ДИНАМИКА. МАТЕРИАЛДЫҚ НҮКТЕ ДИНАМИКАСЫНА КІРІСПЕ

Жоспар
Кіріспе

§1. Негізгі ұғымдар мен анықтамалар
§2. Динамиканың заңдары
§3. Еркін және еркін емес нүкте динамикасының екі
МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕ ДИНАМИКАСЫ
§1. Материалдық нүктенің дифференциалдық теңдеулері
§2. Материялық нүктенің түзу сызықты қозғалысы
§3. Көлденеңге көлбеу тасталған нүктенің қозғалысы
МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕНІҢ ТҮЗУ СЫЗЫҚТЫ ТЕРБЕЛІСІ
§1. Нүктенің түзу сызықты еркін тербелісі
§2. Материялық нүктенің кедергілі ортадағы өшпелі тербелісі
МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕНІҢ ТҮЗУ СЫЗЫҚТЫ ТЕРБЕЛІСІ (ЖАЛҒАСЫ)
§3. Материялық нүктенің мәжбүр тербелісі
НҮКТЕ ДИНАМИКАСЫНЫҢ ЖАЛПЫ ТЕОРЕМАЛАРЫ
§1. Күш импульсы
§2. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема
§ 3. Нүктенің қозғалу мөлшері моменттің өзгеруі туралы теорема
§ 4. Күш жұмысы
§ 5. Жұмысты табу мысалдары
Дәріс 21. НҮКТЕ ДИНАМИКАСЫНЫҢ ЖАЛПЫ ТЕОРЕМАЛАРЫ (ЖАЛҒАСЫ)
§ 6. Нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема
§7. Нүкте үшін Даламбер принципі
Дәріс 22. МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕНІҢ САЛЫСТЫРМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ ДИНАМИКАСЫ
§1. Нүктенің салыстырмалы қозғалысының және салыстырмалы тыныштық күйінің теңдеулері
§2. Жер бетінің маңындағы денелердің салыстырмалы қозғалысы мен тыныштығы
Дәріс 23. ЖҮЙЕ ДИНАМИКАСЫНА КІРІСПЕ. ЕКПІН МОМЕНТТЕРІ.
§1. Механикалық жүйе. Сыртқы және ішкі күштер
§2. Материялық жүйенің массасы. Массалар центрі
§1. Дененің өске қатысты инерция моменті. Инерция радиусы

Динамика деп күш әсерінен денелердің қозғалуын зерттейтін теориялық механиканың бөлімін атайды. Динамикада нүктенің, дененің қозғалысы күшке және нүктенің, дененің инерттігіне байланысты деп қарастырамыз.
Геометриялық тұрғыдан нүктенің, дененің қозғалысын кинематикада қарастырдық.
Динамикада да күш деп денелердің өзара механикалық әсерлесуінің өлшеуіші ретінде алынатын шаманы атаймыз.
Статикада тек тұрақты күштерді қарастырдық. Динамикада күштерді, сонымен қатар, уақытқа, жылдамдыққа, координаттарға тәуелді деп аламыз.
Гауһар тас жинаушыларға әсер ететін судың салмақ күші z тереңдік координатасына тәуелді.
Егер екі денеге бірдей күш әсер етсе, олар екі түрлі жылдамдық алып, екі түрлі орын алмастырады. Екі түрлі заңдылықпен қозғалады.
Күш әсерінен дененің жылдамдығы тезірек немесе бәсеңірек өзгеру қасиетін оның инерттігі деп атаймыз. Дененің өлшемі – масса.
Егер дененің кескіні (формасы) оның қозғалысына ешқандай әсер етпесе, оны нүкте деп қарап, материялық нүкте деп атаймыз.
Сонымен қатар, егер дененің өлшемдері оның орын алмастыру өлшемдерінен анағұрлым аз болса, онда денені материялық нүкте деп атаймыз.
Мысалы, зеңбіректің атылған оғын, Күнді айнала қозғалысында жерді материялық нүкте деп алуға болады.

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 81 бет
Таңдаулыға:

ДИНАМИКА.

МАТЕРИАЛДЫҚ НҮКТЕ ДИНАМИКАСЫНА КІРІСПЕ.

§1. Негізгі ұғымдар мен анықтамалар

Динамика деп күш әсерінен денелердің қозғалуын зерттейтін
теориялық механиканың бөлімін атайды. Динамикада нүктенің, дененің
қозғалысы күшке және нүктенің, дененің инерттігіне байланысты деп
қарастырамыз.
Геометриялық тұрғыдан нүктенің, дененің қозғалысын кинематикада
қарастырдық.
Динамикада да күш деп денелердің өзара механикалық әсерлесуінің
өлшеуіші ретінде алынатын шаманы атаймыз.
Статикада тек тұрақты күштерді қарастырдық. Динамикада күштерді,
сонымен қатар, уақытқа, жылдамдыққа, координаттарға тәуелді деп аламыз.
Демек,

Мысалы, бір сәттен бастап, плотинаның суы көбейе бастасын. Судың
плотинаға әсерін уақытқа тәуелді күш деп қараймыз. Демек

Екіншіден, мәшине айнымалы жылдамдықпен келе жатса, ауаның
кедергісі мәшиненің жылдамдығына байланысты:

Гауһар тас жинаушыларға әсер ететін судың салмақ күші z тереңдік
координатасына тәуелді.
Егер екі денеге бірдей күш әсер етсе, олар екі түрлі жылдамдық
алып, екі түрлі орын алмастырады. Екі түрлі заңдылықпен қозғалады.
Күш әсерінен дененің жылдамдығы тезірек немесе бәсеңірек өзгеру
қасиетін оның инерттігі деп атаймыз. Дененің өлшемі – масса.
Егер дененің кескіні (формасы) оның қозғалысына ешқандай әсер
етпесе, оны нүкте деп қарап, материялық нүкте деп атаймыз.
Сонымен қатар, егер дененің өлшемдері оның орын алмастыру
өлшемдерінен анағұрлым аз болса, онда денені материялық нүкте деп атаймыз.
Мысалы, зеңбіректің атылған оғын, Күнді айнала қозғалысында жерді
материялық нүкте деп алуға болады.

§2. Динамиканың заңдары

Динамиканың заңдарын 1687 ж. өзінің “Табиғи философияның
математикалық бастапқы негіздері” деген кітабында ағылшын оқымыстысы Исаак
Ньютон бірінші рет жинақтап, келтіреді. Динамика заңдарының әділдігі
адамзаттың тарихи тәжірибесімен дәлелденген.
Бірінші заң (инерция заңы). Г.Галилей оны 1638 ж. ашқан. Егер
материялық нүктеге ешбір күш әсер етпесе немесе әсер ететін күштер жүйесі
нөлге парапар болса, онла нүкте тыныштық күйде немесе бір қалыпты тік
сызықты қозғалыста болады.

Мұндай қозғалысты нүктенің инерциялық қозғалысы дейміз.
Инерциялық қозғалыс орындалатын санақ жүйесі инерциялық санақ жүйесіне
жатады.
Көп жағдайда, бас нүктесі Күнде орналасқан, өстері қозғалмайтын
жұлдыздарға бағытталған санақ жүйесі инерциялық санақ жүйесіне жатады.
Есеп шығарғанда, жермен байланысқан координаталар жүйесін инерциялық санақ
жүйесі деп есептей беруге болады.
Ньютонның екінші заңы (динамиканың негізгі заңы). Материялық
нүктенің үдеуі әсер етуші күшпен бағыттас, модулі күштің модуліне
пропорционал. Яғни

Егер денеге бірнеше күштер әсер етсе, олар бір тең әсерлі күшке
парапар. Демек,

Үшінші заң. Екі нүкте бір-бірімен бір түзудің бойымен қарама-қарсы
бағытталған, модульдері тең күштер арқылы әсерлеседі.
Төртінші заң (суперпозиция заңы). Егер материялық нүктеге бірнеше
күштер әсер етсе, онда олардың әрқайсысының нүктеге беретін үдеулері әр
күштің өзіне ғана пропорционал, басқа күштерге тәуелсіз.
Демек, егер нүктеге күштер жүйесі әсер етсе, олар нүктеге

үдеулерін тудырады.

Теңдеулердің сол жағы мен оң жағын өзара қоссақ,
яғни немесе

СИ халықаралық өлшем бірлігі бойынша, механиканың негізгі өлшем бірліктері
былай аталады:
ұзындық өлшем бірлігі – 1м,
уақыт өлшем бірлігі – 1с,
масса өлшем бірлігі – 1 кг. Онда күш өлшем бірлігі

1 Ньютон күш – 1кг массаға 1 мс2 үдеу беретін күш.
Егер өлшем бірліктері 1 гр, 1с, 1см болса, онда

§3. Еркін және еркін емес нүкте динамикасының екі мәселесі

Динамикада екі мәселе қарастырамыз.
Бірінші мәселе. Егер еркін нүктенің

Қозғалыс заңы берілсе,

теңдеуі арқылы қозғалысты тудырған күшті табу.
Екінші мәселе. Егер әсер ететін күш белгілі болса, онда нүктенің
(2) қозғалысын табу. Екінші мәселені, көп жағдайда, динамиканың негізгі
мәселесі деп атаймыз.
Егер еріксіз нүктенің қозғалысын қарастырсақ, динамиканың негізгі заңы
келесі түрде жазылады

Бұл жағдайда мәселелер төмендегідей болады.
Бірінші мәселе. Нүктенің (2) қозғалыс заңымен қатар белсенді күштер
берілсе, реакция күшін табу.
Екінші мәселе. Егер актив күштер белгілі болса, (2) қозғалыс
заңын және реакция күшін табу.
Мысалы: Салмағы Р ауалық шар а үдеумен төмендесе, тура сондай үдеумен
көтерілуі үшін шар салмағын қандай Q ауырлық күшке азайту қажет?

Шешімі: Түсіп келе жатқан шарға көтеру күші және ауырлық күші
әсер етеді. Динамиканың екінші заңын тік түзуге проекцияласақ,

Ауырлығы балластысын түсіргеннен кейін, ауырлық күш болады.
Шардың көтеру күші , демек
.
Бірінші теңдеудегі Ғ күшті екінші теңдеуге қойғаннан кейін

МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕ ДИНАМИКАСЫ

§1. Материалдық нүктенің дифференциалдық теңдеулері

Кез келген массасы m нүктенің тік бұрышты координаттар жүйесіндегі
қозғалысын қарастырайық. Нүктеге
Күштер әсер етсе, оның қозғалысы динамиканың негізгі теңдеуімен
(1)
Беріледі.
Бұл теңдеудің x,y,z өстеріне проекциялары

болады.

(2)-жай дифференциалдық теңдеулердің әр қайсысы екінші ретті
болғандықтан, үш теңдеудің әр қайсысын интегралдағанда алты интегралдық
тұрақтылар пайда болады. Демек, (1) теңдеулер шешімі осы алты
тұрақты шамаларға тәуелді:

Интегралдық тұрақтылар бастапқы уақытқа байланысты шарттардан
табылады. Мысалы, t=0 бастапқы уақыт болса, осы уақыттағы координаталар
және жылдамдықтар

бастапқы шарттар деп аталады.
Сонымен қатар

бастапқы координаттар деп,

бастапқы жылдамдықтар деп аталады.
1) теңдеулер тік бұрышты координаталар жүйесіндегі нүкте қозғалысының
дифференциалдық теңдеулері деп аталады..
Ондай теңдеулер басқа да, мысалы, табиғи санақ жүйесінде де оңай
табылады:

немесе

(7) – нүкте қозғалысының табиғи координаталар жүйесіндегі теңдеулірі деп
аталады.

§2. Материялық нүктенің түзу сызықты қозғалысы

Нүкте түзу сызықты қозғалыста болса, әсер етуші күш пен үдеу сол
сызықтың бойымен бағытталады және бастапқы жылдамдық та сол сызықпен
бағытталуы қажет.
Мысалы, нүкте х координата бойымен күштер әсерінен
қозғалсын. Динамиканың екінші немесе негізгі мәселесін шешу үшін нүктенің
қозғалыс заңын табуымыз қажет.
1). болсын.

Нүктенің
дифференциалдық
теңдеуі белгілі

Яғни
Екі жағынан интеграл алайық:

Тағы да екі жағын dt – ға көбейтіп, интеграл алайық

Онда

(в) - (а) теңдеуінің жылпы шешімі. С1, С2-интегралдық тұрақтылар бастапқы
шарттардан
табылады. (в’) -тен: , (в)-дан . Онда

. Демек, нүкте тұрақты күш әсерінен тұрақты үдеумен қозғалады.
2) (a) делік, демек күш тек уақытқа ғана тәуелді . Онда

1) Күш тек қана жылдамдыққа тәуелді.

Теңдеудің екі жағынан да интеграл алсақ
, демек

2) күш нүкте орнына (координатасына) тәуелді болсын:

Теңдеудің сол жағын түрлендірейік

§3. Көлденеңге көлбеу тасталған нүктенің қозғалысы

Көлденеңге бұрышпен
тасталған
бастапқы жылдамдығы , массасы m
денені нүкте деп қарастырып, оның
қозғалысын зерттейік. Бастапқы t=0
кезде М нүктені координаттар
жүйесінің О бастапқы нүктесінде деп
алайық:

Нүктеге тек ауырлық күші әсер етеді дейік. Нүктенің қозғалысында
ауаның кедергісі жоқ деп қарастырайық. Онда қозғалыстың дифференциалдық
теңдеулері келесі түрде жазылады:

немесе

Алдымен бірінші теңдеуді интегралдайық:

- белгісіз интегралдық тұрақтылар бастапқы (1) шарттардан табылады:

Онда
(3)
2) – жүйенің екінші теңдеуін интегралдасақ,

(в)

мұнда
Яғни
(4)
(2)-жүйенің үшінші теңдеуінен

Егер қозғалыстың

теңдеулерінен t шаманы жойсақ
немесе (6)
болады.
Демек, нүктенің траекториясы-тік өсті парабола.
Кедергісіз кеңістікте көлденеңге бұрышымен көлбеу тасталынған
материялық нүктесінің траекториясын кезінде Галилей тапқан.
Нүктенің көлденең ұшу Х қашықтығын табу үшін y=0 нүктелерді табу керек.
Демек, .
Онда

Яғни
(7)
Нүктенің ұшу Т уақыты теңдеуінен табылады. Шанында да

яғни

(8)
Нүктенің ұшу Н биіктігін

теңдеуден табамыз:

Демек,

Бұл алынған қорытындыларды ұщу қашықтығы 200-600 км снарядтардың,
ракеталардың ұшу сипаттамаларын жуық есептеуге пайдалануға болады. Ал
немістердің ФАУ-2 снарядын тік көтеріліп, 20 км биіктікте мс
жылдамдықпен, бұрышпен ауасыз кеңістікте тасталған дене деп
қарастырсақ, сипаттамалары келесідей болады.

Бұл шамалар ФАУ-2 снарядтың сипаттамаларына өте жақын.

МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕНІҢ ТҮЗУ СЫЗЫҚТЫ ТЕРБЕЛІСІ

§1. Нүктенің түзу сызықты еркін тербелісі

Уақытқа байланысты қайталанып отыратын қозғалысты “тербеліс” деп атаймыз.
Мысалы алтыбақан қозғалысы, бесік қозғалысы тербеліске жатады.
Тербеліс қозғалыстары механикада, физикада, жалпы табиғатта кең таралған
қозғалыстар. Мысалы, электронның тербелісі, серіппенің ұшына бекітілген жүк
тербелісі, су-газ тербелісі, жүрек тербелісі.
Тербеліс қозғалыстары қайтарушы күштер әсерінен туады. Қайтарушы
күшке серіппенің серпімділік күші,
тартылыс күштері, тағы да басқа күштер жатады.
Тепе-теңдіктегі орнынан ауытқыған материялық нүктені сол орнына қайтаруға
әрекет ететін күшті қайтарушы күш деп атаймыз.
Қайтарушы күшінен туатын нүктенің түзу сызықты қозғалысын
қарастырайық. Егер ауытқу аз шама болса, күштің х өсіне проекциясы
(1)
деп алынады. с – қатаңдық еселігі, серіппені бірлік ұзындыққа созатын күш.
Ньютонның екінші заңына сәйкес нүктенің түзу сызықты қозғалысы

дифференциалдық теңдеуімен беріледі. Теңдеудің екі жағын m шамаға бөлсек,
деп белгілесек,

болады.
Бұл теңдеуді нүктенің еркін тербелісінің дифференциалдық теңдеуі деп
атаймыз.
Демек, егер нүктеге қайтарушы күштен басқа күштер әсер етпесе,
онда нүкте еркін тербелісте болады.
(2) дифференциалдық теңдеудің х шешімі

Мұнда -интегралды тұрақтылар. (3)-тің орнына

функциясын алуға болады.
-интегралды тұрақтылар. мен тұрақтылардың механикалық
мағынасын түсіну үшін нүктенің шеңбермен қозғалысын қарастырайық.
Бастапқы t=0 уақытта N0 орында, ал кез келген t уақытта N орында болсын.
Ол N0, N нүктелер бұрышпен және k бұрыштық жылдамдықпен анықталады. N
нүкте шеңбер бойымен қозғалғанда х осіне проекциясы М (а,-а) аралығында
өзгереді. а-нүктенің х бойымен ең үлкен ауытқуы. Оны амплитуда деп атаймыз.
- бұрыштық фаза деп аталынады; - бастапқы бұрыштық фаза. Олар
нүктенің бастапқы және кез келген t уақыттағы х өсіндегі орындарын
көрсетеді.
k еселікті дөңгелектік еселік деп атаймыз. Нүктенің k шеңберді k толық бір
айналу t=T уақытын айналым дейміз. Демек,

Нүктенің 1 секундтағы толық тербелісінің санын v деп белгілесек,

-нүктенің секундтағы толық қозғалысының саны.
v-жиілік деп аталады.
немесе есептің

бастапқы шарттарынан табылады.
Мысалы, -тұрақтыларды табу үшін
(8)
-екі теңдеуді қарастыру керек. Онда

Демек
Тұрақты күш әсерінен нүктенің еркін тербелісін қарастырайық. Нүктеге
қайтарушы күшпен қатар сан мәні мен бағыты тұрақты Р күш түссін. Онда
нүктенің тепе-теңдік орны О нүктеден О1 нүктеге көшеді. Сонымен қатар
деп алынады; -статикалық ауытқу. Қайтарушы күш . Нүкте
тербелісінің дифференциалдық теңдеуі

немесе

яғни
.
Есептің бастапқы шарты келесі түрде жазылады
.
Бұл жағдайда келесі теоремаға келеміз.
Теорема. Тұрақты күш әсерінен нүктенің еркін тербелісінің
дифференциалдық теңдеуі өзгермейді. Одан нүктенің тек тепе-теңдік орны
өзгереді.

§2. Материялық нүктенің кедергілі ортадағы өшпелі тербелісі

Нүктенің еркін қозғалысында бір басталған тербеліс тоқтаусыз
орындала береді. Нүктенің қозғалыс ортасын кедергілі деп қарастырайық. Орта
кедергісі жылдамдықтың бірінші дәрежесіне пропорционал болсын:

Мұнда - тұтқырлық еселігі орта кедергісін сипаттайды.
Онда динамиканың екінші заңы былай жазылады:

Егер белгілерін енгізсек, (a) теңдеуі былай жазылады:

Бұл теңдеуді нүктенің өшпелі тербелісінің дифференциалдық теңдеуі
дейміз (сызықты, екінші ретті жай дифференциалдық теңдеу)
(12)-нің сипаттамалық теңдеуі

Теңдеудің түбірлері

Бұл теңдеудің екі жағдайын қарастырамыз.
1-жағдай: (b-ортаның кедергісі, k-серіппенің серпімділігін
сипаттайды) кедергі аз жағдай. Онда

демек,

онда

немесе

(16)-нүктенің өшпелі қозғалысының теңдеуі.
Өшпелі тербелістің айналымы

Яғни

Демек, Егер kb болса

Демек, әр кедергі аз айналымға әсер етпейді.

Егер уақытқа сәйкес бірінші ең үлкен ауытқу болса,
уақытқа сәйкес ауытқу болса, онда

Демек,

(19) – дан байқайтынымыз өшпелі тербелістің амплитудасы айырымы
геометриялық прогрессиямен кеміп отырады. - тербеліс декременті, -
тербелістің логарифмдік декременті делінеді.
2-ші жағдай. Егер bk, онда

Онда тербелістің дифференциалдық теңдеуінің шешімі

Яғни кедергі күші серпімділік күштен көп болса нүкте тербеліске шыға
алмайды.
3-жағдай. Егер r=0, b=0 болса болады, - айналымсыз қозғалысқа
келеміз.

Дәріс-19. МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕНІҢ ТҮЗУ СЫЗЫҚТЫ ТЕРБЕЛІСІ (ЖАЛҒАСЫ)

§3. Материялық нүктенің мәжбүр тербелісі

Нүктеге қайтарушы , кедергі күштермен қатар мәжбүрлеуші күш
әсер етсін. Мәжбүрлеуші немесе ұйытқушы күшті гармониялық түрде алайық,
мысалы

Онда

Теңдеудің екі жағын шамаға көбейтіп, деп білгілесек,

(12) еріксіз немесе мәжбүр тербелістің дифференциалдық теңдеуі деп аталады.
(12) теңдеудің шешімін деп қарастырамыз.
Мұнда

теңдеудің шешімі. Теңдеу біртекті дифференциалдық деп аталады. - (22)-
ның кез келген дербес шешімі:

А, -тұрақтылары (22) – теңдеуді қанағаттандыратын етіп іздеу керек.
десек,

-нің туындылары ;

Оларды (22) қойсақ,

Онда

теңдеулердің екі жағын квадраттап, өз өсімен қоссақ,
болады.
Бұл теңдеуден А амплитудасы мен фаза келесі түрде табылады

(22) мәжбүр тербеліс дифференциалдық теңдеуінің шешімі нәтижесінде

Мәжбүр тербеліс, сонымен, күрделі қозғалыс. Ол жүйенің жиілікпен
меншікті өшпелі тербелісімен р жиілікті

тербелісінен құралады.
Меншікті тербеліс уақыттың өсіне сәйкес азайып отырады да белгілі
бір кезде толық өшеді-амплитудасы нөлге айналады. Ақырында (24) нүкте
тербелісі (25) мәжбүр тербеліске шығады.

деп белгілейік. Онда

демек,

Соңғы теңдеуден А және шамалардың өлшемсіз параметрлерге
тәуелді екенін байқаймыз.
шаманы динамикалық еселік дейміз, шамаларды өзгертсек,
тербелістің әр түрлі амплитудаларын аламыз.
h кедергі аз шама болып, бірліктен аз болса,

Тағы да басқа жағдайларды қарастырайық.
1) - өте аз шама. . Онда

2) , h – аз шама делік. Онда

3) -резонанс құбылысы
,
Егер болса, демек, нүктеге күш әсер етпесе, онда гармониялық
күші әсерінен мәжбүр тербелістің дифференциалдық теңдеуі түрде беріледі.
Оның шешімі :

болса

жүйе резонансқа шығады.

Дәріс 20. НҮКТЕ ДИНАМИКАСЫНЫҢ ЖАЛПЫ ТЕОРЕМАЛАРЫ

Нүкте динамикасының есептерін шығару үшін нүкте қозғалыстарының
дифференциалдық теңдеулерін интегралдау қажет. Бұл теңдеулерді интегралдау
негізінде жеңіл емес. Сол үшін көп жағдайда нүктелер динамикасының жалпы
теоремаларын пайдаланған жөн.
Онда есепті шығару үшін, теңдеулерді интегралдамай, аталмыш
теоремалардың қорытынды өрнектерін пайдаланады. Ал теңдеулерді интегралдау
әрекеттері теоремаларды дәлелдеуге орындалады.
Алдымен нүктенің қозғалыс мөлшерінің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі
туралы теоремасын қарастырамыз. Ол үшін бізге күш импульсы деген түсінік
қажет.

§1. Күш импульсы

Белгілі уақыт аралығында нүктеге күш әсерін күш импульсы деп
атаймыз. Оны деп белгілейміз. Күштің элементар импульсы
күштің элементар dt уақытқа көбейтіндісін атаймыз:

Күштің шекті уақыт аралығындағы нүктеге әсерін шекті, импульсы
деп атаймыз. Шекті импульс

Егер күштің сан мәні мен бағыты тұрақты болса, онда

(2)-нің координаттар өстеріне проекциялары

(3)-ті интегралдау үшін жалпы жағдайда нүктенің қозғалыс заңы

белгілі болуы қажет.
Импульстің өлшемі
немесе

§2. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Нүктенің қозғалыс мөлшері деп оның m массасымен жылдамдығының
көбейтіндісіне тең векторлық шаманы атаймыз.

Қозғалыс мөлшері әр уақытта нүктенің
жылдамдығымен бағыттас, оның өлшемі
халықаралық СИ жүйесінде

Техникалық бірлік өлшемінде

Нүктенің үдеуі екенін еске алсақ, динамиканың екінші заңы
болады.
(5)-нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теоремасының
дифференциалдық теңдеуінің түрін береді. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің уақыт
бойынша бірінші туындысы нүктеге тұскен күштердің геометриялық қосындысына
тең. Егер болса, онда

Бастапқы t=0 кезде нүктенің жылдамдығы кезде болсын.
Онда (5)-тен:
яғни

Нүктенің қозғалыс мөлешрінің шекті уақыт аралығында өзгеруі
нүктеге түскен күштер импульстарының геометриялық қосындысына тең. (7)
теореманың интегралдық немесе шекті түрін береді.
Егер болса, онда
Немесе

Егер болса,

(8) -бен (9)-ды нүктенің қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы деп атайды.

§ 3. Нүктенің қозғалу мөлшері моменттің өзгеруі туралы теорема

Есеп шығарғандай кей жағдайларда қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы
теоремасының орнына нүктенің қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы
теоремасын пайдаланған ыңғайлы.
О центрге немесе z өске қатысты нүктенің қозғалыс мөлшері
моментін деп белгілейік.
вектор болғандықтан оның моменті күштің моменті сияқты анықталады.
Күш моменттері:

Нүктенің қозғалыс мөлшері моменттері:

қозғалыс мөлшері моментінің z өске қатысты (9) өзгеруін қарастырайық.

қозғалыс мөлшерінің центрге қатысты моментінің (8) өзгеруін қарастырайық

Егер
,
онда

(12)
(12)-ні нүктенің қозғалыс моментінің сақталу заңы деп атайды.

§ 4. Күш жұмысы

Күштің нүктеге орын ауыртыру әсерін күш жұмысы деп атаймыз. Оны А
деп белгілейміз. Егер dS элементар орын ауыстыру аралығы болса, dA
элементар жұмысты былай анықтаймыз.

немесе

-оң жұмыс
- теріс жұмыс
- жұмыс орындалмайды.
Күштің нормаль құраушысы жұмысқа әсер етпейді. Ол тек қозғалыс
бағытын және реакция күшінің сан мәнінің өзгеруіне ғана әсер етеді. dS аз
шама болса, және екенін еске алсақ,

Демек,

аяғында

(14)-элементар жұмысының аналитикалық түрін береді.
Күш әсерінен нүктенің траектория бойымен орыннан орынға
дейін орын ауыстырушы күштің сол орын ауыстырудағы шекті жұмысы деп
аталады. Шекті жұмыс (14) – тен былай табылады.
Жұмыс өлшемі

Уақыт бірлігі аралығында орындалатын жұмысты қуат деп атаймыз да,
оны N деп белгілейміз.
Егер , болса,

[A] = Нм = Джоуль - халықаралық СИ жүйесінде
[A] = Кгм - техникалық жүйеде.
Күш тұрақты болса, . Айнымалы жағдайда

[N]=Джоульс=1 вт.

§ 5. Жұмысты табу мысалдары

1. Ауырлық күш жұмысы.
Кеңістікте материялық нүкте
орнынан орынға көшіп нүктеге
жалғыз күш әсер етеді:

Онда
Нәтижеде, күш жұмысы:

- тік орын ауыстыру.
(19)-дан байқайтынымыз ауырлық күш жұмысы траекториядан тәуелсіз. Мұндай
күштерді потенциалды күштер деп атайды. Ауырлық күш потенциалдық күшке
жатады.
2. Серпімділік күш жұмысы.
Нүктеге жалығыз серпімділік күш түссін: ,

Онда

Серпімділік күш потенциалды күштерге жатады.
3. Үйкеліс күш жұмысы

онда Үйкеліс күші потенциалдық емес күштерге
жатады.
Дәріс 21. НҮКТЕ ДИНАМИКАСЫНЫҢ ЖАЛПЫ ТЕОРЕМАЛАРЫ (ЖАЛҒАСЫ)

§ 6. Нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Нүкте динамикасының екінші сипаттамасы – кинетикалық энергия.
Нүктенің кинетикалық энергиясы деп, оның m массасы мен жылдамдығының
квадратының көбейтіндісінің жартысын атаймыз. Оны Т деп белгілейміз. Демек,

Материялық нүктенің М0 орыннан М1 орынға орын ауыстыруын
қарастырайық; нүктелердегі жылдамдықтары болсын. Динамиканың екінші
заңының өсіне проекциясы

Мұнда _
Олай болса, немесе
Яғни,

Бұл теореманың элементарлық немесе дифференциалдық түрі.
Теорема. Кинетикалық энергияның дифференциалы барлық нүктеге
түскен күштердің элементарлық жұмыстарының қосындыларына тең.
(20) – теңдеудің екі жағынан интеграл алсақ,

Онда

(21)-теореманың интегралдық түрін береді. Нүктенің М0 нүктеден М1 нүктеге
көшкендегі кинетикалық энергиясының өзгеруі күштердің сол аралықтағы орын
ауыстыру жұмыстарының қосындысына тең.
Мысал. Массасы m=0,5 кг материялық нүкте жер бетінен бастапқы V=20мс
жылдамдықпен тасталғанда, М нүктеде оның жалдамдығы V=12 мс болған.
Нүктенің М0 орыннан М орынға жеткенде
оның ауырлық күш жұмысы неге тең?
Шешімі:

§7. Нүкте үшін Даламбер принципі

Нүкте динамикасының есептері Ньютонның негізгі заңынан туатын
теңдеулермен және нүкте динамикасының жалпы теоремаларымен шешілетіні
белгілі.
Сонымен қатар нүкте қозғалысын, “механика принциптері” дейтін
жалпы жағдайларға сүйеніп қарастыруға болады.
Механиканың принциптері арқылы динамиканың есептері жеңіл,
жинақтылау шешіледі.
Кез келген массасы m материялық нүктеге белсенді, -
енжар күштер әсер етсін. Онда

немесе

деп белгілесек,

Мұнда күшті инерция деп атаймыз.
Демек, нүктеге түскен -белсенді, -енжар күштерге -инерция
қоссақ, нүкте тепе-теңдікте болады.
Бұл жалпы тұжырымды нүкте динамикасының Даламбер принципі деп
атаймыз. (23)- теңдеуден Даламбер принципінің Ньютонның екінші заңына
парапар екенін байқаймыз.
Даламбер принципі динамикасының негізгі принциптерінің бірі.
Даламбер принципі динамиканың есептерін шығару үшін статиканың қарапайым
әдістерін қолдануға мүмкіндік береді.
Жан Лерон Даламбер – 1717-1783 Париж, француз математигі, Париж ҒА-
ның (1754), Петербург ҒА-ның (1764), басқа Академиялардың мүшесі. Оның
таным теориясымен діни көзқарасын Дидро “Даламбер түсі”, “Даламбер мен
Дидроның айтысы” деген шығармаларында сынға алған.

Дәріс 22. МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕНІҢ САЛЫСТЫРМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ ДИНАМИКАСЫ

§1. Нүктенің салыстырмалы қозғалысының және салыстырмалы тыныштық күйінің
теңдеулері

Динамиканың немесе Ньютонның заңдары, бұрын айтылғандай, инерциялық
(қозғалмайтын) санақ жүйесінде орындалатыны белгілі.
Енді кез келген қозғалмалы яғни инерциялық емес санақ
жүйесіндегі нүктенің қозғалысын қарастырайық.

Нүктенің күштер әсерінен
қозғалмалы санақ жүйесіндегі
қозғалысын салыстырмалы қозғалыс
деп атаймыз.
Нүктенің салыстырмалы қозғалысының
дифференциалдық теңдеуін анықтау
үшін, алдымен оның салыстармалы
үдеуін табайық.

Динамиканың негізгі заңынан

мұнда

шамалардың өлшемдері күш өлшеміндей болғандықтан, деп белгілеп,
оларды тасымал, кариолис инерция күштері деп атаймыз. Олай болса бұл
теңдеудің түрі динамиканың ІІ-ші заңына ұқсас:

(1)-ді нүктенің салыстырмалы қозғалысы динамикасының негізгі теңдеуі деп
атаймыз.
Теңдеуден байқайтынымыз:
Салыстырмалы қозғалыс динамикасының барлық теоремаларымен теңдеулері
абсолют қозғалыстың теоремалары мен теңдеулеріндей құралады. Тек қана
салыстырмалы динамикасы теоремаларында, теңдеулерінде әсер ететін күштерге
кориолис және тасымал тнерция күштері қосылады.
Дербес жағдайлар.
1) Егер қозғалмалы санақ жүйесі ілгерілемелі қозғалыста болса
, кориолис инерция күші
Олай болса

2) Егер санақ жүйесінің өстері ілгерілемелі, тұрақты жылдамдықпен
қозғалса, онда

және

Демек, бұл жағдайда нүктенің абсолют қозғалсымен оның салыстырмалы
қозғалысы бірдей теңдеумен жазылады.
Олай болса а) мұндай қозғалыстағы санақ жүйесі инерциялық санақ жүйесі
болғаны; в) санақ жүйесі ілгерілемелі бір қалыпты жылдамдықтағы
қозғалыста ма немесе тыныштық күйде ме – оны ешқандай механикалық
экспериментпен анықтау мүмкін емес. Бұл тұжырым – классикалық механикада
Галилейдің салыстырмалы принципі деп аталады.
3) Егер нүкте қозғалмалы санақ жүйесінде тыныштықта болса Яғни
салыстырмалы тыныштық күй шарты былай берлідеі.

4) Салыстырмалы жылдамдық - салыстырмалы қозғалысының траекториясына
жанама .
Демек күштің жұмысы нөлге тең.

§2. Жер бетінің маңындағы денелердің салыстырмалы қозғалысы мен тыныштығы

Жердің және жермен байланысты санақ жүйесінің бұрыштық жылдамдығы
аз шама. Шынында да,

1) Бұрыштық жылдамдығының жер бетіндегі нүктенің салыстырмалы тыныштық
күйіне әсері.

Нүктенің тыныштық күйі
теңдеумен беріледі. Мұнда - нүктенің әсер центріне тартылыс күші,
- нормаль қысым күші.
Бұрыштық жылдамдық болғандықтан

. Енді нүктенің салыстырмалы тыныштық күйі
түрінде беріледі. деп белгілесек

Демек, нүктеге және екі күш әсер етеді. Олардың әсерінен
нүкте тыныштықта болады. күшті ауырлық күш дейміз, күш
күшке тең деуге болады, өйткені тартылыс күшке қарағанда аз
шама. Сол үшін , күштерді бағыттас деуге болады.
Кез келген денені өлшегенде, біз күшті анықтаймыз. Оған
күште кіреді сол үшін есеп шығарғанда қосымша күшті ендірудің қажеті
жоқ.
Осы мағынада жермен байланысты санақ жүйесін абсолют санақ жүйесі
деуге болады.
2) Жер бетінің маңындағы нүктенің салыстырмалы қозғалысы.
Дененің қозғалысына жердің айналу әсерін анықтау үшін тасымал
күшпен қатар күшін әсер ету күштерге қосуымыз керек. Бірақ күш
ауырлық күшке қосылады, күшпен беріледі. Олай болса жермен
байланысты санақ жүйесін пайдаланғанда тек күшін ғана қозғалыс
теңдеулерге ендірмейміз

аз шама болғандықтан оны ауырлық күшпен салыстырғанда елемеуге
болады.
Мысалы болғанда күш Р күштің 1% болады.
Тек қана аса үлкен шама болған жағдайда (алыс космосқа ұшатын
ракеталардың жылдамдығы) немесе аса ұзаққа созылатын қозғалыстарда (өзендер
ағуы, ауа, теңіздердің ағымы) кориолис күшін елейтіндей жағдай туады.

3) Жер бетіндегі нүктенің ұзақ уақыт қозғалуына жердің айналу әсері.
Нүкте меридианымен солтүстік жарты шарда солтүстіктен
оңтүстікке қарай қозғалса, кориолис үдеуі шығысқа, кориолис күші батысқа
бағытталады. Ал нүкте осы жарты шарда оңтүстіктен солтүстікке көтерілетін
болса, кориолис күші шығысқа бағытталады. Екі жағдайда да күш нүктені оңға
ауытқытады. Сондый-ақ нүкте оңтүстік жарты шарда қозғалса, жер айналуына
байланысты Кориолис күші нүктені солға ауытқуға әсер етеді.
Осыған байланысты солтүстік жарты шарда өзендердің сол жағалауы
кеуделінеді, көбірек ойылады, өзендердің оң жағалауы жар болады, оңтүстік
шарда өзендердің сол жағалауы кеуделінеді.
Бэр заңы. Осы себептенде тұрақты жел бағыттары, теңіз ағымдары не
солға, не оңға ауытқиды.

Дәріс 23. ЖҮЙЕ ДИНАМИКАСЫНА КІРІСПЕ. ЕКПІН МОМЕНТТЕРІ.

§1. Механикалық жүйе. Сыртқы және ішкі күштер

Материялық нүктелер (денелер) жүйесінің бір нүктесінің (денесінің)
қозғалысы немесе тепе-теңдік күйі басқа нүктелердің (денелердің)
қозғалысына немесе тепе-теңдік күйіне байланысты болса, ондай жүйелерді
механикалық жүйе деп атаймыз.
Механикалық жүйе ретінде күн жүйесін қарастыруға болады, өйткені бұл
жүйенің барлық денелері өзара тартылыс күштерімен байланысады.
Кез келген мәшиненің, тетіктің әр бөлігі, әр бөлшегі бір – бірімен
топсалармен, сырықтармен байланысады. Демек, мәшине мен тетіктер
механикалық жүйеге жатады.
Өзара материялық байланыстармен топталмай, берліген күштер арқылы
топталған жүйелерді еркін механикалық жүйелер деп атаймыз. Ондай жүйелерге
күн жүйесін жатқызуға болады. Мәшинелер мен тетіктер еріксіз жүйелерге
жатады, өйткені олар байланыстар арқылы жүйеленген.
Механикалық жүйеге тыстан әсер ететін күштерді сыртқы күштер
дейміз. Механикалық жүйенің өзара әсерлесуі ішкі күштермен сипатталынады.
Сыртқы күшті деп, ішкі күшті деп белгілейміз. “e” және “i”
деген индекстер exterieur, interieur деген француз сөздерінің бірінші
әріптерінен шығады – сыртқы, ішкі деген сөздерді сипаттайды.
Бір күштің өзі кейде сыртқы, кейде ішкі күш ретінде кездесуі мүмкін.
Мысалы, күн жүйесін қарастырғанда жердің күнге тартыс күші ішкі күшке
жатады. Жердің жалғыз өзінің траекториясы мен қозғалысын қарастырсақ,
аталған - сыртқы күш болады.

Ішкі күштер қасиеттері

1. Барлық ішкі күштердің геометриялық қосындысы нөлге тең.
Динамиканың үшінші заңы бойынша жүйенің (дененің) кез келген екі
нүктесі бір-біріне модульдері тең, бағыттары қарама-қарсы күштермен әсер
етеді:

Жүйенің барлық нүктелері бір-бірімен
осы заңдылықпен әсер етеді. Олай болса,
барлық ішкі күштердің геометриялық
қосындысы нөлге тең:

2. Ішкі күштер моменттерінің кез келген центрге немесе өске қатысты
қосындысы нөлге тең.
Шынында да, кез келген О центрге қатысты және күштердің
моменттері бір-біріне тең, бағыттары қарсы, яғни

Демек,

Бұл қорытындылар қатты денелер үшін ғана әділ.

(1) мен (2) – ден шығатын қорытынды: Ішкі күштер әсерінен қатты дене
тепе-теңдік күйде болатынын сипаттайды, қатты дене қозғалуына әсер етпейді.

§2. Материялық жүйенің массасы. Массалар центрі

Жүйенің қозғалуы күштер әсерімен қатар жүйенің массасына және
массаларының таралуына байланысты. Жүйе массасы деп оның барлық
нүктелерінің арифметикалық қосындысын, яғни

шаманы атаймыз.
Біртекті ауырлық күш өрісінде дененің еркін түсу үдеуі q=const,
сонымен қатар ауырлық күш массаға пропорционал, яғни

Мұнда - к нөмірлі нүкте массасы, - оның ауырлық күші, -
дене ауырлық күші. Олай болса, массалар центрін күштер центрі арқылы табу
оңай:

Мұнда - дененің (жүйенің) массалар центрінің координаталары, -
массасы материялық нүктенің кеңістіктегі координаталары.
Координаталары (4)-өрнекпен анықталатын нүктені массалар
центрі немесе (инерция) екпін центрі деп атаймыз.
Массалар центрі векторлық түрде табылады.

Массалар центрі жүйенің массаларының
таралуын сипаттайды. Яғни

Демек, жүйенің қозғалысы оның массалар центрінің орнына
байланысты.

§1. Дененің өске қатысты инерция моменті. Инерция радиусы

Массалар центрі массаның денеде таралуын толық анықтамайды.
Егер z өсінен h бірдей қашықтықтағы А және В массаларды тағы да өстен h1
аралыққа қашықтата түссек, одан жүйенің массалар центрі өзгермейді, бірақ
массалардың таралуы өзгереді. Осыған байланысты дененің (жүйенің) қозғалысы
да өзгереді.
Механикада да сол себептен дененің айналма қозғалысын сипаттау үшін екпін
(инерция) моменті деген жаңа ұғым пайдаланамыз.
z өске қатысты материялық нүктелердің екпін моменті деп
массалармен олардың өстен hk қашықтықтарының квадраттарының
көбейтінділерінің қосындысын атаймыз:

Өстік инерция моменті дененің айналма қозғалысында оның ілгерілемелі
қозғалыстағы массасының рөлін атқарады.
Бір материялық нүктенің инерция моменті

Интегралдық түрі

шаманың өлшемі []=кгм2 немесе

Аналитикалық түрде, яғни өстерге қатысты екпін моменті төмендегідей
жазылады

Олардың интегралдық түрі

немесе
Oxz жазықтығына қатысты екпін моменті

Сондай–ақ

О центрге қатысты екпін моменті

Ал

Олай болса

Массасы жүйе массасына тең материялық нүктенің екпін моменті жүйе
екпін моментіне тең болса, шаманы екпін радиусы деп атаймыз.
Кейде оны деп белгілейміз.

§2. Кейбір біртекті денелердің екпін моменттері

1. Жіңішке, біртекті , ұзындығы , массасы М сырық екпін
моменті.
Az өске қатысты сырықтың екпін моменті
мұнда ,

Онда

Яғни

2) Жұқа, біртекті, радиусы R, массасы М
шеңбер (сақина) екпін моменті. Сақина
массасы
. Онда
(В)
Бұл өрнек массасы М цилиндрлік қабыршақтың өсіне қатысты екпін
моментін де сипаттайды.

3) Біртекті дөңгелек пластина және
цилиндр екпін моменті. Радиусы R

дөңгелек пластинаның ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.