Тиімді шешім туралы ұғым

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3

1. ТИІМДІ ШЕШІМ ТУРАЛЫ ҰҒЫМ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.1. Тиімді шешім туралы ұғым ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.2. Алгебра және жоспарлау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6
1.3. Матрицалар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..10
1.4. Анықтауыштар және оларды есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12

2. МАТРИЦАЛАРҒА АМАЛДАР ҚОЛДАНУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
2.1. Матрицаларды қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
2.2. Матрицаларды көбейту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
2.3. Кері матрица ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
2.4. Сызықтық теңдеулер жүйесінің теріс емес шешімін анықтау ... ... ... ..21

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...25

ДЕРЕК КӨЗДЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26

ПРАКТИКАЛЫҚ БӨЛІМ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27
Қазіргі қоғамның мәдениеті, білімділігі, ой өрісі және ой жүйесі дамыған кезеңде халық шаруашылығының кәсіпорындарының қандай түрі болмасын, оның экономикасы ұтымды басқаруда математикалық әдістер мен компьютерді кеңінен қолдану қажеттігі әркімге белгілі.
Математиканың экономикада және басқа ғылмдарда кеңінен қолданылуы осы ілімнің өзіне тән ерекшелігі болып табылады. Егер оның осы ерекшелігі түбегейлі экономикалық талдаумен біріктіре отырып пайдаланылса, онда өндірістік жұмыстарды тиімді ұйымдастыруда және басқаруда, яғни әр істен ұтымды табыс табу жолдарында математикалық әдістемелерді қолдану – бүгінгі таңдағы ең қажетті істің бірі.
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін әртүрлі дәрежеде қолданбайтын ғылыми салалар жоқ. Сызықтық теңдеулер жүйелері экономикалық зеріттеулерде, оптималдық экономикалық есептерде қалыптастырып, тәжірибе жүзінде шығаруда айрықша қолданылады. Яғни мен бұл негізгі бөлімде екі бөлім қарастырып, оның өзі де бөлімдерге бөлініп қарастырылған.
Тақырыптың өзектілігі: Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу жолы қарапайым сандық мысал бойынша қысқаша баяндалған. Осы түсініктерді кеңейте отырып, сызықтық алгебраның жоспарлау жұмыстарында қолдану жолдарын қарастыру.
Экономикада қолданылатын математикалық әдістердің жиынын белгілеу үшін әртүрлі атаулар қолданылады. Алғашқысында мұндай жиын экономикалық кибернетика деп аталады, кейіннен операцияларды (әрекеттерді) зерттеу, одан кейін экономикалық – математикалық әдістер деп аталып жүр.
Экономикалық-математикалық модель дегеніміз ақиқат экономикалық процестердің маңызды қасиеттерін бейнелейтін математикалық жүйелер. Ол экономикалық процестердің өзгешеліктерін және өзара байланыстарын белгілі бір ережелер бойынша арнайы символдармен белгілейді.
Сызықтық алгебра – математикалық пәні, сызықтық теңдеулер, матрицалар мен анықтауыштар теориясын, сондай ақ векторлық (сызықтық) кеністіктер теориясын қамтитын алгебраның бөлімі. Сандарда немесе қандай да бір басқа элементтерден (объектілерден) тұратын тік бұрышты кестені (таблицаны) матрица деп атайды. Матрицаның мөлшері жолдардың және бағаналардың санымен анықталады. Кез келген n – реттегі А шаршы матрицаға, бір заңдылықпен, осы матрицаның n – реттегі анықтауышы немесе детерминанты деген атпен бір сан сәйкестендіріледі. Анықтауыштың реті оның жолдар саны мен бағана санының теңдігіне байланысты.
Зерттеудің мақсаты: Сызықтық алгебра элементтерінің яғни матрицалар мен анықтауыштар теориясын тәжірбиелік есептерде пайдалану жайын қарастыру. Осы тақырыпты таңдауымыздың себебі, берілген қорды дұрыс пайдалана отырып, өндірісті қалай ұйымдастырғанда өнім өндіруді көбейтуді, жол қатынасы жұмыстарының шығынын қалай азайтуға болады, тиімді рацион жасау қалай жүзеге асырылады және тағы сол сияқты есептерді қолданудың тиімділігіне көз жеткізу.
Зерттеудің міндеттері:
- Сызықтық алгебра негізгі элеметтері.
- Тиімді шешім ұғым және олардың тәжірбиелік есептерге қолданылуы.
- Алгебра және жоспарлау
- Матрицалар және олардың қасиеттері
- Анықтауыштар және оларды есептеу
Зерттеудің әдістері: Теориялық мәліметтерді саралап, салыстырып талдау, оларды іс жүзінде көрсету, нақтылау, нәтижелерін жинақтау, қорытындылау.
Бірінші бөлімде экономика модельдерінің сызықтық алгебра элементтері бойынша тиімді шешім туралы, сызықтық алгебраның жоспарлау есептерін алгебра тілінде шешу, матрицалар мен анықтауыштарды есептеу қамтылған.
Екінші бөлімінде матрицаларға амалдар қолдану мен сызықтық теңдеулер жүйесінің теріс емес шешімін анықтау, сонымен қарар кесте әдісі қарастырылған. Күнделікті өмірге қажетті есептердің жобасын жасау және оларды шешу жолдары әртүрлі. Дегенмен барлық есептерге ортақ eceпті құру және шешу тәсілдерін көрсетуге болады. Сызықтық алгебра элементтері алгебраның теориясын қамтитын негізгі бөлім.
        
        МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
............................................................................
...................................... 3
1. ТИІМДІ ШЕШІМ ТУРАЛЫ
ҰҒЫМ..............................................................5
1. ... ... ... Алгебра және
жоспарлау..............................................................
................6
3. ... және ... ... және ... ... амалдар
қолдану...........................................16
2.1. ... ... ... ... ... жүйесінің теріс емес шешімін анықтау……....….21
ҚОРЫТЫНДЫ...................................................................
....................................25
Дерек ... ... ... ... ой ... және ой жүйесі
дамыған кезеңде халық шаруашылығының кәсіпорындарының қандай түрі болмасын,
оның экономикасы ұтымды басқаруда ... ... мен ... қолдану қажеттігі әркімге белгілі.
Математиканың экономикада және басқа ғылмдарда кеңінен қолданылуы осы
ілімнің ... тән ... ... ... Егер оның осы ... экономикалық талдаумен біріктіре отырып ... ... ... ... ... және ... яғни әр істен
ұтымды табыс табу жолдарында математикалық ... ...... ең ... ... бірі.
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін әртүрлі дәрежеде қолданбайтын
ғылыми салалар жоқ. Сызықтық теңдеулер ... ... ... ... есептерде қалыптастырып, тәжірибе жүзінде шығаруда
айрықша қолданылады. Яғни мен бұл негізгі бөлімде екі ... ... өзі де ... бөлініп қарастырылған.
Тақырыптың өзектілігі: Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу жолы
қарапайым сандық мысал бойынша қысқаша баяндалған. Осы түсініктерді ... ... ... жоспарлау жұмыстарында қолдану ... ... ... әдістердің жиынын белгілеу
үшін әртүрлі атаулар қолданылады. Алғашқысында ... жиын ... деп ... ... ... (әрекеттерді) зерттеу, одан
кейін экономикалық – математикалық әдістер деп аталып жүр.
Экономикалық-математикалық ... ... ... ... ... ... ... математикалық жүйелер. Ол
экономикалық процестердің өзгешеліктерін және өзара байланыстарын белгілі
бір ережелер ... ... ... белгілейді.
Сызықтық алгебра – математикалық пәні, сызықтық теңдеулер, матрицалар
мен анықтауыштар ... ... ақ ... (сызықтық) кеністіктер
теориясын қамтитын алгебраның бөлімі. Сандарда немесе қандай да бір ... ... ... тік бұрышты кестені ... деп ... ... ... ... және ... санымен
анықталады. Кез келген n – реттегі А шаршы матрицаға, бір ... ... n – ... ... немесе детерминанты деген атпен бір сан
сәйкестендіріледі. Анықтауыштың реті оның жолдар саны мен бағана ... ... ... ... ... ... яғни ... анықтауыштар теориясын тәжірбиелік есептерде пайдалану жайын қарастыру.
Осы тақырыпты таңдауымыздың себебі, берілген қорды дұрыс пайдалана отырып,
өндірісті ... ... өнім ... ... жол қатынасы
жұмыстарының шығынын қалай азайтуға болады, тиімді рацион ... ... ... және тағы сол ... ... ... ... көз
жеткізу.
Зерттеудің міндеттері:
- Сызықтық алгебра негізгі элеметтері.
- Тиімді шешім ұғым және ... ... ... ... Алгебра және жоспарлау
- Матрицалар және олардың қасиеттері
- Анықтауыштар және оларды есептеу
Зерттеудің әдістері: ... ... ... ... ... іс жүзінде көрсету, нақтылау, ... ... ... ... ... ... ... элементтері
бойынша тиімді шешім туралы, сызықтық алгебраның жоспарлау есептерін
алгебра ... ... ... мен анықтауыштарды есептеу қамтылған.
Екінші бөлімінде матрицаларға ... ... мен ... ... ... емес шешімін анықтау, сонымен қарар кесте әдісі
қарастырылған. ... ... ... ... ... ... және
оларды шешу жолдары әртүрлі. Дегенмен барлық есептерге ортақ eceпті құру
және шешу ... ... ... ... ... ... теориясын қамтитын негізгі бөлім.
1. Тиімді шешім туралы ұғым
1. Тиімді шешім туралы ұғым
Тиімді шешім табу (ең үлкен немесе ең кіші) мәседесімен ерте ... ... ... ... ... ... ... олар табылған
әдістерді әртүрлі ... ... оның ... ... ... ... және т.б. ілімдерде қолдана білді.
Мысалы, атақты ғалым Евклид берілген нүктемен берілген ... ... ... ... ең үлкен және ең кіші ұзындықтарын
табу ... ... ... ... ... арналған есептер тәжірибе жүзінде
өте көп. Бұл есептердің қатарына: берілген қорды дұрыс пайдалана отырып,
өндірісті ... ... өнім ... ... жол ... ... қалай азайтуға болады, тиімді рацион ... ... ... және тағы сол ... ... ... Бұл айтылған
есептердің жоғарыда келтірілген Евклид ... ... ... ... бұл ... ... ... өзгеше әдістер болуы қажет.
Қазіргі таңда осындай әдістердің бірнеше түрі тәжірибеде ... ... ... ... ... ... ... құрайды.
Сонымен тиімді шешім деп қандай шешімді айтамыз? Бұл ... ... үшін ең ... мәселеден бастайық. «Таңертеңгі киім киіну ... ... ... Адам ерте ... ... ... ... киюі мүмкін. Біреулері ең алдымен шөлкейін, одан соң
шалбар, ... ... ... кие ... ал ... ... ... содан кейін шөлкейін кие бастайды. Сонымен ешкім де ... ... ... ... екендігін ойламайды. Алайда киім киюдің ... ... ... ішінде қарастырмайтын жағдай да болуы ... ... ... ... шөлкейді аяқкиімнің сыртынан киюге
болмайды емес пе. Міне, осы сияқты ... ... ... ... киім ... де ... ... бар, ал бізге осы
жағдайдың ішінен ең тиімдісін тауып алу ... ... де, ... шешу ... аз болмайды, міне,
осылардың ішінен ең тиімді (аз ... ... ... ... ... Ол үшін біз ... ... мақсатын, одан кейін осы мақсат
орындалу үшін қандай шарттар қажет болатындығын ... ... ... ... ... ... тиімді шешім табу мүмкін емес. Біздің
жағдайымызда алға қойған мақсатымыз – ... ... ... қай
тәртіппен киінгенде, киінуге ең аз уақыт кететіндігін анықтау. Бұл мақсатты
математика тілінде жазу ... ... ... ... ұғым енгізуге тура
келеді. Сонымен әртүрлі вариантқа сәйкес мақсат функциясының мәнін тауып,
оларды ... ... ... ең ... табу ... Бұл ... таңдау әдісі, варианттардың өте көптігіне байланысты, ... жету ғана ... әдіс емес және ол ең ... ... ... ... Сондықтан есепті математикалық бағдарламалау әдісімен шешу қажет.
Өйткені бұл салада табылған шешімнің ең тиімді шешім беретіндігі ... ... ... ... (ең кем ... екеу және одан да ... жағдайда ғана, берілген есеп математикалық бағдарламалау ... ... шешу ... тек ... ... беріліп қана қойылуы
жеткіліксіз. Мақсатты орындау үшін орындалатын шарттар ... ... ... Мұны ... ... ... ... аймағы немесе есепке
қойылатын шарттар дейді. ... ... ... табу ... ... ... және оның анықталу аймағы, басқаша айтқанда, сол ... ... табу ... ... ... шарттарды орындайтын мақсат функциясының ең үлкен (ең кіші)
мәнін ... ... ... ... ... ... ... және жоспарлау
Жоғарыда біз тиімді шешімді табу үшін алдымен ... ... ... дедік. Ал ол (мақсат функциясы) берілген жағдайды немесе шарттарды
қанағаттандыруы керек. Мақсат ... және ... ... белгісіздер
өте көп және үлкен дәрежелі болуы мүмкін. Егер есепке енген белгісіздердің
дәреже көрсеткіші ... ... ... ... сызықтық алгебра
есептеріне жатқызады. Мұндай жағдайда ... ... ... ... ... теңсіздіктер түрінде беріледі. Осындай есептерді қарастыру
үшін, алдымен сызықтық алгебраның кейбір ... ... ... жоспарлау жұмыстарында қолдану ...... ... цех екі ... трансформатор жасайды екен дейік.
І–ші түрдегі трансформаторды жасау үшін 6 кг трансформаторлық ... 4 ... ал ІІ – ші ... ... ... үшін 5 кг ... 3 кг сым қажет болсын. Егер трансформатор темірінің ... бар ... ал ... қоры q2 ... ... ... ... қаншасын жасауға болатындығын анықтайтын формуланы табу
қажет.
Бұл есепті шешу үшін, ең алдымен алгебралық теңдеулер жүйесін ... үшін І – ші ... ... ... ... Х1 деп, ал ІІ – ші
түрдегінің санын Х2 деп белгілеп аламыз.
Есептің шарты ... егер ... ... бір ... 6 ... ... ... онда Х1 трансформаторға 6Х1 кг темір, ал ... ... дана ... 5Х2 кг ... ... ... ... І – ші және ІІ –
ші түрдегі трансформаторларды Х1 және Х2 данадан жасау үшін қажетті темір
көлемі ... бар ... ... тең болуы керек. ... ... ... + 5Х2 = ... ... сым үшін де теңдеу құруға болады:
4Х1 + 3Х2 = q2
Сонымен біз екі белгісізі бар екі алгебралық теңдеу ... + 5Х2 = ... + 3Х2 = q2 (1. ... ... ... ... 6, 5, 4, 3 ... белгісіз Х1 және
Х2 – лердің ... деп, ал q1, q2 бос ... деп ... Енді
(1. 1) теңдеулер жүйесін пайдалана отырып, Х1 және Х2 ... ... ... ... Ең ... ... оқырман білетін қарапайым
әдістен бастайық. Ол үшін І – ші теңдеудегі Х1 – ді бос мүше q1 және ... ... = q1 – 5Х2 ... Х1 = 1/6 q1 – 5/6 Х2 ... Х1 – дің ... ІІ – ... апарып қойсақ, ІІ – теңдеудегі
Х2 - q1 және q2 арқылы өрнектеледі:
4 (1/6 q1 – 5/6 х2) + 3Х2 = ... q1 – 1/3 Х2 = ... ... екі ... ... = 1/6 q1 – 5/6 Х2,
q2 = 2/3 q1 – 1/3 q2.
(1.4)
Осы жүйедегі теңдеудің екіншісінен Х2 тауып, ... ... ... Х1 және Х2 – ... ... формула аламыз:
1/3 Х2 = 2/3 q1 – q2 ... Х2 = 2 q1 – 3 ... = 1/6 q1 – 5/6 (2 q1 - 3 q2) = - 3/2 q1 + 5/2 q2 = 5/2 q2 – 3/2 ... = 2 q1 – 3 ... = 5/2 q2 – 3/2 q2.
(1.5)
(1.5) теңдеуде Х1 және Х2 бос мүшелер q1 және q2 арқылы ... бұл жүйе Х1 және Х2 ... ... ... ... болып
есептеледі. Егер біз қолда бар темір q1 және сым q2 ... ... ... ... саны Х1 және Х2 таба ... темір қоры q1 = 190 кг, сым қоры q2 = 120 кг ... ... ... ... ... І – ші ... ... = 5/2 120 кг – 3/2 190 = 560 – 395 = 300 – 285 = 15 ... ал ІІ ... ... трансформатордан: Х2 = 2*190 – 3*120 = 380 – 360 = 20 ... оңай ... ... ... бір жай: ... ... ... теңдеулер
шешкенде, берілген белгісіздердің коэффициенттеріне және бос ... ... ... ... оң ... теріс санда, бөлшек
немесе бүтін санда болуы мүмкін. ... ... ... Х1 және Х2
мәндері тек оң және ... ... ... ... саны ... болуы
мүмкін емес, ол тек нөл немесе нөлден ... ... сан ... тиіс.
Сондықтан есепті шешуде осындай мәселелерге көңіл аударған жөн.
Енді бұл есептің q = 190 кг, q2 = 120 кг ... ... ... ... Ол үшін ... координат жүйесін алып, оның жатық
өсін (абцисса) Х1 арқылы, ал тік өсін ... Х2 деп ... ... – ші ... ... ... ол үшін ... теңдеудегі Х1=0 десек,
5 Х2 = 190 шығады, мұнан Х2 = 38 екендігі шығады. Ал бірінші теңдеудегі ... 0 ... 6 Х1 = 190 ... ... Х1 = 31,6 ... Енді ... ... түсірейік (1.1 – сурет).
Геометрияның кез келген екі нүкте арқылы тек бір ғана түзу ... ... ... пайдалана отырып, І – ші теңдеудің графигін аламыз.
Сол сияқты екінші теңдеудің графигін табуға болады (Х1 = 30, ... ... ... сызықтың) қиылысу нүктесінің координаты М (15,20)
есептің шешуін береді.
4X1 + 3X2 = 12 ... + 5X2 = ... _ _ _
0 20 ... ... - ...... Мал ... ... ... апталық рацион жыл мезгіліне
байланысты әртүрлі заттардың (витаминдердің) құрамынан тұратындығы белгілі.
Айталық, әртүрлі ... құра ... үш ... ... зат (А,В, С) ... ... ... жемнің 1 өлшем бірлігінде олардың ... ... мына ... ... ... |А, ... бірлігі |В, өлшем бірлігі |С, өлшем ... |6 |3 |1 ... |3 |4 |2 ... |2 |1 |2 ... ... |q1 |q2 |q3 ... q1, q2 және q3 бір тәулікте бір бас малға қажетті ... ... ... ... ... отырып, бір тәулік
рационға керекті жемдердің көлемін ... ... табу ... ... бірінші түрдегі жемнің мөлшерін Х1 өлшем бірлікте
деп, екінші түрдегі жемнің мөлшерін Х2, ал ... ... ... ... деп белгілейік.
Бірінші түрдегі жемнің 1 өлшем бірлігіне А заты 6 өлшем бірлік ... онда Х1 ... – 6 Х1 ... ... жемде А заты 3 ... ... Х2 ... – 3Х2, ал ... ... жемде 2Х3
өлшемді А заты бар, ендеше, бұлардың қосындысы сол ... ... ... ... ... ... + 3Х2 + 2Х3 = ... сияқты қалған заттар үшін де теңдеу құрсақ, олар былай болар еді:
3Х1 + 4Х2 + Х3 = q2,
X1 + 2X2 + 2X3 = ... біз ... ... қажетті үш белгісізі бар үш теңдеулер
жүйесін таптық:
6Х1 + 3Х2 + 2Х3 = ... + 4Х2 + Х3 = ... + 2X2 + 2X3 = ... ... формуланы табу үшін, Х1, Х2 және Х3 белгісіздерін, бос
мүше q1, q2 және q3 – лер ... ... ... үшін (1.6) ... 3 – ші ... Х1 – ді ... ... І және
ІІ – теңдеулердегі Х1 – дің ... ... ... = q3 – 2X2 – ... – 2X2 – 2X3) + 3X2 + 2X3 = ... – 2X2 – 2X3) + 4X2 + X3 = q2,
шығды. ... = q3 – 2X2 – ... = 6q3 – 9X2 – ... = 3q3 – 2X2 – ... жүйенің 3 – ші теңдеуінен Х2 – ні тауып, І және ІІ – ... Х2 ... ... = 2/3 q3 – ½ q2 – 5/2 X3,
X1 = -2 q3 + q2 + ... = - 15/2 q3 + 9/2 q2 + 45/2 ... ... ... ... Х3 – ті ... І және ІІ ... Х3 – тің орындарына қойсақ, ... ... ... ... = 6/25 q1 – 2/25 q2 – 1/5 q3,
X2 = 1/5 q1 + 2/5 ... = 2/25 q1 – 9/25 q2 + 3/5 ... ... ... ... жемнің көлемдері Х1, Х2 және Х3 –
тер бос мүше q1, q2 және q3 бір ... ... ... ... ... ... (1.9) жүйе ... отырған формуламызды береді, былайша
айтқанда, бұл жүйе ... бір ... ... ... ... есептеп
табуға болады. Мысалы, бір тәулікке қажетті А жұғымды ... ... q1 =
96 ... бірліктей, В затының шамасы q2 =68 өлшем бірліктей және с затының
шамасы q3 =38 өлшем бірліктей ... те, ... ... ... ... ... ... бірінші түрдегі жем Х1 = 6/25 * 96 – 2/25 * 68 – 1/5 * 38 ... ... ... жем Х2 = -1/5 *96 + 2/5 *68 = 8
- ... ... жем Х3 = 2/25 * 96 – 9/25 *68 + 3/5 * 38 = ... бұл екі ... шешкенде, белгісіздерді орнына қою әдісін
пайдаланып, бос мүше арқылы өрнектедік. ... да ... ... (1.6) ... ... және (1.5) ... (1.9) ... түріне
айналдырылып, нәтижесінде қойылған мақсатқа байланысты ... ... ... ... және ... қасиеттері
Сандық мәліметтерін кесте түрінде жазуға өте ыңғайлы есептер
тәжірибеде көптеп кездеседі. ... ... ... әдістерді
пайдаланғанда, есептің сандық мәліметтерін тікбұрышты кесте түрінде көрсету
ыңғайлы және пайдалы. Осындай жағдайға байланысты ХІХ ғасырдың орта кезінде
матрица ... ұғым ... ... ... кезде көптеген қызықты және пайдалы
қасиеттермен сипатталатын бұл көрсеткіш, негізгі математикалық ұғымдардың
бірі ... ... деп ... айтуға болады. Осы қасиеттердің біз тек
біраздарымен ғана танысамыз. Алдымен матрицаның анықтамасынан бастайық.
Анықтама. Сандарда ... ... да бір ... ... ... тік ... кестені (таблицаны) матрица деп атайды
да, оны екі жағынан жақша немесе қос ... ... ... ... ... мына ... 3 4 2 ... 5 1 , ... а21 , ... (В1 В2 В3 В4), ал ... ... 3 -1 4 ... ... ... ... ... 3 4 -2 ... 5 1 ... а21 , ... В1 В2 В3 ... т.б. жазылады.
b 3 -1 4 ... ... ... ... және ... ... тек бір ғана жолдан
немесе бағанадан тұруы мүмкін. Ондағы әрбір ... аij ... деп ... Мұндағы индекстердің біріншісі – i кестенің жол
нөмірін, ал екіншісі – j оның ... ... ... Мысалы, а23 –
кестенің (матрицаның) екінші жолымен оның үшінші бағанасының ... ... ... ... бір ғана әріппен А, В, С т.с.с белгілеп жазуға да
болады. Сонымен бір әріп ... ... ... ... деп түсінетін
боламыз. Жалпы, А матрица деп мына:
a11 a12 a13 … ... = … … … … … , ... … … … ... am2 am3 … ...... және n бағанадан тұратын тік бұрышты кестені ұғатын боламыз.
Матрицаның мөлшері жолдардың және ... ... ... оның жолдар және бағаналар саны тең болған жағдай да ғана (m = ... ... ... болады. Матрица жолының санымен оның тік бағаны ... ... яғни m = n ... ... ... ... (квадрат) матрица
немесе n – ретті матрица деп атайды.
Бір тік бағанадан ... ... ... ... немесе сандық
вектор деп атайды. Осындай матрица нақты сандар кеңістігіндегі вектормен
парапар деп ... (1.10) ... ... ... нөлден тұратын, яғни аij=
0 (i= 1,2,…,m; j=1,2,…,n) болса, онда матрица нөлдік матрица деп аталады.
Шаршы матрицаның бас ... ... ... ... ... ... болса, онда мұндай матрицаны диагоналдық матрица
деп атайды:
a11 0 0
A = 0 a12 0 . ...... 0 ... енді осы ... ... ... тек бірге тең
болса, яғни a11 = 1,…, amn = 1 болатын ... онда ол ... Е ... 0 ... = 0 1 0...0 ... ... ...
0 0 ... ... оны ... ... деп ... ... мен бағаналарының орындарын ауыстыруға (рөлдерін
ауыстыруға) болады. Осыдан ... ... ... ... деп ... да, оны А1 ... ... А матрицасы
3 2 1 3 ... = ... онда 2 1 = ... 1 0 1 ... аij € A ... ... ... болса, онда жалпы аij=
аij түрінде жазуға болады.
Егер берілген матрица А ... ... ... дәл келетін
болса, яғни
А = A* , ... ... ... ... ... деп ... да, ... бұл
шартын аij= аij ... ... ... ... тағы да ... онда ол ... өзіне тең болады, яғни
(A*) * = A ... ... және ... ... ... n – реттегі А шаршы матрицаға, бір заңдылықпен, осы
матрицаның n – ... ... ... ... ... ... бір ... Екінші және үшінші реттегі анықтауыштан бастайық.
Мына а11 , а12 және а21 , а22 төрт ... ... ... а22 ... ... ... Бұл кесте (матрица) екінші ретті деп аталады.
Өйткені оның жол саны мен ... саны ... тең және ол тең ... ... ... ... сәйкес келетін екінші ретті ... деп (а11 а22 – а12 а21) ... ... да, оны мына ... а12
∆ = = а11 а22 - а12 а21 ... ... Бұл ... ескере кететін бір жай – матрица реті туралы ұғым тек
оның жол саны мен тік ... ... тең ... жағдайда ғана айтылады. Ал
оның жол саны мен бағана саны өзара тең болмаса, онда ... ... ... деп ... а12 ... а22 ... екі жолдан және үш бағанадан тұратын болғандықтан, оның 2х3
мөлшерлі матрицаның ғана ... ... ... ... (1.17) анықтауыш екінші ретті анықтауыш ... ... оның жол және ... сандары екіге тең.
Үшінші және одан жоғары ретті ... да осы ... ... ... ... ... Сондықтан да үшінші ретті анықтауыш үш
жолдан және үш ... ... а12 ... = а21 а22 а23 . ... а32 ... ... ... ретті анықтауыш төрт жолдан және төрт бағанадан
тұратын болады:
а11 а12 а13 ... = а21 а22 а23 ... а32 а33 а34 ... а42 а43 ... ... онан әрі n – ... анықтауыш n жолдан және n бағанадан
тұрады.
Сонымен анықтауыштың реті оның ... саны мен ... ... ... Олай ... екінші ретті анықтауышта 22 = 4 ... ... ... 32 = 9 ... осы ... n – ... ... – элемент болатындықтарын көреміз.
a11 a12 … ... a22 … ... = … … … … . ... am2 … ... осы ... қалай есептеп табуға болатындығына
тоқталайық.
Біз екінші ... ... ... ... оның ... де ... ... кеттік. Осыған байланысты тағы мына бір
жағдайды да бұдан былай қарай есте ұстаған жөн: (1.16) ... ... ... бұрышынан оң жақтағы төменгі бұрышына қарай ойша
жүргізілген сызықтық осы ... бас ... деп ... ... ... ... ... мәні оның бас диагоналінің бойында жатқан
элементтердіңкөбейтіндісінен оның жанама диагоналінің бойында ... ... ... ... шығатын санға тең ... енді ... ... (1.18) ... ... есептеп шығару үшін
Саррюс ережесі деп аталатын ереже қолданылады. Осы ережеге ... ... (1.18) ... алдыңғы екі жолын оның төменгі жағына
түсіріп жазайық. Сонда төмендегідей №1 – ... ... ... Енді осы
сызбаның үстіндегі берілген ... бас ... ... ... көбейтіндісін a11 a22 a33 және оған екі параллельдің (оларда үш
элемент арқылы өтеді) бойындағы үш ... ... a21 ... және a31 a12 a23 оң ... ... әрбір элементтің өз таңбаларын
ескере отырып), ал ... ... – a13 a22 a31; -a23 a32 a11; - a33 ... ... a12 ... a22 ... a32 ... a32 ... a21 a22 a23 ...... ... алты ... алгебралық қосындысын берілген ... ... мәні деп ... ... ... анықтауыш осылай есептеуді
Саррюс ережесі деп атайды.
Сонымен
a11 a12 ... = a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 - a13 ... – a23 a32 a11 ... a32 a33 - a23 a32 a11 – a33 a12 ... ... басқаша да өрнектеуге болады. Ол үшін ... ... ... ... ... ... мына №2 ... «+» ... (І) – ... ... ... ... ... үш ... элементтердің көбейтінділері (әрине, әрбір элементтің өз
таңбасын ескере отырып) полюс таңбасымен, ал №2 (ІІ) – ... ... ... үш ... ... ... көбейтінділері (мұнда
да әрбір элементтің өз таңбаларын ескере отырып) минус ... ... ... алты мүшенің алгебралық қосындысы үшінші ... мәні деп ... ... ... кейін, алдыңғы екі жолды төменге
көшіріп жазудың қажеті болмай қалады. Соңғы келтірілген ережені де ... деп ... Осы ... ... ... ретті анықтауышты жедел және
оңай есептеуге болады. Осыған мысал келтірейік.
3 2 ... = 1 4 3 = ... ... 1 ... матрицаның барлық түрлерінің ішіндегі тек ... ... ғана ... ... және оны ∆ ... detA, ... А
түрінде жазылады.
Анықтауыштың шамасы матрицаны тасымалдағаннан өзгермейді, яғни:
А * = A ... 1 2
А = 0 4 3
-1 2 ... ... ... оның ... 1 2
А = 0 4 3 = 12 – 3 + 0 + 8 – 0 – 18 = ... 2 ... ... ... ... 0 ... = 1 4 2
2 3 ... 0 ... = 1 4 2 = 12 + 0 – 3 + 8 – 0 – 18 = -1
2 3 ... бұл жерде (1.21) теңдіктің орындалатынын анықтадық.
Анықтауыштардың қасиеттері, минорлар, алгебралыққосымшалар және
векторлар туралы мәліметтер ... ... ... ... сызықтық
алгебрамен терең танысуды ұсынамыз. Дегенмен де математикалық ... ... ... ... ... ... арқылы жасалатын амалдар мен
әрекеттерді білу қажет екенін ескере отырып, келесі тақырыпта осы мәселенің
кейбір ... ... ... амалдар қолдану
1. Матрицаларды қосу
Мысалға, мына
А = а11 а12 а13 В = b11 b12 ... а22 а23 b21 b22 ... ... деп, мына
А + В = а11 + b11 а12 + b12 а13 + ... + b21 а22 + b22 а23 + ... ... Осы ... екі матрицаны қалай қосу керек екендігінің
ережесін де байқауға болады, яғни қосындының ... ... ... ... қосу ... ... ... бір – бірінен алу, қосу әрекетін сәйкес ескерту:
Матрицаларды қосу ережесі тек өлшемдері бірдей матрицаларға ... Егер ... ... саны немесе бағаналар саны әртүрлі
болса, онда оларды бір – біріне қосуға немесе ... ... ... матрицаларды өзара қосқанда, ... ... да ... оңай ... болады, яғни
мөлшерлері бірдей барлық ... ... ... ... ... Осыған байланысты бірнеше дәлелдемені қажет етпейтін
формулаларды келтіре ... + В)* = А* + В*, ... * А)* = λA*, ... = λ*· ... ... ... А матрицасы – n – ретті шаршы матрица. Бұл жерде,
жалпы ... + В ≠ A + ...... = 3 1 B = 1 5
-2 1 3 2
A = 5; B = -13; A + B = 5 – 13 = -8
A +B = 3+1 1+5 = 4 6 A + B = ... 1+2 1 3 ... А + В ≠ А + В ... ... ...... 1
А = 1 және В = 4 ... ... + 1 4
А + В = 1 + 4 = 5 , (A + B)* = (4 5 ... – 3 ... = (3 1 2); B* = (1 4 ... + B* = (3+1 1+4 2-3) = (4 5 ... Матрицаларды көбейту
Кез келген матрицаны қандай да бір санға көбейтуге болады. Мысалы, ... және ... А – ны бір – ... көбейту керек делік, яғни
А = a11 a12 ... а22 ... ... ... онда
λ · А = a11 a12 a13 · λ = λ·a11 λ·a12 ... а22 а23 λ·a21 λ·a22 ... ... ... ... ... ... оның барлық элементтерін
осы санға көбейту керек екендігін байқаймыз және керісінше, егер матрицаның
барлық элементтерінің бірдей ... ... ... онда оны матрица
белгісінің қорытынды анықтауышы ретінде есептеуге болады.
Екі матрицаны өзара көбейту матрица алгебрасының ... ... ... ... іске асырылады. Сонымен екі матрицаны көбейтуден
бұрын, олардың мөлшері ерекше түрде ... ... яғни ... ... саны ... ... жолдар санына тең болуы шарт.
Осы шарт ... онда ... ... ... болмайды (бұл
шартты былайша да еске сақтауға болады: бірінші матрицаның ені ... ... тең ... ... А ... мөлшері mxn болса, онда оны В матрицасына
көбейту үшін В ... ... nxp ... ... ... осы екі А ... ... көбейтіндісі үшін мөлшері mxp болатын үшінші бір С матрица
алынады және оның кез ... ... мына ... ... ... = ∑ (aik ·bkj), i = ... j = 1,2,…p ... Бұл ... ... ... тең ... екі ... бір – біріне
көбейтуге болатындығын көреміз.
1 – мысал
1 3
А = 3 1 4 және В = 4 1 ... ... -2 0 0 ... Бұл екі ... А·В және В·А түрлерінде көбейтуге болады. Өйткені
А·В түрінде көбейткенде, бірінші матрицаның ... саны мен ... жол саны ... тең. Ал енді В·А ... көбейткенде де осы шарт
орындалады, яғни В матрицасының бағана саны А матрицасының жол ... ... осы екі ... ... ... ... = 3 1 4 · 4 1 =
1 -2 0 0 2
= ... ... = 7 18 = 7 ... ... -7 1 ... ... = 4 1 · 3 1 4 =
0 2 1 -2 ... 1·1+3·(-2) 1·4+3·0 6 -5 4
= ... ... ... = 13 2 16 ... ... ... 2 -4 0
Бұл мысалдан, жалпы алғанда, А·В ≠ В·А (тең ... ... Ал ... ... тек ... ... жағдайларда ғана орындалады.
1. – мысал
3 1
А = 2 0 және В = (4 3 1) ... ... ... ... ... А·В ... бір – біріне көбейтуге болмайды. Себебі ... ... саны В ... жол ... тең емес. Оларды мына
В·А түрінде көбейтуге болады. Өйткені бұл жағдайда екі матрицаны көбейтудің
шарттары орындалады, яғни В ... ... саны А ... ... тең. ... ... = (4 3 1) · 2 0 = ... = 22
1. -1
Екі матрицаны көбейтуге болатын шарт орындалатын болған ... ... = ... = ... = A·C+B·C,
C·(A+B) = C·A+C·B,
A·(B·C) = (A·B)·C
көрсеткіштердің орындалатынын көреміз.
Егер берілген А және В матрицалары бір ... ... ... онда оларды екі түрлі де көбейтуге ... ... ... ... ... тең болмайды. Олардың ... ... ... ... тең ... ... = A · B
(1.27)
Жалпы алғанда, А·В ≠ В · А ... ... ... ... тағы да еске саламыз.
3. Кері матрица
Кері матрица ұғымы – тек шаршы және ерекше емес ... ғана ... Егер А ... ... емес ... ... ... онда оған
кері матрица деп А-1 түрінде белгілеп, мына
А·А-1 = А-1 ·А = Е
теңдіктерін қанағаттандыратын ... ... Е ... ... ... a12 ... = a21 a22 ... a32 a33
матрицасы үшінші ретті ерекше емес матрица болса, яғни А = 0 ... ... кері А-1 ... да сол ... ... ... матрица болады да, мына
А11 А21 ... = А12 А22 А32 1 ... А23 А33 ... ... ... ... Бұл ... = (-1)-1+j Mij ... А ... аij ... ... ... Mij - ... ... яғни i- ші жолмен j-ші бағананы сызып тастағаннан
кейінгі (n - 1) ... ... ... А және А-1 ... ... бір-
біріне кері матрицалар болады. Өзара кері матрицалардың анықтауыштары да
өзара кері ... ... ... 1
А = A-1 ... А-1 = ... да, кері матрицаның анықтамасы бойынша
А·А-1 = Е. Олай болса А·А- 1 = Е = ...... ... Ал ... ... = А · ... екі теңдіктің сол жақтары – бір шама (өзара тең). Олай болса,
олардың оң жақтары да өзара тең ... ... · А-1 = ... ... ... теңдігіміз нақтылы.
Мысалы қарастырайық.
1 3 1
А = 2 -1 5
4 2 ... ... ... Осы ... кері А-1 ... табу ... Ол үшін ... матрицаның анықтауышын табуымыз керек:
1 3 1
А = 2 -1 5 = ... = ... 2 ... ... А ≠ 0 ... оның А-1 кері матрицасын
есептеуге болады. Ендеше, оны табу үшін (1.28) ... ... ... ... ... қосымшаларын (1.29) формула бойынша
табамыз:
А11 = -1 5 = -11, A21 = - 3 1 = -1, A31 = 3
1 = ... 1 2 1
-1 ... = - 2 5 = 18, A22 = 1 1 = -3, A32 = -
1 1 = ... 1 4 1
2 ... = 2 -1 = 8, A23 = - 1 3 = 10, A33 = 1
3 = ... 2 4 2
2 ... ... қосымшаларды табуда (-1)-дің дәрежесі жұп болса
плюс, ал дәрежесі тақ болса оны минус таңбасымен жазып өттік.
Енді осы ... ... ... (1.28) кері матрица
формуласына қойсақ, іздеп отырған А-1 кері матрицаны табамыз:
-11 -1 ... = 18 -3 -3 ... 10 ... кері матрица дұрыс табылды ма, әлде жоқ па, оны А·А-1 = 1 тепе ... ... ... ... 3 1 -11 -1 ... = 2 -1 5 1/51 18 -3 -3 =
4 2 1 8 10 ... -1 – 9+10 16 – 9 – 7 51
0 ... ... -2+3+50 32+3 – 35 = 1/51 0 51 0
= ... -4 – 6+10 64 – 6 – 7 0
0 ... А·А-1 = А-1 ·А тепе – ... орындалмаса, онда – кері матрицаны
есептеп табу барысында қате кеткені. Сондықтан да кері матрица ... өте ... болу ... ... ... ... ... емес шешімін анықтау
Қазіргі кезде сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін ... ... ... ... жоқ. ... ... ... экономикалық
зеріттеулерде, оптималдық экономикалық есептерде ... ... ... ... ... Бұл ... сызықтық бағдарламалау
курсының әмбебап симплекс әдісі сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістеріне
және оның ... ... ... емес мәндерін ерекше бөлектеп шешетін
әдістеріне негізделгені туралы алдынала айтып кеткеніміз жөн. Сондықтан да
осы бөлім, ... ... ... ... ... баяндауға
райындық жасауға арналған.
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылатын орнына қою
(айнымаларды ... ... ... қысқарту) тәсілі және алгебралық ... ... ... ... ... ... ... жүйедегі
теңдеулердің біріккендігі немесе бірікпегендігі туралы анықтаулар алгебра
курсының мектептік бағдарламасында ... ... ... ... ... ... ... (мысалы, Крамер әдісі, Гаусс әдісі және тағы басқа) көптеген
орыс тілінде жазылған әдебиеттерде ... ... ... ... ... кесте құрып шығару жолдары, сызықтық ... ... ... алгоритмінің негізін құрайды. Кесте әдісінің
технологиясын түсіндіру үшін, алдыңғы 1.2 - ... ... ... ... ... қарастырайық:
6Х1 + 3Х2 + 2Х3 = q1,
3Х1 + 4Х2 + Х3 = q2,
(1.6)
X1 + 2X2 + 2X3 = ... ... ... мына ... ... ... ... – кестесі
X1 X2 ... |3 |2 |
|3 |4 |1 |
|1 |2 |2 |
q1 =
q2 =
q3 ... біз ... айтылған матрицаның қарапайым түсініктеріне сүйене
отырып, берілген есепті кесте арқылы ... ... ... ... Х3 – ... q1, q2 және q3 – тер ... өрнектеу, былайша айтқанда Х –
тер мен q – лердің орындарын ауыстыру.
Айталық, 1.1 – кестедегі q1 мен Х1 – дің ... ... ... Бұл ... ... 1- кестедегі Х1 тұрған бағананы (таңдап
алған бағананы) бағыттауыш бағана, q2 ... ... ... ... алған жол)
бағыттауыш жол, ал q1 мен Х1 – дің ... ... ... ... - 6) бағыттауышы элемент немесе бас элемент деп атаймыз. Жаңа
кесте тұрғызамыз. Ол үшін ... ... ... ... Кестені қайта сызамыз да, Х1 – дің ... q1 – ді, ал q1 – дің ... – ді ... ... X2 ... |-3 |-2 |
|3 |15 |0 |
|1 |9 |10 ... =
q3 =
2. q1 ... мен Х1 ... ... қиылысындағы элементтің орнына ... ... ... ... ... ... қалған элементтерін 2-
кестеге көшіріп жазамыз.
4. Бағыттаушы жатық жолдың (бағыттаушы элементтен ... ... ... керіге өзгертіп, оларды 1.2-кестеге жазамыз.
5. Кестенің қалған элементтерін тік бұрышты төртбұрыш ережесі бойынша
анықтаймыз. Ол үшін ... деп ... ... және ... төртбұрыштың екі диагоналінің біреуінің төбелеріне жататындай
етіп, ойша төртбұрыш ... Одан ... ... ... ... ... элемент пен бағыттаушы элементтің көбейтіндісінен
төртбұрыштың ... ... ... ... екі ... алып ... ... санды жаңа 2-кестеге жазамыз.
Мысалға, Х2-бағанамен q2 жатық жолдың қиылысындағы элементті ... ойша ... ... құраймыз да:
6 3
3 4
4 ... ... ... жаңа ... ... ... ... 6·4-
3·3=24-9=15.
Табылған мәнді жаңа (2-кестеге) орнына жазамыз. Сол ... ... жол мен 2-ші ... ... ... ... 3
1 ... ... осы ... ... қалған элементтерін анықтаймыз.
6. Табылған жаңа 1.2-кестедегі барлық элементтерді бағыттаушы элементтің
мәніне бөлеміз, демек 6-ға бөлеміз де, ... ... X2 ... |-3/2 |-2/6 ... |15/6 |0 ... |9/6 |10/6 ... =
q3 =
Енді үшінші кестедегі q2 мен Х2 ... ... ... ... ... ... бос ... нөмірлерінің өсу
тәртібімен ауыстыру қажет емес. Егер біз Х2-ні q2 ... ... ... 15/6-ға тең. (1.4-кесте)
q1 q2 ... |-3/2 |-5/6 ... |1 |0 ... |9/6 |25/6 ... =
q3 ... 1.4-кестеде оның орнына 1 жазамыз, ал ... ... ... ... осы ... көшіреміз.
Есепті әрі қарай шешу жолдары жоғарыдағы келтірілген алгоритм бойынша
жүргізу барысында 1.4-ші, 1.5-ші және 1.6-шы ... ... ... ... шешудің соңғы нәтижесі 1.7-кестеде көрсетілген.
q1 q2 ... |-1/5 |-1/3 ... |2/5 |0 ... |9/15 |5/3 |
X1=
Х2 =
q3 =
1.5-кесте
q1 q2 ... |-2/5 |-1/3 ... |2/3 |0 ... |-9/15 |1 ... =
Х3 =
1.6-кесте
q1 q2 ... |-2/5 |-1/3 ... |2/3 |0 ... |-9/15 |3/5 ... ... ... ... элементтері алдыңғы тақырыптағы (1.9) ... ... тең ... ... тұр. Сонымен берілген
теңдеудің шешуін кесте түрінде таптық.
Бұдан былай бір кестеден екінші кестеге ... ... ... ... деп ... ... әдісті кез келген алгебралық теңдеулер жүйесін шешу үшін
пайдалануға болады.
Қорытынды
Курстық ... ... ... ... ... ... халық шаруашылығының кез келген саласының маманы математикалық
молельдеу әдістемесін ... ... ... ... ... ... ... біздің уақытымызда кең тараған. Математикалық моделдің
дамуына ЭЕМ – ның пайда болуы игі әсерін тигізді, ал әдістің өзі 1000 ... ... ... ... келген еді. Математикалық моделдеу
шаманы аналитикалық жолмен зерттеуге ... ... ... ... ... ... ... салаларындағы әр түрлі пән
аймағындағы процестер мен ... ... ... ... ... ... құру ... ойлау жүйесін дамытса, ал нәтижені
тексеру мен анализдеу өзін - өзі ... ... ... және ... ... курстық жұмыстың мақсаты сызықтық алгебра ... ... мен ... ... тәжірбиелік есептерде пайдалану жайын
қарастыру болатын.
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін алуан түрлі кәсіптер мен ғылым
саласында қолданылады. ... ... ... ... ... ... және қажетті бөлімдерінің бірі болып саналады. Сызықтық
алгебра негізгі элементтеріне матрицалар мен ... ... ... ... ... ... ... туралы ұғым
жатады. Осы курыстық жұмыстың ... ... ... ... ... жеке – жеке ... ... олардың шығару жолдарын мысал
есептер арқылы ... ... ... ... кіріспеден, екі негізгі бөлімнен, қорытындыдан, дерек
көздер ... ... ... ... ... ... ... барлық теориялық мәліметтерді тәжірибе
жүзінде іске асыруға болатындығына ... ... ... ... ... ... тізімі
1. «Экономикалық – математикалық әдістер мен модельдер» Сапарбаев Ә.Ж.,
Мақұлова А.Т. «Бастау» Алматы – 2007
2. «Экономикалық – ... ... ... ... ... ... ... методы в планирований отраслей и предприятий/Под.ред.»
Попова Н.Ч. «Экономика» 1975
4. «Экономико – математические методы и ... ... ... В.В. ... 1999
5. Замков О.О, Черемны Ю.А., Толстопятенко А.В. математические методы в
экономике. Дело и сервис 1999
6. ... Ю.П., ... А. В ... ... в ... «Наука»
1979
7. Сабитова Х.К. «Математическое ... ...... Калихман И.Л. «Линейная алгебра и линейное программирование» «Высшая
школа» 1967
9. Бирман И. «Оптимальное ... ... ... ... И.Л. «Математическое программирование в примерах и ... ... ... ... Е.К. ... ... ... оқу құралы, Алматы 1998ж.
12. Оспанов С.С, Асқарова Ж.А «Экономикадағы сызықтың ... ... ... - ... Нұр-пресс, 2006-100 б.
Практикалық бөлім
1-есеп. m.,n ≥ 2 натурал сандар және m х n өлшемді нақты типті ... Осы ... ... матрицасын экранға шығару.
Транспонирленген матрица ... ... ... ... ... түрі.
Program esep1;
Var
A:array[1..50,1..50] of integer;
i,j,n,m: integer;
begin
Write(‘массив өлшемін енгіз n->’); read(n);
Write(‘массив ... ... m->’); ... i:=1 to n ... j:=1 to m do read(A[i,j]);
Writeln(‘Транспонирленген матрица’);
For i:=1 to n do begin
For j:=1 to m do begin ... ‘); end; writeln; ... ... n*m ... А ... ... Ат ... матрицаға
көбейтіндісін табу. А·Ат
Program esep2;
Var
А,B,C: array[1..50,1..50] of real;
t,i,j,k,l,m: integer;
s:real;
begin
write(‘k->’); read(k);
write(‘m->’); read(m);
for i:=1 to k do
for j:=1 to m do ... i:=1 to k ... j:=1 to m do ... i:=1 to k do
for j:=1 to m do s:=0;
for t:=1 to m do begin
s:=A[i,t]*B[t,j]+s;
C[i,j]:=s;
End; end;
for i:=1 to k do ... i:=1 to k do ... ... ... k·m және m·l ... А және В ... ... А*В
көбейтіндісін табу.
Program esep3;
Var
A,B,C:array[1..50,1..50] of real;
t,i,j,k,l,m:integer;
s:real;
begin
write(‘k->’); ... ... i:=1 to k ... j:=1 to m do ... ... ... i:=1 to m do
for j:=1 to l do read(B[i,j]);
for i:=1 to k ... j:=1 to 1 do begin ... t:=1 to m do ... ... ... i:=1 to k do begin
for j:=1 to l do write(C[i,j]:3:3,’’); writeln; end;
end.
4 -есеп. С (n,m) матрицасының әр ... ... ... ... ... n=3; {жолдар саны}
m=3;{бағандар саны}
Var
c:array [1..n,1..m] of integer;
a:array [1..n] of ... ... i:=1 to n ... j:=1 to m do ... ... readln (c[i,j]);
End;
Writeln (‘берілген матрица’)
For i:=1 to n do
For j:=1 to m do ... ... ... i:=1 to n ... j:=1 to m do begin
S [j]:=s[j]+a[i,j];
end;
For i:=1 to n do
Writeln (S ...

Пән: Экономика
Жұмыс түрі: Реферат
Көлемі: 23 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Төрелік шешім101 бет
"қабылданған шешімді орындаудағы ұйымның функциясы"6 бет
Ілияс Есенберлиннің «Көшпенділер» трилогиясы: Тарихи шындық және көркемдік шешім37 бет
Азаматтық іс жүргізудің сот шешімін шығармай аяқталуы24 бет
Актас мұнай кен орнын игерудің оптималды жобалық шешімін анықтау67 бет
Арбитраждық шешімнің жарамсыздығы6 бет
Басқару шешімдері19 бет
Басқару шешімдерін қабылдау және басқару есебі16 бет
Басқару шешімдерін қабылдау теориясы22 бет
Бұйрықтар. Нұсқаулар мен жарлықтар. Қаулылыар, шешімдер, хаттамалар9 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь