Орта мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі

Кіріспе.
1.тарау Орта мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі.
1.1 Интегралдың шығу тарихы.
1.2 Алғашқы функция мен интегралды оқыту әдiстемесi
2.тарау Орта мектепте интеграл ұғымын оқытудың теориялық негіздері
2.1 Анықталмаған интеграл..
2.2 Қисықсызықты трапецияның ауданы.
2.3 Анықталған интеграл. Ньютон.Лейбниц формуласы
2.4 Геометриялық және физикалық есептерде интегралды қолдану..
Қорытынды.
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі.

Қазақстандағы бiлiм беру реформаларының жалпы мақсаты бiлiм беру жүйесiн жаңа әлеуметтiк-экономикалық ортаға бейiмдеу болып табылады. Бiлiм беру жүйесiн жетiлдiру осы мақсатқа қол жеткiзуде маңызды рөл атқарады.
Қазіргі кездегі қай мамандықтың иесі болсын, олардан тиісті математикалық білім талап етіледі. Сондай-ақ, математикалық мәдениет жалпы мәдениеттің қажетті бір бөлігі болуда.
Математиканың ғылым мен қоғамдағы орны мен ролі, математикалық білімнің құндылығы, білім беруді гуманизациялау мен гуманитарландыру, математика пәнін түсіну және т.с.с. математикалық білім берудің деңгейін айқындайды.Математикалық дайындық деңгейі оқушылардың қажеттігіне қарай анықталуы керек, сондықтан жаратылыстану-математика бағытындағы, техникалық бағыттағы және т.с.с. мектептерде математиканың тереңдетіп оқытатын бағдарламасын пайдаланған тиімді, өйткені ондай бағытта оқыған оқушылардың көпшілігі техникалық ЖОО-ға барады. Сонымен қатар математиканы терең білу оқушылардың логикалық ойлау қабілеттерінің қалыптасуы мен дамуына да өте қажетті. Жаратылыстану-математикалық бағыттағы жоғары сыныптарда математиканы оқытуға интербелсенді әдістерді қолдану заман талабы, демек жаратылыстану-математикалық бағыттағы сынып оқушыларына интеграл тақырыбын интербелсенді әдістер көмегімен игерту өзекті екендігі айқын болып отыр.
Кешегі күннің оқу, білім алуға қойған талаптары бүгінгі күннің оқу үрдісіне қойып отырған талаптарына толық сәйкес келе бермейді. Қазіргі заманда оқушы, тыңдаушы өзіне керек қыруар көлемдегі білімді барынша қысқа мерзімде және барынша тез алуға ұмтылуда.

1 Қазақстан Республикасының жалпыға міндетті білім беру стандарты.
Жоғары білім.– Астана:КРБ жғм,2009.
2 Көбесов Математика тарихы.-АлматыҚазақ университеті,1993-240 б.
3 Рахымбек Д., Бейсеков Ж., Шарипова Т. Математиканы оқыту әдістемесі: Оқулық.— Шымкент: ОҚМУ, 2006.—314 б.
4 Рахымбек Д. Арифметика, алгебра және анализ бастамаларын оқыту әдiстемесi/Оқу құралы/ Рахымбек Д. – Шымкент: М.Әуезов атындағы ОҚМУ баспа орталығы, 2015. - 424б.
5 Әбілқасымова А., Көбесов А., Рахымбек Д., Кенеш Ә. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі. -Алматы: Білім, 1998.-204 б.
6 Бидосов Ә. Математиканы оқыту әдістемесі /Жалпы методикасы.- Алматы: Мектеп, 1989. – 224 б.
7 Огоносьян В.Г., Колягин Ю.М., Луканин Г.Л., Санинский В.Я.Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие..-М: Просвещение.1980-368с
8 Әбілқасымова А., Корчевский В.Е., Абдиев А.А., Жұмағұлова З.А.
Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық. Өнд. Толық 2 бас. Алматы: "Мектеп" 2011 ж.,216 б.
9 Әбiлқасымова А., Жұмағұлова З. Алгебра және анализ бастамалары.
Жалпы бiлiм беретiн мектептiң жаратылыстану-математикалық бағытындағы 11-сыныпқа арналған дидактикалық материалдар. – Алматы: Мектеп, 2007.-185б.
10 Әбілқасымова А., Шойынбеков К.Д., Жұмағұлова З.Ә. Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық. Өнд. 2-бас.Алматы: "Мектеп"
2011 ж.,160 б.
11 Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл.
средней школы. -М.: Просвещение, 1991. – 352 с.
12 Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса.
Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики /. -М.: Просвещение, 1992. – 288 с.
13 Алимов Ш.А, Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Алгебра и
начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк. -М.: Просвещение, 1994. -254 с.
14 Әшірбаев Н., Оразов И., Қаратаев Ж., Сұлтанбек Т.С. Математикалық талдау (анықталмаған және анықталған интегралдар). Оқу құралы . Шымкент: М. Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік университеті, 2008-210 б .
15Айдос Е.Ж., Балықбаев Т.О. Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған: Оқу құралы.— Алматы: ЖШС РПБК Дәуір, 2006.-464 бет.
16 Берман Г.Н. Сборник задачпо курсу математического анализа.М.: Наука,1977 г
17 Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука,2002 г
18 Бұлабаев Т., Матақаева Ғ. Математикалық талдау негіздері. Оқу құралы. – Алматы: Қайнар, 1996.-368 б
19 Досыбеков Қ. Математикалық талдау. –Шымкент, М. Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік университеті, 2007.-354 б
20 Жәутіков О.А. Математикалық анализ курсы.-Алматы : Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы, 1958.-784 б
21 Темірғалиев Н. Математикалық талдау, 1 бөлім. –А.: Мектеп, 1987,
288 б
22 Темірғалиев Н. Математикалық талдау, 2 бөлім. –А.: Ана-тілі, 1991, 400б
23 Көпеш Б., Әшірбаев Н.Қ. Жоғары математика курсының негіздері. Шымкент, ҚККА, 2005ж., 283б
24 Асқарова М. Туынды және интеграл. Алматы. Мектеп ,1987-120 б
25 Рустюмова И.П.,Рустюмова С.Т. Тренажер по математике для подготовки к единому национальному тестированию (ЕНТ) –Алматы,2011.-628б.
26 Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И., Элементарная математика: Учебник.— Москва: Наука, 1976.—591 с.
27 Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1993.-414с.
28 5В010900-«Математика» мамандығының ТОЖ (ҚР БҒМ №158 бұйрығы, 10.04.12. қосымша 09) және ҚР МЖМББС 5.04.019 – 2011 Бакалавриат.
29 math.semestr.ru/math/minmax.php‎
30 math.semestr.ru/math/minmax.php‎
31 www.mathelp.spb.ru/book1/extremum.htm
32 bugaga.net.ru/ege/math/ekstremum.html
33 mathprofi.ru/vozrastanie_ubyvanie_ekstremumy_funkcii.html

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 37 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
1-тарау Орта мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың
әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
1.1 Интегралдың шығу
тарихы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Алғашқы функция мен интегралды оқыту
әдiстемесi ... ... ... ... ..
2-тарау Орта мектепте интеграл ұғымын оқытудың теориялық 17
негіздері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .
2.1 Анықталмаған 17
интеграл ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
2.2 Қисықсызықты трапецияның 24
ауданы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы ... ... ... ... 26
2.4 Геометриялық және физикалық есептерде интегралды 29
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 36
... ... ... ... ... ... ... ... .. .
Пайдаланылған әдебиеттер 37
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Кіріспе

Жұмыстың өзектілігі: Қазақстандағы бiлiм беру реформаларының жалпы
мақсаты бiлiм беру жүйесiн жаңа әлеуметтiк-экономикалық ортаға бейiмдеу
болып табылады. Бiлiм беру жүйесiн жетiлдiру осы мақсатқа қол жеткiзуде
маңызды рөл атқарады.
Қазіргі кездегі қай мамандықтың иесі болсын, олардан тиісті
математикалық білім талап етіледі. Сондай-ақ, математикалық мәдениет жалпы
мәдениеттің қажетті бір бөлігі болуда.
Математиканың ғылым мен қоғамдағы орны мен ролі, математикалық білімнің
құндылығы, білім беруді гуманизациялау мен гуманитарландыру, математика
пәнін түсіну және т.с.с. математикалық білім берудің деңгейін
айқындайды.Математикалық дайындық деңгейі оқушылардың қажеттігіне қарай
анықталуы керек, сондықтан жаратылыстану-математика бағытындағы, техникалық
бағыттағы және т.с.с. мектептерде математиканың тереңдетіп оқытатын
бағдарламасын пайдаланған тиімді, өйткені ондай бағытта оқыған оқушылардың
көпшілігі техникалық ЖОО-ға барады. Сонымен қатар математиканы терең білу
оқушылардың логикалық ойлау қабілеттерінің қалыптасуы мен дамуына да өте
қажетті. Жаратылыстану-математикалық бағыттағы жоғары сыныптарда
математиканы оқытуға интербелсенді әдістерді қолдану заман талабы, демек
жаратылыстану-математикалық бағыттағы сынып оқушыларына интеграл тақырыбын
интербелсенді әдістер көмегімен игерту өзекті екендігі айқын болып отыр.
Кешегі күннің оқу, білім алуға қойған талаптары бүгінгі күннің оқу
үрдісіне қойып отырған талаптарына толық сәйкес келе бермейді. Қазіргі
заманда оқушы, тыңдаушы өзіне керек қыруар көлемдегі білімді барынша қысқа
мерзімде және барынша тез алуға ұмтылуда. Сондықтан да білімнің бүгінгі
ұраны Белсенді де қарқынды оқу болып отыр. Қарқынды білім алу оқытудың
интерактивті әдістемесі мен технологиясын қолдану арқылы жүргізіледі. Басты
ерекшелік – оқушы оқыту үрдісінің пассивті тыңдаушысы емес, белсенді
қатысушысы, керек, қажетті материалмен тікелей жұмыс істеуші. Ал басты
мақсаты оқушының ойлау, табу, шешу қабілеттерін дамыту болып табылатын
математика пәні үшін озық технологияның орны ерекше. Сондықтан да
матеметиканы оқыту әдістемесі жаңа әдіс, амалдармен толығуда.
Орта мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі
тақырыбындағы курстық жұмыстың мақсаты орта мектептерде интеграл тақырыбын
тереңдетіп оқытуға арналған оқулықтарға талдау жасау, мектеп математика
курсындағы интеграл тақырыбын терең меңгеру арқылы сол тақырыбты оқытуға
интербелсенді әдістерді қолдану жолдарын көрсету, математика сабағының
танымдық деңгейін көтеру, оқушылардың математика пәніне деген қызығушылығын
арттыру, математикалық білімдерін дамыту.
Курстық жұмысты орындау барысында мынадай негізгі міндеттер қойылды:
1 Интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытуға қатысты оқу және ғылыми-
әдістемелік әдебиеттерге талдау жасау;
2 Интеграл тақырыбын оқытудың теориялық негіздері;
3 Математиканы тереңдетіп оқытуда интеграл тақырыбын оқыту әдістемесін
сипаттау.
Курстық жұмыстың ғылыми жаңалығы – мектептерде интеграл тақырыбын
тереңдетіп оқытудың әртүрлі жолдарын анықтау.
Жұмыстың практикалық құндылығы – интеграл тақырыбы бойынша жинақталған
дидактикалық материалдарды, ұсынылған әдістерді орта мектептің 11-сынып
оқушыларына алгебра және анализ бастамалары курсын оқытуда қолдануға
болатындығында.
Ғылыми мәселенің қазіргі кездегі шешу жағдайында бағалауға тоқталар
болсақ , мектеп бағдарламасындағы алгебра және анализ бастамалары курсының,
ҰБТ-ды орта мектептерде Жоғары оқу орындарына түсуге арналған емтихан
сұрақтарында интегралға байланысты есептер жиі кездеседі. Осы мәселені шешу
жолында бұл жұмыстың берері мол деп ойлаймыз.
Зерттеу нысаны: 11 сыныпта алгебра және анализ бастамалары пәнін оқыту
үдерісі.
Курстық жұмыстың теориялық және методологиялық негіздеріне 11-сынып
оқушыларына интеграл тақырыбын оқытудың тиімді әдістерін қолдану теориясы
мен практикасын зерттей отырып, интеграл тақырыбын оқытуда интербелсенді
әдістерді қолданып оқытудың әдістемелік ұсыныстарын құрастыру жатады.

1-тарау Орта мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі
1.1 Интегралдың шығу тарихы

Туынды мен интегралды енгізудің әр түрлі тәсілдері көп жағдайларда
функцияның нүктедегі шегі ұғымына байланысты. Қазіргі кездегі математикада,
әдетте туынды ұғымына байланысты анықталады. Мұндай тәсіл 1968 жылғы
бағдарламаға сәйкес жазылғанын алгебра және анализ бастамалары
оқулықтарында қабылданған.
Бұл оқулықтардың әр түрлі басылымдарында функцияның нүктедегі шегінің
арифметикалық түрдегі ((-( тілінде немесе абсолют қателік ұғымы арқылы)
беріледі. 1981 және 1985 жылғы бағдарламалар функцияның нүктедегі шегін
арнаулы тақырып ретінде қарастырмайды, сөйтіп туынды және интеграл
ұғымдарын шек ұғымын айқын түрде қолданбай өтуге негізделген. Олар бұл
ұғымдардың шығуының тарихи жолын бейнелейді. Математикада алдымен туынды
және интеграл ұғымдарының тұжырымдалғаны, ал кейіннен бұл ұғымдарды
жалпылау нәтижесінде функцияның шегі ұғымының пайда болғаны белгілі. Туынды
мен интегралды оқытудың бұл тәсілін шартты түрде тарихи тәсіл деп
есептейік. Мектеп оқулықтарында туынды мен интеграл ұғымдарын мұндай
тәсілмен енгізу орта мектептегі туындыны оқытудың теориялық емес,
практикалық аспектілеріне баса назар аударуды сөздейді.
Мектеп оқулықтарында интеграл ұғымын енгізудің әртүрлі нұсқалары
тексеруден өтті. А.Н.Колмогоровтың оқу құралының алғашқы басылымдарында
интеграл Ньютон-Лейбництің формуласы арқылы (алғашқы функцияның өсімшесі
ретінде) анықталады. Ал кейінгі шыққан басылымдарында интегралды дәстүрлі
әдіспен интегралдық қосындының шегі ретінде анықтау қарастырылады.Бұл
тектес есептерді қарастыру, оларды шешудің жалпы әдістерін іздестіру
барысында, яғни шексіз аздар анализін жасау жолында Ньютон мен Лейбницке
дейін Кеплер, Галилей, Кавальери, Торичелли, Паскаль, Валлис, Роберваль,
Ферма, Декарт, Барроу және басқа көптеген айтулы оқымыстылар жемісті еңбек
етті. Міне, осылай математикалық анализдің элеметтерін, бастамаларын жасау
көп ғалымдардың жан-жақтьы творчестволық зерттей жұмысының нәтижесі болды.
Бұл авторлардың барлығының жетістіктерін қысқаша түрде болса да азды-көпті
мағлұмат беру бұл жерде мүмкін емес. Сондықтан да математикалық анализдің
алғы тарихын жасаушы кейбір математиктердің ғана еңбектеріне шолу жасаумен
шектелмекпіз.
Интегралдық есептеу әдістеріне өте жақын келетін актуальды шексіз аз
шамаларға тікелей амалдар қолдануға сүйенетін әдісті алғаш ұсынушы жоғарыла
аталған, ұлы неміс астрономы және математигі Кеплер (1571-1630) еді. Ол –
астрономиядағы әйгілі үш заңның авторы. Кеплер былай деді: Планеталардың
радиус-векторы тең уақыттың ішінде аудандары тең секторларлы сызады (екінші
заң) математикалық жолмен дәлелдеу үшін секторлар өте көп шексіз аз
бөлінбейтін сызықтардан тұрады. Интеграл ұғымының тарихы квадратураларды
табу есептерімен аса тығыз байланысты. Қандай да болмасын жазық фигураның
квадратурасы туралы есептер деп Ежелгі Греция мен Римнің математиктері
қазір өзіміз аудандарды есептеп шығаруға берілген есептерге жатқызып жүрген
есептерді айтқанды. Латын сөзі quadratura деген квадрат пішінге келтіру
деп аударылады. Ал осындай арнаулы термиңдерді қажеттігі өзімізге қазір
үйреншікті нақты сандар жайлы ұғымның сонау көне заманда кейініректе XVIII
ғасырға дейін жеткілікті дамытылғандығымен түсіңдіріледі. Математиктер
олардың геометриялық аналогтарына немесе скаляр шамаларға амалдар қолданып
келді, оларды көбейтуге болмайды. Сондықтан аудандарды табуға берілген
есептерді былайша тұжырымдауға тура келді, мысалы: "Берілген дөңгелекпен
тең шамалас квадратты салу керек". Мұндай "дөңгелектің квадратурасы туралы"
құнды есеп циркуль мен сызғыштың көмегімен шығарылмайтыны белгілі.
Мына символын Лейбниц 1675 жылы енгізген. Бұл белгі латынның S әрпінің
summa сөзінің бірінші әрпі өзгерген түрі. Интеграл деген сөздің
өзін Я. Бернулли 1690 жылы ойлап шығарған. Шамасы оның шығу латынның
integro сөзіне саятын болар, оның мағынасы: бұрынгы қалпына түсіру, орнына
келтіру. Шынында да, интеграл астындағы функция қайсыбір функцияны
дифференциалдау арқылы, шығарып алынатын интегралдау амалы сол функцияны
қалпына келтіреді. Интеграл терминінің шығу тегі өзге болуы да мүмкін:
integer деген сөз бүтін дегенді білдіреді.
И. Бернулли мен Г. Лейбниц хат-хабар алыса жүріп, Я. Бернуллидің
ұсынысымен келіскен болатын. Сол 1696 жылы-ақ математиканың жаңа тармағының
атауы—интегралдық есептеу (calculus integralis) пайда болды, мұны И.
Бернулли енгізді.
Интегралдық есептеуге қатысты өздерің білетін басқа терминдер біршама
кейін пайда болды. Қазір қолданылып жүрген алғашқы функция атауы көп
ертеректе қарапайым функция дегеннің орнын басты, мұны енгізген Лагранж
1797 жылы. Латын сөзі primitivus "бастапқы" деп аударылды: үшін
бастапқы немесе ең бастапқы, немесе алғашқы, ті дифференциалдаудан
шығады.
Қазіргі әдебиетте функциясы үшін барлық алғашқы функциялардың
жиыны да анықталмаган интеграл деп аталады. Бұл ұғымды айырып көрсеткен
Лейбниц еді, ол барлық алғашқы функциялардың бір-бірінен айырмашылығы
қалауымызша алынатын тұрақты сан екенін аңғарған болатын. Ал
анықталган интеграл деп аталады белгілеулерді енгізген К. Фурье (1768—
1830), бірақ интегралдау шектерін Эйлер керсеткен.
Ескі грек математиктерінің жазық фигуралардың квадратурасын табу яғни
аудандарды есептеу, сондай-ақ денелердің кубатурасын табу көлемдерді
есептеу есептерін шығарғаңдағы тауысу әдісімен байланысты, мұны ұсынған
Книдтық Евдокс (б.д.д. 408—355 шамасы). Осы тәсілдің көмегімен Евдокс,
мысалы, екі дөңгелектің аудандарының қатынасы олардың диаметрлері
квадраттарының қатысындай, ал конустың көлемі табаны мен биіктігі дәл
сондай болатын цилиндр көлемінің не тең екенін дәлелдеген.
Евдокс әдісін жетілдірген Архимед болды. Мынадай модификация сіздерге
таныс: геометрия курсында ұсынылып жүрген дөңгелек ауданының формуласы
Архимед идеясына негізделіп қорытылған. Архимед тәсілін сипаттайтын негізгі
кезеңдерді еске салып өтейік.
1) дөңгелектің ауданы оны сырттай сызылған дұрыс көпбұрыштың ауданынан
кіші, ал іштей сызылғандыкінің қай-қайсысынан да үлкен;
2) қабырғалар санын шектеусіз екі еселейтін болсақ, ол көпбұрыштардың
аудаңдарының айырмасы нөлге ұмтылады;
3) дөңгелектің ауданын есептеп шығару үшін дұрыс көпбұрыштардың
қабырғаларының санын шектеусіз екі еселегенде олардың аудаңдарының қатынасы
ұмтылатын мәнді табу керек.
Интегралдық есептеу жөнінен көптеген идеяларды Архимед болжап білген.
Бұған косарымыз, шектер туралы алғашқы теоремаларды дәлелдеген де
Архимедтің өзі. Ал бұл идеяларды айқын өрнектеп және есептеу дәрежесіне
дейін жеткізу үшін бір жарым мың жылдан аса уақыт қажет болыпты.
Көптеген жаңа нәтижелерге кол жеткізген XVII ғасыр математиктері Архимед
еңбектерінен білім алған. Тағы да бір бөлінбейтіндер тәсілі делінетін тәсіл
де батыл қолданылып келді, бұл да сол Ежелгі Грецияда дүниеге келген
болатын ол алдымен Демокриттің атомдық көзкарастарымен байланысты. Мысалы,
қисықсызықты трапецияны олар ұзындығы ке тең вертикаль кесіңділерден
тұрады деп түсінген және солай дегенмен, ол кесінділерге шектеусіз аз шама
ке тең ауданды балаған. Істің мәнісін осылай ұғынғанда ізделетін аудан
саны шектеусіз көп болып келген мейлінше аз аудандардың мынадай қосыңдысына
тең болады деп есептеледі:

Айталық, фигураның ауданын табу керек болсын, бұл фигураны жоғарыдан
және төменнен шектеп тұрған қисықтардың теңдеулері мынадай: және

Кавальери термиңдерін қолдансақ, мейлінше жіңішке, яғни бөлінбейтіндей
бағаншалардан құралған фигураны көз алдымызға елестете отырып, олардың
барлығының ортақ ұзындығы с болатынын байқаймыз. Оларды біз вертикаль
бағытта жылжытып, олардан табанының ұзындығы , биіктігі с-ға тең тік
төртбұрыш құрастыра аламыз. Сондықтан ізделген аудан осы табылған тік
төртбұрыштың ауданына тең, яғни
Кавальеридің жалпы принципі жазық фигуралардың аудаңдары үшін былай
тұжырымдалады. Айталық, қандай да бір параллельдер шогының түзулері
мен фигураларын ұзындықтары бірдей кесінділер бойымен қиятын болсын.
Сонда мен фигураларының аудандары тең болады.Осыған ұқсас
принцип стереометрияда қолданылады және көлемдерді тапқанда пайдасы жоқ
емес.
XVII ғасырда интегралдық есептеулерге қатысты көптеген жаңалықтар
ашылған болатын. Мәселен, П. Ферма сол 1629 жылы кез келген қисықтың
, n — бүтін сан, квадратурасын шешкен болатын, яғни негізінен
формуласын қорытып шығарады және осының нәтижесінде ауырлық центрлерін табу
есептерінің бірқатарьга шығарғанды. И. Кеплер өзінің әйгілі планеталар
қозғалысының заңдарын қорытып шығарғанда шындығында жуықтап интегралдау
идеясына сүйенген болатын. И. Барроу (1630—1677), Ньютонның ұстазы,
интегралдау мен дифференциалдаудың арасындағы байланысты түсінуге аса жақын
келген. Функцияларды дәрежелік қатарлар түрінде жазып көрсету жөніндегі
еңбектерінің маңызы аса зор.
Алайда XVII ғасырда өмір сүрген ойшыл математиктердің көпшілігінің аса
құнды нәтижелерге қолы жеткенмен, есептеудің өзі әлі де табыла қойған
жоқты. Көптеген дербес есептердің шешімі негізделетін жалпылама идеяларды,
сондай-ақ дифференциялдау мен интегралдау амалдарының арасындағы
байланыстарды (бұл біршама жалпылама алгоритмді көрсетеді) тағайындау қажет
болды. Мұны орыңдаған Ньютон мен Лейбниц еді, мұны олар бір-біріне тәуелсіз
өз беттерімен ашқан болатын, ол заң Ньютон— Лейбниц формуласы деп аталып
жүр. Сонымен, ақтығында жалпы әдіс тұжырымдалды. Ендігі
орыңдалатын—көптеген функциялардың алғашқы функцияларын табуды үйреніп,
жаңаша есептеудің логикалық негіздемесін, т. б. бере білуді үйрену еді, ең
негізгісі орындалды да: дифференциалдық және интегралдық есептеу құрылды.
Келесі ғасырда математикалық анализ әдісі аса қарқынды дамыды
(элементар функцияларды интегралдауды жүйелі зерттеген Л. Эйлерді алдымен
атау дұрыс, бұдан кейін И. Бернуллидің есімі аталады). Интегралдық
есептеуді дамыту барысында еңбектерімен үлес қосқан орыс математиктері М.
В. Остроградский (1801—1862), В. Я. Буняковский (1804—1889) П. Л. Чебышев
(1821—1894). Ал Чебышевтың элементар функциялар арқылы өрнектелмейтін
интегралдардың да бар екенін дәлелдейтін еңбектерінің маңызы ерекше.
Интегралдық есептеу әдістеріне өте жақын келетін актуальды шексіз аз
шамаларға тікелей амалдар қолдануға сүйенетін әдісті алғаш ұсынушы жоғарыла
аталған, ұлы неміс астрономы және математигі Кеплер (1571-1630) еді. Ол –
астрономиядағы әйгілі үш заңның авторы. Кеплер былай деді: Планеталардың
радиус-векторы тең уақыттың ішінде аудандары тең секторларлы сызады (екінші
заң) математикалық жолмен дәлелдеу үшін секторлар өте көп шексіз аз
бөлінбейтін сызықтардан тұрады.
Тарихи жағынан алғанда интегралдық есептеме дифференциалдық есептемеден
бұрын шыққан. Алдымен анықталған интеграл ұғымы туған. Архимедтің тауысу
тәсілі анықталған интегралдардың ежелгі замандағы көршісі болып табылады.
Бұл әдістің негізінде ежелгі грек философтарының атомистік көзқарастары
жатыр.
Алайда Сиракузы ғалымының тамаша еңбектері өз заманында құлашын жайып,
кең өріске шыға алмаған оның ілімі өзімен бірге өшкен. Ғасырлар тозаңы
басып мүлде ұмыт болған интеграл өмірге тек 2 000 жылдан кейін ғана қайтып
оралды. Жаңа заманның ғалымдары алтынның шыққан жерін белден қазып,
Архимедтің ізіне түсті. Кеплер еңбектеріндегі ұсақ секторлардың
ауданшалары, Кавальеридің бөлінбейтіндері, Ферма мен Паскальдың ұсақ
төртбұрыштары т.с.с. анықталған интегралдардың элементтері болатын. Кеплер,
Кавальери, Ферма т. б. интегралдың негізінде жататын идеяларға сүиеніп, әз
заманындағы күрделі есептердін бірсыпырасын шешті. Осы есептерді шешуде
қолданылған әдістері жалпылап, Ньютон мен Лейбниц интегралдық есептермені
қалыптастырады. Анализдің кең арналы ғылымға айналуына ағайынды Бернуллилар
мен Эйлер зор қосты. Эйлердің заманы математикалық анализдің алтын
ғасыры болды.
XIX ғасырда бүкіл математиканың, соның ішінде интегралдық есептеменің
де, дамуы негізінен алғанда екі бағытта болды. Олардың бірі қорғанған
материалды екшеу, маңыздыларын мардымсыздарынан айыру, анализдің логикалық
ірге тасын нығайту мәселелерімен байланысты. Екінші бағыттағылар табиғатты
зерттеу мен техниканы өркендетуде математикалық анализдің алып күшін
қолданумен шұғылданды. Көптеген ғалымдар осы бағытта еңбек етті. Бұл жайды
орыстың ұлы математигі П.Л.Чебышев (1821-1894) былай әсерлеп сипаттады:
Математика екі дәуірді басынан кешірді. Есептерді біріншісінде құдайлар
(кубты екі еселеу жөніндегі делос есебі), екіншісінде жартылай құдайлар
(Паскаль, Ферма) беріп отырды. Біз есептерді мұқтаждық - практикалық
қажеттілік беріп отыратын үшінші дәуірге кірдік. Эйлерден кейін ұзақ уақыт
бойы Батыс елдердің математиктері интегралдар жөнінде құнды жаңа пікірлер
айта алмады. Европа математиктері: Эйлер жүріп өткен жолдан ешқандай
жаңалық табылмайды, мәселенің бәрін ол кейінгілерге қалдырмай, өзі сарқа
шешіп кетті деп ойлайтын болды. Сол кезде маңдайы тұйыққа тіреліп, дамуы
тоқырап қалған интегралдар теориясын өлі нүктеден шығарып, ілгері
бастырған, жаңа пікірлер мен идеялар енгізген ғылым батырлары — орыс
математиктері Остроградский мен Чебышев болды. Лобачевский өзі ашқан
геометрияның заңдарына сүйеніп бірнеше күрделі интегралды есептеп шырарды.
Лейбниц-Ньютон формуласының мазмұнын былай айтуға болады:
Егер [а, b] сегментінде интегралданатын f(х) функциясының әуелгі
фуңкциясы Ғ(х) болса, онда f(х) функциясының а-дан b-ге дейінгі анықталған
интегралы әуелгі функцияның х = b болғандағы мәні мен х = а болғандағы
мәнінің айырмасындай болады (Лейбниц-Ньютон теоремасы).Лейбниц-Ньютон
теоремасы интегралдық есептеменің негізгі арқауы болып табылады.
Біріншіден, ол интегралдардың әрқилы тәсілдермен шешілетін алуан түрлі
есептерін бір ізге түсіріп, бір ғана заңға бағындырады. Екіншіден,
интегралдық қосындының шегін табудағы ұшы-қиыры жоқ шектеусіз процесті екі-
ақ санды есептеуге әкеліп тірейді. Үшіншіден, ол шек, туынды, анықталған
интеграл, анықталмаған интеграл ұғымдарын өз ара байланыстырады. Осының
арқасында математиканы табиғат пен техниканың күрделі есептерін шешу үшін
кең түрде қолдану мүмкіндіктері туды. Лейбниц-Ньютон теоремасының
тағайындалуы дәл ғылымдардың даму тарихында, демек бүкіл адамзат тарихында,
үлкен белес болды. Ғылымдар тарихында бұл ұлы теорема Ньютонның бүкіл
әлемдік тартылыс заңымен, Менделеевтің периодтылық заңымен, Эйнштейн ашқан
материя мен энергияныц сақталу заңымен қатар орын алады [1], [2].

1.2 Алғашқы функция мен интегралды оқыту әдiстемесi

Алғашқы функцияны оқытудың әдiстемелiк схемасы мынадай:
1)өзара керi амалдарға мысалдар қарастыру;
2)интегралды дифференциалдау амалына керi амал ретiнде енгiзу, ал
алғашқы функцияны интегралдау амалының нәтижесi деп қарастыру;
3) мынадай типтi жаттығуларды орындау: “Берiлген функциясының
басқа бiр берiлген функциясының алғашқы функциясы екенiн көрсету”,
“Берiлген функциясы үшiн алғашқы функцияны табу туралы есептер
шығару;
4) алғашқы функцияның негiзгi қасиеттерiмен оқушыларды таныстыру;
5) алғашқы функциялардың кестесiн түзу;
6) оқушыларды алғашқы функцияларды табу ережесiмен таныстыру;
7) алғашқы функцияны қолданып есептер шығару.
Алғашқы функция ұғымын енгiзу үшiн оқушыларға бұрыннан таныс өзара керi
амалдарға мысалдар қарастырылады. Қосу амалы, берiлген екi сан бойынша
олардың қосындысы болатын үшiншi санды табуға мүмкiндiк бередi: 2+3=5. Егер
қосылғыш пен қосынды белгiлi болып, екiншi қосылғыш белгiсiз болса, онда
екiншi қосылғышты табуға болады: 5-2=3; ол үшiн азайту амалын орындау
жеткiлiктi. Сонымен азайту амалы қосу амалына керi амал болып табылады. Бұл
қарастырылған мысалда керi амал бiр нәтижеге келтiредi. Бұл барлық уақытта
бiрдей орындала бермейдi.
Мысалы, 3 саны квадрат дәрежеге шығарсақ 9 болады. Айталық, ендi 9 саны
қандай да бiр х санының квадраты екендiгi белгiлi болсын: x2=9. Сонда х
неге тең болады? Бұл сұраққа жауап беру үшiн керi амал, квадрат түбiр табу
амалын орындайды. Алайда 9 санының квадрат түбiрiнiң екi мәнi бар: 3 және
-3.
Бiз ойымызды дифференциалдау амалына байланысты жалғастырайық.
функциясын дифференциалдау жаңа функция -ке әкелдi, бұл
функциясының туындысы болып табылады. Айталық, ендi қандай да бiр
функциясының туындысы -на тең болсын: . функциясын табу
қажет. Берiлген функциясын табу амалы интегралдау деп аталады.
Интегралдау арқылы мынандай нәтижелердi алуға болады: ; ; ;
функциялары функциясы үшiн алғашқы функция деп аталады.
Сонымен, интегралдау дифференциалдау амалына керi амал болып табылады;
интегралдау амалының нәтижесi алғашқы функция деп аталады. Бұдан кейiн
алғашқы функцияның анықтамасы берiледi.
Анықтама Егер берiлген аралықтағы барлық х үшiн болса, онда сол
аралықта F функциясын f функциясы үшiн алғашқы функция деп атайды.
Жоғарыдағы мысалда келтiргендей берiлген бiр функциясы үшiн шексiз
көп алғашқы функцияны көрсетуге болады.
Барлық тақырыпты оқытудың iшiндегi қисық сызықты трапецияның ауданын
табу туралы теорема ең негiзгi болып табылады. “Айталық f функциясы
кесiндiсiнде үздiксiз және терiс емес функция да, ал S - қисық сызықты
трапецияның ауданы болсын (1-сурет).

Егер F функциясы f функциясының кесiндiсiндегi алғашқы функциясы
болса, онда болады”.
Теореманы қысқаша түрде жазайық.
Берiлгенi: f функциясы кесiндiсiнде үздiксiз және терiс емес
функция. S - қисық сызықты трапецияның ауданы; F функциясы f функциясының
алғашқы функциясы.
Дәлелдеу керек: .
Бұл теореманың құндылығы мынада: ол арқылы алғашқы функция ұғымының
геометриялық иллюстрациясы берiледi, кейiннен ол арқылы Ньютон-Лейбниц
теоремасы дәлелденiледi.
Берiлген теореманың дәлелдемесiн оқыту кезiнде дайындық есептерiн енгiзу
әдiсiн қолданамыз. Ол үшiн мынадай бiлiм негiздерiне сүйену қажет.
1.Аргументтiң өсiмшесi, функциясының өсiмшесi. Бұл ұғымдар берiлген
дәлелдемеде нақтылы жағдайда қолданылады: функциясы мен және
өсiмшесi геометриялық түрде берiлдi. Аргумент пен функцияның
өсiмшелерiн мұндай геометриялық түрде интерпретациялау (кескiндеу) оқушылар
үшiн күтпеген жаңалық болып табылады. Сондықтан дәлелдеменiң алдында
мынадай тапсырма берген пайдалы: “70-суретте қисық сызықты трапецияның
ауданы х-тiң функциясы ретiнде берiлген. Осы суреттен , ,
мәндерiн көрсетiңдер”.
2. Туындының анықтамасы. Дәлелдемеде бұл анықтаманы функциясына
қолдану қажет. Егер оқушыларға алдын-ала мынадай тапсырма беретiн болсақ,
онда теореманы дәлелдеу кезiндегi кездесетiн қиыншылықтар жойылады.
“Туындының анықтамасын функциясы үшiн жазыңдар”. Нәтижеде мынадай
жазу шығады: .
3. Нүктедегi функцияның үздiксiздiгi ұғымы. Бұл ұғымды да теореманы
дәлелдеу кезiнде кездесетiн жағдайға байланысты қолдану қажет. Мынадай
тапсырманы келтiрейiн: “Айталық, f(x) функциясы х нүктесiнде үздiксiз
функция болсын (1-сурет). Абсцисса өсiнен x, x+(x нүктелерiн және олардың
арасында жатқан с нүктесiн белгiлейiк. Сонда (x(0, f(c) неге ұмтылады?
Графикке сүйенiп, жауабын жазамыз: егер (x(0, онда с(x, ал f(c)(f(x).
4. Табаны (x болатын қисық сызықты трапецияның ауданын табаны сондай (x
болатын, ал биiктiгi [x, x+(x] кесiндiсiнде жатқан қандай да бiр с
нүктесiндегi функцияның мәнi f(c)-ға тең болатын тiк төртбұрыштың ауданына
тең болатындығы туралы тұжырым. Мұндай с нүктесiнiң табылатындығы осы жерде
тұжырымдалады. Оқушылар бұл дерекпен теореманы дәлелдеу алдында, 1-суреттi
көрсете отырып, таныстырылады. Осыған байланысты бiрнеше түрлi мынадый
тапсырмалар беруге болады: “Суретте табаны (x болатын қисық сызықты
трапеция берiлген. Табаны сондай (x-ке тең, ал ауданы қисық сызықты
трапецияның ауданына тең болатын тiк төртбұрышты салыңдар”. Тапсырма
“көзбен” қол арқылы орындалады, қарастырылып жатқан деректi интуициялық
жолмен көрнекi-геометриялық деңгейде түсiну көзделедi.
5. Алғашқы функцияның анықтамасы. Дәлелдемеде бұл анықтама жалпы
белгiлеулер арқылы қолданылады. Дәлелдеу алдында оқушылар бұл белгiлеулерге
үйренгенi абзал (пайдалы). Ол үшiн мынадай тапсырма ұсынылады: “Айталық,
S(х) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы болсын. Бұл ненi
бiлдiретiнiн түсiндiрiңдер. Айталық S(х) функциясы f(х) функциясының
алғашқы функцияларының бiрi болсын. f(х) функциясы үшiн алғашқы функцияның
жалпы түрiн жазып көрсетiңдер”.
Көрсетiлген дайындық есептерiн шығарып болған соң, теореманың
дәлелдемесiн баяндауға (көрсетуге) кiрiсуге болады.
Теореманың дәлелдемесiн үш бөлiкке бөлген тиiмдi.
I. S(х) функциясын енгiземiз. кесiндiсiнде анықталған х
аргументiне байланысты қисық сызықты трапецияның ауданын өрнектейтiн S(х)
функциясын қарастырайық. х аргументiне болатындай етiп, (x өсiмшесiн
берейiк. Сонда S(х) функциясының х нүктесiндегi өсiмшесi болады ((x
–тi оң таңбалы деп қарастырамыз).
II. f(х) функциясы үшiн алғашқы функция S(х) болатынын көрсетейiк:
барлық үшiн . Туындының анықтамасына сәйкес: . (S(х) –
табаны (х –ке тең болатын қисық сызықты трапецияның ауданы болатындықтан,
оны табаны (х-ке тең болатын, ал биiктiгi нүктесiндегi функцияның
мәнi f(с)-ға тең болатын тiктөртбұрыштың ауданымен алмастыруға болады:
. Сонда
.
Мұнда с нүктесi х пен х+(х аралығында жатқан нүкте болғандықтан, -
да, , ал , сондықтан . Бұл айтылған пайымдауларды бiр ғана
қатар түрiнде былайша жазуға болады:
.
Сөйтiп, .
III. Нәтиженi қорытындылайық. Бiз S(х) функциясының кесiндiсiнде
f(x) функциясы үшiн алғашқы функция болатындығын дәлелдедiк. Ал есептiң
шарты бойынша F(x) осы кесiндiсiндегi f(x) функциясы үшiн де алғашқы
функция болып табылады. Демек, S(х) пен F(x) функцияларының бiр-бiрiнен
айырмашылығы тек тұрақты шама С–да ғана болады:
.
болғанда мынадай түрге келедi: , бұдан .
болғанда мына түрде жазылады:
.
Сонымен, .
Интеграл ұғымын енгiзу ең негiзгi қадам болып табылады. Интеграл ұғымын
енгiзудiң бiр әдiстемелiк схемасы мынадай:
1) лайықты есептер келтiру;
2) интегралдың анықтамасын тұжырымдау.
Интеграл ұғымын оған келтiретiн дайындық есептерiн қарастырудан бастаған
тиiмдi.
1-есеп кесiндiсiнде үздiксiз және терiс емес функциясы
берiлciн. Алғашқы функция ұғымына байланыссыз осы функциямен x=a және x=b
түзулерiмен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданы S-тi табудың жаңа
тәсiлiн көрсетiңдер.
Берiлген есептi шешудi екi кезеңге бөлуге болады.
1.Сатылы фигураны құрып, оның ауданын есептеу. Ол үшiн кесiндiсiн
теңдей етiп n бөлiкке бөлемiз. Айталық (х – осындай кесiндiнiң әрбiреуiнiң
ұзындығы болсын. Бөлу нүктелерiн , мұндағы деп белгiлеймiз.
кесiндiсiн табаны етiп, биiктiгi f(x1) болатын, ал кесiндiсiнде
– биiктiгi f(x2) болатын тiктөртбұрыш саламыз. Дәл осы сияқты қалған
кесiндiлерде де тiктөртбұрыштар саламыз. Сонда бұл тiктөртбұрыштардың
барлығы бiрiгiп, “сатылы” фигураны құрады және оның ауданы мынаған тең
болады:
.
2.Қисық сызықты трапецияның ауданы S-тi Sn арқылы өрнектеу. Ендi
кесiндiсiн өте “ұсақ” бөлiктерге бөлудi қарастырайық. Ол үшiн жоғарыдағы
тәсiлмен сатылы фигура құрамыз. Сондағы шыққан суреттердi салыстыру арқылы
(х неғұрлым аз болған сайын, яғни n үлкен болған сайын, Sn шамасы S–тен
соғұрлым аз өзгеретiнiн көремiз. Сондықтан қисық сызықты трапецияның ауданы
Sn-нiң шегi деп қарастыруға болады. Математикада бҮл деректiң шынында
да орындалатындығы дәлелденедi. Сонымен, .
Шешiмi осындай қосындының шегiн табуға келiп тiрелетiн тағы бiр
есептi қарастырамыз.
2-есеп Айталық, материалдық нүкте кесiндiсiнде түзу сызықпен
белгiлi бiр ( кесiндiсiндегi үздiксiз функция) лездiк
жылдамдықпен қозғалсын. Осы материалдық нүктенiң Т1 мен Т2 уақыт
аралығындағы жүрген жолын табу қажет болсын.
Қарапайым жағдайда, лездiк жылдамдық тұрақты шама болғанда, дененiң
жүрген жолы оның жылдамдығы мен уақытының көбейтiндiсiне тең болады. Жалпы
жағдайда, лездiк жылдамдық тұрақты болмаған кезде, бұл есептi былайша
шешедi.
1. кесiндiсiн бөлу нүктелерi арқылы ұзындықтары бiрдей
болатын n бөлiкке (кесiндiге) бөлемiз. Содан кейiн қосындысын
құрамыз.
2. S жолын Sn арқылы өрнектеймiз: Sn-дегi әрбiр қосылғыш дененiң сәйкес
уақыты аралығында жүрген жолын жуық шамада көрсетедi.
Бұл жуықтаудың нәтижесi (t неғұрлым аз, яғни, n бөлiк неғұрлым үлкен
болған сайын, соғұрлым дәлiрек болатындығы айқын. Сондықтан, дененiң
уақыт аралығында жүрген жолы шегi арқылы анықталады.
Осы екi есептi шешудiң нәтижелерiн ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.