Интегралдық кластарды кластарға бөлу

Жоспар
Кіріспе

1 Негізгі ұғымдар мен интегралдық теңдеулерге
келтірілетін есептер.
2. ФУНКЦИОНАЛДЫҚ АНАЛИЗДЕН КӨМЕКШІ МАҒЛҰМАТТАР
3. ҚЫСЫП БЕЙНЕЛЕУ ӘДІСІ ЖӘНЕ ОНЫ ҚОЛДАНУ

Белгісіз функциялар интегралдардың астында кездесетін теңдеулер интегралдық теңдеулер деп аталады. егер белгісіз функция интегралдық теңдеуге сызықтық түрде қатынасса, онда теңдеуді сызықтық деп атайды.
түріндегі теңдеу Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдық теңдеуі деп аталады. мұндағы - нақты айнымалы х аргументіне тәуелді белгісіз функция, функциясы кесіндісінде, функциясы жиынында анықталған белгілі функция: пен сәйкес интегралдық теңдеу бос нүктесі мен ядросы деп аталады, ал - параметр. Интегралдық жоғарғы және төменгі шектері (a мен b) жалпы жағдайда тұрақты шамалар; олар шектелген де шектелмеген де болуы мүмкін. Егер болса, онда жоғарыдағы (1) интегралдық теңдеу біртекті, ал болған жағдайда – біртекті емес деп аталады.
Фредгольмнің 1-текті интегралдық теңдеуінде белгісіз функция интегралдық мүшеде ғана қатынасады, дәлірек айтқанда, ол теңдеу

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 22 бет
Таңдаулыға:

Лекция 1
Негізгі ұғымдар мен интегралдық теңдеулерге
келтірілетін есептер.
І. Интегралдық кластарды кластарға бөлу.
Белгісіз функциялар интегралдардың астында кездесетін теңдеулер
интегралдық теңдеулер деп аталады. егер белгісіз функция интегралдық
теңдеуге сызықтық түрде қатынасса, онда теңдеуді сызықтық деп атайды.
(1)
түріндегі теңдеу Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдық теңдеуі деп
аталады. мұндағы - нақты айнымалы х аргументіне тәуелді белгісіз
функция, функциясы кесіндісінде, функциясы жиынында
анықталған белгілі функция: пен сәйкес интегралдық теңдеу бос
нүктесі мен ядросы деп аталады, ал - параметр. Интегралдық жоғарғы
және төменгі шектері (a мен b) жалпы жағдайда тұрақты шамалар; олар
шектелген де шектелмеген де болуы мүмкін. Егер болса, онда жоғарыдағы
(1) интегралдық теңдеу біртекті, ал болған жағдайда – біртекті емес
деп аталады.
Фредгольмнің 1-текті интегралдық теңдеуінде белгісіз функция
интегралдық мүшеде ғана қатынасады, дәлірек айтқанда, ол теңдеу

түрінде жазылады.
Вольтерраның 2-текті интегралдық теңдеуі деп
(2)
түріндегі, ал 1-текті интегралдық теңдеуі деп

түріндегі теңдеуді айтады.
Мәселен, Фредгольмнің 2-текті интегралдық теңдеуінде ядро
бос мүше ал Фредгольмнің 2-текті сызықты интегралдық теңдеулері
системасы

түрінде өрнектеледі. Егер - векторлар, ал ядро элементтері
болатын матрица деп қарасақ, онда системаны (1) теңдеуі түрінде
жазуға болады.
Дәл осындай екі аргументті функция үшін Вольтерра теңдеуі

түрінде, ал системасын

түрінде өрнектеуге болады.
Математикалық, физикалық кейбір қолданбалы есепті үшін сызықтық емес
интегралдық теңдеулерді шешуге алып келеді. Сондықтан, кейбір практикалық
және теориялық маңызы бар бірнеше сызықтық емес интегралдық теңдеулерді
зерттеусіз келтірейік.
1) Гаммерштейн теңдеуі

мұндағы - фредгольмдік ядро.
2) Урысон теңдеуі

мұндағы - үзіліссіз функция; ал М – шенелген оң шама.
3) Вольтерраның сызықты емес теңдеуі

мұндағы - үзіліссіз функция, , облысында анықталған.
4) Липунов-Лихтенштейн теңдеуі

мұндағы мен үзіліссіз функциялар.
Егер теңдеулерде белгісіз функцияның интегралымен қоса туындылары да
бар болса, ондай теңдеулерді интегро-дифференциалдық теңдеулер дейміз.
Мысал, үшін мына ең қарапайым интегро-дифференциалдық теңдеулерді
келтірейік:
(4)
(5)
мұнда белгісіз функциялардың бірінші ретті туындылары бар болғандықтан,
бұл теңдеулердің шешімі жалғыз болуы үшін қосымша шарттары берілуі
қажет.
Қолданбалы математикада интегро-дифференциалдық сызықтық, сызықтық
емес теңдеулер немесе теңдеулер системасы және жоғарғы ретті туындылы
(кәдуілгі және дербес туындылы) интегро-дифференциалдық теңдеулер көп
кездеседі. Мысалы

теңдеуінің бастапқы шарттарын немесе шекаралық шарттарын
қанағаттандыратын шешімін табу есебін қарастыруға болады. Егер белгісіз
функция көп аргументті болса, онда интегро-дифференциалдық теңдеулерде
белгісіз функциялардың дербес туындылары мен интегралдары көп өлшемді
болады. Интеграл астындағы өрнекте белгісіз функциялардың туындылары
болатын интегро-дифференциалдық теңдеулер де жиі кездеседі. Кейбір
жағдайларды интеграл астындағы туындының реті жоғары болса, онда
теңдеулердің шешімдері барлық уақытта бола бермейді және шешімнің бар
екенін дәлелдеген күнде оны табу оңай емес. Ал егер интеграл сыртындағы
өрнекте белгісіз функциялардың туындылары жоғарғы ретті болса, көп жағдайда
мұндай интегро-дифференциалдық теңдеулерді системаларға дифференциалды және
интегралдық теңдеулердің системалардың жалпы теориясын пайдаланып шешуге
болады.
3-мысал ретінде (4) мен (5) теңдеулерін сызықтық интегралдық
теңдеулерге келтірейік. Ол үшін

деп белгілесек, онда (4) теңдеуінен І-ретті сызықтық дифференциалдық
теңдеуін аламыз. Оның шешімі

Бұл өрнекке -тің мәнін қойсақ,

мұнда
,

белгілеулер енгізсек, онда біз Вольтерраның 2-текті сызықтық

теңдеуін аламыз. Осы әдіспен (5) теңдеуін Фредгольмнің 2-текті сызықтық
интегралдық теңдеуіне келтіруге болады.
2. Интегралдық теңдеуге келтірілетін есептер.
1. Абель есебі. вертикаль жазықтығында материалдық нүкте өзінің
ауырлық күші әсерінен қисық сызық бойымен қозғалады. Берілген уақытта
дене алғашқы жылдамдықсыз ординатасы у болған нүктеден өсіне жететін
қисық сызықты табу керек. Қозғалатын нүктенің жылдамдығының абсолютті
шамасы: . Егер арқылы белгісіз қисықтың нүктесіне
жүргізілген жанаманың өсімен жасайтын бұрышын белгілесек, онда

шамасы жылдамдықтың өсі бойынша құраушысы болады. Соңғы теңдіктен

Мұны 0-ден у-ке дейін интегралдап деп белгілесек, Абель теңдеуін
аламыз:

Егер бұл өрнектен функциясын анықтасақ, онда іздеген қисық сызықты
табу қиын емес. теңдігінен екенін анықтаймыз. Содан кейін
болғандықтан, . Бұл өрнекті интегралдап

екенін анықтаймыз. Сонымен, анықтайтын сызық параметрлік теңдеулермен
беріледі екен.
2. Шектің тербелуі. Ұзындығы l серпімді шек тыныштық кезінде ОХ
өсіндегі ОА кесіндімен дәл келсін. Шектің шекаралары О мен А нүктелерде
бекітілген. Т шектің керілу күші. Шекке болатындай В нүктесінде
вертикаль Р күші әсер етсін. Бұл күштің әсерінен ОА шек ОВ1А сынық сызығы
түрін қабылдайды. Сонда шамасын ОВ-мен және ВА-мен салыстырғанда өте
аз шама деп қарастырамыз. Тепе-теңдік заңының шарты бойынша шығатыны:
-ның өте аз шама екенін ескерсек,

олай болса алдыңғы шарт

түрінде жазылады. Бұл соңғы өрнектен:
Абсциссасы х-ке тең С нүктесіндегі шектің иілуін арқылы
белгілейік. болсын. және ұқсастығынан

Сонымен мұнда

Грин формуласы деп аталады. Бұл өрнектен екенін оңай көруге болады.
Егер шектің барлық нүктелеріне сызықтық тығыздығы үзіліссіз таралған
күш әсер етсе, онда шектің иілуі былай:
(6)
анықталады.
Мына есептерді қарастырайық.
а) Шектің иілуі иболғанда оған әсер етуші күштің
тығыздығын табу керек болсын. Сонда Фредгольмнің 1-текті

теңдеуін шешуге келеміз, яғни бұл теңдеуден белгісіз -ді тапсақ есеп
шешілген болады.
б) Шекке уақыт өткен сайын өзгеріп тұратын абсциссасы болатын
нүктеде тығыздығы болатын күш әсер етсін. Бұл күштің әсерінен шек
қозғалысқа түседі. Ол периодты тербеліспен қозғалсын. Ол кезде
уақыттың t мезетте шектің бөлігіне жоғарыдағы күштен басқа
инерция күші әсер етеді. Сондықтан (6) теңдік:

түрінде жазылады. Міне бұл өрнектен:

яғни -ке қатысты Фредгольмнің 2-текті интегралдық теңдеуі алынды,
мұнда

3. Дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі мен шекаралық есептерді
шешуді интегралдық теңдеуге келтіру. Бұл жерде біз дифференциалдық және
интегралдық теңдеулер арасындағы байланысты көрсетеміз.
1) Кәдуілгі дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебін шешу.
Вольтерраның интегралдық теңдеуіне келтіріледі. 1-ретті кәдуілгі
дифференциалдық теңдеу үшін бастапқы шарт берілсін.
функциясы осы Коши есебінің шешімі делік. Осы теңдеуге қойып,
алынған тепе-теңдікті -ден х-ке дейін интегралдап:

интегралдық теңдеуін аламыз. Мұның шешімі функциясы берілген есептің
де шешімі екенін тексеру қиын емес.
Коэффициенттері үзіліссіз функциялар болатын п-ретті сызықтық
дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебін шешу де 2-текті Вольтерраның
интегралдық теңдеуін шешуге келтіріледі. Бұл жағдайда мына 2-ретті теңдеу
үшін қарастырамыз: теңдеуі үшін бастапқы шарттары берілсін. Бұл
есепте деп белгілеп, одан кейін теңдікті бастапқы шарттарды
пайдаланып интегралдау нәтижесінде

теңдеуін аламыз. Ал соңғы өрнектерді пайдаланып берілген теңдеуден

Вольтерраның 2-текті интегралдық теңдеуін аламыз, мұндағы

Мысалы, дифференциалдық теңдеуінің бастапқы шарттарын
қанағаттандыратын шешімін табу керек.
Осы Коши есебін интегралдық теңдеумен алмастырайық. Ол үшін белгісіз
функциясының 2-ретті туындысын жаңа белгісіз арқылы деп
белгілесек, одан кейін бұл өрнектің екі жағын да 0-ден ч-ке дейін
интегралдап және бастапқы шарттарды ескеріп,

өрнектерін аламыз. Бұл соңғы үш өрнекті теңдеуге қойсақ:

интегралдық теңдеуін аламыз.
2) теңдеуін шекаралық шарттарымен қоса қарастыралық.
Кәдуілгі дифференциалдық теңдеулер курсында бұл есеп Грин функциясы арқылы:

түрінде шешіледі. Егер теңдеудің оң жағы түрінде белгісіз
функциясына тәуелді күрделі функция болса, онда соңғы өрнектен:

интегралдық теңдеуі шығады. Мәселен, түрінде болса, онда біз сызықтық
біртекті емес

интегралдық теңдеуін аламыз.
3) Кейбір жағдайда интегралдық теңдеуді дифференциалдық теңдеуге
келтіріп шешуге болады. Берілген

теңдеуін екі рет дифференциалдасақ:

өрнектерін аламыз. Бұлардан 2-ретті дифференциалдық теңдеуі шығады.
Жоғарыдағы өрнектерден бастапқы шарттары алынады. Демек, интегралдық
теңдеуді шешу мәселесі 2-ретті дифференциалдық теңдеуді шешудің Коши
есебіне келтірілді.
Параметр -ға тәуелді дифференциалдық теңдеуі
шарттарын қанағаттандыратын шекаралық есепті интегралдық теңдеуге
келтірейік. Ол үшін теңдеуінің алдыңғы шарттарды қанағаттандыратын
Грин функциясын құрайық. Бұл теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері
сондықтан Грин функциясын

түрінде іздейміз, мұндағы -белгісіз функциялар. Грин функциясының
шарттарын пайдалансақ, функцияларын төмендегі теңдеулер системасымен
анықтаймыз:

Осы системаны шешіп, екенін анықтаймыз. Демек,

Енді осы өрнекпен анықталған Грин функциясын пайдаланып, берілген
дифференциалдық теңдеудің берілген шекаралық шарттарды қанағаттандыратын
шешімін табу үшін

интегралдық теңдеуін аламыз.

Лекция 2
2. ФУНКЦИОНАЛДЫҚ АНАЛИЗДЕН КӨМЕКШІ МАҒЛҰМАТТАР
2.1. Метрикалық кеңістіктер және онық кейбір қасиеттері.
М сызықтық жиыны берілсін. Оның кез-келген нүктелері пары үшін
ара қашықтық немесе метрика ұғымы, оң шамасы енгізіліп, ол І.
(тепе-теңдік аксиомасы); 2.(симметрия аксиомасы);
3. (үшбұрыштар аксиомасы) шарттарын қанағаттандырса, онда
жиыны метрикалық кеңістік деп аталады. Бір жиында бірнеше метрика ұғымын
анықтап, бірнеше метрикалық кеңістік алуға болады.
Мысалдар, 1) арақашықтық теңдігімен анықталған нақты сандар
жиыны Q метрикалық кеңістік болады. Себебі, 1-3 аксиомалардың Q
жиыны үшін орындалатыны айқын.
2) Арақашықтық

теңдігімен анықталған реттелген n нақты сандар жиыны метрикалық
кеңістік түзеді. Бұл кеңістікті әдетте өлшемді эвклидтік кеңістік беп, оны
арқылы белгілейді.
3) кесіндіде анықталған барлық үзіліссіз функциялар жиыны, егер
арақашықтық
(7)
теңдігімен анықталса, онда метрикалық кеңістік түзеді.
Шынында да, 1 мен 2 аксиомалардың орындалатыны оңай
байқалады, ал 3аксиоманы тексерелік. үшін

Бұл теңсіздік болғандықтан былай жазылады:

демек 3-аксиома деп орындалады. Сонымен арақашықтық (7) өрнегімен
анықталған кесіндідегі барлық үзіліссіз функциялар жиыны метрикалық
кеңістік түзеді; ол кеңістікті С арқылы белгілейді.
4) сегментінде квадратымен интегралданатын, яғни

теңсіздігін қанағаттандыратын функциялар жиынын қарастырайық. Арақашықтықты
(8)
формуласымен анықтап, жоғарыдағы аксиомалардың орындалуын тексерейік.
Симметрия аксиомасының орынды екені анық. Ал тепе-теңдік аксиомасы
үшін орындалған, яғни өлшемі ноль болатын жиында ғана мен бір-
біріне тең емес. Үшбұрыштар аксиомасы Коши-Бундковский теңсіздігінен
шығады:
(9)
Расында, егер (9) теңсіздігін үшін пайдалансақ, онда

Бұл өрнектің екі жағынан да квадраттық түбір алсақ , онда

болады, яғни демек үшбұрыштар аксиомасы орынды. Арақашықтық (8)
формуласымен анықталғанда кесінді де квадратымен интегралданатын
функциялар жиыны метрикалық кеңістік құрады, оны арқылы белгілейді.
Метрикалық кеңістіктің элементтерін кеңістіктің нүктелері деп айтады.
(сәйкес ) теңсіздігін қанағаттандыратын метрикалық М
кеңістігіндегі х нүктелер жиынын центрі а нүктесінде, радиусы r болатын шар
(тұйық шар) деп айтады да арқылы белгілейді.
М – кез-келген метрикалық кеңістік болсын. Егер осы кеңістіктен
алынған тізбегі үшін болса, онда тізбегін нүктесіне
жинақты тізбек дейді. Егер тізбегі үшін санына сәйкес натурал
саны табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалса, онда
тізбегі өзіне жинақты немесе фундаментальдық тізбек деп аталады.
Теорема. Егер тізбегі нүктесіне жинақты болса, онда ол
фундаментальды тізбек болады.
Дәлелдеуі: онда үшін саны табылып, болғанда
болғанда теңсіздігі орындалады. Бұл соңғы екі өрнектен
үшбұрыштар аксиомасы бойынша үшін теңсіздігі шығады. Бұл
теңсіздіктен анықтамаға сүйеніп тізбегі фундаментальдық тізбек
екеніне көзіміз жетеді.
Метрикалық кеңістікте жинақты тізбектің шегі сол кеңістіктің
элементі болмайтындай тізбектерде кездеседі. Мысалы R – рационал сандар
жиыны болсын, мұндағы арақашықтықты өрнегімен анықтайық. Әрине R
метрикалық кеңістік. Енді осы кеңістіктен тізбегін қарастыралық,
мұнда бұл тізбек өзіне және шегіне жинақты. Ал енді жалпы
мүшесі

болған тізбекті қарастырсақ, ол өзіне жинақты, бірақ рационал сандар
кеңістігінде шекке ие болмайды, себебі

шегі иррационал сан.
Егер метрикалық М кеңістігінің элементтерінен құралған
фундаментальдық тізбектің шегі сол кеңістікте жатса, ондай кеңістік толық
кеңістік деп аталады. Мысалы, элементтері үзіліссіз функциялар болатын
С кеңістігі толық. Расында, С кеңістігінде ұзындық өлшемін
(7)
формуласымен анықтадық. фундаментальдық тізбегі берілсін, мұнда
; тізбек фундаментальдық болғандықтан Олай болса,
.
Бұл өрнек тізбегі үшін кесіндісіндегі бірқалыпты жинақтылықтың
Коши критерийі орынды екендігін көрсетеді. сол тізбектің шегі
болсын, демек бірқалыпты жинақты үзіліссіз функциялар тізбегінің
шегі, олай болса сегментінде үзіліссіз, яғни және . Демек
С кеңістігі толық. кеңістігі де толық екендігін көрсетуге
болады. Нақты сандар жиыны Q ұзындық өлшемі болғанда толық.
1-ескерту. М – метрикалық кеңістік болсын. Кез-келген кеңістігі
де сол ұзындық өлшемімен метрикалық кеңістік болады.
2-ескерту. Егер М – метрикалық кеңістік болса, онда кеңістігі
толық болмауы мүмкін, бірақ тұйық кеңістік болса, онда ол толық та
болады.
М мен N - метрикалық кеңістіктер болсын. Егер осы кеңістіктердің
нүктелері арасында өзара бірмәнді сәйкестік болып және сәйкес нүктелердің
арақашықтығы сақталса, яғни болса, онда М мен N кеңістіктерін
изометрикалық кеңістіктер деп атайды. Бір кеңістіктегі изометрикалық екі
жиын туралы да айтуға болады. Әрине, изометрикалық кеңістіктердің
қасиеттері ұқсас, сондықтан оларды кейде бірдей қасиетті кеңістіктер деп те
атайды.
2.2. Сызықтық нормаланған кеңістік
Егер Е жиын төмендегі шарттарды:
1) үшін белгілі бір ережемен олардың қосындысы деп аталатын
элементі сәйкестендірілсе;
2) мен сан үшін белгілі бір ережемен олардың көбейтіндісі
деп аталатын элемент сәйкестендірілсе;
3) сонда: 1. коммутативтік; 2. ассоциативтік;
3. Ө нольдік элемент және ; 4. Әрбір х үшін және
; 5. ; 6. көбейтудің ассоциативтігі; 7.
қанағаттандырса, онда Е жиыны сызықтық кеңістік деп аталады. Е
жиындағы элементтерді нақты немесе комплекс сандарға көбейтуге байланысты
оны нақты немесе комплексті сызықтық кеңістіктерді ажыратады.
Мысалдар, 1. жиыны векторларды қосу және оларды нақты сандарға
көбейту амалдарына қатысты сызықтық кеңістік болады.
2. С үзіліссіз функциялар жиыны функцияларды қосу және оларды
нақты сандарға көбейту амалдарына қатысты сызықтық кеңістік болады.
Егер Е жиыны
1) сызықтық кеңістік болса;
2) үшін белгілі бір заңмен сол х элементінің нормасы деп
аталатын саны сәйкес келіп, және мына шарттарды аксиомаларды:
1. тепе-теңдік аксиомасы; 2. - біртектілік
аксиомасы; 3. - үшбұрыштар аксиомасы қанағаттандырса,
онда -ні сызықтық нормаланған кеңістік деп атайды.сызықтық
нормаланған кеңістікте метриканы
(10)
теңдігімен анықтауға болады. Міне осы теңдікпен анықталған арақашықтық
жоғарыдағы метриканың барлық аксиомаларын қанағаттандаратынына көз
жеткізуге болады. болғандықтан, (10) өрнегінен . Демек, кез-
келген элементтің нормасы деп сол элементтің нольдік элементке дейінгі
қашықтығына тең шаманы алуға болады.
тізбегі үшін шарты орындалса, онда тізбегі
нүктесіне норма бойынша жинақты деп аталады: . Егер сызықтық
нормаланған кеңістік норма бойынша жинақты және толық болса, онда оны
банахтық кеңістік немесе типтегі кеңістік деп атайды.
Мысалдар, 1. Элементтерді қосу және санға көбейту операциялары
анықталған сызықтық векторлық кеңістігін нормасымен В типтегі
кеңістікке айналдыруға болады, мүнда .
2. Егер С жиынында норманы түрінде анықтасақ, В типтегі
кеңістік алуға болады.
3. -да нормасымен В типтегі кеңістік ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.