Элементар функцияларды интегралдау


Жоспар.
Кіріспе.
Негізгі бөлім.
Элементар функцияларды интегралдау.
1. Алғашқы функция және анықталмаған интеграл
2. Дифференциалдық есептеудің негізгі формулалары.
Алғашқы функция және анықталмаған интеграл
Диффереициалдық есептеуде мәселе берілген функциянын туындысын немесе дифференциалын табу және олардын көмегімен функциялардың өзгерісін зерттеу болды. Интегралдық есептеуде мәселе керісінше қойылады: берілген туындысы немесе дифференциялы бойынша функциянын өзін табу. Демек, дифференциалдау және интегралдау бір біріне кері амалдар болып табылады.
Берілген туындысы немесе дифференциалы бойынша функцияның өзін табу проблемасы математикалык анализдің, жаратылыс тану ғылымдарының, олардың ішінде әсіресе физиканың, механиканын және техниканын алуан түрлі мәселелерінде жиі кездеседі.
Нақты айнымалы х-тің үздіксіз t(х) функциясы берілсін; туындысы осы берілген функцияға тең екінші бір Ғ(х) функцияны табу керек.
Қойылған шарт бойынша
Ғ'(х)=f(х), (1)
немесе бәрібір
d Ғ'(х)=f(х)dx, (2)

Осы шартты канағаттандыратын Ғ(х) функцняны f(х) функция үшін алғашқы немесе әуелгі функция деп атайды.
Енді бір көңіл жіберетін мәселе мына келесі теорема.
Теорема. Егер функция Ғ(х) мына t (х) функция ушін алғашқы функция болса, онда Ғ(х) + С да (мұнда С — кез кеген тұрақты сан) алғашқы функция болып табылады және керісінше, әрбір алғашқы функция осы Ғ(х) + С түрде сипатталынады.
Бұл теореманың бірінші бөлімінің дұрыстығын мына байқауға болады:
[Ғ(Х) + С]'-Ғ(х)'= f (х):
Енді екінші бөлімінің дәлелдеуіне келейік.
Ф(х) мыyа f(х) функция үшін кезкелген алғашқы функция болсын, онда

Ф’ (x)= f (x)
Пайдаланылған әдебиеттер.

1. О.А. Жәутіков. «Математикалық анализ» Алматы 1958ж

2. С.Б Әубәкір «Жоғары математика» Алматы 2004 ж

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге
Кепілдік барма?

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






Элементар функцияларды интегралдау
Алғашқы функция және анықталмаған интеграл
Диффереициалдық есептеуде мәселе берілген функциянын туындысын немесе
дифференциалын табу және олардын көмегімен функциялардың өзгерісін зерттеу
болды. Интегралдық есептеуде мәселе керісінше қойылады: берілген туындысы
немесе дифференциялы бойынша функциянын өзін табу. Демек, дифференциалдау
және интегралдау бір біріне кері амалдар болып табылады.
Берілген туындысы немесе дифференциалы бойынша функцияның
өзін табу проблемасы математикалык анализдің, жаратылыс тану
ғылымдарының, олардың ішінде әсіресе физиканың, механиканын және техниканын
алуан түрлі мәселелерінде жиі кездеседі.
Нақты айнымалы х-тің үздіксіз t(х) функциясы берілсін; туындысы осы
берілген функцияға тең екінші бір Ғ(х) функцияны табу керек.
Қойылған шарт бойынша
Ғ'(х)=f(х), (1)
немесе бәрібір
d Ғ'(х)=f(х)dx, (2)

Осы шартты канағаттандыратын Ғ(х) функцняны f(х) функция үшін алғашқы
немесе әуелгі функция деп атайды.
Енді бір көңіл жіберетін мәселе мына келесі теорема.
Теорема. Егер функция Ғ(х) мына t (х) функция ушін алғашқы функция
болса, онда Ғ(х) + С да (мұнда С — кез кеген тұрақты сан) алғашқы функция
болып табылады және керісінше, әрбір алғашқы функция осы Ғ(х) + С түрде
сипатталынады.
Бұл теореманың бірінші бөлімінің дұрыстығын мына байқауға болады:
[Ғ(Х) + С]'-Ғ(х)'= f (х):
Енді екінші бөлімінің дәлелдеуіне келейік.
Ф(х) мыyа f(х) функция үшін кезкелген алғашқы функция болсын, онда

Ф’ (x)= f (x)
Ендеше
[Ф(х)-F(x)]’= Ф(x)-F’(x) f(x)= f (x)- f (x)=0
бұл арадан
Ф(х)-F(x)’=C
Немесе
Ф(х)-F(x)’+C
Теорема дәлелденді.
Дәлелденген теоремадан біз мынадай қортындыға келеміз: барлық алғашқы
функцияларды білу үшін берілген f (x) функция үшін тек бір ғана аяғашкы
функция Ғ(х) таб болғаны, өйткені мына өрнек Ғ(х) + С олардын барлығын
қамтитын болады.
Осы Ғ(х) + С (мұнда С— кезкелген тұрақты сан) өрнекті f(х) функцияның
аныкталмаған интегралы атайды және оны былай белгілейді:
∫ f(х)dх-Ғ(х) + С
Мұнда f(х) функцияны интеграл таңбасы ішіндегі функция, ал мына f(х) dх
өрнекті интеграл таңбасы ішінцегі өрнек деп атайды. Ал dx-ті интегралдау
элементі дейді.
Мысалы, f(х) =x2онда
∫ f(х)dх= х3 + С
3
өиткені
[ х3 + С]=x2
3
Екінші мысал: f(х) =sin 2х, бұл функцняның янықталмаған интегралы
∫ sin 2х dx=cos2х + С
3

өйткені
[-cos2х + С] sin 2х.
3

Енді физикадан бір-екі мысал келтірейік.
a) t = 0 мезгілдін ішінде материалды нүкте М тік жоғары қарай vо бастапкы
жылдамдықпен лақтырылған. Ауанын кедергісін еске алмай және нүктенін
бастапқы жағдайы нольге тең деп есептеп, оның қозғалу занын табу керек.
Нүктенің үдеуі W= — g немесе,
v=∫ (-g)dх+C=-gt3 + С

Енді бізге кезкелген тұрақты С кің тиісті мәнін табу керек, ол
үшін табылған формуладағы t–нің орнына нольді қоямыз.
Сонда
vo=C
ендеше
v=-gt+ vo
Жылдамдықтың аныктамасы бойынша
ds =-gt+ vo
dt
бұл арадан
s- [(- gt+ vo)dt =- gt2+С1
2
өйткені
s- [(- gt+ vo)dt =- gt2+С1
2
Енді кезкелген тұрақты С1ді табу үшін, кейінгі формуладағы t-нің
орнына нольді қоямыз. Сондг С1 = 0, олай болса,
S=vot-gt2
2
Міне, осы табылған теңдеу айтылып отырған материалды нүктенің қозғалу
заңы болып табылады.
б) Радийдың ыдырау жылдамдығы оным өзіндегі заттың бүкіл мөлшеріне
пропорционал. Айталық, t0 мезгілдін ішінд егі радийдың мөлшері Rо болсын.
Кезкелген t мезгілдегі радийдың мөлшері қандай болу керек?

Есептегі сұралып тұрған мөлшерің R деп белгілесек, онда есептің
шарттары ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Анықталмаған интеграл және интегралдаудың негізгі әдістері
Рационал функцияларды интегралдау
Математикалық талдау
Еселі интегралдардың қолданулары
Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу
Орта мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі
Сызықты дифференциалдық теңдеулер
Иррационал функцияларды интегралдау
Қарапайым рационал бөлшек функцияларды интегралдау
Қатарлар туралы ақпарат
Пәндер