Гамильтон-Якоби теңдеуі
КІРІСПЕ
1 БЕЙСТАЦИОНАРЛЫҚ МЕХАНИКА ЕСЕБІНДЕГІ ГАМИЛЬТОН.ЯКОБИ ӘДІСІ
1.1 Гамильтон.Якоби теңдеуінің дифференциалдық жүйесі
1.2 Интегралдаудағы Гамильтон.Якоби теңдеуінің қолданылуы
1.3 Гамильтон.Якоби теңдеуінің бейстационарлық интегралдау жағдайы
1.4 Динамикалық жүйенің бір класы үшін Гамильтон.Якоби теңдеуі
1.5 Гравитацияланатын ортадағы тартылыстың бейстационарлық өрістегі материалдық нүктенің қозғалысы
2 ЕКІ ҚОЗҒАЛМАЙТЫН НҮКТЕНІҢ МОДЕЛЬДІК ЕСЕБІ
2.1 Гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысының есептері
2.2 Қозғалмайтын екі дене есебі
2.3 Қозғалмайтын екі дененің жазық беттегі есебі
3 ҚОЗҒАЛМАЙТЫН ЕКІ НҮКТЕ ЕСЕБІНДЕГІ МАССАНЫҢ АЙНЫМАЛЫЛЫҒЫ
3.1 Қозғалыстың бейстационарлық теңдеуі. Есепті құру
3.2 Гамильтон . Якоби теңдеуін квадратураға келтіру
3.5 Екі дене есеіндегі массаның айнымалылығы
ҚОРЫТЫНДЫ
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1 БЕЙСТАЦИОНАРЛЫҚ МЕХАНИКА ЕСЕБІНДЕГІ ГАМИЛЬТОН.ЯКОБИ ӘДІСІ
1.1 Гамильтон.Якоби теңдеуінің дифференциалдық жүйесі
1.2 Интегралдаудағы Гамильтон.Якоби теңдеуінің қолданылуы
1.3 Гамильтон.Якоби теңдеуінің бейстационарлық интегралдау жағдайы
1.4 Динамикалық жүйенің бір класы үшін Гамильтон.Якоби теңдеуі
1.5 Гравитацияланатын ортадағы тартылыстың бейстационарлық өрістегі материалдық нүктенің қозғалысы
2 ЕКІ ҚОЗҒАЛМАЙТЫН НҮКТЕНІҢ МОДЕЛЬДІК ЕСЕБІ
2.1 Гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысының есептері
2.2 Қозғалмайтын екі дене есебі
2.3 Қозғалмайтын екі дененің жазық беттегі есебі
3 ҚОЗҒАЛМАЙТЫН ЕКІ НҮКТЕ ЕСЕБІНДЕГІ МАССАНЫҢ АЙНЫМАЛЫЛЫҒЫ
3.1 Қозғалыстың бейстационарлық теңдеуі. Есепті құру
3.2 Гамильтон . Якоби теңдеуін квадратураға келтіру
3.5 Екі дене есеіндегі массаның айнымалылығы
ҚОРЫТЫНДЫ
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
КІРІСПЕ
Екі қозғалмайтын нүктенің модельдік есебі тақырыбына ұқсас жақын арада жарық көрген бірнеше жұмыстар белгілі, оларда гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысының есептері қарастырылған. Жердің гравитациялық өрісіне жуық, мұндай қойылған есептер қозғалыстың дифференциялдық теңдеулерінің шешімдері болуы мүмкін [1,2,5,29-35].
Жұмыстың негізгі нәтижелері төмендегі конференцияларда мақала ретінде дайындалып, талқыланды:
1. Усовские чтения «Методология и методика формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов» тақырыындағы ХХ халықаралық ғылыми – тәжіриелік конференцияның материалдары, І бөлім. Челяинск, 4-5 сәуір, 2013ж.
2. Төлегенов оқулары «Қазақстанның білім беру жүйесін дамытудағы инновациялық бағыттар» тақырыбындағы республикалық ғылыми-тәжірибелік конференциясының І бөлімі. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 12 сәуір, 2013ж.
3. «Шоқан тағылымы – 17» Халықаралық ғылыми – практикалық конференция бағдарламасы Көкшетау, 25-26 сәуір, 2013ж.
4. «ХІІ – Халықаралық Байқоңыр оқулары» ғылыми – практикалық конференция бағдарламасы Жезқазған, 15-16 қараша, 2013 ж.
5. Төлегенов оқулары «Заманауи білім беру жүйесі: тәжірибеден – болашаққа» тақырыбындағы республикалық ғылыми – тәжірибелік конференцияның материалдары. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 11 сәуір, 2014ж.
Тағайындалған жұмыста алынған нәтижелер зерттеу зерзаты – «Екі қозғалмайтын нүктенің модельдік есебі» мәселесін әрі қарай дамыту іргетасын қалайды.
Дипломдық жұмыстың толық көлемі 63 бет. Ол жоспары, кіріспе, үш тараудан тұратын негізгі бөлім, қорытынды, пайдаланылған 34 әдебиеттен тұрады.
Жұмыстың өзектілігі. Гамильтон-Якоби әдісі канондық теңдеулердің интегралдауының жемісті және икемді әдістерінің бірі болып табылады. Осы мақсатта Гамильтон-Якоби теңдеуі құрастырылғаннан кейін оның табылған толық интегралынан бастапқы есептері шығарылуы мүмкін. Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық инегралын табудың жалпы әдісі жоқ, бірақ Гамильтон-Якоби теңдеуінің жеке интегралдау әдістері бар. Сондықтан Гамильтон-Якоби теңдеуінің интегралдау мәселесі классикалық механикада өзекті болып қала береді.
Жұмыстың ғылыми жаңалықтары:
- жұмыста Гамильтон – Якобидің интегралданған бейстационарлы теңдеуінің дара шешімдері анықталған;
- екі қозғалмайтын нүктелердің тартылуы яғни біз білетіндей эллипстік квадратта интегралдануы;
- орталық сфералық емес дененің тартылуының әсерінен материалдық нүкте қозғалыс есептеріне жуық есептерінің шешімдері үлкен планеталар спутниктерінің қозғалыс теориясында бұл есеп маңызды рөл атқарады;
- Жердің күштік функцияларының кейбір сыртқы нүктелерде (геоцентрлік және экваторлық) бөлінуі;
Екі қозғалмайтын нүктенің модельдік есебі тақырыбына ұқсас жақын арада жарық көрген бірнеше жұмыстар белгілі, оларда гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысының есептері қарастырылған. Жердің гравитациялық өрісіне жуық, мұндай қойылған есептер қозғалыстың дифференциялдық теңдеулерінің шешімдері болуы мүмкін [1,2,5,29-35].
Жұмыстың негізгі нәтижелері төмендегі конференцияларда мақала ретінде дайындалып, талқыланды:
1. Усовские чтения «Методология и методика формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов» тақырыындағы ХХ халықаралық ғылыми – тәжіриелік конференцияның материалдары, І бөлім. Челяинск, 4-5 сәуір, 2013ж.
2. Төлегенов оқулары «Қазақстанның білім беру жүйесін дамытудағы инновациялық бағыттар» тақырыбындағы республикалық ғылыми-тәжірибелік конференциясының І бөлімі. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 12 сәуір, 2013ж.
3. «Шоқан тағылымы – 17» Халықаралық ғылыми – практикалық конференция бағдарламасы Көкшетау, 25-26 сәуір, 2013ж.
4. «ХІІ – Халықаралық Байқоңыр оқулары» ғылыми – практикалық конференция бағдарламасы Жезқазған, 15-16 қараша, 2013 ж.
5. Төлегенов оқулары «Заманауи білім беру жүйесі: тәжірибеден – болашаққа» тақырыбындағы республикалық ғылыми – тәжірибелік конференцияның материалдары. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 11 сәуір, 2014ж.
Тағайындалған жұмыста алынған нәтижелер зерттеу зерзаты – «Екі қозғалмайтын нүктенің модельдік есебі» мәселесін әрі қарай дамыту іргетасын қалайды.
Дипломдық жұмыстың толық көлемі 63 бет. Ол жоспары, кіріспе, үш тараудан тұратын негізгі бөлім, қорытынды, пайдаланылған 34 әдебиеттен тұрады.
Жұмыстың өзектілігі. Гамильтон-Якоби әдісі канондық теңдеулердің интегралдауының жемісті және икемді әдістерінің бірі болып табылады. Осы мақсатта Гамильтон-Якоби теңдеуі құрастырылғаннан кейін оның табылған толық интегралынан бастапқы есептері шығарылуы мүмкін. Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық инегралын табудың жалпы әдісі жоқ, бірақ Гамильтон-Якоби теңдеуінің жеке интегралдау әдістері бар. Сондықтан Гамильтон-Якоби теңдеуінің интегралдау мәселесі классикалық механикада өзекті болып қала береді.
Жұмыстың ғылыми жаңалықтары:
- жұмыста Гамильтон – Якобидің интегралданған бейстационарлы теңдеуінің дара шешімдері анықталған;
- екі қозғалмайтын нүктелердің тартылуы яғни біз білетіндей эллипстік квадратта интегралдануы;
- орталық сфералық емес дененің тартылуының әсерінен материалдық нүкте қозғалыс есептеріне жуық есептерінің шешімдері үлкен планеталар спутниктерінің қозғалыс теориясында бұл есеп маңызды рөл атқарады;
- Жердің күштік функцияларының кейбір сыртқы нүктелерде (геоцентрлік және экваторлық) бөлінуі;
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1 Дубошин Г.Н., Рыбаков А.И., Калинина Е.П., Холопов П.Н. О динамической эволюции Трапеций Ориона. // Сообщения ГАИШ 1971. N 175
2 Беков А.А., Омаров Т.Б. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и некоторые нестационарные задачи небесной механики // Аж. 1978. Т.55.вып.3. с.635-644.
3 Беков А.А. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и динамические системы, приводимые к канонической форме // ПММ 1986. Т.50. вып.5. с. 717-726,
4 Гликман Л. Г. Оценки элементов оскулирующей орбиты для задачи двух тел переменной массы//АЖ 1976 Т.53,№ 1. с.185-190.
5 Омаров Т.Б. К динамике гравитирующих систем на нейтринном фоне Вселенной, // Астрофизика. 1972 Т.8. с.315-319
6 Омаров Т.Б. Об одной эволюционной функции для нестационарных гравитирующих систем 1. // Труды АФИ АН КазССР 1988. Т.49. С. 80-85.
7 Кожанов Т.С., Омаров Т.К. К динамике крупномасштабной гравитирующей системы.// Труды АФИ АН КазССР 1974. Т. 36. С.21-27.
8 Дубошин Г.Н. Движение материальной точки под действием силы, зависящей от времени I. АЖ 1925. Т.2.вып.4. С.5-Т1. Гликман Л.Г. К задаче двух тел переменной массы // АЖ 1978 т.55 вып.4 С. 873-880.
9 Холопов П.Н. О единстве строения звездных скоплений. // АЖ 1968. Т. 45, N 4 с. 786
10 Дубошин.Г.Н. Движение материальной точки под действием силы, зависящей от времени II. АЖ 1927. Т.4. вып. 2; С. 123-142.
11 Омаров Т.Е. К-задаче двух тел переменной массы. Известия АФИ АН КазССР, т..13,с:. 16-20, 1962.
12 Омаркулов К.А., Омаров Т.Б. Канонические оскулирующие элементы задачи двух тел переменной массы // Тр. АФИ КазССР. Алма-Ата, 1982. С.108-113
13 Гельфгат Б.Е. К задаче двух тел переменной массы п^наличии возмущающейся силы, пропорциональной скорости. Докл. на науч. конференции в Ярослав. ГГШ , т, 1, № 13,с. 147-153, 1962.
14 Омаров Т.Б О движении двух тел с корпускулярным излучением. АЖ т.40, № 4, с. 92.1-928. 1963.
15 Демченко Б.И., Омаров Т.Б. К задаче двух тел переменной массы при наличии сопротивляющейся Среды. Тр АФИ АН КазССР, т.29, с. 16-21, 1977.
16 Омаров Т.В. Развитие небесной механики тел переменной массы в Казахстане // Материалы 1 съезда по теоретической и прикладной механике 1996 .Алматы с 35-26.
17 Беркович Л.М. Задача Гильдена-Мещерского и законы изменения массы // Докл. АН СССР. 1980. т.250, № 5 , с. 1088-1091
18 Беркович Л.М, Преобразование задачи Гильдена-Мещерского к стационарному виду и законы изменения массы. //Прикл. мат. и мех. 1980. т. 44Б № 2, с. 354-357
19 Разбитная Е.П. Задача двух тел с переменными массами: классификация различных случаев //АЖ. 1985. Т. 62, вып. 6. С. 1175-1181.
20 Поляхова Е.Н. Небесномеханические аспекты задачи двух и трех тел с переменными массами // Ученые записки ЛГУ, серия математических наук. 1989. Т. 42. №424, вып. 64. С. 104-143
21 Дьяков Б.Б., Резников Б.И. Троянские орбиты в системе двух гравитирующих центров переменной массы с изменяющимся межцентровым расстоянием // Бюлл. Инт-та теор.астрон. АН СССР 1984 Т. 15, № 6 с.169.
22 Омаркулов К.А., Беков А.А., Абдыкаримова К.А. Нестационарная задача неподвижных центров и ее приложение в звездной динамике // Сб. Проблемы физики и динамики звездных систем. ТашГУ им.Ленина. Ташкент. 1989. С.51-52.
23 Беков А.А., Омаров Т.Б. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и некоторые нестационарные задачи небесной механики // Аж. 1978. Т.55.вып.З. с.635-644.
24 Беков А.А. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и динамические системы, приводимые к канонической форме // ПММ 1986. . Т.50. вып.5. с. 717-726,
25 Омаркулов К.А., Беков А.А. О критериях устойчивости кольцевых галактик // Сб. Динамика стац.и нестац.гравитирукедих систем // Тр. АФИ КазССР 1986 Т.45. С.17-22
26 Омаркулов К.А., Беков А.А. О критериях устойчивости кольцевых галактик // Сб. Динамика стац.и нестац.гравитирукедих систем // Тр. АФИ КазССР 1986 Т.45. С.17-22
27 Беков А.А., Омаров Т.Б. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и некоторые нестационарные задачи небесной механики // Аж. 1978. Т.55.вып.З. с.635-644.
28 Беков А.А. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и динамические системы, приводимые к канонической форме // ПММ 1986. Т.50. вып.5. с. 717-726,
29 Омаркулов К.А., Нургалиев А., Абдыкаримова К.А. Typaқты ұйтқу кезiнде: дөңгелек орбиталар бойынша қозғaлыстар туралы "Қазақ тiлi және ғылым тану" 1-шi ғылыми -прак. конф. Алматы. 1990. С.12
30 Усовские чтения «Методология и методика формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов» тақырыындағы ХХ халықаралық ғылыми – тәжіриелік конференцияның материалдары, І бөлім. Челяинск, 4-5 сәуір, 2013.
31 Төлегенов оқулары «Заманауи білім беру жүйесі: тәжірибеден – болашаққа» тақырыбындағы республикалық ғылыми – тәжірибелік конференцияның материалдары. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 11 сәуір, 2014.
32 Төлегенов оқулары «Қазақстанның білім беру жүйесін дамытудағы инновациялық бағыттар» тақырыбындағы республикалық ғылыми-тәжірибелік конференциясының І бөлімі. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 12 сәуір, 2013. 53 Б.
33 «Шоқан тағылымы – 17» Халықаралық ғылыми – практикалық конференция бағдарламасы Көкшетау, 25-26 сәуір, 2013.
34 «ХІІ – Халықаралық Байқоңыр оқулары» ғылыми – практикалық конференция бағдарламасы Жезқазған, 15-16 қараша, 2013 .
1 Дубошин Г.Н., Рыбаков А.И., Калинина Е.П., Холопов П.Н. О динамической эволюции Трапеций Ориона. // Сообщения ГАИШ 1971. N 175
2 Беков А.А., Омаров Т.Б. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и некоторые нестационарные задачи небесной механики // Аж. 1978. Т.55.вып.3. с.635-644.
3 Беков А.А. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и динамические системы, приводимые к канонической форме // ПММ 1986. Т.50. вып.5. с. 717-726,
4 Гликман Л. Г. Оценки элементов оскулирующей орбиты для задачи двух тел переменной массы//АЖ 1976 Т.53,№ 1. с.185-190.
5 Омаров Т.Б. К динамике гравитирующих систем на нейтринном фоне Вселенной, // Астрофизика. 1972 Т.8. с.315-319
6 Омаров Т.Б. Об одной эволюционной функции для нестационарных гравитирующих систем 1. // Труды АФИ АН КазССР 1988. Т.49. С. 80-85.
7 Кожанов Т.С., Омаров Т.К. К динамике крупномасштабной гравитирующей системы.// Труды АФИ АН КазССР 1974. Т. 36. С.21-27.
8 Дубошин Г.Н. Движение материальной точки под действием силы, зависящей от времени I. АЖ 1925. Т.2.вып.4. С.5-Т1. Гликман Л.Г. К задаче двух тел переменной массы // АЖ 1978 т.55 вып.4 С. 873-880.
9 Холопов П.Н. О единстве строения звездных скоплений. // АЖ 1968. Т. 45, N 4 с. 786
10 Дубошин.Г.Н. Движение материальной точки под действием силы, зависящей от времени II. АЖ 1927. Т.4. вып. 2; С. 123-142.
11 Омаров Т.Е. К-задаче двух тел переменной массы. Известия АФИ АН КазССР, т..13,с:. 16-20, 1962.
12 Омаркулов К.А., Омаров Т.Б. Канонические оскулирующие элементы задачи двух тел переменной массы // Тр. АФИ КазССР. Алма-Ата, 1982. С.108-113
13 Гельфгат Б.Е. К задаче двух тел переменной массы п^наличии возмущающейся силы, пропорциональной скорости. Докл. на науч. конференции в Ярослав. ГГШ , т, 1, № 13,с. 147-153, 1962.
14 Омаров Т.Б О движении двух тел с корпускулярным излучением. АЖ т.40, № 4, с. 92.1-928. 1963.
15 Демченко Б.И., Омаров Т.Б. К задаче двух тел переменной массы при наличии сопротивляющейся Среды. Тр АФИ АН КазССР, т.29, с. 16-21, 1977.
16 Омаров Т.В. Развитие небесной механики тел переменной массы в Казахстане // Материалы 1 съезда по теоретической и прикладной механике 1996 .Алматы с 35-26.
17 Беркович Л.М. Задача Гильдена-Мещерского и законы изменения массы // Докл. АН СССР. 1980. т.250, № 5 , с. 1088-1091
18 Беркович Л.М, Преобразование задачи Гильдена-Мещерского к стационарному виду и законы изменения массы. //Прикл. мат. и мех. 1980. т. 44Б № 2, с. 354-357
19 Разбитная Е.П. Задача двух тел с переменными массами: классификация различных случаев //АЖ. 1985. Т. 62, вып. 6. С. 1175-1181.
20 Поляхова Е.Н. Небесномеханические аспекты задачи двух и трех тел с переменными массами // Ученые записки ЛГУ, серия математических наук. 1989. Т. 42. №424, вып. 64. С. 104-143
21 Дьяков Б.Б., Резников Б.И. Троянские орбиты в системе двух гравитирующих центров переменной массы с изменяющимся межцентровым расстоянием // Бюлл. Инт-та теор.астрон. АН СССР 1984 Т. 15, № 6 с.169.
22 Омаркулов К.А., Беков А.А., Абдыкаримова К.А. Нестационарная задача неподвижных центров и ее приложение в звездной динамике // Сб. Проблемы физики и динамики звездных систем. ТашГУ им.Ленина. Ташкент. 1989. С.51-52.
23 Беков А.А., Омаров Т.Б. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и некоторые нестационарные задачи небесной механики // Аж. 1978. Т.55.вып.З. с.635-644.
24 Беков А.А. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и динамические системы, приводимые к канонической форме // ПММ 1986. . Т.50. вып.5. с. 717-726,
25 Омаркулов К.А., Беков А.А. О критериях устойчивости кольцевых галактик // Сб. Динамика стац.и нестац.гравитирукедих систем // Тр. АФИ КазССР 1986 Т.45. С.17-22
26 Омаркулов К.А., Беков А.А. О критериях устойчивости кольцевых галактик // Сб. Динамика стац.и нестац.гравитирукедих систем // Тр. АФИ КазССР 1986 Т.45. С.17-22
27 Беков А.А., Омаров Т.Б. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и некоторые нестационарные задачи небесной механики // Аж. 1978. Т.55.вып.З. с.635-644.
28 Беков А.А. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Якоби и динамические системы, приводимые к канонической форме // ПММ 1986. Т.50. вып.5. с. 717-726,
29 Омаркулов К.А., Нургалиев А., Абдыкаримова К.А. Typaқты ұйтқу кезiнде: дөңгелек орбиталар бойынша қозғaлыстар туралы "Қазақ тiлi және ғылым тану" 1-шi ғылыми -прак. конф. Алматы. 1990. С.12
30 Усовские чтения «Методология и методика формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов» тақырыындағы ХХ халықаралық ғылыми – тәжіриелік конференцияның материалдары, І бөлім. Челяинск, 4-5 сәуір, 2013.
31 Төлегенов оқулары «Заманауи білім беру жүйесі: тәжірибеден – болашаққа» тақырыбындағы республикалық ғылыми – тәжірибелік конференцияның материалдары. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 11 сәуір, 2014.
32 Төлегенов оқулары «Қазақстанның білім беру жүйесін дамытудағы инновациялық бағыттар» тақырыбындағы республикалық ғылыми-тәжірибелік конференциясының І бөлімі. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 12 сәуір, 2013. 53 Б.
33 «Шоқан тағылымы – 17» Халықаралық ғылыми – практикалық конференция бағдарламасы Көкшетау, 25-26 сәуір, 2013.
34 «ХІІ – Халықаралық Байқоңыр оқулары» ғылыми – практикалық конференция бағдарламасы Жезқазған, 15-16 қараша, 2013 .
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 62 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 62 бет
Таңдаулыға:
КІРІСПЕ
Екі қозғалмайтын нүктенің модельдік есебі тақырыбына ұқсас жақын арада жарық көрген бірнеше жұмыстар белгілі, оларда гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысының есептері қарастырылған. Жердің гравитациялық өрісіне жуық, мұндай қойылған есептер қозғалыстың дифференциялдық теңдеулерінің шешімдері болуы мүмкін [1,2,5,29-35].
Жұмыстың негізгі нәтижелері төмендегі конференцияларда мақала ретінде дайындалып, талқыланды:
1. Усовские чтения Методология и методика формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов тақырыындағы ХХ халықаралық ғылыми - тәжіриелік конференцияның материалдары, І бөлім. Челяинск, 4-5 сәуір, 2013ж.
2. Төлегенов оқулары Қазақстанның білім беру жүйесін дамытудағы инновациялық бағыттар тақырыбындағы республикалық ғылыми-тәжірибелік конференциясының І бөлімі. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 12 сәуір, 2013ж.
3. Шоқан тағылымы - 17 Халықаралық ғылыми - практикалық конференция бағдарламасы Көкшетау, 25-26 сәуір, 2013ж.
4. ХІІ - Халықаралық Байқоңыр оқулары ғылыми - практикалық конференция бағдарламасы Жезқазған, 15-16 қараша, 2013 ж.
5. Төлегенов оқулары Заманауи білім беру жүйесі: тәжірибеден - болашаққа тақырыбындағы республикалық ғылыми - тәжірибелік конференцияның материалдары. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 11 сәуір, 2014ж.
Тағайындалған жұмыста алынған нәтижелер зерттеу зерзаты - Екі қозғалмайтын нүктенің модельдік есебі мәселесін әрі қарай дамыту іргетасын қалайды.
Дипломдық жұмыстың толық көлемі 63 бет. Ол жоспары, кіріспе, үш тараудан тұратын негізгі бөлім, қорытынды, пайдаланылған 34 әдебиеттен тұрады.
Жұмыстың өзектілігі. Гамильтон-Якоби әдісі канондық теңдеулердің интегралдауының жемісті және икемді әдістерінің бірі болып табылады. Осы мақсатта Гамильтон-Якоби теңдеуі құрастырылғаннан кейін оның табылған толық интегралынан бастапқы есептері шығарылуы мүмкін. Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық инегралын табудың жалпы әдісі жоқ, бірақ Гамильтон-Якоби теңдеуінің жеке интегралдау әдістері бар. Сондықтан Гамильтон-Якоби теңдеуінің интегралдау мәселесі классикалық механикада өзекті болып қала береді.
Жұмыстың ғылыми жаңалықтары:
oo жұмыста Гамильтон - Якобидің интегралданған бейстационарлы теңдеуінің дара шешімдері анықталған;
oo екі қозғалмайтын нүктелердің тартылуы яғни біз білетіндей эллипстік квадратта интегралдануы;
oo орталық сфералық емес дененің тартылуының әсерінен материалдық нүкте қозғалыс есептеріне жуық есептерінің шешімдері үлкен планеталар спутниктерінің қозғалыс теориясында бұл есеп маңызды рөл атқарады;
oo Жердің күштік функцияларының кейбір сыртқы нүктелерде (геоцентрлік және экваторлық) бөлінуі;
Жұмыстың практикалық маңызы. Дипломдық жұмыстағы табылған жаңа нәтижелердің теориялық маңызы - оларды басқа да екі дене мәселесінің әртүрлі күрделі қойылымдарын зерттеуде алғашқы жуық қозғалыс ретінде қарастыруға болады. Ал, ғылыми практикалық маңызы - табылған жаңа шешімдерді аспан денелерінің жасанды және табиғи серігінің динамикалық эволюциясындағы екінші дененің гравитациялық әсерін есептеуде пайдалануға болады.
Жұмыстың мақсаты. Теориялық механикаға қатысы бар массасы айнымалы денелердің есептерін интегралданған Гамильтон - Якобидің бейстационарлық теңдеулері арқылы шешу. Екі қозғалмайтын нүктенің жинақталған есептерінің күштік функциясының өзгешеліктерін зерттеу.
Зерттеу объектісінің теориялық және әдіснамалық негіздері. Дипломдық жұмыста Гамильтон-Якоби теңдеуінің бейстационарлық интегралдау жағдайы және динамикалық жүйенің бір класы үшін Гамильтон-Якоби теңдеуі қарастырылады. Денелерді материялық нүкте деп қабылдап олардың өзара Ньютон заңымен әсерлесетіндігі салыстырмалы қозғалысы қарастырылады. Жазық беттегі қозғалмайтын екі дененің орта есебі мәселесін қарастырамыз. Ал жұмыста осы мәселелерде есептерді құру және қозғалыстың бейстационарлық теңдеулері көрсетілген. Гамильтондық жүйеде толық интегралын көрсетуге болатын бір класс ұсынады. Бұны бейстационарлық жүйелерге қарай В.Г. Деминнің нәтижелерін жалпылайтын және Г.Дарбу интегралдау жағдайларын енгізетін келесі теорема дәлелденеді [3].
Т е о р е м а . Нөлге тең емес анықтауыш үшін , n2 кез келген функциясы, және (2n+1) кез келген функция , , координаттарын және уақытты жалпылайтын болсын.
oo екі дене квадратурасы астрономия есептері болашақта қолданылуы мүмкін. Ал, қазірше математика немесе теориялық механика жағынан қолданылады.
oo екі қозғалмайтын нүктелердің бейстационарлық есебінің бір нұсқасы базасында қосымша күш болғандағы, серіктің жылдамдығы пропорционал және массаның өзгеруіндегі салыстырмалы жылдамдығы болған кездегі Жердің жасанды серігінің қозғалысы туралы есепті қарастырамыз. Серіктің ұйытқу қозғалысы элементтерін оскулирлеу үшін дифференциалды теңдеуді шығарамыз. Алынған нәтижелер Жердің жасанды серігінің орбиталық қозғалысында гравитациялық айнымалы эффекті талдау кезінде, сонымен қатар, массасы айнымалы аспан денесі механикасы есебінде одан әрі пайдалану үшін қолданыла алады.
1 БЕЙСТАЦИОНАРЛЫҚ МЕХАНИКА ЕСЕБІНДЕГІ ГАМИЛЬТОН-ЯКОБИ ӘДІСІ
1.1 Гамильтон-Якоби теңдеуінің дифференциалдық жүйесі
Гамильтон - Якоби теңдеуінің интегралдау механикада өзекті мәселелердің бірі болу үстінде, себебі Гамильтон-Якоби әдісі канондық теңдеулердің интегралдауының жемісті және икемді әдістерінің бірі болып табылады. Осы мақсатта Гамильтон-Якоби теңдеуі құрастырылған, кейін оның табылған толық интегралынан бастапқы есептің шығарылуы келтірілген. Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық инегралын табудың жалпы әдісі жоқ, бірақ Гамильтон-Якоби теңдеуінің жеке интегралдау әдістері бар.
Гамильтон зерттеуі 1834 жылы бастау алды, ал ол идеяны кейін Якоби 1936 жылы дамытты. Гамильтон-Якоби интегралдау теңдеуіне апаратын, канондық жүйенің теңдеуін интегралдау әдісі осылай пайда болды. 1849 жылы Лиувилль Гамильтон - Якоби теңдеуін айнымалы бөліну әдісімен интегралдаудың жеткілікті жалпы шарт ойлап тапты. 1881 жылы Штеккель осы теңдеудің біршама жалпы интегралдау шартын келтірді.
1887 жылы Моррера (H) Гамильтон функциясы үшін екі еркін дәрежесі бар, (H) функциясына салыстырмалы екінші тәртіпте жеке туындыдағы дифференциалды теңдеуімен көрсетілетін және (H) функциясын қанағаттандыруда осы шартқа Гамильтон-Якоби теңдеуінің сәйкес толық интеграл жағдайында айнымалыны бөлудің толық интеграл шартын орнататын механикалық жүйені тапты.
1904 жылы Леви-Чивита n саны еркіндік дәрежесі склеромды механикалық жүйенің еркін жағдайына Моррера шартын қорытындылады, ал 1944 жылы Моррера-Леви-Чивита шарты Форбаттың реономдық жүйесі жағдайында қорытындыланды.
Бұл шарттарды келесі жеке туындыда дифференциалды теңдеу жүйесінде көрсетуге болады:
dHdPjdHdPid2Hdqjdqi-dHdqid2Hdqjdpi- dHdqidHdqid2HdPjdPi-dHdPid2HdPjdqi= 0, (1.1)
d2Hdqjdt∙dHdPi-d2HdPjdt∙dHdqi=0 j,i=1,2,3,...,n;j=i (1.2)
мұндағы Н - Гамильтон функциясы,
- жалпылама импульс,
- жалпылама координаттар,
- уақыт.
Егер () сөзсіз уақытқа тәуелді болмаса, онда (1.2) шарт тепе-тең қанағаттандырылады, және Леви-Чивита шығарған шарт болады [1-2].
Егер Гамильтон функциясында
(1.3)
(1.1) және (1.2) шартына алмастырса , онда олар импульсі жөніндегі үшінші және төртінші дәрежеге сәйкес полиномаға өтеді.
Сонда туындысында тәуелсіз тұрақтылық, онда (1.1) және (1.2) шарттары осы полиномдардың коэффиценттері нөлге тең келгенде және функциясы, олардың бірінші және екінші реттегі жеке туындысы болып келген жағдайда ғана қанағаттандырылады.
Сөйтіп, Моррера есебі функциясы жөніндегі екінші реттік жеке туындыда дифференциалды теңдеудің интегралдау жүйесі есебіне апарады.
1963 жылы М.С.Яров-Яровой реономды механикалық жүйеде Гамильтон функциясының толық түрін, айнымалы бөліну әдісімен табуға болатын Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық интегралын орнатты және Гамильтон-Якоби теңдеуіне тиісті толық интегралын құрды [3-5].
Механикалық жүйенің біршама кең класын көрсетті. М.С.Яров-Яровоймен алынған нәтижелер Бургатти склерономдық жүйесі үшін алынған интегралдау жағдайының туралығын дәлелдеді [6,7].
М.С.Яров-Яровой нәтижелерінен, сондай-ақ, Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық интервалы айнымалыны бөлу әдісімен тек салыстырмалы импульстің бірінші және екінші ретті болып табылатын механикалық жүйенің бастапқы интегралы болған жағдайда ғана табылуы мүмкіндігі қорытындыланды. Осы себеппен айнымалы бөлінулер әдісімен шешуге болатын сан есебі бойынша Гамильтон-Якоби теңдеуі интегралын толық құру мәселесі бұрынғыша ашық күйінде қалды.
Гамильтон-Якоби әдісі канондық теңдеулер жүйесін интегралдаудың біршама қуатты әдістердің бірі болып табылады және қазіргі уақытта голономдық жүйе механикасы есебін шешуде Гамильтон-Якоби әдісін қолдану арқылы көптеген маңызды жетістіктерге қол жеткізілді.
Гамильтон-Якоби әдісімен интегралдау мәселесі аспан механикасында көп орын алатынын және де қазіргі кезде кең дамығанын айта кету керек [8-14]. Гамильтон-Якоби әдісі бейстационарлы жүйені зерттеуді біршама дәрежеде жеңілдетуімен қатар, соңғы кездері оған зор қызығушылық туып отыр. Сонымен бірге, Гамильтон-Якоби теңдеуін интегралдаудың жаңа жағдайын орнататын А.А. Беков пен Т.Б. Омаровтың зерттеу нәтижелері де үлкен қызығушылық тудырды [15-20]. Оларда В.Г.Деминнің, Лиувилль және Штеккельдің интегралдау жағдайы бар, сонымен бірге қарастырылатын Гамильтон-Якоби теңдеуін қолдана отырып, М.С. Яров-Яровойдың нәтижелерін қорытындылайды [21-29]
(1.4)
Мұндағы, - координат функциясы,
- координат функциясы,
- күш функциясы,
- Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық интегралы.
1.2 Интегралдаудағы Гамильтон-Якоби теңдеуінің қолданылуы
Соңғы уақыттары астрономия мен космологияның дамуына байланысты аспан механикасы бейстационарлы моделдік есебін зерттеуге үлкен назар аударылып отыр. Сондай-ақ осы бейстационарлы жүйені сипаттайтын, қозғалыстың дифференциалды теңдеуін интегралдау мәселесі маңызды қызығушылық тудырды.
Бейстационарлы динамикалық жүйелер үшін қосымша ретінде келесі теоремаларды қарастырамыз.
Т е о р е м а . Егер Гамильтон функциясы
(1.5)
формуламен анықталса, онда
(1.6)
, (1.7)
болады.
мұндағы, - еркін үзіліссіз функциялар,
- уақыттың үзіліссіз функциялары,
- еркін тұрақты,
онда Гамильтон-Якоби теңдеуі толық интегралды игеріледі
(1.8)
мұнда
, (1.9)
мұндағы - еркін тұрақты, және де
. (1.10)
Д ә л е л д е у. Тиісті теңдеу үшін
шешімі (1.9) түрінде, мұндағы - белгісіз функция .
(1.7), (1.8) күште
,
шартын қанағаттандыратын (1.10) шешімі бар теңдеу аламыз.
Енді тек шартты тексеру ғана қалады
.
бар
,
. Шарты бойынша функциясы секілді үзіліссіз Теорема дәлелденді.
Т е р г е у . 10. Егер (1.8) , яғни , а - еркін үзіліссіз функция болса, онда (1.10) формуласында j бойынша жинақтау ден ге дейін жүреді.
20. Егер (1.8) болса, онда А.А. Бековтың интегралдау жағдайын аламыз [10].
30. Егер және кезінде А.А. Беков пен Т.Б.Омаровтың интегралдау жағдайын аламыз [27].
40. (1.6) жорамалдасақ, барлық М.С. Яров-Яровойдың интегралдау жағдайын аламыз [14].
Егер және болса, онда Лиувиллдің теоремасына келеміз [25].
1.3 Гамильтон-Якоби теңдеуінің бейстационарлық интегралдау жағдайы
Бейстационарлық жүйелерге қарай В.Г. Деминнің нәтижелерін жалпылайтын және Г.Дарбу интегралдау жағдайларын енгізетін теорема дәлелдейді. Ол Гамильтондық жүйеде толық интегралын көрсетуге болатын бір класс ұсынады [23-25].
Т е о р е м а . Нөлге тең емес анықтауыш үшін , n2 кез келген функциясы, және (2n+1) кез келген функция , , координаттарын және уақытты жалпылайтын болсын.
Онда, гамельтониан бейстационарлық жүйесі мына формуламен анықталады:
, (1.11)
Мұнда
, (1.12)
Онда Гамильтон-Якоби теңдеуінің тиісті интегралы
, (1.13)
болады.
мұндағы - кез келген тұрақты.
Д ә л е л д е у . Кез келген теңдеуді шешу
(1.14)
түрінде қарастырамыз
(1.15)
онда
. (1.16)
шығады.
S функциясын түрінде
(1.17)
алып, өзгертеміз (1.16):
(1.18)
Енді, ұсына отырып
(1.19)
және (1.12) өрнегі (1.18) теңдеуінде, болатынын
. (1.20)
W сома түрінде ұсынылған болсын
, (1.21)
онда (1.20) теңдеуі
. (1.22)
қанағаттандырады .
Шындығында, (1.20) сол бөлігіне (1.22) ұсына отырып,
(1.23)
аламыз.
Мұнда
.
үшін белгілі анықтауыш қасиет күшінде екенін аңғарамыз.
Әрі қарай, (1.22) интегралдау арқылы және (1.21), (1.17) мен (1.15) формулаларын ескере отырып, (1.11) теңдеуінің (1.13) толық инегралын табамыз, сонымен теореманы дәлелдеуді аяқтаймыз.
Егер (1.11) гамильтонианына салсақ, онда В.Г. Деминнің теоремасын аламыз [22]. Егер шартына қосымша ретінде қойсақ, онда Г. Дарбудың интегралдау жағдайына келеміз [19].
1.4 Динамикалық жүйенің бір класы үшін Гамильтон-Якоби теңдеуі
Динамика жүйесінің тағы бір классын белгілеуге мүмкіндік беретін Гамильтон - Якоби теңдеуінің толық интегралын көрсететін теореманы дәлелдейік.
Бұл теорема М.С. Яров-Яровтың нәтижесін жалпылайды және бейстационарлы жүйеге сәйкес В.Г. Деминнің интегралдау жағдайын енгізеді [17, 21].
Т е о р е м а . , еркін функция n2 болсын делік, яғни бірдей нөлге тепе-тең емес анықтауыш үшін,
, , жалпылама координаттың және , уақыттың n(2n+1) еркін функциясы.
Онда, егер гамильтиониан бейстационарлы жүйесі
(1.24)
функциясымен анықталады.
Мұндағы
, (1.25)
Немесе Гамтльтон-Якоби теңдеуінің сәйкестігі үшін толық инеграл мына түрде болады.
, (1.26)
Мұндағы - еркін тұрақты.
Д ә л е л д е н д і. Сәйкесінше теңдеуді шешімі
(1.27)
түрінде іздейміз
. (1.28)
бар
. (1.29)
S функциясын
, (1.30)
түрінде ұсына отырып, (1.29)-дан
(1.31)
аламыз.
Енді
(1.32)
ұсына отырып, (1.31) теңдеуінде (1.25) формуласы
(1.33)
болады.
Егер
, (1.34)
қойсақ, онда (1.33) теңдеуі
(1.35)
қанағаттандырылады.
Кейін, (1.35) интегралдау арқылы (1.26) формуласына келеміз. Теорема дәлелденді.
Егер гамильтонианда (1.24) , , онда В.Г. Деминнің теоремасына келеміз [16].
1.5 Гравитацияланатын ортадағы тартылыстың бейстационарлық өрістегі материалдық нүктенің қозғалысы
Соңғы кездері аспан механикасының көптеген мәселелерінің ішіне квадратурадағы интегралдауға қызығушылық танылып жүр, оған екі қозғалмайтын центрдің есебі жатады. Жасанды жер серіктердің қозғалыс теориясын құруда гравитациялық өрісте, Жердің, Айдың және т.б. гравитациялық өрісіне жақындауы, сонымен қоса галактика тартылыс өрісінде жұлдыз-нүкте қозғалысын қарастыруда қозғалыстың дифференциалды теңдеуі квадратурада интегралданатын есепті құруға болады [13-16,19-22, 27].
Екі қозғалмайтын центрдің классикалық мәселесінен А.А. Кочиев консервативті күштің күш өрісінің бірінші класы үшін қозғалыс нүктесі есебін шешуді келтірді және аспан механикасы есебіне оның ұсынысын көрсетті [28].
А.А. Беков және Т.Б. Омаровтың еңбектерінде үстемелі күш болған кездегі, сынақ дененің пропорционал жылдамдығымен және G жылдамдығының салыстырмалы өзгеруінде, G тұрақты тартылыс уақытпен айнымалы болғандағы екі қозғалмайтын центр есебін жалпылайтын бейстационарлы схемасын қарастырды. Жердің жасанды серіктерінің орбиталық қозғалысында айнымалы гравитация эффектіні талдауда аралық қозғалысты түсіндіру үшін есептердің мүмкін ұсыныстары көрсетілді [27].
Т.Б. Омаров стациоанрлық есеп интегралды болса
(1.36)
Мұндағы - тікбұрышты координаталар, - жүйе потенциалы, онда бейстационарлы есеп те интегралды болатынын көрсетті.
(1.37)
мұндағы - уақыттың үзіліссіз дифференциалды функциясы, - бейстационарлы динамика жүйесінің потенциалы:
. (1.38)
Гравитациялық өрістегі (1.38) шаманың баяу өзгеруі кезінде жүйені шешуді (1.37) сәйкес бейстационарлы есептегі аралық қозғалыс ретінде қарастыруға болады. Біз төменде осы идеяны жүзеге асырудың нақты мысалын келтіреміз. Сондай-ақ сәйкес теңдеу түрін (1.37) интегралдауда Гамильтон-Якоби әдісі жүргізіледі.
Бейстационарлы гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысы туралы есепті қарастырамыз
, (1.39)
Мұндағы - көріністің күштік функциясы [6]
, (1.40)
Мұндағы - өз аргументтерінің комплексті функциялары, мұндай - шындық;
- екі қозғалмайтын центр нүктелерінің радиус-векторлары , яғни Ох остеріне симметриялы салыстырмалы координат басы орналасқан және тең
, (1.41)
мұндағы c - ұзындық өлшемі бар параметр,
x, y, z - нүктенің тікбұрышты координаттары.
А.А. Кочиев [5] көрсеткендей, екі денелер есебінің потенциалы және қозғалмайтын центрлі екі денелер есебінің потенциалы (1.40) потенциалдың жеке жағдайы ретінде алынуы мүмкін.
(1.39) түрінің бейстационарлытігі тұрақты гравитациялық өзгеру мысалына негізделуі мүмкін.
Гамильтон формализмі көмегімен сәйкес дифференциалды теңдеуді интегралдау бұдан әрі ұйытқудың жақсы жасалған канондық теориясына көшуге мүмкіндік береді. Oxyz координаттары қозғалмайтын жүйеде бейстационарлы гравитациялық жүйеде болатын, нүкте қозғалысының диференциалды теңдеуі (1.39) түрінде болады
(1.42)
Мұндағы -уақыттың кейбір үзіліссіз функциясы.
Енді формула бойынша эллопсоидальды координаттарға көшеміз,
(1.43)
мұндағы
.
Енді жаңа айнымалы күш функциясын айтамыз (1.39).
Алдымен аңғаратынымыз, (1.41) формуласы мына түрде болады
(1.44)
Енді, (1.43) және (1.44) формулаларын қолдана отырып, жаңа айнымалыда (1.39) формуласын анықтайтын U күш функциясы үшін формула аламыз.
. (1.45)
Кинетикалық энергия
(1.46)
жаңа айнымалыда
. (1.47)
Әдеттегі түрдегі жалпылама импульсті жүргіземіз.
(1.48)
Онда кинетикалық функция
. (1.49)
түрінде болады.
Гамильтон функциясы
(1.50)
формуласымен анықталады. Және (1.42) теңдеу жүйесі жартылай канондық түрді қабылдайды.
(1.51)
(1.51) теңдеуін тікелей интегралдау мүмкін емес. Бірақ егер бірге жаңа айнымалыны келтірсе, онда теңдеу өрнігінің жалпы интегралы квадратура көмегімен табылады.
Келесі айнымалыны ауыстыруды жасаймыз
, (1.52)
мұндағы функциясы қатыспен қанағаттандырылады
. (1.53)
Онда (1.51) теңдеуі жүйесін канондық формада жазуға болады
(1.54)
Яғни гамильтониан келесі түрде болады
. (1.55)
(1.54) жүйесін интегралдауды Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық интегралы арқылы жасаймыз.
(1.56)
, (1.57)
болсын делік, онда
(1.58)
(1.56) теңдеуінің толық инегралын мына түрде іздейміз
, (1.59)
Мұндағы - еркін тұрақты,
V - функция, мына түрге келтірілген
. (1.60)
Шын мәнінде, (1.56) теңдеуі (1.60) формуласын қанағаттандыратын болады, егер
(1.61)
қойсақ.
Әрбір (1.61) теңдеуінен бір ғана айнымалыны бөлуді интегралдау және тәуелсіз айнымалы болады. (1.61) теңдеуін интегралдау арқылы келесі түрдегі (1.60) теңдеуінің толық интегралын аламыз
(1.62)
Енді Гамильтон-Якоби теоремасын қолдана отырып, формула бойынша
, (1.63)
(1.56) жүйесінің жалпы интегралын табамыз.
Мұндағы - жаңа еркін тұрақтылар.
Жеке еркінді есептей отырып, есебіміздің жалпы интегралын келесі түрде жазамыз
(1.64)
және
, (1.65)
мұнда белгілер көрсетілген
(1.66)
(1.64) және (1.65) теңдеулері (1.57) және (1.53) шарттарында қарастырып отырған бейстационарлы есептердің толық шешімін береді.
Уақыт функциясы ретінде эллопсоидалды координатты табу үшін (1.51) жүйесінің (1.65) және (1.48) формуласынан алынатын бірінші интегралын пайдаланамыз.
(1.67)
жаңа тәуелсіз айнымалыны
, (1.68)
құрылғысы арқылы шығарамыз.
(1.67) теңдеуін келесі түрде қайта жазамыз
(1.69)
(1.69) жүйенің бірінші екі теңдеуін интегралдау арқылы
. (1.70)
аламыз.
Эллиптикалық итегралмен айнымалыны табамыз
(1.71)
Содан кейін және t аралығындағы байланысты аламыз, функциясы ретінде
(1.72)
Онда, үшін өрнектеу ретінде қолдана отырып, және t аралығындағы келесі түрдегі тәуелділікті аламыз.
(1.73)
Енді классикалық мехканикадағы кейбір бейстационарлы есептер көрсетілген есептің жеке жағдайы ретінде алынуы мүмкін екенін көрсетеміз.
1. Мейлі функция түрінде болсын
онда күш функциясы келесі түрде жазылады
,
Сонымен, біз қосымша күш (тартылыс күші) болған кездегі жалпы шешуі көрсетілген, екі денелердің бейстационарлы есебін алдық [27].
2. Мына жағдайды қарастырайық, функция
болғанда, мына түрде болады
Онда, (1.39) және (1.40) формулаларына сәйкес
болады, және екі қозғалмайтын центр есебінің бейстационарлытігін аламыз.
Егер , а - нақты сан болса, онда жалпы шешімі алынған, екі қозғалмайтын центрлі жалпылама бейстационарлы есепті аламыз [8].
2 ЕКІ ҚОЗҒАЛМАЙТЫН НҮКТЕНІҢ МОДЕЛЬДІК ЕСЕБІ
2.1 Гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысының есептері
Гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысының есептері қарастырылған, екі қозғалмайтын нүктенің модельдік есебі тақырыбына ұқсас жақын арада жарық көрген бірнеше жұмыстармен танысып шықтым [1,2,5,29-33]. Жердің гравитациялық өрісіне жуық, мұндай қойылған есептер қозғалыстың дифференциялдық теңдеуінде квадраттық интегралдануы мүмкін.
Бұдан жаңа аспан механикасы есептерінің интегралдық жағдайларының табылғанын ойлауға болады. Бұрын белгісіздер жаңалық ашуға мүмкіндік беретіндей сенім туғызған және басқа жағдайларда аналитикалық қозғалыс есептері интегралданады (бұрыннан белгілі есептерден басқа, мұндағы күштің орталық өрісіндегі қозғалыс есептері және қозғалмайтын нүкте есептері).
Бірақ ол үміт қазіргі кезде ақталмады. Себебі: Москвалық ғалымдар Е.А. Гребеников, В.Г. Демин және Е.П. Аксенов дәлелдеп көрсетті. Жоғарыда айтылған жағдайлардың интегралдануы тек материалдық нүкте қозғалысының жалпы әр түрлі дербес жағдайлардың жалпы есептерін ұсынады, екі қозғалмайтын центрлердің тартылуы яғни біз білетіндей эллипстік квадратта интегралданады.
Осыдан жаңалық ашуға мүмкіндік туды, орталық сфералық емес дененің тартылуының әсерінен материалдық нүкте қозғалыс есептеріне жуық есептерінің шешімдері үлкен планеталар спутниктерінің қозғалыс теориясында бұл есеп маңызды рөл атқарады, ал қазіргі уақытта жердің жасанды спутниктер теориясында маңызды мәні бар.
Сонымен, абсолютті қара денені геометриялық және динамикалық симметрияны сол оське салыстырмалы түрде меңгертеді. Мұндай денелерді жоғарғы дәрежемен жақындау есептейміз, мысалы біздің Жерді. Сондықтан мұндай денелерді нақты жер деп айта аламыз.
Сондықтан Жердің күштік функцияларының кейбір сыртқы нүктелерде бөлінуі (геоцентрлік және экваторлық) координаталар жүйесінде келесі түрде жазылады
V=fmr1+k=2infinity'k∙RrkPkzr (2.1)
Мұндағы f- тартылу тұрақтысы, m - Жер массасы, R - экваторлық радиусы, 'k - Жердің пішіні мен көлеміне байланысты тұрақты.
x,y,z - P қозғалыс нүктесінің (спутник) тік бұрышты координаталары, r - P нүктесінің радиус векторы, Pk - k ретті Лежандрдің көпмүшесі.
Гравитациялық өрістегі P - материалдық нүкте қозғалыс есептері, (2.1) күштік функциямен анықталатын Іk, еркін берілген коэффициент, квадратта интегралданбайды және бұл есептерді әрқашан шексіз қатарларға жуықтап жүктеу көмегімен шешуге болады.
М.Д. Кислик және Д. Винти көрсетеді, яғни бұл коэффициенттерді таңдап алу үшін P нүкте қозғалысының теңдеуі квадраттық интегралдануы керек. Ал алынған күштік функциясы нақты жердің гравитациялық өрісінің шындығын көрсетеді.
Кислик - Винти есептері жеңіл екі қозғалмайтын нүкте есептерінде жеңіл келтірілетіндігі көрінеді.
Шынында да, жалпы массалары m1және m2 мен белгіленген M1 және M2 ортаның жалпы жазықтық есептері ретінде қарастырамыз. Онда бұл есептің күштік функциясы жоғарыдағыдай келесі түрде анықталады:
U=fm1r1+m2r2 (2.2)
Мұндағы r1 және r2 - P тартылу нүктесінің радиус векторы. Егер координаталар басына дейін қозғалмайтын ара қашықтығын с1 және с2мен белгілесек, онда
r1=x2+y2+z-c12, r2=x2+y2+z-c22. (2.3)
Кері ара қашықтықты мынаған жіктесек Лежандр көп мүшесі r1-1 және r2-1 қатарына жіктейміз. Онда, біз мынадай
1r1=1rk=0infinityc1rkPkzr, 1r2=1rk=0infinityc2rkPkzr,
Онда күш функциясы келесідей түрленеді.
V=fmr1+k=2infinityγkrkPkzr , (2.4)
Осыдан мынадай болады
ёm=m1+m2, mγk=m1c1k+m2c2k. (2.5)
(2.1) және (2.4) жіктеулерін салыстыра отырып біз мынаны көреміз. Екі қозғалмайтын ортаның есептерінің U функциясы кейбір оссиметриялық күш функциясын көрсетеді. Мынадай шарттар орындалса,
γ1=0, γk='kRk k1 (2.6)
m, R және барлық 'k шамаларын берілген деп есептеп, онда m1, m2 және с1, с2 шамаларын анықтауға болатынын көреміз. Егер (2.6) шарты орындалса, (2.6) және (2.5) келесідей төрт теңдеуді береді.
m1+m2=m, m1c12+m2c22=m'2R2, m1c1+m2c2=0, m1c13+m2c23=m'3R3, (2.7)
Осыдан мынадай нәтиже аламыз.
m1=-mc2c1-c2, m2=-mc1c1-c2, (2.8)
және
c1c2=-'2R2, c1+c2=R'3'2 (2.9)
Сонымен, с1 және с2 квадраттық теңдеудің түбірі болады.
χ2-R'3'2χ-'2R2=0, (2.10)
теңдеуін шешіп с1 және с2-ні, сосын (2.8) - өрнегінен m1және m2 - ні табамыз. Бірінші үш мүшені жіктегенде (2.1) және (2.4) - ге сәйкес келеді, бірақ қалған мүшелер сәйкес келмейді, себебі барлығы сияқты 'k k2 - берілген дене үшін тұрақты анықталған, ал табылған m1,m2, с1, с2 - k=4 үшін (2.6) қатынасты қанағаттандырмайды.
Бірақ егер rR болса, онда Rr дәреже қатынасы k көрсеткіші ұлғайған кезде, тез өшіреді, ал (2.1) және (2.4) белгілі дәрежелі нақтылыққа сәйкес келу үшін практикалық жетістікке жетуге болады.
Сонымен P нүкте қозғалысының гравитациялық өрісте күш функцияға жуық анықтау үшін, әр түрлі жағдайларда (2.1) өрнегін пайдалануға болады, егер екі қозғалмайтын орталық есептерін анықтағанда.
2.2 Қозғалмайтын екі дене есебі
Келесі кезекте жоғарыда пайдаланылған формулаларды зерттейміз.
Егер қарастырылған дене, барлық өлшемдерін нақты деп есептеп, (m және R оң), онда квадраттық теңдеуді дискриминантты оң шама, ал теңдеудің түбірі, яғни с1 және с2 шамалары да нақты болады, ал өозғалмайтын орталық массалары да m1 және m2 (6) формуласымен нақты анықталатын болады. Екі қозғалмайтын орталық есептерінің U нүктелік функциясы да нақты.
Бұл жағдайда біз l20 (мысалы біртекті созылған эллипсоид айналуы) немесе l32l23+4l20 шарты орындалғанын ескереміз.
Егер (7) теңдеуінің дискриминанты теріс болса, онда бұл теңдеудің түбірлері комплексті кедергі ал онда m1 және m2 шамалары да комплексті кедергі және біз екі қозғалмайтын орталықтың біріктірілген есептеріне келеміз.
Бұдан осы жинақталған есептердің U күштік функциясының, комплексті масса және комплексті радиус - вектордан туындайтынын білеміз. Барлық коэффициенттер γk m1,m2 және с1, с2 - нің комплексті кедергісі нақты шамалар екеніне оңай көз жеткіземіз.
Жинақталып сәйкестендірілген есептер орын алады, егер l20, және l32l23-4l2 теңсіздігі орындалғанда.
Мысалы, шын Жер үшін біз келесі l2 және l3 жасанды спутниктерді зерттеу барысында алынған коэффициенттерінің мәндерін және геодезикалық өлшеулерді (біз жинақтаған мәндерді) аламыз.
l2≈-10-3, l3≈-10-5.
Осыдан Жер үшін l32l23+4l20, ал сондықтан қозғалмайтын орталық массасы және олардың координаталар басынан ара қашықтығы - комплексті шамалар.
l3- коэффициенті экваторға салыстырмалы Жердің ассиметриясын сипаттайтын өте аз. Егер осы коффициентпен мүшелерді ескермесек, онда с1және с2 шамалар таза, ал m1,m2 массалар - нақты, олардың әрбіреуі m2 - ге тең болады.
Айтылғандардан, Жердің жасанды спутниктер қозғалысының жуық теорияларын құру үшін, қозғалмайтын орталықтың жинақталған есептерін қолдануға болады, біз бұл есептерді толық қарастырамыз.
Оңай болу үшін келесі
с1=cσ+i, с2=cσ-i, i=-1; (2.11)
бұдан келесі теңдеуді аламыз
c=R2-∆, σ='3'2-∆ , -∆='32'22+4'2. (2.11')
С - ұзындық өлшемі, σ - өлшемсіз тұрақты, экваторға салыстырмалы дененің ассиметриясын сипаттайды. Егер дене симметриялы болса, онда '3=σ=0 және с1=ci, с2=-ci.
Енді (9) бен (2.1) - ден келесі теңдеуді аламыз.
m1=m21+σi, m2=m21-σi, (2.11'')
және екі қозғалмайтын орталықтың жинақталған есептерінің күштік функциясы мына формула түрінде беріледі:
U=fm21+σir1+1-σir2 , (2.12)
Мұнда r1 және r2 - радиус - векторлар (2.12') формуласымен анықталады.
r12=x2+y2+z-cσ+i2 ,r12=x2+y2+z-cσ+i2. (2.12')
Нақты тік бұрышты координаталарда Р нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеуі мына түрде жазылады
х=dUdx , y=dUdy , z=dUdz , (2.13)
Бұд теңдеуді интегралдағанда Жердің гравитациалық өрісінде жасанды спутник қозғалысының жуықталған есептерінің кейбір шешулеріне береді.
Осыдан
T=12(x2+y2+z2) (2.14)
және
H=T-U (2.15)
Р нүкте қозғалысының теңдеуін канондық түрде аламыз.
dxdt=dHdx, dydt=dHdy, dzdt=dHdz,dxdt=-dHdx, dydt=-dHdy, dzdt=-dHdz. (2.16)
Біздің міндетіміз бастапқы берілген шарттарда осы теңдеулерді интегралдау болып табылады:
x=t0=x0, y=t0=y0, z=t0=z0, x=t0=x0, y=t0=y0, z=t0=z0, (2.16')
(2.16) теңдеуі интегралданбайды, сызықтан алдын ала жаңа айнымалыға айналдырамыз.
x, y,z нақты айнымалыларға жаңа нақты айнымалылар λ,μ,ω енгіземіз.
x=c1+λ21-μ2cosω,y=c1+λ21-μ2sinω,z =cσ+cλμ. (2.17)
Онда (2.12') өрнегі келесі түрде болады
r1=cλ-μi, r2=cλ+μi, (2.18)
Осыдан
λ=r1+r22c, μ=r2+r12ci, (2.18')
(2.12) өрнегіне r1 және r2- нің орнына олардың (2.18) өрнегін қойып, қиындықсыз U күш функциясын жаңа айнымалылармен аламыз.
U=fmcλ-σμλ2+μ2. (2.19)
Бұл өрнек нақты болады, солай болуға тиіс.
(2.17) өрнегін t арқылы дифференциалдап, V жылдамдық құраушысы үшін P нүктесі жаңа айнымалыларының өрнегін аламыз.
xc=λλ1-μ2-μμ1+λ21+λ21-μ2cosω-1+λ21- μ2ωsinω,yc=λλ1-μ2-μμ1+λ21+λ21-μ2sin ω-1+λ21-μ2ωcosω,zc=μλ+λμ, (2.20)
Бұл өрнектерді (2.14) өрнегіне қойып,
T=c22λ2+μ21+λ2λ2+λ2+μ21-μ2μ2+1+λ2(1 -μ2)ω2 (2.20')
Енді қарастырылған импульсты келесідей өрнектермен анықтаймыз.
λ'=dTdλ=c2λ2+μ21+λ2λ,μ'=dTdμ=c2λ2 +μ21+λ2μ,ω'=c21+λ2(1-μ2)ω (2.21)
Тағы да басқа мысалдар келтірейік
T=12c21+λ2λ2+μ2λ,2+1-μ2λ2+μ2μ,2+ω, 21+λ2(1-μ2). (2.21')
Жаңа айнымалылар λ, μ, ω, λ,, μ,, ω, Канондық жүйелерде анықталады
dλdt=dHdλ,, dμdt=dHdμ,, dωdt=dHdω,,dλ,dt=-dHdλ, dμ,dt=-dHdμ, dω,dt=-dHdω, (2.22)
Сол H=T-U сипаттамалық функция арқылы мұндағы U және T (2.19) және (2.21) өрнектерімен анықталады.
(2.22) жүйе қалыпты интеграл түрінде болады
H(λ, μ, ω, λ,, μ,, ω,)=h , (2.22')
Мұндағы h- тұрақты туынды (тұрақты энергия)
(2.22') көмегімен Гамильтон - Якоби теңдеуін құрастырып, біз мынаны аламыз.
1+λ2dWdλ2+1-μ2dWdμ2+11-μ2-11+λ2dWdω 2=
=2fmcλ-σμ+2hc2λ2+μ2, (2.23)
Теңдеуді құрайтын және қанағаттандыратын h-тан басқа тағы екі тұрақты туынды бар W функциясын табу қалады.
Мұндай шешімді оңай квадраттау көмегімен табуға болады, шынымен W мына түрде деп
W=W1λ+W2μ+W3ω, (2.23')
Біз (2.23) теңдеуін қанағаттандырамыз.
1+λ2dW1dλ2=2hc2λ2+2fmcλ+α321+λ2+2α2 ,1-μ2dW2dλ2=2hc2μ2-2fmcσμ-α321-μ2-2 α2,dW3dω=α3, (2.23'')
Мұндағы α2 және α3- екі жаңа еркін тұрақтылар.
Қысқартуға болады деп
Lλ=21+λ2hc2λ2+fmcλ+α2+α32,Mμ=21-μ2h c2μ2-fmcσλ-α2-α32 (2.24)
Және тепе - теңдіктегі интегралдардан W1λ, W2μ, W3ω функцияларын оңай табамыз, сосын W функциясын (2.24') келесі түрде жазамыз.
W=Lλ dλ1+λ2+Mμ dμ1-μ2+α3ω. (2.25)
Гамильтон - Якоби теориясы бойынша, жүйенің жалпы интегралының формулаларын аламыз.
dWdh=t+β, dWdα2=β2, dWdα3=β3,
dWdλ=λ,, dWdμ=μ,, dWdω=ω,.
Дербес түбірін шешіп, табылған жалпы интегралды келесі түрде келтіреміз
λ2dλLλ+ μ2dμMμ=1c2t+β, dλLλ+ dμMμ=β2, (2.26)
α3 dλ1+λ2Lλ-α3 dμ1-μ2Mμ+ω=β3, (2.26')
Lλ 1+λ2=λ,, Mμ 1-μ2=μ,, α3=ω, (2.26'')
Мұндағы β1, β2, β3, - 8' үш жаңа еркін тұрақтылар.
(2.26), (2.26') және (2.26'') теңдеулер екі қозғалмайтын нүктенің есептерінің толық жалпы шешулерін береді.
Шынымен, (2.26) теңдеумен біз айнымалылар λ және μ-ды t уақыт функциясы ретінде және еркін тұрақтылар h, α2, α3, β және β2; осыдан кейін (2.26') теңдігіне байланысты ω айнымалыны береді, сонымен β3- айнымалыдан (2.26'') формуласын импульс береді, одан кейін (2.21,) формуласынан λ, μ, ω түбірлерін аламыз.
Канондық айнымалыларды уақыт функциясы екенін және алты еркін тұрақтыларды біле отырып, біз тік бұрышты координаталар және нүкте жылдамдығын құраушыларды (2.17) және (2.20) формулаларымен анықтай аламыз.
Еркін тұрақтылар
h, α2, α3, β, β2, β3 (2.27)
қиындықсыз (2.26), (2.26') және (2.26'') өрнектерінен, канондық айнымалылардың бастапқы мәндері арқылы анықталады.
λ0, μ0, ω0, λ0, μ0, ω0, (2.27')
Тік бұрышты координаталардың бастапқы мәндеріне және жылдамдық құраушыларына байланысты (2.26').
Канондық айнымалыларды λ, μ, ω, тік бұрышты координаталар x,y,z, арқылы өрнектейміз (2.17) өрнегін түрлендіру арқылы, біз
x2+y2c2=1+λ21-μ2, tgω=yx,
Осыдан
ω=arctgyx, (2.28)
а λ2 және - μ2 - квадраттық теңдеудің түбірлері
χ2-pχ-q=0 (2.29)
Мұндағы p және q - коэффициенттер келесі түрде болады:
P=x2+y2+z-cσ2-c2c2, q=z-cσ2c2. (2.29')
Сондықтан, (2.29) теңдеуді шеше отырып, келесі теңдеуді аламыз.
λ2=p2+p24+q, μ2=-p2+p24+q, (2.30)
t0 момент үшін (2.30) және (2.28) теңдеулерін қолданып, λ0, μ0, ω0, мәндерін аламыз, содан кейін (2.20) формуладан t=t0 - депжәне жалпылама координат түбірлеріне салыстырмалы алынған сызықтық теңдеулерді шеше отырып, λ0, μ0, ω0 айнымалылар мәндерін табамыз.
Алынған формулада λ, μ, ω айнымалылардың геометриялық мәндерінде қарастырылады.
Шынымен, ω айнымалы кез келген нақты, мәндерді -infinity- тен +infinity-ке дейін қабылдауды қабылдауды, xOy, жазықтығында кейбір бұрыш, яғни өзгермейтін бағыттағы P нүктесінің радиус - векторы проекциясынан пайда болатын бұрыш, мысалы абсцисса осінің бағытымен. Сонымен нүктенің геометриялық орны кейбір, ω=const үшін, Oz осінен өтетін жазықтық болады.
λ айнымалы (шын қозғалыс) кез келген шын мәндерді, ал μ айнымалы -1 мен +1 аралығында кез келген мәндерді қабылдайды. Сондықтан (2.17) - өрнегінен келесі өрнектерді аламыз,
x2+y2c2λ21+λ2+z-cσ2c2λ2=1, (2.31)
x2+y2c2λ21-μ2+z-cσ2c2λ2=1, (2.31')
Демек нүктенің геометриялық орны, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Екі қозғалмайтын нүктенің модельдік есебі тақырыбына ұқсас жақын арада жарық көрген бірнеше жұмыстар белгілі, оларда гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысының есептері қарастырылған. Жердің гравитациялық өрісіне жуық, мұндай қойылған есептер қозғалыстың дифференциялдық теңдеулерінің шешімдері болуы мүмкін [1,2,5,29-35].
Жұмыстың негізгі нәтижелері төмендегі конференцияларда мақала ретінде дайындалып, талқыланды:
1. Усовские чтения Методология и методика формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов тақырыындағы ХХ халықаралық ғылыми - тәжіриелік конференцияның материалдары, І бөлім. Челяинск, 4-5 сәуір, 2013ж.
2. Төлегенов оқулары Қазақстанның білім беру жүйесін дамытудағы инновациялық бағыттар тақырыбындағы республикалық ғылыми-тәжірибелік конференциясының І бөлімі. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 12 сәуір, 2013ж.
3. Шоқан тағылымы - 17 Халықаралық ғылыми - практикалық конференция бағдарламасы Көкшетау, 25-26 сәуір, 2013ж.
4. ХІІ - Халықаралық Байқоңыр оқулары ғылыми - практикалық конференция бағдарламасы Жезқазған, 15-16 қараша, 2013 ж.
5. Төлегенов оқулары Заманауи білім беру жүйесі: тәжірибеден - болашаққа тақырыбындағы республикалық ғылыми - тәжірибелік конференцияның материалдары. Ы. Алтынсарин атындағы АрқМПИ, Арқалық, 11 сәуір, 2014ж.
Тағайындалған жұмыста алынған нәтижелер зерттеу зерзаты - Екі қозғалмайтын нүктенің модельдік есебі мәселесін әрі қарай дамыту іргетасын қалайды.
Дипломдық жұмыстың толық көлемі 63 бет. Ол жоспары, кіріспе, үш тараудан тұратын негізгі бөлім, қорытынды, пайдаланылған 34 әдебиеттен тұрады.
Жұмыстың өзектілігі. Гамильтон-Якоби әдісі канондық теңдеулердің интегралдауының жемісті және икемді әдістерінің бірі болып табылады. Осы мақсатта Гамильтон-Якоби теңдеуі құрастырылғаннан кейін оның табылған толық интегралынан бастапқы есептері шығарылуы мүмкін. Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық инегралын табудың жалпы әдісі жоқ, бірақ Гамильтон-Якоби теңдеуінің жеке интегралдау әдістері бар. Сондықтан Гамильтон-Якоби теңдеуінің интегралдау мәселесі классикалық механикада өзекті болып қала береді.
Жұмыстың ғылыми жаңалықтары:
oo жұмыста Гамильтон - Якобидің интегралданған бейстационарлы теңдеуінің дара шешімдері анықталған;
oo екі қозғалмайтын нүктелердің тартылуы яғни біз білетіндей эллипстік квадратта интегралдануы;
oo орталық сфералық емес дененің тартылуының әсерінен материалдық нүкте қозғалыс есептеріне жуық есептерінің шешімдері үлкен планеталар спутниктерінің қозғалыс теориясында бұл есеп маңызды рөл атқарады;
oo Жердің күштік функцияларының кейбір сыртқы нүктелерде (геоцентрлік және экваторлық) бөлінуі;
Жұмыстың практикалық маңызы. Дипломдық жұмыстағы табылған жаңа нәтижелердің теориялық маңызы - оларды басқа да екі дене мәселесінің әртүрлі күрделі қойылымдарын зерттеуде алғашқы жуық қозғалыс ретінде қарастыруға болады. Ал, ғылыми практикалық маңызы - табылған жаңа шешімдерді аспан денелерінің жасанды және табиғи серігінің динамикалық эволюциясындағы екінші дененің гравитациялық әсерін есептеуде пайдалануға болады.
Жұмыстың мақсаты. Теориялық механикаға қатысы бар массасы айнымалы денелердің есептерін интегралданған Гамильтон - Якобидің бейстационарлық теңдеулері арқылы шешу. Екі қозғалмайтын нүктенің жинақталған есептерінің күштік функциясының өзгешеліктерін зерттеу.
Зерттеу объектісінің теориялық және әдіснамалық негіздері. Дипломдық жұмыста Гамильтон-Якоби теңдеуінің бейстационарлық интегралдау жағдайы және динамикалық жүйенің бір класы үшін Гамильтон-Якоби теңдеуі қарастырылады. Денелерді материялық нүкте деп қабылдап олардың өзара Ньютон заңымен әсерлесетіндігі салыстырмалы қозғалысы қарастырылады. Жазық беттегі қозғалмайтын екі дененің орта есебі мәселесін қарастырамыз. Ал жұмыста осы мәселелерде есептерді құру және қозғалыстың бейстационарлық теңдеулері көрсетілген. Гамильтондық жүйеде толық интегралын көрсетуге болатын бір класс ұсынады. Бұны бейстационарлық жүйелерге қарай В.Г. Деминнің нәтижелерін жалпылайтын және Г.Дарбу интегралдау жағдайларын енгізетін келесі теорема дәлелденеді [3].
Т е о р е м а . Нөлге тең емес анықтауыш үшін , n2 кез келген функциясы, және (2n+1) кез келген функция , , координаттарын және уақытты жалпылайтын болсын.
oo екі дене квадратурасы астрономия есептері болашақта қолданылуы мүмкін. Ал, қазірше математика немесе теориялық механика жағынан қолданылады.
oo екі қозғалмайтын нүктелердің бейстационарлық есебінің бір нұсқасы базасында қосымша күш болғандағы, серіктің жылдамдығы пропорционал және массаның өзгеруіндегі салыстырмалы жылдамдығы болған кездегі Жердің жасанды серігінің қозғалысы туралы есепті қарастырамыз. Серіктің ұйытқу қозғалысы элементтерін оскулирлеу үшін дифференциалды теңдеуді шығарамыз. Алынған нәтижелер Жердің жасанды серігінің орбиталық қозғалысында гравитациялық айнымалы эффекті талдау кезінде, сонымен қатар, массасы айнымалы аспан денесі механикасы есебінде одан әрі пайдалану үшін қолданыла алады.
1 БЕЙСТАЦИОНАРЛЫҚ МЕХАНИКА ЕСЕБІНДЕГІ ГАМИЛЬТОН-ЯКОБИ ӘДІСІ
1.1 Гамильтон-Якоби теңдеуінің дифференциалдық жүйесі
Гамильтон - Якоби теңдеуінің интегралдау механикада өзекті мәселелердің бірі болу үстінде, себебі Гамильтон-Якоби әдісі канондық теңдеулердің интегралдауының жемісті және икемді әдістерінің бірі болып табылады. Осы мақсатта Гамильтон-Якоби теңдеуі құрастырылған, кейін оның табылған толық интегралынан бастапқы есептің шығарылуы келтірілген. Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық инегралын табудың жалпы әдісі жоқ, бірақ Гамильтон-Якоби теңдеуінің жеке интегралдау әдістері бар.
Гамильтон зерттеуі 1834 жылы бастау алды, ал ол идеяны кейін Якоби 1936 жылы дамытты. Гамильтон-Якоби интегралдау теңдеуіне апаратын, канондық жүйенің теңдеуін интегралдау әдісі осылай пайда болды. 1849 жылы Лиувилль Гамильтон - Якоби теңдеуін айнымалы бөліну әдісімен интегралдаудың жеткілікті жалпы шарт ойлап тапты. 1881 жылы Штеккель осы теңдеудің біршама жалпы интегралдау шартын келтірді.
1887 жылы Моррера (H) Гамильтон функциясы үшін екі еркін дәрежесі бар, (H) функциясына салыстырмалы екінші тәртіпте жеке туындыдағы дифференциалды теңдеуімен көрсетілетін және (H) функциясын қанағаттандыруда осы шартқа Гамильтон-Якоби теңдеуінің сәйкес толық интеграл жағдайында айнымалыны бөлудің толық интеграл шартын орнататын механикалық жүйені тапты.
1904 жылы Леви-Чивита n саны еркіндік дәрежесі склеромды механикалық жүйенің еркін жағдайына Моррера шартын қорытындылады, ал 1944 жылы Моррера-Леви-Чивита шарты Форбаттың реономдық жүйесі жағдайында қорытындыланды.
Бұл шарттарды келесі жеке туындыда дифференциалды теңдеу жүйесінде көрсетуге болады:
dHdPjdHdPid2Hdqjdqi-dHdqid2Hdqjdpi- dHdqidHdqid2HdPjdPi-dHdPid2HdPjdqi= 0, (1.1)
d2Hdqjdt∙dHdPi-d2HdPjdt∙dHdqi=0 j,i=1,2,3,...,n;j=i (1.2)
мұндағы Н - Гамильтон функциясы,
- жалпылама импульс,
- жалпылама координаттар,
- уақыт.
Егер () сөзсіз уақытқа тәуелді болмаса, онда (1.2) шарт тепе-тең қанағаттандырылады, және Леви-Чивита шығарған шарт болады [1-2].
Егер Гамильтон функциясында
(1.3)
(1.1) және (1.2) шартына алмастырса , онда олар импульсі жөніндегі үшінші және төртінші дәрежеге сәйкес полиномаға өтеді.
Сонда туындысында тәуелсіз тұрақтылық, онда (1.1) және (1.2) шарттары осы полиномдардың коэффиценттері нөлге тең келгенде және функциясы, олардың бірінші және екінші реттегі жеке туындысы болып келген жағдайда ғана қанағаттандырылады.
Сөйтіп, Моррера есебі функциясы жөніндегі екінші реттік жеке туындыда дифференциалды теңдеудің интегралдау жүйесі есебіне апарады.
1963 жылы М.С.Яров-Яровой реономды механикалық жүйеде Гамильтон функциясының толық түрін, айнымалы бөліну әдісімен табуға болатын Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық интегралын орнатты және Гамильтон-Якоби теңдеуіне тиісті толық интегралын құрды [3-5].
Механикалық жүйенің біршама кең класын көрсетті. М.С.Яров-Яровоймен алынған нәтижелер Бургатти склерономдық жүйесі үшін алынған интегралдау жағдайының туралығын дәлелдеді [6,7].
М.С.Яров-Яровой нәтижелерінен, сондай-ақ, Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық интервалы айнымалыны бөлу әдісімен тек салыстырмалы импульстің бірінші және екінші ретті болып табылатын механикалық жүйенің бастапқы интегралы болған жағдайда ғана табылуы мүмкіндігі қорытындыланды. Осы себеппен айнымалы бөлінулер әдісімен шешуге болатын сан есебі бойынша Гамильтон-Якоби теңдеуі интегралын толық құру мәселесі бұрынғыша ашық күйінде қалды.
Гамильтон-Якоби әдісі канондық теңдеулер жүйесін интегралдаудың біршама қуатты әдістердің бірі болып табылады және қазіргі уақытта голономдық жүйе механикасы есебін шешуде Гамильтон-Якоби әдісін қолдану арқылы көптеген маңызды жетістіктерге қол жеткізілді.
Гамильтон-Якоби әдісімен интегралдау мәселесі аспан механикасында көп орын алатынын және де қазіргі кезде кең дамығанын айта кету керек [8-14]. Гамильтон-Якоби әдісі бейстационарлы жүйені зерттеуді біршама дәрежеде жеңілдетуімен қатар, соңғы кездері оған зор қызығушылық туып отыр. Сонымен бірге, Гамильтон-Якоби теңдеуін интегралдаудың жаңа жағдайын орнататын А.А. Беков пен Т.Б. Омаровтың зерттеу нәтижелері де үлкен қызығушылық тудырды [15-20]. Оларда В.Г.Деминнің, Лиувилль және Штеккельдің интегралдау жағдайы бар, сонымен бірге қарастырылатын Гамильтон-Якоби теңдеуін қолдана отырып, М.С. Яров-Яровойдың нәтижелерін қорытындылайды [21-29]
(1.4)
Мұндағы, - координат функциясы,
- координат функциясы,
- күш функциясы,
- Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық интегралы.
1.2 Интегралдаудағы Гамильтон-Якоби теңдеуінің қолданылуы
Соңғы уақыттары астрономия мен космологияның дамуына байланысты аспан механикасы бейстационарлы моделдік есебін зерттеуге үлкен назар аударылып отыр. Сондай-ақ осы бейстационарлы жүйені сипаттайтын, қозғалыстың дифференциалды теңдеуін интегралдау мәселесі маңызды қызығушылық тудырды.
Бейстационарлы динамикалық жүйелер үшін қосымша ретінде келесі теоремаларды қарастырамыз.
Т е о р е м а . Егер Гамильтон функциясы
(1.5)
формуламен анықталса, онда
(1.6)
, (1.7)
болады.
мұндағы, - еркін үзіліссіз функциялар,
- уақыттың үзіліссіз функциялары,
- еркін тұрақты,
онда Гамильтон-Якоби теңдеуі толық интегралды игеріледі
(1.8)
мұнда
, (1.9)
мұндағы - еркін тұрақты, және де
. (1.10)
Д ә л е л д е у. Тиісті теңдеу үшін
шешімі (1.9) түрінде, мұндағы - белгісіз функция .
(1.7), (1.8) күште
,
шартын қанағаттандыратын (1.10) шешімі бар теңдеу аламыз.
Енді тек шартты тексеру ғана қалады
.
бар
,
. Шарты бойынша функциясы секілді үзіліссіз Теорема дәлелденді.
Т е р г е у . 10. Егер (1.8) , яғни , а - еркін үзіліссіз функция болса, онда (1.10) формуласында j бойынша жинақтау ден ге дейін жүреді.
20. Егер (1.8) болса, онда А.А. Бековтың интегралдау жағдайын аламыз [10].
30. Егер және кезінде А.А. Беков пен Т.Б.Омаровтың интегралдау жағдайын аламыз [27].
40. (1.6) жорамалдасақ, барлық М.С. Яров-Яровойдың интегралдау жағдайын аламыз [14].
Егер және болса, онда Лиувиллдің теоремасына келеміз [25].
1.3 Гамильтон-Якоби теңдеуінің бейстационарлық интегралдау жағдайы
Бейстационарлық жүйелерге қарай В.Г. Деминнің нәтижелерін жалпылайтын және Г.Дарбу интегралдау жағдайларын енгізетін теорема дәлелдейді. Ол Гамильтондық жүйеде толық интегралын көрсетуге болатын бір класс ұсынады [23-25].
Т е о р е м а . Нөлге тең емес анықтауыш үшін , n2 кез келген функциясы, және (2n+1) кез келген функция , , координаттарын және уақытты жалпылайтын болсын.
Онда, гамельтониан бейстационарлық жүйесі мына формуламен анықталады:
, (1.11)
Мұнда
, (1.12)
Онда Гамильтон-Якоби теңдеуінің тиісті интегралы
, (1.13)
болады.
мұндағы - кез келген тұрақты.
Д ә л е л д е у . Кез келген теңдеуді шешу
(1.14)
түрінде қарастырамыз
(1.15)
онда
. (1.16)
шығады.
S функциясын түрінде
(1.17)
алып, өзгертеміз (1.16):
(1.18)
Енді, ұсына отырып
(1.19)
және (1.12) өрнегі (1.18) теңдеуінде, болатынын
. (1.20)
W сома түрінде ұсынылған болсын
, (1.21)
онда (1.20) теңдеуі
. (1.22)
қанағаттандырады .
Шындығында, (1.20) сол бөлігіне (1.22) ұсына отырып,
(1.23)
аламыз.
Мұнда
.
үшін белгілі анықтауыш қасиет күшінде екенін аңғарамыз.
Әрі қарай, (1.22) интегралдау арқылы және (1.21), (1.17) мен (1.15) формулаларын ескере отырып, (1.11) теңдеуінің (1.13) толық инегралын табамыз, сонымен теореманы дәлелдеуді аяқтаймыз.
Егер (1.11) гамильтонианына салсақ, онда В.Г. Деминнің теоремасын аламыз [22]. Егер шартына қосымша ретінде қойсақ, онда Г. Дарбудың интегралдау жағдайына келеміз [19].
1.4 Динамикалық жүйенің бір класы үшін Гамильтон-Якоби теңдеуі
Динамика жүйесінің тағы бір классын белгілеуге мүмкіндік беретін Гамильтон - Якоби теңдеуінің толық интегралын көрсететін теореманы дәлелдейік.
Бұл теорема М.С. Яров-Яровтың нәтижесін жалпылайды және бейстационарлы жүйеге сәйкес В.Г. Деминнің интегралдау жағдайын енгізеді [17, 21].
Т е о р е м а . , еркін функция n2 болсын делік, яғни бірдей нөлге тепе-тең емес анықтауыш үшін,
, , жалпылама координаттың және , уақыттың n(2n+1) еркін функциясы.
Онда, егер гамильтиониан бейстационарлы жүйесі
(1.24)
функциясымен анықталады.
Мұндағы
, (1.25)
Немесе Гамтльтон-Якоби теңдеуінің сәйкестігі үшін толық инеграл мына түрде болады.
, (1.26)
Мұндағы - еркін тұрақты.
Д ә л е л д е н д і. Сәйкесінше теңдеуді шешімі
(1.27)
түрінде іздейміз
. (1.28)
бар
. (1.29)
S функциясын
, (1.30)
түрінде ұсына отырып, (1.29)-дан
(1.31)
аламыз.
Енді
(1.32)
ұсына отырып, (1.31) теңдеуінде (1.25) формуласы
(1.33)
болады.
Егер
, (1.34)
қойсақ, онда (1.33) теңдеуі
(1.35)
қанағаттандырылады.
Кейін, (1.35) интегралдау арқылы (1.26) формуласына келеміз. Теорема дәлелденді.
Егер гамильтонианда (1.24) , , онда В.Г. Деминнің теоремасына келеміз [16].
1.5 Гравитацияланатын ортадағы тартылыстың бейстационарлық өрістегі материалдық нүктенің қозғалысы
Соңғы кездері аспан механикасының көптеген мәселелерінің ішіне квадратурадағы интегралдауға қызығушылық танылып жүр, оған екі қозғалмайтын центрдің есебі жатады. Жасанды жер серіктердің қозғалыс теориясын құруда гравитациялық өрісте, Жердің, Айдың және т.б. гравитациялық өрісіне жақындауы, сонымен қоса галактика тартылыс өрісінде жұлдыз-нүкте қозғалысын қарастыруда қозғалыстың дифференциалды теңдеуі квадратурада интегралданатын есепті құруға болады [13-16,19-22, 27].
Екі қозғалмайтын центрдің классикалық мәселесінен А.А. Кочиев консервативті күштің күш өрісінің бірінші класы үшін қозғалыс нүктесі есебін шешуді келтірді және аспан механикасы есебіне оның ұсынысын көрсетті [28].
А.А. Беков және Т.Б. Омаровтың еңбектерінде үстемелі күш болған кездегі, сынақ дененің пропорционал жылдамдығымен және G жылдамдығының салыстырмалы өзгеруінде, G тұрақты тартылыс уақытпен айнымалы болғандағы екі қозғалмайтын центр есебін жалпылайтын бейстационарлы схемасын қарастырды. Жердің жасанды серіктерінің орбиталық қозғалысында айнымалы гравитация эффектіні талдауда аралық қозғалысты түсіндіру үшін есептердің мүмкін ұсыныстары көрсетілді [27].
Т.Б. Омаров стациоанрлық есеп интегралды болса
(1.36)
Мұндағы - тікбұрышты координаталар, - жүйе потенциалы, онда бейстационарлы есеп те интегралды болатынын көрсетті.
(1.37)
мұндағы - уақыттың үзіліссіз дифференциалды функциясы, - бейстационарлы динамика жүйесінің потенциалы:
. (1.38)
Гравитациялық өрістегі (1.38) шаманың баяу өзгеруі кезінде жүйені шешуді (1.37) сәйкес бейстационарлы есептегі аралық қозғалыс ретінде қарастыруға болады. Біз төменде осы идеяны жүзеге асырудың нақты мысалын келтіреміз. Сондай-ақ сәйкес теңдеу түрін (1.37) интегралдауда Гамильтон-Якоби әдісі жүргізіледі.
Бейстационарлы гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысы туралы есепті қарастырамыз
, (1.39)
Мұндағы - көріністің күштік функциясы [6]
, (1.40)
Мұндағы - өз аргументтерінің комплексті функциялары, мұндай - шындық;
- екі қозғалмайтын центр нүктелерінің радиус-векторлары , яғни Ох остеріне симметриялы салыстырмалы координат басы орналасқан және тең
, (1.41)
мұндағы c - ұзындық өлшемі бар параметр,
x, y, z - нүктенің тікбұрышты координаттары.
А.А. Кочиев [5] көрсеткендей, екі денелер есебінің потенциалы және қозғалмайтын центрлі екі денелер есебінің потенциалы (1.40) потенциалдың жеке жағдайы ретінде алынуы мүмкін.
(1.39) түрінің бейстационарлытігі тұрақты гравитациялық өзгеру мысалына негізделуі мүмкін.
Гамильтон формализмі көмегімен сәйкес дифференциалды теңдеуді интегралдау бұдан әрі ұйытқудың жақсы жасалған канондық теориясына көшуге мүмкіндік береді. Oxyz координаттары қозғалмайтын жүйеде бейстационарлы гравитациялық жүйеде болатын, нүкте қозғалысының диференциалды теңдеуі (1.39) түрінде болады
(1.42)
Мұндағы -уақыттың кейбір үзіліссіз функциясы.
Енді формула бойынша эллопсоидальды координаттарға көшеміз,
(1.43)
мұндағы
.
Енді жаңа айнымалы күш функциясын айтамыз (1.39).
Алдымен аңғаратынымыз, (1.41) формуласы мына түрде болады
(1.44)
Енді, (1.43) және (1.44) формулаларын қолдана отырып, жаңа айнымалыда (1.39) формуласын анықтайтын U күш функциясы үшін формула аламыз.
. (1.45)
Кинетикалық энергия
(1.46)
жаңа айнымалыда
. (1.47)
Әдеттегі түрдегі жалпылама импульсті жүргіземіз.
(1.48)
Онда кинетикалық функция
. (1.49)
түрінде болады.
Гамильтон функциясы
(1.50)
формуласымен анықталады. Және (1.42) теңдеу жүйесі жартылай канондық түрді қабылдайды.
(1.51)
(1.51) теңдеуін тікелей интегралдау мүмкін емес. Бірақ егер бірге жаңа айнымалыны келтірсе, онда теңдеу өрнігінің жалпы интегралы квадратура көмегімен табылады.
Келесі айнымалыны ауыстыруды жасаймыз
, (1.52)
мұндағы функциясы қатыспен қанағаттандырылады
. (1.53)
Онда (1.51) теңдеуі жүйесін канондық формада жазуға болады
(1.54)
Яғни гамильтониан келесі түрде болады
. (1.55)
(1.54) жүйесін интегралдауды Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық интегралы арқылы жасаймыз.
(1.56)
, (1.57)
болсын делік, онда
(1.58)
(1.56) теңдеуінің толық инегралын мына түрде іздейміз
, (1.59)
Мұндағы - еркін тұрақты,
V - функция, мына түрге келтірілген
. (1.60)
Шын мәнінде, (1.56) теңдеуі (1.60) формуласын қанағаттандыратын болады, егер
(1.61)
қойсақ.
Әрбір (1.61) теңдеуінен бір ғана айнымалыны бөлуді интегралдау және тәуелсіз айнымалы болады. (1.61) теңдеуін интегралдау арқылы келесі түрдегі (1.60) теңдеуінің толық интегралын аламыз
(1.62)
Енді Гамильтон-Якоби теоремасын қолдана отырып, формула бойынша
, (1.63)
(1.56) жүйесінің жалпы интегралын табамыз.
Мұндағы - жаңа еркін тұрақтылар.
Жеке еркінді есептей отырып, есебіміздің жалпы интегралын келесі түрде жазамыз
(1.64)
және
, (1.65)
мұнда белгілер көрсетілген
(1.66)
(1.64) және (1.65) теңдеулері (1.57) және (1.53) шарттарында қарастырып отырған бейстационарлы есептердің толық шешімін береді.
Уақыт функциясы ретінде эллопсоидалды координатты табу үшін (1.51) жүйесінің (1.65) және (1.48) формуласынан алынатын бірінші интегралын пайдаланамыз.
(1.67)
жаңа тәуелсіз айнымалыны
, (1.68)
құрылғысы арқылы шығарамыз.
(1.67) теңдеуін келесі түрде қайта жазамыз
(1.69)
(1.69) жүйенің бірінші екі теңдеуін интегралдау арқылы
. (1.70)
аламыз.
Эллиптикалық итегралмен айнымалыны табамыз
(1.71)
Содан кейін және t аралығындағы байланысты аламыз, функциясы ретінде
(1.72)
Онда, үшін өрнектеу ретінде қолдана отырып, және t аралығындағы келесі түрдегі тәуелділікті аламыз.
(1.73)
Енді классикалық мехканикадағы кейбір бейстационарлы есептер көрсетілген есептің жеке жағдайы ретінде алынуы мүмкін екенін көрсетеміз.
1. Мейлі функция түрінде болсын
онда күш функциясы келесі түрде жазылады
,
Сонымен, біз қосымша күш (тартылыс күші) болған кездегі жалпы шешуі көрсетілген, екі денелердің бейстационарлы есебін алдық [27].
2. Мына жағдайды қарастырайық, функция
болғанда, мына түрде болады
Онда, (1.39) және (1.40) формулаларына сәйкес
болады, және екі қозғалмайтын центр есебінің бейстационарлытігін аламыз.
Егер , а - нақты сан болса, онда жалпы шешімі алынған, екі қозғалмайтын центрлі жалпылама бейстационарлы есепті аламыз [8].
2 ЕКІ ҚОЗҒАЛМАЙТЫН НҮКТЕНІҢ МОДЕЛЬДІК ЕСЕБІ
2.1 Гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысының есептері
Гравитациялық өрістегі материалдық нүкте қозғалысының есептері қарастырылған, екі қозғалмайтын нүктенің модельдік есебі тақырыбына ұқсас жақын арада жарық көрген бірнеше жұмыстармен танысып шықтым [1,2,5,29-33]. Жердің гравитациялық өрісіне жуық, мұндай қойылған есептер қозғалыстың дифференциялдық теңдеуінде квадраттық интегралдануы мүмкін.
Бұдан жаңа аспан механикасы есептерінің интегралдық жағдайларының табылғанын ойлауға болады. Бұрын белгісіздер жаңалық ашуға мүмкіндік беретіндей сенім туғызған және басқа жағдайларда аналитикалық қозғалыс есептері интегралданады (бұрыннан белгілі есептерден басқа, мұндағы күштің орталық өрісіндегі қозғалыс есептері және қозғалмайтын нүкте есептері).
Бірақ ол үміт қазіргі кезде ақталмады. Себебі: Москвалық ғалымдар Е.А. Гребеников, В.Г. Демин және Е.П. Аксенов дәлелдеп көрсетті. Жоғарыда айтылған жағдайлардың интегралдануы тек материалдық нүкте қозғалысының жалпы әр түрлі дербес жағдайлардың жалпы есептерін ұсынады, екі қозғалмайтын центрлердің тартылуы яғни біз білетіндей эллипстік квадратта интегралданады.
Осыдан жаңалық ашуға мүмкіндік туды, орталық сфералық емес дененің тартылуының әсерінен материалдық нүкте қозғалыс есептеріне жуық есептерінің шешімдері үлкен планеталар спутниктерінің қозғалыс теориясында бұл есеп маңызды рөл атқарады, ал қазіргі уақытта жердің жасанды спутниктер теориясында маңызды мәні бар.
Сонымен, абсолютті қара денені геометриялық және динамикалық симметрияны сол оське салыстырмалы түрде меңгертеді. Мұндай денелерді жоғарғы дәрежемен жақындау есептейміз, мысалы біздің Жерді. Сондықтан мұндай денелерді нақты жер деп айта аламыз.
Сондықтан Жердің күштік функцияларының кейбір сыртқы нүктелерде бөлінуі (геоцентрлік және экваторлық) координаталар жүйесінде келесі түрде жазылады
V=fmr1+k=2infinity'k∙RrkPkzr (2.1)
Мұндағы f- тартылу тұрақтысы, m - Жер массасы, R - экваторлық радиусы, 'k - Жердің пішіні мен көлеміне байланысты тұрақты.
x,y,z - P қозғалыс нүктесінің (спутник) тік бұрышты координаталары, r - P нүктесінің радиус векторы, Pk - k ретті Лежандрдің көпмүшесі.
Гравитациялық өрістегі P - материалдық нүкте қозғалыс есептері, (2.1) күштік функциямен анықталатын Іk, еркін берілген коэффициент, квадратта интегралданбайды және бұл есептерді әрқашан шексіз қатарларға жуықтап жүктеу көмегімен шешуге болады.
М.Д. Кислик және Д. Винти көрсетеді, яғни бұл коэффициенттерді таңдап алу үшін P нүкте қозғалысының теңдеуі квадраттық интегралдануы керек. Ал алынған күштік функциясы нақты жердің гравитациялық өрісінің шындығын көрсетеді.
Кислик - Винти есептері жеңіл екі қозғалмайтын нүкте есептерінде жеңіл келтірілетіндігі көрінеді.
Шынында да, жалпы массалары m1және m2 мен белгіленген M1 және M2 ортаның жалпы жазықтық есептері ретінде қарастырамыз. Онда бұл есептің күштік функциясы жоғарыдағыдай келесі түрде анықталады:
U=fm1r1+m2r2 (2.2)
Мұндағы r1 және r2 - P тартылу нүктесінің радиус векторы. Егер координаталар басына дейін қозғалмайтын ара қашықтығын с1 және с2мен белгілесек, онда
r1=x2+y2+z-c12, r2=x2+y2+z-c22. (2.3)
Кері ара қашықтықты мынаған жіктесек Лежандр көп мүшесі r1-1 және r2-1 қатарына жіктейміз. Онда, біз мынадай
1r1=1rk=0infinityc1rkPkzr, 1r2=1rk=0infinityc2rkPkzr,
Онда күш функциясы келесідей түрленеді.
V=fmr1+k=2infinityγkrkPkzr , (2.4)
Осыдан мынадай болады
ёm=m1+m2, mγk=m1c1k+m2c2k. (2.5)
(2.1) және (2.4) жіктеулерін салыстыра отырып біз мынаны көреміз. Екі қозғалмайтын ортаның есептерінің U функциясы кейбір оссиметриялық күш функциясын көрсетеді. Мынадай шарттар орындалса,
γ1=0, γk='kRk k1 (2.6)
m, R және барлық 'k шамаларын берілген деп есептеп, онда m1, m2 және с1, с2 шамаларын анықтауға болатынын көреміз. Егер (2.6) шарты орындалса, (2.6) және (2.5) келесідей төрт теңдеуді береді.
m1+m2=m, m1c12+m2c22=m'2R2, m1c1+m2c2=0, m1c13+m2c23=m'3R3, (2.7)
Осыдан мынадай нәтиже аламыз.
m1=-mc2c1-c2, m2=-mc1c1-c2, (2.8)
және
c1c2=-'2R2, c1+c2=R'3'2 (2.9)
Сонымен, с1 және с2 квадраттық теңдеудің түбірі болады.
χ2-R'3'2χ-'2R2=0, (2.10)
теңдеуін шешіп с1 және с2-ні, сосын (2.8) - өрнегінен m1және m2 - ні табамыз. Бірінші үш мүшені жіктегенде (2.1) және (2.4) - ге сәйкес келеді, бірақ қалған мүшелер сәйкес келмейді, себебі барлығы сияқты 'k k2 - берілген дене үшін тұрақты анықталған, ал табылған m1,m2, с1, с2 - k=4 үшін (2.6) қатынасты қанағаттандырмайды.
Бірақ егер rR болса, онда Rr дәреже қатынасы k көрсеткіші ұлғайған кезде, тез өшіреді, ал (2.1) және (2.4) белгілі дәрежелі нақтылыққа сәйкес келу үшін практикалық жетістікке жетуге болады.
Сонымен P нүкте қозғалысының гравитациялық өрісте күш функцияға жуық анықтау үшін, әр түрлі жағдайларда (2.1) өрнегін пайдалануға болады, егер екі қозғалмайтын орталық есептерін анықтағанда.
2.2 Қозғалмайтын екі дене есебі
Келесі кезекте жоғарыда пайдаланылған формулаларды зерттейміз.
Егер қарастырылған дене, барлық өлшемдерін нақты деп есептеп, (m және R оң), онда квадраттық теңдеуді дискриминантты оң шама, ал теңдеудің түбірі, яғни с1 және с2 шамалары да нақты болады, ал өозғалмайтын орталық массалары да m1 және m2 (6) формуласымен нақты анықталатын болады. Екі қозғалмайтын орталық есептерінің U нүктелік функциясы да нақты.
Бұл жағдайда біз l20 (мысалы біртекті созылған эллипсоид айналуы) немесе l32l23+4l20 шарты орындалғанын ескереміз.
Егер (7) теңдеуінің дискриминанты теріс болса, онда бұл теңдеудің түбірлері комплексті кедергі ал онда m1 және m2 шамалары да комплексті кедергі және біз екі қозғалмайтын орталықтың біріктірілген есептеріне келеміз.
Бұдан осы жинақталған есептердің U күштік функциясының, комплексті масса және комплексті радиус - вектордан туындайтынын білеміз. Барлық коэффициенттер γk m1,m2 және с1, с2 - нің комплексті кедергісі нақты шамалар екеніне оңай көз жеткіземіз.
Жинақталып сәйкестендірілген есептер орын алады, егер l20, және l32l23-4l2 теңсіздігі орындалғанда.
Мысалы, шын Жер үшін біз келесі l2 және l3 жасанды спутниктерді зерттеу барысында алынған коэффициенттерінің мәндерін және геодезикалық өлшеулерді (біз жинақтаған мәндерді) аламыз.
l2≈-10-3, l3≈-10-5.
Осыдан Жер үшін l32l23+4l20, ал сондықтан қозғалмайтын орталық массасы және олардың координаталар басынан ара қашықтығы - комплексті шамалар.
l3- коэффициенті экваторға салыстырмалы Жердің ассиметриясын сипаттайтын өте аз. Егер осы коффициентпен мүшелерді ескермесек, онда с1және с2 шамалар таза, ал m1,m2 массалар - нақты, олардың әрбіреуі m2 - ге тең болады.
Айтылғандардан, Жердің жасанды спутниктер қозғалысының жуық теорияларын құру үшін, қозғалмайтын орталықтың жинақталған есептерін қолдануға болады, біз бұл есептерді толық қарастырамыз.
Оңай болу үшін келесі
с1=cσ+i, с2=cσ-i, i=-1; (2.11)
бұдан келесі теңдеуді аламыз
c=R2-∆, σ='3'2-∆ , -∆='32'22+4'2. (2.11')
С - ұзындық өлшемі, σ - өлшемсіз тұрақты, экваторға салыстырмалы дененің ассиметриясын сипаттайды. Егер дене симметриялы болса, онда '3=σ=0 және с1=ci, с2=-ci.
Енді (9) бен (2.1) - ден келесі теңдеуді аламыз.
m1=m21+σi, m2=m21-σi, (2.11'')
және екі қозғалмайтын орталықтың жинақталған есептерінің күштік функциясы мына формула түрінде беріледі:
U=fm21+σir1+1-σir2 , (2.12)
Мұнда r1 және r2 - радиус - векторлар (2.12') формуласымен анықталады.
r12=x2+y2+z-cσ+i2 ,r12=x2+y2+z-cσ+i2. (2.12')
Нақты тік бұрышты координаталарда Р нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеуі мына түрде жазылады
х=dUdx , y=dUdy , z=dUdz , (2.13)
Бұд теңдеуді интегралдағанда Жердің гравитациалық өрісінде жасанды спутник қозғалысының жуықталған есептерінің кейбір шешулеріне береді.
Осыдан
T=12(x2+y2+z2) (2.14)
және
H=T-U (2.15)
Р нүкте қозғалысының теңдеуін канондық түрде аламыз.
dxdt=dHdx, dydt=dHdy, dzdt=dHdz,dxdt=-dHdx, dydt=-dHdy, dzdt=-dHdz. (2.16)
Біздің міндетіміз бастапқы берілген шарттарда осы теңдеулерді интегралдау болып табылады:
x=t0=x0, y=t0=y0, z=t0=z0, x=t0=x0, y=t0=y0, z=t0=z0, (2.16')
(2.16) теңдеуі интегралданбайды, сызықтан алдын ала жаңа айнымалыға айналдырамыз.
x, y,z нақты айнымалыларға жаңа нақты айнымалылар λ,μ,ω енгіземіз.
x=c1+λ21-μ2cosω,y=c1+λ21-μ2sinω,z =cσ+cλμ. (2.17)
Онда (2.12') өрнегі келесі түрде болады
r1=cλ-μi, r2=cλ+μi, (2.18)
Осыдан
λ=r1+r22c, μ=r2+r12ci, (2.18')
(2.12) өрнегіне r1 және r2- нің орнына олардың (2.18) өрнегін қойып, қиындықсыз U күш функциясын жаңа айнымалылармен аламыз.
U=fmcλ-σμλ2+μ2. (2.19)
Бұл өрнек нақты болады, солай болуға тиіс.
(2.17) өрнегін t арқылы дифференциалдап, V жылдамдық құраушысы үшін P нүктесі жаңа айнымалыларының өрнегін аламыз.
xc=λλ1-μ2-μμ1+λ21+λ21-μ2cosω-1+λ21- μ2ωsinω,yc=λλ1-μ2-μμ1+λ21+λ21-μ2sin ω-1+λ21-μ2ωcosω,zc=μλ+λμ, (2.20)
Бұл өрнектерді (2.14) өрнегіне қойып,
T=c22λ2+μ21+λ2λ2+λ2+μ21-μ2μ2+1+λ2(1 -μ2)ω2 (2.20')
Енді қарастырылған импульсты келесідей өрнектермен анықтаймыз.
λ'=dTdλ=c2λ2+μ21+λ2λ,μ'=dTdμ=c2λ2 +μ21+λ2μ,ω'=c21+λ2(1-μ2)ω (2.21)
Тағы да басқа мысалдар келтірейік
T=12c21+λ2λ2+μ2λ,2+1-μ2λ2+μ2μ,2+ω, 21+λ2(1-μ2). (2.21')
Жаңа айнымалылар λ, μ, ω, λ,, μ,, ω, Канондық жүйелерде анықталады
dλdt=dHdλ,, dμdt=dHdμ,, dωdt=dHdω,,dλ,dt=-dHdλ, dμ,dt=-dHdμ, dω,dt=-dHdω, (2.22)
Сол H=T-U сипаттамалық функция арқылы мұндағы U және T (2.19) және (2.21) өрнектерімен анықталады.
(2.22) жүйе қалыпты интеграл түрінде болады
H(λ, μ, ω, λ,, μ,, ω,)=h , (2.22')
Мұндағы h- тұрақты туынды (тұрақты энергия)
(2.22') көмегімен Гамильтон - Якоби теңдеуін құрастырып, біз мынаны аламыз.
1+λ2dWdλ2+1-μ2dWdμ2+11-μ2-11+λ2dWdω 2=
=2fmcλ-σμ+2hc2λ2+μ2, (2.23)
Теңдеуді құрайтын және қанағаттандыратын h-тан басқа тағы екі тұрақты туынды бар W функциясын табу қалады.
Мұндай шешімді оңай квадраттау көмегімен табуға болады, шынымен W мына түрде деп
W=W1λ+W2μ+W3ω, (2.23')
Біз (2.23) теңдеуін қанағаттандырамыз.
1+λ2dW1dλ2=2hc2λ2+2fmcλ+α321+λ2+2α2 ,1-μ2dW2dλ2=2hc2μ2-2fmcσμ-α321-μ2-2 α2,dW3dω=α3, (2.23'')
Мұндағы α2 және α3- екі жаңа еркін тұрақтылар.
Қысқартуға болады деп
Lλ=21+λ2hc2λ2+fmcλ+α2+α32,Mμ=21-μ2h c2μ2-fmcσλ-α2-α32 (2.24)
Және тепе - теңдіктегі интегралдардан W1λ, W2μ, W3ω функцияларын оңай табамыз, сосын W функциясын (2.24') келесі түрде жазамыз.
W=Lλ dλ1+λ2+Mμ dμ1-μ2+α3ω. (2.25)
Гамильтон - Якоби теориясы бойынша, жүйенің жалпы интегралының формулаларын аламыз.
dWdh=t+β, dWdα2=β2, dWdα3=β3,
dWdλ=λ,, dWdμ=μ,, dWdω=ω,.
Дербес түбірін шешіп, табылған жалпы интегралды келесі түрде келтіреміз
λ2dλLλ+ μ2dμMμ=1c2t+β, dλLλ+ dμMμ=β2, (2.26)
α3 dλ1+λ2Lλ-α3 dμ1-μ2Mμ+ω=β3, (2.26')
Lλ 1+λ2=λ,, Mμ 1-μ2=μ,, α3=ω, (2.26'')
Мұндағы β1, β2, β3, - 8' үш жаңа еркін тұрақтылар.
(2.26), (2.26') және (2.26'') теңдеулер екі қозғалмайтын нүктенің есептерінің толық жалпы шешулерін береді.
Шынымен, (2.26) теңдеумен біз айнымалылар λ және μ-ды t уақыт функциясы ретінде және еркін тұрақтылар h, α2, α3, β және β2; осыдан кейін (2.26') теңдігіне байланысты ω айнымалыны береді, сонымен β3- айнымалыдан (2.26'') формуласын импульс береді, одан кейін (2.21,) формуласынан λ, μ, ω түбірлерін аламыз.
Канондық айнымалыларды уақыт функциясы екенін және алты еркін тұрақтыларды біле отырып, біз тік бұрышты координаталар және нүкте жылдамдығын құраушыларды (2.17) және (2.20) формулаларымен анықтай аламыз.
Еркін тұрақтылар
h, α2, α3, β, β2, β3 (2.27)
қиындықсыз (2.26), (2.26') және (2.26'') өрнектерінен, канондық айнымалылардың бастапқы мәндері арқылы анықталады.
λ0, μ0, ω0, λ0, μ0, ω0, (2.27')
Тік бұрышты координаталардың бастапқы мәндеріне және жылдамдық құраушыларына байланысты (2.26').
Канондық айнымалыларды λ, μ, ω, тік бұрышты координаталар x,y,z, арқылы өрнектейміз (2.17) өрнегін түрлендіру арқылы, біз
x2+y2c2=1+λ21-μ2, tgω=yx,
Осыдан
ω=arctgyx, (2.28)
а λ2 және - μ2 - квадраттық теңдеудің түбірлері
χ2-pχ-q=0 (2.29)
Мұндағы p және q - коэффициенттер келесі түрде болады:
P=x2+y2+z-cσ2-c2c2, q=z-cσ2c2. (2.29')
Сондықтан, (2.29) теңдеуді шеше отырып, келесі теңдеуді аламыз.
λ2=p2+p24+q, μ2=-p2+p24+q, (2.30)
t0 момент үшін (2.30) және (2.28) теңдеулерін қолданып, λ0, μ0, ω0, мәндерін аламыз, содан кейін (2.20) формуладан t=t0 - депжәне жалпылама координат түбірлеріне салыстырмалы алынған сызықтық теңдеулерді шеше отырып, λ0, μ0, ω0 айнымалылар мәндерін табамыз.
Алынған формулада λ, μ, ω айнымалылардың геометриялық мәндерінде қарастырылады.
Шынымен, ω айнымалы кез келген нақты, мәндерді -infinity- тен +infinity-ке дейін қабылдауды қабылдауды, xOy, жазықтығында кейбір бұрыш, яғни өзгермейтін бағыттағы P нүктесінің радиус - векторы проекциясынан пайда болатын бұрыш, мысалы абсцисса осінің бағытымен. Сонымен нүктенің геометриялық орны кейбір, ω=const үшін, Oz осінен өтетін жазықтық болады.
λ айнымалы (шын қозғалыс) кез келген шын мәндерді, ал μ айнымалы -1 мен +1 аралығында кез келген мәндерді қабылдайды. Сондықтан (2.17) - өрнегінен келесі өрнектерді аламыз,
x2+y2c2λ21+λ2+z-cσ2c2λ2=1, (2.31)
x2+y2c2λ21-μ2+z-cσ2c2λ2=1, (2.31')
Демек нүктенің геометриялық орны, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz