Сызықты емес теңдеулер

Сандық әдістердің бір бөлімі «бір өлшемді сызықты емес теңдеулер» болып табылады. Физикалық және басқа да құбылыстардың теңдеумен сипатталатыны белгілі. Сол теңдеуді классикалық математикалық формуламен шешу мүмкін емес жағдайлар бар. Бұл уақытта практикада сандық әдістерге жататын әдістермен шешілетінін дәлелдеу керек. Әрине ең алдымен құрылған теңдеудің қай аралықта анықталғандығын, үзіліссіздігін, түбірінің барлығын, оның жалғыздығын дәлелдейтін аргументтерді бақылау керек. Осы этаптан өткеннен кейін ғана есепті осы теңдеуге қолдануға келетін алгоритм көмегімен шығаруға болады.
Сызықты емес теңдеулер екі түрлі:
Алгебралық;
Трансцендентті;
Алгебралық теңдеулер деп алгебралық көпмүшеліктерден тұратын теңдеулерді айтады. Олардың шешімдері көбіне нақты сан болады.
Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы функцялары бар теңдеуді айтады.
Сызықты емес теңдеуді сандық шешу екі тәсілден ([1] қараңыз) тұрады.
1 Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы тікелей шығару;
2 Итерациялық тәсіл – есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру арқылы жуықтап, біртіндеп шығару;
Тура тәсілмен шығарылған есептер дәл мәнді береді. Ал итерациялық тәсілмен шешілген есептер есептің жуық мәнін береді .Мұның ішінде итерациялық әдістер сандық әдіске жатады.
Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің келесі әдістері бар.
1 Кесіндіні қақ бөлу - дихотомия әдісі деп аталады;
2 Хорда әдісі;
3 Жанама әдісі;
4 Жәй итерация әдісі;
F(x)=0 (2.1)
Бірөлшемді сызықты емес теңдеу берілген. Мұндағы F(x) функциясы [a,b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын.
Теорема1.1: [а,в] аралығында анықталған, үзіліссіз F(x) функциясының екі шеткі нүктелердегі мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, яғни мына шарт орындалса f(a)*f(b)<0, онда осы аралықта (2.1)-теңдеудің түбірі бар және жалғыз болады.
Практикада кейде теореманың орындалуын функцияның мәндер кестесін құру арқылы да анықтайды. Функцияның анықталу облысы бойынша а нүктесін беріп, ол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сосын һ қадаммен келесі нүктеге жылжып, сол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сол сияқты бірнеше нүктедегі функция мәндерін анықтап, таңбасын салыстырады. Егер көрші нүктелерде функция әр түрлі таңба қабылдаса, сол аралықта жалғыз түбірі жатыр деп айтады.

Әдебиеттер тізімі

В.А.Острейковский. Теория надежности. – М.: Высшая школа, 2003 – 363с.
Ж.Рашбаев. Сандық әдістер негіздері. – А.: Республикалық баспа кабинеті, 2000 – 121б.
Симонович С.В. Информатика. Базовый курс. 2-е издание. –СПб.: Питер, 2005. – 640 с: ил.
Егоров В.В., Скибицкий Э.Г., Криворучко В.А., Шпигарь Н.Н. Компьютерные технологии в делопроизводстве. – Алматы: Бiлiм, 2006. -384 с.
Ефимова О., Морозов В., Угринович Н. Курс компьютерной технологии с основами информатики. – М.: ООО «Издательство АСТ»; АBF, 2000. - 432 с.
Симонович С.В., Евсеев Г.А. Практическая информатика: Учебное пособие для средней школы. Универсальный курс. – М.: АСТ-ПРЕСС: Инфорком-Пресс, 2001. – 480 с.
А.С. Инчин. Работа на персональном компьютере. Часть 1, 2. – А.: 2002. - 380c.
Информатика. Практикум по технологии работы на компьютере / Под ред. Н.В Макаровой.3-е изд. Перераб.-М: Финансы и статистика, 2002.-320c.
Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю. Практика программирования: Бейсик, Си, Паскаль. Самоучитель.- СПб.: БХВ-Петербург, 2002. – 480 c.
Левин А. Самоучитель по работе с компьютером., - М.: Наука, 2001. – 220 c.
Симонович С., Евсеев Г., Алексеев А. Учебное пособие «Специальная информатика». - М.: Инфорком-Пресс, 2002.-220c.
Евсеев Г.А., Симонович С.В. WINDOWS 98: Полный справочник в вопросах и ответах. – М.:АСТ-ПРЕСС КНИГА: Инфорком-Пресс, 2003. - 496 с.
Березин Н.С., Жидков И.П. Есептеу әдістері-М физматгиз, 1950, Т. I, Т. II
Фихтенгольц Г.М. Дифференция және интеграл есептеуіндегі Курсы. – М: гостехидат. 1948, Т.II Гл. IX; XIII.
Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев Ф.Ф. втуз үшін жоғарғы математиканың арнаулы курсы-М: Жоғарғы мектеп,1976
Демидович Б.П., Морган И.А. есептеу математикасының негіздері-м:физматгиз,1960
1. Нұрсадықова Р.К.,Сырымбек М., Информатика пәнінен барлық
техникалық мамандықтар бойынша зертханалық жұмысқа арналған
әдістемелік нұсқау,Өскемен 2005 ж
2. Г.Н.Воробьева.,А.Н.Данилова Практикум по вычислительной
математике

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 30 бет
Таңдаулыға:

М А З М Ұ Н Ы

І Кіріспе
1.1 Сызықты емес теңдеулерді шешудің сандық әдістері
1.2 Жай итерация және қарапайым итерация әдістері
Итерация әдісі. Теңдеуді итерациялық түрге келтіру
Жүйені итерациялық түрге келтіру
Хорда әдісі
Жанама әдісі
Кесіндіні қақ бөлу әдісі
Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері
Глосарий
Әдебиеттер тізімі

Сызықты емес теңдеулерді шешудің сандық әдістері

Сандық әдістердің бір бөлімі бір өлшемді сызықты емес теңдеулер
болып табылады. Физикалық және басқа да құбылыстардың теңдеумен
сипатталатыны белгілі. Сол теңдеуді классикалық математикалық формуламен
шешу мүмкін емес жағдайлар бар. Бұл уақытта практикада сандық әдістерге
жататын әдістермен шешілетінін дәлелдеу керек. Әрине ең алдымен құрылған
теңдеудің қай аралықта анықталғандығын, үзіліссіздігін, түбірінің барлығын,
оның жалғыздығын дәлелдейтін аргументтерді бақылау керек. Осы этаптан
өткеннен кейін ғана есепті осы теңдеуге қолдануға келетін алгоритм
көмегімен шығаруға болады.
Сызықты емес теңдеулер екі түрлі:
Алгебралық;
Трансцендентті;
Алгебралық теңдеулер деп алгебралық көпмүшеліктерден тұратын
теңдеулерді айтады. Олардың шешімдері көбіне нақты сан болады.
Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы
функцялары бар теңдеуді айтады.
Сызықты емес теңдеуді сандық шешу екі тәсілден ([1] қараңыз) тұрады.
1 Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы
тікелей шығару;
2 Итерациялық тәсіл – есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру
арқылы жуықтап, біртіндеп шығару;
Тура тәсілмен шығарылған есептер дәл мәнді береді. Ал итерациялық тәсілмен
шешілген есептер есептің жуық мәнін береді .Мұның ішінде итерациялық
әдістер сандық әдіске жатады.
Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің келесі әдістері бар.
1 Кесіндіні қақ бөлу - дихотомия әдісі деп аталады;
2 Хорда әдісі;
3 Жанама әдісі;
4 Жәй итерация әдісі;
F(x)=0 (2.1)
Бірөлшемді сызықты емес теңдеу берілген. Мұндағы F(x) функциясы [a,b]
кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын.
Теорема1.1: [а,в] аралығында анықталған, үзіліссіз F(x) функциясының екі
шеткі нүктелердегі мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, яғни мына шарт
орындалса f(a)*f(b)0, онда осы аралықта (2.1)-теңдеудің түбірі бар және
жалғыз болады.
Практикада кейде теореманың орындалуын функцияның мәндер кестесін
құру арқылы да анықтайды. Функцияның анықталу облысы бойынша а нүктесін
беріп, ол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сосын һ қадаммен келесі
нүктеге жылжып, сол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сол сияқты бірнеше
нүктедегі функция мәндерін анықтап, таңбасын салыстырады. Егер көрші
нүктелерде функция әр түрлі таңба қабылдаса, сол аралықта жалғыз түбірі
жатыр деп айтады.
1-мысал:
Берілген теңдеудің түбірін анықтау:

Теңдеудің түбірі жатқан аралықты аналитикалық тәсілмен табамыз: ол үшін
функция туындысын тауып, оны нөлге теңестіру арқылы экстремумдарын
анықтаймыз: , экстремумы: х1=Ln10=2,3;
Экстремум нүктелеріндегі функция таңбасының 1-кестесін толтырамыз.

1-кесте- функциясының таңбасын анықтау
Нүктелер 2,3
sign(f) + - +

Функция таңбасының ауысуы (; 2,3] және [2,3; ) аралығында
байқалды. Яғни осы аралықта теңдеудің түбірі бар.
Енді графиктік әдісті қарастырайық. Ол үшін теңдеуді мына түрлерге
жіктейміз, себебі функция күрделі, трансцендентті, бірден графигін құруға
болмайды: . Екі функцияның графигін саламыз, екеуінің қиылысқан
нүктесі теңдеудің түбірі болып табылады (1-сурет). Қиылысу нүктелерінің
аймақтарын анықтаймыз.

1-сурет- функцияларының графиктері

Бірінші түбірі [0,1] аралығында, ал екінші түбірі [2,6] аралығында
жататыны суретте көрініп тұр. Енді осы аралықтағы қай нүкте (2.1)-ші
теңдеуді қанағаттандыратынын анықтаймыз.
f(x) =0 (1) теңдеуі берілсін.
Әр түрлі ғылым мен техника салаларында жиі кездесетін, ертеден келе жатқан
математикалық есеп.
Мұндағы f(x) функциясы қандайда бір ақырлы немесе ақырсыз axb аралығында
анықталған және үзіліссіз
функция. f(x)   функциясын нольге айналдыратын, қандайда бір мәні
(1) теңдеуінің түбірі деп аталады.
Сызықтық емес теңдеулердің түрлері:
1)   квадрат теңдеу:                     (Виетта түбірлері мен
анықталады)
2) кубтық теңдеу:                     (Кардано әдісімен анықталады)
3)   төртінші дәрежелі теңдеу:    (Феррари әдісімен анықталады.)
Француз математигі Галуа бесінші дәрежелі теңдеуден бастап f(x) =0
алгебралық теңдеулерді дәл шешу мүмкін
еместігін дәлелдеген. Сондықтан сызықтық емес теңдеулер түбірлерін жуықтап
есептеу мәселелерін қарастыруға
тура келеді.
Бір айнымалы сызықтық емес теңдеу алгебралық және транцендентті теңдеу
болып екіге бөлінеді.
а) х - айнымалының бүтін дәрежелі қосылғыштарынан тұратын теңдеу -
алгебралық теңдеу деп аталады.
Алгебралық теңдеудің жалпы түрі:

б) Тригонометриялық немесе басқа арнайы функцияларды қамтитын теңдеу -
транцендент теңдеу деп аталады.
Мысалы:
;
Әдетте, теңдеулердің нақты түбірлерін жуықтап табуды келесі сатылардан
тұрады.
1. Түбірлерді жекешелеу
2. Түбірлерді дәлдеу

Кесіндіні қақ бөлу әдісі

(2.1) - теңдеуді кесіндіні қақ бөлу әдісімен шешу алгаритмі келесі
қадамнан тұрады.
(2.1)-ші теңдеудің түбірі жатқан аралығын анықтау және осы аралықта
түбірдің жалғыздығын тексеру. Яғни x осі бойында бірдей қашықтықта жатқан
нүктелердегі функцияның мәндерін есептеміз, және егер екі шеткі нүктеде
немесе екі көрші нүктеде функция мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, онда
сол аралықта түбір бар деп есептеу
Осы аралықты қаққа бөлу және ол нүктенің мәнін
Xорт=(Xn+1+Xn)\2 (2.2)
формуласымен анықтау.
Xn+1-Xne шарты арқылы қарастырылып отырған аралықтан шығып кетпеуді
бақылаймыз.
XОРТ нүктесіндегі функция мәнін F(XОРТ) есептеу.
Егер оның таңбасы F(Xn) функциясының таңбасымен бірдей болса, Xn
нүктесінің орнына XОРТ нүктесін қарастырамыз.
Ал егер F(XОРТ) функциясының таңбасы F(Xn+1) функциясының таңбасымен
бірдей болса, Xn+1 нүктесінің орнына ХОРТ нүктесін қарастырамыз.
Шыққан аралықтар [Xn,, Хорт] U [Xорт, Xn+1] белгіленеді.және алдыңғы
шарттарға байланысты екі аралықтың біреуін тағы қаққа бөлу арқылы ізделінді
нүктеге біртіндеп жақындаймыз. Яғни мына шарттар тексеріледі:
F(Xn+1)*F(Xорт)0 шарты орындалса [Xорт,Xn+1] аралығы қаққа бөлінеді де
шыққан нүкте мәні, XОРТ2=XОРТ+Xn+12 формуласымен есептеледі.
F(Xn)*F(ХОРТ)0 шарты орындалса [Xn,Xорт] аралығы қаққа бөлініп, табылған
нүкте XОРТ2=XОРТ+ Xn2 формуласымен есептеледі.
Осы процесті іздеп отырған х нүктесіне жеткенге дейін жалғастырып,
XОРТ, XОРТ2, XОРТ3, ..., XОРТN тізбегін құрамыз. Мына шарт орындалатын
уақытта XОРТN - XОРТN-1E іздеу процесін тоқтатамыз да XОРТN нүктесін
(2.1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын х дәл түбірге жуық мән деп қабылдаймыз.
Программасы
Program bisekzia;
Label 1;
Var a,b,e,c:real;
Function f(x:real):real;
Begin
F:=exp(x)-10*x;
End;
Begin
Writeln(‘аралықты және епсилонды енгізіңіз’);
Read(a,b,e);
1: c:=(a+b)2;
if abs(b-a)e then
write(‘x=’,c)
else
begin
if f(c )*f(a)0 then b:=c else a:=c;
goto 1;
end;
writeln(exp(c )-10*c);
end.

Жай итерация әдісі

Бұл әдісті қолдану үшін (2.1)-ші теңдеудің сызықты мүшесі айшықталып
мына түрге келтіру керек:
(2.3)
Сосын теңдеудің түбіріне кез келген Х0 бастапқы жуықтау беріп
k=1,2,... формуласымен х1, х2,...,хn нүктелер тізбегін құрамыз. Бұл тізбек x=z
түбіріне жинақталуы керек. Егер limXk=z болса, онда z нүктесі
теңдеуінің түбірі бола алады. Итерация әдісінің жинақтылық шарты және
бастапқы жуықтау кез келген болады. Итерациялық процесс берілген дәлдікке
жетуі үшін шарты орындалуы керек.
Итерациялық тізбектің жинақтылығы теореманың ([1] қараңыз) шарттарымен де
тексерілуі керек:

Теорема1.2.:
теңдеуінің [a,b] аралығында жалғыз түбірі бар және келесі шарттар
орындалсын:
1функциясы [a,b] аралығында анықталған және дифференциалданады;
2 үшін ;
3 барлық үшін болатындай q саны табылсын,
онда , (k=1,2,...) итерациялық тізбегі кез келген бастапқы
жуықтауда жинақталады.

Теңдеуді итерациялық түрге келтіру

(2.1)-теңдеуді (2.3)-ші итерациялық түрге келтіру әртүрлі тәсілдермен
орындалады. Қай тәсілмен итерациялық түрге келтірілсе де жоғарыдағы
теореманың шарттары орындалуы керек. Практикада көрінгендей, теореманың 3)-
ші шартының орындалуы күрделірек, сондықтан төмендегі тәсілдердің бірін
қолдануға болады:
1 (2.1)-теңдеуді түріне келтірейік, мұндағы m=const нөлден өзгеше. Бұл
уақытта деуге болады. Оны дифференциалдасақ: . Теореманың 3)-ші
шарты орындалуы үшін үшін шарты орындалатындай етіп m-ді таңдап
алу керек.
2 (2.1)-теңдеу (2.3)-ші түрге келтірілген, бірақ теореманың 3)-ші шарты
орындалмай тұрса, онда y= функциясының орнына x=g(y) функциясын
қарастыруға болады. Мұндағы g(y) функциясы функциясының кері
функциясы. Енді y=g(y) теңдеуін шешетін боламыз. Немес ескі белгілеулер
бойынша x=g(x) теңдеуін шешеміз деген сөз. Кері функциялардың
туындыларының қасиеттері бойынша .
2 – мысал

теңдеуінің түбірін қарапайым итерация әдісімен табу керек болсын.
Теңдеуді итерациялық түрге келтіреміз:
. Ал және барлық х
нүктелері үшін
. Яғни q=0,1 деп алып, бастапқы жуықтауды х0=0 десек шарты
орындалғанша итерациялық процесті құрамыз: х0=0: ; , т.с.с. Түбір
мәні х6=0,111833, итерация саны 5-ке тең.

Хорда әдісі

Бұл әдіс кесіндіні қаққа бөлу әдісіне қарағанда шешімге тез
жинақталады.
Алгоритмі:
хn , xn+1 аралығында f (x) және f (xn+1) функцияларының таңбасы бір
біріне қарама-қарсы және түбірі бар болсын.
Осы екі шеткі нүктеден хорда жүргізіп, хорданың х осімен қиылысқан
нүктесін мына формуламен анықтаймыз.
(2.4)
Егер f(a)0 шарты орындалса, а нүктесі тұрақты болады да
формуласымен есептеледі
Егер f(b)0 шарты орындалса, b нүктесі тұрақты болады да
формуласымен есептеледі
х* нүктесіндегі функция мәнін F(x*)-ны есептеу. Оның таңбасын екі шеткі
нүктедегі функцияның таңбасымен салыстырылады. Егер f (xn) және f(x*)
функциясының таңбасы бірдей болса, онда хорданы xn+1 және x* нүктесі
арқылы жүргізіледі. Оның мәнін (2.4) формуламен табады. Егер f(xn+1) мен
f(x*) функцияның таңбалары бірдей болса, онда хорданы xn және x* нүктесі
арқылы жүргізіледі. Шыққан нүктенің мәні (2.4) формуламен есептелінеді.
x* нүктедегі мәнін есептеп, мәні нөлге жуық болса , онда x* нүктесі
(2.1) теңдеудің түбірі деп аталады. Егер нөлге жуық болмаса, онда процесс
жалғасады.
Алдындағы мысал үшін программасы келесідей болады:
Хордалар әдісінде

нүктесі ретінде еркін нүкте емес, осінің және
нүктелері арқылы жүргізілген хордамен қиылысу нүктелері
алынады. нүктесін табу үшін хордасының теңдеуін жазайық:
      (19)

деп, сәйкес мәндерді табамыз
               (20)


f(x)=0 (1) теңдеуінің [a,b] кесіндісіндегі түбірін анықтау керек. [a,b]
кесіндісіндегі f'(x)0 және f"(x)0. Яғни:

           және нүктелері арқылы   хордасын жүргіземіз.




                у


                                              B0



                х
                                 A1

                A0


екі нүкте арқылы жүргізілген түзудің теңдеуін,   хордасы үшін
жазайық:
                                                (2)

(2) - де болғанда десек:


Сонымен f(x) функциясының графигінің бойынан нүктесі анықталады. Енді
осы А1 және В0 нүктелері арқылы хорда жүргізейік, яғни ол хордасы.
Оның теңдеуі:
                                                               (3)

l2 хордасының Ох қиылысу нүктесі: у=0;

Мұндағы:
          Осындай үрдісті әрі қарай жалғастыра отырып,   (5) шексіз
тізбек аламыз. Оның кез – келген мүшесі:

формуласымен анықталады. Мұнда:

Тұжырымдама: Сонымен, жоғарыдағы үрдістің нәтижесінде алынған тізбегі
жинақты және оның шегі:

болады.
Шындығында да, тізбегі монотонды өспелі (кемімелі), жоғарыдан
(төменнен) шектелген тізбек, олай болса, оның шегі болады, яғни:
және
  олай болса (5) , шекке көшсек:


        Мұнда болған, , олай болса,

тұжырым дәлелденді.
        Блок сызбасы:

f(x)=0 (1) теңдеуі берілген. Түрлендірулер арқылы (1) теңдеуін оған
эквивалентті x=f(x) (2) теңдеуімен
ауыстарайық.
ξ – (2) теңдеуінің дәл түбірі болсын.
х0 - (2) теңдеуінің қандайда бір тәсіл көмегімен алынған жуық түбірі
болсын.
х0 мәнін (2) теңдеуінің оң жағына қойып
x1=f(x0) - анықтаймыз.
Енді х1 – дің мәнін (2) теңдеуінің оң жағына қойсақ, онда х2 мәні
табылады.
х2=f(x1)
Осы үрдісті әрі қарай жалғастырсақ, онда х0 ,х1,х2,...,хn... (3) шексіз
сандар тізбегін аламыз. Бұл тізбек -
итерация тізбегі деп аталады. Сонымен төмендегідей тізбекті аламыз:

                     (4)

Теорема: Егер (3) тізбегі жинақты болып, f(x) функциясы үзіліссіз болса,
онда (3) тізбегінің шегі (2) теңдеуінің
түбірі болады.
Шындығында да

болсын дейік.
Онда (4) - те шекке көшсек:
теорема дәлелденді.
         Итерация әдісінің көмегімен теңдеудің түбірін анықтау әр уақытта
мүмкін емес. Себебі кейде итерациялық тізбек           жинақты, кейде
жинақсыз болуы мүмкін. Сондықтан итерация үрдісінің жинақты болуы үшін,
жеткілікті шартты
        анықтау қажет. Ол үшін анализ курсынан белгілі төмендегі теорема
қолданылады.
        Егер f(x) функциясы:
([a,b] аралығында өзіне - өзі бейнеленсе)
[a,b] дифференциалданса
болатындай 0q1 табылса,
         онда f(x)=0 теңдеуінің жалғыз түбірі болады және xn=f(xn-1)
(n=1,2,...) тізбегі осы түбірге жинақталады.
        Итерация әдісінің геометриялық мағынасы:
                                                                 y












Итерациялық үрдіс әрқашанда жинақты болуы мүмкін емес. Сондықтан
итерациялық үрдістің жинақты
болуының жеткілікті шартын қарастыру кажет. Ол төмендегі теоремадан
анықталады.
Теорема: теңдеуінің кесіндісінде жалғыз түбірі болсын және
төмендегі шарттар орындалсын:
1.          кесіндісінде функциясы анықталған және
дифференциалданады.
2.           кез келген үшін   өзіне - өзі бейнеленеді.
3.         шарты орындалатын қайсыбір q нақты саны табылады, .
Онда кез келген бастапқы мүшесі мен алынған итерациялық тізбегі
жинақты
болады.
Дәлелдеуі: кез келген бастапқы мүшесі бар тізбегін
қарастырайық. Теореманың екінші
шарты бойынша оның барлық мүшелері

Көршілес орналасқан екі жуықтауды қарастырайық:
және
Лагранж теоремасы бойынша:
мұндағы
Теореманың 3 - шартын қолданып, модульге көшсек:
яғни:

десек, онда

Төмендегі қатарды қарастырайық :

(8) қатарының дербес қосындыларын қарастырсақ:
,
онда -ші дербес қосындысы (4) итерациялық тізбектің n – ші
мүшесімен сәйкес келетіндігін көреміз.
Яғни:

Енді (8) – ші қатарды төмендегідей қатармен салыстырайық:

(7) қатынастарының көмегімен (8) қатарының мүшелерінің абсолюттік мәндері
(10) қатарының сәйкес
мүшелерінен артық болмайды. (мұнда х0 есепке алынбайды.) Ал (10) қатар
шексіз геометриялық прогрессия
сияқты жинақталады, себебі теореманың 3 - шарты бойынша q1. Олай болса
(8) қатар жинақты, яғни оның
дербес қосындысының шегі ақырлы (9).
Яғни   болсын. Ал функциясы үзіліссіз болғандықтан сонымен
теңдеуінің
түбірі.
Теореманың шарттары қажетті болып табылмайды, яғни итерациялық тізбек
бұл шарттар орындалмаған жағдайда да жинақты болуы мүмкін. Енді итерация
әдісінің қатесін қарастырайық.
Жоғарыда қарастырған теоремадан, оның шарттары орындалған жағдайда,
итерациялық тізбек кез келген бастапқы мүшемен жинақты болатындығын
көреміз. Бұдан итерациялық үрдістің кез келген n – ші жуықтауын алғашқы
жуықтау ретінде алуға болатындығы анықталады. Ал бұл жуықтап есептеу
кезінде жіберілген қателер оның қортынды нәтижесіне әсерін тигізбейтіндігін
көрсетеді. Сондықтан итерация әдісі теңдеулерді шешу әдістерінің ішіндегі
ең жақсы, дәлдігі жоғары әдіс болып табылады. Бірақ практикада итерациялық
үрдісті шексіз жүргізе беруге болмайды, оны үзуге тура келеді, яғни әдіс
қателігі жіберіледі. Осы әдіс қателігінің шамасын
қарастырайық.
- (2) теңдеуінің дәл шешімі болсын.
- (2) теңдеуінің жуықтауы ( жуық шешімі ) болсын. Сонда:
(11)
(8) бен (9) ескере отырып:
   (12)
Енді (12) ні (10) қатарының қалдығымен салыстырайық:
()
мұнда (7) бағаларын ескерсек:

Сонымен:
(13)
Практикада (13) формуласының орнына, оның модификациялары қолданылады.
Итерациялық үрдістің алғашқы жуықтауы ретінде қалауымызша
алынады, яғни ретінде тізбектің кез келген
мүшесін алумызға болады. Мысалы: онда - итерациялық тізбек.
Сондықтан (13) - тегі ретінде алуға болады. Ал
болғандықтан
Сонымен (13) формуласының төмендегідей модификатциясын қолдануға болады:
(14)
Мұндағы - ді туындысының модулінің жоғарғы шекарасы ретінде
қарастыруға болады.
Егер теңдеуін дейінгі дәлдікпен итерация әдісінің көмегімен
шешу қажет болса, онда итерация үрдісін
болғанша жүргіземіз, яғни:
(15)

(16) теңсіздігі орындалғанша жүргіземіз.

Блок сызбасы:

       Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері

Екі теңдеуден тұратын екі белгісізді сызықты емес теңдеулер жүйесін
қарастырайық:
(2.7)
Бұл есептің мақсаты - екі теңдеудің графигінің қиылысу нүктелерін
анықтау.

Ньютон әдісі
Екі теңдеудің графигін сызып екеуінің қиылысу нүктелері жатқан облысты
белгілейміз де осы облыстан жуықтап бастапқы жуықтауларды (x0, y0) таңдап
аламыз ([3] қараңыз). Келесі жуықтауларды мына формулалармен есептейміз:

Мұндағы якобиан деп аталады.
Бұл әдіс бастапқы жуықтаулар түбірге жақын алынған уақытта тиімді.
Мысалы:

жүйесі берілген. Теңдеулердің графигін сызу (2-суретте.) арқылы бастапқы
жуықтауларды табамыз

2-сурет – және функцияларының графиктері

2-суреттен көріп отырғанымыздай, x0=1.2; y0=1.7 деп аламыз.
Якобианды есептейміз:
; n=0,1,2,..

Ньютон формуласына қойсақ:

осылайша біртіндеп (х2,у2), (х3,у3), ... жұптарының мәндерін F және G
функцияларының мәні нөлге жуықтағанша есептейміз.

Қарапайым итерация әдісі

(2.7)-ші жүйе берілсін. Бұл әдісті қолданбас бұрын жүйені итерациялық
түрге келтіріп алады:
(2.8)
Теңдеулердің графиктерін құру арқылы бастапқы жуықтауларды беріп,
келесі жуықтауларды мына формуламен есептейді:
n=0,1,2,... (2.9)
Бұл әдістің жинақтылығын теореманың шарттарымен тексеру керек.

Теорема 1.4: Әлдебір тұйық облыста ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.