«Оқиғаның ықтималдығы»
Кіріспе ... ... ... ... 3
1. Ықтималдықтар теориясы ... ... ... ... ... .5
1.1 Қысқаша тарихы ... ... ... ... 5
1.2 Оқиға ұғымы және оның түрлері ... ... .7
1.3 Элементар оқиғалар. Оқиғалар кеңістігі ... ...8
2. Оқиғалар және олардың ықтималдығы ... ... 12
2.1 Оқиға ықтималдығы ... ... ... ... ...12
2.2 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы ... .12
2.3 Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы ... ... ... ... ... ..15
2.4 Ықтималдықтар теориясының аксиомалары ... ..17
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..20
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... .21
1. Ықтималдықтар теориясы ... ... ... ... ... .5
1.1 Қысқаша тарихы ... ... ... ... 5
1.2 Оқиға ұғымы және оның түрлері ... ... .7
1.3 Элементар оқиғалар. Оқиғалар кеңістігі ... ...8
2. Оқиғалар және олардың ықтималдығы ... ... 12
2.1 Оқиға ықтималдығы ... ... ... ... ...12
2.2 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы ... .12
2.3 Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы ... ... ... ... ... ..15
2.4 Ықтималдықтар теориясының аксиомалары ... ..17
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..20
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... .21
Қазіргі кездегі ғылым мен техниканың қарыштап өсуі дәуірінде ықтималдықтар теориясының әдістері практиканың сан алуан салаларында кеңінен қолданылып, физика, химия, биология құбылыстарының, техника мен экономика процестерінің заңдылықтарын жан-жақты және терең түсінуге орасан зор ықпалын тигізуде.
Кез келген ғылымның оның ішінде экономикалық ғылымның негізгі мақсаты өмірдей процесстер бағынатын заңдылықтарды жауып және зерттеу.
Экономикаға қатысы бар табылған заңдылықтардың тек қана теориялық маңызды емес, онымен қатар олар практикада да – жоспарлауда, басқаруда және болжауда да қолданылады.
Ықтималдықтар теориясы – математикалық ғылым, ол кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейді.
Бұл тарауды оқып үйренудегі ерекшелік, ықтималдықтың негізгі формулаларын оқып үйренеді.
Ықтималдықтар теориясы жөніндегі жүмыстар ХVII-ғасырда жарық көре бастады. Сол кезде карта,рулетка, т.б сияқты әуесқой ойындардың Еуропада кең таралуына байланысты әрбір ойыншы өзі ұтылмаудың әдістерін іздестірді. Ол ізденушілерден нәтиже шықпаған соң, сол кездегі математиктер бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалардың әрбір жағдайға байланысты болу ықтималдығын сандар арқылы көрсеткілері келеді.
Кез келген ғылымның оның ішінде экономикалық ғылымның негізгі мақсаты өмірдей процесстер бағынатын заңдылықтарды жауып және зерттеу.
Экономикаға қатысы бар табылған заңдылықтардың тек қана теориялық маңызды емес, онымен қатар олар практикада да – жоспарлауда, басқаруда және болжауда да қолданылады.
Ықтималдықтар теориясы – математикалық ғылым, ол кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейді.
Бұл тарауды оқып үйренудегі ерекшелік, ықтималдықтың негізгі формулаларын оқып үйренеді.
Ықтималдықтар теориясы жөніндегі жүмыстар ХVII-ғасырда жарық көре бастады. Сол кезде карта,рулетка, т.б сияқты әуесқой ойындардың Еуропада кең таралуына байланысты әрбір ойыншы өзі ұтылмаудың әдістерін іздестірді. Ол ізденушілерден нәтиже шықпаған соң, сол кездегі математиктер бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалардың әрбір жағдайға байланысты болу ықтималдығын сандар арқылы көрсеткілері келеді.
1.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. - М.:Высш.Школа, 1979.
2.Ермаков В.Н. Справочник по математике для экономистов. -М.: Высш.Школа, 1987.
3.Жаңбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. - Алматы.:Мектеп,1988.
4.Кремер Н.Ш.Теория вероятностей и математическая статистика. ЮНИТИ, 2000 г.
5.Қазешев А.Қ. Ықтималдықтар теориясы бойынша есептер шығару. - Алматы.: Респ.баспа кабинеті, 1991.
6.Қазешев А.Қ., Әбенов М., Қойлышов Ү. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бойынша есептер жинағы. - Алматы .:Респ.баспа кабинеті,1999.
7. Қазешев А.Қ.Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика Есептер жинағы. - Алматы, «Ғылым» ғылыми баспа орталығы, 2005 ж.
8. Карасаев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании. Экономика, 1987.
9. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под.Редакций Свешникова А.А.-М.:Наука, 1965
10. Справочник по теории вероятностей, математической статистике. -М.:Наука, 1985.
11. Четыркин Е.М.,Калихман И.Л.Вероятность и статистика - М.:Финансы и статистика, 1982.
12. Зубков А.М.,Севастьяно. Б.А.,Чистяков В.П.Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Наука, 1989.
13. П.Мюллер и др. Таблицы по математической статистике. Финансы и статистика, 1982.
2.Ермаков В.Н. Справочник по математике для экономистов. -М.: Высш.Школа, 1987.
3.Жаңбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. - Алматы.:Мектеп,1988.
4.Кремер Н.Ш.Теория вероятностей и математическая статистика. ЮНИТИ, 2000 г.
5.Қазешев А.Қ. Ықтималдықтар теориясы бойынша есептер шығару. - Алматы.: Респ.баспа кабинеті, 1991.
6.Қазешев А.Қ., Әбенов М., Қойлышов Ү. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бойынша есептер жинағы. - Алматы .:Респ.баспа кабинеті,1999.
7. Қазешев А.Қ.Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика Есептер жинағы. - Алматы, «Ғылым» ғылыми баспа орталығы, 2005 ж.
8. Карасаев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании. Экономика, 1987.
9. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под.Редакций Свешникова А.А.-М.:Наука, 1965
10. Справочник по теории вероятностей, математической статистике. -М.:Наука, 1985.
11. Четыркин Е.М.,Калихман И.Л.Вероятность и статистика - М.:Финансы и статистика, 1982.
12. Зубков А.М.,Севастьяно. Б.А.,Чистяков В.П.Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Наука, 1989.
13. П.Мюллер и др. Таблицы по математической статистике. Финансы и статистика, 1982.
Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі
М.Өтемісов атындағы Батыс-Қазақстан мемлекеттік университеті
Физика - математика факультеті
Физика және математика кафедрасы
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Оқиғаның ықтималдығы
Орындаған: Абай Т.Т.
Жетекші: физика және математикака
кафедрасының оқытушысы,
магистр Мухамбетова Б.Ж
Орал, 2017 жыл
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1. Ықтималдықтар теориясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.1 Қысқаша тарихы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.2 Оқиға ұғымы және оның түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .7
1.3 Элементар оқиғалар. Оқиғалар кеңістігі ... ... ... ... ... ... .. ... ...8
2. Оқиғалар және олардың ықтималдығы ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
2.1 Оқиға ықтималдығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .12
2.2 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы ... ... ... ... ... ... . .12
2.3 Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы ... ... ... ... ... ..15
2.4 Ықтималдықтар теориясының аксиомалары ... ... ... ... ... ... 17
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... 21
Кіріспе
Тақырыптың өзектілігі:
Қазіргі кездегі ғылым мен техниканың қарыштап өсуі дәуірінде ықтималдықтар теориясының әдістері практиканың сан алуан салаларында кеңінен қолданылып, физика, химия, биология құбылыстарының, техника мен экономика процестерінің заңдылықтарын жан-жақты және терең түсінуге орасан зор ықпалын тигізуде.
Кез келген ғылымның оның ішінде экономикалық ғылымның негізгі мақсаты өмірдей процесстер бағынатын заңдылықтарды жауып және зерттеу.
Экономикаға қатысы бар табылған заңдылықтардың тек қана теориялық маңызды емес, онымен қатар олар практикада да - жоспарлауда, басқаруда және болжауда да қолданылады.
Ықтималдықтар теориясы - математикалық ғылым, ол кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейді.
Бұл тарауды оқып үйренудегі ерекшелік, ықтималдықтың негізгі формулаларын оқып үйренеді.
Курстық жұмыстың мақсаты: Ықтималдықтар теориясы әдістері барлық жаратылыстану және техниканың әр түрлі салаларында талдауға, үлгілеуге оқытылу қажеттілігі: сенім теориясында, бұқараға қызмет ету теориясы, автоматтың басқару теориясында , жалпы байланыс саласында және тағы да басқа қолдаңбалы және теориялық ғылымдарда қолданылады.
Курстық жұмыстың нысаны: Ықтималдық теориясы пәнін оқу үрдісі.
Курстық жұмыстың пәні: Ықтималдық теория сабағының оқыту мазмұны.
Курстық жұмыстың болжамы: ХХ ғасырдағы тибиғаттану ғылымының келбеті есептелетін кибернетиканың өзі ықтималдық теориясына негізделеді. Сондықтан кездейсоқ оқиғаның математикалық моделін жасаудың алғы-шарты үлкен сериялы сынақтарда кездейсоқ оқиға жиілігінің тұрақты болуына әкеледі. Олай болса, тәжірбиеден алынған нәтиже зауыттың технологиялық процестеріне байланысты заңдылықтарды көрсетеді, ол тек кездейсоқ құбылыстарға тән.
Курстық жұмыстың міндеті: Математикалық статистиканы негіздеуге, өз кезегінде өңдірісті жоспарлау және ұйымдастыру мәселелерінде, технологиялық процесстерді талдағанда, сапалы өнімді сақтау және қабылдау бақылауларында пайдалануға қызмет ету.
Курстың міндетіне сонымен қатар жатады:
oo Кездейсоқ оқиғалар бақыланатын құбылыстарды аңғаруға, айыруға үйрету.
oo Ықтималдықтар теориясының орнықты қорытындысы туралы түсінік беру.
oo Үлкен маңызы бар үлкен сандар заңы, орталық шектік теоремасы туралы
Курстық жұмыстың теориялық мәні: Оқиға ықтималдылығы тарауын оқытуда ықтималдықтың негізгі ұғымын уйрету, олардың логикалық ойлау қабілетін қалыптастыруды одан әрі жалғастыру және олардың ықтималдылықтың анықтамасын, аксиомасын өткен кезде қолдана алуына жағдай жасау.
Курстық жұмыстың құрылымы: кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1. Ықтималдықтар теориясы
1.1 Қысқаша тарихы
Ықтималдықтар теориясы жөніндегі жүмыстар ХVII-ғасырда жарық көре бастады. Сол кезде карта,рулетка, т.б сияқты әуесқой ойындардың Еуропада кең таралуына байланысты әрбір ойыншы өзі ұтылмаудың әдістерін іздестірді. Ол ізденушілерден нәтиже шықпаған соң, сол кездегі математиктер бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалардың әрбір жағдайға байланысты болу ықтималдығын сандар арқылы көрсеткілері келеді.
Әуесқой ойындардың әр түрлі әдіс- тәсіліндегі ықтималдықтарын есептеу бойынша тұңғыш еңбектер жазған Франция оқымыстылары Блеэ Паскаль, Пьер Ферма, голландиялық Христиан Гюйгенс болды. Ықтималдықтар теориясы жөнінде бірінші рет тереңірек зерттеу жүргізген Швейцария математигі Яков Бернулли еді.
ХVIII ғасырдың аяғы мен XIX ғасырдың басында гоедезия мен астрономияның өркендеуіне байланысты, ондағы өлшеу қателіктерін бағалау үшін, немесе ату теориясына снарядтардың керек екенін есептеу үшін ықтималдықтар теориясы өте қажет болды. Бұл мәселелермен ағылшын оқымыстысы А.Муавр, француздар П.Лаплас ,С.Пуассон, неміс оқымыстылары К.Гаусс, орыс математиктері Л.Эйлер, ағайынды Н.Бернулли, Д.Бернулли шұғылданды. XIX ғасырдың ортасында орыс оқымыстылары П.Л.Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А.Марков бельгия оқымытысы А.Кетле, ағылшын ғалымы Ф.Гальтон, австриялық Л.Больцман ықтималдықтар теориясына елеулі үлестер қосты. Бұл математиктердің еңбектері қазіргі жиындар теориясы, нақты айнымалылар функциясының теориясы, функциялық анализ сияқты жоғарғы математиканың жаңа табыстарына сүйенетін ықтималдықтар теориясының өркендеуіне негіз салды.
Ықтималдықтар теориясында табысқа жеткен оқымыстылардың бәрін бірдей атап өту мүмкін емес, дегенмен А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, С.Н.Бернштейн, Н.Винер, В.Феллер, Дж.Дуба, Э.Борель сияқты дүние жүзіне әйгілі оқымыстыларды атай кетпесе және болмайды. Ықтималдықтар теориясына тікелей негізделген математикалық статистикалық дамуына совет оқымыстылары Е.Е.Слуцкий, А.Н.Колмогоров, В.Н.Романовский, А.В.Леонтович, А.К.Метропольский және т.б. зор үлес қосты. Ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты оның физикада, техникада, химияда, экономикада қолданылуы былай тұрсын, тіпті медицинада, лингвистика,ауыл шаруашылығында қолданылу мүмкіндігі де үздіксіз өсіп келеді. Жалпы алғанда ықтималдықтар теориясының әдісін пайдаланбайтын ғылым саласы жоқ деп айтуға болады. Математиканы пайдалана білген ғылым ғана өз шыңына дейін дами алады- деп К.Маркс тегін айтпаған. Ықтималдықтар теориясы көп ғылымдарға бұл мүмкіндікті туғызып отыр.
Кездейсоқ құбылыстарға математикалық тұрғыдан қарау Паскаль мен Фермаға дейін болған. Демографиялық құбылыстар және адамдарды азық-түлікпен қамтамасыз етуге байланысты кездейсоқ құбылыстардың салыстырмалылық жиілігінің біркелкілік фактілері Ежелгі Қытай мен Римде белгілі болған. Кездейсоқ құбылыстарды нақты әдістердің көмегімен анықтау мүмкіндігін Кордино мен Галилей де қарастырған. Паскаль, Ферма және Гюйгенстен бастап, кездейсоқ оқиға және оның ықтималдығы туралы математикалық ғылым - ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдары қалыптаса бастады.
ХХ - ғасырдың екінші жартысынан бастап құбылыстардың сандық өлшемдері әртүрлі процестердің, атап айтсақ, өндірісті математикалық модельдеу мен ғылыми шығармашылықтың алғашқы шарты болды, яғни ықтималдық ерекше маңызға ие болды. Оқиға туралы ғылым көптеген мамандық иелерінің: инженерлер, экономистер, дәрігерлер және басқа да саладағы мамандардың ортасына енді. Бүкіл әлемде осы ғылымға қызығушылықтың артқаны соншалық, тіпті ықтималдық теориясы жиі қолданылатын болды деп айтсақ, қателеспейміз.
Ықтималдық теориясының негізгі мағынасын ашып,ықтималдықтың жиілік теориясының негізгін салған - белгілі неміс математигі Р.Мизес.Ол ықтималдық теориясын математика пәні емес, математикалық әдістерде кең қолданылатын ғылым қатарына қосты. Р.Мизес: Әр ықтимлдыққа берілген есеп кейбір шынайы процестермен байланысқан, - деп айтқан. Қазіргі ықтималдық теориясының дамуы, әсіресе А.Н.Колмогоровтың еңбегінде, ықтималдық теория жоғарғы математиканың тарауларымен: жиын теориясы, функция теориясы, функционалдық талдау және т.б. нақты математикалық ықтималдықпен тығыз байланысқан.
Қазір ықтималдық теориясының әдістері қолданылмайтын сала жоқ. Ықтималдық статистика әдістерін қолдану көптеген ғылым салаларында дәстүрлі бағыт болуда. Оларға физика, геодизия, өлшеу теориясы т.с.с жатады. Кейбір комбинаторикалық еептермен ежелгі грек математиктері де айналысқан. Дегенмен бұл саладағы маңызды нәтижелерді алгебра мен ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты ғасыр математиктері ала бастаған. Алғашында ықтималдықтар теориясы, негізінен, құмар ойындардың мұқтаждығынан туындаған. Мәселен, ғасыр Людовик тұсында құмар ойындардың шынайы әуесқойы Кавалер де Мере үш ойын сүйегін қатар тастау нәтижесінде қосындысында ұпайдан гөрі ұпайдың жиірек түсетінін байқаған. Бірақ оның ойынша бұл ұпайлардың екеуін де әр түрлі комбинациямен алуға болады деп санаған.
ұпай үшін:
ұпай үшін:
Де Меренің қатесін француз математигі Блез Паскаль көрсетті. Де Мере көрсетілген комбинацияларды өзара тең мүмкіндікті оқиғалар деп есептеген. Ал шын мәнінде бұлар тең мүмкіндікті оқиғалар емес.
1.2 Оқиға ұғымы және оның түрлері
Адам күнделікті өмірінде дүниені таны білу барысында үнемі кездейсоқ жағдайларды байқайды. Бұл кездейсоқтықтар өмірдің даму заңдылығына кедергі келтірмейді керісінше кездейсоқтық пен заңдылық бір-біріне әсер етіп өмірдің дамуына себепші болады. Экономикадағы табылған заңдылықтардың теориялық құндылығымен қатар практикалық қолданысының да - жоспарлауда, басқаруда, болжауда - маңызы зор.
Бастағалы отырған "Ықтималдықтар теориясы" тарауы өмірдегі кездейсоқтықтарды зерттеп олардың заңдылықтарын ашады. Ықтималдықтар теориясы өз бастауын XVII ғасырдан алады. Алдымен азартты ойындар пайда болды. Араб тілінде "азар" деген сөз "қиын" деген мағына береді. Арабтар ойнағанда "азар" деп лақтырылған ойын сүйегінің екеуінде де алты ұпайдан түсуін айтады екен. Куб түріндегі ойын құралы ол кезде піл сүйегінен жасалатын болғандықтан "ойын сүйегі" деген атау сол заманнан қалыптасқан. Француздың атақты математиктері П.Ферма және Б. Паскальдың азартты ойындар жөніндегі зерттеулері ықтималдықтар теориясының негізі қалады.
Кездейсоқ оқиға. Ғылымның қандай саласы болмасын өз зрттеуінде қандай да бір ұғымдарды басшылыққа алады соған сүйенеді. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымы - оқиға.
Белгілі бір шарттар орындалғанда пайда болатын құбылысты оқиға дейміз. Осы шарттарды іске асыруды сынақ тәжірибе не бақылау жүргізу дейміз. Мысалы, лақтырылған металл теңгенің түсуін бақылайық. Теңгені қисық емес симметриялығы сақталған басқа бір жаққа дөңгелеп жоқ болып кетпейді қырымен тұрып қалмайды деп есептейміз. Осы шарттар орындалғанда біз теңгені лақтырып тәжірибені қалауымызша көп қайталай аламыз. Ал пайда болатын құбылыс - теңгенің сан жағымен немесе елтаңба жағымен түсуі - оқиға болады.
Анықтама. Сынақ нәтижесінде орындалуы да орындалмауыда мүмкін болатын оқиғаны кездейсоқ оқиға дейміз.
Кездейсоқ оқиғаларды латын алфавитінің А, В, С бас әріптерімен белгілейді
Анықтама. Сынақ нәтижесінде міндетті түрде болатын оқиға ақиқат оқиға деп, ал сынақ нәтижесінде ешқашан орын - далмайтын оқиға жалған оқиға деп аталады.
Әдетте ақиқат оқиғаны U, ал жалған оқиғаны V әріптерімен белгілеу қабылданған.
Анықтама. Кездейсоқ оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы басқасының пайда болуын жоққа шығарса олар өзара үйлесiмсiз деп аталады. Ал оқиғалардың біреуінің пайда болуы басқасының пайда болуына әсер етпесе олар өзара үйлесiмдi деп аталады.
Тәжірибе нәтижесінде пайда болатын барлық мүмкін оқиғалар элементар оқиғалар жиынын құрайды. Элементар оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз болса, олар оқиғалардың толық тобын құрайды дейді.
1.3 Элементар оқиғалар. Оқиғалар кеңістігі
Тәжірибеге қойылатын негізгі шарт оның мүмкін болатын нәтижесін көрсете білуімізде. Ал тәжірибе жүргізілгенде мүмкін болатын нәтижелердің тек бірі ғана пайда болуын элементар оқиға дейді де оны еі арқылы белгілейді. Элементар оқиғалар - әрі қарай жіктелмейтін оқиғалар. Ал сынау нәтижесі тек бір ғана элементар оқиғамен көрсетіледі. Тәжірибенің барлық мүмкін болатын нәтижелері жиынын элементар оқиғалар кеңістігі деп атайды. Мұны {w} арқылы белгілейді. Элементар оқиғалар {w} жиынының әрбір ішкі жиыны оқиға деп аталады. Оларды А,В,С, әріптерімен белгілейді. Мысалы, кубты лақтырғанда барлық мүмкін нәтижелер жиыны {w}={e1, e2,e3, e4, e5, e6} - элементар оқиғалар кеңістігі. Осы жиында {w} анықталған оқиғалар қарастырылады:
а) Нөмірлері 3-тен артық болмау А={e1, e2,e3} оқиғасын құрайды, .
б) Тақ нөмерлі ұпайлар В={e1,e3, e5} оқиғасын құрайды,және т.с.с.
Элементар оқиғалар кеңістігінің геометриялық кескінін қандай да бір кеңістік десек, онда элементар оқиғалар осы кеңістіктің нүктелері болады. Евклид геометриясын құрғанда нүкте және түзу анықталмайтын бастапқы ұғымдар деп қарастырған сияқты, ықтималдықтар теориясында да элементар оқиғалар кеңістігін және оның нүктесін бастапқы ұғымдар деп қарайды.
Айталық ойын кубын лақтыру тәжірибесі жүргізілсін, онда ,ал - цифрлар жазылған ойын кубының жақтарының пайда болуы, сол сияқты теңге лақтыру тәжірибесінде
Енді ойын кубын лақтырғанда пайда болатын кейбір оқиғаларды қарастыралық:
-үш санына еселі цифр жазылған ойын кубының жақтарының пайда болуы;
- тақ сан жазылған жақтың пайда болуы;
- жұп сан жазылған жақтың пайда болуы;
.Мұнда және -кездейсоқ оқиғалар, {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5 , ω6 }- ақиқат оқиға,себебі сынақ нәтижесінде ωi оқиғаларының біреуі міндетті түрде пайда болады.
Сынау нәтижесінде сөзсіз пайда болатын оқиғаны ақиқат оқиға десек, онда оны барлық элементар оқиға кеңістігімен теңестіруге болады. Сынау нәтижесінде сөзсіз пайда болмайтын оқиғаны мүмкін емес оқиға десек, онда мұны бір де элементар оқиғасы жоқ бос жиын деуге болады.
Сынау нәтижесінде мүмкін оқиғалардың әйтеуір біреуінің сөзсіз пайда болуы ақиқат болса, ондай оқиғаны жалғыз ғана мүмкіндікті оқиға деп атайды. Жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар оқиғалардың толық тобын немесе оқиғалардың толық жүйесін құрады.
1-есеп. Ұйымда 6 ер адам, 4 әйел адам жұмыс істейді. Табельдегі нөмірлері бойынша 7 адам таңдап алынды. Таңдап алынған адамдардың ішінде 3 әйел бар болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Табельдегі нөмірлері бойынша барлығы 10 адамнан 7 адам таңдап алудың жалпы саны 10 элементтен 7 элемент бойынша алынған терулер саны сияқты есептелінеді, яғни
n=
Ал 3 әйелді табельдік нөмерлері бойынша 4 әйелдің ішінен таңдап алудың саны
m=C
Сондай-ақ 6 ер адамнан 4 ер адам таңдаудың саны
m=C
Енді көбейту ережесін пайдалансақ таңдап алынған 7 адамның ішінде 3 әйел 4 ер адам болу мүмліндіктерінің жалпы саны тең.
Сонымен анықталғалы отырған ықтималдық
Бұдан былай ықтималдықтың анықтамасын пайдаланып есептер шығарғанда, әуелі оқиғаны белгілі бір әріп арқылы белгілеп алу қажет. Содан кейін тең мүмкінді, үйлесімсіз элементарлық оқиғалардың жалпы санын, сосын қолайлы элементарлық оқиғалар санын есептеген жөн.
2-есеп. Қорапта бірдей 5 бұйым бар. Оның үшеуі боялған. Қораптан кез-келген екі бұйым алынды:
1) алынған екі бұйымның біреуі боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек;
2) алынған бұйымның екеуі де боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: 1) қорапта 5 бұйымның екеуін барлығы n=Cтәсілмен алуға болады, ал алынған екі бұйымның біреуі боялған болса, сол бір боялған, бір боялмаған бұйымдарды сәйкес m=C m=C тәсілмен алуға болады. Сонда екі бұйымның бірі боялған болудың барлық қолайлы элементарлық оқиғалар саны
Сөйтіп Р=
2) алдыңғы пунктегі шығару жолын пайдаланып
Сонда
3-есеп. Мына 5;3;1;5;5;1 цифрлардың көмегімен алты таңбалы қанша сан жазуға болады.
Шешуі: Берілген алты цифрды үш группаға бөлеміз: 1; 1, 3; 5, 5;5.
Есептің шартына қайталанбалы алмастырулар формуласын пайдалануға болады.
Сонда
Жауабы: Барлығы 60 сан жазуға болады.
4-есеп. Гүл дүкенінде 3 түрлі гүлдер бар. Алынған 7 гүлден қанша әдіспен букет жасауға болады?
Шешуі: Сатып алынған гүл саны 7-ге тең. Сондықтан жасалған букет 7 гүлден тұрады. Ал осы букетке үш түсті гүлдердің әрбір түсінен бірнеше гүл кіруі мүмкін. Олай болса қайталанбалы терулер формуласын пайдаланып
Жауабы: 36 әдіспен букет жасауға болады.
5-есеп. Екі 4 және 5 цифрларының көмегімен әртүрлі үш орынды қанша сан жазуға болады?
Шешуі: Барлығы екі 4 және 5 цифрлары берілгендіктен іздеп отырған комбинацияларды бірден жазуға болады: 444, 445, 454, 544, 555, 554, 545, 544 барлығы 8 сан болады. Ал осы жауапты қайталанбалы орналастыруды пайдаланып та алуға болады.
Жауабы: Барлығы 8 сан жазуға болады.
1 ─ Сурет Эйлер-Венн диаграммаларымен бейнелеген қолайлы.
Сонымен бірге, әрбір А және В оқиғалары үшін:
1) ;
2) теңдіктері орындалады.
Дәлелдеу.
1) Айталық, болсын.
Онда. Осыдан және оқиғалары бірдей элементар оқиғалардан құралғанын көреміз, яғни .
2) Осы сияқты дәлелденеді
2. Оқиғалар және олардың ықтималдығы
2.1 Оқиға ықтималдығы
Жоғары лақтырылған теңге не сан жағымен не елтаңба жағымен түседі. "Сан жағымен түсу" оқиғасы "елтаңба жағымен түсу" оқиғасын болдырмайды. Осы екі оқиға бір-бірімен үйлесімсіз. Ойын сүйегі бір рет лақтырғанда түскен кез келген сан басқа санның түсуін болдырмайды. Орындалуы мүмкін алты оқиға өзара үйлесімсіз. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
М.Өтемісов атындағы Батыс-Қазақстан мемлекеттік университеті
Физика - математика факультеті
Физика және математика кафедрасы
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Оқиғаның ықтималдығы
Орындаған: Абай Т.Т.
Жетекші: физика және математикака
кафедрасының оқытушысы,
магистр Мухамбетова Б.Ж
Орал, 2017 жыл
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1. Ықтималдықтар теориясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.1 Қысқаша тарихы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.2 Оқиға ұғымы және оның түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .7
1.3 Элементар оқиғалар. Оқиғалар кеңістігі ... ... ... ... ... ... .. ... ...8
2. Оқиғалар және олардың ықтималдығы ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
2.1 Оқиға ықтималдығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .12
2.2 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы ... ... ... ... ... ... . .12
2.3 Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы ... ... ... ... ... ..15
2.4 Ықтималдықтар теориясының аксиомалары ... ... ... ... ... ... 17
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... 21
Кіріспе
Тақырыптың өзектілігі:
Қазіргі кездегі ғылым мен техниканың қарыштап өсуі дәуірінде ықтималдықтар теориясының әдістері практиканың сан алуан салаларында кеңінен қолданылып, физика, химия, биология құбылыстарының, техника мен экономика процестерінің заңдылықтарын жан-жақты және терең түсінуге орасан зор ықпалын тигізуде.
Кез келген ғылымның оның ішінде экономикалық ғылымның негізгі мақсаты өмірдей процесстер бағынатын заңдылықтарды жауып және зерттеу.
Экономикаға қатысы бар табылған заңдылықтардың тек қана теориялық маңызды емес, онымен қатар олар практикада да - жоспарлауда, басқаруда және болжауда да қолданылады.
Ықтималдықтар теориясы - математикалық ғылым, ол кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейді.
Бұл тарауды оқып үйренудегі ерекшелік, ықтималдықтың негізгі формулаларын оқып үйренеді.
Курстық жұмыстың мақсаты: Ықтималдықтар теориясы әдістері барлық жаратылыстану және техниканың әр түрлі салаларында талдауға, үлгілеуге оқытылу қажеттілігі: сенім теориясында, бұқараға қызмет ету теориясы, автоматтың басқару теориясында , жалпы байланыс саласында және тағы да басқа қолдаңбалы және теориялық ғылымдарда қолданылады.
Курстық жұмыстың нысаны: Ықтималдық теориясы пәнін оқу үрдісі.
Курстық жұмыстың пәні: Ықтималдық теория сабағының оқыту мазмұны.
Курстық жұмыстың болжамы: ХХ ғасырдағы тибиғаттану ғылымының келбеті есептелетін кибернетиканың өзі ықтималдық теориясына негізделеді. Сондықтан кездейсоқ оқиғаның математикалық моделін жасаудың алғы-шарты үлкен сериялы сынақтарда кездейсоқ оқиға жиілігінің тұрақты болуына әкеледі. Олай болса, тәжірбиеден алынған нәтиже зауыттың технологиялық процестеріне байланысты заңдылықтарды көрсетеді, ол тек кездейсоқ құбылыстарға тән.
Курстық жұмыстың міндеті: Математикалық статистиканы негіздеуге, өз кезегінде өңдірісті жоспарлау және ұйымдастыру мәселелерінде, технологиялық процесстерді талдағанда, сапалы өнімді сақтау және қабылдау бақылауларында пайдалануға қызмет ету.
Курстың міндетіне сонымен қатар жатады:
oo Кездейсоқ оқиғалар бақыланатын құбылыстарды аңғаруға, айыруға үйрету.
oo Ықтималдықтар теориясының орнықты қорытындысы туралы түсінік беру.
oo Үлкен маңызы бар үлкен сандар заңы, орталық шектік теоремасы туралы
Курстық жұмыстың теориялық мәні: Оқиға ықтималдылығы тарауын оқытуда ықтималдықтың негізгі ұғымын уйрету, олардың логикалық ойлау қабілетін қалыптастыруды одан әрі жалғастыру және олардың ықтималдылықтың анықтамасын, аксиомасын өткен кезде қолдана алуына жағдай жасау.
Курстық жұмыстың құрылымы: кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1. Ықтималдықтар теориясы
1.1 Қысқаша тарихы
Ықтималдықтар теориясы жөніндегі жүмыстар ХVII-ғасырда жарық көре бастады. Сол кезде карта,рулетка, т.б сияқты әуесқой ойындардың Еуропада кең таралуына байланысты әрбір ойыншы өзі ұтылмаудың әдістерін іздестірді. Ол ізденушілерден нәтиже шықпаған соң, сол кездегі математиктер бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалардың әрбір жағдайға байланысты болу ықтималдығын сандар арқылы көрсеткілері келеді.
Әуесқой ойындардың әр түрлі әдіс- тәсіліндегі ықтималдықтарын есептеу бойынша тұңғыш еңбектер жазған Франция оқымыстылары Блеэ Паскаль, Пьер Ферма, голландиялық Христиан Гюйгенс болды. Ықтималдықтар теориясы жөнінде бірінші рет тереңірек зерттеу жүргізген Швейцария математигі Яков Бернулли еді.
ХVIII ғасырдың аяғы мен XIX ғасырдың басында гоедезия мен астрономияның өркендеуіне байланысты, ондағы өлшеу қателіктерін бағалау үшін, немесе ату теориясына снарядтардың керек екенін есептеу үшін ықтималдықтар теориясы өте қажет болды. Бұл мәселелермен ағылшын оқымыстысы А.Муавр, француздар П.Лаплас ,С.Пуассон, неміс оқымыстылары К.Гаусс, орыс математиктері Л.Эйлер, ағайынды Н.Бернулли, Д.Бернулли шұғылданды. XIX ғасырдың ортасында орыс оқымыстылары П.Л.Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А.Марков бельгия оқымытысы А.Кетле, ағылшын ғалымы Ф.Гальтон, австриялық Л.Больцман ықтималдықтар теориясына елеулі үлестер қосты. Бұл математиктердің еңбектері қазіргі жиындар теориясы, нақты айнымалылар функциясының теориясы, функциялық анализ сияқты жоғарғы математиканың жаңа табыстарына сүйенетін ықтималдықтар теориясының өркендеуіне негіз салды.
Ықтималдықтар теориясында табысқа жеткен оқымыстылардың бәрін бірдей атап өту мүмкін емес, дегенмен А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, С.Н.Бернштейн, Н.Винер, В.Феллер, Дж.Дуба, Э.Борель сияқты дүние жүзіне әйгілі оқымыстыларды атай кетпесе және болмайды. Ықтималдықтар теориясына тікелей негізделген математикалық статистикалық дамуына совет оқымыстылары Е.Е.Слуцкий, А.Н.Колмогоров, В.Н.Романовский, А.В.Леонтович, А.К.Метропольский және т.б. зор үлес қосты. Ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты оның физикада, техникада, химияда, экономикада қолданылуы былай тұрсын, тіпті медицинада, лингвистика,ауыл шаруашылығында қолданылу мүмкіндігі де үздіксіз өсіп келеді. Жалпы алғанда ықтималдықтар теориясының әдісін пайдаланбайтын ғылым саласы жоқ деп айтуға болады. Математиканы пайдалана білген ғылым ғана өз шыңына дейін дами алады- деп К.Маркс тегін айтпаған. Ықтималдықтар теориясы көп ғылымдарға бұл мүмкіндікті туғызып отыр.
Кездейсоқ құбылыстарға математикалық тұрғыдан қарау Паскаль мен Фермаға дейін болған. Демографиялық құбылыстар және адамдарды азық-түлікпен қамтамасыз етуге байланысты кездейсоқ құбылыстардың салыстырмалылық жиілігінің біркелкілік фактілері Ежелгі Қытай мен Римде белгілі болған. Кездейсоқ құбылыстарды нақты әдістердің көмегімен анықтау мүмкіндігін Кордино мен Галилей де қарастырған. Паскаль, Ферма және Гюйгенстен бастап, кездейсоқ оқиға және оның ықтималдығы туралы математикалық ғылым - ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдары қалыптаса бастады.
ХХ - ғасырдың екінші жартысынан бастап құбылыстардың сандық өлшемдері әртүрлі процестердің, атап айтсақ, өндірісті математикалық модельдеу мен ғылыми шығармашылықтың алғашқы шарты болды, яғни ықтималдық ерекше маңызға ие болды. Оқиға туралы ғылым көптеген мамандық иелерінің: инженерлер, экономистер, дәрігерлер және басқа да саладағы мамандардың ортасына енді. Бүкіл әлемде осы ғылымға қызығушылықтың артқаны соншалық, тіпті ықтималдық теориясы жиі қолданылатын болды деп айтсақ, қателеспейміз.
Ықтималдық теориясының негізгі мағынасын ашып,ықтималдықтың жиілік теориясының негізгін салған - белгілі неміс математигі Р.Мизес.Ол ықтималдық теориясын математика пәні емес, математикалық әдістерде кең қолданылатын ғылым қатарына қосты. Р.Мизес: Әр ықтимлдыққа берілген есеп кейбір шынайы процестермен байланысқан, - деп айтқан. Қазіргі ықтималдық теориясының дамуы, әсіресе А.Н.Колмогоровтың еңбегінде, ықтималдық теория жоғарғы математиканың тарауларымен: жиын теориясы, функция теориясы, функционалдық талдау және т.б. нақты математикалық ықтималдықпен тығыз байланысқан.
Қазір ықтималдық теориясының әдістері қолданылмайтын сала жоқ. Ықтималдық статистика әдістерін қолдану көптеген ғылым салаларында дәстүрлі бағыт болуда. Оларға физика, геодизия, өлшеу теориясы т.с.с жатады. Кейбір комбинаторикалық еептермен ежелгі грек математиктері де айналысқан. Дегенмен бұл саладағы маңызды нәтижелерді алгебра мен ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты ғасыр математиктері ала бастаған. Алғашында ықтималдықтар теориясы, негізінен, құмар ойындардың мұқтаждығынан туындаған. Мәселен, ғасыр Людовик тұсында құмар ойындардың шынайы әуесқойы Кавалер де Мере үш ойын сүйегін қатар тастау нәтижесінде қосындысында ұпайдан гөрі ұпайдың жиірек түсетінін байқаған. Бірақ оның ойынша бұл ұпайлардың екеуін де әр түрлі комбинациямен алуға болады деп санаған.
ұпай үшін:
ұпай үшін:
Де Меренің қатесін француз математигі Блез Паскаль көрсетті. Де Мере көрсетілген комбинацияларды өзара тең мүмкіндікті оқиғалар деп есептеген. Ал шын мәнінде бұлар тең мүмкіндікті оқиғалар емес.
1.2 Оқиға ұғымы және оның түрлері
Адам күнделікті өмірінде дүниені таны білу барысында үнемі кездейсоқ жағдайларды байқайды. Бұл кездейсоқтықтар өмірдің даму заңдылығына кедергі келтірмейді керісінше кездейсоқтық пен заңдылық бір-біріне әсер етіп өмірдің дамуына себепші болады. Экономикадағы табылған заңдылықтардың теориялық құндылығымен қатар практикалық қолданысының да - жоспарлауда, басқаруда, болжауда - маңызы зор.
Бастағалы отырған "Ықтималдықтар теориясы" тарауы өмірдегі кездейсоқтықтарды зерттеп олардың заңдылықтарын ашады. Ықтималдықтар теориясы өз бастауын XVII ғасырдан алады. Алдымен азартты ойындар пайда болды. Араб тілінде "азар" деген сөз "қиын" деген мағына береді. Арабтар ойнағанда "азар" деп лақтырылған ойын сүйегінің екеуінде де алты ұпайдан түсуін айтады екен. Куб түріндегі ойын құралы ол кезде піл сүйегінен жасалатын болғандықтан "ойын сүйегі" деген атау сол заманнан қалыптасқан. Француздың атақты математиктері П.Ферма және Б. Паскальдың азартты ойындар жөніндегі зерттеулері ықтималдықтар теориясының негізі қалады.
Кездейсоқ оқиға. Ғылымның қандай саласы болмасын өз зрттеуінде қандай да бір ұғымдарды басшылыққа алады соған сүйенеді. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымы - оқиға.
Белгілі бір шарттар орындалғанда пайда болатын құбылысты оқиға дейміз. Осы шарттарды іске асыруды сынақ тәжірибе не бақылау жүргізу дейміз. Мысалы, лақтырылған металл теңгенің түсуін бақылайық. Теңгені қисық емес симметриялығы сақталған басқа бір жаққа дөңгелеп жоқ болып кетпейді қырымен тұрып қалмайды деп есептейміз. Осы шарттар орындалғанда біз теңгені лақтырып тәжірибені қалауымызша көп қайталай аламыз. Ал пайда болатын құбылыс - теңгенің сан жағымен немесе елтаңба жағымен түсуі - оқиға болады.
Анықтама. Сынақ нәтижесінде орындалуы да орындалмауыда мүмкін болатын оқиғаны кездейсоқ оқиға дейміз.
Кездейсоқ оқиғаларды латын алфавитінің А, В, С бас әріптерімен белгілейді
Анықтама. Сынақ нәтижесінде міндетті түрде болатын оқиға ақиқат оқиға деп, ал сынақ нәтижесінде ешқашан орын - далмайтын оқиға жалған оқиға деп аталады.
Әдетте ақиқат оқиғаны U, ал жалған оқиғаны V әріптерімен белгілеу қабылданған.
Анықтама. Кездейсоқ оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы басқасының пайда болуын жоққа шығарса олар өзара үйлесiмсiз деп аталады. Ал оқиғалардың біреуінің пайда болуы басқасының пайда болуына әсер етпесе олар өзара үйлесiмдi деп аталады.
Тәжірибе нәтижесінде пайда болатын барлық мүмкін оқиғалар элементар оқиғалар жиынын құрайды. Элементар оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз болса, олар оқиғалардың толық тобын құрайды дейді.
1.3 Элементар оқиғалар. Оқиғалар кеңістігі
Тәжірибеге қойылатын негізгі шарт оның мүмкін болатын нәтижесін көрсете білуімізде. Ал тәжірибе жүргізілгенде мүмкін болатын нәтижелердің тек бірі ғана пайда болуын элементар оқиға дейді де оны еі арқылы белгілейді. Элементар оқиғалар - әрі қарай жіктелмейтін оқиғалар. Ал сынау нәтижесі тек бір ғана элементар оқиғамен көрсетіледі. Тәжірибенің барлық мүмкін болатын нәтижелері жиынын элементар оқиғалар кеңістігі деп атайды. Мұны {w} арқылы белгілейді. Элементар оқиғалар {w} жиынының әрбір ішкі жиыны оқиға деп аталады. Оларды А,В,С, әріптерімен белгілейді. Мысалы, кубты лақтырғанда барлық мүмкін нәтижелер жиыны {w}={e1, e2,e3, e4, e5, e6} - элементар оқиғалар кеңістігі. Осы жиында {w} анықталған оқиғалар қарастырылады:
а) Нөмірлері 3-тен артық болмау А={e1, e2,e3} оқиғасын құрайды, .
б) Тақ нөмерлі ұпайлар В={e1,e3, e5} оқиғасын құрайды,және т.с.с.
Элементар оқиғалар кеңістігінің геометриялық кескінін қандай да бір кеңістік десек, онда элементар оқиғалар осы кеңістіктің нүктелері болады. Евклид геометриясын құрғанда нүкте және түзу анықталмайтын бастапқы ұғымдар деп қарастырған сияқты, ықтималдықтар теориясында да элементар оқиғалар кеңістігін және оның нүктесін бастапқы ұғымдар деп қарайды.
Айталық ойын кубын лақтыру тәжірибесі жүргізілсін, онда ,ал - цифрлар жазылған ойын кубының жақтарының пайда болуы, сол сияқты теңге лақтыру тәжірибесінде
Енді ойын кубын лақтырғанда пайда болатын кейбір оқиғаларды қарастыралық:
-үш санына еселі цифр жазылған ойын кубының жақтарының пайда болуы;
- тақ сан жазылған жақтың пайда болуы;
- жұп сан жазылған жақтың пайда болуы;
.Мұнда және -кездейсоқ оқиғалар, {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5 , ω6 }- ақиқат оқиға,себебі сынақ нәтижесінде ωi оқиғаларының біреуі міндетті түрде пайда болады.
Сынау нәтижесінде сөзсіз пайда болатын оқиғаны ақиқат оқиға десек, онда оны барлық элементар оқиға кеңістігімен теңестіруге болады. Сынау нәтижесінде сөзсіз пайда болмайтын оқиғаны мүмкін емес оқиға десек, онда мұны бір де элементар оқиғасы жоқ бос жиын деуге болады.
Сынау нәтижесінде мүмкін оқиғалардың әйтеуір біреуінің сөзсіз пайда болуы ақиқат болса, ондай оқиғаны жалғыз ғана мүмкіндікті оқиға деп атайды. Жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар оқиғалардың толық тобын немесе оқиғалардың толық жүйесін құрады.
1-есеп. Ұйымда 6 ер адам, 4 әйел адам жұмыс істейді. Табельдегі нөмірлері бойынша 7 адам таңдап алынды. Таңдап алынған адамдардың ішінде 3 әйел бар болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Табельдегі нөмірлері бойынша барлығы 10 адамнан 7 адам таңдап алудың жалпы саны 10 элементтен 7 элемент бойынша алынған терулер саны сияқты есептелінеді, яғни
n=
Ал 3 әйелді табельдік нөмерлері бойынша 4 әйелдің ішінен таңдап алудың саны
m=C
Сондай-ақ 6 ер адамнан 4 ер адам таңдаудың саны
m=C
Енді көбейту ережесін пайдалансақ таңдап алынған 7 адамның ішінде 3 әйел 4 ер адам болу мүмліндіктерінің жалпы саны тең.
Сонымен анықталғалы отырған ықтималдық
Бұдан былай ықтималдықтың анықтамасын пайдаланып есептер шығарғанда, әуелі оқиғаны белгілі бір әріп арқылы белгілеп алу қажет. Содан кейін тең мүмкінді, үйлесімсіз элементарлық оқиғалардың жалпы санын, сосын қолайлы элементарлық оқиғалар санын есептеген жөн.
2-есеп. Қорапта бірдей 5 бұйым бар. Оның үшеуі боялған. Қораптан кез-келген екі бұйым алынды:
1) алынған екі бұйымның біреуі боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек;
2) алынған бұйымның екеуі де боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: 1) қорапта 5 бұйымның екеуін барлығы n=Cтәсілмен алуға болады, ал алынған екі бұйымның біреуі боялған болса, сол бір боялған, бір боялмаған бұйымдарды сәйкес m=C m=C тәсілмен алуға болады. Сонда екі бұйымның бірі боялған болудың барлық қолайлы элементарлық оқиғалар саны
Сөйтіп Р=
2) алдыңғы пунктегі шығару жолын пайдаланып
Сонда
3-есеп. Мына 5;3;1;5;5;1 цифрлардың көмегімен алты таңбалы қанша сан жазуға болады.
Шешуі: Берілген алты цифрды үш группаға бөлеміз: 1; 1, 3; 5, 5;5.
Есептің шартына қайталанбалы алмастырулар формуласын пайдалануға болады.
Сонда
Жауабы: Барлығы 60 сан жазуға болады.
4-есеп. Гүл дүкенінде 3 түрлі гүлдер бар. Алынған 7 гүлден қанша әдіспен букет жасауға болады?
Шешуі: Сатып алынған гүл саны 7-ге тең. Сондықтан жасалған букет 7 гүлден тұрады. Ал осы букетке үш түсті гүлдердің әрбір түсінен бірнеше гүл кіруі мүмкін. Олай болса қайталанбалы терулер формуласын пайдаланып
Жауабы: 36 әдіспен букет жасауға болады.
5-есеп. Екі 4 және 5 цифрларының көмегімен әртүрлі үш орынды қанша сан жазуға болады?
Шешуі: Барлығы екі 4 және 5 цифрлары берілгендіктен іздеп отырған комбинацияларды бірден жазуға болады: 444, 445, 454, 544, 555, 554, 545, 544 барлығы 8 сан болады. Ал осы жауапты қайталанбалы орналастыруды пайдаланып та алуға болады.
Жауабы: Барлығы 8 сан жазуға болады.
1 ─ Сурет Эйлер-Венн диаграммаларымен бейнелеген қолайлы.
Сонымен бірге, әрбір А және В оқиғалары үшін:
1) ;
2) теңдіктері орындалады.
Дәлелдеу.
1) Айталық, болсын.
Онда. Осыдан және оқиғалары бірдей элементар оқиғалардан құралғанын көреміз, яғни .
2) Осы сияқты дәлелденеді
2. Оқиғалар және олардың ықтималдығы
2.1 Оқиға ықтималдығы
Жоғары лақтырылған теңге не сан жағымен не елтаңба жағымен түседі. "Сан жағымен түсу" оқиғасы "елтаңба жағымен түсу" оқиғасын болдырмайды. Осы екі оқиға бір-бірімен үйлесімсіз. Ойын сүйегі бір рет лақтырғанда түскен кез келген сан басқа санның түсуін болдырмайды. Орындалуы мүмкін алты оқиға өзара үйлесімсіз. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz