Жалпы тригонометриялық теңдеулердің түрлерін және оларды шешу жолдарын ашып көрсету

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ..3
Тригонометрияға тарихи шолу ... ... ... ... .5

І. ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ
1.1 Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу ... ... ... ... ... ... ... 12
1.2 Бірдей аргументті теңдеулер ... ... ..20
1.3 Біртекті тригонометриялық теңдеулер ... ..23
1.4 Белгілеу енгізу арқылы шешілетін теңдеулер
1.5 Әртүрлі формулаларды қолданып шешілетін теңдеулер ... ... ... ... ... .31

ІІ. ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫ
2.1 Бірдей аргументті бірдей функцияға келтірілетін теңдеулер ... ... ... ...36
2.2 Тригонометриялық функциялардың қосындысын көбейтіндіге түрлендіру арқылы шешілетін теңдеулер ... ... ... ...38
2.3 Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру арқылы шешілетін теңдеулер ... ... ... 40
2.4 Көбейткіштерге жіктеу арқылы шешілетін теңдеулер ... ... ... ... ... ... 41
2.5 Дәреже көрсеткішті төмендету арқылы шешу
2.6 Тангенстің жарты бұрышы арқылы өрнектелетін теңдеулер ... ... ... ...45

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...49
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ..50

Қазақстан Республикасы білім министрлігінің нұсқауларына сәйкес, егер біз Қазақстанның экономикасын, мәдениетін дамытып, жоғары дамыған елдердің қатарына жеткіземіз десек, онда бірінші орында білімді дамытуға тиіспіз. Ол үшін Қазақстанды болашақта өрге жетелейтін білікті мамандар дайарлап, Отанына адал қызмет ететін азамат тәрбиелеп шығаруымыз керек. Қазіргі кезде осы мақсаттарды жүзеге асыру үшін жалпы білім беретін орындарға қойылған талаптар қатаңдалып, күннен – күнге өсуде. Соның ішінде мектепте курсындағы гуманитарлық пәндер арасынан математиканы оқыту үлкен іскерлікті қажет етеді. Мектепте математиканы оқыту – онымен тығыз байланыста жүретін пәндерді меңгеруге, күнделікті тұрмысқа қажетті біліктілік пен дағдыны қалыптастыруға және математиканы тереңдетіп оқытуға тиіс. Математиканы тереңдетіп оқыту – оқушының математикаға тұрақты қызығушылығын тудырып, олардың математикалық қабілеттілігін дер кезінде анықтап, дамуына ықпал етеді де жоғары оқу орындарына түсуге дайындық мәселелерін шешеді. Оқушылардың математикалық даму ережесі олардың есеп шығару қабілеттілігінен көрінеді. Кез – келген қиын есепті шығару оқушылардан үлкен еңбекті, ерен күшті, табандылықты, шыдамдылықты талап етеді. Бұл қасиеттер баланың есепке ынтасы оянғанда күшейе түседі. Мұғалімнің міндеті баланың бойындағы осы қасиеттерді ояту болып табылады. Ол үшін мұғалім әр сабақты талапқа сай, жоғары ғылыми - әдістемелік дәрежеде өткізу керек.

1. Алгебра и начала анализа в 10 классе. Пособие для учителей. Под. ред. С. И. Шварцбурда. М., Просвещение, 1976г. – 240с.
2. Практикум по решению математических задач: Учеб. пособие для пед. институтов. Е. Е: Вересова, Н. С. Денисова, Т. К. Полякова. – М.: Просвещение, 1979 – 240с.
3. Основные понятие школьной математики: Учеб. пособие для студентов пед. институтов оп спец. № 2104 «Математика» М., Посвещение, 1987-400с.
4. А. А: Столяр «Педагогика математики» курс лекций. Издание 2-е. Издательство «Высшая школа» Минск 1974-382с.
5. К.Л.Виленкин, А.А.Столяр Совершенные основы школьного курса математики Пособие для студентов пед. институтов. М.: Просвещение, 1980-240с.
6. В.В:Зайцев, В.В:Рыжков, М.И:Сканави «Элементарная математика» издания 3-е. М.:Просвещение 1976-591с.
7. Литвиенко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарнaя математике. М.: Просвещение 1991г.
8. Башмаков М. И: Уравнение и неравенство М., Наука 1976-95с.
9. Алгебра және анализ бастамалары: Орта мектептің 10-11 кластарына арналған оқулық. А.Н. Колмогоров, А.М: Абрамов, Ю.П.Дудинцын және басқалары.-Алматы: Рауан, 1992ж.
10. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 10 класса средней школы. Под. ред. А. Н. Колмогорва.-М, Прсвещение, 1977,- 272с.
11. Ә.Баржақсиев, М. Жұмабаев. Д. Рахымбеков «Тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктерді шешу» методикалық құрал. Шымкент 1990-47б.
12. И.Т. Бородуля «Тригонометрические уравнение и Неравенства» Кн. Для учителея.-М.: Просвещение, 1989.-239с.
13. П.Я. Кожеуров «Курс тригонометрии для техникумов». Государственное издательство. М. 1955г.
14. Новоселов «Элементарная тригонометрия» М. Посвещение 1980г.
15. Антонов «Зборник задач по элементарной матемактике» М. 1961г.
16. Виленкин «Современные основы школьной математики» М. Просвещение 1980г.
17. «Математика в школе» журнал №3-1998г.
18. «Математика в школе» журнал №1, 2, 3, 4,-2000г.
19. «Математика және физика» журнал №1, 2 3 4-1999г.
20. «Математика» журнал №8, 1-2004г.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 47 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
Тригонометрияға тарихи шолу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5

І. ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ
1. Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу ... ... ... ... ... ... ... 12
1.2 Бірдей аргументті теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...20
1.3 Біртекті тригонометриялық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...23
1.4 Белгілеу енгізу арқылы шешілетін теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
1.5 Әртүрлі формулаларды қолданып шешілетін теңдеулер ... ... ... ... ... .31

ІІ. ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫ
2.1 Бірдей аргументті бірдей функцияға келтірілетін теңдеулер ... ... ... ...36
2.2 Тригонометриялық функциялардың қосындысын көбейтіндіге түрлендіру
арқылы шешілетін теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38
2.3 Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру
арқылы шешілетін теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 40
2.4 Көбейткіштерге жіктеу арқылы шешілетін теңдеулер ... ... ... ... ... ... 41
2.5 Дәреже көрсеткішті төмендету арқылы шешу ... ... ... ... ... ... ... ... .43
2.6 Тангенстің жарты бұрышы арқылы өрнектелетін теңдеулер ... ... ... ...45

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4 9
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...50

КІРІСПЕ

Қазақстан Республикасы білім министрлігінің нұсқауларына сәйкес, егер
біз Қазақстанның экономикасын, мәдениетін дамытып, жоғары дамыған елдердің
қатарына жеткіземіз десек, онда бірінші орында білімді дамытуға тиіспіз.
Ол үшін Қазақстанды болашақта өрге жетелейтін білікті мамандар дайарлап,
Отанына адал қызмет ететін азамат тәрбиелеп шығаруымыз керек. Қазіргі кезде
осы мақсаттарды жүзеге асыру үшін жалпы білім беретін орындарға қойылған
талаптар қатаңдалып, күннен – күнге өсуде. Соның ішінде мектепте курсындағы
гуманитарлық пәндер арасынан математиканы оқыту үлкен іскерлікті қажет
етеді. Мектепте математиканы оқыту – онымен тығыз байланыста жүретін
пәндерді меңгеруге, күнделікті тұрмысқа қажетті біліктілік пен дағдыны
қалыптастыруға және математиканы тереңдетіп оқытуға тиіс. Математиканы
тереңдетіп оқыту – оқушының математикаға тұрақты қызығушылығын тудырып,
олардың математикалық қабілеттілігін дер кезінде анықтап, дамуына ықпал
етеді де жоғары оқу орындарына түсуге дайындық мәселелерін шешеді.
Оқушылардың математикалық даму ережесі олардың есеп шығару қабілеттілігінен
көрінеді. Кез – келген қиын есепті шығару оқушылардан үлкен еңбекті, ерен
күшті, табандылықты, шыдамдылықты талап етеді. Бұл қасиеттер баланың есепке
ынтасы оянғанда күшейе түседі. Мұғалімнің міндеті баланың бойындағы осы
қасиеттерді ояту болып табылады. Ол үшін мұғалім әр сабақты талапқа сай,
жоғары ғылыми - әдістемелік дәрежеде өткізу керек. Бұл мұғалімнің үздіксіз
ізденуін, әдістемелік – теориялық білімін жүйелі көтеріп отыруын, терең
толғануын, оқушылардың психологиясын зерттеп, тақырып ерекшелігін жете
талдай білуін қажет етеді. Әсіресе бұл талаптар жоғары сыныптарда күшейе
түседі. Соның ішінде 10 – шы сыныпта оқытылатын тригонометрия тақырыбының
өзі үлкен бір тарау болып келеді. Мектеп курсында тригонометрияны оқыту
тригонометриялық функциялардан басталады және ол үлкен бір тарау ретінде
қарастырылады. Тригонометриялық функциялар негізгі 3 параграфтан тұрады
[1].
Бұл 3 параграфтар төмендегідей сатыларға жіктеледі:
І. Сандық аргументті тригонометриялық функциялар
1. Синус, косинус, тангенс және котангенс функциялары
2. Тригонометриялық функциялар және олардың графиктері
ІІ. Функциялардың негізгі қасиеттері
3. Функциялар және олардың графиктері
4.Жұп және тақ функциялар. Тригонометриялық
функциялардың периодтылығы
5. Функциялардың өсу және кемуі. Экстремумдар.
6. Функцияларды зерттеу.
7. Тригонометриялық функциялардық қасиеттері. Гармоникалық
тербелістер.
ІІІ. Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу
8. Арксинус, арккосинуc және арктангенс
9. Қарапайым тригонометриялық теңдеулер.
10. Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешу
11. Тригонометриялық теңдеулерді және теңдеулер жүйелерін шешу
мысалдары
Бұлардың ішіндегі тригонометриялық теңдбулер тақырыаЋ өте Ъүрддлі
әрі теңдеу берілген қагпында қиын, шым- Hытырық 1олып келеді. Оқушыгар
тригонометриялщқ теңдеулердің шешкенде үлкХн қиындықтарға кездеседі. Сол
себепті де мен өзімнің дипломдық жұмысымның тақырыбын Тригонометриялық
теңдеулерді шешу жолдары деген тақырыпқа арнадым.
Дипломдық жұмысымды жазу барысында төмендегідей мақсат мен міндеттер
қойдым.
Мақсаты. Жалпы тригонометриялық теңдеулердің түрлерін және оларды
шешу жолдарын ашып көрсету. Мектеп математика курсындағы тригонометриялық
теңдеулерде кездесетін қателіктерді ашып көрсету.
Міндеті: 1. Оқушыларға тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін
көрсету.
2. ТЀигонометриялық Ђеңдеулерді шешкенде ыңғайлы
әрі оңай жолын таڣдауға үйрету.
3. Оқушылардың санасында тригонометриялық теңдеулер
туралы 䐴ұрыс ұғым қалыптастыру. 4. Әр түрлі
тригонометриялық теңееулердің түрлерін және олардың бір- бірінен
айырмашылығын көрсету.
Зерттеу жұмысының нысаны, мектептегі математиканы оқыту үрдісі, ал оның
пәні мектеп курсында тригонометриялық теңдеулердің түрлерін, оларды шешу
жолдарын ашып көрсету, бұл теңдеулерді шешкенде шешу дәлдігіне нұқсан
келтірмей, шешудің ыңғайлы, әмбебап әдісін таңдап шешуге үйрету. Осы
мақсаттарды жүзеге асыру барысында оқушылардың математикаға деген
ынталарын, дағдыларын, өздеріне деген сенімділіктерін дамыту.
Зерттеу базасы. Зерттеудің экспериментальды базасы ретінде Оңтүстік
Қазақстан облысының Шымкент қаласының Тұрар Рұсқұлов атындағы №25 санды
қазақ гимназия орта мектебі
Дипломдық жұмыстың құрылымы: дипломдық жұмыс кіріспеден, екі тараудан,
қорытындыдан, қосымшадан, қолданылған әдебиеттер тізімінен, бес суреBтен,
бір кестеден тұрады.

Тригонометрияға таՀихи шо;у

Тригонометрияº сөзі алғаш р5Ђ (1505ж.) =еміс гео;огі, математик
Питускустың кітабын葋ң азмұнында кезДеседі. Бұл сөз гректің: Trigonon
(тригонон – үшбұрыш ) және oetrein (метрейн - өлшеу) деген екі сөзінен
құралған. Яғни cөзбе-сөз айтқанда үшбұрыштарды өлшеу деген мағынаны береді.
Ал қазіргі кезде оны үшбұрыштарды шешу дап атайды.
Үшбұрыштарды шешу яғни, белгілі 3 элементтері бойынша (қабырғасы және 2
бұрышы, 2 қабырғасы және бұрышы немесе 3 қабырғасы арқылы) үшбұрыштардың
барлық қабырғасы мен бұрыштарын анықтау ежелгі уақыттың өзінен – ақ
тригонометрияның практикалық негізін қалаған болатын.
Басқа ғылымдар сияқты тригонометрияда адамзаттың күнделікті өміріндегі
нақтылы практикалық мәселелерді шешу барысында пайда болды.
Тригонометрияның алғашқы даму кезеңі астрономия ғылымымен тығыз байланыста
болды. Астрономияның өзі алғашқы кезде жер шаруашылығын дұрыс жүргізу үшін
күнтізбектің қажеттілігінен шыққан. Сонымен қатар астрономия мен
тригонометрияның дамуына үлкен әсер еткен теңіз саяхаты еді. Теңізшілер
кеменің бағытын дұрыс анықтау үшін аспан денелерін (ай, жұлдыз, т. б.)
пайдаланған. Сондай – ақ тригонометрия дамуында нақтылы геологиялық
карталарды құрастыру мен жер бетінің үлкен арақашықтықтарын анықтау маңызды
рөл атқарды [2].
Тригонометрияның негізін қалаған Гиппархтың еңбектері еді. Бірақ б.э.д.
ІІғ. ортасында өмір сүрген Гиппарх және басқа ғалымдар да тригонометрияны
қазіргі біздің түсініміздегі ғылым ретінде көрсете алмады. Себебі, оларда
үшбұрыштардың бұрыштары мен бұрыштарының функциялары туралы түсінік мүлдем
болмады. Бірақ – та осыған қарамастан ежелгі ғалымдар элементарлық
геометрия құралдарын пайдалана отырып тригонометриялық есептерді шешкен.
Осымен қатар үшбұрыш, төртбұрыш, бесбұрыш, онбұрыш қабырғаларының
арақатынасын және дөңгелек радиусын негізге ала отырып дөңгелектер
хордаларының ұзындықтарын есептеген. Бұл есепті шешкендегі қажетті
нәтижелерді алу құралы болып табылады. Гиппарх тұрақты дөңгелек
радиусындағы әртүрлі центрлік бұрыштар үшін хорда ұзындығын кескіндейтін
бірінші хорда таблицасын, т.с.с. таблицаларды құрастырды. Бұл кесте жарты
центрлік бұрыштың екілік синустар таблицасы еді. Гиппархтың бұл түпнұсқалы
таблицалары (сондай-ақ басқа да еңбектері) біздің заманымызға дейін
жетпеді. Бірақ бұл таблицалар туралы түсініктерді бізге б.д. ІІ ғасырында
өмір сүрген Александрия астрономы Клавия Птоломейдің Атақты құрушылары
(араб тілінен аударғанда) немесе Альмегаст деген еңбектерінен қалыптасты.
Альмегаст құрамына әр жарты градустан 00 – тан 1800 – қа дейінгі хордалар
таблицасы кіреді. Ол қазіргі біздің түсінігімізше 00 -тан 900-қа дейінгі
бұрыштарға арналған синустар теоремасына сай келеді.
V ғасырмен XІІ ғасыр аралығында математикадағы негізгі қадамды индустар
жасады. Индустардың гректерден ерекшелігі олар есептеулерде центрлік
бұрышқа сәйкес келетін толық хорда орнына оның жартысын
қарастырып, пайдаланған. Қазірде оны ( синусының сызығы – центрлік бұрыштың
жартысы дейді. толық хордасын индустар дживаң деп атаған . Ол хорда
садақтың кермесін еске түсірген. Егер садақтың кермесі мен шеңбер хордасы
және оның хордасын тартатын фигураның ұқсастығын ескеретін
болсақ, онда бұл терминді оңай түсінуге болады. ІX ғасырда арап
математиктері джива (джиба) деген сөзді джайб (дөңестік) деген арап сөзімен
алмастырды, XІІ ғасырда арабша математикалық текстерді аударғанда бұл сөз
латынның синус (sіnus – иілу, қисықтық) деген сөзімен алмастырылған [3].
Индустар әрбір 30 45 сайын қайталанатын 00-тан 900-қа дейінгі барлық
бұрыштарға арнап синустар таблицасын құрды. Бұл синустар таблицасының
қазіргі біздегі таблицалардан мәні 1-ден үлкен болғандығымен ерекшеленеді.
Себебі, индустар гректер сияқты дөңгелекті 360 бөлікке (градусқа), ал әр
бір бөлікті 60 минутқа бөлген. Индустардың гректерден ерекшелігі, олар
радиустың және хорданың ұзындығын дөңгелек бөліктерімен өлшеген. Сонымен
бірге олар деп қабылдап, қатынасын пайдаланған.
Индустар тригонометрияға синуспен қатар косинус ұғымын да енгізді.
Косинус – латынның complementy sіnus, яғни толықтауыш синус (немесе,
басқаша айтқанда, толықтауыш доғаның синусы) деген сөз тіркесінің
қысқартылған түрі. Бұдан көретініміз индустар өздерінің есептеулерінде
косинус сызығын пайдаланатын болған. Осымен қатар оларға қатынасы
және екі бұрыш қосындысы мен айырымының синустар формуласы белгілі блоған.
Тригонометрияның келесі даму кезеңі Орталық Азия, Солтүстік Америка,
Сицилия және Приней жарты аралының мәдениеттерінің дамуымен тығыз
байланысты. Бұл мемлекеттерді VІІ – VІІІ ғасырда арабтар жаулап алып, 500
жыл бойы араб феодарациясының саяси билігіне бағынған. Араб тілі бірте-
бірте ғылыми тілге айналды. Араб халифатына кіретін әртүрлі халықтардың
ғалымдары өздерінің ғылыми жұмыстарын араб тілінде жазады.
ІX-XV ғасыр аралығында араб халифатына кіретін Орталық Азия мемлекеттері
математиканың дамуына үлкен үлес қосты. Математика география және
астрономия ғылымдарымен тығыз байланыста болғандықтан есептеуіш мінезімен
ашық бейнеленіп, өлшеуіш геометрияның, тригонометрияның есептерін шешуге
бағытталды. Сондай-ақ бұл ғалымдардың математикадағы үлкен жетістіктері
барлық алты тригонометриялық сызықтар: синус, косинус, тангенс, котангенс,
секанс және косекансты математикаға енгізгендігінен көрінді. Гректер мен
индустарға тек синус пен косинус ғана белгілі болатын [4].
Сирия астрономы Ал – Баттани вертикал таяқшаның тұрақты биіктігін h,
оның өзгермелі көлеңкесінің ұзындығын a деп , ондағы а-ның h-қа қатынасы
Күннің биіктігі а-ға тәуелді өзгерітіндігін көрсетіп, берліген есепті былай
шешкен. Оның айтуынша тікбұрышты үшбұрыштағы сүйір бұрыш ( бір катеттің
екінші катетке қатынасымен анықталады деді. Ал – Баттанидің бұл жаңалықтары
ұзақ уақыт еуропалық ғалымдарға белгісіз болып қалды.
Латынның tanger (жанасу) деген сөзінен тангенс атауы 1583ж. жасалды.
Орталық Азия ғалымдары Ал – Баттанидің енгізген жаңалығына сәйкес
сызықтарды көлеңкең деп, соның ішінде котангентіс бірінші көлеңкең, ал
тангенсті екінші көлеңкең деп түсіндірді.
Ал – Баттани Алмагесті кемелдендіру деп аталатын еңбегінде
тригонометриялық сызықтар арасындағы мынадай қатыстарды тағайындады:

Тригонометрияның шығу тарихында әл – Фараби еңбектері елеулі орын алды.
Ол өзінің Алмагестке түсініктеме, Алмагестке қосымша кітап атты
трактаттарында Птоломейдің, Ал – Баттанидің осы ғылымдағы жетістіктерін
жаңа сапаға көтеріп, тригонометриялық сызықтар туралы ілімнің негізін
қалады. Ол тұңғыш рет синус, косинус, тангенс, котангенс сызықтарын радиусы
бірге тең (R=600) дөңгелек ішінде анықтауды, мысалы, тангенс, котангенс
сызықтарын (тура көлеңке, кері көлеңке) тік бұрышты үшбұрыш арқылы емес,
шеңберге жанаманың кесінділері арқылы анықтауды ұсынады.
XV ғасырда өмір сүрген өзбек астрономы Ұлығбек (1394-1449)
тригонометрияның практикалық негізінде өзінің үлкен үлесін қосты. Ол
астрономиялық таблицалармен қатар синус пен тангенстің кеңейтілген және
жоғары дәлдіктегі таблицасын құрастырды. Ұлығбек тангенсті доғаның бірінші
көлеңкесі деп, ал котангенсті доғаның екінші көлеңкесі деп атады.
Ескеретін бір жайт, Ұлығбек синустар мен көлеңкелерді есептеу синустағы 10
– қа негізделгенң деп, sіn10 – ты анықтаудың өзіндік бейнесін және оны
анықтаудың дәл амалын ашып көрсетті.
Араб математиктерінің сфералық тригономертия, әсіресе сфералық
үшбұрыштарды табуда грек астрономдарының дәстүрлерін дамытқаны мәлім.
Олардың бұл тұрғыдағы басты жаңалығы, алты шама арасындағы тәуелділікті
сипаттайтын Менелай теоремасын ықшамдап, төрт шама ережелері деп аталатын
қазіргі сфералық синустар, тангенстер теоремаларын тағайындағандығында еді.
Бұл сфералық үшбұрыштарды шешуді біршама жеңілдетеді. XІІ-XІІІ ғасырларда
тік бұрышты сфералық үшбұрыштарды шешудің барлық жағдайлары қарастырылып
бітті. Бұл мәселе XІІІ ғасырда өмір сүрген азербайджан астрономы әрі
математигі Насыреддин ат – Тусидің еңбегінен ерекше көзге түседі. Оның
Толық төртқабырғалық туралы деп аталатын трактаты дербес тригонометрия
мәселелеріне арналған және ол математика тарихындағы тұңғыш кітап болды.
Насыреддиннің трактатында тригонометрияның негізгі ұғымдарынан (алты
функцияның анықтамасы, олардың арасындағы қатынастар, жазық және сфералық
үшбұрыштар элементтері арасындағы қатынастар т. б.) бастап үшбұрыштарды
табудың барлық типтік есептерінің алгоритмдеріне дейінгі тригонометриялық
бүкіл мағлұматтар жүйелі де толық берілді [5].
Жалпы Орта Азияда жетілдірілген идеялар еуропа ғылымына 100 деген
жылдардан соң енген. Орта Азия ғалымдарының еңбектерінде тригонометрия
астрономияға қызмет ететін ғылымнан дербес математикалық пәнге айналды.
Ерте ортағасырды қамтитын 600 жылдық ғылыми дағдарыстан соң еуропада ғылым
мен өнер дами бастады. Оған қала мәдениетінің пайда болуы мен үй шаруашылық
экономикасындағы ішкі қатынастардың дамуы әсер етті. Еуропалықтар сауда
саяхаты кезінде шығыс мәдениетімен және ұмытылып кеткен антикалық дәуір
(ежелгі Греция) мәдениетімен танысады. Бұның барлығы еуропа ғалымдарының
дербес шығармашылық құруына күшті түрткі болды. Олардың бірінші
жетістіктері тригонометрия облысында болды.
XІV ағылшын ғалымы Брадвардин (1290-1349) европада алғаш болып
тригонометрия есептеулеріне котангенсті түзу көлеңкең және тангенсті кері
көлеңке ұғымын енгізді.
XV ғасырда өмір сүрген неміс ғалымы Иоганн Мюллер латыншадағы аты
Региомонтанус өзінің Үшбұрыштардың барлық түрлері туралы деген 5 томдық
трактатында тригонометрияны астрономиядан бөлек дара матемитикалық ғылым
ретінде көрсетті.
Региомонтанус (1436 - 1476) араптардан дербес түрде (араптар одан 400
жыл бұрын жасаған) еуропаның тригонометриясына тангенс функциясын енгізді.
Ол әрбір 1 аралығындағы sіn таблицасын және әр 10 аралығындағы тангенс
таблицасын құрды.
XVІ өмір сүрген француз математигі Франсуа Виет (1540 - 1603) sіnm( және
cosm( формулаларын алды. Ол тригонометриялық формулаларды кубтық
теңдеулерді шешуге пайдаланады.
Тригонометрияның ары қарайғы жетістіктері еуропалық ғалымдар атауымен
байланысты. Олар: Коперник (1472-1543), Тижо Браге (1546-1601), Томос
Финика (1561-1656), Муавр (1667-1754), Валлис (1616-1703) т.б. Осылармен
бірге тригонометриялық функцияларды символдармен белгілеп, оны ықшамдауға
өз үлесін қосқан академик К.Майер болды. Ол өзінің 1729 жылғы шыққан
Петербургтің ғылыми академиялық еңбектері және Тригонометрия атты
трактаттарында sіnus -ты S пен ал, cosіn-ты С арқылы белгілеп көрсетті.
Тригонометрия тарихында жоғарыда айтылған ғалымдармен қоса үлкен үлес
қосқан петербургтік академик Леонардо Эйлердің (1707-1783) еңбектері болды.
Ол негізі швецариялық, ұзақ жылдар бойы Ресейде жұмыс істеген және
Петербург ғылым академиясының мүшесі болған. Тригонометрияны қазіргі
кездегі түріне келтірген де Эйлер болды. Эйлерге дейін тригонометрия
облысында шешілмеген сұрақтар қалды. Ол тригонометриялық функциялардың
белгілі анықтамаларын енгізіп, кез-келген бұрыштың функцияларын қарастырып,
келтіру формулаларын алды.
Эйлер тригонометриялық формулаларды сан ретінде қарастырды. Бұнда ол
сәйкес тригонометриялық сызықтардың дөңгелек радиусына қатынасын көрсетіп,
шеңбер радиусын толық радиусң 1-ге теңдеп алды. Сондай-ақ, әр түрлі
ширектегі тригонометриялық функциялардың таңбалары белгісіз болды. Осының
кесірінен кейде әрбір формула геометриялық чертеждер арқылы көрсетілген.
Егерде біз геометриялық пішіндегі тригонометриялық функцияларға сүйеніп,
яғни Эйлерге дейінгі математиктердің көптеген ұрпақтары істегендей жұмыс
істеуге тырыссақ, сонда ғана Эйлердің тригонометрияны жүйеге келтіруге
қаншалықты еңбек сіңіргенін бағалай алар едік. Эйлерден кейін
тригонометрия есептеу түріне келді. Әр түрлі фактілер тригонометрия
формулаларын немқұрайды қолдану жолымен дәлелдене бастады, дәлелдеме
біршама іргеуге теуіп, ықшамдалды [6].
Енді функция ұғымына тоқталатын болсақ, функцияның алғышарттары XVІІ
ғасырдың 30-жылдарында болды. Ол кезде ежелгі Греция геометриктерінің
классикалық әдістерінен өзгешелігі геометриялық есептерді шығаруға
алгебраны белсенді түрде қолданатындығымен сипатталатын аналитикалық
геометрия шықты. Іс жүзінде бір мезгілде (және бір-біріне тәуелсіз) француз
математиктері П.Ферма мен Р.Декарт жазықтықтағы координаталар жүйесін
енгізу және фигураларды олардың теңдеулерімен берге көптеген геометриялық
есептерді геометриялық фигуралардың теңдеулерін зерттеуге ұштастыруға
мүмкіндік беретінін байқады. Геометрия және Әдіс жайлы пайымдаулар
атты кітаптарында жаңа әдісті жан-жақтылы баяндап берген Декарттың
құрметіне тікбұрышты координаталар жүйесі кейінірек декарттық координаталар
жүйесі деп аталды.
Ұлы ағылшын ғалымы математик әрі физик И. Ньютон қозғалыстағы нүктенің
уақытқа тәуелділігін зерттей отырып, іс жүзінде функцияларды зерттеумен
шұғылданғанды. Ньютон бұл ұғымды математикаға енгізбегенмен, оның мәнін
айқын түсінген еді.
Функция ұғымының өзі алғаш рет немістің ұлы математигі әрі философы
Г.Лейбенцтің қолжазбаларында, әуелі – қолжазбалардың өзінде (1673 жылы),
соңынан басылып шыққан еңбектерінің өзінде (1692 жылы) кездеседі. Латынның
functіon сөзі, аяқтау, орындау дегенді білдіреді (funcor етістігін де
өрнектеу деп аударады). Бұл ұғымды Лейбенц жазықтықтағы нүктенің орнына
байланысты әр түрлі параметрлерді атау үшін енгізген.
Л.Эйлер Анализге кіріспе (1748 жылы) атты кітабында функцияның
анықтамасын былай тұжырымдады: Айнымалы мөлшердің функциясы дегеніміз осы
айнымалы мөлшер мен сандардан немесе тұрақты мөлшерлерден қандай да бір
тәсілмен құрылған аналитикалық өрнек.
Сандық функцияның берілу тәсілінен босатылған қазіргі анықтамасын бір-
біріне тәуелсіз орыс математигі Н.И.Лобачевский (1834 жылы) мен неміс
математигі Л.Дирихле (1837 жылы) берген. Бұл анықтамалардың негізгі идеясы
мынадай мағынада еді: әрбір х -ке у -тің анықталған мәні қандай тәсілмен
сәйкес қосылса да бәр бір (дербес жағдайда, аналитикалық өрнек өрнек арқылы
берілуі міндетті емес), тек қана бұл сәйкестік әдейілеп тағайындалған болуы
керек.
Анықталу облысы мен мәндерінің облысы еркін алынатын қазіргі кездегі
функция ұғымы (сандық болуы міндетті емес), шын мәнінде, тіпті бертінде
ғана жиындар теориясын жасаған Г. Кантордың (1845-1918) жұмыстарынан кейін,
үстіміздегі ғасырдың бірінші жартысында қалыптасты [7].

І ТАРАУ. ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ

Айнымалы шамасы (белгісізі) тригонометриялық функциялар таңбасымен
берілетін теңдеулер тригонометриялық теңдеулер деп аталады.

т.с.с. теңдеулер тригонометриялық теңдеулер болып табылады. Ал т.с.с.
тригонометриялық теңдеулерге жатпайды, олар трансцендентті теңдеулер. Сол
себепті де, ондай теңдеулер жуықталып немесе графиктік түрде шешіледі.
Кейде берілген теңдеу тригонометриялық болмауы да мүмкін, бірақ ол
тригонометриялық түрге келтіріліп шешіледі. Мысалы, теңдеуі берілсін.
Көріп тұрғанымыздай - да тригонометриялық функцияның ешқандай белгісі
жоқ. Бірақ бұл теңдеу былай шешіледі:
, бұдан
Тригонометриялық теңдеулерді шешу – оның барлық түбірлерін табу –
теңдеуді қанағаттандыратын белгісіздердің барлық мәндерін анықтау.
Теңдеуді қанағаттандаратын айнымалының мәндері тригонометриялық
теңдеудің шешімдері болып табылады.
Тригонометриялықтеңдеулерді шешу үшін белгісіздің мүмкін мәндер жиынын
анықтау қажет болып отыр. Бұл мәндер теңдеудің анықталу облысын құрайды.
sіnx және cosx функциялары х – тың кез – келген нақты мәндерінде, ал tgx
функциясы мәндерінде анықталған. Мұндағы . функциясы
мәндерінде анықталған. Сонымен бірге теңдеудің анықталу облысын табу үшін
тригонометриялық функциялардың бөлшектің бөлімінде, түбір таңбасының
астында, логарифмдік функцияның аргументтерінде болатын т.с.с. жағдайларды
ескеріп отыру қажет [8].
Тригонометриялық теңдеулер төмендегідей түрлерге бөлінеді:
1. Қарапайым тригонометриялық теңдеулер
2. Бірдей аргументті теңдеулер
3. Біртекті тригонометриялық теңдеулер
4. түріндегі теңдеулер
5. Күрделі немесе әр түрлі формулаларды қолданып
шешілетін теңдеулер.

1.1 Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу
Қарапайым тригонометриялық теңдеулер деп

түрінде берілген теңдеулерді айтамыз. Мұндағы а – берілген нақты сан.
Қарапайым тригонометриялық теңдеудің шешімі немесе түбірі деп – берілген
теңдеуді қанағаттандыратын х – тің сондай мәнін айтамыз.
Мысалы, теңдеуінің шешімі: т.с.с бұрыштар болып табылады.
Себебі,
Төменде қарапайым тригонометриялық теңдеулердің шешу жолдарын
қарастырайық.
1. теңдеуі берілсін. Мұнда . Тригонометриялық бірлік
дөңгелекте ординаталары (яғни sіnx ) а-ға тең болатын ОУ осі арқылы
симметриялы орналасқан екі нүкте табылады. Ал а ( (1 болғанда ол екі нүкте
бір нүктеге айналады (1-сурет). А нүктесіне сәйкес келетін сандарды ,
ал В нүктесіне сәйкес келетін сандарды арқылы жазуға болады (2-
сурет). Осы екі жиынды біріктірсек,
(1)
формуласы шығады.
Ал, -1 a 0 болғанда, екендігі ескеріліп (1) формуланы мына түрде
жазуға болады:
(2)
y

В А

х

1-сурет
y

В А

х

2-сурет

Төмендегі n, m, k сандары кездескен жағдайдың барлығында деп
түсінілсін.
2. теңдеуі үшін бірлік дөңгелекті сызу арқылы оның шешімдер жиыны
болғанда
(3)
болатындығына көз жеткізуге болады. , мұнда теңдеуінің шешімін
анықтау үшін екендігін ескеріп, теңдеудің шешімін мына түрде жазамыз:
(4)
Жоғарыда айтылғандарды 3-ші және 4-ші суреттерден оңай түсінуге болады.
у

С

0 P
x

D

3-сурет
y

P x
0

4-сурет

Бұл екі теңдеу үшін де болғанда шешімдері болмайды. Ал дербес
жағдайлардағы шешімдерін мына таблица арқылы көрсетейік.

1-кесте

Теңдеу Теңдеудің шешімі Теңдеу Теңдеудің шешімі

3. теңдеуі берілсін. Кез – келген а үшін интервалында
болатындай дәл бір х саны бар, ол - Сондықтан

(5)
теңдеуінің ұзындығы ( болатын интервалында бір ғана түбірі бар.
Тангенс периоды ( болатын периодты функция болатындықтан, (5) теңдеуінің
басқа түбірлерінің табылған түбірден айырмашылығы болады, яғни
(6)
теңдеуінің шешімін тангенстер сызығын сызып қарастырған ыңғайлы. (5-
сурет). түзуінің тангенстер сызығымен қиылысу нүктесінің
ординатасы.
у
а Т(1;0)

Pt1

x
0
1
Pt2

5-сурет

Кез – келген а саны үшін тангенстер сызығында ординатасы а болатын бір
ғана нүкте бар, ол Т (1; а) нүктесі. ОТ түзуі бірлік шеңбермен екі нүктеде
қиылысады; сонда интервалында оң жақ жарты жазықтықтың
болатындай бір нүктесі сәйкес келеді. Мұнда екендігін ескерген
жөн.
4. Дәл сол сияқты теңдеуінің ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.