Үш айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер
МАЗМҰНЫ
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
I. ҮШ АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР
1.1 Симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2 Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер туралы
негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.3 Дәрежелі қосындылардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.4 Варинг формуласы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
1.5 Кері дәрежелік қосынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
1.6 Антисимметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
1.7 Антисимметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... 19
1.8 Дискриминант және оның қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
1.9 Дәлелдеуге қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .26
1.10 Тақ және жұп орын ауыстырулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
1.11 Жұп симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..29
II. n АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР
2.1 Бірнеше айнымалыларға тәуелді элементар симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .32
2.2 Бірнеше айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер
жайлы негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.3 Дәрежелі қосындылардың элементар симметриялы
көпмүшеліктер арқылы өрнектелуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37
2.4 n айнымалыға тәуелді элементар симметриялы
көпмүшеліктер және n.інші дәрежелі алгебралық теңдеулер.
Виет формуласы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..39
2.5 Анықталмаған коэффиценттер әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..41
2.6 Көпмүшеліктердің орналасу реті. Алғашқы мүшелері ... ... ... ... ... ... ...42
2.7 φ(σ.1,σ.2,...,σ.n) көпмүшелігінің қосылғыштарын алғашқы
мүшелері арқылы жинақтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .44
2.8 n айнымалыға тәуелді антисимметриялы
көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .47
2.9 Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылудың ортақ әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .48
2.10 Түбірлерді симметрялы көпмүшеліктер арқылы алу ... ... ... ... ... ... ... 55
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .59
Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .60
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
I. ҮШ АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР
1.1 Симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2 Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер туралы
негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.3 Дәрежелі қосындылардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.4 Варинг формуласы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
1.5 Кері дәрежелік қосынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
1.6 Антисимметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
1.7 Антисимметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... 19
1.8 Дискриминант және оның қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
1.9 Дәлелдеуге қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .26
1.10 Тақ және жұп орын ауыстырулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
1.11 Жұп симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..29
II. n АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР
2.1 Бірнеше айнымалыларға тәуелді элементар симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .32
2.2 Бірнеше айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер
жайлы негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.3 Дәрежелі қосындылардың элементар симметриялы
көпмүшеліктер арқылы өрнектелуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37
2.4 n айнымалыға тәуелді элементар симметриялы
көпмүшеліктер және n.інші дәрежелі алгебралық теңдеулер.
Виет формуласы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..39
2.5 Анықталмаған коэффиценттер әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..41
2.6 Көпмүшеліктердің орналасу реті. Алғашқы мүшелері ... ... ... ... ... ... ...42
2.7 φ(σ.1,σ.2,...,σ.n) көпмүшелігінің қосылғыштарын алғашқы
мүшелері арқылы жинақтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .44
2.8 n айнымалыға тәуелді антисимметриялы
көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .47
2.9 Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылудың ортақ әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .48
2.10 Түбірлерді симметрялы көпмүшеліктер арқылы алу ... ... ... ... ... ... ... 55
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .59
Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .60
Кіріспе.
Дипломдық жұмысым «Симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктерді теңдеулерді шешуге қолдану» тақырыбында жазылған.
Жалпы дипломдық жұмыс «үш айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер» және «n айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер» деп аталатын екі тараудан тұрады.
Біз бірінші тарауда үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді қарастырамыз. Сонымен қатар симметриялы көпмүшеліктер жайлы негізгі теореманы айтып кетеміз және олардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелуіне де тоқталып кетеміз. Осындай өрнектелу арқылы болатын Варинг формуласы мен кері дәрежелік қосындылар жайлы да сөз қозғайтын боламыз.
Бұл тарауда сонымен қатар симметриялы көпмүшеліктердің жақын класы атисимметриялы көпмүшеліктерді қарастыратын боламыз. Антисимметрялы көпмүшеліктердің де үш айнымалыларға тәуелділерін қарастырамыз. Антисимметриялы көпмүшеліктер жайлы негізгі теореманы келтіретін боламыз. Қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктердің квадратынан шығатын дискриминант жайлы және оның қолданылуы жайлы айтып, мысалдар келтіреміз.
Екінші тарауда симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктердің бірнеше айнымалыларға тәуелділерін қарастырамыз. Айнымалылар санының көбейуімен байланысты кейбір қйындықтардың туғанымен олардың басты ерекшеліктері екі және үш айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер жағдайларынан көрініс табады. n айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер жайлы негізгі теорема келтірілген. n айнымалыға тәуелді кез-келген симметриялы көпмүшеліктерді бірмүшеліктер орбитасына жіктеуде ең тиімді болатын толық орбиталар жайлы, n айнымалыларға тәуелді элементар симметриялы көпмүшеліктер және n-інші дәрежелі алгебралық теңдеулер арасынддағы байланыстар жайлы, Виет формуласы және антисимметриялы көпмүшеліктерге қатысты бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылу жайлы көрсетіп, мысалдармен түсіндірілген.
Дипломдық жұмысым «Симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктерді теңдеулерді шешуге қолдану» тақырыбында жазылған.
Жалпы дипломдық жұмыс «үш айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер» және «n айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер» деп аталатын екі тараудан тұрады.
Біз бірінші тарауда үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді қарастырамыз. Сонымен қатар симметриялы көпмүшеліктер жайлы негізгі теореманы айтып кетеміз және олардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелуіне де тоқталып кетеміз. Осындай өрнектелу арқылы болатын Варинг формуласы мен кері дәрежелік қосындылар жайлы да сөз қозғайтын боламыз.
Бұл тарауда сонымен қатар симметриялы көпмүшеліктердің жақын класы атисимметриялы көпмүшеліктерді қарастыратын боламыз. Антисимметрялы көпмүшеліктердің де үш айнымалыларға тәуелділерін қарастырамыз. Антисимметриялы көпмүшеліктер жайлы негізгі теореманы келтіретін боламыз. Қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктердің квадратынан шығатын дискриминант жайлы және оның қолданылуы жайлы айтып, мысалдар келтіреміз.
Екінші тарауда симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктердің бірнеше айнымалыларға тәуелділерін қарастырамыз. Айнымалылар санының көбейуімен байланысты кейбір қйындықтардың туғанымен олардың басты ерекшеліктері екі және үш айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер жағдайларынан көрініс табады. n айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер жайлы негізгі теорема келтірілген. n айнымалыға тәуелді кез-келген симметриялы көпмүшеліктерді бірмүшеліктер орбитасына жіктеуде ең тиімді болатын толық орбиталар жайлы, n айнымалыларға тәуелді элементар симметриялы көпмүшеліктер және n-інші дәрежелі алгебралық теңдеулер арасынддағы байланыстар жайлы, Виет формуласы және антисимметриялы көпмүшеліктерге қатысты бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылу жайлы көрсетіп, мысалдармен түсіндірілген.
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
1. Мишина А.П. и Проскуряков И.В. Высшая алгебра. -М., Наука, 1965. 242с.
2. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. -М., Просвещение, 1966,123.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. –М., Наука, 1975,321с.
4. Фадеев Д.К. Лекция по алгебре. –М., Наука, 1984,382с.
5. Досымов Т. Жоғары және сызықты алгебра. –Алматы, «Қазақ Университеті». 1992,120б.
6. Новоселев С.И. Алгебра. –М., 1947,230с.
7. Курош А.Г. Лекция по высшей алгебре. –М., Наука. 1973,372с.
8. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. –М., 2002, 240с.
9. Лефор Г. Алгебра и анализ. Задачи. М.: Наука, 1973. – 462 с.
10. Колосов В. А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. М.: «Гелиос АРВ», 2001. – 256 с.
11. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М: МЦНМО, 2005. – 320 с.
12. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.: МЦНМО, 2006. – 328 с.
13. Калужнин Л. А., Сушанский В. И. Преобразования и перестановки. М.: Наука, 1979. – 112 с.
14. Яглом И. М. Необыкновенная алгебра. М.: Наука, 1968. – 72 с.
15. Прасолов В. В. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. М.: Факториал, 1997. - 288 с.
16. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: Наука, 1983, - 64с.
1. Мишина А.П. и Проскуряков И.В. Высшая алгебра. -М., Наука, 1965. 242с.
2. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. -М., Просвещение, 1966,123.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. –М., Наука, 1975,321с.
4. Фадеев Д.К. Лекция по алгебре. –М., Наука, 1984,382с.
5. Досымов Т. Жоғары және сызықты алгебра. –Алматы, «Қазақ Университеті». 1992,120б.
6. Новоселев С.И. Алгебра. –М., 1947,230с.
7. Курош А.Г. Лекция по высшей алгебре. –М., Наука. 1973,372с.
8. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. –М., 2002, 240с.
9. Лефор Г. Алгебра и анализ. Задачи. М.: Наука, 1973. – 462 с.
10. Колосов В. А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. М.: «Гелиос АРВ», 2001. – 256 с.
11. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М: МЦНМО, 2005. – 320 с.
12. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.: МЦНМО, 2006. – 328 с.
13. Калужнин Л. А., Сушанский В. И. Преобразования и перестановки. М.: Наука, 1979. – 112 с.
14. Яглом И. М. Необыкновенная алгебра. М.: Наука, 1968. – 72 с.
15. Прасолов В. В. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. М.: Факториал, 1997. - 288 с.
16. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: Наука, 1983, - 64с.
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 60 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 60 бет
Таңдаулыға:
МАЗМҰНЫ
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
I. ҮШ АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР
1.1 Симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1.2 Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер туралы
негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.3 Дәрежелі қосындылардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелуі ... ... ... ... ... ... . ... ... ...6
1.4 Варинг формуласы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .14
1.5 Кері дәрежелік қосынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
1.6 Антисимметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
1.7 Антисимметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... 19
1.8 Дискриминант және оның қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
1.9 Дәлелдеуге қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .26
1.10 Тақ және жұп орын ауыстырулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27
1.11 Жұп симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29
II. n АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР
2.1 Бірнеше айнымалыларға тәуелді элементар симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
2.2 Бірнеше айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер
жайлы негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35
2.3 Дәрежелі қосындылардың элементар симметриялы
көпмүшеліктер арқылы өрнектелуі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...37
2.4 n айнымалыға тәуелді элементар симметриялы
көпмүшеліктер және n-інші дәрежелі алгебралық теңдеулер.
Виет формуласы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .39
2.5 Анықталмаған коэффиценттер әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 41
2.6 Көпмүшеліктердің орналасу реті. Алғашқы мүшелері ... ... ... ... ... ... ... 42
2.7 φ(σ1,σ2,...,σn) көпмүшелігінің қосылғыштарын алғашқы
мүшелері арқылы жинақтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...44
2.8 n айнымалыға тәуелді антисимметриялы
көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 47
2.9 Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылудың ортақ әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .48
2.10 Түбірлерді симметрялы көпмүшеліктер арқылы алу ... ... ... ... ... ... ... 55
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .59
Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .60
Кіріспе.
Дипломдық жұмысым Симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктерді теңдеулерді шешуге қолдану тақырыбында жазылған.
Жалпы дипломдық жұмыс үш айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер және n айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер деп аталатын екі тараудан тұрады.
Біз бірінші тарауда үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді қарастырамыз. Сонымен қатар симметриялы көпмүшеліктер жайлы негізгі теореманы айтып кетеміз және олардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелуіне де тоқталып кетеміз. Осындай өрнектелу арқылы болатын Варинг формуласы мен кері дәрежелік қосындылар жайлы да сөз қозғайтын боламыз.
Бұл тарауда сонымен қатар симметриялы көпмүшеліктердің жақын класы атисимметриялы көпмүшеліктерді қарастыратын боламыз. Антисимметрялы көпмүшеліктердің де үш айнымалыларға тәуелділерін қарастырамыз. Антисимметриялы көпмүшеліктер жайлы негізгі теореманы келтіретін боламыз. Қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктердің квадратынан шығатын дискриминант жайлы және оның қолданылуы жайлы айтып, мысалдар келтіреміз.
Екінші тарауда симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктердің бірнеше айнымалыларға тәуелділерін қарастырамыз. Айнымалылар санының көбейуімен байланысты кейбір қйындықтардың туғанымен олардың басты ерекшеліктері екі және үш айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер жағдайларынан көрініс табады. n айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер жайлы негізгі теорема келтірілген. n айнымалыға тәуелді кез-келген симметриялы көпмүшеліктерді бірмүшеліктер орбитасына жіктеуде ең тиімді болатын толық орбиталар жайлы, n айнымалыларға тәуелді элементар симметриялы көпмүшеліктер және n-інші дәрежелі алгебралық теңдеулер арасынддағы байланыстар жайлы, Виет формуласы және антисимметриялы көпмүшеліктерге қатысты бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылу жайлы көрсетіп, мысалдармен түсіндірілген.
I. ҮШ АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР
1.1 Симметриялы көпмүшеліктер
Жалпы симметриялы көпмүшеліктерде айнымалыларының орнын ауыстырғанмен еш өзгеріссіз қалады. Ал x,y,z үш айнымалысына тәуелді көпмүшеліктерде мұндай орын ауыстырулардың үш түрі бар. x және y немесе x және z немесе y және z айнымалыларының орындарын ауыстыруға болады. Егер f(x,y,z) көпмүшелігінің кез-келген үш айнымалыларының орындарын ауыстырғанда еш өзгеріссіз қалса, онда x, y, z үш айнымалысына тәуелді f(x,y,z) көпмүшелігін симметриялы деп атаймыз.
f(x,y,z) көпмүшелігінің симметриялы екендігінің жазылу түрі келесідей:
f(x,y,z) = f(y,x,z) = f(z,y,x) = f(x,z,y).
Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерге мысалды екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер аналогиясы бойынша құруға болады. Мысалы, қосындының коммутативтілігінен шығатын симметриялы көпмүшелік: x+y+z, ал көбейтіндінің коммутативтілігінен шығатын көпмүшелік: xyz.
Симметриялы және дәрежелі көпмүшеліктер:
sk=xk+yk+zk
Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерге тағы бір мысал:
xy+yz+xz,
x3+y3+z3-3xyz,
(x+y)(x+z)(y+z),
x(x4+z4)+y(x4+z4)+(x4+y4).
Керісінше, x2z+y2z көпмүшелігі симметриялы бола алмайды. Рас, x және y айнымалыларының орнын ауыстырғанменен ещтеңе өзгермейді:
x2z+y2z=y2z+x2z.
Бірақ, біз x және z айнымалыларының орнын ауыстырсақ көпмүшелігіміздің түрі келесідей өзгереді:
z2x+y2x != x2z+y2z
Ең қарапайым симметриялы көпмүшеліктер:
x+y+z,
xy+xz+yz,
xyz.
Бұларды x,y,z үш айнымалысына тәуелді элементарлы симметриялы көпмүшеліктер деп атайды және олар σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектеледі.
σ1=x+y+z,
σ2=xy+xz+yz
σ3=xyz
Бұл жерде σ1-бірінші дәрежелі, σ2-екінші дәрежелі, σ3-үшінші дәрежелі көпмүшелік.
1.2 Үш айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теорема
Үш айнымалыға тәуелді симметриалы көпмүшеліктерді құрудың қарапайым әдістері бар. Ол үшін кез-келген (жалпы айтқанда симметриялы емес) σ1, σ2, σ3 айнымалыларына тәуелді көпмүшелікті алып, оның ішінен σ1-ді x+y+z - пен, σ2-ні xy+xz+yz - пен және σ3-ті xyz - пен ауыстыру қажет. Қорыта келгенде біз x,y,z тәуелді симметрилы көпмүшелік аламыз. Мысалы, төмендегі көпмүшеліктен
σ13-3σ1σ2-σ3
мынадай жол арқылы
f(x,y,z)=(x+y+z)3-3(x+y+z)(xy+xz+yz )-xyz.
көпмүшелігін аламыз.
Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерін біріктірсек келесідей көпмүшелік аламыз:
f(x,y,z)=x3+y3+z3-4xyz.
Бұл жазған әдіс барлық үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді алуға мүмкіндік береді. Бұған дәлел ретінде келесі теореманы көрсетуге болады.
Теорема[8]. Кез-келген x,y,z тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді σ1=x+y+z, σ2=xy+xz+yz, σ3=xyz көпмүшелік түрінде көрсетуге болады.
Біз бұл теореманы дәлелдейміз, әрине кейбір қиындықтарын қоса алғанда, атап айтқанда: айнымалылар санының көбеюі.
Дәлелдеу түрі мынадай. Алдымен кез-келген sk дәрежелі қосынды σ1, σ2, σ3 элементарлы симметриялы көпмүшеліктен жасалатынын көрсетеміз. Бұдан кейін алдыңғысынан күрделілеу көпмүшеліктерді қарастырамыз. Олардың әрқайсысы кейбір бірмүшеліктің айнымалыларының барлық мүмкін болған орын ауыстыруларымен алынады. Мұндай симметриялы көпмүшеліктерді сәйкес бірмүшеліктің орбитасы деп атаймыз. Әрбір орбита дәрежелі қосындыдан, яғни қорыта келгенде σ1, σ2, σ3 жасалатынын көрсетеміз. Ақыры, барлық симметриялы көпмүшеліктер орбиталардың қосындысы түрінде көрсетілетіні белгілі болады.
1.3 Дәрежелі қосындылардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелуі
Сонымен, біз алдымен барлық sk=xk+yk+zk дәрежелі қосындыларды σ1, σ2, σ3 түрінде көрсетуге болатындығын дәлелдейміз. x, y, z үш айнымалысына тәуелді көпмүшеліктерге қатысты аналогиялық формула:
sk=σ1sk-1-σ2sk-2+σ3sk-3. (1.1)
Бұл формуланы бірден тексерейік. (1.1)[1.1.8] теңдеуінің оң жағындағы sk-1 , sk-2 , sk-3 мүшелерінің , сонымен бірге σ1, σ2, σ3 мүшелерінің орнына олардың x,y,z арқылы өрнектелуін қойып , өзгертулер енгізу арқылы
sk=σ1sk-1-σ2sk-2+σ3sk-3=(x+y+z)(xk- 1+yk-1+zk-1)-
-(xy+xz+yz)(xk-2+yk-2+zk-2)+xyz(xk- 3+yk-3+zk-3)=
=(xk+yk+zk+xyk-1+xk-1y+xzk-1+xk-1z+ yzk-1+yk-1z)-
-( xk-1y+ xyk-1+ xk-1z+ xzk-1+ yk-1z+ yzk-1+xyzk-2+ xyk-2z+xk-2yz)+
+( xk-2yz+ xyk-2z+ xyzk-2)= xk+yk+zk=sk
теңдеуін аламыз. Біз осылай формуланың дұрыс екендігін тексердік.
Нақтырақ айтқанда, s0,s1,s2 дәрежелі қосындылардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелетінін оңай байқауға болады.
s0=x0+y0+z0=1+1+1=3
s1= x + y + z =σ1
s2=x2+y2+z2=(x +y +z)2-2(x y +x z +y z)=σ12-2σ2
Осыдан кейін (1.1) [1.1.8] формула σ1, σ2, σ3 арқылы сәйкесінше келесідей дәрежелі қосындыларды табуға мүмкіндік береді: алдымен s3 , сосын s4 ,s5 , т.с.с. Басқаша айтқанда σ1, σ2, σ3 арқылы s0,s1,s2 дәрежелі қосындыларды алып, математикалық индукция методының көмегімен кез-келген sk дәрежелі қосынды σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелетініне көз жеткіземіз. Осылайша біздің тұжырымдамамыз дәлелденді.
(1.1) формула дәрежелі қосындылардың σ1, σ2, σ3 арқылы жасалу мүмкіндігін дәлелдеп қана қоймай , сонымен қатар осы жасалуларды тікелей табуға мүмкіндік береді.
Басқаша айтқанда, жоғарыда келтірілген делелдеулер конструктивті, яғни алгаритм. 1 кестеде дәрежелі қосындылардың (s10 дейін ) σ1, σ2, σ3 арқылы жасалулары көрсетілген:
1 кесте.
sn = xn + yn + zn дәрежелі қосындыларының σ1, σ2, σ3 арқылы жасалуы
s0
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
s9
s10
3
σ1
σ12-2σ2
σ13-3σ1σ2+3σ3
σ14-4σ12σ2+2σ22+4σ1σ3
σ15-5σ13σ2+5σ1σ22+5σ12σ3-5σ2σ3
σ16-6σ14σ2+9σ12σ22-2σ23+6σ13σ3-12σ1 σ2σ3+3σ32
σ17-7σ15σ2+14σ13σ22-7𝜎1σ23+7σ14σ3-2 1σ12σ2σ3+7𝜎1σ32+7σ22σ3
σ18-8σ16σ2+20σ14σ22-16σ12σ23+2σ24+8 σ15σ3-32σ13σ2σ3+12σ12σ32+24σ1σ22σ3-
-8σ2σ32
σ19-9σ17σ2+27σ15σ22-30σ13σ23+9σ1σ24 +9σ16σ3-45σ14σ2σ3+54σ12σ22σ3+ +18σ22σ32-9σ23σ3-27σ1σ2σ32+3σ33
σ110-10σ18σ2+35σ16σ22-50σ14σ23+25σ1 2σ24-2σ25+10σ17σ3-60σ15σ2σ3+
+100σ13σ22σ3-25σ14σ32-40σ1σ23σ3+60σ 12σ2σ32+10σ1σ33+15σ22σ32
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Бірмүшеліктер орбитасы. Сонымен біз σ1, σ2, σ3 элементарлы симметриялы көпмүшеліктер арқылы sn дәрежелі қосындыны көрсете алдық .
Айнымалыларының орнын ауыстырғанменен еш өзгеріссіз қалатын бірмүшеліктер бар, яғни сииметриялы бірмүшеліктер. Мұндай бірмүшелікке кіретін айнымалылардың барлығының дәрежелері бірдей болатынын оңай байқауға болады. Яғни:
xk yk zk
Егерде айнымалыларының дәрежелері өзгеше болса: xk yl zm, онда мұндай бірмүшеліктер симметриялы бола алмайды. Құрамында xk yl zm бірмүшелігі бар көпмүшеліктен симметриялы көпмүшелік алу үшін, оған қосымша бірмүшелік енгізу қажет. Құрамында xk yl zm бірмүшелігі бар көпмүшелікті осы бірмүшелігінің орбитасы деп алып, O(xk yl zm) арқылы белгілейік.
xk yl zm бірмүшелігінің орбитасын алу үшін x,y,z айнымалыларының орындарын ауыстыру арқылы шығатын бірмүшелікті қосу керек екендігі анық. Егер xk yl zm бірмүшелігінің екі дәреже көрсеткіші ұқсас болып , үшіншісі өзгеше болса , айталық k=l (ал k!=m) , мұндай жағдайда x,y айнымалыларының орындарын ауыстырғанмен xk yl zm бірмүшелігі өзгеріссіз қалады. Осындай жағдайда келтірілген орбита тек үш мүшеден ғана құралады:
O(xk yl zm)=xkykzm+xkymzk+xmykzk
(m!=k). Мысалы,
O(xyz5)=xyz5+xy5z+x5yz
O(xy)=xy+xz+yz
O(x3y3)=x3y3+x3z3+y3z3
Көп жағдайларда мұндай орбита дәрежелі қосынды болып келеді:
O(xk)=O(xky0z0)=xk+yk+zk=sk.
Ақыры , егер k=l=m болса, онда орбита бірмүшелік болады:
O(xk yk zk)=xk yk zk.
Енді біз кез-келген бірмүшеліктің орбитасы σ3 арқылы және дәрежелі қосынды арқылы жасалатынын көрсетеміз. Ал кез-келген дәрежелі қосынды σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелетін болғандықтан, осыдан келіп, кез-келген бірмүшеліктің орбитасы σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектеледі. Бұл негізгі теореманы делелдеудің екінші қадамы.
Егер xk yl zm бірмүшелігі тек бір ғана х айнымалысына тәуелді болса (яғни l=m=0) , онда біздің пайымдауымыз анық көрінеді: мұндай жағдайда O(xk)=sk орбитасының өзі дәрежелі қосынды болады.
Енді екі айнымалыға тәуелді бірмүшелікке көшейік , яғни xkyl көрінісіндегі. Егер k!=l болса, онда келесідей формула шығады:
O(xkyl)=O(xk)O(xl)-O(xk+l) (k!=l) (1.2)
Негізінде,
O(xk)O(xl)-O(xk+l)=(xk+yk+zk)(xl+yl +zl)-(xk+l+yk+l+zk+l)=
=( xk+l+yk+l+zk+l+xkyl+xlyk+xkzl+xlzk+ ykzl+ylzk)- (xk+l+yk+l+zk+l)=
=xkyl+xlyk+xkzl+xlzk+ykzl+ylzk=O(xk yl)
Егер k=l болса, онда (1.2) [1.2.8] формула келесідей өзгереді:
O(xkyk)= 12((O(xk))2-O(x2k)). (1.3)
Ақыры, егер xkylzm бірмүшелігі x,y,z үш айнымалыға тәуелді (яғни үш дәреже көрсеткіші де нөлден өзгеше), онда xkylzm бірмүшелігі кейбір xyz дәрежелі бірмүшеліктерге бөлінеді. Сондықтан O(xk yl zm) көпмүшелігінің кейбір xyz дәрежелі бірмүшелігін жақша сыртына шығарсақ, жақша ішінде үштен төмен айнымалыға тәуелді кейбір бірмүшеліктің орбитасы қалады.
Мысалы,
O(x2y3z4) = x2y3z4 + x2y4z3 + x3y2z4 + x3y4z2 + x4y2z3 + x4y3z2 =
= (xyz)2 (yz2 + y2z + xz2 + xy2 + x2z + x2y) = (xyz)2 O(x2y),
O(x3y5z5) = x3y5z5 + x5y3z5 + x5y5z3 = (xyz)3 (y2z2 + x2z2 + x2y2) = (xyz)3 O(x2y2)
және т.с.с. Негізі, егер, мысалы, k = m, l = m болса, онда
O(xkylzm) = (xyz)m O(xk-myl-m) = σ3m O(xk-myl-m). (1.4)
Сонымен, егер xkylzm бірмүшелігі тек бір ғана айнымалыға тәуелді болса, онда O(xkylzm) орбитасы дәрежелі қосынды болады; егер екі айнымалыға тәуелді болса, онда O(xkylzm) орбитасы дәрежелі қосынды арқылы жасалады;
ақыры, осы көпмүшелік барлық үш айнымалыға да тәуелді болған жағдай, егер
O(xkylzm) көпмүшелігінде оның барлық мүшелерінің ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарса, онда біз, шындығында, бірмүшеліктің кез-келген орбитасы σ3 және дәрежелі қосынды арқылы жасалатынын көреміз.
Келтірілген дәлелдемеде екі бір-бірінен өзгеше формулалардың келуі шамалы түсініксіздеу болуы мүмкін. Алайда, орбитаның анықтамасына кейбір өзгертулер енгізу арқылы мұндай түсініксіздікті жоямыз.
Барлық k , l , m көрсеткіштері әртүрлі болған жағдайда, O(xkylzm) орбитасы алты мүщелердің қосындысынан тұрады:
Oxkylzm=xkylzm+xkymzl+xlykzm+xlymzk +xmykzl+
+xmylzk. (*)
(*) теңдеуінің оң жағы екі айнымалылары немесе тіпті барлық үш айнымалыларыда сәйкес келген жағдайда да қарастырылады. Теңдеудің осы оң жағын xkylzm бірмүшелігінің толық орбитасы деп атап, OП(xkylzm) арқылы белгілейміз, яғни:
OП(xkylzm)=xkylzm+xkymzl+xlykzm+xly mzk+xmykzl+
+xmylzk. (**)
Осылайша, егер барлық k , l , m көрсеткіштері өзара өзгеше болса, онда толық орбита қарапайым орбитамен сәйкес келеді.
k=l!=m болған жағдайда, толық орбитамыз төмендегідей көріністе болады:
OП(xkykzm)=xkykzm+xkymzk+xkykzm+xky mzk+xmykzk+
+xmykzk=2xkykzm+xkymzk+xmykzk.
Жақшадағы өрнек сол қарапайым орбитамыз болып табылады. Осылайша, k!=m болған жағдайда
OПxkykzm=2·Oxkykzm
түрін қабылдайды. Ақыры, k=l=m болғанда,
OПxkykzm=6xkykzk=6·O(xkykzk)
екендігі анық.
Байқағанымыздай, барлық жағдайда толық орбита қарапайым орбитадан тек көбейткіштердің санымен ерекшеленеді:
егер барлық k , l , m көрсеткіштері өзара өзгеше болса, онда
OПxkylzm= Oxkylzm;
егер k!=m болса, онда
OПxkykzm=2·Oxkykzm;
OПxkykzm=6·O(xkykzk).
Барлық жағдайда қолдануға болатындай (1.3) [1.3.10] және (1.4) [1.4.8] формулаларды алмастыратын төмендегідей формула келтіреміз:
OПxkyl=sksl-sk+l
Жоғарыда көрсетілген дәлелдеме сонымен қатар конструктивті: біз әр бір көпмүшелік орбитасының σ1 , σ2 , σ3 бірмүшеліктері арқылы туындауы мүмкін екендігін дәлелдеп қана қоймай, сонымен қатар кез келген нақты берілген орбитаның σ1 ,σ2 ,σ3 арқылы өрнектелуін табуға мүмкіндік беретіндей толық анықталған алгоритм алдық. Бұл алгоритмның негізі (1.2), (1.3), (1.4) формулалар және алдынғы пункте табылған σ1 ,σ2 ,σ3 арқылы жасалатын дәрежелі қосындымен өрнектелуі болып табылады.
Мысалы ,
O(x2y2) = 12 (O(x2)2-O(x4)) = 12 (s22-s4) = 12 ((σ12-2σ2)2 - (σ14 - 4σ12σ2 + 2σ22 + 4σ1σ3)) = =σ22 - 2σ1σ3
(Бұл жерде біз (1.5) [1.5.8] формуланы қолдандық);
O(x2y2z) = σ3 O(x3y) = σ3 (O(x3) O(x) - O(x4)) =σ3(s3s1-s4) = σ3 (σ1 (σ13 - 3σ1σ2+3σ3) - (σ14 - 4σ12σ2+2σ22+4σ1σ3) ) = σ3 (σ12σ2 - 2σ22 - σ1σ3)
( (1.4) және (1.6) [1.6.11] формулаларын қолдандық)
3 кестеде σ1 σ2 σ3 арқылы жасалатын кейбір O(xkyl) орбиталарының шығу реті көрсетілген
2 кесте.
O(xkyl) арбиталарының σ1 σ2 σ3 арқылы өрнектелуі.
O(xy)
O(x2y)
O(x3y)
O(x2y2)
O(x4y)
O(x3y2)
O(x5y)
O(x4y2)
O(x3y3)
... ... ...
σ2
σ1σ2 - 3σ3
σ12σ2-2σ22-σ1σ3
σ22-2 σ1σ3
σ13σ2-3𝜎1σ22-σ12σ3+5 σ2σ3
σ1σ22-2σ12σ3- σ2σ3
σ14σ2-4σ12σ22-σ13σ3+7σ1σ2σ3+2σ23-3σ 32
σ22σ22-2σ23-2σ13σ3+4 σ1σ2σ3-3σ32
σ23+3σ32- 3σ1σ2σ3
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Негізгі теореманың дәлелдемесі. f(x,y,z) симметриялы көпмүшелік болсын және ахkylzm - оның бір мүшесі болсын. f(x,y,z) көпмүшелігінің симметриялылығының күші ретінде осы көрсетілген мүшесімен қоса а коэффициентімен алынған барлық O(xkylzm) орбиталары кіреді. Осылайша,
f(x,y,z) = a O(xkylzm) + f1(x,y,z),
бұл жерде f1(x,y,z) симметриялы және f(x,y,z) қарағанда мүшелері аз болып келген кейбір көпмүшелік. f1(x,y,z) көпмүшелігінен, сонымен қатар, оның бір мүшесінің орбитасын бөліп алуға болады және т.б. Соңғы сандар қадамынан кейін f(x,y,z) көпмүшелігін жеке бірмүшеліктердің орбиталарының қосындысына орналастырамыз.
Сонымен, кез-келген f(x,y,z) симметриялы көпмүшелігінде бірмүшелік орбитасының ақырғы сандарының қосындысы кездеседі.
Ал әрбір орбита , жоғарыда дәлелдегендей, σ1 σ2 σ3 арқылы өрнектеледі, сондықтан кез-келген симметриялы көпмүшелік σ1 σ2 σ3 арқылы өрнектелуі әбден мүмкін. Осы арқылы біз негізгі теореманы толық дәлелдедік.
Барлық дәлелдемелер сонымен қатар конструктивті: ол кез-келген симметриялы көпмүшеліктерді σ1 σ2 σ3 арқылы өрнектеуге мүмкіндік бере алатын салыстырмалы түрде жәй алгаритмдерден тұрады.
Мысал ретінде
f(x,y,z)=x3+y3+z3-4xyz+2x2y+2xy2+2x 2z+2xz2+2y2z+2yz2
симметриялы көпмүшелігінің σ1 σ2 σ3 арқылы өрнектелуін табайық. Бізде бары:
f(x,y,z)=O(x3)-4 O(xyz)+2 O(x2y)=(σ13-3σ1σ2+3σ3)-4σ3+2(σ1σ2-3 σ3)= σ13- σ1σ2-7σ3.
1.4 Варинг формуласы.
Жоғарыда дәлелдеген (1.1) формула рекурентті сәйкестік түріндегі көрініс береді, яғни σ1 σ2 σ3 арқылы sk дәрежелі қосындысының өрнегін табуды тек алдыңғы дәрежелі қосындының өрнегін шамалап табу арқылы ғана мүмкіндік береді. Алайда оның көмегімен σ1 σ2 σ3 арқылы sk дәрежелі қосындысының нақты өрнегін алуға болады. Бұл өрнектің (Варинг формуласы) түрі келесідей:
12sk=∑-1k-λ1-λ2-λ3λ1+λ2+λ3-1!λ1!λ2! λ3!σ1λ1σ2λ2σ3λ3.
λ1+2λ2+3λ3=k үшін қосынды бұл формулада барлық λ1,λ2,λ3 сандарына қатысты. Сонымен қатар О!, егер кездессе.
Варинг формуласындағы λ1+2λ2+3λ3=k сәйкестігінің λ1,λ2,λ3 сандары келесі анықтамамен байланысты. x,y,z байланысты σ1 симметриялы көпмүшелігі бірінші дәрежеге ие, σ2 көпмүшелігі - екінші , σ3 көпмүшелігі - үшінші дәрежеге ие болады. Сондықтан, егер бірмүшелікте x,y,z арқылы өрнектелетін σ1 , σ2 , σ3 элементарлы көпмүшелігінің орнына σ1λ1σ2λ2σ3λ3 қойсақ, онда x,y,z қатысты дәрежесі λ1+2λ2+3λ3 тең түбірлес көпмүшелік аламыз. Осы жерден белгілі болғаны, sk дәрежелі қосындыларының жіктелулеріне тек λ1+2λ2+3λ3=k шартты қанағаттандыратын σ1λ1σ2λ2σ3λ3 бірмүшеліктер ғана кіреді.
Варинг формуласының дәлелдемесін индукция арқылы жүргізсе қиынға соқпайды, егер (1) ара қатынасты пайдалансақ. Сонымен қатар келесі оңай дәлелденетін тепе - теңдікті пайдалануға тура келеді:
kλ1+λ2+λ3-1!λ1!λ2!λ3! = (k-1)(λ1+λ2+λ3-2)!(λ1-1)!λ2!λ3! + (k-2) (λ1+λ2+λ3-2)!λ1!(λ2-1)!λ3! +
+ (k-3) (λ1+λ2+λ3-2)!λ1!λ2!(λ3-1)! ,
бұл жерде k = λ1+2λ2+3λ3 .
Мысал ретінде элементарлы симметриялы көпмүшеліктер арқылы s6 дәрежелі қосындының өрнегін табайық. Ол үшін алдымен Варинг формуласының көмегімен төмендегі теңдеудің барлық мүмкін болған оң шешімдерін табу қажет
λ1+2λ2+3λ3 = 6.
Бұл теңдеудің 3 кестеде көрсетілгендей 7 шешімі бар.
3 кесте.
λ1
λ2
λ3
λ1
λ2
λ3
λ1
λ2
λ3
6
4
0
1
0
0
2
0
3
2
3
0
0
0
1
1
0
1
0
1
2
Сондықтан
16s6 = -16-6-0-06+0+0-1!6!0!0!σ16σ20σ30+-1 6-4-1-04+1+0-1!4!1!0!σ14σ21σ30 +
+ -16-2-2-02+2+0-1!2!2!0!σ12σ22σ30+-1 6-0-3-00+3+0-1!0!3!0!σ10σ23σ30+
+-16-3-0-13+0+1-1!3!0!1!σ13σ20σ31 + -16-1-1-11+1+1-1!1!1!1!σ11σ21σ31+
+-16-0-0-20+0+2-1!0!0!2!σ10σ20σ32 = 5!6!σ16-4!4!σ14 + 3!2!2!σ12σ22-2!3!σ23+
+3!3!σ13σ3-2!1!σ1σ2σ3+1!2!σ32=16σ16 -σ14σ2+32σ12σ22-13σ23+σ13σ3--2σ1σ2σ 3+12σ32.
6 ға көбейту арқылы , қорытынды
s6 = σ16-6σ14σ2+9σ12σ22-2σ23+6σ13σ3-12σ1 σ2σ3+3σ32
өрнегін аламыз.
1.5 Кері дәрежелік қосынды
s-k=x-k+y-k+z-k=1xk+1yk+1zk
(бұл жерде k = 1,2,3,...) бұларды кейде кері дәрежелі қосынды деп атайды. Оларды σ1 , σ2 , σ3 арқылы оңай өрнектеуге болады, егер
s-k=1xk+1yk+1zk=ykzk+xkzk+xkykxkykz k=O(xkyk)σ3k (*)
шартын ескерсе. Дегенмен басқаша да жасауға болады. k кез-келген мәні үшін (1.1) формуласы дұрыс екендігін ескерген жеткілікті, себебі осы формуланы көрсетерде k қатысты ешқандай болжамдар жасалған жоқ. (1.1) формуласындағы k орнына l+3 қою арқылы
sl=σ2σ3sl+1-σ1σ3sl+2+1σ3sl+3 (1.1')
өрнегін оңай табамыз. Алынған (1.1') формуланың көмегімен кері дәрежелі қосындылардың сәйкес мәндерін табуға болады:
s-1= σ2σ3s0-σ1σ3s1+1σ3s2=σ2σ3 ·3-σ1σ3σ1+1σ3σ12-2σ2=σ2σ3;
s-2= σ2σ3s-1-σ1σ3s0+1σ3s1=σ2σ3 ·σ2σ3-σ1σ3 ·3+1σ3σ1=σ22-2σ1σ3σ32;
s-3=σ2σ3s-2-σ1σ3s-1+1σ3s0=σ2σ3·σ22- 2σ1σ3σ32-σ1σ3· σ2σ3+1σ3·3==σ23-3σ1σ2σ3+3σ32σ33;
s-4=σ2σ3s-3-σ1σ3s-2+1σ3s-1==σ2σ3·σ2 3-3σ1σ2σ3+3σ32σ33-σ1σ3·σ22-2σ1σ3σ32 +1σ3·σ2σ3==σ24-4σ1σ22σ3+4σ2σ32+2σ12 σ32σ34
және т.б. Керісінше, осылайша өрнектелген кері дәрежелі қосындылардың мәндері арқылы (*) формуласының көмегімен O(xkyk) орбиталарын оңай табуға болады:
Ox2y2=σ32s-2=σ22-2σ1σ3;
Ox3y3=σ33s-3=σ23-3σ1σ2σ3+3σ32;
Ox4y4=σ34s-4=σ24-4σ1σ22σ3+4σ2σ32+2σ 12σ32
және т.б.
1.6 Антисимметриялы көпмүшеліктер
Осыған дейін біз симметриялы көпмүшеліктерді қарастырған болатынбыз, яғни кез келген айнымалыларының орындарын ауыстырғанмен еш өзгеріссіз қала беретін көпмүшеліктерді. Енді біз басқа, көпмүшеліктердің
жақын класы - антисимметриялы көпмүшеліктерді қарастырамыз. Антисимметриялы көпмүшеліктер деп - кез келген екі айнымалыларының орындарын ауыстырғанда таңбалары өзгеретін көпмүшеліктерді айтамыз.
Алдымен екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктерді қарастырайық. Мұндай көпмүшеліктердің мысалы ретінде x-y, x3-y3, x4y-xy4 көрсетуге болады. Шынында да, егер, мысалыға, x3-y3 көпмүшелігіндегі x және y айнымалыларын орындарымен ауыстырсақ , көпмүшелігіміз y3-x3 түріне өзгереді. Себебі
y3-x3 = - ( x3-y3)
осыдан келіп x3-y3 көпмүшелігі антисимметриялы. x-y және x4y-xy4 көпмүшеліктері антисимметриялы екендікдіктерінің делелдеу түрі дәл осындай. Үш айнымалыға тәуелді антисимметриялы көпмүшеліктерге мысалды келесі көпмүшелік түрінде көрсетуге болады:
x-yx-z(y-z).
Негізінде , егер x және y орындарын ауыстырсақ, көпмүшелігіміздің түрі келесідей өзгереді
x-yx-zy-z=-x-yx-zy-z.
Бұдан өзге кез келген екі айнымалыларының орнын ауыстырғанда таңбалары дәл осылай өзгереді.
Антисимметриялы көпмүшеліктер жайлы аңгімемізді жалғастырмастан бұрын келесі анықтаманы көрсете кетейік: антисимметриялы көпмүшеліктердің квадраты симметриялы көпмүшелік болып табылады.
Негізінде , антисимметриялы көпмүшеліктерде айнымалыларының орындарын ауыстырғанда таңбалары өзгереді. Бірақ бұл жағдай квадрат көпмүшеліктерді өзгертпейді. Бұл дегеніміз, квадрат антисимметриялы көпмүшеліктерде кез келген екі айнымалыларының орындарын ауыстырғанмен еш өзгеріссіз қалады, яғни симметриялы көпмүшелікке айналады дегенді білдіреді.
Егер симметриялы көпмүшелік пен антисимметриялы көпмүшелікті көбейтсек антисимметриялы көпмүшелік аламыз.
Мұндай жағдайда кез келген екі айнымалыларының орындарын ауыстырғанда бір көбейткіштің таңбасы ауысады да , екіншісі өзгеріссіз қалады.
1.7 Антисимметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теорема
Енді қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктің құрылысына мән беріп көрелік. Алдыңғы пунктегі соңғы ескертулер қажет болғанша антисимметриялы көпмүшеліктерді құрастыруға мүмкіндік беретін әдістерді меңзейді. Кадайда бір сондай көпмүшелікті алып және оны барлық мүмкін болған симметриялы көпмүшеліктерге көбейту жеткілікті; қорытындысында біз антисимметриялы көпмүшелік алып тұрамыз.
Бұдан келіп шынайы сұрақ туындайды: барлық мүмкін болған симметриялы көпмүшеліктерге көбейту арқылы барлық антисимметриялы көпмүшеліктерді алуға болатындай антисимметриялы көпмүшелігін табуға болады ма деген.мұндай жағдайдың мүмкін екендігіне біз көз жеткіземіз.
Алдымен екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктерден бастайық.
Т е о р е м а . Кез келген x,y айнымалыларына тәуелді f(x,y) антисимметриялы көпмүшелігінің жазылу түрі төмендегідей
fx,y=x-ygx,y, (1.7)
бұл жерде gx,y - x,y айнымалыларына тәуелді симметриялы көпмүшелік.
Бұл теореманы дәлелдеместен бұрын біз алдымен келесі лемманы құрайық.
Л е м м а. Егер fx,y - антисимметриялы көпмүшелік болса, онда fx,x=0.
Басқаша айтқанда , x,y айнымалыларының мәндері бірдей болған жағдайда антисимметриялы көпмүшелігіміз нөлге ұмтылады.
Дәлел ретінде fx,y көпмүшелігінің антисимметриялы шартын
fx,y=-f(y,x)
түрде жазуға болатындығын ескерген жеткілікті. Бұл теңдеудегі y=x деп алып, fx,x=-fx,x сәйкестігін аламыз және ол тек fx,x=0 жағдайында ғана орын алады.
Дәлелдеген леммамызды өзгеше етіп те алуға болады. Осындай мақсатпен fx,y көпмүшелігін x дәрежесі бойынша орналастырайық , ал y айнымалысын коэффиценттер қатарына қосайық. Мысалы, егер fx,y көпмүшелігі
fx,y=x4y2-y4x2+x4y-y4x+x3y2-x2y3
теңдеуімен берілсе, онда
fx,y=y2+yx4+y2x3-y4+y3x2-y4x
түрінде жазамыз. Лемманы дәлелдегенімізден шығатын қорытынды бойынша, егер біздің көпмүшелігімізде x=y қойсақ , онда көпмүшелігіміз нөлге ұмтылады. Басқаша айтқанда, x=y мәні x-ке қатысты функция ретінде қарастырылып отырған fx,y антисимметриялы көпмүшелігінің түбірі болып табылады.
fx,y көпмүшелігі x-y қалдықсыз бөлінеді, яғни
fx,y=x-ygx,y,
бұл жерде gx,y- кейбір көпмүшелік.
Теореманың дәлелдемесін аяқтау үшін бізге gx,y көпмүшелігінің симметриялы екендігін көрсету ғана қалды. Ол үшін (1.7) [1.7.8] теңдеуіндегі x пен y орындарын ауыстыру қажет:
fy,x=y-xgy,x.
Осы алынған теңдеуді (1.7) теңдеуімен салыстыру арқылы
x-ygx,y=x-yg(y,x)
теңдеуін аламыз , сол үшін де x!=y үшін
gy,x=gx,y
теңдеуі дұрыс. x=y үшін соңғы теңдеуіміз
gx,x=g(x,x)
түрін қабылдайды және дәл алдыңғысындай әділ әрі айқын. Сонымен кез-келген x,y үшін
gy,x=gx,y
теңдеуі орынды, яғни gx,y- симметриялы көпмүшелік. Теорема дәлелденді.
Сонымен, екі айнымалыға тәуелді антисимметриялы көпмүшеліктердің құрылымы толық анықталды: олардың әрқайсысы x-y бөлінеді, сондай-ақ көп жағдайда симметриялы көпмүшелікке айналады.
Үш айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер де дәл солай қарастырылады. Алдымен антисииметриялы көпмүшеліктің нөлге ұмтылатындығы анықталады, егер қандайда бір екі айнымалылары сәйкес келсе. Басқаша айтқанда,
fx,x,z=fx,y,x=fx,y,y=0
кез келген f(x,y,z) антисимметриялы көпмүшелігі үшін.
Осыдан кейін , Безу теоремасын қолдану арқылы , кез келген үш айнымалығы тәуелді антисимметриялы көпмүшеліктері x-y, x-z және y-z өрнектеріне бөлінетіндігін енгіземіз. Алайда ол сонымен қатар
T=x-yx-z(y-z)
антисимметриялы көпмүшелігіне де бөлінуі қажет. Осылайша , әрбір f(x,y,z) антисимметриялы көпмүшелігін
fx,y,z=x-yx-zy-zg(x,y,z) (1.8)
түрінде жазуға болады, бұл жерде gx,y,z- кейбір көпмүшелік. Екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктегі сияқты, біз кейін g(x,y,z) көпмүшелгінің симметриялылығына көз жеткіземіз. Сонымен үш айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер үшін келесі теорема орынды.
Т е о р е м а. Кез келген x,y,z үш айнымалысына тәуелді f(x,y,z) антисимметриялы көпмүшелігі
T=x-yx-z(y-z)
көпмүшелігінің өрнегі болып табылады.
1.8 Дискриминант және оның қолданылуы
Антисимметриялы көпмүшеліктер теориясында маңызды рольді қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктер алатындығын көрдік, нақтырақ айтқанда , екі айнымалыға тәуелділері үшін x-y , ал үш айнымалыға тәуелділері үшін T=x-yx-z(y-z). Қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктің квадраты дискриминант деп аталады. Осылайша екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер үшін дискриминант
Δ=(x-y)2
тең, ал үш айнымалыға тәуелділері үшін
Δ=(x-y)2(x-z)2(y-z)2
тең. Жоғарыда біз дискриминанттың симметриялы көпмүшелік болып табылатынын көріп қойғанбыз, және оның өрнегін элементарлы симметриялы көпмүшеліктер арқылы тапқан болатынбыз. Екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктерде бұл өрнектің жазылу түрі келесідей
Δ=σ12-4σ2,
ал үш айнымалыға тәуелділерде
Δ=-4σ13σ3+σ12σ22+18σ1σ2σ3-4σ23-27σ3 2. (1.9)
Δ(x,y,z) дискриминанты алтыншы дәрежелі түбірлес көпмүшелік болып табылады. Сондықтан оның σ1,σ2,σ3 арқылы өрнектелуіне тек (кейбір коэффиценттерімен) m+2n+3p=6 шартын қанағаттандыратын σ1mσ2nσ3p бірмүшеліктері кіреді (σ1- бірінші дәрежелі, σ2- екінші дәрежелі және σ3- үшінші дәрежелі көпмүшелік болғандықтан).
m
n
p
6
4
0
1
0
0
m
n
p
m
n
p
3
2
1
0
2
1
1
0
1
0
0
3
0
0
2
Басқаша айтқанда, Δ(x,y,z) дискриминантының σ1,σ2,σ3 арқылы өрнектелуінің жазылу түрі төмендегідей
Δx,y,z=Aσ16+Bσ14σ2+Cσ13σ3+Dσ12σ22+E σ1σ2σ3+Fσ23+Gσ32 (*)
бұл жердегі A, B, C, D, E, F, G - кейбір коэффиценттер.
x=1, y=z=0 деп алсақ, онда σ1=1, σ2=σ3=0 және Δ1,0,0=(1-0)2(0-0)2(0-1)2=0 болады. Сондықтан (*) теңдеуі 0=A түрінде болады. Сонымен A коэффиценті табылды.
Енді x=0, y=1, z=1 қояйық ; мұндай жағдайда σ1=0, σ2=-1, σ3=0, Δ=4 болады да (*) теңдеуіміздің түрі 4=F(-1)3 , яғни F=-4 болады.
x=2, y=z=-1 (яғни σ1=0, σ2=-3, σ3=2, ) болса (*) теңдеуінен алатынымыз: -4·-33+4G=0, бұл жерден G=-27 тауып аламыз.
Жалғастыра келе x=0, y=z=1 (яғни σ1=2, σ2=1, σ3=0) және, сонымен қатар, x=0, y=1, z=2 (яғни σ1=3, σ2=2, σ3=0, ) қоямыз. Бұл бізге (A=0, F=-4 ескере отырып ) келесідей екі теңдеуді береді:
16B+4D-4=0, 162B+36D-32=4.
Бұл теңдеулерді B және D белгісіздеріне қатысты теңдеулер жүйесі деп алып, B=0 , D=1 болатындығын оңай табамыз.
Ақыр біз x=y=z , x=y=1 , z=-1 мәндерін береміз. Осыдан біз (A, B, C, D, E, F, G коэффиценттері бізге белгілі екендігін ескеріп) келесідей теңдеулерді аламыз:
27C+81+9E-108-27=0,-C + 1 + E + 4 - 27 = 0,
бұл жерден C=-4 , E=18 мәндерін оңай тауып аламыз.
Сонымен , барлық A, B, C, D, E, F, G коэффиценттер анықталды. Осы табылған коэффиценттердің мәндерін (*) теңдеуіне қою арқылы біз (1.9) [1.9.15] формуласын аламыз.
Алгебралық теория теңдеулерінде дискриминанттың алатын орны ерекше. Оның көмегімен түбірлерінің қаншалықты сәйкес келетіндігін , дәл түбірлерін анықтауға және т.б. мүмкіндік береді.
Бәрімізге жақсы белгілі квадрат теңдеуден бастайық. x1 , x2- шын мәніндегі p және q коэффиценттерімен берілген
x2+px+q=0
теңдеуінің түбірлері болсын. Виет формуласының көмегімен: σ1=x1+x2=-p және σ2=x1x2=q аламыз. Сондықтан
Δ=(x1-x2)2=σ12-4σ2=p2-4q. (1.10)
Біз нақты коэффиценттермен берілген теңдеулерді қарастырумен шектелеміз. Бұл үш жағдайда мүмкін болады:
a) теңдеуіміздің түбірлері нақты және әртүрлі болғанда,
b) теңдеуіміздің түбірлері нақты және тең болғанда,
c) теңдеуіміздің түбірлері комплекс шешім болғанда.
Дискриминант осы жағдайлардың қайсысы орынды деген сұраққа жауап беруге көмектеседі. Ең оңайы біздің теңдеуіміздің түбірлері қаншалықты сәйкес келетіндігін анықтап алғанымыз жөн. Өйткені , егер түбірлеріміз сәйкес келсе, яғни егер x1=x2 болса, онда Δ=(x1-x2)2=0 , және керісінше. (1.10) [1.10.8] формуласының көмегімен келесідей жауап аламыз: x2+px+q=0 квадрат теңдеуінің түбірлері тек p2-4q=0 болған кезде ғана сәйкес келеді. Егер түбірлері сәйкес келсе , онда олардың нақты шешім екендігі белгілі (өйткені x1+x2=-p). Енді x1,x2 түбірлері әртүрлі болған жағдайды қарастырайық, яғни Δ!=0. Ол үшін алдымен қай кезде түбірлері нақты, ал қай кезде комплекс шешімдерін қабылдайтынын анықтайық. Егер
x1 , x2 түбірлері нақты шешім болса , онда x1-x2 саны да нақты, сондықтан Δ=(x1-x2)2- оң шешім. Ал егерде x1 , x2 комплекс сандар болса, яғни x1=α+βi , x2=α-βi болса , онда x1-x2=2βi, сондықтан Δ=(x1-x2)2=-4β2 теріс мәнді қабылдайды. Δ=p2-4q теңдеуін еске түсіре отырып біз келесідей нәтижелерді аламыз:
x2+px+q=0- квадрат теңдеуінің коэффиценттері нақты шешімдер болсын. Онда
a) егер Δ=p2-4q0 болса , онда теңдеудің түбірлері нақты және әртүрлі;
b) егер Δ=p2-4q=0 болса , онда теңдеудің түбірлері нақты және тең.
c) егер Δ=p2-4q0 болса , онда теңдеудің түбірлері комплекс шешім.
Осылайша, дискриминант квадрат теңдеулерге қатысты толығымен көріністерін анықтауға, яғни қай кезде нақты коэффиценттермен берілген x2+px+q=0 теңдеуі нақты әрі әртүрлі шешімдер қабылдайтынын, қай кезде нақты әрі сәйкес және қай кезде комплекс түбірлер қабылдайтынын анықтауға мүмкіндік береді. Дискриминант терминінің шығу тарихы да осыған байланысты: латын тілінен аударғанда discriminatio әр түрлі деген мағынаны білдіреді.
Енді нақты n ,p, q коэффиценттерімен берілген үшінші дәрежелі теңдеулерді қарастырайық, яғни
x3+nx2+px+q=0.
Бұл жерде келесідей жағдайлар кездесуі мүмкін:
a) теңдеудің барлық үш түбірі де нақты әрі өзара әртүрлі;
b) теңдеудің барлық үш түбірі де нақты және олардың екеуі өзар тең, ал үшіншісі өзгеше;
c) теңдеудің барлық үш түбірі де өзар тең (және нақты);
d) теңдеудің бір түбірі нақты , ал қалған екеуі комплекс түрінде .
Басқаша болуы мүмкін емес.
Осы жағдайларды бір бірінен ажырата білуіміз үшін қайтадан теңдеуіміздің x1,x2,x3 үш түбірлерінің дискриминантын құруымыз қажет. Яғни
Δ=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2 (**)
өрнегі. Үшінші дәрежелі теңдеулерге арналған Виет формуласы бойынша біздің алатынымыз:
σ1=x1+x2+x3=-n,
σ2=x1x2+x1x3+x2x3=p,
σ3=x1x2x3=-q,
осыдан келіп, (1.9) формулаға сәйкес
Δ=-4n3q+n2p2+18npq-4p3-27q2.
Егер теңдеудің қандайда бір екі түбірлері өзара тең болса , онда (**) теңдеуіміздің бір жақшасы нөлге айналады, ал мұндай жағдайда дискриминант та нөлге тең болады. Егерде барлық түбірлері жұп-жұп болып өзгеше болса (яғни олардың ішінде өзара тең болған жұптар жоқ) , онда (**) теңдеуінің барлық жақшалары нөлден өзгеше, сондықтан дискриминант та нөлден өзгеше. Сонымен
x3+nx2+px+q=0
теңдеуінің түбірлерінің ең болмағанда екеуі сәйкес келуі үшін , Δ=0 шартының орындалуы қажетті және жеткілікті.
Енді үшінші дәрежелі теңдеуіміздің барлық түбірлері нақты және өзара өзгеше болсын. Онда T=x1-x2x1-x3(x2-x3) нөлден өзгеше нақты шешім болады, ал ол дегеніміз Δ=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2- оң шешім.
Ақыры, енді x1- нақты, ал x2=α+βi және x3=α-βi комплекс түрінде берілсін. Онда T=x1-x2x1-x3(x2-x3) өрнегіміздің көрінісі төмендегідей болады
T=x1-α-βix1-α+βi·2βi=2(x1-α2+β2)βi.
Сондықтан
Δ=T2=-4((x1-α2)+β2)2β20.
Сонымен , біз келесі тұжырымды дәлелдедік.
x3+nx2+px+q=0
- нақты коэффиценттермен берілген үшінші дәрежелі теңдеу болсын және
Δ=-4n3q+n2p2+18npq-4p3-27q2
- осы теңдеуіміздің дискриминанты болсын. Онда:
a) егер Δ0 болса, онда барлық үш x1,x2,x3 түбірлері де нақты әрі өзара тең емес;
b) егер Δ=0 болса, онда түбірлерінің ішіндегі ең болмағанда екеуі сәйкес келеді (яғни тең);
c) егер Δ0 болса, онда теңдеуіміздің бір түбірі нақты, ал қалған екеуі комплекс түрде болады.
Келтірген дәлелдемеміз толық емес. Біз әлі екі түбірі тең , ал үшіншісі өзгеше болатын жағдайды, барлық үш түбірі де өзара тең болатын жағдайды ажырата білуді үйренген жоқпыз. Бұл жерде енді дискриминанттың көмегіне жүгіне алмаймыз , сол үшін басқа симметриялы көпмүшелік іздеуіміз қажет. Мұндай жағдайда ең оңайы дискриминантқа көмек ретінде
Δ=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x1-x3)2=2σ12-3 σ2=2(n2-3p)
симметриялы копмүшелігін алу қажет. x1,x2,x3түбірлері нақты болса, онда Δ1 өрнегі тек барлық x1,x2,x3 үш түбірлері де тең болған жағдайда ғана нөлге ұмтылатыны бізге анық.
Осылай келе, егер x3+nx2+px+q=0 теңдеуінің Δ дискриминанты нөлге ұмтылса, онда n2-3p!=0 болғанда осы теңдеудің екі түбірі сәйкес, ал үшіншісі өзгеше, ал n2-3p=0 болғанда теңдеудің барлық үш түбірлері де өзара тең болады.
Қорыта келе , x3+nx2+px+q үшінші дәрежелі көпмүшелігіне x=y-n3 формуласы бойынша жаңадан y белгісізін енгіссек , онда бұл үшінші дәрежелі көпмүшелігіміз y3+Py+Q түрін қабылдайды, яғни оның квадрат белгісіз мүшесі жоғалады. Осылайша , кез-келген ауысумен берілген үшінші дәрежелі теңдеулердің көрінісі төмендегідей болады
y3+Py+Q=0.
Егер теңдеуіміз бірден осылай берілсе, онда Δ және Δ1 үшін берілген өрнегіміз мейлінше қысқарады:
Δ=-4P3-27Q2, Δ1=-6P.
1.9 Дәлелдеуге қолданылуы
Алдыңғы пункттың қорытындысынан бірден келесідей теорема шығады.
Т е о р е м а. σ1,σ2,σ3 - нақты сандар болсын.
x+y+z=σ1,xy+xz+yz=σ2xyz=σ3,
теңдеулер жүйесінің барлық анықталуы тиіс x,y,z сандары нақты шешім болуы үшін, Δ(x,y,z) дискриминантының теріс емес болуы қажетті және жеткілікті. (Δx,y,z=0 теңдеуі тек x,y,z сандарының арасында ең болмағанда екеуі тең болған жағдайда ғана орынды.)
Д ә л е л д е м е с і. Жоғарыда келтірілген теорема бойынша x,y,z барлығы нақты коэффиценттермен берілген
u3-σ1u2+σ2u-σ3=0
теңдеуінің түбірлері болып табылады. Сондықтан , осы сандар тек Δx,y,z=0 болғанда ғана нақты болады.
З е р т т е л у і. x,y,z сандарының барлығыда тек нақты болуымен қатар теріс емес болуы үшін Δx,y,z=0 шартымен қатар
σ1=0, σ2=0, σ3=0 (1.11)
шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті. Шынында да , егер x,y,z сандары теріс емес болса, онда (1.11) [1.11.6] шарты орындалатыны анық.
(1.11) теңсіздігі x,y,z нақты сандары үшін жасалған болсын. Мұндай жағдайда олардың теріс емес екендігін көрсетеміз. x,y,z сандары
u3-σ1u2+σ2u-σ3=0 (*)
теңдеуінің түбірлері болып табылады. Бұл теңдеудің теріс түбірлері жоқ екендігін дәлелдесек жеткілікті. u=-υ қояйық. Бұдан
υ3-σ1υ2+σ2υ-σ3=0
үшінші дәрежелі көпмүшелігін аламыз. σ1=0, σ2=0, σ3=0 болғандықтан , υ кез-келген оң мәнінде теңдеуіміздің сол жағы оң болады. Бұл оның оң түбірлері жоқ екендігін білдіреді. u=-υ болғандықтан, осы жерден (*) теңдеуінде теріс түбірлері жоқ екендігі келіп шығады. Тұжырымдамамыз дәлелденді.
Барлық x,y,z сандарының нақты болуы үшін Δx,y,z=0 теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті шарт болғандықтан , σ1 , σ2 , σ3 қатысты және кез-келген x,y,z нақты сандарында орын алатын жайттар Δx,y,z=0 теңсіздігінен шығуы қажет екендігін аңғарғанымыз жөн. Көп жағдайда , σ1 , σ2 , σ3 қатысты және кез-келген x,y,z нақты сандарында орын алатын кез-келген теңсіздікті Δx,y,z=0 теңсіздігінен шығаруға болады. Дәл осылай , σ1 , σ2 , σ3 қатысты және кез-келген x,y,z теріс емес сандарында орынды кез-келген теңсіздіктері де Δx,y,z=0 қатынасынан және (1.11) теңсіздігінен шығуы мүмкін. Мұндай жағдайдағы Δx,y,z=0 қатынасы мен (1.11) теңсіздігінің орындалуы теңсіздіктерді дәлелдеудің ортақ әдісі қызметін атқара алады. Алайда, дәлелдеудің мұндай әдісі өте қиын және алдын ала ескертілмеген жайттарға әкеп соғады.
1.10 Тақ және жұп орынауыстырулар
x,y,z үш айнымалысына тәуелді симметриялы көпмүшелігінің анықтамасын өзгеше түрде көрсетуге болады. Ол үшін x,y,z үш айнымалысының үйреншікті орын ауыстыруларын қарастырайық. Мұндай орын ауыстырулардың алты түрі бар: x айнымалысын ауысу кезінде x,y,z үш айнымалысының кез-келгенінің орнына қоюға болады, осыдан кейін осы үш жағдайдың әрқайсысында y айнымалысы қалған екі айнымалыларының әйтеуір біреуінің орнына келеді. Алты орын ауыстыру дегенімізде осы. Келесі диаграммада осы алты орын ауыстыру көрсетілген:
x y ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
I. ҮШ АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР
1.1 Симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1.2 Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер туралы
негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.3 Дәрежелі қосындылардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелуі ... ... ... ... ... ... . ... ... ...6
1.4 Варинг формуласы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .14
1.5 Кері дәрежелік қосынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
1.6 Антисимметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
1.7 Антисимметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... 19
1.8 Дискриминант және оның қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
1.9 Дәлелдеуге қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .26
1.10 Тақ және жұп орын ауыстырулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27
1.11 Жұп симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29
II. n АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР
2.1 Бірнеше айнымалыларға тәуелді элементар симметриялы көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
2.2 Бірнеше айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер
жайлы негізгі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .35
2.3 Дәрежелі қосындылардың элементар симметриялы
көпмүшеліктер арқылы өрнектелуі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...37
2.4 n айнымалыға тәуелді элементар симметриялы
көпмүшеліктер және n-інші дәрежелі алгебралық теңдеулер.
Виет формуласы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .39
2.5 Анықталмаған коэффиценттер әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 41
2.6 Көпмүшеліктердің орналасу реті. Алғашқы мүшелері ... ... ... ... ... ... ... 42
2.7 φ(σ1,σ2,...,σn) көпмүшелігінің қосылғыштарын алғашқы
мүшелері арқылы жинақтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...44
2.8 n айнымалыға тәуелді антисимметриялы
көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 47
2.9 Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылудың ортақ әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .48
2.10 Түбірлерді симметрялы көпмүшеліктер арқылы алу ... ... ... ... ... ... ... 55
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .59
Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .60
Кіріспе.
Дипломдық жұмысым Симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктерді теңдеулерді шешуге қолдану тақырыбында жазылған.
Жалпы дипломдық жұмыс үш айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер және n айнымалыға тәуелді симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктер деп аталатын екі тараудан тұрады.
Біз бірінші тарауда үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді қарастырамыз. Сонымен қатар симметриялы көпмүшеліктер жайлы негізгі теореманы айтып кетеміз және олардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелуіне де тоқталып кетеміз. Осындай өрнектелу арқылы болатын Варинг формуласы мен кері дәрежелік қосындылар жайлы да сөз қозғайтын боламыз.
Бұл тарауда сонымен қатар симметриялы көпмүшеліктердің жақын класы атисимметриялы көпмүшеліктерді қарастыратын боламыз. Антисимметрялы көпмүшеліктердің де үш айнымалыларға тәуелділерін қарастырамыз. Антисимметриялы көпмүшеліктер жайлы негізгі теореманы келтіретін боламыз. Қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктердің квадратынан шығатын дискриминант жайлы және оның қолданылуы жайлы айтып, мысалдар келтіреміз.
Екінші тарауда симметриялы және антисимметриялы көпмүшеліктердің бірнеше айнымалыларға тәуелділерін қарастырамыз. Айнымалылар санының көбейуімен байланысты кейбір қйындықтардың туғанымен олардың басты ерекшеліктері екі және үш айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер жағдайларынан көрініс табады. n айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер жайлы негізгі теорема келтірілген. n айнымалыға тәуелді кез-келген симметриялы көпмүшеліктерді бірмүшеліктер орбитасына жіктеуде ең тиімді болатын толық орбиталар жайлы, n айнымалыларға тәуелді элементар симметриялы көпмүшеліктер және n-інші дәрежелі алгебралық теңдеулер арасынддағы байланыстар жайлы, Виет формуласы және антисимметриялы көпмүшеліктерге қатысты бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылу жайлы көрсетіп, мысалдармен түсіндірілген.
I. ҮШ АЙНЫМАЛЫҒА ТӘУЕЛДІ СИММЕТРИЯЛЫ ЖӘНЕ АНТИСИММЕТРИЯЛЫ КӨПМҮШЕЛІКТЕР
1.1 Симметриялы көпмүшеліктер
Жалпы симметриялы көпмүшеліктерде айнымалыларының орнын ауыстырғанмен еш өзгеріссіз қалады. Ал x,y,z үш айнымалысына тәуелді көпмүшеліктерде мұндай орын ауыстырулардың үш түрі бар. x және y немесе x және z немесе y және z айнымалыларының орындарын ауыстыруға болады. Егер f(x,y,z) көпмүшелігінің кез-келген үш айнымалыларының орындарын ауыстырғанда еш өзгеріссіз қалса, онда x, y, z үш айнымалысына тәуелді f(x,y,z) көпмүшелігін симметриялы деп атаймыз.
f(x,y,z) көпмүшелігінің симметриялы екендігінің жазылу түрі келесідей:
f(x,y,z) = f(y,x,z) = f(z,y,x) = f(x,z,y).
Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерге мысалды екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер аналогиясы бойынша құруға болады. Мысалы, қосындының коммутативтілігінен шығатын симметриялы көпмүшелік: x+y+z, ал көбейтіндінің коммутативтілігінен шығатын көпмүшелік: xyz.
Симметриялы және дәрежелі көпмүшеліктер:
sk=xk+yk+zk
Үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерге тағы бір мысал:
xy+yz+xz,
x3+y3+z3-3xyz,
(x+y)(x+z)(y+z),
x(x4+z4)+y(x4+z4)+(x4+y4).
Керісінше, x2z+y2z көпмүшелігі симметриялы бола алмайды. Рас, x және y айнымалыларының орнын ауыстырғанменен ещтеңе өзгермейді:
x2z+y2z=y2z+x2z.
Бірақ, біз x және z айнымалыларының орнын ауыстырсақ көпмүшелігіміздің түрі келесідей өзгереді:
z2x+y2x != x2z+y2z
Ең қарапайым симметриялы көпмүшеліктер:
x+y+z,
xy+xz+yz,
xyz.
Бұларды x,y,z үш айнымалысына тәуелді элементарлы симметриялы көпмүшеліктер деп атайды және олар σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектеледі.
σ1=x+y+z,
σ2=xy+xz+yz
σ3=xyz
Бұл жерде σ1-бірінші дәрежелі, σ2-екінші дәрежелі, σ3-үшінші дәрежелі көпмүшелік.
1.2 Үш айнымалыларға тәуелді симметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теорема
Үш айнымалыға тәуелді симметриалы көпмүшеліктерді құрудың қарапайым әдістері бар. Ол үшін кез-келген (жалпы айтқанда симметриялы емес) σ1, σ2, σ3 айнымалыларына тәуелді көпмүшелікті алып, оның ішінен σ1-ді x+y+z - пен, σ2-ні xy+xz+yz - пен және σ3-ті xyz - пен ауыстыру қажет. Қорыта келгенде біз x,y,z тәуелді симметрилы көпмүшелік аламыз. Мысалы, төмендегі көпмүшеліктен
σ13-3σ1σ2-σ3
мынадай жол арқылы
f(x,y,z)=(x+y+z)3-3(x+y+z)(xy+xz+yz )-xyz.
көпмүшелігін аламыз.
Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерін біріктірсек келесідей көпмүшелік аламыз:
f(x,y,z)=x3+y3+z3-4xyz.
Бұл жазған әдіс барлық үш айнымалыға тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді алуға мүмкіндік береді. Бұған дәлел ретінде келесі теореманы көрсетуге болады.
Теорема[8]. Кез-келген x,y,z тәуелді симметриялы көпмүшеліктерді σ1=x+y+z, σ2=xy+xz+yz, σ3=xyz көпмүшелік түрінде көрсетуге болады.
Біз бұл теореманы дәлелдейміз, әрине кейбір қиындықтарын қоса алғанда, атап айтқанда: айнымалылар санының көбеюі.
Дәлелдеу түрі мынадай. Алдымен кез-келген sk дәрежелі қосынды σ1, σ2, σ3 элементарлы симметриялы көпмүшеліктен жасалатынын көрсетеміз. Бұдан кейін алдыңғысынан күрделілеу көпмүшеліктерді қарастырамыз. Олардың әрқайсысы кейбір бірмүшеліктің айнымалыларының барлық мүмкін болған орын ауыстыруларымен алынады. Мұндай симметриялы көпмүшеліктерді сәйкес бірмүшеліктің орбитасы деп атаймыз. Әрбір орбита дәрежелі қосындыдан, яғни қорыта келгенде σ1, σ2, σ3 жасалатынын көрсетеміз. Ақыры, барлық симметриялы көпмүшеліктер орбиталардың қосындысы түрінде көрсетілетіні белгілі болады.
1.3 Дәрежелі қосындылардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелуі
Сонымен, біз алдымен барлық sk=xk+yk+zk дәрежелі қосындыларды σ1, σ2, σ3 түрінде көрсетуге болатындығын дәлелдейміз. x, y, z үш айнымалысына тәуелді көпмүшеліктерге қатысты аналогиялық формула:
sk=σ1sk-1-σ2sk-2+σ3sk-3. (1.1)
Бұл формуланы бірден тексерейік. (1.1)[1.1.8] теңдеуінің оң жағындағы sk-1 , sk-2 , sk-3 мүшелерінің , сонымен бірге σ1, σ2, σ3 мүшелерінің орнына олардың x,y,z арқылы өрнектелуін қойып , өзгертулер енгізу арқылы
sk=σ1sk-1-σ2sk-2+σ3sk-3=(x+y+z)(xk- 1+yk-1+zk-1)-
-(xy+xz+yz)(xk-2+yk-2+zk-2)+xyz(xk- 3+yk-3+zk-3)=
=(xk+yk+zk+xyk-1+xk-1y+xzk-1+xk-1z+ yzk-1+yk-1z)-
-( xk-1y+ xyk-1+ xk-1z+ xzk-1+ yk-1z+ yzk-1+xyzk-2+ xyk-2z+xk-2yz)+
+( xk-2yz+ xyk-2z+ xyzk-2)= xk+yk+zk=sk
теңдеуін аламыз. Біз осылай формуланың дұрыс екендігін тексердік.
Нақтырақ айтқанда, s0,s1,s2 дәрежелі қосындылардың σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелетінін оңай байқауға болады.
s0=x0+y0+z0=1+1+1=3
s1= x + y + z =σ1
s2=x2+y2+z2=(x +y +z)2-2(x y +x z +y z)=σ12-2σ2
Осыдан кейін (1.1) [1.1.8] формула σ1, σ2, σ3 арқылы сәйкесінше келесідей дәрежелі қосындыларды табуға мүмкіндік береді: алдымен s3 , сосын s4 ,s5 , т.с.с. Басқаша айтқанда σ1, σ2, σ3 арқылы s0,s1,s2 дәрежелі қосындыларды алып, математикалық индукция методының көмегімен кез-келген sk дәрежелі қосынды σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелетініне көз жеткіземіз. Осылайша біздің тұжырымдамамыз дәлелденді.
(1.1) формула дәрежелі қосындылардың σ1, σ2, σ3 арқылы жасалу мүмкіндігін дәлелдеп қана қоймай , сонымен қатар осы жасалуларды тікелей табуға мүмкіндік береді.
Басқаша айтқанда, жоғарыда келтірілген делелдеулер конструктивті, яғни алгаритм. 1 кестеде дәрежелі қосындылардың (s10 дейін ) σ1, σ2, σ3 арқылы жасалулары көрсетілген:
1 кесте.
sn = xn + yn + zn дәрежелі қосындыларының σ1, σ2, σ3 арқылы жасалуы
s0
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
s9
s10
3
σ1
σ12-2σ2
σ13-3σ1σ2+3σ3
σ14-4σ12σ2+2σ22+4σ1σ3
σ15-5σ13σ2+5σ1σ22+5σ12σ3-5σ2σ3
σ16-6σ14σ2+9σ12σ22-2σ23+6σ13σ3-12σ1 σ2σ3+3σ32
σ17-7σ15σ2+14σ13σ22-7𝜎1σ23+7σ14σ3-2 1σ12σ2σ3+7𝜎1σ32+7σ22σ3
σ18-8σ16σ2+20σ14σ22-16σ12σ23+2σ24+8 σ15σ3-32σ13σ2σ3+12σ12σ32+24σ1σ22σ3-
-8σ2σ32
σ19-9σ17σ2+27σ15σ22-30σ13σ23+9σ1σ24 +9σ16σ3-45σ14σ2σ3+54σ12σ22σ3+ +18σ22σ32-9σ23σ3-27σ1σ2σ32+3σ33
σ110-10σ18σ2+35σ16σ22-50σ14σ23+25σ1 2σ24-2σ25+10σ17σ3-60σ15σ2σ3+
+100σ13σ22σ3-25σ14σ32-40σ1σ23σ3+60σ 12σ2σ32+10σ1σ33+15σ22σ32
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Бірмүшеліктер орбитасы. Сонымен біз σ1, σ2, σ3 элементарлы симметриялы көпмүшеліктер арқылы sn дәрежелі қосындыны көрсете алдық .
Айнымалыларының орнын ауыстырғанменен еш өзгеріссіз қалатын бірмүшеліктер бар, яғни сииметриялы бірмүшеліктер. Мұндай бірмүшелікке кіретін айнымалылардың барлығының дәрежелері бірдей болатынын оңай байқауға болады. Яғни:
xk yk zk
Егерде айнымалыларының дәрежелері өзгеше болса: xk yl zm, онда мұндай бірмүшеліктер симметриялы бола алмайды. Құрамында xk yl zm бірмүшелігі бар көпмүшеліктен симметриялы көпмүшелік алу үшін, оған қосымша бірмүшелік енгізу қажет. Құрамында xk yl zm бірмүшелігі бар көпмүшелікті осы бірмүшелігінің орбитасы деп алып, O(xk yl zm) арқылы белгілейік.
xk yl zm бірмүшелігінің орбитасын алу үшін x,y,z айнымалыларының орындарын ауыстыру арқылы шығатын бірмүшелікті қосу керек екендігі анық. Егер xk yl zm бірмүшелігінің екі дәреже көрсеткіші ұқсас болып , үшіншісі өзгеше болса , айталық k=l (ал k!=m) , мұндай жағдайда x,y айнымалыларының орындарын ауыстырғанмен xk yl zm бірмүшелігі өзгеріссіз қалады. Осындай жағдайда келтірілген орбита тек үш мүшеден ғана құралады:
O(xk yl zm)=xkykzm+xkymzk+xmykzk
(m!=k). Мысалы,
O(xyz5)=xyz5+xy5z+x5yz
O(xy)=xy+xz+yz
O(x3y3)=x3y3+x3z3+y3z3
Көп жағдайларда мұндай орбита дәрежелі қосынды болып келеді:
O(xk)=O(xky0z0)=xk+yk+zk=sk.
Ақыры , егер k=l=m болса, онда орбита бірмүшелік болады:
O(xk yk zk)=xk yk zk.
Енді біз кез-келген бірмүшеліктің орбитасы σ3 арқылы және дәрежелі қосынды арқылы жасалатынын көрсетеміз. Ал кез-келген дәрежелі қосынды σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектелетін болғандықтан, осыдан келіп, кез-келген бірмүшеліктің орбитасы σ1, σ2, σ3 арқылы өрнектеледі. Бұл негізгі теореманы делелдеудің екінші қадамы.
Егер xk yl zm бірмүшелігі тек бір ғана х айнымалысына тәуелді болса (яғни l=m=0) , онда біздің пайымдауымыз анық көрінеді: мұндай жағдайда O(xk)=sk орбитасының өзі дәрежелі қосынды болады.
Енді екі айнымалыға тәуелді бірмүшелікке көшейік , яғни xkyl көрінісіндегі. Егер k!=l болса, онда келесідей формула шығады:
O(xkyl)=O(xk)O(xl)-O(xk+l) (k!=l) (1.2)
Негізінде,
O(xk)O(xl)-O(xk+l)=(xk+yk+zk)(xl+yl +zl)-(xk+l+yk+l+zk+l)=
=( xk+l+yk+l+zk+l+xkyl+xlyk+xkzl+xlzk+ ykzl+ylzk)- (xk+l+yk+l+zk+l)=
=xkyl+xlyk+xkzl+xlzk+ykzl+ylzk=O(xk yl)
Егер k=l болса, онда (1.2) [1.2.8] формула келесідей өзгереді:
O(xkyk)= 12((O(xk))2-O(x2k)). (1.3)
Ақыры, егер xkylzm бірмүшелігі x,y,z үш айнымалыға тәуелді (яғни үш дәреже көрсеткіші де нөлден өзгеше), онда xkylzm бірмүшелігі кейбір xyz дәрежелі бірмүшеліктерге бөлінеді. Сондықтан O(xk yl zm) көпмүшелігінің кейбір xyz дәрежелі бірмүшелігін жақша сыртына шығарсақ, жақша ішінде үштен төмен айнымалыға тәуелді кейбір бірмүшеліктің орбитасы қалады.
Мысалы,
O(x2y3z4) = x2y3z4 + x2y4z3 + x3y2z4 + x3y4z2 + x4y2z3 + x4y3z2 =
= (xyz)2 (yz2 + y2z + xz2 + xy2 + x2z + x2y) = (xyz)2 O(x2y),
O(x3y5z5) = x3y5z5 + x5y3z5 + x5y5z3 = (xyz)3 (y2z2 + x2z2 + x2y2) = (xyz)3 O(x2y2)
және т.с.с. Негізі, егер, мысалы, k = m, l = m болса, онда
O(xkylzm) = (xyz)m O(xk-myl-m) = σ3m O(xk-myl-m). (1.4)
Сонымен, егер xkylzm бірмүшелігі тек бір ғана айнымалыға тәуелді болса, онда O(xkylzm) орбитасы дәрежелі қосынды болады; егер екі айнымалыға тәуелді болса, онда O(xkylzm) орбитасы дәрежелі қосынды арқылы жасалады;
ақыры, осы көпмүшелік барлық үш айнымалыға да тәуелді болған жағдай, егер
O(xkylzm) көпмүшелігінде оның барлық мүшелерінің ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарса, онда біз, шындығында, бірмүшеліктің кез-келген орбитасы σ3 және дәрежелі қосынды арқылы жасалатынын көреміз.
Келтірілген дәлелдемеде екі бір-бірінен өзгеше формулалардың келуі шамалы түсініксіздеу болуы мүмкін. Алайда, орбитаның анықтамасына кейбір өзгертулер енгізу арқылы мұндай түсініксіздікті жоямыз.
Барлық k , l , m көрсеткіштері әртүрлі болған жағдайда, O(xkylzm) орбитасы алты мүщелердің қосындысынан тұрады:
Oxkylzm=xkylzm+xkymzl+xlykzm+xlymzk +xmykzl+
+xmylzk. (*)
(*) теңдеуінің оң жағы екі айнымалылары немесе тіпті барлық үш айнымалыларыда сәйкес келген жағдайда да қарастырылады. Теңдеудің осы оң жағын xkylzm бірмүшелігінің толық орбитасы деп атап, OП(xkylzm) арқылы белгілейміз, яғни:
OП(xkylzm)=xkylzm+xkymzl+xlykzm+xly mzk+xmykzl+
+xmylzk. (**)
Осылайша, егер барлық k , l , m көрсеткіштері өзара өзгеше болса, онда толық орбита қарапайым орбитамен сәйкес келеді.
k=l!=m болған жағдайда, толық орбитамыз төмендегідей көріністе болады:
OП(xkykzm)=xkykzm+xkymzk+xkykzm+xky mzk+xmykzk+
+xmykzk=2xkykzm+xkymzk+xmykzk.
Жақшадағы өрнек сол қарапайым орбитамыз болып табылады. Осылайша, k!=m болған жағдайда
OПxkykzm=2·Oxkykzm
түрін қабылдайды. Ақыры, k=l=m болғанда,
OПxkykzm=6xkykzk=6·O(xkykzk)
екендігі анық.
Байқағанымыздай, барлық жағдайда толық орбита қарапайым орбитадан тек көбейткіштердің санымен ерекшеленеді:
егер барлық k , l , m көрсеткіштері өзара өзгеше болса, онда
OПxkylzm= Oxkylzm;
егер k!=m болса, онда
OПxkykzm=2·Oxkykzm;
OПxkykzm=6·O(xkykzk).
Барлық жағдайда қолдануға болатындай (1.3) [1.3.10] және (1.4) [1.4.8] формулаларды алмастыратын төмендегідей формула келтіреміз:
OПxkyl=sksl-sk+l
Жоғарыда көрсетілген дәлелдеме сонымен қатар конструктивті: біз әр бір көпмүшелік орбитасының σ1 , σ2 , σ3 бірмүшеліктері арқылы туындауы мүмкін екендігін дәлелдеп қана қоймай, сонымен қатар кез келген нақты берілген орбитаның σ1 ,σ2 ,σ3 арқылы өрнектелуін табуға мүмкіндік беретіндей толық анықталған алгоритм алдық. Бұл алгоритмның негізі (1.2), (1.3), (1.4) формулалар және алдынғы пункте табылған σ1 ,σ2 ,σ3 арқылы жасалатын дәрежелі қосындымен өрнектелуі болып табылады.
Мысалы ,
O(x2y2) = 12 (O(x2)2-O(x4)) = 12 (s22-s4) = 12 ((σ12-2σ2)2 - (σ14 - 4σ12σ2 + 2σ22 + 4σ1σ3)) = =σ22 - 2σ1σ3
(Бұл жерде біз (1.5) [1.5.8] формуланы қолдандық);
O(x2y2z) = σ3 O(x3y) = σ3 (O(x3) O(x) - O(x4)) =σ3(s3s1-s4) = σ3 (σ1 (σ13 - 3σ1σ2+3σ3) - (σ14 - 4σ12σ2+2σ22+4σ1σ3) ) = σ3 (σ12σ2 - 2σ22 - σ1σ3)
( (1.4) және (1.6) [1.6.11] формулаларын қолдандық)
3 кестеде σ1 σ2 σ3 арқылы жасалатын кейбір O(xkyl) орбиталарының шығу реті көрсетілген
2 кесте.
O(xkyl) арбиталарының σ1 σ2 σ3 арқылы өрнектелуі.
O(xy)
O(x2y)
O(x3y)
O(x2y2)
O(x4y)
O(x3y2)
O(x5y)
O(x4y2)
O(x3y3)
... ... ...
σ2
σ1σ2 - 3σ3
σ12σ2-2σ22-σ1σ3
σ22-2 σ1σ3
σ13σ2-3𝜎1σ22-σ12σ3+5 σ2σ3
σ1σ22-2σ12σ3- σ2σ3
σ14σ2-4σ12σ22-σ13σ3+7σ1σ2σ3+2σ23-3σ 32
σ22σ22-2σ23-2σ13σ3+4 σ1σ2σ3-3σ32
σ23+3σ32- 3σ1σ2σ3
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Негізгі теореманың дәлелдемесі. f(x,y,z) симметриялы көпмүшелік болсын және ахkylzm - оның бір мүшесі болсын. f(x,y,z) көпмүшелігінің симметриялылығының күші ретінде осы көрсетілген мүшесімен қоса а коэффициентімен алынған барлық O(xkylzm) орбиталары кіреді. Осылайша,
f(x,y,z) = a O(xkylzm) + f1(x,y,z),
бұл жерде f1(x,y,z) симметриялы және f(x,y,z) қарағанда мүшелері аз болып келген кейбір көпмүшелік. f1(x,y,z) көпмүшелігінен, сонымен қатар, оның бір мүшесінің орбитасын бөліп алуға болады және т.б. Соңғы сандар қадамынан кейін f(x,y,z) көпмүшелігін жеке бірмүшеліктердің орбиталарының қосындысына орналастырамыз.
Сонымен, кез-келген f(x,y,z) симметриялы көпмүшелігінде бірмүшелік орбитасының ақырғы сандарының қосындысы кездеседі.
Ал әрбір орбита , жоғарыда дәлелдегендей, σ1 σ2 σ3 арқылы өрнектеледі, сондықтан кез-келген симметриялы көпмүшелік σ1 σ2 σ3 арқылы өрнектелуі әбден мүмкін. Осы арқылы біз негізгі теореманы толық дәлелдедік.
Барлық дәлелдемелер сонымен қатар конструктивті: ол кез-келген симметриялы көпмүшеліктерді σ1 σ2 σ3 арқылы өрнектеуге мүмкіндік бере алатын салыстырмалы түрде жәй алгаритмдерден тұрады.
Мысал ретінде
f(x,y,z)=x3+y3+z3-4xyz+2x2y+2xy2+2x 2z+2xz2+2y2z+2yz2
симметриялы көпмүшелігінің σ1 σ2 σ3 арқылы өрнектелуін табайық. Бізде бары:
f(x,y,z)=O(x3)-4 O(xyz)+2 O(x2y)=(σ13-3σ1σ2+3σ3)-4σ3+2(σ1σ2-3 σ3)= σ13- σ1σ2-7σ3.
1.4 Варинг формуласы.
Жоғарыда дәлелдеген (1.1) формула рекурентті сәйкестік түріндегі көрініс береді, яғни σ1 σ2 σ3 арқылы sk дәрежелі қосындысының өрнегін табуды тек алдыңғы дәрежелі қосындының өрнегін шамалап табу арқылы ғана мүмкіндік береді. Алайда оның көмегімен σ1 σ2 σ3 арқылы sk дәрежелі қосындысының нақты өрнегін алуға болады. Бұл өрнектің (Варинг формуласы) түрі келесідей:
12sk=∑-1k-λ1-λ2-λ3λ1+λ2+λ3-1!λ1!λ2! λ3!σ1λ1σ2λ2σ3λ3.
λ1+2λ2+3λ3=k үшін қосынды бұл формулада барлық λ1,λ2,λ3 сандарына қатысты. Сонымен қатар О!, егер кездессе.
Варинг формуласындағы λ1+2λ2+3λ3=k сәйкестігінің λ1,λ2,λ3 сандары келесі анықтамамен байланысты. x,y,z байланысты σ1 симметриялы көпмүшелігі бірінші дәрежеге ие, σ2 көпмүшелігі - екінші , σ3 көпмүшелігі - үшінші дәрежеге ие болады. Сондықтан, егер бірмүшелікте x,y,z арқылы өрнектелетін σ1 , σ2 , σ3 элементарлы көпмүшелігінің орнына σ1λ1σ2λ2σ3λ3 қойсақ, онда x,y,z қатысты дәрежесі λ1+2λ2+3λ3 тең түбірлес көпмүшелік аламыз. Осы жерден белгілі болғаны, sk дәрежелі қосындыларының жіктелулеріне тек λ1+2λ2+3λ3=k шартты қанағаттандыратын σ1λ1σ2λ2σ3λ3 бірмүшеліктер ғана кіреді.
Варинг формуласының дәлелдемесін индукция арқылы жүргізсе қиынға соқпайды, егер (1) ара қатынасты пайдалансақ. Сонымен қатар келесі оңай дәлелденетін тепе - теңдікті пайдалануға тура келеді:
kλ1+λ2+λ3-1!λ1!λ2!λ3! = (k-1)(λ1+λ2+λ3-2)!(λ1-1)!λ2!λ3! + (k-2) (λ1+λ2+λ3-2)!λ1!(λ2-1)!λ3! +
+ (k-3) (λ1+λ2+λ3-2)!λ1!λ2!(λ3-1)! ,
бұл жерде k = λ1+2λ2+3λ3 .
Мысал ретінде элементарлы симметриялы көпмүшеліктер арқылы s6 дәрежелі қосындының өрнегін табайық. Ол үшін алдымен Варинг формуласының көмегімен төмендегі теңдеудің барлық мүмкін болған оң шешімдерін табу қажет
λ1+2λ2+3λ3 = 6.
Бұл теңдеудің 3 кестеде көрсетілгендей 7 шешімі бар.
3 кесте.
λ1
λ2
λ3
λ1
λ2
λ3
λ1
λ2
λ3
6
4
0
1
0
0
2
0
3
2
3
0
0
0
1
1
0
1
0
1
2
Сондықтан
16s6 = -16-6-0-06+0+0-1!6!0!0!σ16σ20σ30+-1 6-4-1-04+1+0-1!4!1!0!σ14σ21σ30 +
+ -16-2-2-02+2+0-1!2!2!0!σ12σ22σ30+-1 6-0-3-00+3+0-1!0!3!0!σ10σ23σ30+
+-16-3-0-13+0+1-1!3!0!1!σ13σ20σ31 + -16-1-1-11+1+1-1!1!1!1!σ11σ21σ31+
+-16-0-0-20+0+2-1!0!0!2!σ10σ20σ32 = 5!6!σ16-4!4!σ14 + 3!2!2!σ12σ22-2!3!σ23+
+3!3!σ13σ3-2!1!σ1σ2σ3+1!2!σ32=16σ16 -σ14σ2+32σ12σ22-13σ23+σ13σ3--2σ1σ2σ 3+12σ32.
6 ға көбейту арқылы , қорытынды
s6 = σ16-6σ14σ2+9σ12σ22-2σ23+6σ13σ3-12σ1 σ2σ3+3σ32
өрнегін аламыз.
1.5 Кері дәрежелік қосынды
s-k=x-k+y-k+z-k=1xk+1yk+1zk
(бұл жерде k = 1,2,3,...) бұларды кейде кері дәрежелі қосынды деп атайды. Оларды σ1 , σ2 , σ3 арқылы оңай өрнектеуге болады, егер
s-k=1xk+1yk+1zk=ykzk+xkzk+xkykxkykz k=O(xkyk)σ3k (*)
шартын ескерсе. Дегенмен басқаша да жасауға болады. k кез-келген мәні үшін (1.1) формуласы дұрыс екендігін ескерген жеткілікті, себебі осы формуланы көрсетерде k қатысты ешқандай болжамдар жасалған жоқ. (1.1) формуласындағы k орнына l+3 қою арқылы
sl=σ2σ3sl+1-σ1σ3sl+2+1σ3sl+3 (1.1')
өрнегін оңай табамыз. Алынған (1.1') формуланың көмегімен кері дәрежелі қосындылардың сәйкес мәндерін табуға болады:
s-1= σ2σ3s0-σ1σ3s1+1σ3s2=σ2σ3 ·3-σ1σ3σ1+1σ3σ12-2σ2=σ2σ3;
s-2= σ2σ3s-1-σ1σ3s0+1σ3s1=σ2σ3 ·σ2σ3-σ1σ3 ·3+1σ3σ1=σ22-2σ1σ3σ32;
s-3=σ2σ3s-2-σ1σ3s-1+1σ3s0=σ2σ3·σ22- 2σ1σ3σ32-σ1σ3· σ2σ3+1σ3·3==σ23-3σ1σ2σ3+3σ32σ33;
s-4=σ2σ3s-3-σ1σ3s-2+1σ3s-1==σ2σ3·σ2 3-3σ1σ2σ3+3σ32σ33-σ1σ3·σ22-2σ1σ3σ32 +1σ3·σ2σ3==σ24-4σ1σ22σ3+4σ2σ32+2σ12 σ32σ34
және т.б. Керісінше, осылайша өрнектелген кері дәрежелі қосындылардың мәндері арқылы (*) формуласының көмегімен O(xkyk) орбиталарын оңай табуға болады:
Ox2y2=σ32s-2=σ22-2σ1σ3;
Ox3y3=σ33s-3=σ23-3σ1σ2σ3+3σ32;
Ox4y4=σ34s-4=σ24-4σ1σ22σ3+4σ2σ32+2σ 12σ32
және т.б.
1.6 Антисимметриялы көпмүшеліктер
Осыған дейін біз симметриялы көпмүшеліктерді қарастырған болатынбыз, яғни кез келген айнымалыларының орындарын ауыстырғанмен еш өзгеріссіз қала беретін көпмүшеліктерді. Енді біз басқа, көпмүшеліктердің
жақын класы - антисимметриялы көпмүшеліктерді қарастырамыз. Антисимметриялы көпмүшеліктер деп - кез келген екі айнымалыларының орындарын ауыстырғанда таңбалары өзгеретін көпмүшеліктерді айтамыз.
Алдымен екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктерді қарастырайық. Мұндай көпмүшеліктердің мысалы ретінде x-y, x3-y3, x4y-xy4 көрсетуге болады. Шынында да, егер, мысалыға, x3-y3 көпмүшелігіндегі x және y айнымалыларын орындарымен ауыстырсақ , көпмүшелігіміз y3-x3 түріне өзгереді. Себебі
y3-x3 = - ( x3-y3)
осыдан келіп x3-y3 көпмүшелігі антисимметриялы. x-y және x4y-xy4 көпмүшеліктері антисимметриялы екендікдіктерінің делелдеу түрі дәл осындай. Үш айнымалыға тәуелді антисимметриялы көпмүшеліктерге мысалды келесі көпмүшелік түрінде көрсетуге болады:
x-yx-z(y-z).
Негізінде , егер x және y орындарын ауыстырсақ, көпмүшелігіміздің түрі келесідей өзгереді
x-yx-zy-z=-x-yx-zy-z.
Бұдан өзге кез келген екі айнымалыларының орнын ауыстырғанда таңбалары дәл осылай өзгереді.
Антисимметриялы көпмүшеліктер жайлы аңгімемізді жалғастырмастан бұрын келесі анықтаманы көрсете кетейік: антисимметриялы көпмүшеліктердің квадраты симметриялы көпмүшелік болып табылады.
Негізінде , антисимметриялы көпмүшеліктерде айнымалыларының орындарын ауыстырғанда таңбалары өзгереді. Бірақ бұл жағдай квадрат көпмүшеліктерді өзгертпейді. Бұл дегеніміз, квадрат антисимметриялы көпмүшеліктерде кез келген екі айнымалыларының орындарын ауыстырғанмен еш өзгеріссіз қалады, яғни симметриялы көпмүшелікке айналады дегенді білдіреді.
Егер симметриялы көпмүшелік пен антисимметриялы көпмүшелікті көбейтсек антисимметриялы көпмүшелік аламыз.
Мұндай жағдайда кез келген екі айнымалыларының орындарын ауыстырғанда бір көбейткіштің таңбасы ауысады да , екіншісі өзгеріссіз қалады.
1.7 Антисимметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теорема
Енді қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктің құрылысына мән беріп көрелік. Алдыңғы пунктегі соңғы ескертулер қажет болғанша антисимметриялы көпмүшеліктерді құрастыруға мүмкіндік беретін әдістерді меңзейді. Кадайда бір сондай көпмүшелікті алып және оны барлық мүмкін болған симметриялы көпмүшеліктерге көбейту жеткілікті; қорытындысында біз антисимметриялы көпмүшелік алып тұрамыз.
Бұдан келіп шынайы сұрақ туындайды: барлық мүмкін болған симметриялы көпмүшеліктерге көбейту арқылы барлық антисимметриялы көпмүшеліктерді алуға болатындай антисимметриялы көпмүшелігін табуға болады ма деген.мұндай жағдайдың мүмкін екендігіне біз көз жеткіземіз.
Алдымен екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктерден бастайық.
Т е о р е м а . Кез келген x,y айнымалыларына тәуелді f(x,y) антисимметриялы көпмүшелігінің жазылу түрі төмендегідей
fx,y=x-ygx,y, (1.7)
бұл жерде gx,y - x,y айнымалыларына тәуелді симметриялы көпмүшелік.
Бұл теореманы дәлелдеместен бұрын біз алдымен келесі лемманы құрайық.
Л е м м а. Егер fx,y - антисимметриялы көпмүшелік болса, онда fx,x=0.
Басқаша айтқанда , x,y айнымалыларының мәндері бірдей болған жағдайда антисимметриялы көпмүшелігіміз нөлге ұмтылады.
Дәлел ретінде fx,y көпмүшелігінің антисимметриялы шартын
fx,y=-f(y,x)
түрде жазуға болатындығын ескерген жеткілікті. Бұл теңдеудегі y=x деп алып, fx,x=-fx,x сәйкестігін аламыз және ол тек fx,x=0 жағдайында ғана орын алады.
Дәлелдеген леммамызды өзгеше етіп те алуға болады. Осындай мақсатпен fx,y көпмүшелігін x дәрежесі бойынша орналастырайық , ал y айнымалысын коэффиценттер қатарына қосайық. Мысалы, егер fx,y көпмүшелігі
fx,y=x4y2-y4x2+x4y-y4x+x3y2-x2y3
теңдеуімен берілсе, онда
fx,y=y2+yx4+y2x3-y4+y3x2-y4x
түрінде жазамыз. Лемманы дәлелдегенімізден шығатын қорытынды бойынша, егер біздің көпмүшелігімізде x=y қойсақ , онда көпмүшелігіміз нөлге ұмтылады. Басқаша айтқанда, x=y мәні x-ке қатысты функция ретінде қарастырылып отырған fx,y антисимметриялы көпмүшелігінің түбірі болып табылады.
fx,y көпмүшелігі x-y қалдықсыз бөлінеді, яғни
fx,y=x-ygx,y,
бұл жерде gx,y- кейбір көпмүшелік.
Теореманың дәлелдемесін аяқтау үшін бізге gx,y көпмүшелігінің симметриялы екендігін көрсету ғана қалды. Ол үшін (1.7) [1.7.8] теңдеуіндегі x пен y орындарын ауыстыру қажет:
fy,x=y-xgy,x.
Осы алынған теңдеуді (1.7) теңдеуімен салыстыру арқылы
x-ygx,y=x-yg(y,x)
теңдеуін аламыз , сол үшін де x!=y үшін
gy,x=gx,y
теңдеуі дұрыс. x=y үшін соңғы теңдеуіміз
gx,x=g(x,x)
түрін қабылдайды және дәл алдыңғысындай әділ әрі айқын. Сонымен кез-келген x,y үшін
gy,x=gx,y
теңдеуі орынды, яғни gx,y- симметриялы көпмүшелік. Теорема дәлелденді.
Сонымен, екі айнымалыға тәуелді антисимметриялы көпмүшеліктердің құрылымы толық анықталды: олардың әрқайсысы x-y бөлінеді, сондай-ақ көп жағдайда симметриялы көпмүшелікке айналады.
Үш айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер де дәл солай қарастырылады. Алдымен антисииметриялы көпмүшеліктің нөлге ұмтылатындығы анықталады, егер қандайда бір екі айнымалылары сәйкес келсе. Басқаша айтқанда,
fx,x,z=fx,y,x=fx,y,y=0
кез келген f(x,y,z) антисимметриялы көпмүшелігі үшін.
Осыдан кейін , Безу теоремасын қолдану арқылы , кез келген үш айнымалығы тәуелді антисимметриялы көпмүшеліктері x-y, x-z және y-z өрнектеріне бөлінетіндігін енгіземіз. Алайда ол сонымен қатар
T=x-yx-z(y-z)
антисимметриялы көпмүшелігіне де бөлінуі қажет. Осылайша , әрбір f(x,y,z) антисимметриялы көпмүшелігін
fx,y,z=x-yx-zy-zg(x,y,z) (1.8)
түрінде жазуға болады, бұл жерде gx,y,z- кейбір көпмүшелік. Екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктегі сияқты, біз кейін g(x,y,z) көпмүшелгінің симметриялылығына көз жеткіземіз. Сонымен үш айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер үшін келесі теорема орынды.
Т е о р е м а. Кез келген x,y,z үш айнымалысына тәуелді f(x,y,z) антисимметриялы көпмүшелігі
T=x-yx-z(y-z)
көпмүшелігінің өрнегі болып табылады.
1.8 Дискриминант және оның қолданылуы
Антисимметриялы көпмүшеліктер теориясында маңызды рольді қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктер алатындығын көрдік, нақтырақ айтқанда , екі айнымалыға тәуелділері үшін x-y , ал үш айнымалыға тәуелділері үшін T=x-yx-z(y-z). Қарапайым антисимметриялы көпмүшеліктің квадраты дискриминант деп аталады. Осылайша екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктер үшін дискриминант
Δ=(x-y)2
тең, ал үш айнымалыға тәуелділері үшін
Δ=(x-y)2(x-z)2(y-z)2
тең. Жоғарыда біз дискриминанттың симметриялы көпмүшелік болып табылатынын көріп қойғанбыз, және оның өрнегін элементарлы симметриялы көпмүшеліктер арқылы тапқан болатынбыз. Екі айнымалыға тәуелді көпмүшеліктерде бұл өрнектің жазылу түрі келесідей
Δ=σ12-4σ2,
ал үш айнымалыға тәуелділерде
Δ=-4σ13σ3+σ12σ22+18σ1σ2σ3-4σ23-27σ3 2. (1.9)
Δ(x,y,z) дискриминанты алтыншы дәрежелі түбірлес көпмүшелік болып табылады. Сондықтан оның σ1,σ2,σ3 арқылы өрнектелуіне тек (кейбір коэффиценттерімен) m+2n+3p=6 шартын қанағаттандыратын σ1mσ2nσ3p бірмүшеліктері кіреді (σ1- бірінші дәрежелі, σ2- екінші дәрежелі және σ3- үшінші дәрежелі көпмүшелік болғандықтан).
m
n
p
6
4
0
1
0
0
m
n
p
m
n
p
3
2
1
0
2
1
1
0
1
0
0
3
0
0
2
Басқаша айтқанда, Δ(x,y,z) дискриминантының σ1,σ2,σ3 арқылы өрнектелуінің жазылу түрі төмендегідей
Δx,y,z=Aσ16+Bσ14σ2+Cσ13σ3+Dσ12σ22+E σ1σ2σ3+Fσ23+Gσ32 (*)
бұл жердегі A, B, C, D, E, F, G - кейбір коэффиценттер.
x=1, y=z=0 деп алсақ, онда σ1=1, σ2=σ3=0 және Δ1,0,0=(1-0)2(0-0)2(0-1)2=0 болады. Сондықтан (*) теңдеуі 0=A түрінде болады. Сонымен A коэффиценті табылды.
Енді x=0, y=1, z=1 қояйық ; мұндай жағдайда σ1=0, σ2=-1, σ3=0, Δ=4 болады да (*) теңдеуіміздің түрі 4=F(-1)3 , яғни F=-4 болады.
x=2, y=z=-1 (яғни σ1=0, σ2=-3, σ3=2, ) болса (*) теңдеуінен алатынымыз: -4·-33+4G=0, бұл жерден G=-27 тауып аламыз.
Жалғастыра келе x=0, y=z=1 (яғни σ1=2, σ2=1, σ3=0) және, сонымен қатар, x=0, y=1, z=2 (яғни σ1=3, σ2=2, σ3=0, ) қоямыз. Бұл бізге (A=0, F=-4 ескере отырып ) келесідей екі теңдеуді береді:
16B+4D-4=0, 162B+36D-32=4.
Бұл теңдеулерді B және D белгісіздеріне қатысты теңдеулер жүйесі деп алып, B=0 , D=1 болатындығын оңай табамыз.
Ақыр біз x=y=z , x=y=1 , z=-1 мәндерін береміз. Осыдан біз (A, B, C, D, E, F, G коэффиценттері бізге белгілі екендігін ескеріп) келесідей теңдеулерді аламыз:
27C+81+9E-108-27=0,-C + 1 + E + 4 - 27 = 0,
бұл жерден C=-4 , E=18 мәндерін оңай тауып аламыз.
Сонымен , барлық A, B, C, D, E, F, G коэффиценттер анықталды. Осы табылған коэффиценттердің мәндерін (*) теңдеуіне қою арқылы біз (1.9) [1.9.15] формуласын аламыз.
Алгебралық теория теңдеулерінде дискриминанттың алатын орны ерекше. Оның көмегімен түбірлерінің қаншалықты сәйкес келетіндігін , дәл түбірлерін анықтауға және т.б. мүмкіндік береді.
Бәрімізге жақсы белгілі квадрат теңдеуден бастайық. x1 , x2- шын мәніндегі p және q коэффиценттерімен берілген
x2+px+q=0
теңдеуінің түбірлері болсын. Виет формуласының көмегімен: σ1=x1+x2=-p және σ2=x1x2=q аламыз. Сондықтан
Δ=(x1-x2)2=σ12-4σ2=p2-4q. (1.10)
Біз нақты коэффиценттермен берілген теңдеулерді қарастырумен шектелеміз. Бұл үш жағдайда мүмкін болады:
a) теңдеуіміздің түбірлері нақты және әртүрлі болғанда,
b) теңдеуіміздің түбірлері нақты және тең болғанда,
c) теңдеуіміздің түбірлері комплекс шешім болғанда.
Дискриминант осы жағдайлардың қайсысы орынды деген сұраққа жауап беруге көмектеседі. Ең оңайы біздің теңдеуіміздің түбірлері қаншалықты сәйкес келетіндігін анықтап алғанымыз жөн. Өйткені , егер түбірлеріміз сәйкес келсе, яғни егер x1=x2 болса, онда Δ=(x1-x2)2=0 , және керісінше. (1.10) [1.10.8] формуласының көмегімен келесідей жауап аламыз: x2+px+q=0 квадрат теңдеуінің түбірлері тек p2-4q=0 болған кезде ғана сәйкес келеді. Егер түбірлері сәйкес келсе , онда олардың нақты шешім екендігі белгілі (өйткені x1+x2=-p). Енді x1,x2 түбірлері әртүрлі болған жағдайды қарастырайық, яғни Δ!=0. Ол үшін алдымен қай кезде түбірлері нақты, ал қай кезде комплекс шешімдерін қабылдайтынын анықтайық. Егер
x1 , x2 түбірлері нақты шешім болса , онда x1-x2 саны да нақты, сондықтан Δ=(x1-x2)2- оң шешім. Ал егерде x1 , x2 комплекс сандар болса, яғни x1=α+βi , x2=α-βi болса , онда x1-x2=2βi, сондықтан Δ=(x1-x2)2=-4β2 теріс мәнді қабылдайды. Δ=p2-4q теңдеуін еске түсіре отырып біз келесідей нәтижелерді аламыз:
x2+px+q=0- квадрат теңдеуінің коэффиценттері нақты шешімдер болсын. Онда
a) егер Δ=p2-4q0 болса , онда теңдеудің түбірлері нақты және әртүрлі;
b) егер Δ=p2-4q=0 болса , онда теңдеудің түбірлері нақты және тең.
c) егер Δ=p2-4q0 болса , онда теңдеудің түбірлері комплекс шешім.
Осылайша, дискриминант квадрат теңдеулерге қатысты толығымен көріністерін анықтауға, яғни қай кезде нақты коэффиценттермен берілген x2+px+q=0 теңдеуі нақты әрі әртүрлі шешімдер қабылдайтынын, қай кезде нақты әрі сәйкес және қай кезде комплекс түбірлер қабылдайтынын анықтауға мүмкіндік береді. Дискриминант терминінің шығу тарихы да осыған байланысты: латын тілінен аударғанда discriminatio әр түрлі деген мағынаны білдіреді.
Енді нақты n ,p, q коэффиценттерімен берілген үшінші дәрежелі теңдеулерді қарастырайық, яғни
x3+nx2+px+q=0.
Бұл жерде келесідей жағдайлар кездесуі мүмкін:
a) теңдеудің барлық үш түбірі де нақты әрі өзара әртүрлі;
b) теңдеудің барлық үш түбірі де нақты және олардың екеуі өзар тең, ал үшіншісі өзгеше;
c) теңдеудің барлық үш түбірі де өзар тең (және нақты);
d) теңдеудің бір түбірі нақты , ал қалған екеуі комплекс түрінде .
Басқаша болуы мүмкін емес.
Осы жағдайларды бір бірінен ажырата білуіміз үшін қайтадан теңдеуіміздің x1,x2,x3 үш түбірлерінің дискриминантын құруымыз қажет. Яғни
Δ=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2 (**)
өрнегі. Үшінші дәрежелі теңдеулерге арналған Виет формуласы бойынша біздің алатынымыз:
σ1=x1+x2+x3=-n,
σ2=x1x2+x1x3+x2x3=p,
σ3=x1x2x3=-q,
осыдан келіп, (1.9) формулаға сәйкес
Δ=-4n3q+n2p2+18npq-4p3-27q2.
Егер теңдеудің қандайда бір екі түбірлері өзара тең болса , онда (**) теңдеуіміздің бір жақшасы нөлге айналады, ал мұндай жағдайда дискриминант та нөлге тең болады. Егерде барлық түбірлері жұп-жұп болып өзгеше болса (яғни олардың ішінде өзара тең болған жұптар жоқ) , онда (**) теңдеуінің барлық жақшалары нөлден өзгеше, сондықтан дискриминант та нөлден өзгеше. Сонымен
x3+nx2+px+q=0
теңдеуінің түбірлерінің ең болмағанда екеуі сәйкес келуі үшін , Δ=0 шартының орындалуы қажетті және жеткілікті.
Енді үшінші дәрежелі теңдеуіміздің барлық түбірлері нақты және өзара өзгеше болсын. Онда T=x1-x2x1-x3(x2-x3) нөлден өзгеше нақты шешім болады, ал ол дегеніміз Δ=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2- оң шешім.
Ақыры, енді x1- нақты, ал x2=α+βi және x3=α-βi комплекс түрінде берілсін. Онда T=x1-x2x1-x3(x2-x3) өрнегіміздің көрінісі төмендегідей болады
T=x1-α-βix1-α+βi·2βi=2(x1-α2+β2)βi.
Сондықтан
Δ=T2=-4((x1-α2)+β2)2β20.
Сонымен , біз келесі тұжырымды дәлелдедік.
x3+nx2+px+q=0
- нақты коэффиценттермен берілген үшінші дәрежелі теңдеу болсын және
Δ=-4n3q+n2p2+18npq-4p3-27q2
- осы теңдеуіміздің дискриминанты болсын. Онда:
a) егер Δ0 болса, онда барлық үш x1,x2,x3 түбірлері де нақты әрі өзара тең емес;
b) егер Δ=0 болса, онда түбірлерінің ішіндегі ең болмағанда екеуі сәйкес келеді (яғни тең);
c) егер Δ0 болса, онда теңдеуіміздің бір түбірі нақты, ал қалған екеуі комплекс түрде болады.
Келтірген дәлелдемеміз толық емес. Біз әлі екі түбірі тең , ал үшіншісі өзгеше болатын жағдайды, барлық үш түбірі де өзара тең болатын жағдайды ажырата білуді үйренген жоқпыз. Бұл жерде енді дискриминанттың көмегіне жүгіне алмаймыз , сол үшін басқа симметриялы көпмүшелік іздеуіміз қажет. Мұндай жағдайда ең оңайы дискриминантқа көмек ретінде
Δ=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x1-x3)2=2σ12-3 σ2=2(n2-3p)
симметриялы копмүшелігін алу қажет. x1,x2,x3түбірлері нақты болса, онда Δ1 өрнегі тек барлық x1,x2,x3 үш түбірлері де тең болған жағдайда ғана нөлге ұмтылатыны бізге анық.
Осылай келе, егер x3+nx2+px+q=0 теңдеуінің Δ дискриминанты нөлге ұмтылса, онда n2-3p!=0 болғанда осы теңдеудің екі түбірі сәйкес, ал үшіншісі өзгеше, ал n2-3p=0 болғанда теңдеудің барлық үш түбірлері де өзара тең болады.
Қорыта келе , x3+nx2+px+q үшінші дәрежелі көпмүшелігіне x=y-n3 формуласы бойынша жаңадан y белгісізін енгіссек , онда бұл үшінші дәрежелі көпмүшелігіміз y3+Py+Q түрін қабылдайды, яғни оның квадрат белгісіз мүшесі жоғалады. Осылайша , кез-келген ауысумен берілген үшінші дәрежелі теңдеулердің көрінісі төмендегідей болады
y3+Py+Q=0.
Егер теңдеуіміз бірден осылай берілсе, онда Δ және Δ1 үшін берілген өрнегіміз мейлінше қысқарады:
Δ=-4P3-27Q2, Δ1=-6P.
1.9 Дәлелдеуге қолданылуы
Алдыңғы пункттың қорытындысынан бірден келесідей теорема шығады.
Т е о р е м а. σ1,σ2,σ3 - нақты сандар болсын.
x+y+z=σ1,xy+xz+yz=σ2xyz=σ3,
теңдеулер жүйесінің барлық анықталуы тиіс x,y,z сандары нақты шешім болуы үшін, Δ(x,y,z) дискриминантының теріс емес болуы қажетті және жеткілікті. (Δx,y,z=0 теңдеуі тек x,y,z сандарының арасында ең болмағанда екеуі тең болған жағдайда ғана орынды.)
Д ә л е л д е м е с і. Жоғарыда келтірілген теорема бойынша x,y,z барлығы нақты коэффиценттермен берілген
u3-σ1u2+σ2u-σ3=0
теңдеуінің түбірлері болып табылады. Сондықтан , осы сандар тек Δx,y,z=0 болғанда ғана нақты болады.
З е р т т е л у і. x,y,z сандарының барлығыда тек нақты болуымен қатар теріс емес болуы үшін Δx,y,z=0 шартымен қатар
σ1=0, σ2=0, σ3=0 (1.11)
шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті. Шынында да , егер x,y,z сандары теріс емес болса, онда (1.11) [1.11.6] шарты орындалатыны анық.
(1.11) теңсіздігі x,y,z нақты сандары үшін жасалған болсын. Мұндай жағдайда олардың теріс емес екендігін көрсетеміз. x,y,z сандары
u3-σ1u2+σ2u-σ3=0 (*)
теңдеуінің түбірлері болып табылады. Бұл теңдеудің теріс түбірлері жоқ екендігін дәлелдесек жеткілікті. u=-υ қояйық. Бұдан
υ3-σ1υ2+σ2υ-σ3=0
үшінші дәрежелі көпмүшелігін аламыз. σ1=0, σ2=0, σ3=0 болғандықтан , υ кез-келген оң мәнінде теңдеуіміздің сол жағы оң болады. Бұл оның оң түбірлері жоқ екендігін білдіреді. u=-υ болғандықтан, осы жерден (*) теңдеуінде теріс түбірлері жоқ екендігі келіп шығады. Тұжырымдамамыз дәлелденді.
Барлық x,y,z сандарының нақты болуы үшін Δx,y,z=0 теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті шарт болғандықтан , σ1 , σ2 , σ3 қатысты және кез-келген x,y,z нақты сандарында орын алатын жайттар Δx,y,z=0 теңсіздігінен шығуы қажет екендігін аңғарғанымыз жөн. Көп жағдайда , σ1 , σ2 , σ3 қатысты және кез-келген x,y,z нақты сандарында орын алатын кез-келген теңсіздікті Δx,y,z=0 теңсіздігінен шығаруға болады. Дәл осылай , σ1 , σ2 , σ3 қатысты және кез-келген x,y,z теріс емес сандарында орынды кез-келген теңсіздіктері де Δx,y,z=0 қатынасынан және (1.11) теңсіздігінен шығуы мүмкін. Мұндай жағдайдағы Δx,y,z=0 қатынасы мен (1.11) теңсіздігінің орындалуы теңсіздіктерді дәлелдеудің ортақ әдісі қызметін атқара алады. Алайда, дәлелдеудің мұндай әдісі өте қиын және алдын ала ескертілмеген жайттарға әкеп соғады.
1.10 Тақ және жұп орынауыстырулар
x,y,z үш айнымалысына тәуелді симметриялы көпмүшелігінің анықтамасын өзгеше түрде көрсетуге болады. Ол үшін x,y,z үш айнымалысының үйреншікті орын ауыстыруларын қарастырайық. Мұндай орын ауыстырулардың алты түрі бар: x айнымалысын ауысу кезінде x,y,z үш айнымалысының кез-келгенінің орнына қоюға болады, осыдан кейін осы үш жағдайдың әрқайсысында y айнымалысы қалған екі айнымалыларының әйтеуір біреуінің орнына келеді. Алты орын ауыстыру дегенімізде осы. Келесі диаграммада осы алты орын ауыстыру көрсетілген:
x y ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz