралық және тригонометриялық формулалар немесе геометрияның ұғымдары әрбір шеберге немесе тәжрибелі жұмысшыға өте қажет.
Геометриялық есептердің шығарылуы өзінің көрнекілігімен ерекшеленеді, өйткені алынған нәтижелер айқын, әрі түсінуге оңай болады. Графиктік (яғни геометриялық бейнені) пайдалану қазіргі ақпараттарды компьютер арқылы іске асыру мақсатын көздейді. Геометриялық білім практикалық және ғылыми маңызды есептерді шығару үшін керекті әдістер мен тәсілдерді, теориялық материалдарды толық игеруге ықпал етеді. Сонымен қатар адамның дүние танымын қалыптастырып, қоршаған орта, кеңістік туралы және т.б. көптеген мағлұматтар береді.
Сонымен сіздердің назарларыңызға геометриялық есептердің тұрлері және оларды шешу әдістеріне тоқталып: алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу жолдарын ұсынамыз. Бұл жұмыстың мазмұны, болашақ мамандардың шығармашылық шыңдылықтарын арттыру үшін маңызы зор тақырыптардың бірі болып табылады. Себебі қазіргі кезде де геометрия курсының есептерін жүйелі түрде ұйымдастырмаған.
Сондықтан, дипломдық жұмыстың тақырыбын Геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығару деп алынды және ізденістерімді осы мазмұндарды ашуға арнаймын.
Дипломдық жұмыстың мақсаты - геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық теңдеулер мен түрлі бағытта есептер шығару болып табылады.
Дипломдық жұмыстың міндеті - геометриялық есептерді алгебралық және тригонометриялық бағытты тиімді әдіс - тәсілдермен, көрнекті мысалдармен шығару.
Жоғарғыда көрсетілген мақсаттарға жетіп, міндеттерді орындау барысында көптеген ғалымдар мен әдіскерлердің жұмыстарына шолулар мен талдаулар жасалды. Әсіресе, геометриялық есептерді алгебралқ, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығарудың негізі жан - жақты қарастырылған.
Дипломдық жұмыстың мазмұны кңрңспеден, екі тараудан, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 Геометриялық есептерді шешудің ғылыми - теориялық негіздері.
0.1 Геометрия ғылымының даму тарихы мен кезеңдері
Геометрия (гр. geometrіa, ge -- Жер және metrio -- өлшеймін) -- математикадағы кеңістіктіктер пішіндер (формалар) мен қатынастарды, сонымн қатар, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін ғылымның негізгі саласы. Геометриялық фигуралар да кеңістіктік пішіндер болып саналады. Геометриялық тұрғыдан қарасақ сызық -- "сым" емес, шар -- "домалақ дене" емес, олардың барлығы да -- кеңістік пішіндер. Ал кеңістік қатынастар -- фигуралардың мөлшері мен орналасуын анықтайды. Мысалы, центрлері ортақ, радиустары 5 см және 7 см шеңберлер қиылыспайды, "біріншісі екіншісінің ішінде жатады" десек -- шеңберлердің мөлшері мен орналасуы жөнінде айтылып тұр. Бұндағы бірінші шеңбер -- кішісі, екіншісі -- үлкені, бірінші шеңбер екіншісінің ішінде орналасқан. Осыған қарай кеңістіктік қатынастар "үлкен", "кіші", "ішінде", "сыртында" терминдері арқылы анықталған. "Тең", "параллель", тағы да басқа сөздер де кеңістіктік қатынастарын сипаттайды.
"Геометрия" терминін дәл аударғанда "жерді өлшеу" болып табылады. Бұл ғылымның алғашқы түп нұсқалары Ежелгі Мысыр (Египет) елінде шыққан. Жер өлшеу өнерін мысырлықтардан үйренген ежелгі гректер оны алғаш кезде өз тілінде "Геометрия" деп атаған. Осы термин кейін көптеген халықтардың тіліне еніп, ғылыми терминге айналған. Геометрия заңдылықтарын жер учаскелерін өлшеуде қолдануға болады, бірақ Геометрияның негізгі бет бұрысы ол емес. Геометрияда қолдануға болатын мәселелер шексіз көп. Сондықтан Геометрия ерте заманнан-ақ кеңістіктік пішіндер мен қатынастар жөніндегі ғылым ретінде қалыптасқан. Геометрияны тек жер өлшеу жұмыстары ғана тудырған жоқ. Бұл бағытта ғылыми-практикалық деректердің молайып, қорлануына үй, көпір, пирамида, әскери бекіністер, тағыда басқа құрылыстар салу, арналар қазу, ыдыстардың сыйымдылығын өлшеу, құрылыстарға қажетті материалдардың шамасын алдын ала есептеу елеулі әсер етті. Геометрия ұғымдары дүниеде кездесетін заттардың дербес физикалық қасиеттерін еске алмай, абстракциялап (яғни, дерексіздендіріп), олардың тек мөлшері мен өзара орналасуын ғана қарастыру нәтижесінде пайда болған. Қалыпқа салынып соғылған кірпіштердің, құрылысқа арналып шабылған қырлы тастардың, шеберлердің кесіп, сүргілеп тегістеген бұйымдарының сыртқы тұрпаты -- пішіні бірдей болады. Мұндай пішін төрт бұрышты призма деп аталады. Үш бұрышты, бес бұрышты, тағыда басқа призмалар болады. Геометрияда призманың қандай материалдан жасалғандығы есепке алынбайды, оның тек мөлшері мен орналасуы ғана зерттеледі. Цилиндр, конус, шар, Геометрия ұғымдар да осылай қалыптасқан. Сонымен геометриялық денелер -- темп-расы, массасы, жасалған материалы мен жеке қасиеттері қарастырылмайтын физыкалық денелер денелер.
Дененің шекарасы -- бет. Ол денені қаптап, қоршап, шектеп, кеңістіктен бөліп тұрады. Бет шектеусіз жұқа болып есептеледі. Жіңішке жіп, бір тал қыл, сәуле, сым, тағыда басқа негізінде шектеусіз жіңішке сызық ұғымы шыққан. Геометриялық денелерді ойша топшылап, шектеусіз кішірейте беруге болады. Осыдан нүкте ұғымы шығады. Нүкте дененің әбден кішірейіп, тоқтаған шектік жағдайы деп есептеледі. Геометрия тұрғысынан алғанда нүктені одан әрі кішірейтуге болмайды. Геометриялық денелердің, беттердің, сызықтардың және нүктелердің кез келген жиыны фигура деп аталады. Айтылып отырған негізгі ұғымдар -- нүкте, сызық, бет, дене дүниедегі заттардан (яғни, материядан) алынған. Бірақ материяның физ. қасиеттерінен абстракцияланған. Мысалы, призма жөніндегі теоремаларды ағаштан, тастан, металдан жасалған призмалардың бәріне де және әрдайым қолдана беруге болады. Геометрия алғашқы кезде фигуралардың мөлшерлерін, өзара орналасу тәртібін, бір түрден екінші түрге көшу жолдарын зерттейтін ғылым болды. Онда фигуралардың түрлендірілуі берілген фигура мен кейін пайда болған фигураның арасындағы белгілі бір қатынастар ретінде түсіндірілді. Мұндай түсінік осы күнгі Геометрияда да бар. Алайда қазіргі Геометриябайырғы түсініктер шебінен ұзап шығып кетті. Соңғы ғасырларда Геометрияның үйреншікті ұғымдары мен қағидаларын талдау, жалпылау, жартылай өзгерту және одан әрі абстракциялау нәтижесінде математиканың бірталай жемісті теориялары шықты. Геометрияның жаңа салаларының көпшілігі ертеде қалыптасқан дәстүрлі салаларына мүлдем ұқсамайды. Мысалы, Риман кеңістігіндегі "ара қашықтық", Гильберт кеңістігіндегі "призма" ұғымдарын, жалпы түрде алғанда, ешқандай сурет, модель бойынша сипаттауға болмайды. Оларды дүниеде кездесетін нақты нәрселердің пішіндері мен қатынастары арқылы түсіндіру өте қиын. Сөйтсе де, Геометрияның байырғы салалары жаңа салаларының қарапайым дербес көріністері болып табылады. Сөз болып отырған жаңа теориялардың қайшылықсыздығы мұқият дәлелденген және олар күмәнсіз. Соңғы салалар да, тарихи жағынан Геометрия шаңырағының астында туғандықтан және олардың заңдары бұрынғы Геометрияның заңдарына сырттай ұқсас болғандықтан, Геометрияға жатқызылады. Сөйтіп, Геометрияның өрісі мүлдем кеңейіп кетті. Оның жоғарыда келтірілген анықтамасына "сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін" деген сөздер сондықтан қосылған. Осылай кең мағынада түсінген жағдайда ғана Геометрия математиканың көптеген саласымен астасып жатады.Геометрия -- ерте замандарда шыққан ғылымдардың бірі, оның тарихы да әріректен басталады. Сапалық өзгерістерге ұшырап, жаңа сатыларға көтерілу дәрежесіне қарай Геометрияның даму жолын 4 дәуірге бөлуге болады.
Екінші дәуір -- Евклидтен Р. Декартқа дейінгі кезең; ол 2 мың жылға созылды. Евклид Геометрияның өзіне дейінгі табыстарын жинап, талдап, қорытып, бір ізге түсіріп, біздің заманымыздан бұрын 300 жылы шамасында "Негіздер" атты, 13 бөлімнен құралған шығарма жазды. Онда Геометрия аксиомалар мен қағидалар (постулаттар) негізінде логикалық жолмен құрылған жүйелі дедуктивтік ғылым (кеңістіктік пішіндер мен қатынастар туралы ғы-лым) дәрежесінде баяндалды. "Негіздерде" 121 анықтама, 5 қағида, 9 аксиома, 373 теорема келтірілген. Осы күнгі элементар Геометрия, жалпы алғанда, Евклид қалыбынан шыққан. Геометрияға Архимед пен Аполлоний де ірі үлес қосты. Бұлардың біріншісі -- дөңгелектің, парабола сегментінің ауданы, пирамиданың, конустың және шардың көлемі жөніндегі теоремаларды, тағыда басқа тұжырымдады, ал екіншісі -- конустық қималарды мұқият зерттеп, құнды ғыл. мұра қалдырды. Астрономиямен шұғылданған -- Гиппарх, К. Птолемей, Менелай, тағыда басқа сфералық Геометрия мен тригонометрияны қалыптастырды. Евклид, Архимед, Аполлоний заманы грек геометриясының "алтын ғасыры" болған еді. Одан кейін Грекияның ғылымы мен мәдениеті құлдырай бастады. Орта ғасырларда элементар Геометрия Үндістанда, Орта Азияда, араб елдерінде дамыды. Орта Азия мен Қазақстан оқымыстыларынан Геометриямен шұғылданғандар: Ғаббас әл-Жауїари, Әбу Наср әл-Фараби, Әбу Райхан әл-Бируни, Ғийас әд-Дин Жәмшид әл-Кәши, тағыда басқа болды. Екінші дәуірдің аяғында Геометрия Батыс Еуропада жандана бастады. Бұл кезде И. Кеплер мен итальян математигі Б. Кавальеридің (1598 -- 1647) еңбектері тарихи белес болды.
Үшінші дәуір Р. Декарттан Н.И. Лобачевскийге дейінгі 200 жылды қамтиды. Бұл дәуірде аналит., проективтік және дифференциалдық Геометриялар пайда болды. Аналитикалық геометрия координаттар әдісіне сүйенеді. Онда нүктенің орны сандар арқылы, ал сызықтар мен беттер теңдеулер арқылы анықталады. Геометрияның бұл саласының іргесін Декарт пен француз математигі П. Ферма (1601 -- 65) қалады, ал оны француз математигі А. Клеро (1713 -- 65) мен Л. Эйлер кемелдендірді. Фигураларды проекциялар арқылы түрлендіру жолдарын зерттеу нәтижесінде проективтік Геометрия қалыптасты. Бұл бағытта француз математигі Ж. Дезарг (1593 -- 1662), Б. Паскаль, француз математигі Ж. Понселе (1788 -- 1867), неміс математигі К. Штаудт (1798 -- 1867), швейцар математигі Я. Штейнер (1796 -- 1863) жемісті еңбек етті. Кеңістіктегі фигураны жазықтықта кескіндеу жолдарын талдап, француз математигі Г. Монж (1746 -- 1811) сызба Геометрияны жасады. Сызба Геометрия проективтік Геометрияның тарауы болып саналады. Эйлер мен Монж дифференциалдық есептеу әдістерін Геометрияға қолдана бастаған болатын. К. Гаусс бұл мәселені одан әрі дамытып, классикалық дифференциалдық геометрияны қалыптастырды. Дифференциалдық Геометрия сызықтар мен беттердің қасиеттерін дифференциалдар арқылы зерттейді.
Төртінші дәуір Лобачевский еңбектерінен басталады. Өз зерттеулерінде Лобачевский үш принципке сүйенді. Олар: Евклид Геометриясы болуға тиіс және ол бірден-бір Геометрия емес; аксиомаларды өзгертіп, жаңа Геометрияжасауға болады; нақты кеңістікке қандай Геометрия сәйкес келетіндігін тәжірибе көрсетеді. Лобачевский Евклидтің 5-қағидасын (постулатын) өзінің басқа аксиомасымен (Лобачевский аксиомасы деп аталатын) ауыстырып, жаңа Геометрия жасады. Бұл Г-ға Гаусс пен венгр математигі Я. Больяй (1802 -- 60) да жақын келді. 5-қағида орнына өз аксиомасын (Риман аксиомасы деп аталатын) алып, Ф.Б. Риман эллипстік Геометрияның негізін салды. Риман кеңістікті кез келген біртектес объектілер мен құбылыстардың үздіксіз жиыны ретінде түсіну қажеттігін көрсетті. Бұл идеяның құлашы кең болды. Соның арқасында кеңістіктің көптеген матем. теориялары жасалды. Лобачевский идеялары Геометрия негіздемелерінің шығуына, Геометриялардың жалпылануына және олардың одан әрі дамуына жол ашты. Проективтік-дифференциалдық Геометрия, топология, көп өлшемді кеңістіктер Геометриясы, көпбейнеліктер Геометриясы, тағыда басқа осы дәуірде шықты. Геометриялар бірқатар арнаулы салаларға бөлініп кетті.
Қазіргі Геометрия, кеңістік пен фигураны жиын ұғымы арқылы анықтайды. Ондағы кеңістік әдеттегі қатынастар сияқты анықталған элементтердің жиыны ретінде қарастырылады. Геометрия табиғатты зерттеуде, техниканы дамытуда маңызды құрал болып табылады. Ол математикалық анализге, механикаға, физикаға, астрономияға, геодезияға, кристаллографияға, картографияға, басқа да түрлі ғылымдарға маңызды ықпал етті. Қазақстан математиктерінің Геометрияға жүргізілген зерттеу жұмыстары академик А.Д.Александровтың негізіне қарай болды. Ол беттер теориясын алға дамыту мәселесін қойды. Сөйтіп беттердің ауқымды тобын екі дөңес беттің айырмасы ретінде қарастыруға, көрсетуге болатынын көрсете білді. В.В. Стрельцовтың еңбектері беттердің жалпы теориясына арналды. Д.Ш. Юсуповтың зерттеу жұмыстары Лобачевский және эквиаффиндік кеңістіктерде шекті бұрылысы және шекті толық бұралуы бар реттелмеген сызықтардың жалпы теориясына байланысты болды. К.П. Персидский өз еңбегінде Евклид кеңістігіндегі Лобачевский геометриясының түсіндірмесін берді. Геометрияның басқа бөлімдеріне жататын жұмыстардан: жалпы перпендикулярлары Гишар конгруэнциясы болатын қабаттас қос конгруэнциялар зерттелді (А.Нәубетов); аффиндік байланыстағы сызықтық элементтер кеңістігінде нормаль координаттардың дифференциалдану тәртібі қарастырылды (Э.И. Хмелевский); кеңістіктегі төрт-ұлпа қисықтың 11 түрі табылды (Т.К. Нәзіров); Лобачевский жазықтығында тор бұрышымен анықталмайтын түзу сызықты торлардың қасиеттері зерттелді (П.И.Токарев); шекараларында байланыстары бар қисықтығы теріс айналу беттерінің шексіз аз иілімі қарастырылды (Ж. Өтеулиев); бірқатар жұмыстар векторлық есептеу-лердің шығу тарихы мен жеке дамуына арналды (Ф.Д. Крамар)
Жалпы, геометрияны оқыту әдістемесіне үлес қосқан ғалымдар Н.М.Бескин, В.Г.Чичигин, А.Н.Колмогоров, В.А.Гусев. Геометрия есептерін шығару мен теоремаларды дәлелдеуді оқып үйретуге Д.Пойа, М.Б.Волович, К.С.Богушевский, Л.С.Карнацевич, мектеп геометриясы оқулығындағы тарауларды оқытуға Т.М.Мищенко, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, С.Е.Ляпин, В.А.Оганесян, А.Я.Блох, И.Ф.Тесленко т.б. еңбектері бар.
0.2 Геометрия түрлері, планиметрия курсын шешуге үйрену.
Феликс Клейн 1872 жылы Эрланген жобасында геометрияның түрлерін алғаш рет зерттеу жұмыстарына байланысты зерттеп қолға алған. Осыған байланысты геометрияның келесі түрлері анықталған. Оның өзі қазіргі заман геометриясы жәнеде өткен ғасыр геометриясы деп екі топқа бөлініп кетті.
Көне ғасыр геометриясы:
# Евклид геометриясы
Планиметрия - жазықтықтағы фигураларды зерттейді.
Стереометрия - кеңістіктегі фигураларды зерттейді.
# Проектілік геометрия
# Аффин геометриясы
Сызба геометрия
Қазіргі заман геометриясы:
# Көпөлшемді кеңістік геометриясы.
# Евклидтық емес геометрия.
Сфералық геометрия.
Лобачевский геометриясы.
Риман геометриясы
# Әралуандық геометрия.
Топология геометриясы.
Пайдаланған әдебиеттеріне байланысты.
# Аналитикалық геометрия.
# Алгебралық геометрия
# Қарапайым геометрия - геометрияның қарапайым математикаға енетін бір бөлімі ретінде қарастырылады. Қарапайым математика мен қарапайым геометрияның ара қашықтығы қатаң шектелмеген.
Планиметрия курсын шешуге үйрену, мысалдар.
Геометрияны оқытуда есептерді шеше білу дағдысын қалыптастыру және оны жалпы түрде дамыту аса маңызды мәселелердің бірі болып табылады. Геометриялық есептерді шешу туралы жалпы білік- дағдылар әдетте көптеген есептерді шешу арқылы қалыптасады. Олай болса, студент пен оқытушының не мұғалім мен оқушының жүйелі түрде ұзақ уақыт еңбектенуіне тура келеді. Шешілу жолы беймәлім, әр түрлі теориялық фактілерді байланыстыруды қажет ететін, студенттер шығара алмайтын жаңа есептер де жиі кездеседі. Сондықтан студенттерді кез келген геометриялық есепті шешудің жалпы тәсілдерімен қаруландыру керек. Бұл талап математикалық есептерді шешу практикумының бағдарламасында да айтылған. Практикум белгілі бір есептердің түрлерін және оларды шешудің тәсілдерін таныстыруға бағытталып қана қоймай, қайта дәлелдеудің барынша жалпы әдістерін ойлауды меңгерту болып табылады. Оқытушы студентке әрбір есепті шығартқанда, оның шешімін әдістемелік талаптарға сай іздеуге, соңында мақсатқа сай дұрыс шешімді табуға жәрдемдесетіндей талдау тәсілдері мен болашақ мұғалімдерге қажеттібілім-білік дағдыларын қалыптастыруға ұмтылады. Теориялық және әдістемелік білім мен әдіс- тәсілдерінсіз кез-келген әдістемелік есепті шешуге бола бермейді. Практикадан байқалатындай, көбінесе геометрия есептері әр түрлі тәсілдермен логикалық тұрғыда көбірек ойлануды қажетсінеді. Геометрия есептерін шешудің кезеңдерін білу оқушылар мен студенттерде қалыптастырылуға тиісті аса маңызды дағдылардың бірі. Есептерді шешу процесі келесі кезеңдерден тұрады.
1) Есептің шартын түсіну: a) есепті талдау; b) есеп шартын схема түріндежазу. Есепті талдағанда оның шартын қандай, онда қандай талап қойылған (не берілген, не белгілі, есеп шарты неден тұрады?) екені анықталады. Есеп шартын схема түрінде жазғанда оның сызбасы қоса қарастырылады, осы талдаудың нәтижесінде есеп шартындағы ең керекті, таныс элементтер ескеріліп, олар қысқаша жазылады. Есепті талдау мен оның сызбасын және шартын схема түрінде қысқаша жазу -- есепті шешу үшін жоспар іздеудің негізгі құралы болып табылады. Есепті талдай келе осы есепке қандай мөлшерде теориялық білімнің қажет болатындығы анықталады.
2) Есеп шешімін іздеу -- есепті шешудің тәсілін іздеу, бұл бүкіл процестің негізгі бөлігі болып табылады. Бұл кезеңде ең алдымен берілген есептің түрі (типі), яғни оның дәлелдеуге, есептеуге не геометриялық түрлендіруге берілгені анықталады, осыған орай есепті шешу тәсілі ізделеді. Есеп шартында берілген элементтер мен іздеуге, анықталуға тиісті белгісіздер арасындағы байланыс ізделеді. Есеп шешімін іздеуде бір-бірімен тығыз байланысты мынадай екі жақты мәселені анықтайды: а) белгілі теориялық білімді шешілуге тиісті есеп шартына сай түрлендіру; б) есеп шартын белгілі теориялық фактілерге сәйкес және оларға байланысты түрлендіру. Бұл арада теориялық білім деп отырғанымыз математикалық ұғымдар мен олардың анықтамалары, теоремалар және математикадағы негізгі әдістер (координаттар әдісі, векторлық әдіс, геометриялық түрлендірулер мен теңдеулер құру әдісі және т.б.). Есептердің түрі мен құрылысына қарай оларды кластарға жіктеп талдау мен шешу әдістерін таңдап алады. Әсіресе, бірнеше теориялық материалдарды біріктіретін, әрі күрделі, әрі көптеген есептерді шешуге теориялық әдістемелік негіз болатын тірек есептерін талдау кезінде белгілі бір гипотеза ұсынылады және оның іске асырылуы тексеріледі. Есеп шешімін іздеу үшін гипотеза ұсына отырып, осы есепке нақтылы қандай теориялық материал керек болатынын анықтаймыз. Теориялық білімді негіздеуші әдісті таңдап, гипотезаны тексереміз. Егер есепті талдағанда бұрыннан таныс элементті байқасақ, не ол шешілуі таныс есепке ұқсас болса, онда есепті шешу үшін белгілі әдісті қолдану мүмкіндігі туралы ой, не есепті шешу жоспары пайда болады. Егер есептің таныс емес түрін шығаруға тура келсе, онда одан бұрыннан таныс есептердің кемінде бір элементін іздейміз немесе берілген есеп шартын бұрын шешілген есептегі таныс бір элемент табылатынын талдаймыз.
3) Жоспарды іске асыру. Бұл арада шешу идеясы табылып, есеп шешіледі.
4) Шешілген есепті талқылау: а) есеп шешімін тексеру; б) есепті зерттеу; в) есеп шешімін әр түрлі параметрлер мен байланыстар бойынша талдау.
1-мысал. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттеріне жүргізілген медианалары см және см. Оның гипотенузасын табу керек (1-сурет).
А
Е
С В
1- сурет
Шешуі. ВС мен АС катеттерін сәйкес х пен у арқылы белгілейік. ВСЕ, АСF - тікбұрышты үшбұрыштар болғандықтан, және , яғни және . Бұл теңдеулер жүйесін шешіп, х пен у-ті табамыз:
, ;
.
2-мысал. АВС үшбұрышында . В төбесінен ВН биіктігі мен BD биссектрисасы жүргізілген. BHD үшбұрышының ауданын табу керек.
Шещуі. АВС үшбұрышының ауданын екі әдіспен өрнектейік:
; екінші жағынан
Демек, Енді деп алып, АВС үшбұрышының ішкі бұрышы биссектрисасының қасиетін пайдаланайық: ВС:АВ=CD:DA, ; . , , . .
3-мысал. Медианалары , , болатын үшбұрыштың ауданын есептеп табу керек (11-сурет).
O
F
E
N
M
В1
O
F
E
N
M
В1
В С
А D
1 - сурет
Шешуі. , . . Берілген элементтер мен ізделінген элементтің арасындағы байланысты анықтайық (О - медианалардың қиылысу нүктесі).
, ,
ОЕ медианасын екі еселеп, АОС үшбұрышын параллелограмына дейін толықтырайық. Сонд ; . Осы сияқты OD медиананы екі еселеп, ВОС үшбұрышын параллелограмға толтырсақ:
.
Осылай қарастырып, екенін аламыз. Енді Герон формуласымен ауданды есептесек, .
Осы есепті басқа әдіспен шешіп көрейік, мен -ның табандары тең болғандықтан, . Шынында да, ~, ол болғандықтан, . Сондықтан ,
Енді параллелограмынан: ;
, , ,
Р=12, ,
Геометрия есептерінің шарттарын қалағанымызша өзгерту арқылы арнайы зерттеу жұмысын жүргізуге болады. Геометрия есептері - зерттеу жүргізудің негізі.
1.3 Геометриялық есептердің шешудің жолдары, мысалдар.
Геометриялық есептердің шешу жолдары:
a) геометриялық;
b) алгебралық;
c) комбинациялық деп аталатын негізгі шешімдер жатады.
Есептерді геометриялық әдіспен шешкенде логикалық ойлаудың жәрдемімен белгілі теоремалар арқылы тұжырымдауды қажетсінетін сөйлемдерді дәлелдейміз. Ал есептерді алгебралық әдіспен шешкенде ізделінген шаманы табу, не тұжырымдауға тиісті сөйлемді дәлелдеу тікелей есептеу жолымен немесе теңдеулер мен олардың жүйелерін құру арқылы іске асады. Тікелей есептеу әдісінің мәні мынада: есептің берілгендері мен белгісіздерінің жан-жақты байланыстарынан аралық қосымша белгісіз шамалар тізбегі құрылады, тізбекке қатысытын әрбір белгісіз шама анықталады немесе іздеген шама белгілі шамалар арқылы өрнектеледі.
Геометриялық есептерді шешу барысында оның шартын өзгерту арқылы әртүрлі зерттеу жұмысын жүргізуге болады. Есеп шартында қолданылмаған ақпаратты зерттеп, ойымызды дамытатын басқа да есептер құрастыруға болады. Мұндай зерттеуге келтірілетін есептер жазықтықтағы салу және кеңістіктегі салулар болып бөлінеді. Жазықтықтағы салулар белгілі аспаптардың көмегімен салынатын болса, кеңістікте мұндай салу аспаптары жоқ, тек аксиомалардың көмегімен салу, түрлендіру, есептері күрделі қатынастарды есептеуге берілген есептер зерттеудің қайнар көзі.
Геометрия есептері әр түрлі ізденістерімен жаңалықтар ашуға итермелейді. Кез-келген геометриялық есепті шешу кезінде соған сәйкес геометриялық фигураның әр алуан касиеттері анықталып т абылады. Бұл қасиеттер ең болмағанда есептің сұрағына жауап беруге қажетті және жеткілікті болып табылады. Жалпы алғанда есепті шешу кезіндс оған қолданылмайтын басы артық қасиеттерде кездесуі де мүмкін. Әр түрлі көзқарас тұрғысынан алғанда маңызды болып табылатын, есеп шартында көрсетілмеген геометриялық фигураның қасиеттерін іздеген кезде ғана геометриялық есептерді зерттеу қолға алынды. Мұндай зерттеу осы есептің шешілуімен тікелей байланысты. Есепті зерттеу барысында фигураның әр түрлі қызықты қасиеттерін іздеумен шектелуге болады. Геометриялық фигурадан табылған жаңа касиеттерді берілген есептің басқа жаңа шешімдерін іздеуге, жаңа есептер құрастыруға болады. Біз бұлшағын зерттеу жұмысында геометрия есептерін зерттеп ондағы есеп шартында көрсетілмеген, осы ссепке қатысты басқа зерттеулерді іздей отырып, табылған қасиеттерді пайдаланып, жаңа есептер құрастырдык, есептердің шартын өзгертіп, оны жалпылал олардағы ортақ қасисттерді көрсеттік. Есептерді әртүрлі мағынада жалпыладық. Ең болмағанда кейбір есептердін шартын түрлендірдік. Ал шешу тәсіліндс оның нәтижесі (әдетте кейбір бұрыштың шамасы) өзгеріссіз қалады. Басқа жағдайларда есеп шарты. есептің қорытындысы өзгертіледі. Дербес жағдайларды жалпылағанда кейде Менелай және Чева теоремалары қолданылды. Бұл есептерді шешу барысында есептерді қосымша зерттеуге басты назар аудардық. Осындай қосымша зерттеудің нәтижесінде мектеп оқушылары жаңа фактілерді үйреніп есепті жалпылау үшін оның шарты мен қорытындысын ұқыпты түрде талдауы мүмкін. В.А.Крутецский математикалық материалды жалпылаудың әр түрлі екі жолын көрсетті: көп бейнелі кейбір дербес жалпылаудың басқа да жолдары бар. Оқу процесінде шәкірттер берілген оқу материалына сәйкестендірмей, салыстырмай, арнаулы жаттығуларсыз, мүғалімнің көрсетуінсіз өзбетінше математикалық объектілерді, қатыстармен амалдарды талдау арқылы бір құбылыспен қатар оған үқсас құбылысты жалпылауды іске асырады. Жалпылаудың бірінші жолы -- нақты-эмприкалық ойлау мүмкіндігі, екінші жолы - ғылыми-теориялык ойлауды дамыту. Біз бұл дипломдық жұмыста жалпылаудың келесі түрлерін қарастырдық.
1. Бір есепті не теореманы қарастыру негізінде
а)дәлелдеу мен есеп шеіиімін тікелей үйрену;
ә) есепті қайта тұжырымдау арқылы жалпылау.
2. Ұсынган бірнеше дербес жағдайларды \үйрену арқылы жалпылау.
3.Жалпы теореманың дербес жагдайларын табу жәнв оны басқаша жалпылау.
4.Есептерді талдау мен шешуге негізделіп берілгендерге керісінше алынған мәліметтер бойынша есептер құрастыру.
Осы айтылған жалпылауларға сүйеніп кұрастырылған есептер окушы білімін тереңдстіп, өзбетінше танымдық әрекетінің сапасын көтереді. Біз есептер шешу барысында сырттай сызылған шеңберді келесі қасиеттерін пайдаландық.
Геомерия есептерін шешудің кезеңдерін білу оқушылар мен студенттерде қалыптастырылуға тиісті аса маңызды дағдылардың бірі. Есептерді шешу процесі келесі кезеңдерден тұрады.
1.Есептің шартын түсіну: а) есепті талдау: б) есеп шартын схема түрінде жазу. Есепті талдағанда оның шарты қандай, онда қандай талап қойылған ( не берілген, не белгілі, есеп шарты неден тұрады?) екені анықталады. Есеп шартын схема түрінде жазғанда оның сызбасы қоса қарастырылады, осы талдаудың нәтижесінде есеп шартындағы ең керекті, таныс элементтер ескеріліп, олар қысқаша жазылады. Есепті талдау мен оның сызбасын жіне шартын схема түрінде қысқаша жазу - есепті шешу үшін жоспар іздеудің негізгі құралы болып табылады. Есепті талдай келе осы есепке қандай мөлшерде теориялық білімнің қажет болатындығы анықталады.
2. Есеп шешімін іздеу - есепті шешудің тәсілін іздеу - бүкіл процестің негізгі бөлігі. Бұл кезенде ең алдымен берілген есептің түрі (типі), яғни оның дәлелдеуге, есептеуге не геометриялық түрлендіруге берілгені анықталады, осыған орай есепті шешу тәсілі ізделеді. Есеп шартында берілген элементтер мен іздеуге, анықталуға тиісті белгізсіздер арасындағы байланыс ізделеді. Есеп шешімін іздеуде бір-бірімен тығыз байланысты мынадай екі жақты мәселені анықтайды: а) белгілі теориялық білімді шешіглуге тиісті есеп шартына сай түрлендір: б) есеп шартын белгілі теориялық фактілерге сәйкес және оларға байланысты түрлендіру. Бұл арада теориялық білім деп отырғанымыз математикалық ұғымдар мен олардың анықтамалары, теоремалар және математикадағы негізгі әдістер ( координаттар әдісі, векторлық әдіс, геометриялық түрлендірулермен теңдеулер құру әдісі, және т.б.).
Есептердің түрі мен құрылысына қарай оларды кластарға жіктеп талдау мен шешу әдістерін таңдап алады. Әсіресе, бірнеше теориялық материалдары біріктіретін, әр күрделі, әрі көптеген есептерді шешуге теориялық әдістемелік негізболатын тірек есептерін талдау кезінде белгілі бір гипотеза ұсынылады және оның іске асырылуы тексеріледі. Есеп шешімін іздеу үшін гипотеза ұсына отырып, осы есепке нақтылы қандай теориялық материал керек болатынын анықтаймыз. Теориялық білімді негідеуші әдісті таңдап, гипотезаны тексереміз.
Егер есепті талдағанда бұрыннан таныс элементті байқасақ,не ол шешілуі таныс есепке ұқсас болса, онда есепті шешу үшін белгілі әдісті қолдану мүмкіндігі туралы ой, не есепті шешу жоспары пайда болады. Егер есептің таныс емес түрін шығаруға тура келсе, онда одан бұрыннан таныс есептердің кемінде бір элементін іздейміз немесе берілген есеп шартын бұрып шешілген есептегі таныс бір элемент табылатындай түрге дейін талдаймыз.
3. Жоспарды іске асыру. Бұл арада шешу идеясы табылып, есеп шешіледі.
4. Шешілген есепті талқылау: а) есеп шешімін тексеру; б) есепті зерттеу; в) есеп шешімін әр түрлі параметрлер мен байланыстар бойынша талдау.
Есептің шешілуінің және оған қолданылған әдістер мен теориялық негіздеулердің дұрыс екенін, ол шешім есеп шартының барлық талаптарын қанағаттандыратынын білу үшіноны тексеру керек. Есепті зерттеу келесі мәселелерді анықтауы керек: қандай шарт орындалғанда есептің шешімі бар; қандай шарт орындалғанда есептің жалпы шешімі жоқ болады?
Есептің шешімін талдау мынадай мәселелерге жауап береді. Есепті шешудің бұдан басқа ең тиімді жолы жоқ па? Есепті жалпылауға бола ма? Осы есептен қандай қорытындылар жасауға болады? Осы есептен қандай қорытындылар жасауға болады? Есепті шешу процесінің құрылымы ең алдымен есептің сипатына, есеп шығарушының қандай біліммен, білікпен, дағдымен қаруланғанына тікелей байланысты.
Іс-әрекеттің ұғымды игерту үдерісі ұғымның мазмұнын, оның көлемiн, басқа да ұғымдармен және дәйектермен маңызды байланысын игерудi қамтиды. Сондықтан да геометрия курсында ұғымдарды игеруге бағытталған тапсырмалар жүйесi ұғымның барлық маңызды қасиеттерiн (ұғымның мазмұны мен көлемін) ашатындай тапсырмалардан тұруы керек.
1-теорема. Егер О-АВС шеңберінің центрі, О және В нүктелері АС түзуінің бір жағында жатса, онда
3-сурет
2-теорема. Егер , ОА = ОС және О, В нүктелері АС кесіндісінің бір жағында жатса, онда О нүктесі АВС шеңберінің центрі.
3-теорема. Егер АВСД төртбүрышында болса, онда ол іштей сызылған.
1-есеп. Берілген квадратка іштей дұрыс үшбұрыш сыз. Бұл есептің шешілуінің әр түрлі жолы белгілі. Мысалы, бұру әдісі, ұқсастык әдісі. Талдау барысында квадрат қабырғасының кез-келген нүктесі оны іштей сызылған дұрыс үшбұрышының төбесі болатынын оңай байқауға болады. Есептің шектеусіз көп шешімі бар. Талдау ретінде мынандай мәселені қарастыруға болады;
Квадратқа іштей сызылған дұрыс үшбұрыштар центрі қандай фигураны құрайды? .
Шешуі: MNLK квадрат берілсін (3-сурет). Алдын-ала , , болатындай АВС дұрыс үшбұрышын қарастыралық. Егер , болса, онда МАОС және СОВК төртбұрыштары іштей сызылған, содан, ﮮОКС =ﮮОВС = 600. Бұдан МОК үшбұрышы -- дұрыс үшбұрыш деген қорытындыға келеміз. О осы үшбұрыштың төбесі -- бұл қарастырылатын барлық үшбұрыштардың (АВ-ның ортасы). АВС үшбұрышының центрін S арқылы белгілейік. Онда , А нүктесі МN қабырғасы бойынша орын ауыстырғанда, В нүктесі LК квадрат қабырғасы бойынша орын ауыстырады. Онда МК бойында жатқан С нүктесі кесіндісінің бойымен қозғалады. Егер А нүктесі , де, болса, онда С нүктесімен нүктесімен беттеседі. Егер бірдей болса, болса, онда мен бірдей. Бұл жағдайда S нүктесі
4 - сурет
Есеп шартын қанағаттандыратын кез-келген үшбұрышты қарастырылған АВС үшбұрышын квадраттың центрінен 90°, 180°, 270°-қа бұрып шығарып алуға болады. Сондықтан барлық іштей сызылған дұрыс үшбұрыштар центрлері кабырғасының ұзындығы квадратын құрайды. Бұл квадраттың центірі берілген квадраттың центрімен беттеседі. АВ қабырғасынын ортасының қасиеті байқалған жаңа қасиет -- бұл арқылы жаңа нәтижелерге қол жсекізуге болады. Ең алдымен О нүктесінің көмегімен АВС үшбұрышын оңай құрады. (О нүктесі квадрат ішінде жатыр) О нүктесі арқылы MN мен LK-ны қиятын кез-келген түзу жүргіземіз. Ол А, В нүктелеріңде қиылысады.
, , ∆АВС -- есеп шартын қанағаттандырады. Козғалмайтын О нүктесі МАВК трапециясының өте маңызды жаңа қасиетін байқауға мүмкіндікбереді. МА + КВ = 20С
(Арақашықтықтар қосындысы О нүктесінен МК дейінгі қашықтықтың екі еселенген көбейтіндісіне тең). Сондықтан іштей сызылған ұшбүрыштың АВ қабырғасын қай жерден таңдап алуға байланысты емес. МАВК трапецияның ауданы тұрақты болады. Бұл арада квадраты МК түзуі және MN, KL екі жарты түзуі арқылы өрнектеуге болады. MN, KLжарты түзулер МК бір жағында жәнебүлар МК-ға ┴ болуы керек. Дұрыс АВС үшбұрышы , , орналасуы керек. АВ-ның ортасы О ұшбұрыштар үшін ортақ. Сондықтан МАВК төртбұрышының ауданы АВ қабыргасын таңдап алуга тәуелсіз. Осы есепке сүйеніп жаңа есеп құрастыруға болады.
2-есеп. Теңбүйірлі үшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің ұзындығы 20PI-ге тең. Егер үшбұрыш табаны 12 болса, онда осы үшбұрыштың ауданын табыңдар.
5 - сурет
Шешуі: Шеңбер радиусы 10 екені белгілі. Берілген шеңберге табаны ортақ екі теңбүйірлі үшбұрыш салуға болатыны белгілі (5-сурет). Бірінші үшбұрышта С1 - сүйір, екінші үшбұрышта С2 - доғал.
1-жағдай., мұндағы R-шеңбер радиусы. Бұл арадан -сүйір болғандықтан, . Косинустар теоремасы бойынша, , . Бұдан ∆AC1B-ның ауданы.
2-жағдай. Бұл арада, бірақ себебі-доғал бұрыш.∆AC2B - ның ауданы 12. Жауабы немсе 12.
3-есеп. ABCDE - дұрыс бесбұрыш берілген. Ондағы M нүктесі -∆DEN-теңқабырғалы үшбұрыш болатындай етіп алынған. ∆ANC - ның бұрыштарының шамасын табыңдар.
Шешуі: Дұрыс бесбұрыштың ішкі бұрышы 1080 болғандықтан , ﮮОМС=ﮮNDC =ﮮEDC-ﮮEDN = 1080-600=480 (6-сурет).
6 - сурет
∆NDCТеңбүйірлі болғандықтан (ND=DC),ﮮDMC = (1800 - 480)=660. Дәл осылайша ﮮENA=660 екенін анықтаймыз. Бұл арадан ﮮANC = 3600 - (600+660+660)=1680. Алайда келтірілген есептің шешуі толық емес. Шынында да есеп шартына N нүктесі дұрыс бесбұрыштың ішінде жатады деп айтылмаған. Сондықтан бұл есептің басқа шешу жолы болуы мүмкін ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Студенттің аты-жөні: Пажир Ахсунхар
Павлодар мемлекеттің униврситетінің, физика математика және ақпараттық технология кафедрасының, актуарлы математика мамандығының 4 курс студенті.
Дипломдық жобаның тақырыбы: геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу.
Дипломдық жобаның мақсаты:
* Геометриялық есептердің түрлерін зерттеп, оларды алгебралық, тригонометриялық теңдеулер түрінде шешу жолдарын қарастыру.
Зерттеу кезеңдері:
* тақырыпты негіздеу, мақсаттары мен міндеттерін айқындау;
* тақырыпқа байланысты теориялық ақпараттар жинақтау, әдебиеттерге шолу жасау, талдау;
* геометрияға шолу жасау;
* алгебралық теңдеулердің түрлерін қарастыру, мысалдар келтіру;
* тригонометриялық теңдеулердің түрлерін қарастыру, мысал келтіру;
* геометрия есептерін алгебралық, тригонометриялық теңдеулер жүйесі арқылы шешу жолдарын қарастыру;
* алынған нәтижелер бойынша есептер жинағын құру, жинақтау;
* жұмысты қорытындылау.
Жұмыс нәтижелері мен қорытындылары:
oo Есепті бұл жолмен шығару бастапқы іс - әрекетті нақты айқындайды;
oo Графиктік сурет - теңдеулерді құрастыруда, есептердің бірнеше шығару жолдарын қарастырғанда талдау жасауды жеңілдетеді;
oo Теңдеулерді шешудің жаңа технологиясын көрсетеді;
oo Әр түрлі есептерді қарастыра отырып, бірнеше геометриялық есептерді көрсетіп, есептерді шешуде алгебралық, тригонометриялық әдіс пен геометриялық әдісті салыстырдық;
oo Бұл жерде геометриялық әдіспен шығару ойлау қабілетін арттырады және уақытты үнемдей білуге үйретеді.
Мазмұны
Кіріспе
1
Геометриялық есептерді шешудің ғылыми - теориялық негіздері.
1.1
Геометрия ғылымының даму тарихы, кезеңдері.
1.2
Геометрия түрлері, планиметрия курсын шешуге үйрену.
1.3
Геометриялық есептердің шешу жолдары, мысалдар.
2
Геометриялық есептердің қолданулары
2.1
Геометриялық есептердің алгебралық қолданулары, мысалдар келтіру.
2.2
Геометриялық есептердің тригонометриялық қолданулары.
2.1.1
Геометриялық есептерді алгебралық теңдеу және теңдеулер жүйесінде қолдану.
2.1.2
Геометриялық есептерді функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуда қолдану
2.1.3
Геометриялық есептерді векторда қолдану.
2.1.4
Геометриялық есептерді параметрлік теңдеулерде қолдану.
Қорытынды.
Пайдаланылған әдебиеттер
Кіріспе
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.
Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиеленіп өсуі бүгінгі мемлекеттің алдына қойылған мақсат, міндеттерінің бірі. Бұл мақсат әрбір орта мұғалімімен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы оқу бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, ұрпақты жеке тұлға етіп тәрбиелеуге математика пәнінің де алатын орны зор.
Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп - басты қызметші болып табылады. Есептің негізгі: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін математикалық білім алады. Шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім деңгейі жоғарылайды. Көбнесе әр есеп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғамның дамуының әртүрлі кезеңдеріне байланысты, есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде есептер жинағы көпестердің сауда - саттығында, тағы сол сияқты мазмұнда болды. Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғарғы маральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, инернационалдық және патриоттық рухта тәрбиелеуге негізделген. Жалпы келешек ұрпақты есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймай, оларды есеп шығаруды үйретуге тәрбиелеу болып саналады. Есеп шығару, сөйлеу мәдениетіне, мінез - құлықтың қалыптасуына, табандылыққа, шыншылдыққа, бастаған істі аяғына дейін жеткізуге, қиындықты жеңе білуге тағы сол сияқты қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпал тигізетіні анық.
Бұл жұмыс геометриялық есептерді шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне: алгебралық және тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығаруға арналады.
Геометриялық есептерді шешу математикадағы маңызды тақырыптарының бірі болып саналады. Себебі, көптеген табиғи процестер мен құбылыстар т.с.с оқытудың мазмұны пән аралық байланыстар және пәннің ішкі байланыстарын қамтамасыз ету мақсатында, көбіне қоршаған ортаны математика тілімен зерттеу, түсіну, ой қорыту мақсатында жинақталады. Жас ұрпақтың осындай практикалық дайындықта тәрбиелеудің ең негізгі түрі геометриялық материалдарды оқыту болып табылады.
Геометрия - бұл түсінудің әдісі, ойлау түрі әрі ғылым мен техниканы меңгерудің тілі десе де болады. Геометриялық білімнің қолданылу мәнін үйрену әр тұрлі мамандықтарды игеруде кеңістікті жан - жақты ойлау қабілеттілігінен туындайды.
Бұл дипломдық жұмыстың негізгі екі геометриялық бағыты бар, оның біріншісі фигуралардың және денелердің түріне байланысты теңдіктер белгісін ажырату және нүктелер, түзулер, жазықтардың өзара байланысын анықтау болады. Ал, екіншісі геометриялық фигуралар мен денелерге әр түрлі өлшеу жұмыстарын жүргізуге байланысты бағытталады. Жұмысбарысында біз геометриялық шамалармен (ұзындық, бұрыш, аудан, көлем т.с.с) танысамыз, фигуралар элементтерінің өзара байланысын білдіретін сандық мінездеушілеріне қатысты формулалар пайдаланып есеп шығаруға, есеп шығару барысында оларды дәлелді талқылауға, логикалық ойлау арқылы шешу мақсатын ұстанамыз.
Есеп ұғымын анықтауда ғалымдар арасында бірнеше көзқарастар болған. Есеп дененіміз не? деген сұраққа белгілі әдіскер В.М.Брадис былай дейді: Есеп деп өтілген крустан қандай да бір анықтаманы, текстіні немесе теоремалардың дәлелденуін, аксималар немесе ережелердің тұжырымдалуын жай ғана қайталап келтіру оған жауап беруге жеткіліксіз болатын кез келген математикалық сұрақтар .
Демек,есеп шығару математикалық ұғымдарды қалыптастырып, байытуға, математикалық ойлау өрісін кеңейтуге, білімді практикада қолдануға, табандылық, ізденгіштік, еңбек сүйгіштік қасиеттерін тәрбиелеуге бағытталады.
Осыған жақын анықтаманы математикадан білім беру жөніндегі халықаралық комиссияда жасалған америка өкілінің баяндамасында да кездестіруге болады: математикалық есеп-жауабы бірден тікелей немесе белгілі бір схеманы қолдану арқылы табылмайтын математикалық сұрақ
Қазіргі педагогиканың түйінді мәселелерінің бірі - білімгерлердің логикалық ойлауын дамыту, алған білімдерін тиімді қолдануға бағыттау, математикаға қызығушылықты арттыру, табиғат пен күнделікті тіршілікке жақындату, дамыта отырып оқыту, ынтымақтастық педагогикасының қағидаларын пайдалану және адамгершілікке тәрбиелеу.
Стандарт емес ойлауды талап ететін геометриялық есептерді тек білім дәрежесі жоғары оқушыларға ғана емес, барлығына ұсыну керек. Әсіресе логикалық ойлау дәрежесі төмен білім алушыларға мұндай есептер қажет.
Білім беру туралы Қазақстан Республикасының заңында пәнаралық байланысқа көңіл бөлу қажеттілігі айтылған. Осыған орай жаңа заңға байланысты математиканың ішкі және басқа пәндермен байланыстарына ерекше көңіл бөлу қажет. Математиканың ішкі байланысы дегеніміз - алгебра, тригонометрия және геометрия курстарының арасындағы байланысын айтамыз. Геометрия фигураларының аудандарын, қабырғаларын, бұрыштарын және т.б. табуға байланысты кейбір есептерді шешкенде алгебраның, тригонометрияның геометриямен байланысын байқаймыз.
Орта мектептерде, педагогикалық жоғарғы оқу орындарының физика - математика факультеттерінде геометрияны оқытудың аса маңызды міндеттерінің бірі - студеттердің кеңістік жөніндегі түсінігін жан-жақты дамыту, сондай-ақ кеңістіктегі объектілерді ойша көз алдына елестетіп, оларға әр түрлі амалдар қолдана білу дағдысын қалыптастыру болып табылады.
Дайын формулалардың көмегімен кеңістіктегі фигуралардың толық бетін, көлемін оңай есептегенімен, кейбір білім алушылар кеңістіктегі жай фигуралар арасындағы қатынастарды анықтауда қиналады. Білім алушылардың кеңістік жөніндегі түсінігін дамытуда стереометриялық салу есептерінің де маңызы зор. Академик А.Н. Колмогоров айтқандай Инженерлер мен техниктерге жұмыс барысында математика қажет. Алгебралық және тригонометриялық формулалар немесе геометрияның ұғымдары әрбір шеберге немесе тәжрибелі жұмысшыға өте қажет.
Геометриялық есептердің шығарылуы өзінің көрнекілігімен ерекшеленеді, өйткені алынған нәтижелер айқын, әрі түсінуге оңай болады. Графиктік (яғни геометриялық бейнені) пайдалану қазіргі ақпараттарды компьютер арқылы іске асыру мақсатын көздейді. Геометриялық білім практикалық және ғылыми маңызды есептерді шығару үшін керекті әдістер мен тәсілдерді, теориялық материалдарды толық игеруге ықпал етеді. Сонымен қатар адамның дүние танымын қалыптастырып, қоршаған орта, кеңістік туралы және т.б. көптеген мағлұматтар береді.
Сонымен сіздердің назарларыңызға геометриялық есептердің тұрлері және оларды шешу әдістеріне тоқталып: алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу жолдарын ұсынамыз. Бұл жұмыстың мазмұны, болашақ мамандардың шығармашылық шыңдылықтарын арттыру үшін маңызы зор тақырыптардың бірі болып табылады. Себебі қазіргі кезде де геометрия курсының есептерін жүйелі түрде ұйымдастырмаған.
Сондықтан, дипломдық жұмыстың тақырыбын Геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығару деп алынды және ізденістерімді осы мазмұндарды ашуға арнаймын.
Дипломдық жұмыстың мақсаты - геометриялық есептерді алгебралық, тригонометриялық теңдеулер мен түрлі бағытта есептер шығару болып табылады.
Дипломдық жұмыстың міндеті - геометриялық есептерді алгебралық және тригонометриялық бағытты тиімді әдіс - тәсілдермен, көрнекті мысалдармен шығару.
Жоғарғыда көрсетілген мақсаттарға жетіп, міндеттерді орындау барысында көптеген ғалымдар мен әдіскерлердің жұмыстарына шолулар мен талдаулар жасалды. Әсіресе, геометриялық есептерді алгебралқ, тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шығарудың негізі жан - жақты қарастырылған.
Дипломдық жұмыстың мазмұны кңрңспеден, екі тараудан, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 Геометриялық есептерді шешудің ғылыми - теориялық негіздері.
0.1 Геометрия ғылымының даму тарихы мен кезеңдері
Геометрия (гр. geometrіa, ge -- Жер және metrio -- өлшеймін) -- математикадағы кеңістіктіктер пішіндер (формалар) мен қатынастарды, сонымн қатар, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін ғылымның негізгі саласы. Геометриялық фигуралар да кеңістіктік пішіндер болып саналады. Геометриялық тұрғыдан қарасақ сызық -- "сым" емес, шар -- "домалақ дене" емес, олардың барлығы да -- кеңістік пішіндер. Ал кеңістік қатынастар -- фигуралардың мөлшері мен орналасуын анықтайды. Мысалы, центрлері ортақ, радиустары 5 см және 7 см шеңберлер қиылыспайды, "біріншісі екіншісінің ішінде жатады" десек -- шеңберлердің мөлшері мен орналасуы жөнінде айтылып тұр. Бұндағы бірінші шеңбер -- кішісі, екіншісі -- үлкені, бірінші шеңбер екіншісінің ішінде орналасқан. Осыған қарай кеңістіктік қатынастар "үлкен", "кіші", "ішінде", "сыртында" терминдері арқылы анықталған. "Тең", "параллель", тағы да басқа сөздер де кеңістіктік қатынастарын сипаттайды.
"Геометрия" терминін дәл аударғанда "жерді өлшеу" болып табылады. Бұл ғылымның алғашқы түп нұсқалары Ежелгі Мысыр (Египет) елінде шыққан. Жер өлшеу өнерін мысырлықтардан үйренген ежелгі гректер оны алғаш кезде өз тілінде "Геометрия" деп атаған. Осы термин кейін көптеген халықтардың тіліне еніп, ғылыми терминге айналған. Геометрия заңдылықтарын жер учаскелерін өлшеуде қолдануға болады, бірақ Геометрияның негізгі бет бұрысы ол емес. Геометрияда қолдануға болатын мәселелер шексіз көп. Сондықтан Геометрия ерте заманнан-ақ кеңістіктік пішіндер мен қатынастар жөніндегі ғылым ретінде қалыптасқан. Геометрияны тек жер өлшеу жұмыстары ғана тудырған жоқ. Бұл бағытта ғылыми-практикалық деректердің молайып, қорлануына үй, көпір, пирамида, әскери бекіністер, тағыда басқа құрылыстар салу, арналар қазу, ыдыстардың сыйымдылығын өлшеу, құрылыстарға қажетті материалдардың шамасын алдын ала есептеу елеулі әсер етті. Геометрия ұғымдары дүниеде кездесетін заттардың дербес физикалық қасиеттерін еске алмай, абстракциялап (яғни, дерексіздендіріп), олардың тек мөлшері мен өзара орналасуын ғана қарастыру нәтижесінде пайда болған. Қалыпқа салынып соғылған кірпіштердің, құрылысқа арналып шабылған қырлы тастардың, шеберлердің кесіп, сүргілеп тегістеген бұйымдарының сыртқы тұрпаты -- пішіні бірдей болады. Мұндай пішін төрт бұрышты призма деп аталады. Үш бұрышты, бес бұрышты, тағыда басқа призмалар болады. Геометрияда призманың қандай материалдан жасалғандығы есепке алынбайды, оның тек мөлшері мен орналасуы ғана зерттеледі. Цилиндр, конус, шар, Геометрия ұғымдар да осылай қалыптасқан. Сонымен геометриялық денелер -- темп-расы, массасы, жасалған материалы мен жеке қасиеттері қарастырылмайтын физыкалық денелер денелер.
Дененің шекарасы -- бет. Ол денені қаптап, қоршап, шектеп, кеңістіктен бөліп тұрады. Бет шектеусіз жұқа болып есептеледі. Жіңішке жіп, бір тал қыл, сәуле, сым, тағыда басқа негізінде шектеусіз жіңішке сызық ұғымы шыққан. Геометриялық денелерді ойша топшылап, шектеусіз кішірейте беруге болады. Осыдан нүкте ұғымы шығады. Нүкте дененің әбден кішірейіп, тоқтаған шектік жағдайы деп есептеледі. Геометрия тұрғысынан алғанда нүктені одан әрі кішірейтуге болмайды. Геометриялық денелердің, беттердің, сызықтардың және нүктелердің кез келген жиыны фигура деп аталады. Айтылып отырған негізгі ұғымдар -- нүкте, сызық, бет, дене дүниедегі заттардан (яғни, материядан) алынған. Бірақ материяның физ. қасиеттерінен абстракцияланған. Мысалы, призма жөніндегі теоремаларды ағаштан, тастан, металдан жасалған призмалардың бәріне де және әрдайым қолдана беруге болады. Геометрия алғашқы кезде фигуралардың мөлшерлерін, өзара орналасу тәртібін, бір түрден екінші түрге көшу жолдарын зерттейтін ғылым болды. Онда фигуралардың түрлендірілуі берілген фигура мен кейін пайда болған фигураның арасындағы белгілі бір қатынастар ретінде түсіндірілді. Мұндай түсінік осы күнгі Геометрияда да бар. Алайда қазіргі Геометриябайырғы түсініктер шебінен ұзап шығып кетті. Соңғы ғасырларда Геометрияның үйреншікті ұғымдары мен қағидаларын талдау, жалпылау, жартылай өзгерту және одан әрі абстракциялау нәтижесінде математиканың бірталай жемісті теориялары шықты. Геометрияның жаңа салаларының көпшілігі ертеде қалыптасқан дәстүрлі салаларына мүлдем ұқсамайды. Мысалы, Риман кеңістігіндегі "ара қашықтық", Гильберт кеңістігіндегі "призма" ұғымдарын, жалпы түрде алғанда, ешқандай сурет, модель бойынша сипаттауға болмайды. Оларды дүниеде кездесетін нақты нәрселердің пішіндері мен қатынастары арқылы түсіндіру өте қиын. Сөйтсе де, Геометрияның байырғы салалары жаңа салаларының қарапайым дербес көріністері болып табылады. Сөз болып отырған жаңа теориялардың қайшылықсыздығы мұқият дәлелденген және олар күмәнсіз. Соңғы салалар да, тарихи жағынан Геометрия шаңырағының астында туғандықтан және олардың заңдары бұрынғы Геометрияның заңдарына сырттай ұқсас болғандықтан, Геометрияға жатқызылады. Сөйтіп, Геометрияның өрісі мүлдем кеңейіп кетті. Оның жоғарыда келтірілген анықтамасына "сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін" деген сөздер сондықтан қосылған. Осылай кең мағынада түсінген жағдайда ғана Геометрия математиканың көптеген саласымен астасып жатады.Геометрия -- ерте замандарда шыққан ғылымдардың бірі, оның тарихы да әріректен басталады. Сапалық өзгерістерге ұшырап, жаңа сатыларға көтерілу дәрежесіне қарай Геометрияның даму жолын 4 дәуірге бөлуге болады.
Екінші дәуір -- Евклидтен Р. Декартқа дейінгі кезең; ол 2 мың жылға созылды. Евклид Геометрияның өзіне дейінгі табыстарын жинап, талдап, қорытып, бір ізге түсіріп, біздің заманымыздан бұрын 300 жылы шамасында "Негіздер" атты, 13 бөлімнен құралған шығарма жазды. Онда Геометрия аксиомалар мен қағидалар (постулаттар) негізінде логикалық жолмен құрылған жүйелі дедуктивтік ғылым (кеңістіктік пішіндер мен қатынастар туралы ғы-лым) дәрежесінде баяндалды. "Негіздерде" 121 анықтама, 5 қағида, 9 аксиома, 373 теорема келтірілген. Осы күнгі элементар Геометрия, жалпы алғанда, Евклид қалыбынан шыққан. Геометрияға Архимед пен Аполлоний де ірі үлес қосты. Бұлардың біріншісі -- дөңгелектің, парабола сегментінің ауданы, пирамиданың, конустың және шардың көлемі жөніндегі теоремаларды, тағыда басқа тұжырымдады, ал екіншісі -- конустық қималарды мұқият зерттеп, құнды ғыл. мұра қалдырды. Астрономиямен шұғылданған -- Гиппарх, К. Птолемей, Менелай, тағыда басқа сфералық Геометрия мен тригонометрияны қалыптастырды. Евклид, Архимед, Аполлоний заманы грек геометриясының "алтын ғасыры" болған еді. Одан кейін Грекияның ғылымы мен мәдениеті құлдырай бастады. Орта ғасырларда элементар Геометрия Үндістанда, Орта Азияда, араб елдерінде дамыды. Орта Азия мен Қазақстан оқымыстыларынан Геометриямен шұғылданғандар: Ғаббас әл-Жауїари, Әбу Наср әл-Фараби, Әбу Райхан әл-Бируни, Ғийас әд-Дин Жәмшид әл-Кәши, тағыда басқа болды. Екінші дәуірдің аяғында Геометрия Батыс Еуропада жандана бастады. Бұл кезде И. Кеплер мен итальян математигі Б. Кавальеридің (1598 -- 1647) еңбектері тарихи белес болды.
Үшінші дәуір Р. Декарттан Н.И. Лобачевскийге дейінгі 200 жылды қамтиды. Бұл дәуірде аналит., проективтік және дифференциалдық Геометриялар пайда болды. Аналитикалық геометрия координаттар әдісіне сүйенеді. Онда нүктенің орны сандар арқылы, ал сызықтар мен беттер теңдеулер арқылы анықталады. Геометрияның бұл саласының іргесін Декарт пен француз математигі П. Ферма (1601 -- 65) қалады, ал оны француз математигі А. Клеро (1713 -- 65) мен Л. Эйлер кемелдендірді. Фигураларды проекциялар арқылы түрлендіру жолдарын зерттеу нәтижесінде проективтік Геометрия қалыптасты. Бұл бағытта француз математигі Ж. Дезарг (1593 -- 1662), Б. Паскаль, француз математигі Ж. Понселе (1788 -- 1867), неміс математигі К. Штаудт (1798 -- 1867), швейцар математигі Я. Штейнер (1796 -- 1863) жемісті еңбек етті. Кеңістіктегі фигураны жазықтықта кескіндеу жолдарын талдап, француз математигі Г. Монж (1746 -- 1811) сызба Геометрияны жасады. Сызба Геометрия проективтік Геометрияның тарауы болып саналады. Эйлер мен Монж дифференциалдық есептеу әдістерін Геометрияға қолдана бастаған болатын. К. Гаусс бұл мәселені одан әрі дамытып, классикалық дифференциалдық геометрияны қалыптастырды. Дифференциалдық Геометрия сызықтар мен беттердің қасиеттерін дифференциалдар арқылы зерттейді.
Төртінші дәуір Лобачевский еңбектерінен басталады. Өз зерттеулерінде Лобачевский үш принципке сүйенді. Олар: Евклид Геометриясы болуға тиіс және ол бірден-бір Геометрия емес; аксиомаларды өзгертіп, жаңа Геометрияжасауға болады; нақты кеңістікке қандай Геометрия сәйкес келетіндігін тәжірибе көрсетеді. Лобачевский Евклидтің 5-қағидасын (постулатын) өзінің басқа аксиомасымен (Лобачевский аксиомасы деп аталатын) ауыстырып, жаңа Геометрия жасады. Бұл Г-ға Гаусс пен венгр математигі Я. Больяй (1802 -- 60) да жақын келді. 5-қағида орнына өз аксиомасын (Риман аксиомасы деп аталатын) алып, Ф.Б. Риман эллипстік Геометрияның негізін салды. Риман кеңістікті кез келген біртектес объектілер мен құбылыстардың үздіксіз жиыны ретінде түсіну қажеттігін көрсетті. Бұл идеяның құлашы кең болды. Соның арқасында кеңістіктің көптеген матем. теориялары жасалды. Лобачевский идеялары Геометрия негіздемелерінің шығуына, Геометриялардың жалпылануына және олардың одан әрі дамуына жол ашты. Проективтік-дифференциалдық Геометрия, топология, көп өлшемді кеңістіктер Геометриясы, көпбейнеліктер Геометриясы, тағыда басқа осы дәуірде шықты. Геометриялар бірқатар арнаулы салаларға бөлініп кетті.
Қазіргі Геометрия, кеңістік пен фигураны жиын ұғымы арқылы анықтайды. Ондағы кеңістік әдеттегі қатынастар сияқты анықталған элементтердің жиыны ретінде қарастырылады. Геометрия табиғатты зерттеуде, техниканы дамытуда маңызды құрал болып табылады. Ол математикалық анализге, механикаға, физикаға, астрономияға, геодезияға, кристаллографияға, картографияға, басқа да түрлі ғылымдарға маңызды ықпал етті. Қазақстан математиктерінің Геометрияға жүргізілген зерттеу жұмыстары академик А.Д.Александровтың негізіне қарай болды. Ол беттер теориясын алға дамыту мәселесін қойды. Сөйтіп беттердің ауқымды тобын екі дөңес беттің айырмасы ретінде қарастыруға, көрсетуге болатынын көрсете білді. В.В. Стрельцовтың еңбектері беттердің жалпы теориясына арналды. Д.Ш. Юсуповтың зерттеу жұмыстары Лобачевский және эквиаффиндік кеңістіктерде шекті бұрылысы және шекті толық бұралуы бар реттелмеген сызықтардың жалпы теориясына байланысты болды. К.П. Персидский өз еңбегінде Евклид кеңістігіндегі Лобачевский геометриясының түсіндірмесін берді. Геометрияның басқа бөлімдеріне жататын жұмыстардан: жалпы перпендикулярлары Гишар конгруэнциясы болатын қабаттас қос конгруэнциялар зерттелді (А.Нәубетов); аффиндік байланыстағы сызықтық элементтер кеңістігінде нормаль координаттардың дифференциалдану тәртібі қарастырылды (Э.И. Хмелевский); кеңістіктегі төрт-ұлпа қисықтың 11 түрі табылды (Т.К. Нәзіров); Лобачевский жазықтығында тор бұрышымен анықталмайтын түзу сызықты торлардың қасиеттері зерттелді (П.И.Токарев); шекараларында байланыстары бар қисықтығы теріс айналу беттерінің шексіз аз иілімі қарастырылды (Ж. Өтеулиев); бірқатар жұмыстар векторлық есептеу-лердің шығу тарихы мен жеке дамуына арналды (Ф.Д. Крамар)
Жалпы, геометрияны оқыту әдістемесіне үлес қосқан ғалымдар Н.М.Бескин, В.Г.Чичигин, А.Н.Колмогоров, В.А.Гусев. Геометрия есептерін шығару мен теоремаларды дәлелдеуді оқып үйретуге Д.Пойа, М.Б.Волович, К.С.Богушевский, Л.С.Карнацевич, мектеп геометриясы оқулығындағы тарауларды оқытуға Т.М.Мищенко, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, С.Е.Ляпин, В.А.Оганесян, А.Я.Блох, И.Ф.Тесленко т.б. еңбектері бар.
0.2 Геометрия түрлері, планиметрия курсын шешуге үйрену.
Феликс Клейн 1872 жылы Эрланген жобасында геометрияның түрлерін алғаш рет зерттеу жұмыстарына байланысты зерттеп қолға алған. Осыған байланысты геометрияның келесі түрлері анықталған. Оның өзі қазіргі заман геометриясы жәнеде өткен ғасыр геометриясы деп екі топқа бөлініп кетті.
Көне ғасыр геометриясы:
# Евклид геометриясы
Планиметрия - жазықтықтағы фигураларды зерттейді.
Стереометрия - кеңістіктегі фигураларды зерттейді.
# Проектілік геометрия
# Аффин геометриясы
Сызба геометрия
Қазіргі заман геометриясы:
# Көпөлшемді кеңістік геометриясы.
# Евклидтық емес геометрия.
Сфералық геометрия.
Лобачевский геометриясы.
Риман геометриясы
# Әралуандық геометрия.
Топология геометриясы.
Пайдаланған әдебиеттеріне байланысты.
# Аналитикалық геометрия.
# Алгебралық геометрия
# Қарапайым геометрия - геометрияның қарапайым математикаға енетін бір бөлімі ретінде қарастырылады. Қарапайым математика мен қарапайым геометрияның ара қашықтығы қатаң шектелмеген.
Планиметрия курсын шешуге үйрену, мысалдар.
Геометрияны оқытуда есептерді шеше білу дағдысын қалыптастыру және оны жалпы түрде дамыту аса маңызды мәселелердің бірі болып табылады. Геометриялық есептерді шешу туралы жалпы білік- дағдылар әдетте көптеген есептерді шешу арқылы қалыптасады. Олай болса, студент пен оқытушының не мұғалім мен оқушының жүйелі түрде ұзақ уақыт еңбектенуіне тура келеді. Шешілу жолы беймәлім, әр түрлі теориялық фактілерді байланыстыруды қажет ететін, студенттер шығара алмайтын жаңа есептер де жиі кездеседі. Сондықтан студенттерді кез келген геометриялық есепті шешудің жалпы тәсілдерімен қаруландыру керек. Бұл талап математикалық есептерді шешу практикумының бағдарламасында да айтылған. Практикум белгілі бір есептердің түрлерін және оларды шешудің тәсілдерін таныстыруға бағытталып қана қоймай, қайта дәлелдеудің барынша жалпы әдістерін ойлауды меңгерту болып табылады. Оқытушы студентке әрбір есепті шығартқанда, оның шешімін әдістемелік талаптарға сай іздеуге, соңында мақсатқа сай дұрыс шешімді табуға жәрдемдесетіндей талдау тәсілдері мен болашақ мұғалімдерге қажеттібілім-білік дағдыларын қалыптастыруға ұмтылады. Теориялық және әдістемелік білім мен әдіс- тәсілдерінсіз кез-келген әдістемелік есепті шешуге бола бермейді. Практикадан байқалатындай, көбінесе геометрия есептері әр түрлі тәсілдермен логикалық тұрғыда көбірек ойлануды қажетсінеді. Геометрия есептерін шешудің кезеңдерін білу оқушылар мен студенттерде қалыптастырылуға тиісті аса маңызды дағдылардың бірі. Есептерді шешу процесі келесі кезеңдерден тұрады.
1) Есептің шартын түсіну: a) есепті талдау; b) есеп шартын схема түріндежазу. Есепті талдағанда оның шартын қандай, онда қандай талап қойылған (не берілген, не белгілі, есеп шарты неден тұрады?) екені анықталады. Есеп шартын схема түрінде жазғанда оның сызбасы қоса қарастырылады, осы талдаудың нәтижесінде есеп шартындағы ең керекті, таныс элементтер ескеріліп, олар қысқаша жазылады. Есепті талдау мен оның сызбасын және шартын схема түрінде қысқаша жазу -- есепті шешу үшін жоспар іздеудің негізгі құралы болып табылады. Есепті талдай келе осы есепке қандай мөлшерде теориялық білімнің қажет болатындығы анықталады.
2) Есеп шешімін іздеу -- есепті шешудің тәсілін іздеу, бұл бүкіл процестің негізгі бөлігі болып табылады. Бұл кезеңде ең алдымен берілген есептің түрі (типі), яғни оның дәлелдеуге, есептеуге не геометриялық түрлендіруге берілгені анықталады, осыған орай есепті шешу тәсілі ізделеді. Есеп шартында берілген элементтер мен іздеуге, анықталуға тиісті белгісіздер арасындағы байланыс ізделеді. Есеп шешімін іздеуде бір-бірімен тығыз байланысты мынадай екі жақты мәселені анықтайды: а) белгілі теориялық білімді шешілуге тиісті есеп шартына сай түрлендіру; б) есеп шартын белгілі теориялық фактілерге сәйкес және оларға байланысты түрлендіру. Бұл арада теориялық білім деп отырғанымыз математикалық ұғымдар мен олардың анықтамалары, теоремалар және математикадағы негізгі әдістер (координаттар әдісі, векторлық әдіс, геометриялық түрлендірулер мен теңдеулер құру әдісі және т.б.). Есептердің түрі мен құрылысына қарай оларды кластарға жіктеп талдау мен шешу әдістерін таңдап алады. Әсіресе, бірнеше теориялық материалдарды біріктіретін, әрі күрделі, әрі көптеген есептерді шешуге теориялық әдістемелік негіз болатын тірек есептерін талдау кезінде белгілі бір гипотеза ұсынылады және оның іске асырылуы тексеріледі. Есеп шешімін іздеу үшін гипотеза ұсына отырып, осы есепке нақтылы қандай теориялық материал керек болатынын анықтаймыз. Теориялық білімді негіздеуші әдісті таңдап, гипотезаны тексереміз. Егер есепті талдағанда бұрыннан таныс элементті байқасақ, не ол шешілуі таныс есепке ұқсас болса, онда есепті шешу үшін белгілі әдісті қолдану мүмкіндігі туралы ой, не есепті шешу жоспары пайда болады. Егер есептің таныс емес түрін шығаруға тура келсе, онда одан бұрыннан таныс есептердің кемінде бір элементін іздейміз немесе берілген есеп шартын бұрын шешілген есептегі таныс бір элемент табылатынын талдаймыз.
3) Жоспарды іске асыру. Бұл арада шешу идеясы табылып, есеп шешіледі.
4) Шешілген есепті талқылау: а) есеп шешімін тексеру; б) есепті зерттеу; в) есеп шешімін әр түрлі параметрлер мен байланыстар бойынша талдау.
1-мысал. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттеріне жүргізілген медианалары см және см. Оның гипотенузасын табу керек (1-сурет).
А
Е
С В
1- сурет
Шешуі. ВС мен АС катеттерін сәйкес х пен у арқылы белгілейік. ВСЕ, АСF - тікбұрышты үшбұрыштар болғандықтан, және , яғни және . Бұл теңдеулер жүйесін шешіп, х пен у-ті табамыз:
, ;
.
2-мысал. АВС үшбұрышында . В төбесінен ВН биіктігі мен BD биссектрисасы жүргізілген. BHD үшбұрышының ауданын табу керек.
Шещуі. АВС үшбұрышының ауданын екі әдіспен өрнектейік:
; екінші жағынан
Демек, Енді деп алып, АВС үшбұрышының ішкі бұрышы биссектрисасының қасиетін пайдаланайық: ВС:АВ=CD:DA, ; . , , . .
3-мысал. Медианалары , , болатын үшбұрыштың ауданын есептеп табу керек (11-сурет).
O
F
E
N
M
В1
O
F
E
N
M
В1
В С
А D
1 - сурет
Шешуі. , . . Берілген элементтер мен ізделінген элементтің арасындағы байланысты анықтайық (О - медианалардың қиылысу нүктесі).
, ,
ОЕ медианасын екі еселеп, АОС үшбұрышын параллелограмына дейін толықтырайық. Сонд ; . Осы сияқты OD медиананы екі еселеп, ВОС үшбұрышын параллелограмға толтырсақ:
.
Осылай қарастырып, екенін аламыз. Енді Герон формуласымен ауданды есептесек, .
Осы есепті басқа әдіспен шешіп көрейік, мен -ның табандары тең болғандықтан, . Шынында да, ~, ол болғандықтан, . Сондықтан ,
Енді параллелограмынан: ;
, , ,
Р=12, ,
Геометрия есептерінің шарттарын қалағанымызша өзгерту арқылы арнайы зерттеу жұмысын жүргізуге болады. Геометрия есептері - зерттеу жүргізудің негізі.
1.3 Геометриялық есептердің шешудің жолдары, мысалдар.
Геометриялық есептердің шешу жолдары:
a) геометриялық;
b) алгебралық;
c) комбинациялық деп аталатын негізгі шешімдер жатады.
Есептерді геометриялық әдіспен шешкенде логикалық ойлаудың жәрдемімен белгілі теоремалар арқылы тұжырымдауды қажетсінетін сөйлемдерді дәлелдейміз. Ал есептерді алгебралық әдіспен шешкенде ізделінген шаманы табу, не тұжырымдауға тиісті сөйлемді дәлелдеу тікелей есептеу жолымен немесе теңдеулер мен олардың жүйелерін құру арқылы іске асады. Тікелей есептеу әдісінің мәні мынада: есептің берілгендері мен белгісіздерінің жан-жақты байланыстарынан аралық қосымша белгісіз шамалар тізбегі құрылады, тізбекке қатысытын әрбір белгісіз шама анықталады немесе іздеген шама белгілі шамалар арқылы өрнектеледі.
Геометриялық есептерді шешу барысында оның шартын өзгерту арқылы әртүрлі зерттеу жұмысын жүргізуге болады. Есеп шартында қолданылмаған ақпаратты зерттеп, ойымызды дамытатын басқа да есептер құрастыруға болады. Мұндай зерттеуге келтірілетін есептер жазықтықтағы салу және кеңістіктегі салулар болып бөлінеді. Жазықтықтағы салулар белгілі аспаптардың көмегімен салынатын болса, кеңістікте мұндай салу аспаптары жоқ, тек аксиомалардың көмегімен салу, түрлендіру, есептері күрделі қатынастарды есептеуге берілген есептер зерттеудің қайнар көзі.
Геометрия есептері әр түрлі ізденістерімен жаңалықтар ашуға итермелейді. Кез-келген геометриялық есепті шешу кезінде соған сәйкес геометриялық фигураның әр алуан касиеттері анықталып т абылады. Бұл қасиеттер ең болмағанда есептің сұрағына жауап беруге қажетті және жеткілікті болып табылады. Жалпы алғанда есепті шешу кезіндс оған қолданылмайтын басы артық қасиеттерде кездесуі де мүмкін. Әр түрлі көзқарас тұрғысынан алғанда маңызды болып табылатын, есеп шартында көрсетілмеген геометриялық фигураның қасиеттерін іздеген кезде ғана геометриялық есептерді зерттеу қолға алынды. Мұндай зерттеу осы есептің шешілуімен тікелей байланысты. Есепті зерттеу барысында фигураның әр түрлі қызықты қасиеттерін іздеумен шектелуге болады. Геометриялық фигурадан табылған жаңа касиеттерді берілген есептің басқа жаңа шешімдерін іздеуге, жаңа есептер құрастыруға болады. Біз бұлшағын зерттеу жұмысында геометрия есептерін зерттеп ондағы есеп шартында көрсетілмеген, осы ссепке қатысты басқа зерттеулерді іздей отырып, табылған қасиеттерді пайдаланып, жаңа есептер құрастырдык, есептердің шартын өзгертіп, оны жалпылал олардағы ортақ қасисттерді көрсеттік. Есептерді әртүрлі мағынада жалпыладық. Ең болмағанда кейбір есептердін шартын түрлендірдік. Ал шешу тәсіліндс оның нәтижесі (әдетте кейбір бұрыштың шамасы) өзгеріссіз қалады. Басқа жағдайларда есеп шарты. есептің қорытындысы өзгертіледі. Дербес жағдайларды жалпылағанда кейде Менелай және Чева теоремалары қолданылды. Бұл есептерді шешу барысында есептерді қосымша зерттеуге басты назар аудардық. Осындай қосымша зерттеудің нәтижесінде мектеп оқушылары жаңа фактілерді үйреніп есепті жалпылау үшін оның шарты мен қорытындысын ұқыпты түрде талдауы мүмкін. В.А.Крутецский математикалық материалды жалпылаудың әр түрлі екі жолын көрсетті: көп бейнелі кейбір дербес жалпылаудың басқа да жолдары бар. Оқу процесінде шәкірттер берілген оқу материалына сәйкестендірмей, салыстырмай, арнаулы жаттығуларсыз, мүғалімнің көрсетуінсіз өзбетінше математикалық объектілерді, қатыстармен амалдарды талдау арқылы бір құбылыспен қатар оған үқсас құбылысты жалпылауды іске асырады. Жалпылаудың бірінші жолы -- нақты-эмприкалық ойлау мүмкіндігі, екінші жолы - ғылыми-теориялык ойлауды дамыту. Біз бұл дипломдық жұмыста жалпылаудың келесі түрлерін қарастырдық.
1. Бір есепті не теореманы қарастыру негізінде
а)дәлелдеу мен есеп шеіиімін тікелей үйрену;
ә) есепті қайта тұжырымдау арқылы жалпылау.
2. Ұсынган бірнеше дербес жағдайларды \үйрену арқылы жалпылау.
3.Жалпы теореманың дербес жагдайларын табу жәнв оны басқаша жалпылау.
4.Есептерді талдау мен шешуге негізделіп берілгендерге керісінше алынған мәліметтер бойынша есептер құрастыру.
Осы айтылған жалпылауларға сүйеніп кұрастырылған есептер окушы білімін тереңдстіп, өзбетінше танымдық әрекетінің сапасын көтереді. Біз есептер шешу барысында сырттай сызылған шеңберді келесі қасиеттерін пайдаландық.
Геомерия есептерін шешудің кезеңдерін білу оқушылар мен студенттерде қалыптастырылуға тиісті аса маңызды дағдылардың бірі. Есептерді шешу процесі келесі кезеңдерден тұрады.
1.Есептің шартын түсіну: а) есепті талдау: б) есеп шартын схема түрінде жазу. Есепті талдағанда оның шарты қандай, онда қандай талап қойылған ( не берілген, не белгілі, есеп шарты неден тұрады?) екені анықталады. Есеп шартын схема түрінде жазғанда оның сызбасы қоса қарастырылады, осы талдаудың нәтижесінде есеп шартындағы ең керекті, таныс элементтер ескеріліп, олар қысқаша жазылады. Есепті талдау мен оның сызбасын жіне шартын схема түрінде қысқаша жазу - есепті шешу үшін жоспар іздеудің негізгі құралы болып табылады. Есепті талдай келе осы есепке қандай мөлшерде теориялық білімнің қажет болатындығы анықталады.
2. Есеп шешімін іздеу - есепті шешудің тәсілін іздеу - бүкіл процестің негізгі бөлігі. Бұл кезенде ең алдымен берілген есептің түрі (типі), яғни оның дәлелдеуге, есептеуге не геометриялық түрлендіруге берілгені анықталады, осыған орай есепті шешу тәсілі ізделеді. Есеп шартында берілген элементтер мен іздеуге, анықталуға тиісті белгізсіздер арасындағы байланыс ізделеді. Есеп шешімін іздеуде бір-бірімен тығыз байланысты мынадай екі жақты мәселені анықтайды: а) белгілі теориялық білімді шешіглуге тиісті есеп шартына сай түрлендір: б) есеп шартын белгілі теориялық фактілерге сәйкес және оларға байланысты түрлендіру. Бұл арада теориялық білім деп отырғанымыз математикалық ұғымдар мен олардың анықтамалары, теоремалар және математикадағы негізгі әдістер ( координаттар әдісі, векторлық әдіс, геометриялық түрлендірулермен теңдеулер құру әдісі, және т.б.).
Есептердің түрі мен құрылысына қарай оларды кластарға жіктеп талдау мен шешу әдістерін таңдап алады. Әсіресе, бірнеше теориялық материалдары біріктіретін, әр күрделі, әрі көптеген есептерді шешуге теориялық әдістемелік негізболатын тірек есептерін талдау кезінде белгілі бір гипотеза ұсынылады және оның іске асырылуы тексеріледі. Есеп шешімін іздеу үшін гипотеза ұсына отырып, осы есепке нақтылы қандай теориялық материал керек болатынын анықтаймыз. Теориялық білімді негідеуші әдісті таңдап, гипотезаны тексереміз.
Егер есепті талдағанда бұрыннан таныс элементті байқасақ,не ол шешілуі таныс есепке ұқсас болса, онда есепті шешу үшін белгілі әдісті қолдану мүмкіндігі туралы ой, не есепті шешу жоспары пайда болады. Егер есептің таныс емес түрін шығаруға тура келсе, онда одан бұрыннан таныс есептердің кемінде бір элементін іздейміз немесе берілген есеп шартын бұрып шешілген есептегі таныс бір элемент табылатындай түрге дейін талдаймыз.
3. Жоспарды іске асыру. Бұл арада шешу идеясы табылып, есеп шешіледі.
4. Шешілген есепті талқылау: а) есеп шешімін тексеру; б) есепті зерттеу; в) есеп шешімін әр түрлі параметрлер мен байланыстар бойынша талдау.
Есептің шешілуінің және оған қолданылған әдістер мен теориялық негіздеулердің дұрыс екенін, ол шешім есеп шартының барлық талаптарын қанағаттандыратынын білу үшіноны тексеру керек. Есепті зерттеу келесі мәселелерді анықтауы керек: қандай шарт орындалғанда есептің шешімі бар; қандай шарт орындалғанда есептің жалпы шешімі жоқ болады?
Есептің шешімін талдау мынадай мәселелерге жауап береді. Есепті шешудің бұдан басқа ең тиімді жолы жоқ па? Есепті жалпылауға бола ма? Осы есептен қандай қорытындылар жасауға болады? Осы есептен қандай қорытындылар жасауға болады? Есепті шешу процесінің құрылымы ең алдымен есептің сипатына, есеп шығарушының қандай біліммен, білікпен, дағдымен қаруланғанына тікелей байланысты.
Іс-әрекеттің ұғымды игерту үдерісі ұғымның мазмұнын, оның көлемiн, басқа да ұғымдармен және дәйектермен маңызды байланысын игерудi қамтиды. Сондықтан да геометрия курсында ұғымдарды игеруге бағытталған тапсырмалар жүйесi ұғымның барлық маңызды қасиеттерiн (ұғымның мазмұны мен көлемін) ашатындай тапсырмалардан тұруы керек.
1-теорема. Егер О-АВС шеңберінің центрі, О және В нүктелері АС түзуінің бір жағында жатса, онда
3-сурет
2-теорема. Егер , ОА = ОС және О, В нүктелері АС кесіндісінің бір жағында жатса, онда О нүктесі АВС шеңберінің центрі.
3-теорема. Егер АВСД төртбүрышында болса, онда ол іштей сызылған.
1-есеп. Берілген квадратка іштей дұрыс үшбұрыш сыз. Бұл есептің шешілуінің әр түрлі жолы белгілі. Мысалы, бұру әдісі, ұқсастык әдісі. Талдау барысында квадрат қабырғасының кез-келген нүктесі оны іштей сызылған дұрыс үшбұрышының төбесі болатынын оңай байқауға болады. Есептің шектеусіз көп шешімі бар. Талдау ретінде мынандай мәселені қарастыруға болады;
Квадратқа іштей сызылған дұрыс үшбұрыштар центрі қандай фигураны құрайды? .
Шешуі: MNLK квадрат берілсін (3-сурет). Алдын-ала , , болатындай АВС дұрыс үшбұрышын қарастыралық. Егер , болса, онда МАОС және СОВК төртбұрыштары іштей сызылған, содан, ﮮОКС =ﮮОВС = 600. Бұдан МОК үшбұрышы -- дұрыс үшбұрыш деген қорытындыға келеміз. О осы үшбұрыштың төбесі -- бұл қарастырылатын барлық үшбұрыштардың (АВ-ның ортасы). АВС үшбұрышының центрін S арқылы белгілейік. Онда , А нүктесі МN қабырғасы бойынша орын ауыстырғанда, В нүктесі LК квадрат қабырғасы бойынша орын ауыстырады. Онда МК бойында жатқан С нүктесі кесіндісінің бойымен қозғалады. Егер А нүктесі , де, болса, онда С нүктесімен нүктесімен беттеседі. Егер бірдей болса, болса, онда мен бірдей. Бұл жағдайда S нүктесі
4 - сурет
Есеп шартын қанағаттандыратын кез-келген үшбұрышты қарастырылған АВС үшбұрышын квадраттың центрінен 90°, 180°, 270°-қа бұрып шығарып алуға болады. Сондықтан барлық іштей сызылған дұрыс үшбұрыштар центрлері кабырғасының ұзындығы квадратын құрайды. Бұл квадраттың центірі берілген квадраттың центрімен беттеседі. АВ қабырғасынын ортасының қасиеті байқалған жаңа қасиет -- бұл арқылы жаңа нәтижелерге қол жсекізуге болады. Ең алдымен О нүктесінің көмегімен АВС үшбұрышын оңай құрады. (О нүктесі квадрат ішінде жатыр) О нүктесі арқылы MN мен LK-ны қиятын кез-келген түзу жүргіземіз. Ол А, В нүктелеріңде қиылысады.
, , ∆АВС -- есеп шартын қанағаттандырады. Козғалмайтын О нүктесі МАВК трапециясының өте маңызды жаңа қасиетін байқауға мүмкіндікбереді. МА + КВ = 20С
(Арақашықтықтар қосындысы О нүктесінен МК дейінгі қашықтықтың екі еселенген көбейтіндісіне тең). Сондықтан іштей сызылған ұшбүрыштың АВ қабырғасын қай жерден таңдап алуға байланысты емес. МАВК трапецияның ауданы тұрақты болады. Бұл арада квадраты МК түзуі және MN, KL екі жарты түзуі арқылы өрнектеуге болады. MN, KLжарты түзулер МК бір жағында жәнебүлар МК-ға ┴ болуы керек. Дұрыс АВС үшбұрышы , , орналасуы керек. АВ-ның ортасы О ұшбұрыштар үшін ортақ. Сондықтан МАВК төртбұрышының ауданы АВ қабыргасын таңдап алуга тәуелсіз. Осы есепке сүйеніп жаңа есеп құрастыруға болады.
2-есеп. Теңбүйірлі үшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің ұзындығы 20PI-ге тең. Егер үшбұрыш табаны 12 болса, онда осы үшбұрыштың ауданын табыңдар.
5 - сурет
Шешуі: Шеңбер радиусы 10 екені белгілі. Берілген шеңберге табаны ортақ екі теңбүйірлі үшбұрыш салуға болатыны белгілі (5-сурет). Бірінші үшбұрышта С1 - сүйір, екінші үшбұрышта С2 - доғал.
1-жағдай., мұндағы R-шеңбер радиусы. Бұл арадан -сүйір болғандықтан, . Косинустар теоремасы бойынша, , . Бұдан ∆AC1B-ның ауданы.
2-жағдай. Бұл арада, бірақ себебі-доғал бұрыш.∆AC2B - ның ауданы 12. Жауабы немсе 12.
3-есеп. ABCDE - дұрыс бесбұрыш берілген. Ондағы M нүктесі -∆DEN-теңқабырғалы үшбұрыш болатындай етіп алынған. ∆ANC - ның бұрыштарының шамасын табыңдар.
Шешуі: Дұрыс бесбұрыштың ішкі бұрышы 1080 болғандықтан , ﮮОМС=ﮮNDC =ﮮEDC-ﮮEDN = 1080-600=480 (6-сурет).
6 - сурет
∆NDCТеңбүйірлі болғандықтан (ND=DC),ﮮDMC = (1800 - 480)=660. Дәл осылайша ﮮENA=660 екенін анықтаймыз. Бұл арадан ﮮANC = 3600 - (600+660+660)=1680. Алайда келтірілген есептің шешуі толық емес. Шынында да есеп шартына N нүктесі дұрыс бесбұрыштың ішінде жатады деп айтылмаған. Сондықтан бұл есептің басқа шешу жолы болуы мүмкін ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz