Тиімді шешім туралы ұғым

Жоспар
Кіріспе

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3

1. ТИІМДІ ШЕШІМ ТУРАЛЫ ҰҒЫМ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.1. Тиімді шешім туралы ұғым ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.2. Алгебра және жоспарлау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6
1.3. Матрицалар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..10
1.4. Анықтауыштар және оларды есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12

2. МАТРИЦАЛАРҒА АМАЛДАР ҚОЛДАНУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
2.1. Матрицаларды қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
2.2. Матрицаларды көбейту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
2.3. Кері матрица ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
2.4. Сызықтық теңдеулер жүйесінің теріс емес шешімін анықтау ... ... ... ..21

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...25

ДЕРЕК КӨЗДЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26

ПРАКТИКАЛЫҚ БӨЛІМ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27

Қазіргі қоғамның мәдениеті, білімділігі, ой өрісі және ой жүйесі дамыған кезеңде халық шаруашылығының кәсіпорындарының қандай түрі болмасын, оның экономикасы ұтымды басқаруда математикалық әдістер мен компьютерді кеңінен қолдану қажеттігі әркімге белгілі.
Математиканың экономикада және басқа ғылмдарда кеңінен қолданылуы осы ілімнің өзіне тән ерекшелігі болып табылады. Егер оның осы ерекшелігі түбегейлі экономикалық талдаумен біріктіре отырып пайдаланылса, онда өндірістік жұмыстарды тиімді ұйымдастыруда және басқаруда, яғни әр істен ұтымды табыс табу жолдарында математикалық әдістемелерді қолдану – бүгінгі таңдағы ең қажетті істің бірі.
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін әртүрлі дәрежеде қолданбайтын ғылыми салалар жоқ. Сызықтық теңдеулер жүйелері экономикалық зеріттеулерде, оптималдық экономикалық есептерде қалыптастырып, тәжірибе жүзінде шығаруда айрықша қолданылады. Яғни мен бұл негізгі бөлімде екі бөлім қарастырып, оның өзі де бөлімдерге бөлініп қарастырылған.
Тақырыптың өзектілігі: Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу жолы қарапайым сандық мысал бойынша қысқаша баяндалған. Осы түсініктерді кеңейте отырып, сызықтық алгебраның жоспарлау жұмыстарында қолдану жолдарын қарастыру.
Экономикада қолданылатын математикалық әдістердің жиынын белгілеу үшін әртүрлі атаулар қолданылады. Алғашқысында мұндай жиын экономикалық кибернетика деп аталады, кейіннен операцияларды (әрекеттерді) зерттеу, одан кейін экономикалық – математикалық әдістер деп аталып жүр.
Экономикалық-математикалық модель дегеніміз ақиқат экономикалық процестердің маңызды қасиеттерін бейнелейтін математикалық жүйелер. Ол экономикалық процестердің өзгешеліктерін және өзара байланыстарын белгілі бір ережелер бойынша арнайы символдармен белгілейді.
Сызықтық алгебра – математикалық пәні, сызықтық теңдеулер, матрицалар мен анықтауыштар теориясын, сондай ақ векторлық (сызықтық) кеністіктер теориясын қамтитын алгебраның бөлімі. Сандарда немесе қандай да бір басқа элементтерден (объектілерден) тұратын тік бұрышты кестені (таблицаны) матрица деп атайды. Матрицаның мөлшері жолдардың және бағаналардың санымен анықталады. Кез келген n – реттегі А шаршы матрицаға, бір заңдылықпен, осы матрицаның n – реттегі анықтауышы немесе детерминанты деген атпен бір сан сәйкестендіріледі. Анықтауыштың реті оның жолдар саны мен бағана санының теңдігіне байланысты.
Зерттеудің мақсаты: Сызықтық алгебра элементтерінің яғни матрицалар мен анықтауыштар теориясын тәжірбиелік есептерде пайдалану жайын қарастыру. Осы тақырыпты таңдауымыздың себебі, берілген қорды дұрыс пайдалана отырып, өндірісті қалай ұйымдастырғанда өнім өндіруді көбейтуді, жол қатынасы жұмыстарының шығынын қалай азайтуға болады, тиімді рацион жасау қалай жүзеге асырылады және тағы сол сияқты есептерді қолданудың тиімділігіне көз жеткізу.
Зерттеудің міндеттері:
- Сызықтық алгебра негізгі элеметтері.
- Тиімді шешім ұғым және олардың тәжірбиелік есептерге қолданылуы.
- Алгебра және жоспарлау
- Матрицалар және олардың қасиеттері
- Анықтауыштар және оларды есептеу
Зерттеудің әдістері: Теориялық мәліметтерді саралап, салыстырып талдау, оларды іс жүзінде көрсету, нақтылау, нәтижелерін жинақтау, қорытындылау.
Бірінші бөлімде экономика модельдерінің сызықтық алгебра элементтері бойынша тиімді шешім туралы, сызықтық алгебраның жоспарлау есептерін алгебра тілінде шешу, матрицалар мен анықтауыштарды есептеу қамтылған.
Екінші бөлімінде матрицаларға амалдар қолдану мен сызықтық теңдеулер жүйесінің теріс емес шешімін анықтау, сонымен қарар кесте әдісі қарастырылған. Күнделікті өмірге қажетті есептердің жобасын жасау және оларды шешу жолдары әртүрлі. Дегенмен барлық есептерге ортақ eceпті құру және шешу тәсілдерін көрсетуге болады. Сызықтық алгебра элементтері алгебраның теориясын қамтитын негізгі бөлім.

Пән: Экономика
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 25 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1. ТИІМДІ ШЕШІМ ТУРАЛЫ
ҰҒЫМ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
1. Тиімді шешім туралы
ұғым ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...5
2. Алгебра және
жоспарлау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... 6
3. Матрицалар және олардың
қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...10
4. Анықтауыштар және оларды
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12

2. Матрицаларға амалдар
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
2.1. Матрицаларды
қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...16
2.2. Матрицаларды
көбейту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... 17
2.3. Кері
матрица ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ...19
2.4. Сызықтық теңдеулер жүйесінің теріс емес шешімін анықтау ... ... ... ..21

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... .25
Дерек көздер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ..26
Практикалық
бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ..27

КІРІСПЕ
Қазіргі қоғамның мәдениеті, білімділігі, ой өрісі және ой жүйесі
дамыған кезеңде халық шаруашылығының кәсіпорындарының қандай түрі болмасын,
оның экономикасы ұтымды басқаруда математикалық әдістер мен компьютерді
кеңінен қолдану қажеттігі әркімге белгілі.
Математиканың экономикада және басқа ғылмдарда кеңінен қолданылуы осы
ілімнің өзіне тән ерекшелігі болып табылады. Егер оның осы ерекшелігі
түбегейлі экономикалық талдаумен біріктіре отырып пайдаланылса, онда
өндірістік жұмыстарды тиімді ұйымдастыруда және басқаруда, яғни әр істен
ұтымды табыс табу жолдарында математикалық әдістемелерді қолдану – бүгінгі
таңдағы ең қажетті істің бірі.
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін әртүрлі дәрежеде қолданбайтын
ғылыми салалар жоқ. Сызықтық теңдеулер жүйелері экономикалық зеріттеулерде,
оптималдық экономикалық есептерде қалыптастырып, тәжірибе жүзінде шығаруда
айрықша қолданылады. Яғни мен бұл негізгі бөлімде екі бөлім қарастырып,
оның өзі де бөлімдерге бөлініп қарастырылған.
Тақырыптың өзектілігі: Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу жолы
қарапайым сандық мысал бойынша қысқаша баяндалған. Осы түсініктерді кеңейте
отырып, сызықтық алгебраның жоспарлау жұмыстарында қолдану жолдарын
қарастыру.
Экономикада қолданылатын математикалық әдістердің жиынын белгілеу
үшін әртүрлі атаулар қолданылады. Алғашқысында мұндай жиын экономикалық
кибернетика деп аталады, кейіннен операцияларды (әрекеттерді) зерттеу, одан
кейін экономикалық – математикалық әдістер деп аталып жүр.
Экономикалық-математикалық модель дегеніміз ақиқат экономикалық
процестердің маңызды қасиеттерін бейнелейтін математикалық жүйелер. Ол
экономикалық процестердің өзгешеліктерін және өзара байланыстарын белгілі
бір ережелер бойынша арнайы символдармен белгілейді.
Сызықтық алгебра – математикалық пәні, сызықтық теңдеулер, матрицалар
мен анықтауыштар теориясын, сондай ақ векторлық (сызықтық) кеністіктер
теориясын қамтитын алгебраның бөлімі. Сандарда немесе қандай да бір басқа
элементтерден (объектілерден) тұратын тік бұрышты кестені (таблицаны)
матрица деп атайды. Матрицаның мөлшері жолдардың және бағаналардың санымен
анықталады. Кез келген n – реттегі А шаршы матрицаға, бір заңдылықпен, осы
матрицаның n – реттегі анықтауышы немесе детерминанты деген атпен бір сан
сәйкестендіріледі. Анықтауыштың реті оның жолдар саны мен бағана санының
теңдігіне байланысты.
Зерттеудің мақсаты: Сызықтық алгебра элементтерінің яғни матрицалар
мен анықтауыштар теориясын тәжірбиелік есептерде пайдалану жайын қарастыру.
Осы тақырыпты таңдауымыздың себебі, берілген қорды дұрыс пайдалана отырып,
өндірісті қалай ұйымдастырғанда өнім өндіруді көбейтуді, жол қатынасы
жұмыстарының шығынын қалай азайтуға болады, тиімді рацион жасау қалай
жүзеге асырылады және тағы сол сияқты есептерді қолданудың тиімділігіне көз
жеткізу.
Зерттеудің міндеттері:
- Сызықтық алгебра негізгі элеметтері.
- Тиімді шешім ұғым және олардың тәжірбиелік есептерге қолданылуы.

- Алгебра және жоспарлау
- Матрицалар және олардың қасиеттері
- Анықтауыштар және оларды есептеу
Зерттеудің әдістері: Теориялық мәліметтерді саралап, салыстырып
талдау, оларды іс жүзінде көрсету, нақтылау, нәтижелерін жинақтау,
қорытындылау.
Бірінші бөлімде экономика модельдерінің сызықтық алгебра элементтері
бойынша тиімді шешім туралы, сызықтық алгебраның жоспарлау есептерін
алгебра тілінде шешу, матрицалар мен анықтауыштарды есептеу қамтылған.
Екінші бөлімінде матрицаларға амалдар қолдану мен сызықтық теңдеулер
жүйесінің теріс емес шешімін анықтау, сонымен қарар кесте әдісі
қарастырылған. Күнделікті өмірге қажетті есептердің жобасын жасау және
оларды шешу жолдары әртүрлі. Дегенмен барлық есептерге ортақ eceпті құру
және шешу тәсілдерін көрсетуге болады. Сызықтық алгебра элементтері
алгебраның теориясын қамтитын негізгі бөлім.

1. Тиімді шешім туралы ұғым
1. Тиімді шешім туралы ұғым
Тиімді шешім табу (ең үлкен немесе ең кіші) мәседесімен ерте заманнан
бастап көптеген оқымысты ғалымдар айналысты, сонымен қатар олар табылған
әдістерді әртүрлі ғылым салаларында, оның ішінде: математикада,
геометрияда, механикада, физикада және т.б. ілімдерде қолдана білді.
Мысалы, атақты ғалым Евклид берілген нүктемен берілген шардың
қиылысуынан пайда болатын кесінділердің ең үлкен және ең кіші ұзындықтарын
табу жолын анықтады. Тиімді шешуін табуға арналған есептер тәжірибе жүзінде
өте көп. Бұл есептердің қатарына: берілген қорды дұрыс пайдалана отырып,
өндірісті қалай ұйымдастырғанда өнім өндіру көбейеді, жол қатынасы
жұмыстарының шығынын қалай азайтуға болады, тиімді рацион жасау қалай
жүзеге асырылады және тағы сол сияқты есептер жатады. Бұл айтылған
есептердің жоғарыда келтірілген Евклид есебінен көптеген айырмашылықтары
бар. Сондақтан бұл есептерді шешуге арналған өзгеше әдістер болуы қажет.
Қазіргі таңда осындай әдістердің бірнеше түрі тәжірибеде қолданылуда.
Осындай қолданбалы математикалақ әдістер біріктіріліп, математикалық
бағдарламалау пәнін құрайды.
Сонымен тиімді шешім деп қандай шешімді айтамыз? Бұл сұраққа жауап
беру үшін ең қарапайым мәселеден бастайық. Таңертеңгі киім киіну әрекетін
бағдарламалау есебін қарастырайық. Адам ерте тұрып киінгенде киімді
әртүрлі тәртіппен киюі мүмкін. Біреулері ең алдымен шөлкейін, одан соң
шалбар, көйлек ттағы басқаларын кие бастайды, ал кейбіреулері алдымен
көйлек, шалбар, содан кейін шөлкейін кие бастайды. Сонымен ешкім де киімді
қай тәртіпте киіну тиімді екендігін ойламайды. Алайда киім киюдің де
тәртібі болады, олардың ішінде қарастырмайтын жағдай да болуы мүмкін.
Мысалы, көйлекті костюмнің сыртынан, шөлкейді аяқкиімнің сыртынан киюге
болмайды емес пе. Міне, осы сияқты қолданылмайтын жағдайларды алып
тастағанның өзінде, киім киюдің де көптеген жағдайлары бар, ал бізге осы
жағдайдың ішінен ең тиімдісін тауып алу қажет.
Қалай болғанмен де, есепті шешу варианттары аз болмайды, міне,
осылардың ішінен ең тиімді (аз уақыт жұмсалатын) шешімді табуға тура
келеді. Ол үшін біз алдымен есептің мақсатын, одан кейін осы мақсат
орындалу үшін қандай шарттар қажет болатындығын анықтап алуымыз қажет.
Алдымызға мақсат қоймай тұрып, тиімді шешім табу мүмкін емес. Біздің
жағдайымызда алға қойған мақсатымыз – қойылған шарттарды бұзбай, қай
тәртіппен киінгенде, киінуге ең аз уақыт кететіндігін анықтау. Бұл мақсатты
математика тілінде жазу үшін, мақсат функциясы деген ұғым енгізуге тура
келеді. Сонымен әртүрлі вариантқа сәйкес мақсат функциясының мәнін тауып,
оларды салыстыра отырып, ішінен ең тиімдісін табу қажет. Бұл сияқты
біртіндеп таңдау әдісі, варианттардың өте көптігіне байланысты, қойылған
мақсатқа жету ғана тиімді әдіс емес және ол ең тиімді шешім болмауы да
мүмкін. Сондықтан есепті математикалық бағдарламалау әдісімен шешу қажет.
Өйткені бұл салада табылған шешімнің ең тиімді шешім беретіндігі математика
түрінде дәлелденген.
Есептің бірнеше шешімдері (ең кем дегенде екеу және одан да көп)
болған жағдайда ғана, берілген есеп математикалық бағдарламалау есебіне
жатады.
Есепті толық шешу үшін, тек мақсат функциясының беріліп қана қойылуы
жеткіліксіз. Мақсатты орындау үшін орындалатын шарттар немесе шектеулер
болуы керек. Мұны математика тілінде есептің анықталу аймағы немесе есепке
қойылатын шарттар дейді. Сөйтіп тиімді шешім табу үшін, алдымен мақсат
функциясы және оның анықталу аймағы, басқаша айтқанда, сол мақсатқа орай
шешім табу шарттары берілуі қажет.
Қойылған шарттарды орындайтын мақсат функциясының ең үлкен (ең кіші)
мәнін берілген есептің (мақсаттың) тиімді шешімі дейді.

2. Алгебра және жоспарлау
Жоғарыда біз тиімді шешімді табу үшін алдымен алдымызға мақсат қою
қажет дедік. Ал ол (мақсат функциясы) берілген жағдайды немесе шарттарды
қанағаттандыруы керек. Мақсат функциясына және шарттарға енген белгісіздер
өте көп және үлкен дәрежелі болуы мүмкін. Егер есепке енген белгісіздердің
дәреже көрсеткіші бірден артпаса, мұндай есептерді сызықтық алгебра
есептеріне жатқызады. Мұндай жағдайда есептің берілген шарттары сызықтық
теңдеу немесе теңсіздіктер түрінде беріледі. Осындай есептерді қарастыру
үшін, алдымен сызықтық алгебраның кейбір түсініктеріне тоқталайық.
Сызықтық алгебраның жоспарлау жұмыстарында қолдану жолдарын
қарастырайық.
1 – мысал. Айталық, цех екі түрлі трансформатор жасайды екен дейік.
І–ші түрдегі трансформаторды жасау үшін 6 кг трансформаторлық темір, 4 кг
сым, ал ІІ – ші түрдегі трансформаторды жасау үшін 5 кг трансформаторлық
темір, 3 кг сым қажет болсын. Егер трансформатор темірінің қолда бар қоры
q1, ал сымның қоры q2 болса, осықорларды пайдаланып, әртүрлі
трансформаторлардың қаншасын жасауға болатындығын анықтайтын формуланы табу
қажет.
Бұл есепті шешу үшін, ең алдымен алгебралық теңдеулер жүйесін құрайық.
Ол үшін І – ші түрдегі белгісіз трансформатордың санын Х1 деп, ал ІІ – ші
түрдегінің санын Х2 деп белгілеп аламыз.
Есептің шарты бойынша, егер бірінші түрдегі бір трансформаторға 6 кг
темір қажет болса, онда Х1 трансформаторға 6Х1 кг темір, ал екінші түрдегі
Х2 дана трансформаторға 5Х2 кг темір қажет болады. Ендеше, І – ші және ІІ –
ші түрдегі трансформаторларды Х1 және Х2 данадан жасау үшін қажетті темір
көлемі қолда бар трансформатор темірімен тең болуы керек. Демек,
төмендегідей теңдеу құрамыз:
6Х1 + 5Х2 = q1
Осы сияқты сым үшін де теңдеу құруға болады:
4Х1 + 3Х2 = q2
Сонымен біз екі белгісізі бар екі алгебралық теңдеу алдық:
6Х1 + 5Х2 = q1
4Х1 + 3Х2 = q2 (1. 1)
Алгебра тілінде мұндағы берілген 6, 5, 4, 3 сандары белгісіз Х1 және
Х2 – лердің коэффициенттері деп, ал q1, q2 бос мүшелер деп аталады. Енді
(1. 1) теңдеулер жүйесін пайдалана отырып, Х1 және Х2 табуға арналған
формула табуды қарастырайық. Ең алдымен, әрбір оқырман білетін қарапайым
әдістен бастайық. Ол үшін І – ші теңдеудегі Х1 – ді бос мүше q1 және q2
арқылы өрнектелік:
6X1 = q1 – 5Х2 немесе Х1 = 16 q1 – 56 Х2 (1.2)
Табылған Х1 – дің мәнін ІІ – теңдеуге апарып қойсақ, ІІ – теңдеудегі
Х2 - q1 және q2 арқылы өрнектеледі:
4 (16 q1 – 56 х2) + 3Х2 = q2,
23 q1 – 13 Х2 = q2
(1.3)
Сонымен төмендегідей екі теңдеу аламыз:
Х1 = 16 q1 – 56 Х2,
q2 = 23 q1 – 13 q2.
(1.4)
Осы жүйедегі теңдеудің екіншісінен Х2 тауып, біріншісіне қойсақ, іздеп
отырған Х1 және Х2 – лерді табатын формула аламыз:
13 Х2 = 23 q1 – q2 немесе Х2 = 2 q1 – 3 q2,
Х1 = 16 q1 – 56 (2 q1 - 3 q2) = - 32 q1 + 52 q2 = 52 q2 – 32 q1,
Яғни:
Х2 = 2 q1 – 3 q2,
Х1 = 52 q2 – 32 q2.
(1.5)
(1.5) теңдеуде Х1 және Х2 бос мүшелер q1 және q2 арқылы өрнектелді,
демек бұл жүйе Х1 және Х2 белгісіздерін табуға арналған формула болып
есептеледі. Егер біз қолда бар темір q1 және сым q2 қорларын білсек, онда
жасалатын трансформаторлар саны Х1 және Х2 таба аламыз.
Айталық, темір қоры q1 = 190 кг, сым қоры q2 = 120 кг болсын, онда
бұл қорларды пайдалана отырып, І – ші түрдегі трансформатордан:
Х1 = 52 120 кг – 32 190 = 560 – 395 = 300 – 285 = 15 дана, ал ІІ –
ші түрдегі трансформатордан: Х2 = 2*190 – 3*120 = 380 – 360 = 20 дана
жасалатынын оңай табамыз.
Мұндағы ескерте кететін бір жай: жалпы жағдайда алгебралық теңдеулер
шешкенде, берілген белгісіздердің коэффициенттеріне және бос мүшенің
мәндеріне тәуелді белгісіздердің мәндері оң санда, теріс санда, бөлшек
немесе бүтін санда болуы мүмкін. Қарастырып отырған есепте Х1 және Х2
мәндері тек оң және бүтін болуы керек. Трансформаторлардың саны теріс болуы
мүмкін емес, ол тек нөл немесе нөлден жоғары бүтін сан болуға тиіс.
Сондықтан есепті шешуде осындай мәселелерге көңіл аударған жөн.
Енді бұл есептің q = 190 кг, q2 = 120 кг болғанда, шешімін график
түрінде қарастыралық. Ол үшін тікбұрышты координат жүйесін алып, оның жатық
өсін (абцисса) Х1 арқылы, ал тік өсін (ордината) Х2 деп белгілейік. Алдымен
І – ші теңдеудің графигін сызайық, ол үшін бірінші теңдеудегі Х1=0 десек,
5 Х2 = 190 шығады, мұнан Х2 = 38 екендігі шығады. Ал бірінші теңдеудегі Х2
= 0 десек, 6 Х1 = 190 шығады, осыдан Х1 = 31,6 шығады. Енді табылған
нүктелерді графикке түсірейік (1.1 – сурет).
Геометрияның кез келген екі нүкте арқылы тек бір ғана түзу жүргізуге
болады деген теоремасын пайдалана отырып, І – ші теңдеудің графигін аламыз.
Сол сияқты екінші теңдеудің графигін табуға болады (Х1 = 30, Х2=40).
Екі графиктің (түзу сызықтың) қиылысу нүктесінің координаты М (15,20)
есептің шешуін береді.

4X1 + 3X2 = 12 X1
6X1 + 5X2 = 190

40
30
20 _ _ _

0 20 30
34.6 X2

1.1 - сурет
2 – мысал. Мал фермасында малды жемдеуде апталық рацион жыл мезгіліне
байланысты әртүрлі заттардың (витаминдердің) құрамынан тұратындығы белгілі.
Айталық, әртүрлі жемнің құра мында үш түрлі жұғымды зат (А,В, С) бар
болсын. Қарастырлып отырған жемнің 1 өлшем бірлігінде олардың қанша
мөлшерде болатыны мына кестеде келтірілсін.

Жем түрлерінің А, өлшем бірлігі В, өлшем бірлігі С, өлшем бірлігі
І 6 3 1
ІІ 3 4 2
ІІІ 2 1 2
Тәуліктік мөлшер q1 q2 q3

Мұндағы q1, q2 және q3 бір тәулікте бір бас малға қажетті әртүрлі
заттардың мөлшері. Жоғарыда берілгендердің пайдалана отырып, бір тәулік
рационға керекті жемдердің көлемін анықтайтын формула табу керек.
Шешуі: Рациондағы бірінші түрдегі жемнің мөлшерін Х1 өлшем бірлікте
деп, екінші түрдегі жемнің мөлшерін Х2, ал үшінші түрдегі жемнің мөлшерін
Х3 деп белгілейік.
Бірінші түрдегі жемнің 1 өлшем бірлігіне А заты 6 өлшем бірлік те
болса, онда Х1 өлшемінде – 6 Х1 болады, екінші жемде А заты 3 өлшем
бірлікте болғандықтан, Х2 өлшемінде – 3Х2, ал үшінші түрдегі жемде 2Х3
өлшемді А заты бар, ендеше, бұлардың қосындысы сол заттың керекті мөлшеріне
тең болуы керек, яғни:
6Х1 + 3Х2 + 2Х3 = q1,
Сол сияқты қалған заттар үшін де теңдеу құрсақ, олар былай болар еді:
3Х1 + 4Х2 + Х3 = q2,
X1 + 2X2 + 2X3 = q3
Сонымен біз есепті шешуге қажетті үш белгісізі бар үш теңдеулер
жүйесін таптық:
6Х1 + 3Х2 + 2Х3 = q1,
3Х1 + 4Х2 + Х3 = q2,
(1.6)
X1 + 2X2 + 2X3 = q3.
Енді керекті формуланы табу үшін, Х1, Х2 және Х3 белгісіздерін, бос
мүше q1, q2 және q3 – лер арқылы өрнектеу керек.
Ол үшін (1.6) жүйенің 3 – ші теңдеуінен Х1 – ді тауып, қалған І және
ІІ – теңдеулердегі Х1 – дің орнына апарып қойсақ:
Х1 = q3 – 2X2 – 2X3,
3(q3 – 2X2 – 2X3) + 3X2 + 2X3 = q1,
3(q3 – 2X2 – 2X3) + 4X2 + X3 = q2,
шығды. Немесе:
Х1 = q3 – 2X2 – 2X3,
q1 = 6q3 – 9X2 – 10X3,
(1.7)
q2 = 3q3 – 2X2 – 5X3.
(1.7) жүйенің 3 – ші теңдеуінен Х2 – ні тауып, І және ІІ – ші
теңдеулердегі Х2 орындарына қойсақ:

Х2 = 23 q3 – ½ q2 – 52 X3,
X1 = -2 q3 + q2 + 3X3,
(1.8)
q1 = - 152 q3 + 92 q2 + 452 X3
шығады.
(1.8) жүйенің соңғы теңдеуінен Х3 – ті тауып, І және ІІ –
теңдеулеріндегі Х3 – тің орындарына қойсақ, іздеп отырған формуланы
табамыз. Яғни:
Х1 = 625 q1 – 225 q2 – 15 q3,
X2 = 15 q1 + 25 q2,
(1.9)
X3 = 225 q1 – 925 q2 + 35 q3.
Бұл теңдеулер жүйесінде белгісіз жемнің көлемдері Х1, Х2 және Х3 –
тер бос мүше q1, q2 және q3 бір тәулікке керекті жұғымды заттар арқылы
өрнектеледі. Демек, (1.9) жүйе іздеп отырған формуламызды береді, былайша
айтқанда, бұл жүйе арқылы бір тәулікке керекті жемдердің мөлшерін есептеп
табуға болады. Мысалы, бір тәулікке қажетті А жұғымды затының шамасы q1 =
96 өлшем бірліктей, В затының шамасы q2 =68 өлшем бірліктей және с затының
шамасы q3 =38 өлшем бірліктей дейік те, керекті жемдердің мөлшерлерін (1.9)
формула бойынша есептейік:
- бірінші түрдегі жем Х1 = 625 * 96 – 225 * 68 – 15 * 38 =10
- екінші түрдегі жем Х2 = -15 *96 + 25 *68 = 8
- үшінші түрдегі жем Х3 = 225 * 96 – 925 *68 + 35 * 38 = 6
Сонымен бұл екі мысалдарды шешкенде, белгісіздерді орнына қою әдісін
пайдаланып, бос мүше арқылы өрнектедік. Басқа да әдістермен (1.1)
теңдеу (1.6) теңдеу түріне және (1.5) теңдеу (1.9) теңдеу түріне
айналдырылып, нәтижесінде қойылған мақсатқа байланысты тұжырымдалған
әмбебап формула құрылады.

3. Матрицалар және олардың қасиеттері
Сандық мәліметтерін кесте түрінде жазуға өте ыңғайлы есептер
тәжірибеде көптеп кездеседі. Көбінесе қолданбалы математикалық әдістерді
пайдаланғанда, есептің сандық мәліметтерін тікбұрышты кесте түрінде көрсету
ыңғайлы және пайдалы. Осындай жағдайға байланысты ХІХ ғасырдың орта кезінде
матрица деген ұғым пайда болды. Қазіргі кезде көптеген қызықты және пайдалы
қасиеттермен сипатталатын бұл көрсеткіш, негізгі математикалық ұғымдардың
бірі болып есептелінеді деп толық айтуға болады. Осы қасиеттердің біз тек
біраздарымен ғана танысамыз. Алдымен матрицаның анықтамасынан бастайық.
Анықтама. Сандарда немесе қандай да бір басқа элементтерден
(объектілерден) тұратын тік бұрышты кестені (таблицаны) матрица деп атайды
да, оны екі жағынан жақша немесе қос түзеу сызықтарымен шектеп жазады.
Мысалы, матрицалар мына түрлерде:

1 3 4 2 а11
a 5 1 , немесе а21 , немесе (В1 В2 В3 В4), ал оларды
екі жағынан
b 3 -1 4 а31

қос сызықпен шектеп жазатын болсақ
1 3 4 -2 а11
a 5 1 немесе а21 , немесе В1 В2 В3 В4
, т.б. жазылады.
b 3 -1 4 а31

Сонымен матрица бірнеше жолдар және бағаналардан немесе тек бір ғана жолдан
немесе бағанадан тұруы мүмкін. Ондағы әрбір коэффициент аij оның
элементтері деп аталады. Мұндағы индекстердің біріншісі – i кестенің жол
нөмірін, ал екіншісі – j оның бағана нөмірін көрсетеді. Мысалы, а23 –
кестенің (матрицаның) екінші жолымен оның үшінші бағанасының қиылысқан
жеріндегі элементін көрсетеді.
Матрицаны қысқаша бір ғана әріппен А, В, С т.с.с белгілеп жазуға да
болады. Сонымен бір әріп арқылы жазылған матрицаны кесте деп түсінетін
боламыз. Жалпы, А матрица деп мына:
a11 a12 a13 ... a1n
A = ... ... ... ... ... , (1.10)
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn

m – жолдан және n бағанадан тұратын тік бұрышты кестені ұғатын боламыз.
Матрицаның мөлшері жолдардың және бағаналардың санымен анықталады.
Тек оның жолдар және бағаналар саны тең болған жағдай да ғана (m = n)
матрица ретін айтуға болады. Матрица жолының санымен оның тік бағаны саны
тең болса, яғни m = n болған жағдайда, матрицаны шаршы (квадрат) матрица
немесе n – ретті матрица деп атайды.
Бір тік бағанадан тұратын матрицаны бағана матрица немесе сандық
вектор деп атайды. Осындай матрица нақты сандар кеңістігіндегі вектормен
парапар деп қарастырлады.
Егер (1.10) матрицасының барлық элементтері нөлден тұратын, яғни аij=
0 (i= 1,2,...,m; j=1,2,...,n) болса, онда матрица нөлдік матрица деп аталады.
Шаршы матрицаның бас диагоналінің бойындағы элементтерінен басқа
элементтері нөлден тұратын болса, онда мұндай матрицаны диагоналдық матрица
деп атайды:
a11 0 0
A = 0 a12 0 . (1.11)
... ... ...
0 0 an

Ал енді осы матрицаның диагоналіндегі элементтері тек бірге тең
болса, яғни a11 = 1,..., amn = 1 болатын болса, онда ол матрицаны Е арқылы
белгілеп,

1 0 0...0
Е = 0 1 0...0 (1.12)
... ... ...
0 0 0...1

түрінде жазып, оны бірлік матрица деп атайды.
Матрицаның жолдары мен бағаналарының орындарын ауыстыруға (рөлдерін
ауыстыруға) болады. Осыдан шыққан матрицаны тасымалданған
(транспонирование) матрица деп атайды да, оны А1 түрінде белгілейді.
Мысалы, А матрицасы
3 2 1 3 -4
А = болса, онда 2 1 = А1
-4 1 0 1 0

Егер аij € A матрицаның элементтері болатын болса, онда жалпы аij=
аij түрінде жазуға болады.
Егер берілген матрица А өзінің тасымалданған матрицасымен дәл келетін
болса, яғни
А = A* , (1.13)
Онда ондай матрица симметриялы матрица деп аталады да, матрицаның бұл
шартын аij= аij (1.14)
түрінде жазуға болады.
Тасымалданған матрицаны тағы да тасымалдаса, онда ол алғашқы
матрицаның өзіне тең болады, яғни
(A*) * = A (1.15)

4. Анықтауыштар және оларды есептеу
Кез келген n – реттегі А шаршы матрицаға, бір заңдылықпен, осы
матрицаның n – реттегі анықтауышы немесе детерминанты деген атпен бір сан
сәйкестендіріледі. Екінші және үшінші реттегі анықтауыштан бастайық.
Мына а11 , а12 және а21 , а22 төрт санынан тұратын
а11 а12
а21 а22 (1.16)
кесте берілген болсын. Бұл кесте (матрица) екінші ретті деп аталады.
Өйткені оның жол саны мен бағана саны өзара тең және ол тең екіге. Сонымен
(1.16) кестеге (матрицаға) сәйкес келетін екінші ретті анықтауыш
(детерминант) деп (а11 а22 – а12 а21) санын айтады да, оны мына символмен:

а11 а12
∆ = = а11 а22 - а12 а21 (1.17)
а21 а22

бейнелейді. Бұл жерде ескере кететін бір жай – матрица реті туралы ұғым тек
оның жол саны мен тік бағана сандары тең болған жағдайда ғана айтылады. Ал
оның жол саны мен бағана саны өзара тең болмаса, онда матрица мөлшері ретті
емес деп есептелінеді.
Мысал.
а11 а12 а13
а21 а22 а23

матрицасы екі жолдан және үш бағанадан тұратын болғандықтан, оның 2х3
мөлшерлі матрицаның ғана анықтауышы болатынын көреміз.
Сонымен жоғарыдағы (1.17) анықтауыш екінші ретті анықтауыш деп
аталады. Себебі оның жол және бағана сандары екіге тең.
Үшінші және одан жоғары ретті анықтауыштар да осы екінші ретті
анықтауышқа ұқсас түрде анықталады. Сондықтан да үшінші ретті анықтауыш үш
жолдан және үш бағанадан тұрады:
а11 а12 а13
∆ = а21 а22 а23 . (1.18)
а31 а32 а33
Сол сияқты төртінші ретті анықтауыш төрт жолдан және төрт бағанадан
тұратын болады:
а11 а12 а13 а14
∆ = а21 а22 а23 а24
а31 а32 а33 а34 (1.19)
а41 а42 а43 а44
Осы сияқты онан әрі n – ретті анықтауыш n жолдан және n бағанадан
тұрады.
Сонымен анықтауыштың реті оның жолдар саны мен бағана санының
теңдігіне байланысты. Олай болса екінші ретті анықтауышта 22 = 4 элемент,
үшінші ретті анықтауышта 32 = 9 элемент, осы сияқты n – ретті анықтауышты
n2 – элемент болатындықтарын көреміз.
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
∆ = ... ... ... ... . (1.20)
am1 am2 ... amn
Енді осы анықтауыштарды қалай есептеп табуға болатындығына
тоқталайық.
Біз екінші ретті анықтауыштың анықтамасына ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.