Бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып үйрету әдістемесі
Кіріспе
1.тарау Теңдеулер мен теңсіздіктер шешудің теориялық негіздері..
1.1Теңдеулердің жалпы теориясы.
1.2 Теңдеулерді шешу тәсілдері.
1.3 Теңсіздіктердің жалпы теориясы.
1.4 Теңсіздіктерді шешу тәсілдері.
2.тарау Бөлшек.рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету әдістемесі ... .
2.1 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесі.
2.2 Бөлшек.рационал теңдеулерді шешуге берілген есептерді шығару.
2.3 Бөлшек.рационал теңсіздіктерді шешуге берілген есептерді шығару ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылғанәдебиеттер тізімі...
1.тарау Теңдеулер мен теңсіздіктер шешудің теориялық негіздері..
1.1Теңдеулердің жалпы теориясы.
1.2 Теңдеулерді шешу тәсілдері.
1.3 Теңсіздіктердің жалпы теориясы.
1.4 Теңсіздіктерді шешу тәсілдері.
2.тарау Бөлшек.рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету әдістемесі ... .
2.1 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесі.
2.2 Бөлшек.рационал теңдеулерді шешуге берілген есептерді шығару.
2.3 Бөлшек.рационал теңсіздіктерді шешуге берілген есептерді шығару ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылғанәдебиеттер тізімі...
Қоғамымыздың қазіргі даму қарқыны елімізде барлық салада түбегейлі өзгерістер енгізуді қажет етеді, ал бұл өзгерістерді енгізу мамандардың кәсіби даярлығының сапасының жоғары болуын талап етуде.
Педагогикалық ғылымның басты міндеті - студенттерді кәсіби даярлау жүйесін жасау, оны жетілдіру құралдарын негіздеу.
Жоғары оқу орнында мұғалімді кәсіби даярлау жүйесі қоғамдық-саяси, арнайы, психологиялық-педагогикалық және әдістемелік дайындығын қамтиды.
«Мұғалім - әртүрлі типтегі жалпы білім беретін мектептерде оқушылармен оқу және тәрбие жұмысын жүргізетін маман».Мұғалім оқушыларды оқыту сапасына, олардың білім және тәрбие деңгейіне жауапты екендігі белгілі. Мұғалімнің жұмысы оның жеке тұлғасының негізгі сапаларының кәсіби іс-әрекетінің сипатына сай келген жағдайда ғана табысты болады. Мұғалім мектеп оқушысының негізгі құзырлылығын қалыптастыруға бағытталған оқу-тәрбие іс-әрекеттерін орындайды.
Қазақстан Республикасының 12 жылдық білім беру жүйесі бойынша құжаттарда білім беру саясатының басым бағыттарының бірі ретінде қоғам мен мемлекет, жеке тұлғаның болашақтағы қажеттіліктеріне білім берудің барлық компоненттерін сәйкестендіру және заманауи білім сапасымен қамтамасыз ету керек екендігі көрсетілген.
Мектеп математика курсында оқушылар үшін игерілуі қиын тақырыптардың бірі – бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер және оларды шешу. Бұл тақырыпты мұғалім жетік біліп қана қоймай, оқушыларға түсінікті, жүйелі тапсырмалар ретімен ұсынуы керек.
Осы мақсатта курстық жұмыста орта мектепте өтілетін бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер жан-жақты қарастырып, оны бір жүйеге келтіру мәселесін, әсіресе теориялық материалды толық меңгере отырып, берік практикалық дағды қалыптастыру мәселелерін қарастырдық.
Бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер теориясы оқушылардың ойлау қабілетін дамыта алатындай өз алдына ғылыми – педагогикалық маңызы бар орта мектептегі негізгі оқу материалы болып есептеледі. Ол оқушыларды айқын және дұрыс ойлауға, шамаларды салыстыра білуге дағдыландырады.
Педагогикалық ғылымның басты міндеті - студенттерді кәсіби даярлау жүйесін жасау, оны жетілдіру құралдарын негіздеу.
Жоғары оқу орнында мұғалімді кәсіби даярлау жүйесі қоғамдық-саяси, арнайы, психологиялық-педагогикалық және әдістемелік дайындығын қамтиды.
«Мұғалім - әртүрлі типтегі жалпы білім беретін мектептерде оқушылармен оқу және тәрбие жұмысын жүргізетін маман».Мұғалім оқушыларды оқыту сапасына, олардың білім және тәрбие деңгейіне жауапты екендігі белгілі. Мұғалімнің жұмысы оның жеке тұлғасының негізгі сапаларының кәсіби іс-әрекетінің сипатына сай келген жағдайда ғана табысты болады. Мұғалім мектеп оқушысының негізгі құзырлылығын қалыптастыруға бағытталған оқу-тәрбие іс-әрекеттерін орындайды.
Қазақстан Республикасының 12 жылдық білім беру жүйесі бойынша құжаттарда білім беру саясатының басым бағыттарының бірі ретінде қоғам мен мемлекет, жеке тұлғаның болашақтағы қажеттіліктеріне білім берудің барлық компоненттерін сәйкестендіру және заманауи білім сапасымен қамтамасыз ету керек екендігі көрсетілген.
Мектеп математика курсында оқушылар үшін игерілуі қиын тақырыптардың бірі – бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер және оларды шешу. Бұл тақырыпты мұғалім жетік біліп қана қоймай, оқушыларға түсінікті, жүйелі тапсырмалар ретімен ұсынуы керек.
Осы мақсатта курстық жұмыста орта мектепте өтілетін бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер жан-жақты қарастырып, оны бір жүйеге келтіру мәселесін, әсіресе теориялық материалды толық меңгере отырып, берік практикалық дағды қалыптастыру мәселелерін қарастырдық.
Бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер теориясы оқушылардың ойлау қабілетін дамыта алатындай өз алдына ғылыми – педагогикалық маңызы бар орта мектептегі негізгі оқу материалы болып есептеледі. Ол оқушыларды айқын және дұрыс ойлауға, шамаларды салыстыра білуге дағдыландырады.
1 Қазақстан Республикасының жалпыға міндетті білім беру стандарты.
Жоғары білім.– Астана:КРБ жғм,2009.
2 Алдамұратова Т., Байшоланов Е.Математика: Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық. 1 бөлім.Алматы: Атамұра 2015 ж.,
208 б.
3 Алдамұратова Т., Байшоланов Е.Математика: Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық. 2 бөлім.Алматы: Атамұра 2015 ж.,
176 б.
4 Рахымбек .Д., Дуйсебаева П.С., Бекмолдаева Р.Б. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу.Оқу құралы. -Шымкент: М.Әуезов атындағы ОҚМУ , 2014,-320 б.
5 Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Задачник—практикум по математике. Алгебра. Тригонометрия: Для поступающих в вузы —М.: ООО «Издательский дом «Оникс 21 век»:ООО «Издательство «Мир и образование», 2005.-464с.
6 Бекмолдаева Р.Б., Аширбаев Н.К., Дуйсебаева П.С. Математикалық есептерді шығару практикумы.Оқу құралы.-Шымкент: Нұрлы Бейне,2013,-314б.
7 Рахымбек Д. Арифметика, алгебра және анализ бастамаларын оқыту әдiстемесi/Оқу құралы/ Рахымбек Д. – Шымкент: М.Әуезов атындағы ОҚМУ баспа орталығы, 2015. - 424б.
8 Рахымбек Д., Бейсеков Ж., Шарипова Т. Математиканы оқыту әдістемесі: Оқулық.— Шымкент: ОҚМУ, 2006.—314 б.
9 Асқарова М., Теңдеулер, теңсіздіктер және олардың системалары:
−Алматы: «Рауан» баспасы, 1992.−55-60бет.
10 Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1987.-432с.
11 Олехник С.Н., Попапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнение и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник. М.: Изд-во Факториал, 1997. - 219с
12 Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И., Элементарная математика: Учебник.— Москва: Наука, 1976.—591 с.
13 Куланин Е.Д. и др.3000 конкурсных задач по математике. М.: Айрис-пресс, 2007.-624б.
14 Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.-М.: Просвещение, 1992. – 335 с.
15 Рустюмова И.П.,Рустюмова С.Т. Тренажер по математике для подготовки к единому национальному тестированию (ЕНТ) –Алматы,2011.-628б.
16 Әбілқасымова А.Е., Жұмағұлова З.А., Шойынбеков К.Д., Корчевский В.Е.Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 10-сыныбына арналған оқулық
Алматы: мектеп,2014 ж.,184 б.
17 Айдос Е.Ж., Балықбаев Т.О. Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған: Оқу құралы.— Алматы: ЖШС РПБК Дәуір, 2006.-464 бет
18 Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1993.-414с.
19 Азаров А.Н., Барбенов С.А.Математика для старшеклассников: Методы решения алгебраич уравнений, неравенств и систем: Пособие для учащихся ужреждений, обеспечивающих получение общие средство образования. −мн: Аверсов, 2004.−448с.
20 Алдамұратова Т., Байшоланов Т.С., Байшоланов Е.С. Математика: Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныбына арналған оқулық. 1 бөлім. Алматы: Атамұра 2015 ж.,208 б.
21 Алдамұратова Т., Байшоланов Т.С., Байшоланов Е.С. Математика: Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныбына арналған оқулық. 2 бөлім.Алматы: Атамұра.2015 ж.,224 бет.
22 Әбілқасымова А., Корчевский В.Е., Абдиев А.А., Жұмағұлова З.А.
Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық. Өнд. Толық 2 бас. Алматы: "Мектеп" 2011 ж.,216 б.
23 Әбілқасымова А., Шойынбеков К.Д., Жұмағұлова З.Ә. Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық. Өнд. 2-бас.Алматы: "Мектеп"2011 ж.,160 б.
24 Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы. -М.: Просвещение, 1991. – 352 с.
25 Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы. Группа Б/ Под ред. М.И.Сканави.−М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство Астрель», 2011.−1232с.:ил.
26 Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы. Группа А/ Под ред. М.И.Сканави.−М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство Астрель», 2012.−912с.: ил.
27 5В010900-«Математика» мамандығының ТОЖ (ҚР БҒМ №158 бұйрығы, 10.04.12. қосымша 09) және ҚР МЖМББС 5.04.019 – 2011 Бакалавриат.
28 math.semestr.ru/math/minmax.php
29 1 math.semestr.ru/math/minmax.php
30 www.mathelp.spb.ru/book1/extremum.htm
Жоғары білім.– Астана:КРБ жғм,2009.
2 Алдамұратова Т., Байшоланов Е.Математика: Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық. 1 бөлім.Алматы: Атамұра 2015 ж.,
208 б.
3 Алдамұратова Т., Байшоланов Е.Математика: Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық. 2 бөлім.Алматы: Атамұра 2015 ж.,
176 б.
4 Рахымбек .Д., Дуйсебаева П.С., Бекмолдаева Р.Б. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу.Оқу құралы. -Шымкент: М.Әуезов атындағы ОҚМУ , 2014,-320 б.
5 Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Задачник—практикум по математике. Алгебра. Тригонометрия: Для поступающих в вузы —М.: ООО «Издательский дом «Оникс 21 век»:ООО «Издательство «Мир и образование», 2005.-464с.
6 Бекмолдаева Р.Б., Аширбаев Н.К., Дуйсебаева П.С. Математикалық есептерді шығару практикумы.Оқу құралы.-Шымкент: Нұрлы Бейне,2013,-314б.
7 Рахымбек Д. Арифметика, алгебра және анализ бастамаларын оқыту әдiстемесi/Оқу құралы/ Рахымбек Д. – Шымкент: М.Әуезов атындағы ОҚМУ баспа орталығы, 2015. - 424б.
8 Рахымбек Д., Бейсеков Ж., Шарипова Т. Математиканы оқыту әдістемесі: Оқулық.— Шымкент: ОҚМУ, 2006.—314 б.
9 Асқарова М., Теңдеулер, теңсіздіктер және олардың системалары:
−Алматы: «Рауан» баспасы, 1992.−55-60бет.
10 Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1987.-432с.
11 Олехник С.Н., Попапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнение и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник. М.: Изд-во Факториал, 1997. - 219с
12 Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И., Элементарная математика: Учебник.— Москва: Наука, 1976.—591 с.
13 Куланин Е.Д. и др.3000 конкурсных задач по математике. М.: Айрис-пресс, 2007.-624б.
14 Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.-М.: Просвещение, 1992. – 335 с.
15 Рустюмова И.П.,Рустюмова С.Т. Тренажер по математике для подготовки к единому национальному тестированию (ЕНТ) –Алматы,2011.-628б.
16 Әбілқасымова А.Е., Жұмағұлова З.А., Шойынбеков К.Д., Корчевский В.Е.Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 10-сыныбына арналған оқулық
Алматы: мектеп,2014 ж.,184 б.
17 Айдос Е.Ж., Балықбаев Т.О. Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған: Оқу құралы.— Алматы: ЖШС РПБК Дәуір, 2006.-464 бет
18 Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1993.-414с.
19 Азаров А.Н., Барбенов С.А.Математика для старшеклассников: Методы решения алгебраич уравнений, неравенств и систем: Пособие для учащихся ужреждений, обеспечивающих получение общие средство образования. −мн: Аверсов, 2004.−448с.
20 Алдамұратова Т., Байшоланов Т.С., Байшоланов Е.С. Математика: Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныбына арналған оқулық. 1 бөлім. Алматы: Атамұра 2015 ж.,208 б.
21 Алдамұратова Т., Байшоланов Т.С., Байшоланов Е.С. Математика: Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныбына арналған оқулық. 2 бөлім.Алматы: Атамұра.2015 ж.,224 бет.
22 Әбілқасымова А., Корчевский В.Е., Абдиев А.А., Жұмағұлова З.А.
Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық. Өнд. Толық 2 бас. Алматы: "Мектеп" 2011 ж.,216 б.
23 Әбілқасымова А., Шойынбеков К.Д., Жұмағұлова З.Ә. Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы 11-сыныбына арналған оқулық. Өнд. 2-бас.Алматы: "Мектеп"2011 ж.,160 б.
24 Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы. -М.: Просвещение, 1991. – 352 с.
25 Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы. Группа Б/ Под ред. М.И.Сканави.−М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство Астрель», 2011.−1232с.:ил.
26 Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы. Группа А/ Под ред. М.И.Сканави.−М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство Астрель», 2012.−912с.: ил.
27 5В010900-«Математика» мамандығының ТОЖ (ҚР БҒМ №158 бұйрығы, 10.04.12. қосымша 09) және ҚР МЖМББС 5.04.019 – 2011 Бакалавриат.
28 math.semestr.ru/math/minmax.php
29 1 math.semestr.ru/math/minmax.php
30 www.mathelp.spb.ru/book1/extremum.htm
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
1-тарау Теңдеулер мен теңсіздіктер шешудің теориялық
негіздері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...5
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
1.1Теңдеулердің жалпы 5
теориясы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..
1.2 Теңдеулерді шешу 7
тәсілдері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...8
1.3 Теңсіздіктердің жалпы 10
теориясы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ...
1.4 Теңсіздіктерді шешу
тәсілдері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...
2-тарау Бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге
үйрету 12
әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
... ... ... ... ... ... ... ...
2.1 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту
әдістемесі ... ... ... ... ... ... .
2.2 Бөлшек-рационал теңдеулерді шешуге берілген есептерді
шығару ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...22
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.3 Бөлшек-рационал теңсіздіктерді шешуге берілген есептерді
шығару ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...26
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...34
... ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылғанәдебиеттер 35
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кіріспе
Жұмыстың өзектілігі. Қоғамымыздың қазіргі даму қарқыны елімізде барлық
салада түбегейлі өзгерістер енгізуді қажет етеді, ал бұл өзгерістерді
енгізу мамандардың кәсіби даярлығының сапасының жоғары болуын талап етуде.
Педагогикалық ғылымның басты міндеті - студенттерді кәсіби даярлау
жүйесін жасау, оны жетілдіру құралдарын негіздеу.
Жоғары оқу орнында мұғалімді кәсіби даярлау жүйесі қоғамдық-саяси,
арнайы, психологиялық-педагогикалық және әдістемелік дайындығын қамтиды.
Мұғалім - әртүрлі типтегі жалпы білім беретін мектептерде оқушылармен
оқу және тәрбие жұмысын жүргізетін маман.Мұғалім оқушыларды оқыту
сапасына, олардың білім және тәрбие деңгейіне жауапты екендігі белгілі.
Мұғалімнің жұмысы оның жеке тұлғасының негізгі сапаларының кәсіби іс-
әрекетінің сипатына сай келген жағдайда ғана табысты болады. Мұғалім мектеп
оқушысының негізгі құзырлылығын қалыптастыруға бағытталған оқу-тәрбие іс-
әрекеттерін орындайды.
Қазақстан Республикасының 12 жылдық білім беру жүйесі бойынша
құжаттарда білім беру саясатының басым бағыттарының бірі ретінде қоғам мен
мемлекет, жеке тұлғаның болашақтағы қажеттіліктеріне білім берудің барлық
компоненттерін сәйкестендіру және заманауи білім сапасымен қамтамасыз ету
керек екендігі көрсетілген.
Мектеп математика курсында оқушылар үшін игерілуі қиын тақырыптардың
бірі – бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер және оларды шешу. Бұл
тақырыпты мұғалім жетік біліп қана қоймай, оқушыларға түсінікті, жүйелі
тапсырмалар ретімен ұсынуы керек.
Осы мақсатта курстық жұмыста орта мектепте өтілетін бөлшек-рационал
теңдеулер мен теңсіздіктер жан-жақты қарастырып, оны бір жүйеге келтіру
мәселесін, әсіресе теориялық материалды толық меңгере отырып, берік
практикалық дағды қалыптастыру мәселелерін қарастырдық.
Бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер теориясы оқушылардың ойлау
қабілетін дамыта алатындай өз алдына ғылыми – педагогикалық маңызы бар орта
мектептегі негізгі оқу материалы болып есептеледі. Ол оқушыларды айқын және
дұрыс ойлауға, шамаларды салыстыра білуге дағдыландырады.
Курстық жұмыстың ғылыми жаңалығы – мектеп математикасындағы бөлшек-
рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тақырыбын тереңдете оқыту
мақсатында оларды шешу әдістерін көрсету,тақырыпқа қатысты материалдарды
беру ретін тізбектей жүйелеу жұмыстарын, есептер топтамасын жасау.
Жұмыстың практикалық құндылығы – бөлшек-рационал теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешуге арналып дайындалған практикум тапсырмалары мен
дидактикалық материалдары орта мектептің оқушыларының рационал теңдеулер
мен теңсіздіктерді оқып-үйренуіне, математика пәні мұғалімдерінің оқу
үдерісінде қолдануына болатындығында.
Ғылыми мәселенің қазіргі кездегі шешу жағдайында бағалауға тоқталар
болсақ, мектеп бағдарламасындағы алгебра және анализ бастамалары курсының,
ҰБТ-ды орта мектептерде Жоғары оқу орындарына түсуге арналған емтихан
сұрақтарында бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер көптеп кездеседі.
Осы мәселені шешу жолында бұл жұмыстың берері мол деп ойлаймыз.
Жұмыстың мақсаты - мектеп математика курсындағы Бөлшек-рационал
теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып үйрету әдістемесі атты тақырыпты
терең меңгеру, толық қарастыру, бір жүйеге келтіру, математика сабағының
танымдық деңгейін көтеру, оқушылардың математика пәніне деген қызығушылығын
арттыру, дамыту.
Курстық жұмысты орындау барысында мынадай негізгі алға қойған зерттеу
міндеттері қойылды:
- теңдеулердің жалпы теориясы;
- теңдеулерді шешу тәсілдері;
- теңсіздіктердің жалпы теориясы;
- теңсіздіктерді шешу тәсілдері;
- теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесі;
- бөлшек-рационал теңдеулерді шешуге берілген есептерді шығару;
- бөлшек-рационал теңсіздіктерді шешуге берілген есептерді шығару.
Зерттеу нысаны: орта мектепте математиканы оқыту үдерісі.
Курстық жұмыстың теориялық және методологиялық негіздеріне Бөлшек-
рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді және оларды шешуге берілген есептерді
шығарудың әдістемелік ұсыныстарын құрастыру жатады.
1 Теңдеулер мен теңсіздіктер шешудің теориялық негіздері
1.1Теңдеулердің жалпы теориясы
Айнымалысы бар теңдігі бір айнымалы теңдеу деп аталады.
пен өрнектері тең сандық мәндер қабылдайтындай айнымалының
әрбір мәні теңдеудің түбірі деп аталады. Теңдеуді шешу дегеніміз оның
барлық түбірлерін табу немесе оның түбірлері жоқ екенін дәлелдеу.
Егер теңдеуіне енетін функциялардың анықталу облыстарының қиылысуы
бос жиын болатын болса, онда бұл теңдеудің шешімі болмайды. теңдеуін
шешу деген сөз, ол теңдеуді, х-тің орнына қойғанда, тепе-теңдікке
айналдыратын, х айнымалысының мәндерін табу деген сөз, яғни, х-тің орнына
қойғанда, теңдеудің екі жағы да бірдей мән қабылдайтындай, х-тің мәндерін
тап деген сөз.
Анықтама теңдеуінің екі жағыда бірдей мән қабылдайтын х-тың
мәндерін осы теңдеудің шешімі (түбірі) деп атайды.
Мектеп математика курсында негізінен элементар теңдеулер қарастырылады,
яғни сол және оң жақтары сандар мен белгісіз функцияларға саны шектеулі
элементар амалдар қолдану арқылы (қосу, алу, көбейту, бөлу, кез келген
дәрежеге дәрежелеу, модуль табу, логарифмдеу) пайда болатын теңдеулер
қарастырылады. Әдетте мектеп математика курсындағы элементар теңдеулер
рационал, иррационал және трасценденттік деп бірнеше бөлікке бөлінді.
Рационал теңдеулерге бүтін рационал және бөлшекті-рационал теңдеулер
жатады.
Анықтама теңдеуі алгебралық теңдеу деп аталады, егер оның
құрамындағы функциялары көпмүшелік болып табылса.
Анықтама теңдеуі бөлшекті-рационал теңдеу деп аталады, егер оның
құрамындағы функциялары болса. Бұл жерде функцияларының ең
болмағанда біреуі х бойынша бөлшекті-рационал болуы тиіс.
Енді осы анықтамаларға мысалдар келтірейік.
а),, ,
- алгебралық теңдеу.
б) , ,
- бөлшекті – рационал теңдеу.
Анықтама Теңдеудің анықталу облысы деп немесе берілген теңдеудің мүмкін
мәндерінің облысы деп, осы теңдеудің екі жағының да мағынасы болатын,
теңдеуге еніп тұрған аргументтердің барлық мәндерінің жиынын айтады.
Белгіленуі: .
Осы анықтамадан көрініп тұрғанындай, теңдеудің әрбір түбірі оның
анықталу облысына тиісті, бірақ теңдеудің анықталу облысына жататын кез
келген сан оның түбірі бола бермейді. Ал теңдеудің мүмкін мәндерінің
облысына жатпайтын сан, оның түбірі бола алмайды. Яғни, санның теңдеудің
анықталу облысына тиісті болуы қажетті шарт, бірақ ол жеткілікті шарт емес.
Мысалдар келтірейік.
1.
теңдеуінің анықталу облысы -ден басқа барлық сандар жиыны.
Сонымен: .
Мәндес теңдеулер ұғымы.
Анықтама Егер екі теңдеудің біреуінің әрбір түбірі екіншісінің де түбірі
болса және керісінше болса, онда бұл теңдеулерді мәндес теңдеулер
(эквивалентті теңдеулер) деп атайды.
Мәндес (бара - бар) көшуді “” екі жақты бағдарша арқылы белгілейді.
мұндағы “” логикалық мәндестік (эквиваленттілік) белгісі.
Екі теңдеудің мәндестігі белгілі бір облыста қарастырылады. Екі теңдеу
қандай-да бір облыста мәндес болып, басқа бір облыста мәндес болмауы
мүмкін.
Енді мәндес теңдеулердің кейбір қасиеттерін қарастырып өтейік.
Теорема-1 (Рефлексивтілік қасиет). Егер екі теңдеудің біреуі екіншісіне
мәндес болса, онда екіншісіде біріншісіне мәндес болады.
Теорема-2 (Транзитивтілік қасиет). Егер үш теңдеудің біріншісі
екіншісіне мәндес болса, ал екіншісі үшіншісіне мәндес болса, онда
біріншісі үшіншісіне мәндес болады.
Теорема-3 Егер теңдеуінің түбірі теңдеуіндегі
функциясының анықталу облысына тиісті болса, ал теңдеуінің түбірі
теңдеуіндегі функциясының анықталу облысына тиісті болса, онда
теңдеуі теңдеулер жиынтығына мәндес болады.
Теорема-4 Егер функциясы теңдеуінің анықталу облысындағы
барлық -тар үшін анықталған болса, онда теңдеуі теңдеуіне
мәндес болады.
Теорема-5 Егер функциясы теңдеуінің анықталу облысындағы
барлық -тар үшін анықталған болса және бұған қосымша болса, онда
теңдеуі теңдеуіне мәндес болады.
Теорема-6 , мұндағы теңдеуі теңдеуіне мәндес.
Теорема-7 , мұндағы теңдеуі
теңсіздіктер жүйесін қанағаттандыратын барлық -тар үшін
теңдеуіне мәндес [1], [2], [3].
1.2 Теңдеулерді шешу тәсілдері
Анықтама -дәрежелі бүтін рационал функция немесе -дәрежелі
көпмүшелік деп түріндегі функцияны айтады. Мұндағы - натурал
сан, көпмүше дәрежесі, сандары көпмүшенің коэффициенттері, бас
коэффициент, -бос мүше деп аталады.
Анықтама түріндегі теңдеуді, мұндағы -дәрежелі бүтін рационал
функция, -дәрежелі алгебралық рационал теңдеу деп атайды.
Жалпы жағдайда -дәрежелі теңдеудің түбірі болады, олардың
арасында нақтылары да, комплекс сандары да болуы мүмкін.
Теңдеулерді шешудің көбейткіштерге жіктеу әдісі
Көбейткіштерге жіктеу әдісі мынаған негізделген: егер функциясы
түріндегі көбейтінді болса, онда теңдеуінің кез келген шешімі
теңдеулер жиынтығының да шешімі болады.
Теңдеулерді шешудің жаңа айнымалы енгізу әдісі
f(x) = 0 теңдеуін р(g(x)) = 0 түріндегі теңдеуге түрлендіру мүмкін
болса, онда u = g(x) айнымалысын енгізіп, p(u) = 0 теңдеуін шешеді. Егер
p(u) = 0 теңдеуінің түбірлері болса, онда теңдеулер жиынтығының
шешімдері берілген теңдеудің түбірлері болады.
Жаңа айнымалыны енгізу теңдеуді шешуді әлдеқайда оңайлатады. Сондықтан
теңдеуді шешу үшін жаңа айнымалыны дұрыс таңдай алу, есепті неғұрлым оңай
шығаруға алып келеді.
Оқушыларды теңдеуді шешу үшін оны бірден түрлендіруге асықпастан, қандай
жаңа айнымалы енгізсек есептің шығарылуы оңайлауы мүмкін деп ойлануға
үйрету керек. Егер теңдеудің шартынан жаңа айнымалыны енгізу бірден белгілі
бола қоймаса, онда қандай түрлендірулер жасасақ жаңа айнымалыны енгізу
мүмкіндігі бар деп ойлану керек.
Сондықтан жаңа айнымалыны енгізу бірден теңдеуді шешуге кірісу кезінде,
немесе біршама түрлендірулерден кейін көрінуі де мүмкін, кейде бір емес,
екі жаңа айнымалы енгізуге тура келетін жағдайлар да кездеседі.
Теңдеулерді шешудің функционалды-грфиктік әдісі
= теңдеуін функционалды-графиктік әдісіпен шешу үшін:
1.y= және у = функцияларының графиктері салынады;
2.Графиктер қиылысса, қиылысу нүктесін табады.
Графиктердің қиылысу нүктесінің абссицасы теңдеудің түбірі болады.
y= және у = функцияларының графиктері қиылыспаса теңдеудің
шешімі жоқ.
Бұл әдіс теңдеудің түбірлерінің санын және теңдеудің түбірлерін дәл
немесе жуықтап анықтауға мүмкіндік береді.
Егер х аралығында y= және у = функцияларының бірі өсетін, ал
екіншісі кемитін болса, онда = теңдеуінің осы аралықта жалғыз
түбірі болады немесе ешбір түбірі болмайды [1], [2], [3].
1.3 Теңсіздіктердің жалпы теориясы
Теңсіздіктер туралы жалпы түсінік.
Заттарды санауға байланысты және әр түрлі шамаларды салыстыру
қажеттілігінен теңдік ұғымымен қатар артық және кем ұғымы шыққан.
Салыстырылатын екі санның арасына (үлкен), (кіші) немесе = (тең)
белгілерінің біреуі қойылатынын білеміз.
және белгілері - қарама-қарсы теңсіздік белгілері. мен және
мен белгілері - бірдей теңсіздік белгілері.
Мысалы, 60 және -10 қарама-қарсы теңсіздік белгілері бар санды
тенсіздіктер. 20 және 90 бірдей теңсіздік белгілері бар санды
теңсіздіктер.
Теңсіздік белгісінің сол жағындағы өрнек теңсіздіктің сол жақ бөлігі деп
аталса, оң жағындағы өрнек теңсіздіктің оң жақ бөлігі деп аталады.
Теңсіздіктің сол жақ бөлігіндегі және оң жак бөлігіндегі қосылғыштар
оның мүшелері деп аталады.
Мысалы, 7,5+35,1+2 теңсіздігіндегі 7,5+3 - теңсіздіктің сол жақ бөлігі,
ал 5,1+2 - теңсіздіктің оң жақ бөлігі; 7,5; 3; 5,1 және 2 - теңсіздіктің
мүшелері.
Теңсіздік мағынасына қарай тура теңсіздік және тура емес теңсіздік болып
бөлінеді.
Мысалы: 7,57,3 - тура теңсіздік; 6,24 - тура емес теңсіздік.
Есептеулерде тура теңсіздіктер қолданылады, сондықтан теңсіздік сөзін
ғана пайдаланамыз.
Санды теңсіздікте сандарды әріппен белгілесек, теңсіздік ab; cd
түрінде жазылады. Мұндағы а, b, с және d - кез келген сандар (санды
өрнектер).
Сандарды салыстыруда үш түрлі жағдай кездеседі.
Олар: 1) аb; 2) аb; 3) а=b.
Берілген екі санды (санды өрнекті) салыстырғанда аталған үш жағдайдың
біреуі ғана орын алады.
Анықтама Теңсіздік деп өзара бір-бірімен (үлкен) немесе (кіші)
белгілерімен жалғасқан екі аналитикалық өрнекті айтады.
Анықтама Егер а-b айырымы, мұндағы оң болса, онда а саны b санынан
үлкен деп аталады және ab деп белгіленеді.
Анықтама Егер а-b айырымы, мұндағы теріс болса, онда а саны b
санынан кіші деп аталады және ab деп белгіленеді.
Анықтама а саны ab немесе ab теңсіздігінің сол жақ бөлігі, b саны оң
жақ бөлігі деп аталады.
Анықтама ab және cd немесе ab және cd екі теңсіздіктері бірдей
мағыналы теңсіздіктер деп аталады.
Анықтама ab және cd немесе ab және cd екі теңсіздіктері қарама-
қарсы мағыналы теңсіздіктер деп аталады.
Анықтама немесе белгілерімен жалғасқан теңсіздіктерді қатаң
теңсіздіктер, ал немесе белгілерімен жалғасқан теңсіздіктерді
қатаң емес теңсіздіктер деп атайды.
Анықтама Бір белгісізді теңсіздік деп немесе түріндегі
теңсіздіктерді айтады.
Анықтама теңсіздігінің шешімі деп осы теңсіздікті
қанағаттандыратын барлық х-тардың мәндерін айтады.
Анықтама теңсіздігінің оң және сол жағы анықталған белгісіздердің
барлық мәндерін белгісіздердің мүмкін мәндері деп атайды.
Анықтама Теңсіздік белгісіздерінің барлық мүмкін мәндер жиынын оның
анықталу облысы деп атайды. Белгіленуі: .
Мәндес теңсіздіктер жөніндегі негізгі тұжырымдар.
Анықтама Егер теңсіздігінің барлық шешімі теңсіздігінің де
шешімі болса және керісінше, теңсіздігінің барлық шешімі
теңсіздігінің де шешімі болса, онда мұндай теңсіздіктер мәндес немесе
эквивалентті теңсіздіктер деп аталады, яғни бұл теңсіздіктердің барлық
шешімдер жиыны бірдей болса.
Теорема-1 және теңсіздіктері өзара мәндес.
Теорема-2 және теңсіздіктері мәндес.
Теорема-3 және теңсіздіктері мәндес, егер функциясы
теңсіздігінің -да анықталған болса.
Теорема-4 Егер теңсіздігінің екі жағында, осы теңсіздіктің
анықталу облысында анықталған функциясына көбейтсек, онда бастапқы
теңсіздікке мәндес теңсіздігі шығады.
Теорема-5 Егер теңсіздігінің екі жағында, осы теңсіздіктің
анықталу облысында анықталған функциясына көбейтсек, онда бастапқы
теңсіздікке мәндес теңсіздігі шығады.
Теорема-6 және теңсіздіктері өзара мәндес.
Теорема-7 және аралығында жататын кез келген а үшін
мәндес.
Теорема-8 және (0,1) аралығында жататын кез келген а үшін
мәндес.
Теорема-9 Егер А жиынында функциялары теріс емес болса, онда
және теңсіздіктері мәндес.
Теорема-10 және теңсіздіктері өзара мәндес.
Теорема-11 және теңсіздіктері өзара мәндес.
Теорема-12 аралығында жататын кез келген а үшін және А жиынында оң
функциялары үшін және теңсіздіктері мәндес.
Теорема-13 (0;1) аралығындағы кез келген а үшін және А жиынында оң
функциялары үшін және А жиынында оң функциялары үшін және
теңсіздіктері мәндес.
1.4 Теңсіздіктерді шешу тәсілдері
Теңсіздіктерді шешуде түрлі тәсілдерді қолданып шешу тәсілі нәтиженің
көрінісінде көркемдей түседі, әсіресе оқушылардың логикалық ойлау
қабілетінің, ойлау мәдениетінің қалыптасып дами түсуіне ықпал етуі анық.
Берілген есептердің әрқайсысын бірнеше тәсілдермен шығара алған оқушы
есептерді шешудің ең тиімді жолын оңай тауып, әсемдік көріністі көре алады.
Теңсіздіктерді шешуде келесі тәсілдер қолданылады:
1)Теңсіздікті шешудің аналитикалық тәсілі;
2) Теңсіздікті шешудің графиктік тәсілі;
3) Теңсіздікті шешудің интервалдар әдісі
1)Теңсіздікті шешудің аналитикалық тәсілі:
Анықтама. түріндегі теңсіздікті сызықты теңсіздік деп атайды.
Мұндағы , белгісі белгілерінің бірі.
Бізге теңсіздігі берілсін.
теңсіздіктің қасиеті бойынша
1) егер
2) егер
3) егер жән
4) егер және ø.
2) Теңсіздікті шешудің графиктік тәсілі:
Теңсіздікті графиктік тәсілмен шешу үшін және функцияларының
графиктерін сызу керек. Осы графиктердің қиылысуы х нүктесін береді.
3) Теңсіздікті шешудің интервалдар әдісі
Рационал теңсіздіктердің негізгі әдісі – интервалдар әдісі. Бұл әдісті
пайдалану үшін теңсіздіктің оң жағында ноль, ал сол жағында бірнеше
көбейткіштің көбейтіндісі немесе алымы мен бөлімі, көбейткіштерге жіктелген
бөлшек болатындай түрлендіру қажет. Одан кейін әрбір көбейткіштің
түбірлерін табу қажет және олардың ішінен таңбасына өзгертпейтін немесе
таңбасын жұп сан көбейткіш өзгертетін көбейткіштерді іріктеп алады.
Келешекте мұндай түбірлерді, егер олар табылса, жұп еселік түбірлер деп
аталады.
Теңсіздікті толық шешу үшін табылған түбірлерді түзуге белгілеп,
теңсіздіктің сол жағының бір интервал таңбасын тауып алып таңбаларды басқа
интервалдарға түбірлерден өткенде оларды өзгерте отырып белгілеу керек,
егер бұл жұп еселікті түбір болмаса [3], [4], [5].
2 Мектеп математика курсында теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету
әдістемесі
2.1 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесі
Мектепте теңдеу мен теңсiздiктi және олардың жүйелерiн ерте бастан
жүйелi түрде оқыту дәстүрi қалыптасты. Бұл дәстүр қазiргi бағдарламаларда
да көрiнiс тапқан: теңдеу ұғымы, сызықтық теңдеу, екi белгiсiзi бар
сызықтық теңдеулер жүйесi 6-сыныпта, квадрат теңдеулер мен рационал
теңдеулер 7,8-сыныпта, мәндес теңдеулер мен теңсiздiктер және
тригонометриялық теңдеулер 10-сыныпта, дифференциалдық теңдеулер туралы
ұғым, көрсеткiштiк және логарифмдiк теңдеулер 11-сыныпта оқытылады.
Теңдеулер туралы теориялық мәлiметтердi баяндау мектептегi алгебра
курсының басқа тақырыптарын: нақты сандар, өрнектер мен функцияларды теңбе-
тең түрлендiру, математикалық талдаудың бастамалары курсын өтудiң мазмұны
мен ретiне қарай жүргiзiледi.
Орта мектепте теңдеулер мен теңсiздiктердi олардың түрлерiне байланысты
баяндаудың әртүрлi нұсқаулары кездеседi‚ кейде теңдеулер мен теңсiздiктердi
параллель оқыту туралы ұсыныс та бар.
Әдiстемелiк әдебиеттерде теңдеудiң мынадай анықтамалары кездеседi.
1. Екi алгебралық өрнекке енетiн әрiптiң қандай да бiр мәндерiнде бiрдей
сандық мәндер қабылдайтын теңдiктi теңдеу деп атайды.
2. Бiр белгiсiзi бар теңдеу былайша жазылады: f(х)=(х). Егер х0
саны бiрiншiден f(х) және (х) функцияларының анықталу облысына енетiн
болса, екiншiден мына сандық теңдiк f(х0)=(х0) орындалатын болса, онда
х0 саны теңдеудiң түбiрi деп аталады. Теңдеудi шешу деп оның барлық
түбiрлерiн табуды айтады.
3. Бiр айнымалысы бар теңдеу деп осы айнымалы арқылы құрылған теңдiктi
айтады. Теңдiктегi айнымалыны әдетте белгiсiз шама деп атайды. Белгiсiздiң
орнына апарып қойғанда берiлген теңдеудi дұрыс теңдiкке айналдыратын
айнымалының мәнiн теңдеудiң түбiрi (шешiмi) деп атайды.
4. Белгiсiзi бар теңдiктi теңдеу деп атайды. Белгiсiздiң теңдiктi дұрыс
сандық теңдiкке айналдыратын мәндерi теңдеудiң түбiрi деп аталады. Теңдеудi
шешу дегеніміз оның барлық түбiрлерiн табу.
Теңдеу ұғымының бұл анықтамаларын бiр-бiрiне қарсы қоюға болмайды. Бұл
анықтамалардың әрқайсысы теңдеулердi шешудiң теориялық және практикалық
мәселелерiнде қолданылады.
Мектеп оқулықтарында қазiргi кезде теңдеудiң анықтамасы 4-анықтама
негiзiнде алынған.
Теңдеу ұғымына ең жақын ұғым теңбе-теңдiк. Бiрақ ол көбiнесе теңдеу
ұғымына байланыссыз анықталады. Бұл әдетте теңбе-теңдiк теңдеуден бұрын
өтiлген жағдайда кездеседi. Алдымен теңбе-теңдiк айнымалының кез келген
мәнiнде дұрыс болатын теңдiк деп қарастырылады. Кейiнiрек рационал
бөлшектердi қарастырғанда теңбе-теңдiк ұғымы дәлiрек анықталады:
айнымалының барлық мүмкiн мәндерiнде орындалатын теңдiктi теңбе-теңдiк деп
атайды.
Теңдеу мен теңбе-теңдiк ұғымдарының арасыңдағы тiкелей байланыс мынадай
анықтамамен берiледi: егер f(х)=g(х) теңдеуiнiң шешiмдерiнiң жиыны берiлген
теңдеудiң аңықталу облысымен сәйкес келетiн болса, онда бұл теңдеудi теңбе-
теңдiк деп атайды.
Мектептегi теңдеулерді шешудің жалпы әдістері.
Орта мектепте теңдеулер тақырыбына байланысты мынадай негiзгi мәселелер
қарастырылады.
Бiр немесе бiрнеше белгiсiзi бар теңдiктi теңдеу деп атайды. Бiр
белгiсiзi және n белгiсiзi бар теңдеу жалпы түрде былайша жазылады:
f(x)=0; f(x1, x2, ... ..xn)=0.
f(x) немесе f(x1, x2,...,xn) функцияларының анықталу облысын теңдеудiң
мүмкiн мәндер облысы дейді.
Мысалы: теңдеуiнiң мүмкiн мәндерiнiң облысы болады.
Орнына апарып қойғанда берiлген теңдiктi дұрыс санды теңдiкке
айналдыратын белгiсiздiң мәндерiн теңдеудiң түбiрлерi деп атайды.
Мысалы: х2 –4=0 теңдеуiн шешу деп, оның түбiрлерi х1 =-2, х2 =2-нi
табуды айтады. х2 + 4=0 теңдеуiн шешу деп, оның түбiрлерiнiң жоқ екендiгiн
көрсету.
Кез келген күрделі теңдеу түрлендірулер нәтижесінде не сызықтық, не
квадрат теңдеуге, не қарапайым иррационал, тригонометриялық, көрсеткіштік,
логарифмдік теңдеулердің біріне келтіріледі.
Рационал, иррационал, көрсеткіштік т.б. теңдеулердің белгілі бір түріне
лайықты өзіндік шешу әдістері болғанымен, барлық теңдеулерді шешуге ортақ
идея, жалпы әдістер бар. Ондай жалпы әдістер үшеу:
1) Теңдулерді шешудің көбейткіштерге жіктеу әдісі;
2) Теңдулерді шешудің жаңа белгісіз енгізу әдісі;
3) Теңдулерді шешудің функционалды-грфиктік әдісі.
Мәндес теңдеулер.
Теңдеулерді шешу кезінде әр түрлі түрлендірулер жүргізіп, алдыңғымен
салыстырғанда қарапайым түрге келтіреді. Түрлендірулер тізбегі нәтижесінде
пайда болған, соңғы теңдеудің шешімдері берілген теңдеудің түбірлері бола
ма, бөгде түбірлер қайдан пайда болды немесе теңдеудің түбірлерінің жоғалып
кету жағдайлыры неліктен орын алды деген мәселелер мәндес теңдеулер
ұғымымен байланысты. Қандай теңдеулер мәндес деп аталынады, қандай
түрлендірулер мәндес түрлендіру болады, қандай жағдайда мәндес емес, оны
қалай білуге болады, т. б. мәселелерді оқушылар саналы түрде меңгеруі
керек.
Мектеп математика курсында мәндес түрлендіру ұғымы біртіндеп, оқушыларда
ол ұғымға деген қажеттілік пайда болып, белгілі бір тәжірибе жинақталғанда
енгізіледі. Математика тілінде қандай да бір жаңа терминнің пайда болуы,
оған деген қажеттілік болғанда ғана енгізілетінін оқушы түсіну тиіс.
Сызықтық теңдеулер мен квадрат теңдеулерді оқып үйрену кезінде мәндес
теңдеу және мәндес түрлендіру туралы мәселе көтерілмейді. Себебі бұл жерде
мәндес емес түрлендіру мүлде болмайды, сондықтан мәндес теңдеу терминін
енгізуге деген қажеттілік те жоқ.
Алгебралық бөлшектерді оқып үйренуге байланысты, бөлшек рационал
теңдеулердің бөлімінен құтылу кезінде бөгде түбірлердің пайда болуы туралы
алғашқы түсінік беріледі. Сол кезде бірінші рет мәндес теңдеу термині
енгізіледі. Осы кезде мәндес теңдеу ұғымын енгізуге деген қажеттілік те
пайда болады, тәжірибе де жинақталады.
Түбiрлерi бiрдей болатын екi теңдеудi өзара мәндес теңдеулер деп атайды.
Бір теңдеудің әрбір түбірі екінші теңдеуді де қанағаттандырса және
керісінше, екінші теңдеудің кез келген түбірі бірінші теңдеуді
қанағаттандырса, онда олар мәндес немесе эквивалент теңдеулер делінеді.
Дербес жағдайда, түбiрлерi жоқ барлық теңдеулер өзара мәндес.
Егер = теңдеуінің әрбір түбірі бір уақытта =
теңдеуінің де түбірлері болса, онда = теңдеуі =
теңдеуінің салдары деп, немесе теңдеу-салдар деп аталады.
= теңдеуі = теңдеуінің салдары екендігін көрсету
үшін, = теңдеуін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндері
=теңдеуін қанағаттандыратын-дығына көз жеткізу жеткілікті.
х2-8х=0 теңдеуінің салдары (х2-8х)(х+5)=0 теңдеуі болатындығын көрсету
үшін х2-8х=0 теңдеуінің әрбір түбірі (х2-8х)(х+5)=0 теңдеуінің де шешімі
болатындығына көз жеткізіледі.
Егер екі теңдеудің бірі екіншісінің салдары және керісінше болса, онда
екі теңдеу мәндес болады.
Сызықтық теңдеуді шешеу.
Сызықтық теңдеуді шешу бастауыш сынып математикасын оқытудан басталады.
1. Бастауыш сыныптарда мынадай сызықтық теңдеудi шешу қарастырылады:
7+х=10, x-3=10+5, x˝(17-10)=70, x:2+10=30 т.с.с. Белгiсiз санды алдымен
iрiктеп, таңдап алу әдiсiн пайдаланып теңдеудуің түбірі табылады. Кейiн,
теңдеудің түбірін табу арифметикалық амалдардың компоненттерi мен
нәтижелерiнiң арасындағы байланысқа сүйенiп табуға үйретіледі. Мысалы,
бiрiншi теңдеудi шешкенде оқушылар былайша пайымдайды: “Белгiсiз қосылғышты
анықтау үшiн қосындыдан белгiлi қосылғышты алуымыз қажет: х=10-7, х=3".
Теңдеулермен танысу формальдi түрде жүргiзiлмейдi. Мысалы, мынадай есеп
қарастырылады: “Белгiсiз санға 3-тi қосқанда 8 шыққан. Белгiсiз санды
анықтаңдар”. Есеп қысқаша түрде былайша жазылады: ? +3=8. символының
орнына қойылатын сан таңдап алу әдiсiмен анықталады. Бұдан кейiн белгiсiз
санды x арқылы белгiлеп оны былайша жазуға болатындағы айтылады: х+3=8.
Бастауыш сыныптарда теңсiздiктер де таңдап алу әдiсiмен шығарылады,
көбiнесе теңсiздiк шешiмдерiнiң шектi бөлiктерi ғана табылады.
2. 5-сыныпта да тендеулер арифметикалық амалдардың компоненттерi мен
нәтижелерiнiң арасындағы байланыс бойынша шешiледi, көбiнесе алдын-ала
өрнектердi ықшамдап алады. Мысалы‚ 13899+х = 2716+13899. Оқушылар
көбейтудiң қосу (азайту) амалына қатысты үлестiрiмдiлiк заңын пайдаланып‚
мынадай 4х+4х=424; 15а-8а=714 т.с.с. теңдеулердi шешедi. Ондық бөлшектердi
өту кезiнде мынадай теңдеулер шешiледi:
8,6-(x+2,75)=1,85; x+2,8=3,72+0,38; 45,7x+0,3x-2,4=89,6.
Бұл теңдеудердi шешу де арифметикалық амалдардың нәтижесi мен
компоненттерiнiң қасиеттерiне негiзделген.
3. 6-сыныпта оң таңбалы және терiс таңбалы сандарды өткенде сызықтық
теңдеудiң жаңа мысалдары, кейбiр сызықтық емес теңдеулер қарастырылады.
Қарама-қарсы сандардың анықтамасына сүйенiп, мынадай теңдеулердiң -х=607;
-а=-30,04 шешiмдерi анықталады. Модульдiң анықтама-сына сүйенiп
теңдеулерiнiң шешiмдерi табылады. 6-сыныпта "жақшаларды ашу" теңбе-тең
түрлендiруiмен танысқаннан кейiн 7,2-(6,2-х)=2,2; -5+(a-25)=-4 теңдеулердi
шешудiң жолы қысқартылады. Көбейтiндiнiң нольге тең болу шартын өткен соң
мынадай теңдеулер шығарылады: 4(х-5)=0, (3x-6)2,4=0; (x+3)(x+4)=0 т.с.с.
Оқушыларды теңдеулердi шешудiң тәсiлiмен таныстырудың жаңа қадамы
қосылғыштарды теңдеудiң бiр жағынан екiншi жағына өткiзу ережесi болып
табылады. Осы ережеге сүйенiп, олар мынадай теңдеудi шешедi: 15y-8=-
6y+4,6; 6x-12=5x+4 т.с.с.
4. Одан кейін (6 сыныптың соңы немесе 7 сыныпта) сызықтық теңдеудi
шешуге байланысты мәлiметтер жүйеленедi. Кейбiр оқу құралдарында бiрiншi
дәрежелi теңдеу мен сызықтық теңдеудiң айырмашылығы қарастырылады. Бiрiншi
дәрежелi теңдеудiң сызықтық теңдеудiң дербес жағдайы екендiгi айтылады.
Әдетте сызықтық теңдеу мына теңдiкпен ах+b=0 анықталады, мұндағы а саны
белгiсiз алдында тұрған коэффицент деп, ал b-бос мүше деп аталады. Бiр
белгiсiзi бар сызықтық теңдеудi шешудiң жалпы тәсiлiн көрсеткен тиiмдi:
10.
20.
30.
Оқушыларға бiр теңдеудi шешудiң бiрнеше тәсiлдерiн табуға үйреткен
пайдалы.
Мысалы, -х=0,5 теңдеуiн мынадай тәсiлдермен шешуге болады:
алдымен бұл теңдеудi мына түрде жазып аламыз: 0-х=0,5; одан кейiн белгiлi
айырма мен белгiсiз азайғыштың арасындағы байланысқа сүйенiп, мынаны
табамыз: x=0-0‚5; x=-0‚5;
қарама-қарсы сандардiң анықтамасына сәйкес‚ белгiсiз х саны 0,5 санына
қарама-қарсы. Сондықтан х=-0,5.
мәндес тендеулер туралы екiншi теоремаға сүйенсек, (-х)(-1)=0,5(-1)
болады. Бұдан х=-0,5.
Математиканы оқытудың психологиялық аспектiлерiнiң бiрi жаңа оқу
материалын өтудiң себебiн негiздеу болып табылады. Осы мәселенi
тендеулердiң жаңа түрiн енгiзу үшiн қарастырайық. Математиканы оқыту
әдiстемесiнде керi есеп ұғымы кездеседi. Бұл ұғымды түсiндiрейiк. Бiр х,у
және z айнымалылары туралы сөз болып, мұндағы х және у айнымалы шамалары
берiлген, ал z-iзделiндi айнымалы шама. Ендi мынадай есеп қарастырайық,
мысалы х және z айнымалы шамалары берiлген, ал у - iзделiндi айнымалы шама
болсын. Есептiң мазмұны мен айнымалы шамалардың арасындағы арақатыстар
өзгермейтiн болсын. Сонда мұндай екi есеп өзара керi есептер деп
аталады. өзара керi есептердi шешу үшiн әртүрлi теңдеудiң түрлерi
қолданылады. Сондықтан керi есептердi шешу мен құрастыру теңдеулердiң жаңа
түрiн оқытуды негiздеудiң пайдалы әдiстемелiк негiзi болып табылады.
Осындай есептерге мысалдар келтiрейiк.
1) санына қандай да бiр санды қосқанда санына керi сан
шыққан. Қандай сан қосылған?
2) Қайсыбiр оң санға 1,5-тi қосқанда, бiрiншi санға керi сан шыққан. Осы
сандарды табыңдар.
3) Қоймада алғашқы кезде т жанармай бар болатын. Жаңадан бiрнеше
тонна жанармай түсiрiлгеннен кейiн қоймадағы барлық жанармай санына
керi санмен өрнектелетiн болды. Қоймаға қанша тонна жанармай әкелiндi?
4) Қоймада белгiлi мөлшерде жанармай бар едi. Қоймаға жаңадан 1,5 т
жанармай әкелiнген соң, олардың мөлшерi алғашқы санға керi санмен
өрнектелетiн болды. Қоймада алғашқы кезде қанша жанармай бар едi?
Бiрiншi есептi шешу мынадай сызықтық тендеуге келтiрiледi: +х=2,
бұдан х=1,5. екiншi есептiң шешуi немесе х2+1,5х-1=0 теңдеуiне
келтiрiледi. Сонымен, екiншi есептi шығару үшiн ах2+bx+с=0 теңдеудiн шеше
бiлу қажет.
Теңдеулердi шешу әдiсi көбейген сайын оқушыларда оларды таңдап алу
қиындығы туа бастайды. Осыған байланысты теңдеудi шешудiң тәсiлдерiн
анықтауға арнаулы тапсырмалар қарастырған пайдалы. Мұндай тапсырмаларды
орындауды екi кезеңмен жүргiзген тиiмдi: 1) алдымен берiлген тендеулер
үшiн тек шешу жолдарын ғана көрсету; 2) одан соң тендеулердi шешу.
Теңдеулер мен теңсiздiктер оқулықта әртүрлi баяндалады. Бiз төменде
Т.А.Алдамұратованың "Математика-6" оқулығындағы "Теңдеу" тақырыбының
баяндалуын қарастырайық.
Құрамында әрiппен белгiленген белгiсiзi (айнымалысы) бар теңдiк теңдеу
деп атады. Мысалы, 5x+8=18; 6x+7=-5; 3(x+7)=15 теңдеулер, х-белгiсiз
(айнымалы). Мұндай теңдеулердi бiр белгiсiзi бар немесе бiр айнымалысы бар
теңдеулер деп атайды.
Теңдеулердiң оң жағы және сол жағы болады. Мысалы, 4x+7=19 теңдеуiндегi
4х+7 – теңдеудiң сол жағы, ал 19-теңдеудiң оң жағы. Теңдеудегi алгебралық
қосылғыштардың әрқайсысы оның мүшелерi деп аталады 4х; 7; 19 - мүшелер.
Мұндағы 4х -белгiсiзi бар мүше, 7, 19 - бос мүшелер.
Теңдеумен берiлген мысалдар мен есептердi шығарғанда, ондағы әрiппен
берiлген белгiсiздiң немесе айнымалының сан мәнiн табамыз.
Белгiсiз санның немесе айнымалының теңдеудi дұрыс санды теңдiкке
айналдыратын мәнi теңдеудiң түбiрi деп аталады.
Теңдеудi шешу дегенiмiз – оның түбiрлерiн табу немесе түбiрлерiнiң жоқ
екенiн дәлелдеу. Теңдеулердi шешкенде кейде түбiрлерi бiрдей болатын
теңдеулер де кездеседi. Түбiрлерi бiрдей болатын ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
1-тарау Теңдеулер мен теңсіздіктер шешудің теориялық
негіздері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...5
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
1.1Теңдеулердің жалпы 5
теориясы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..
1.2 Теңдеулерді шешу 7
тәсілдері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...8
1.3 Теңсіздіктердің жалпы 10
теориясы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ...
1.4 Теңсіздіктерді шешу
тәсілдері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...
2-тарау Бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге
үйрету 12
әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
... ... ... ... ... ... ... ...
2.1 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту
әдістемесі ... ... ... ... ... ... .
2.2 Бөлшек-рационал теңдеулерді шешуге берілген есептерді
шығару ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...22
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.3 Бөлшек-рационал теңсіздіктерді шешуге берілген есептерді
шығару ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...26
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...34
... ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылғанәдебиеттер 35
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кіріспе
Жұмыстың өзектілігі. Қоғамымыздың қазіргі даму қарқыны елімізде барлық
салада түбегейлі өзгерістер енгізуді қажет етеді, ал бұл өзгерістерді
енгізу мамандардың кәсіби даярлығының сапасының жоғары болуын талап етуде.
Педагогикалық ғылымның басты міндеті - студенттерді кәсіби даярлау
жүйесін жасау, оны жетілдіру құралдарын негіздеу.
Жоғары оқу орнында мұғалімді кәсіби даярлау жүйесі қоғамдық-саяси,
арнайы, психологиялық-педагогикалық және әдістемелік дайындығын қамтиды.
Мұғалім - әртүрлі типтегі жалпы білім беретін мектептерде оқушылармен
оқу және тәрбие жұмысын жүргізетін маман.Мұғалім оқушыларды оқыту
сапасына, олардың білім және тәрбие деңгейіне жауапты екендігі белгілі.
Мұғалімнің жұмысы оның жеке тұлғасының негізгі сапаларының кәсіби іс-
әрекетінің сипатына сай келген жағдайда ғана табысты болады. Мұғалім мектеп
оқушысының негізгі құзырлылығын қалыптастыруға бағытталған оқу-тәрбие іс-
әрекеттерін орындайды.
Қазақстан Республикасының 12 жылдық білім беру жүйесі бойынша
құжаттарда білім беру саясатының басым бағыттарының бірі ретінде қоғам мен
мемлекет, жеке тұлғаның болашақтағы қажеттіліктеріне білім берудің барлық
компоненттерін сәйкестендіру және заманауи білім сапасымен қамтамасыз ету
керек екендігі көрсетілген.
Мектеп математика курсында оқушылар үшін игерілуі қиын тақырыптардың
бірі – бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер және оларды шешу. Бұл
тақырыпты мұғалім жетік біліп қана қоймай, оқушыларға түсінікті, жүйелі
тапсырмалар ретімен ұсынуы керек.
Осы мақсатта курстық жұмыста орта мектепте өтілетін бөлшек-рационал
теңдеулер мен теңсіздіктер жан-жақты қарастырып, оны бір жүйеге келтіру
мәселесін, әсіресе теориялық материалды толық меңгере отырып, берік
практикалық дағды қалыптастыру мәселелерін қарастырдық.
Бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер теориясы оқушылардың ойлау
қабілетін дамыта алатындай өз алдына ғылыми – педагогикалық маңызы бар орта
мектептегі негізгі оқу материалы болып есептеледі. Ол оқушыларды айқын және
дұрыс ойлауға, шамаларды салыстыра білуге дағдыландырады.
Курстық жұмыстың ғылыми жаңалығы – мектеп математикасындағы бөлшек-
рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тақырыбын тереңдете оқыту
мақсатында оларды шешу әдістерін көрсету,тақырыпқа қатысты материалдарды
беру ретін тізбектей жүйелеу жұмыстарын, есептер топтамасын жасау.
Жұмыстың практикалық құндылығы – бөлшек-рационал теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешуге арналып дайындалған практикум тапсырмалары мен
дидактикалық материалдары орта мектептің оқушыларының рационал теңдеулер
мен теңсіздіктерді оқып-үйренуіне, математика пәні мұғалімдерінің оқу
үдерісінде қолдануына болатындығында.
Ғылыми мәселенің қазіргі кездегі шешу жағдайында бағалауға тоқталар
болсақ, мектеп бағдарламасындағы алгебра және анализ бастамалары курсының,
ҰБТ-ды орта мектептерде Жоғары оқу орындарына түсуге арналған емтихан
сұрақтарында бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктер көптеп кездеседі.
Осы мәселені шешу жолында бұл жұмыстың берері мол деп ойлаймыз.
Жұмыстың мақсаты - мектеп математика курсындағы Бөлшек-рационал
теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып үйрету әдістемесі атты тақырыпты
терең меңгеру, толық қарастыру, бір жүйеге келтіру, математика сабағының
танымдық деңгейін көтеру, оқушылардың математика пәніне деген қызығушылығын
арттыру, дамыту.
Курстық жұмысты орындау барысында мынадай негізгі алға қойған зерттеу
міндеттері қойылды:
- теңдеулердің жалпы теориясы;
- теңдеулерді шешу тәсілдері;
- теңсіздіктердің жалпы теориясы;
- теңсіздіктерді шешу тәсілдері;
- теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесі;
- бөлшек-рационал теңдеулерді шешуге берілген есептерді шығару;
- бөлшек-рационал теңсіздіктерді шешуге берілген есептерді шығару.
Зерттеу нысаны: орта мектепте математиканы оқыту үдерісі.
Курстық жұмыстың теориялық және методологиялық негіздеріне Бөлшек-
рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді және оларды шешуге берілген есептерді
шығарудың әдістемелік ұсыныстарын құрастыру жатады.
1 Теңдеулер мен теңсіздіктер шешудің теориялық негіздері
1.1Теңдеулердің жалпы теориясы
Айнымалысы бар теңдігі бір айнымалы теңдеу деп аталады.
пен өрнектері тең сандық мәндер қабылдайтындай айнымалының
әрбір мәні теңдеудің түбірі деп аталады. Теңдеуді шешу дегеніміз оның
барлық түбірлерін табу немесе оның түбірлері жоқ екенін дәлелдеу.
Егер теңдеуіне енетін функциялардың анықталу облыстарының қиылысуы
бос жиын болатын болса, онда бұл теңдеудің шешімі болмайды. теңдеуін
шешу деген сөз, ол теңдеуді, х-тің орнына қойғанда, тепе-теңдікке
айналдыратын, х айнымалысының мәндерін табу деген сөз, яғни, х-тің орнына
қойғанда, теңдеудің екі жағы да бірдей мән қабылдайтындай, х-тің мәндерін
тап деген сөз.
Анықтама теңдеуінің екі жағыда бірдей мән қабылдайтын х-тың
мәндерін осы теңдеудің шешімі (түбірі) деп атайды.
Мектеп математика курсында негізінен элементар теңдеулер қарастырылады,
яғни сол және оң жақтары сандар мен белгісіз функцияларға саны шектеулі
элементар амалдар қолдану арқылы (қосу, алу, көбейту, бөлу, кез келген
дәрежеге дәрежелеу, модуль табу, логарифмдеу) пайда болатын теңдеулер
қарастырылады. Әдетте мектеп математика курсындағы элементар теңдеулер
рационал, иррационал және трасценденттік деп бірнеше бөлікке бөлінді.
Рационал теңдеулерге бүтін рационал және бөлшекті-рационал теңдеулер
жатады.
Анықтама теңдеуі алгебралық теңдеу деп аталады, егер оның
құрамындағы функциялары көпмүшелік болып табылса.
Анықтама теңдеуі бөлшекті-рационал теңдеу деп аталады, егер оның
құрамындағы функциялары болса. Бұл жерде функцияларының ең
болмағанда біреуі х бойынша бөлшекті-рационал болуы тиіс.
Енді осы анықтамаларға мысалдар келтірейік.
а),, ,
- алгебралық теңдеу.
б) , ,
- бөлшекті – рационал теңдеу.
Анықтама Теңдеудің анықталу облысы деп немесе берілген теңдеудің мүмкін
мәндерінің облысы деп, осы теңдеудің екі жағының да мағынасы болатын,
теңдеуге еніп тұрған аргументтердің барлық мәндерінің жиынын айтады.
Белгіленуі: .
Осы анықтамадан көрініп тұрғанындай, теңдеудің әрбір түбірі оның
анықталу облысына тиісті, бірақ теңдеудің анықталу облысына жататын кез
келген сан оның түбірі бола бермейді. Ал теңдеудің мүмкін мәндерінің
облысына жатпайтын сан, оның түбірі бола алмайды. Яғни, санның теңдеудің
анықталу облысына тиісті болуы қажетті шарт, бірақ ол жеткілікті шарт емес.
Мысалдар келтірейік.
1.
теңдеуінің анықталу облысы -ден басқа барлық сандар жиыны.
Сонымен: .
Мәндес теңдеулер ұғымы.
Анықтама Егер екі теңдеудің біреуінің әрбір түбірі екіншісінің де түбірі
болса және керісінше болса, онда бұл теңдеулерді мәндес теңдеулер
(эквивалентті теңдеулер) деп атайды.
Мәндес (бара - бар) көшуді “” екі жақты бағдарша арқылы белгілейді.
мұндағы “” логикалық мәндестік (эквиваленттілік) белгісі.
Екі теңдеудің мәндестігі белгілі бір облыста қарастырылады. Екі теңдеу
қандай-да бір облыста мәндес болып, басқа бір облыста мәндес болмауы
мүмкін.
Енді мәндес теңдеулердің кейбір қасиеттерін қарастырып өтейік.
Теорема-1 (Рефлексивтілік қасиет). Егер екі теңдеудің біреуі екіншісіне
мәндес болса, онда екіншісіде біріншісіне мәндес болады.
Теорема-2 (Транзитивтілік қасиет). Егер үш теңдеудің біріншісі
екіншісіне мәндес болса, ал екіншісі үшіншісіне мәндес болса, онда
біріншісі үшіншісіне мәндес болады.
Теорема-3 Егер теңдеуінің түбірі теңдеуіндегі
функциясының анықталу облысына тиісті болса, ал теңдеуінің түбірі
теңдеуіндегі функциясының анықталу облысына тиісті болса, онда
теңдеуі теңдеулер жиынтығына мәндес болады.
Теорема-4 Егер функциясы теңдеуінің анықталу облысындағы
барлық -тар үшін анықталған болса, онда теңдеуі теңдеуіне
мәндес болады.
Теорема-5 Егер функциясы теңдеуінің анықталу облысындағы
барлық -тар үшін анықталған болса және бұған қосымша болса, онда
теңдеуі теңдеуіне мәндес болады.
Теорема-6 , мұндағы теңдеуі теңдеуіне мәндес.
Теорема-7 , мұндағы теңдеуі
теңсіздіктер жүйесін қанағаттандыратын барлық -тар үшін
теңдеуіне мәндес [1], [2], [3].
1.2 Теңдеулерді шешу тәсілдері
Анықтама -дәрежелі бүтін рационал функция немесе -дәрежелі
көпмүшелік деп түріндегі функцияны айтады. Мұндағы - натурал
сан, көпмүше дәрежесі, сандары көпмүшенің коэффициенттері, бас
коэффициент, -бос мүше деп аталады.
Анықтама түріндегі теңдеуді, мұндағы -дәрежелі бүтін рационал
функция, -дәрежелі алгебралық рационал теңдеу деп атайды.
Жалпы жағдайда -дәрежелі теңдеудің түбірі болады, олардың
арасында нақтылары да, комплекс сандары да болуы мүмкін.
Теңдеулерді шешудің көбейткіштерге жіктеу әдісі
Көбейткіштерге жіктеу әдісі мынаған негізделген: егер функциясы
түріндегі көбейтінді болса, онда теңдеуінің кез келген шешімі
теңдеулер жиынтығының да шешімі болады.
Теңдеулерді шешудің жаңа айнымалы енгізу әдісі
f(x) = 0 теңдеуін р(g(x)) = 0 түріндегі теңдеуге түрлендіру мүмкін
болса, онда u = g(x) айнымалысын енгізіп, p(u) = 0 теңдеуін шешеді. Егер
p(u) = 0 теңдеуінің түбірлері болса, онда теңдеулер жиынтығының
шешімдері берілген теңдеудің түбірлері болады.
Жаңа айнымалыны енгізу теңдеуді шешуді әлдеқайда оңайлатады. Сондықтан
теңдеуді шешу үшін жаңа айнымалыны дұрыс таңдай алу, есепті неғұрлым оңай
шығаруға алып келеді.
Оқушыларды теңдеуді шешу үшін оны бірден түрлендіруге асықпастан, қандай
жаңа айнымалы енгізсек есептің шығарылуы оңайлауы мүмкін деп ойлануға
үйрету керек. Егер теңдеудің шартынан жаңа айнымалыны енгізу бірден белгілі
бола қоймаса, онда қандай түрлендірулер жасасақ жаңа айнымалыны енгізу
мүмкіндігі бар деп ойлану керек.
Сондықтан жаңа айнымалыны енгізу бірден теңдеуді шешуге кірісу кезінде,
немесе біршама түрлендірулерден кейін көрінуі де мүмкін, кейде бір емес,
екі жаңа айнымалы енгізуге тура келетін жағдайлар да кездеседі.
Теңдеулерді шешудің функционалды-грфиктік әдісі
= теңдеуін функционалды-графиктік әдісіпен шешу үшін:
1.y= және у = функцияларының графиктері салынады;
2.Графиктер қиылысса, қиылысу нүктесін табады.
Графиктердің қиылысу нүктесінің абссицасы теңдеудің түбірі болады.
y= және у = функцияларының графиктері қиылыспаса теңдеудің
шешімі жоқ.
Бұл әдіс теңдеудің түбірлерінің санын және теңдеудің түбірлерін дәл
немесе жуықтап анықтауға мүмкіндік береді.
Егер х аралығында y= және у = функцияларының бірі өсетін, ал
екіншісі кемитін болса, онда = теңдеуінің осы аралықта жалғыз
түбірі болады немесе ешбір түбірі болмайды [1], [2], [3].
1.3 Теңсіздіктердің жалпы теориясы
Теңсіздіктер туралы жалпы түсінік.
Заттарды санауға байланысты және әр түрлі шамаларды салыстыру
қажеттілігінен теңдік ұғымымен қатар артық және кем ұғымы шыққан.
Салыстырылатын екі санның арасына (үлкен), (кіші) немесе = (тең)
белгілерінің біреуі қойылатынын білеміз.
және белгілері - қарама-қарсы теңсіздік белгілері. мен және
мен белгілері - бірдей теңсіздік белгілері.
Мысалы, 60 және -10 қарама-қарсы теңсіздік белгілері бар санды
тенсіздіктер. 20 және 90 бірдей теңсіздік белгілері бар санды
теңсіздіктер.
Теңсіздік белгісінің сол жағындағы өрнек теңсіздіктің сол жақ бөлігі деп
аталса, оң жағындағы өрнек теңсіздіктің оң жақ бөлігі деп аталады.
Теңсіздіктің сол жақ бөлігіндегі және оң жак бөлігіндегі қосылғыштар
оның мүшелері деп аталады.
Мысалы, 7,5+35,1+2 теңсіздігіндегі 7,5+3 - теңсіздіктің сол жақ бөлігі,
ал 5,1+2 - теңсіздіктің оң жақ бөлігі; 7,5; 3; 5,1 және 2 - теңсіздіктің
мүшелері.
Теңсіздік мағынасына қарай тура теңсіздік және тура емес теңсіздік болып
бөлінеді.
Мысалы: 7,57,3 - тура теңсіздік; 6,24 - тура емес теңсіздік.
Есептеулерде тура теңсіздіктер қолданылады, сондықтан теңсіздік сөзін
ғана пайдаланамыз.
Санды теңсіздікте сандарды әріппен белгілесек, теңсіздік ab; cd
түрінде жазылады. Мұндағы а, b, с және d - кез келген сандар (санды
өрнектер).
Сандарды салыстыруда үш түрлі жағдай кездеседі.
Олар: 1) аb; 2) аb; 3) а=b.
Берілген екі санды (санды өрнекті) салыстырғанда аталған үш жағдайдың
біреуі ғана орын алады.
Анықтама Теңсіздік деп өзара бір-бірімен (үлкен) немесе (кіші)
белгілерімен жалғасқан екі аналитикалық өрнекті айтады.
Анықтама Егер а-b айырымы, мұндағы оң болса, онда а саны b санынан
үлкен деп аталады және ab деп белгіленеді.
Анықтама Егер а-b айырымы, мұндағы теріс болса, онда а саны b
санынан кіші деп аталады және ab деп белгіленеді.
Анықтама а саны ab немесе ab теңсіздігінің сол жақ бөлігі, b саны оң
жақ бөлігі деп аталады.
Анықтама ab және cd немесе ab және cd екі теңсіздіктері бірдей
мағыналы теңсіздіктер деп аталады.
Анықтама ab және cd немесе ab және cd екі теңсіздіктері қарама-
қарсы мағыналы теңсіздіктер деп аталады.
Анықтама немесе белгілерімен жалғасқан теңсіздіктерді қатаң
теңсіздіктер, ал немесе белгілерімен жалғасқан теңсіздіктерді
қатаң емес теңсіздіктер деп атайды.
Анықтама Бір белгісізді теңсіздік деп немесе түріндегі
теңсіздіктерді айтады.
Анықтама теңсіздігінің шешімі деп осы теңсіздікті
қанағаттандыратын барлық х-тардың мәндерін айтады.
Анықтама теңсіздігінің оң және сол жағы анықталған белгісіздердің
барлық мәндерін белгісіздердің мүмкін мәндері деп атайды.
Анықтама Теңсіздік белгісіздерінің барлық мүмкін мәндер жиынын оның
анықталу облысы деп атайды. Белгіленуі: .
Мәндес теңсіздіктер жөніндегі негізгі тұжырымдар.
Анықтама Егер теңсіздігінің барлық шешімі теңсіздігінің де
шешімі болса және керісінше, теңсіздігінің барлық шешімі
теңсіздігінің де шешімі болса, онда мұндай теңсіздіктер мәндес немесе
эквивалентті теңсіздіктер деп аталады, яғни бұл теңсіздіктердің барлық
шешімдер жиыны бірдей болса.
Теорема-1 және теңсіздіктері өзара мәндес.
Теорема-2 және теңсіздіктері мәндес.
Теорема-3 және теңсіздіктері мәндес, егер функциясы
теңсіздігінің -да анықталған болса.
Теорема-4 Егер теңсіздігінің екі жағында, осы теңсіздіктің
анықталу облысында анықталған функциясына көбейтсек, онда бастапқы
теңсіздікке мәндес теңсіздігі шығады.
Теорема-5 Егер теңсіздігінің екі жағында, осы теңсіздіктің
анықталу облысында анықталған функциясына көбейтсек, онда бастапқы
теңсіздікке мәндес теңсіздігі шығады.
Теорема-6 және теңсіздіктері өзара мәндес.
Теорема-7 және аралығында жататын кез келген а үшін
мәндес.
Теорема-8 және (0,1) аралығында жататын кез келген а үшін
мәндес.
Теорема-9 Егер А жиынында функциялары теріс емес болса, онда
және теңсіздіктері мәндес.
Теорема-10 және теңсіздіктері өзара мәндес.
Теорема-11 және теңсіздіктері өзара мәндес.
Теорема-12 аралығында жататын кез келген а үшін және А жиынында оң
функциялары үшін және теңсіздіктері мәндес.
Теорема-13 (0;1) аралығындағы кез келген а үшін және А жиынында оң
функциялары үшін және А жиынында оң функциялары үшін және
теңсіздіктері мәндес.
1.4 Теңсіздіктерді шешу тәсілдері
Теңсіздіктерді шешуде түрлі тәсілдерді қолданып шешу тәсілі нәтиженің
көрінісінде көркемдей түседі, әсіресе оқушылардың логикалық ойлау
қабілетінің, ойлау мәдениетінің қалыптасып дами түсуіне ықпал етуі анық.
Берілген есептердің әрқайсысын бірнеше тәсілдермен шығара алған оқушы
есептерді шешудің ең тиімді жолын оңай тауып, әсемдік көріністі көре алады.
Теңсіздіктерді шешуде келесі тәсілдер қолданылады:
1)Теңсіздікті шешудің аналитикалық тәсілі;
2) Теңсіздікті шешудің графиктік тәсілі;
3) Теңсіздікті шешудің интервалдар әдісі
1)Теңсіздікті шешудің аналитикалық тәсілі:
Анықтама. түріндегі теңсіздікті сызықты теңсіздік деп атайды.
Мұндағы , белгісі белгілерінің бірі.
Бізге теңсіздігі берілсін.
теңсіздіктің қасиеті бойынша
1) егер
2) егер
3) егер жән
4) егер және ø.
2) Теңсіздікті шешудің графиктік тәсілі:
Теңсіздікті графиктік тәсілмен шешу үшін және функцияларының
графиктерін сызу керек. Осы графиктердің қиылысуы х нүктесін береді.
3) Теңсіздікті шешудің интервалдар әдісі
Рационал теңсіздіктердің негізгі әдісі – интервалдар әдісі. Бұл әдісті
пайдалану үшін теңсіздіктің оң жағында ноль, ал сол жағында бірнеше
көбейткіштің көбейтіндісі немесе алымы мен бөлімі, көбейткіштерге жіктелген
бөлшек болатындай түрлендіру қажет. Одан кейін әрбір көбейткіштің
түбірлерін табу қажет және олардың ішінен таңбасына өзгертпейтін немесе
таңбасын жұп сан көбейткіш өзгертетін көбейткіштерді іріктеп алады.
Келешекте мұндай түбірлерді, егер олар табылса, жұп еселік түбірлер деп
аталады.
Теңсіздікті толық шешу үшін табылған түбірлерді түзуге белгілеп,
теңсіздіктің сол жағының бір интервал таңбасын тауып алып таңбаларды басқа
интервалдарға түбірлерден өткенде оларды өзгерте отырып белгілеу керек,
егер бұл жұп еселікті түбір болмаса [3], [4], [5].
2 Мектеп математика курсында теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету
әдістемесі
2.1 Теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесі
Мектепте теңдеу мен теңсiздiктi және олардың жүйелерiн ерте бастан
жүйелi түрде оқыту дәстүрi қалыптасты. Бұл дәстүр қазiргi бағдарламаларда
да көрiнiс тапқан: теңдеу ұғымы, сызықтық теңдеу, екi белгiсiзi бар
сызықтық теңдеулер жүйесi 6-сыныпта, квадрат теңдеулер мен рационал
теңдеулер 7,8-сыныпта, мәндес теңдеулер мен теңсiздiктер және
тригонометриялық теңдеулер 10-сыныпта, дифференциалдық теңдеулер туралы
ұғым, көрсеткiштiк және логарифмдiк теңдеулер 11-сыныпта оқытылады.
Теңдеулер туралы теориялық мәлiметтердi баяндау мектептегi алгебра
курсының басқа тақырыптарын: нақты сандар, өрнектер мен функцияларды теңбе-
тең түрлендiру, математикалық талдаудың бастамалары курсын өтудiң мазмұны
мен ретiне қарай жүргiзiледi.
Орта мектепте теңдеулер мен теңсiздiктердi олардың түрлерiне байланысты
баяндаудың әртүрлi нұсқаулары кездеседi‚ кейде теңдеулер мен теңсiздiктердi
параллель оқыту туралы ұсыныс та бар.
Әдiстемелiк әдебиеттерде теңдеудiң мынадай анықтамалары кездеседi.
1. Екi алгебралық өрнекке енетiн әрiптiң қандай да бiр мәндерiнде бiрдей
сандық мәндер қабылдайтын теңдiктi теңдеу деп атайды.
2. Бiр белгiсiзi бар теңдеу былайша жазылады: f(х)=(х). Егер х0
саны бiрiншiден f(х) және (х) функцияларының анықталу облысына енетiн
болса, екiншiден мына сандық теңдiк f(х0)=(х0) орындалатын болса, онда
х0 саны теңдеудiң түбiрi деп аталады. Теңдеудi шешу деп оның барлық
түбiрлерiн табуды айтады.
3. Бiр айнымалысы бар теңдеу деп осы айнымалы арқылы құрылған теңдiктi
айтады. Теңдiктегi айнымалыны әдетте белгiсiз шама деп атайды. Белгiсiздiң
орнына апарып қойғанда берiлген теңдеудi дұрыс теңдiкке айналдыратын
айнымалының мәнiн теңдеудiң түбiрi (шешiмi) деп атайды.
4. Белгiсiзi бар теңдiктi теңдеу деп атайды. Белгiсiздiң теңдiктi дұрыс
сандық теңдiкке айналдыратын мәндерi теңдеудiң түбiрi деп аталады. Теңдеудi
шешу дегеніміз оның барлық түбiрлерiн табу.
Теңдеу ұғымының бұл анықтамаларын бiр-бiрiне қарсы қоюға болмайды. Бұл
анықтамалардың әрқайсысы теңдеулердi шешудiң теориялық және практикалық
мәселелерiнде қолданылады.
Мектеп оқулықтарында қазiргi кезде теңдеудiң анықтамасы 4-анықтама
негiзiнде алынған.
Теңдеу ұғымына ең жақын ұғым теңбе-теңдiк. Бiрақ ол көбiнесе теңдеу
ұғымына байланыссыз анықталады. Бұл әдетте теңбе-теңдiк теңдеуден бұрын
өтiлген жағдайда кездеседi. Алдымен теңбе-теңдiк айнымалының кез келген
мәнiнде дұрыс болатын теңдiк деп қарастырылады. Кейiнiрек рационал
бөлшектердi қарастырғанда теңбе-теңдiк ұғымы дәлiрек анықталады:
айнымалының барлық мүмкiн мәндерiнде орындалатын теңдiктi теңбе-теңдiк деп
атайды.
Теңдеу мен теңбе-теңдiк ұғымдарының арасыңдағы тiкелей байланыс мынадай
анықтамамен берiледi: егер f(х)=g(х) теңдеуiнiң шешiмдерiнiң жиыны берiлген
теңдеудiң аңықталу облысымен сәйкес келетiн болса, онда бұл теңдеудi теңбе-
теңдiк деп атайды.
Мектептегi теңдеулерді шешудің жалпы әдістері.
Орта мектепте теңдеулер тақырыбына байланысты мынадай негiзгi мәселелер
қарастырылады.
Бiр немесе бiрнеше белгiсiзi бар теңдiктi теңдеу деп атайды. Бiр
белгiсiзi және n белгiсiзi бар теңдеу жалпы түрде былайша жазылады:
f(x)=0; f(x1, x2, ... ..xn)=0.
f(x) немесе f(x1, x2,...,xn) функцияларының анықталу облысын теңдеудiң
мүмкiн мәндер облысы дейді.
Мысалы: теңдеуiнiң мүмкiн мәндерiнiң облысы болады.
Орнына апарып қойғанда берiлген теңдiктi дұрыс санды теңдiкке
айналдыратын белгiсiздiң мәндерiн теңдеудiң түбiрлерi деп атайды.
Мысалы: х2 –4=0 теңдеуiн шешу деп, оның түбiрлерi х1 =-2, х2 =2-нi
табуды айтады. х2 + 4=0 теңдеуiн шешу деп, оның түбiрлерiнiң жоқ екендiгiн
көрсету.
Кез келген күрделі теңдеу түрлендірулер нәтижесінде не сызықтық, не
квадрат теңдеуге, не қарапайым иррационал, тригонометриялық, көрсеткіштік,
логарифмдік теңдеулердің біріне келтіріледі.
Рационал, иррационал, көрсеткіштік т.б. теңдеулердің белгілі бір түріне
лайықты өзіндік шешу әдістері болғанымен, барлық теңдеулерді шешуге ортақ
идея, жалпы әдістер бар. Ондай жалпы әдістер үшеу:
1) Теңдулерді шешудің көбейткіштерге жіктеу әдісі;
2) Теңдулерді шешудің жаңа белгісіз енгізу әдісі;
3) Теңдулерді шешудің функционалды-грфиктік әдісі.
Мәндес теңдеулер.
Теңдеулерді шешу кезінде әр түрлі түрлендірулер жүргізіп, алдыңғымен
салыстырғанда қарапайым түрге келтіреді. Түрлендірулер тізбегі нәтижесінде
пайда болған, соңғы теңдеудің шешімдері берілген теңдеудің түбірлері бола
ма, бөгде түбірлер қайдан пайда болды немесе теңдеудің түбірлерінің жоғалып
кету жағдайлыры неліктен орын алды деген мәселелер мәндес теңдеулер
ұғымымен байланысты. Қандай теңдеулер мәндес деп аталынады, қандай
түрлендірулер мәндес түрлендіру болады, қандай жағдайда мәндес емес, оны
қалай білуге болады, т. б. мәселелерді оқушылар саналы түрде меңгеруі
керек.
Мектеп математика курсында мәндес түрлендіру ұғымы біртіндеп, оқушыларда
ол ұғымға деген қажеттілік пайда болып, белгілі бір тәжірибе жинақталғанда
енгізіледі. Математика тілінде қандай да бір жаңа терминнің пайда болуы,
оған деген қажеттілік болғанда ғана енгізілетінін оқушы түсіну тиіс.
Сызықтық теңдеулер мен квадрат теңдеулерді оқып үйрену кезінде мәндес
теңдеу және мәндес түрлендіру туралы мәселе көтерілмейді. Себебі бұл жерде
мәндес емес түрлендіру мүлде болмайды, сондықтан мәндес теңдеу терминін
енгізуге деген қажеттілік те жоқ.
Алгебралық бөлшектерді оқып үйренуге байланысты, бөлшек рационал
теңдеулердің бөлімінен құтылу кезінде бөгде түбірлердің пайда болуы туралы
алғашқы түсінік беріледі. Сол кезде бірінші рет мәндес теңдеу термині
енгізіледі. Осы кезде мәндес теңдеу ұғымын енгізуге деген қажеттілік те
пайда болады, тәжірибе де жинақталады.
Түбiрлерi бiрдей болатын екi теңдеудi өзара мәндес теңдеулер деп атайды.
Бір теңдеудің әрбір түбірі екінші теңдеуді де қанағаттандырса және
керісінше, екінші теңдеудің кез келген түбірі бірінші теңдеуді
қанағаттандырса, онда олар мәндес немесе эквивалент теңдеулер делінеді.
Дербес жағдайда, түбiрлерi жоқ барлық теңдеулер өзара мәндес.
Егер = теңдеуінің әрбір түбірі бір уақытта =
теңдеуінің де түбірлері болса, онда = теңдеуі =
теңдеуінің салдары деп, немесе теңдеу-салдар деп аталады.
= теңдеуі = теңдеуінің салдары екендігін көрсету
үшін, = теңдеуін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндері
=теңдеуін қанағаттандыратын-дығына көз жеткізу жеткілікті.
х2-8х=0 теңдеуінің салдары (х2-8х)(х+5)=0 теңдеуі болатындығын көрсету
үшін х2-8х=0 теңдеуінің әрбір түбірі (х2-8х)(х+5)=0 теңдеуінің де шешімі
болатындығына көз жеткізіледі.
Егер екі теңдеудің бірі екіншісінің салдары және керісінше болса, онда
екі теңдеу мәндес болады.
Сызықтық теңдеуді шешеу.
Сызықтық теңдеуді шешу бастауыш сынып математикасын оқытудан басталады.
1. Бастауыш сыныптарда мынадай сызықтық теңдеудi шешу қарастырылады:
7+х=10, x-3=10+5, x˝(17-10)=70, x:2+10=30 т.с.с. Белгiсiз санды алдымен
iрiктеп, таңдап алу әдiсiн пайдаланып теңдеудуің түбірі табылады. Кейiн,
теңдеудің түбірін табу арифметикалық амалдардың компоненттерi мен
нәтижелерiнiң арасындағы байланысқа сүйенiп табуға үйретіледі. Мысалы,
бiрiншi теңдеудi шешкенде оқушылар былайша пайымдайды: “Белгiсiз қосылғышты
анықтау үшiн қосындыдан белгiлi қосылғышты алуымыз қажет: х=10-7, х=3".
Теңдеулермен танысу формальдi түрде жүргiзiлмейдi. Мысалы, мынадай есеп
қарастырылады: “Белгiсiз санға 3-тi қосқанда 8 шыққан. Белгiсiз санды
анықтаңдар”. Есеп қысқаша түрде былайша жазылады: ? +3=8. символының
орнына қойылатын сан таңдап алу әдiсiмен анықталады. Бұдан кейiн белгiсiз
санды x арқылы белгiлеп оны былайша жазуға болатындағы айтылады: х+3=8.
Бастауыш сыныптарда теңсiздiктер де таңдап алу әдiсiмен шығарылады,
көбiнесе теңсiздiк шешiмдерiнiң шектi бөлiктерi ғана табылады.
2. 5-сыныпта да тендеулер арифметикалық амалдардың компоненттерi мен
нәтижелерiнiң арасындағы байланыс бойынша шешiледi, көбiнесе алдын-ала
өрнектердi ықшамдап алады. Мысалы‚ 13899+х = 2716+13899. Оқушылар
көбейтудiң қосу (азайту) амалына қатысты үлестiрiмдiлiк заңын пайдаланып‚
мынадай 4х+4х=424; 15а-8а=714 т.с.с. теңдеулердi шешедi. Ондық бөлшектердi
өту кезiнде мынадай теңдеулер шешiледi:
8,6-(x+2,75)=1,85; x+2,8=3,72+0,38; 45,7x+0,3x-2,4=89,6.
Бұл теңдеудердi шешу де арифметикалық амалдардың нәтижесi мен
компоненттерiнiң қасиеттерiне негiзделген.
3. 6-сыныпта оң таңбалы және терiс таңбалы сандарды өткенде сызықтық
теңдеудiң жаңа мысалдары, кейбiр сызықтық емес теңдеулер қарастырылады.
Қарама-қарсы сандардың анықтамасына сүйенiп, мынадай теңдеулердiң -х=607;
-а=-30,04 шешiмдерi анықталады. Модульдiң анықтама-сына сүйенiп
теңдеулерiнiң шешiмдерi табылады. 6-сыныпта "жақшаларды ашу" теңбе-тең
түрлендiруiмен танысқаннан кейiн 7,2-(6,2-х)=2,2; -5+(a-25)=-4 теңдеулердi
шешудiң жолы қысқартылады. Көбейтiндiнiң нольге тең болу шартын өткен соң
мынадай теңдеулер шығарылады: 4(х-5)=0, (3x-6)2,4=0; (x+3)(x+4)=0 т.с.с.
Оқушыларды теңдеулердi шешудiң тәсiлiмен таныстырудың жаңа қадамы
қосылғыштарды теңдеудiң бiр жағынан екiншi жағына өткiзу ережесi болып
табылады. Осы ережеге сүйенiп, олар мынадай теңдеудi шешедi: 15y-8=-
6y+4,6; 6x-12=5x+4 т.с.с.
4. Одан кейін (6 сыныптың соңы немесе 7 сыныпта) сызықтық теңдеудi
шешуге байланысты мәлiметтер жүйеленедi. Кейбiр оқу құралдарында бiрiншi
дәрежелi теңдеу мен сызықтық теңдеудiң айырмашылығы қарастырылады. Бiрiншi
дәрежелi теңдеудiң сызықтық теңдеудiң дербес жағдайы екендiгi айтылады.
Әдетте сызықтық теңдеу мына теңдiкпен ах+b=0 анықталады, мұндағы а саны
белгiсiз алдында тұрған коэффицент деп, ал b-бос мүше деп аталады. Бiр
белгiсiзi бар сызықтық теңдеудi шешудiң жалпы тәсiлiн көрсеткен тиiмдi:
10.
20.
30.
Оқушыларға бiр теңдеудi шешудiң бiрнеше тәсiлдерiн табуға үйреткен
пайдалы.
Мысалы, -х=0,5 теңдеуiн мынадай тәсiлдермен шешуге болады:
алдымен бұл теңдеудi мына түрде жазып аламыз: 0-х=0,5; одан кейiн белгiлi
айырма мен белгiсiз азайғыштың арасындағы байланысқа сүйенiп, мынаны
табамыз: x=0-0‚5; x=-0‚5;
қарама-қарсы сандардiң анықтамасына сәйкес‚ белгiсiз х саны 0,5 санына
қарама-қарсы. Сондықтан х=-0,5.
мәндес тендеулер туралы екiншi теоремаға сүйенсек, (-х)(-1)=0,5(-1)
болады. Бұдан х=-0,5.
Математиканы оқытудың психологиялық аспектiлерiнiң бiрi жаңа оқу
материалын өтудiң себебiн негiздеу болып табылады. Осы мәселенi
тендеулердiң жаңа түрiн енгiзу үшiн қарастырайық. Математиканы оқыту
әдiстемесiнде керi есеп ұғымы кездеседi. Бұл ұғымды түсiндiрейiк. Бiр х,у
және z айнымалылары туралы сөз болып, мұндағы х және у айнымалы шамалары
берiлген, ал z-iзделiндi айнымалы шама. Ендi мынадай есеп қарастырайық,
мысалы х және z айнымалы шамалары берiлген, ал у - iзделiндi айнымалы шама
болсын. Есептiң мазмұны мен айнымалы шамалардың арасындағы арақатыстар
өзгермейтiн болсын. Сонда мұндай екi есеп өзара керi есептер деп
аталады. өзара керi есептердi шешу үшiн әртүрлi теңдеудiң түрлерi
қолданылады. Сондықтан керi есептердi шешу мен құрастыру теңдеулердiң жаңа
түрiн оқытуды негiздеудiң пайдалы әдiстемелiк негiзi болып табылады.
Осындай есептерге мысалдар келтiрейiк.
1) санына қандай да бiр санды қосқанда санына керi сан
шыққан. Қандай сан қосылған?
2) Қайсыбiр оң санға 1,5-тi қосқанда, бiрiншi санға керi сан шыққан. Осы
сандарды табыңдар.
3) Қоймада алғашқы кезде т жанармай бар болатын. Жаңадан бiрнеше
тонна жанармай түсiрiлгеннен кейiн қоймадағы барлық жанармай санына
керi санмен өрнектелетiн болды. Қоймаға қанша тонна жанармай әкелiндi?
4) Қоймада белгiлi мөлшерде жанармай бар едi. Қоймаға жаңадан 1,5 т
жанармай әкелiнген соң, олардың мөлшерi алғашқы санға керi санмен
өрнектелетiн болды. Қоймада алғашқы кезде қанша жанармай бар едi?
Бiрiншi есептi шешу мынадай сызықтық тендеуге келтiрiледi: +х=2,
бұдан х=1,5. екiншi есептiң шешуi немесе х2+1,5х-1=0 теңдеуiне
келтiрiледi. Сонымен, екiншi есептi шығару үшiн ах2+bx+с=0 теңдеудiн шеше
бiлу қажет.
Теңдеулердi шешу әдiсi көбейген сайын оқушыларда оларды таңдап алу
қиындығы туа бастайды. Осыған байланысты теңдеудi шешудiң тәсiлдерiн
анықтауға арнаулы тапсырмалар қарастырған пайдалы. Мұндай тапсырмаларды
орындауды екi кезеңмен жүргiзген тиiмдi: 1) алдымен берiлген тендеулер
үшiн тек шешу жолдарын ғана көрсету; 2) одан соң тендеулердi шешу.
Теңдеулер мен теңсiздiктер оқулықта әртүрлi баяндалады. Бiз төменде
Т.А.Алдамұратованың "Математика-6" оқулығындағы "Теңдеу" тақырыбының
баяндалуын қарастырайық.
Құрамында әрiппен белгiленген белгiсiзi (айнымалысы) бар теңдiк теңдеу
деп атады. Мысалы, 5x+8=18; 6x+7=-5; 3(x+7)=15 теңдеулер, х-белгiсiз
(айнымалы). Мұндай теңдеулердi бiр белгiсiзi бар немесе бiр айнымалысы бар
теңдеулер деп атайды.
Теңдеулердiң оң жағы және сол жағы болады. Мысалы, 4x+7=19 теңдеуiндегi
4х+7 – теңдеудiң сол жағы, ал 19-теңдеудiң оң жағы. Теңдеудегi алгебралық
қосылғыштардың әрқайсысы оның мүшелерi деп аталады 4х; 7; 19 - мүшелер.
Мұндағы 4х -белгiсiзi бар мүше, 7, 19 - бос мүшелер.
Теңдеумен берiлген мысалдар мен есептердi шығарғанда, ондағы әрiппен
берiлген белгiсiздiң немесе айнымалының сан мәнiн табамыз.
Белгiсiз санның немесе айнымалының теңдеудi дұрыс санды теңдiкке
айналдыратын мәнi теңдеудiң түбiрi деп аталады.
Теңдеудi шешу дегенiмiз – оның түбiрлерiн табу немесе түбiрлерiнiң жоқ
екенiн дәлелдеу. Теңдеулердi шешкенде кейде түбiрлерi бiрдей болатын
теңдеулер де кездеседi. Түбiрлерi бiрдей болатын ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz