Монотонды функциялар

Кіріспе

Алдымен кейбір терминдерді тыянақтап алайық.
[а, b], [а, b), (а,b], (а,b) жиындарын ортақ атпен аралық деп атпн. <а,b> таңбасымен белгілейміз. Сондай-ақ, мына терминдердің де мағынасын тыянақтап алайық:
<а,b> аралығында жатқан кезкелген нүктелері үшін болса, онда осы аралықта функциясы өспелі функция деп, ал болса, онда осы аралықта кемімелі функция деп айтатын боламыз.
Егер осы жағдайда (немесе ) теңсіздігі орындалса, онда функциясы <а,b> аралығында шынайы өспелі (шынайы кемімелі) функция деп айтатын боламыз.
Өспелі, не кемімелі функция жалпы атпен монотонды функция деп аталады.
Монотонды функцияның таңбасын өзгертсе, оның өзгеру бағыты керіге ауысатындығы (мысалы, өспелі болса, онда кемімелі болатындығы) түсінікті. Сондықтан, ілгеріде монотонды функцияларды зерттегенде тек өспелі функцияларды қарастырса жеткілікті.
Монотонды функцияларға тән бірқатар қасиетгерге тоқталайық.
1-қасиет. Егер [а, b] кесіндісінің әрбір нүктесінде - ақырлы және осы кесіндіде өспелі болса, онда ол осы кесіндіде шенелген функция.
Шынында да, кезкелген үшін .
(Егер - кемімелі функция болса, онда екендігі де айқын).
2-қасиет. Кесіндіде мәндері ақырлы монотонды функцияның тек қана бірінші текті үзіліс нүктелері болуы мүмкін және үзіліс нүктелері ақырлы не саналымда жиын құрайды.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:

Монотонды функциялар
Алдымен кейбір терминдерді тыянақтап алайық.
[а, b], [а, b), (а,b], (а,b) жиындарын ортақ атпен аралық деп атпн. а,b
таңбасымен белгілейміз. Сондай-ақ, мына терминдердің де мағынасын тыянақтап
алайық:
а,b аралығында жатқан кезкелген нүктелері үшін болса,
онда осы аралықта функциясы өспелі функция деп, ал болса, онда
осы аралықта кемімелі функция деп айтатын боламыз.
Егер осы жағдайда (немесе ) теңсіздігі орындалса, онда
функциясы а,b аралығында шынайы өспелі (шынайы кемімелі) функция
деп айтатын боламыз.
Өспелі, не кемімелі функция жалпы атпен монотонды функция деп аталады.
Монотонды функцияның таңбасын өзгертсе, оның өзгеру бағыты керіге
ауысатындығы (мысалы, өспелі болса, онда кемімелі болатындығы)
түсінікті. Сондықтан, ілгеріде монотонды функцияларды зерттегенде тек
өспелі функцияларды қарастырса жеткілікті.
Монотонды функцияларға тән бірқатар қасиетгерге тоқталайық.
1-қасиет. Егер [а, b] кесіндісінің әрбір нүктесінде - ақырлы және
осы кесіндіде өспелі болса, онда ол осы кесіндіде шенелген функция.
Шынында да, кезкелген үшін .
(Егер - кемімелі функция болса, онда екендігі де айқын).
2-қасиет. Кесіндіде мәндері ақырлы монотонды функцияның тек қана
бірінші текті үзіліс нүктелері болуы мүмкін және үзіліс нүктелері ақырлы не
саналымда жиын құрайды.
Дәлелдеуі. Егер [а, b] кесіндісінде функциясы монотонды өспелі
(функция болса, онда әрбір және үшін2 өспелі және
жоғарыдан шенелген тізбек. Сондықтан бар, яғни х0 нүктесінде
функциясының солжақты шегі анықталған. Осыған ұқсас,
функциясының х0 нүктесіндегі оңжақты шегі де бар. Ал
функцияның х0 нүктесіндегі мәні болса, онда, монотонды өспелі
болғандықтан,

(1)

(Егер не болса, онда (1)
теңсіздіктерінің гек екіншісі, ие сәйкес біріншісі ғана мағыналы болады),
Осы теңсіздіктердегі үш сан өзара тең болса, онда нүктесінде
функциясы үздіксіз функция. Демек, басқа жағдайда бірінші текті
үзіліс нүктесі. Теңсіздік (1) нақты жағдайда мына түрлердін бірінде болуы
мүмкін
(а)
(б)
(в)
(а) жағдайында х0 нүктесінде функциясы алдымен
санына, сонан кейін бірден санына "секіріп" өседі (1-сурет).

Сонымен а) жағдайында х0 нүктесінде функцияның жалпы өзгеруі

санына тең. Осыған ұқсас, (б), (в) жағдайларында да функцияпық х0
нүктесіндегі өзгеруі
(1)
санына тең. Осы санды функциясының х0 нүктесіндегі секірісі деп
атаймыз.
Әрбір үзіліс нүктесі және интервалы
арасында бірмәнді сәйкестік бар.

монотонды өспелі функция болғандықтан кезкелген үзіліс
нүктелеріне сәйкес интервалдар
және
қиылыспайды, себебі, болғандықтан . Ал, 1- қасиет бойынша
функциясының мәндері түгел кесіндісінде жатқандықтан, осы
интервалдар да кесіндісіндс жатады, демек олар, ең көп дегенде,
саналымды жиын құрайды.
Салдар. Кесіндіде монотонды функция осы кесіндінің барлық нүктелерде
дерлік үзіліссіз болады.
Келесі қарастырылатын мәселе - монотонды функциянық туындысы барлық
нүктелерде дерлік бар болуы.
Осыған байланысты, қайсы бір х0 нүктесінің маңайында анықталған
функциясының осы нүктедегі туындылық сандарының анықтамасын берейік. Олар
төмендегі теңдіктермен анықталады:
(2)
(3)
(4)
(5)
Мұндағы

Бұл (2)-(5) шектерінің мәні - ақырлы, не ақырсыз - әрқашан бар болады.
Осы тұжырымды дәлелдейік. (2) - (5) теңдіктің біреуі үшін, мысалға
(2) теңдігі үшін дәлелдесек болды. Қалғандары ұқсас жолмен дәлелденеді.
Егер болса, онда екені айқын.
Осыдан,

демек, кезінде а-ға тәуелді кемшелі функция, сондықтан оның
шегі

бар (ақырлы не ақырсыз).
Осы (2)-(5) теңдіктерімен анықталған төрт сан жазылу ретіне сәйкес
солжақты жоғарғы туындылық сан, оңжақты жоғарғы туындылық сан, солжақты
төменгі туындылық сан, оңжақты төменгі туындылық сан деп аталады.
Мысал ретінде

функциясын қарастырайық. Бұл функция х = 0 нүктесінде үзіліссіз, бірақ
туындысы жоқ. Сөйтсе де, осы нүктеде туындылық сандарының төртеуі де
ақырлы, атап айтқанда,
(6)
(7)

болатынын дәлелдеу қиын емес.
Екінші мысал ретінде

функциясын қарастырып,

екенін көреміз.
Сонымен, осы мысалдарда қарастырылған функциясының оңжақты және
солжақты жоғарғы туындылық сандары тең, сондай-ақ, төменгі туындылық
сандары да өзара тең болды. Ал функциясының біржақты жоғарғы
және төменгі туындылық сандары өзара тең. Егер

болса,онда яғни
функциясының х = 0 нүктесіндегі туындылық сандары әртүрлі екенін көреміз.
Анықтама. Егер болса, онда олардың ортщ мэнін арқылы
белгілейміз де, оны функциясының х0 нүктесіндегі жоғарғы туындысы деп
атаймыз.
Осыған ұқсас,

санын функциясының нүктесіндегі төменгі туындысы деп атаймыз.
Жоғарыдағы бірінші мысалда Туындылық сандардың кейбір
қарапайым қасиетгерін атап өтейік.
1. Егер функциясы х0 нүктесінің маңайында өспелі болса, онда
екені айқын, демек туындылық сандардың бәрі де бұл нүктеде теріс емес.
Осыдан, бұл жағдайда
(10)
теңсіздіктері шығады.
2. Егер болса, онда х0 нүктесінде функциясының
туындысы бар және .
Басқаша айтқанда, жоғарғы және төменгі іуындылардың х0
нүктесінде өзара тең болуы осы нүктеде туындысының болуының қажет және
жеткілікті шарты.
Дәлелдеуі. Анықтама бойынша Супремумның анықтамасы
бойынша а 0 үшін
болатындай {tп} тізбегі табылады.
Сондықтан
демек, егер бар болса, онда кезкелген тізбегі үшін, оның ішінде
тізбегі үшін,
Ұқсас жолмен екендігі дәлелденеді, демек,
Керісінше, егер болса, онда

Функцияның нүктедегі жоғарғы және төменгі шектерінің тең болуы бұл
функцияның осы нүктеде шегі бар екендігіне пара-пар болатыны анализден
белгілі. Сондықтан (11) теңдіктен

яғни жоғарғы және төменгі туындылары бар нүктеде функцияиым туындысы бар.
Мақсатымыз осыны дәлелдеу еді.
1-лемма. Функция [а,b] кесіндісінде шынайы өсетін болсын, Егер жиын Е
(а,b) мен р0 0 саны үшін теңсіздігі әрбір хЕ үшін
орындалатын болса, онда

Дәлелдеуі. Кезкелген р0 0 және сандарын алайық! 11 пункттегі 1-
теорема бойынша және шарттары орындалатындай жиыны
табылады. Лемманың шарты бойынша кезкелген үшін
(12)

демек, болғандықтан
(13)
болатындай а 0 табылады. ашық жиын және болғандықтан, а санын
жеткілікті аз етіп алсақ, онда . Енді және талаптарына сай
{һп}тізбегін алайық. Әрине һп = һп (х) әрбір Е үшін өзінше тізбек.
Төменгі туынды бар дегеніміз және сандары бар және екеуі тең
деген сөз. Сондықтан һп 0 деп алсақ та шек (12) төменгі туындыға тең
болады. Сонымен һп 0 деп жорып, мына кесінділерді қарастырайық:
(14)

Мұнда Е және N. функциясы шынайы өсетін және һп 0,
болғандықтан, кесінділерінің ешқайсысы нүктеге айналмайды
(басқаша айтқанда олар мардымды кесінділер). арқылы функциясының
Е жиынында қабылдайтын мәндерінің жиынын : белгілейміз. Көрер көзге, әрбір
Е үшін Ап(х) және Вп(х), демек
В = { Вп(х)}, яғни Е, N шарттарына сәйкес барлық кесінділер
жиыны жиынын Витали мағынасында бүркейді. Витали теоремасы бойынша В
жиынында өзара қиылыспайтын, ақырлы не ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.