Үш айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер

МАЗМҰНЫ

Кіріспе . . . 3

I. ҮШ АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР

1. 1 Симметриялы көпмүшеліктер . . . 4

1. 2 Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер туралы

негізгі теорема . . . 5

1. 3 Дәрежелі қосындылардың σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы өрнектелуі . . . 6

1. 4 Варинг формуласы . . . 14

1. 5 Кері дәрежелік қосынды . . . 16

1. 6 Антисимметриялы көпмүшеліктер . . . 17

1. 7 Антисимметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теорема . . . 19

1. 8 Дискриминант және оның қолданылуы . . . 21

1. 9 Дәлелдеуге қолданылуы . . . 26

1. 10 Тақ және жұп орын ауыстырулар . . . 27

1. 11 Жұп симметриялы көпмүшеліктер . . . 29

II. n АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР

2. 1 Бірнеше айнымалыларға тәуелді элементар симметриялы көпмүшеліктер . . . …32

2. 2 Бірнеше айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер

жайлы негізгі теорема. . …. 35

2. 3 Дәрежелі қосындылардың элементар симметриялы

көпмүшеліктер арқылы өрнектелуі. ………. 37

2. 4 $n$ айнымалыға тәуелді элементар симметриялы

көпмүшеліктер және $n -$ інші дәрежелі алгебралық теңдеулер.

Виет формуласы. …. . 39

2. 5 Анықталмаған коэффиценттер әдісі. . …41

2. 6 Көпмүшеліктердің орналасу реті. Алғашқы мүшелері . . . 42

2. 7 $\varphi(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{n})$ көпмүшелігінің қосылғыштарын алғашқы

мүшелері арқылы жинақтау. . 44

2. 8 $n$ айнымалыға тәуелді антисимметриялы

көпмүшеліктер. . …. 47

2. 9 Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылудың ортақ әдісі . . . 48

2. 10 Түбірлерді симметрялы көпмүшеліктер арқылы алу. 55

Қорытынды . . . 59

Пайдаланған әдебиеттер тізімі . . . 60

Кіріспе.

Дипломдық жұмысым « Симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктерді теңдеулерді шешуге қолдану » тақырыбында жазылған.

Жалпы дипломдық жұмыс «үш айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер» және « $n$ айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер» деп аталатын екі тараудан тұрады.

Біз бірінші тарауда үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді қарастырамыз. Сонымен қатар симметриялы көпмүшеліктер жайлы негізгі теореманы айтып кетеміз және олардың σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы өрнектелуіне де тоқталып кетеміз. Осындай өрнектелу арқылы болатын Варинг формуласы мен кері дәрежелік қосындылар жайлы да сөз қозғайтын боламыз.

Бұл тарауда сонымен қатар симметриялы көпмүшеліктердің жақын класы атисимметриялы көпмүшеліктерді қарастыратын боламыз. Антисимметрялы көпмүшеліктердің де үш айнымалыларға тәуелділерін қарастырамыз. Антисимметриялы көпмүшеліктер жайлы негізгі теореманы келтіретін боламыз. Қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктердің квадратынан шығатын дискриминант жайлы және оның қолданылуы жайлы айтып, мысалдар келтіреміз.

Екінші тарауда симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктердің бірнеше айнымалыларға тәуелділерін қарастырамыз. Айнымалылар санының көбейуімен байланысты кейбір қйындықтардың туғанымен олардың басты ерекшеліктері екі және үш айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер жағдайларынан көрініс табады. $n$ айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер жайлы негізгі теорема келтірілген. $n$ айнымалыға тәуелді кез-келген симметриялы көпмүшеліктерді бірмүшеліктер орбитасына жіктеуде ең тиімді болатын толық орбиталар жайлы, $n$ айнымалыларға тәуелді элементар симметриялы көпмүшеліктер және $n -$ інші дәрежелі алгебралық теңдеулер арасынддағы байланыстар жайлы, Виет формуласы және антисимметриялы көпмүшеліктерге қатысты бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылу жайлы көрсетіп, мысалдармен түсіндірілген.

I. ҮШ АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР

1. 1 Симметриялы көпмүшеліктер

Жалпы симметриялы көпмүшеліктерде айнымалыларының орнын ауыстырғанмен еш өзгеріссіз қалады. Ал x, y, z үш айнымалысына тәуелді көпмүшеліктерде мұндай орын ауыстырулардың үш түрі бар. x және y немесе x және z немесе y және z айнымалыларының орындарын ауыстыруға болады . Егер f(x, y, z) көпмүшелігінің кез-келген үш айнымалыларының орындарын ауыстырғанда еш өзгеріссіз қалса, онда x, y, z үш айнымалысына тәуелді f(x, y, z) көпмүшелігін симметриялы деп атаймыз.

f(x, y, z) көпмүшелігінің симметриялы екендігінің жазылу түрі келесідей:

f(x, y, z) = f(y, x, z) = f(z, y, x) = f(x, z, y) .

Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерге мысалды екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер аналогиясы бойынша құруға болады. Мысалы, қосындының коммутативтілігінен шығатын симметриялы көпмүшелік: x+y+z, ал көбейтіндінің коммутативтілігінен шығатын көпмүшелік: xyz.

Симметриялы және дәрежелі көпмүшеліктер:

s _k =x ^k +y ^k +z ^k

Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерге тағы бір мысал:

xy+yz+xz,

x ³ +y ³ +z ³ -3xyz,

(x+y) (x+z) (y+z),

x(x ⁴ +z ⁴ ) +y(x ⁴ +z ⁴ ) +(x ⁴ +y ⁴ ) .

Керісінше, x ² z+y ² z көпмүшелігі симметриялы бола алмайды. Рас, x және y айнымалыларының орнын ауыстырғанменен ещтеңе өзгермейді:

x ² z+y ² z=y ² z+x ² z .

Бірақ, біз x және z айнымалыларының орнын ауыстырсақ көпмүшелігіміздің түрі келесідей өзгереді:

z ² x+y ² x ≠ x ² z+y ² z

Ең қарапайым симметриялы көпмүшеліктер:

x+y+z,

xy+xz+yz,

xyz.

Бұларды x, y, z үш айнымалысына тәуелді элементарлы симметриялы көпмүшеліктер деп атайды және олар σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы өрнектеледі.

σ ₁ =x+y+z,

σ ₂ =xy+xz+yz

σ ₃ =xyz

Бұл жерде σ ₁ -бірінші дәрежелі, σ ₂ -екінші дәрежелі, σ ₃ -үшінші дәрежелі көпмүшелік.

1. 2 Үш айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теорема

Үш айнымалыға тәуелді симметриалы көпмүшеліктерді құрудың қарапайым әдістері бар. Ол үшін кез-келген (жалпы айтқанда симметриялы емес) σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ айнымалыларына тәуелді көпмүшелікті алып, оның ішінен σ ₁ -ді x+y+z - пен, σ ₂ -ні xy+xz+yz - пен және σ ₃ -ті xyz - пен ауыстыру қажет. Қорыта келгенде біз x, y, z тәуелді симметрилы көпмүшелік аламыз. Мысалы, төмендегі көпмүшеліктен

$\sigma_{1}^{3}$ -3σ ₁ σ ₂ -σ ₃

мынадай жол арқылы

f(x, y, z) =(x+y+z) ³ -3(x+y+z) (xy+xz+yz) -xyz.

көпмүшелігін аламыз.

Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерін біріктірсек келесідей көпмүшелік аламыз:

f(x, y, z) =x ³ +y ³ +z ³ -4xyz.

Бұл жазған әдіс барлық үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді алуға мүмкіндік береді. Бұған дәлел ретінде келесі теореманы көрсетуге болады.

Теорема[ 8 ] . Кез-келген x, y, z тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді σ ₁ =x+y+z , σ ₂ =xy+xz+yz, σ ₃ =xyz көпмүшелік түрінде көрсетуге болады.

Біз бұл теореманы дәлелдейміз, әрине кейбір қиындықтарын қоса алғанда, атап айтқанда: айнымалылар санының көбеюі.

Дәлелдеу түрі мынадай. Алдымен кез-келген s _k дәрежелі қосынды σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ элементарлы симметриялы көпмүшеліктен жасалатынын көрсетеміз. Бұдан кейін алдыңғысынан күрделілеу көпмүшеліктерді қарастырамыз. Олардың әрқайсысы кейбір бірмүшеліктің айнымалыларының барлық мүмкін болған орын ауыстыруларымен алынады. Мұндай симметриялы көпмүшеліктерді сәйкес бірмүшеліктің орбитасы деп атаймыз. Әрбір орбита дәрежелі қосындыдан, яғни қорыта келгенде σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ жасалатынын көрсетеміз. Ақыры, барлық симметриялы көпмүшеліктер орбиталардың қосындысы түрінде көрсетілетіні белгілі болады.

1. 3 Дәрежелі қосындылардың σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы өрнектелуі

Сонымен, біз алдымен барлық s _k =x ^k +y ^k +z ^k дәрежелі қосындыларды σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ түрінде көрсетуге болатындығын дәлелдейміз. x, y, z үш айнымалысына тәуелді көпмүшеліктерге қатысты аналогиялық формула:

s _k =σ ₁ s _k-1 -σ ₂ s _k-2 +σ ₃ s _k-3 . (1. 1)

Бұл формуланы бірден тексерейік. (1. 1) [1. 1. 8] теңдеуінің оң жағындағы s _k-1 , s _k-2 , s _k-3 мүшелерінің, сонымен бірге σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ мүшелерінің орнына олардың x, y, z арқылы өрнектелуін қойып, өзгертулер енгізу арқылы

s _k =σ ₁ s _k-1 -σ ₂ s _k-2 +σ ₃ s _k-3 =(x+y+z) (x ^k-1 +y ^k-1 +z ^k-1 ) -

-(xy+xz+yz) (x ^k-2 +y ^k-2 +z ^k-2 ) +xyz(x ^k-3 +y ^k-3 +z ^k-3 ) =

=(x ^k +y ^k +z ^k +xy ^k-1 +x ^k-1 y+xz ^k-1 +x ^k-1 z+yz ^k-1 +y ^k-1 z) -

-( x ^k-1 y+ xy ^k-1 + x ^k-1 z+ xz ^k-1 + y ^k-1 z+ yz ^k-1 +xyz ^k-2 + xy ^k-2 z+x ^k-2 yz) +

+( x ^k-2 yz+ xy ^k-2 z+ xyz ^k-2 ) = x ^k +y ^k +z ^k =s _k

теңдеуін аламыз. Біз осылай формуланың дұрыс екендігін тексердік.

Нақтырақ айтқанда, s ₀ , s ₁ , s ₂ дәрежелі қосындылардың σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы өрнектелетінін оңай байқауға болады.

s ₀ =x ⁰ +y ⁰ +z ⁰ =1+1+1=3

s ₁ = x + y + z =σ ₁

s ₂ =x ² +y ² +z ² =(x +y +z) ² -2(x y +x z +y z) = $\sigma_{1}^{2}$ -2σ ₂

Осыдан кейін (1. 1) [1. 1. 8] формула σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы сәйкесінше келесідей дәрежелі қосындыларды табуға мүмкіндік береді: алдымен s ₃ , сосын s ₄ , s ₅ , т. с. с. Басқаша айтқанда σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы s ₀ , s ₁ , s ₂ дәрежелі қосындыларды алып, математикалық индукция методының көмегімен кез-келген s _k дәрежелі қосынды σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы өрнектелетініне көз жеткіземіз. Осылайша біздің тұжырымдамамыз дәлелденді.

(1. 1) формула дәрежелі қосындылардың σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы жасалу мүмкіндігін дәлелдеп қана қоймай, сонымен қатар осы жасалуларды тікелей табуға мүмкіндік береді.

Басқаша айтқанда, жоғарыда келтірілген делелдеулер конструктивті, яғни алгаритм. 1 кестеде дәрежелі қосындылардың ( s ₁₀ дейін ) σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы жасалулары көрсетілген:

1 кесте.

s _n = x ⁿ + y ⁿ + z ⁿ дәрежелі қосындыларының σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы жасалуы

Бірмүшеліктер орбитасы. Сонымен біз σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ элементарлы симметриялы көпмүшеліктер арқылы s _n дәрежелі қосындыны көрсете алдық .

Айнымалыларының орнын ауыстырғанменен еш өзгеріссіз қалатын бірмүшеліктер бар, яғни сииметриялы бірмүшеліктер. Мұндай бірмүшелікке кіретін айнымалылардың барлығының дәрежелері бірдей болатынын оңай байқауға болады. Яғни:

x ^k y ^k z ^k

Егерде айнымалыларының дәрежелері өзгеше болса: x ^k y ^l z ^m , онда мұндай бірмүшеліктер симметриялы бола алмайды. Құрамында x ^k y ^l z ^m бірмүшелігі бар көпмүшеліктен симметриялы көпмүшелік алу үшін, оған қосымша бірмүшелік енгізу қажет. Құрамында x ^k y ^l z ^m бірмүшелігі бар көпмүшелікті осы бірмүшелігінің орбитасы деп алып, O(x ^k y ^l z ^m ) арқылы белгілейік.

x ^k y ^l z ^m бірмүшелігінің орбитасын алу үшін x, y, z айнымалыларының орындарын ауыстыру арқылы шығатын бірмүшелікті қосу керек екендігі анық. Егер x ^k y ^l z ^m бірмүшелігінің екі дәреже көрсеткіші ұқсас болып, үшіншісі өзгеше болса, айталық k=l (ал k≠m) , мұндай жағдайда x, y айнымалыларының орындарын ауыстырғанмен x ^k y ^l z ^m бірмүшелігі өзгеріссіз қалады. Осындай жағдайда келтірілген орбита тек үш мүшеден ғана құралады:

O(x ^k y ^l z ^m ) =x ^k y ^k z ^m +x ^k y ^m z ^k +x ^m y ^k z ^k

( m≠k ) . Мысалы,

O(xyz ⁵ ) =xyz ⁵ +xy ⁵ z+x ⁵ yz

O(xy) =xy+xz+yz

O(x ³ y ³ ) =x ³ y ³ +x ³ z ³ +y ³ z ³

Көп жағдайларда мұндай орбита дәрежелі қосынды болып келеді:

O(x ^k ) =O(x ^k y ⁰ z ⁰ ) =x ^k +y ^k +z ^k =s _k .

Ақыры, егер k=l=m болса, онда орбита бірмүшелік болады:

O(x ^k y ^k z ^k ) =x ^k y ^k z ^k .

Енді біз кез-келген бірмүшеліктің орбитасы σ ₃ арқылы және дәрежелі қосынды арқылы жасалатынын көрсетеміз. Ал кез-келген дәрежелі қосынды σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы өрнектелетін болғандықтан, осыдан келіп, кез-келген бірмүшеліктің орбитасы σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ арқылы өрнектеледі. Бұл негізгі теореманы делелдеудің екінші қадамы.

Егер x ^k y ^l z ^m бірмүшелігі тек бір ғана х айнымалысына тәуелді болса (яғни l=m=0) , онда біздің пайымдауымыз анық көрінеді: мұндай жағдайда O(x ^k ) =s _k орбитасының өзі дәрежелі қосынды болады.

Енді екі айнымалыға тәуелді бірмүшелікке көшейік, яғни x ^k y ^l көрінісіндегі. Егер k≠l болса, онда келесідей формула шығады:

O(x ^k y ^l ) =O(x ^k ) O(x ^l ) -O(x ^k+l ) (k≠l) (1. 2)

Негізінде,

O(x ^k ) O(x ^l ) -O(x ^k+l ) =(x ^k +y ^k +z ^k ) (x ^l +y ^l +z ^l ) -(x ^k+l +y ^k+l +z ^k+l ) =

=( x ^k+l +y ^k+l +z ^k+l +x ^k y ^l +x ^l y ^k +x ^k z ^l +x ^l z ^k +y ^k z ^l +y ^l z ^k ) - (x ^k+l +y ^k+l +z ^k+l ) =

=x ^k y ^l +x ^l y ^k +x ^k z ^l +x ^l z ^k +y ^k z ^l +y ^l z ^k =O(x ^k y ^l )

Егер k=l болса, онда (1. 2) [1. 2. 8] формула келесідей өзгереді:

O(x ^k y ^k ) = $\frac{1}{2}$ ((O(x ^k ) ) ² -O(x ^2k ) ) . (1. 3)

Ақыры, егер x ^k y ^l z ^m бірмүшелігі x, y, z үш айнымалыға тәуелді (яғни үш дәреже көрсеткіші де нөлден өзгеше), онда x ^k y ^l z ^m бірмүшелігі кейбір xyz дәрежелі бірмүшеліктерге бөлінеді. Сондықтан O(x ^k y ^l z ^m ) көпмүшелігінің кейбір xyz дәрежелі бірмүшелігін жақша сыртына шығарсақ, жақша ішінде үштен төмен айнымалыға тәуелді кейбір бірмүшеліктің орбитасы қалады.

Мысалы,

O(x ² y ³ z ⁴ ) = x ² y ³ z ⁴ + x ² y ⁴ z ³ + x ³ y ² z ⁴ + x ³ y ⁴ z ² + x ⁴ y ² z ³ + x ⁴ y ³ z ² =

= (xyz) ² (yz ² + y ² z + xz ² + xy ² + x ² z + x ² y) = (xyz) ² O(x ² y),

O(x ³ y ⁵ z ⁵ ) = x ³ y ⁵ z ⁵ + x ⁵ y ³ z ⁵ + x ⁵ y ⁵ z ³ = (xyz) ³ (y ² z ² + x ² z ² + x ² y ² ) = (xyz) ³ O(x ² y ² )

және т. с. с. Негізі, егер, мысалы, k ≥ m, l ≥ m болса, онда

O(x ^k y ^l z ^m ) = (xyz) ^m O(x ^k-m y ^l-m ) = σ ₃ ^m O(x ^k-m y ^l-m ) . (1. 4)

Сонымен, егер x ^k y ^l z ^m бірмүшелігі тек бір ғана айнымалыға тәуелді болса, онда O(x ^k y ^l z ^m ) орбитасы дәрежелі қосынды болады; егер екі айнымалыға тәуелді болса, онда O(x ^k y ^l z ^m ) орбитасы дәрежелі қосынды арқылы жасалады;

ақыры, осы көпмүшелік барлық үш айнымалыға да тәуелді болған жағдай, егер

O(x ^k y ^l z ^m ) көпмүшелігінде оның барлық мүшелерінің ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарса, онда біз, шындығында, бірмүшеліктің кез-келген орбитасы σ ₃ және дәрежелі қосынды арқылы жасалатынын көреміз.

Келтірілген дәлелдемеде екі бір-бірінен өзгеше формулалардың келуі шамалы түсініксіздеу болуы мүмкін. Алайда, орбитаның анықтамасына кейбір өзгертулер енгізу арқылы мұндай түсініксіздікті жоямыз.

Барлық k, l, m көрсеткіштері әртүрлі болған жағдайда, O(x ^k y ^l z ^m ) орбитасы алты мүщелердің қосындысынан тұрады:

$$O\left( x^{k}y^{l}z^{m} \right) = x^{k}y^{l}z^{m} + x^{k}y^{m}z^{l} + x^{l}y^{k}z^{m} + x^{l}y^{m}z^{k} + x^{m}y^{k}z^{l} +$$

$+ x^{m}y^{l}z^{k}$ . (*)

(*) теңдеуінің оң жағы екі айнымалылары немесе тіпті барлық үш айнымалыларыда сәйкес келген жағдайда да қарастырылады. Теңдеудің осы оң жағын $x^{k}y^{l}z^{m}$ бірмүшелігінің толық орбитасы деп атап, $O_{П}(x^{k}y^{l}z^{m})$ арқылы белгілейміз, яғни:

$$O_{П}(x^{k}y^{l}z^{m}) = x^{k}y^{l}z^{m} + x^{k}y^{m}z^{l} + x^{l}y^{k}z^{m} + x^{l}y^{m}z^{k} + x^{m}y^{k}z^{l} +$$

$+ x^{m}y^{l}z^{k}$ . (**)

Осылайша, егер барлық k, l, m көрсеткіштері өзара өзгеше болса, онда толық орбита қарапайым орбитамен сәйкес келеді.

$k = l \neq m$ болған жағдайда, толық орбитамыз төмендегідей көріністе болады:

$$O_{П}(x^{k}y^{k}z^{m}) = x^{k}y^{k}z^{m} + x^{k}y^{m}z^{k} + x^{k}y^{k}z^{m} + x^{k}y^{m}z^{k} + x^{m}y^{k}z^{k} +$$

$$+ x^{m}y^{k}z^{k} = 2\left( x^{k}y^{k}z^{m} + x^{k}y^{m}z^{k} + x^{m}y^{k}z^{k} \right) .$$

Жақшадағы өрнек сол қарапайым орбитамыз болып табылады. Осылайша, $k \neq m$ болған жағдайда

$$O_{П}\left( x^{k}y^{k}z^{m} \right) = 2 \cdot O\left( x^{k}y^{k}z^{m} \right)$$

түрін қабылдайды. Ақыры, $k = l = m$ болғанда,

$$O_{П}\left( x^{k}y^{k}z^{m} \right) = 6x^{k}y^{k}z^{k} = 6 \cdot O(x^{k}y^{k}z^{k})$$

екендігі анық.

Байқағанымыздай, барлық жағдайда толық орбита қарапайым орбитадан тек көбейткіштердің санымен ерекшеленеді:

егер барлық k, l, m көрсеткіштері өзара өзгеше болса, онда

... жалғасы

Дискретті математика

Өзара әсерлесуші бозондар моделі

Есептеу математикасына кіріспе пәні бойынша оқу-әдістемелік кешен

Скаляр көбейтінді және оның қасиеттері

Теңдеулер жүйесін шешу

Көпмүшеліктерді көпмүшеліктерге бөлу процедурасы

Бинарлық қатынастардың берілуі

Шамалардың қатынасы, сандардың қатынасы

Теңдеулер жүйесінің шығарылуы

Кванторы бар сөйлемдерді теріске шығару ережелері

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс