СИММЕТРИЯЛЫҚ ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

Жоспар
Кіріспе

1 Фредгольм теоремалары
2 Симметриялық ядролар және олардың кейбір қасиеттері
3 Ядроны қатарға жіктеу
4 Гильберт. Шмидт теоремасы
5 Симметриялық интегралдық теңдеуге келтірілетін интегралдық теңдеулер
6. БІРІНШІ ТЕКТІ ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
Вольтерраның бірінші текті теңдеуі
7 Абель теңдеуі

Ескерту. Егер біртекті интегралдық теңдеу нольдік емес бір шешімі бар болса, онда ол теңдеудің ақырсыз көп нольдік емес шешімдері бар болады, себебі те сол теңдеудің шешімі болады мұнда С- кез келген тұрақты шама.
Біртекті интегралдық теңдеудің меншікті мәні санына сәйкес сызықты тәуелсіз шешімдерінің саны ол мәннің рангі деп аталады. меншікті мән болсын, ал , , ... , функциялары сол меншікті мәнге сәйкес сызықты тәуелсіз меншікті функциялар болсын, яғни (62) теңдеуінің - ға сәйкес нольдік емес шешімдері былай жазылсын. Меншікті функциялардан тұрақты коэффициенттер арқылы түзілген сызықты комбинация да меншікті функция болғандықтан, бұл функцияларға ортогональдау процесін қолдануға болады. Демек, меншікті функцияларды өзара ортогональ және нормаланған деп айтуға болады.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 29 бет
Таңдаулыға:

4. 4. Фредгольм теоремалары.
Жоғарыдағы талқылаған мәселелер нәтижесінде келесі теоремаларды
тұжырымдауға болады.
1- теорема (Фредгольмнің 1- теоремасы). Егер ( регуляр сан, ал ядросы
үзіліссіз

(61)
біртекті емес интегралдық теңдеудің жалғыз ғана үзіліссіз шешімі бар
болады, ол шешім

формуласымен анықталады.
Бұл теоремадан салдар ретінде мынадай тұжырым шығады.
2- теорема. Егер ( регуляр сан болса, онда біртекті

(62)
теңдеудің тек нольдік яғни шешуі ғана бар болады. Сондықтан егер
біртекті (62) теңдеуінің нольдік емес шешімі бар болса, ол жағдай тек (
шектік сан болған жағдайда орындалады.
3- теорема. Егер (0 меншікті сан болса, онда біртекті (62) теңдеуінің
шешімі бар болады.
Дәлелдеуі. Меншікті мән (0 резольвентаның r еселі полюсі болсын, демек
резольвента мына Лоран қатарына жіктелсін:

мұндағы . Интеграл теңдеуді үшін Лоран қатармен ауыстырып, одан
кейін оның екі жағын - не көбейтіп, сонан соң деп алып,

теңдігін аламыз, яғни теорема орынды.
Егер жоғарыдағы (61) теңдеуіне түйіндес

теңдеуіне Фредгольм әдісін толығымен қайталасақ, оның да шешімін

түрінде анықтаймыз, мұндағы
.
Бұдан бөлшектің бөлімінде Фредгольм анықтауышы алымында х пен s- тің
орындары ауысқан анықтауышы тұрғанын байқаймыз. Сондықтан түйіндес
теңдеу мен жоғарыдағы (61) теңдеуінің меншікті сандары ортақ. Демек мына
тұжырым орынды.
4- теорема. Біртекті (62) интегралдық теңдеуі мен оған түйіндес

(63)
теңдеуі пара- пар (олардың бірдей шешімдері бар болады немесе екеуінің де
шешімі жоқ болады).
Ескерту. Егер біртекті интегралдық теңдеу нольдік емес бір
шешімі бар болса, онда ол теңдеудің ақырсыз көп нольдік емес шешімдері бар
болады, себебі те сол теңдеудің шешімі болады мұнда С- кез келген
тұрақты шама.
Біртекті интегралдық теңдеудің меншікті мәні ( санына сәйкес сызықты
тәуелсіз шешімдерінің саны ол мәннің рангі деп аталады. ( меншікті мән
болсын, ал , , ... , функциялары сол меншікті мәнге сәйкес
сызықты тәуелсіз меншікті функциялар болсын, яғни (62) теңдеуінің (- ға
сәйкес нольдік емес шешімдері былай жазылсын:
.
Меншікті функциялардан тұрақты коэффициенттер арқылы түзілген сызықты
комбинация да меншікті функция болғандықтан, бұл функцияларға ортогональдау
процесін қолдануға болады. Демек, меншікті функцияларды өзара ортогональ
және нормаланған деп айтуға болады.
Соңғы теңдікті

түрінде көшіріп жазайық. Міне бұл өрнектің сол жағы - тің
ортонормаланған меншікті функциялар системасы бойынша түзілген Фурье
коэффицинті екенін көреміз. Бессель теңсіздігі бойынша

ал бұл өрнектің екі жағын х бойынша a- дан b- ға дейін интегралдап,

теңсіздігін, одан кейін

өрнегін аламыз. Бұл теңсіздік меншікті санына сәйкес сызықты тәуелсіз
функциялар саны m соңғы теңсіздіктің оң жағынан (ақырлы саннан) аспайтынын
көрсетеді. Нәтижеде мына тұжырым орынды.
5- теорема. Кез келген меншікті мәнге сәйкес сызықты тәуелсіз
функциялар саны ақырлы, яғни кез келген меншікті санның рангі
шектелген.
6- теорема. Фредгольмнің 2- теоремасы Біртекті (62) интегралдық
теңдеуі мен оған түйіндес теңдеулердің сандары бірдей сызықты
тәуелсіз шешімдері бар болады; яғни ортақ меншікті сандардың
рангілері бірдей.
Дәлелдеуі. Теореманы қарсы жорып дәлелдейік. (62) теңдеуінің меншікті
мәні - ның рангі m, ал (63) теңдеуіндегі меншікті мәннің рангі
болсын. , , ... , және , ... ,
функциялары сәйкес түрде (62) және (63) теңдеулерінің сызықты тәуелсіз
шешімдері делік. Жоғарыда айтқандай, бұл жерде де ол шешімдерді
ортонормаланған деп аламыз.
Жаңадан ядро түзейік

(64)
және мына екі өзара түйіндес теңдеулерді жазайық:
,
.
(64) ядросына байланысты бұл теңдеулерді
, (65)
(66)
түрінде жазайық. функциясы (65) теңдеуінің шешімі болсын. Теңдеудің
екі жағын да функциясына көбейтіп, нәтижелерді х бойынша a- дан b- ға
дейін интегралдап, келесі теңдеуді аламыз:

Егер біз функциялары

теңдеулерінің шешімдері екенін және олардың ортонормаланғанын еске алсақ,
алдыңғы теңдеуді

түрінде жазамыз. Бұдан екенін ескеріп,

(67)
өрнегін аламыз. Демек, (67) шарттарын пайдаланып, (65) теңдеуін

түрінде жазамыз. Бұдан біз (65) теңдеуінің кез келген шешімі (62) теңдеуін
де қанағаттандыратынын көреміз. Олай болса, шешімі сызықты тәуелсіз
шешімдердің сызықты комбинациясы ретінде, яғни

түрінде өрнектеледі екен.
Енді барлық екенін көрсетейік. Ол үшін теңдіктің екі жағында
- ке көбейтіп, нәтижені х бойынша a- дан b- ға дейін интегралдап,

қатысын аламыз. Бұдан (67) өрнектерін ескеріп, екенін шығарамыз.
Сонымен , яғни біртекті теңдеудің тек нольдік шешімі ғана бар
болатынын көреміз.
Енді түйіндес теңдеудің нольге тең емес шешімі бар болатынын
көрсетейік. (66) теңдеуінде деп алып және , , ... , -
ортогональ функциялар системасы екенін ескеріп, оның үстіне

екнін пайдаланып,

теңдігін аламыз, яғни түйіндес теңдеудің шешімі. Демек, нәтижеде 3-
теоремаға қайшы тұжырымға келеміз. Бұл қайшылық болуы мүмкін
еместігін көрсетеді. Дәл осылай жағдайының да мүмкін болмайтынын
дәлелдей аламыз. Сондықтан , демек, Фредгольмнің 2- теоремасы
дәлелденді.
Енді ядроның меншікті мәні болған жағдайда біртекті емес (61)
теңдеуін зерттейміз. (61) теңдеуінің шешімі бар, ол деп қабылдайық.
Теңдеудің екі жағын да сәйкес түйіндес теңдеудің меншікті функциялары -
ке көбейтіп, одан кейін х бойынша a- дан b- ға дейін интегралдап,

өрнегін аламыз. Бұл жерде (63) теңдеуін пайдалансақ,
,
бұдан

(68)
шығады. Демек (61) теңдеуінің шешілуі үшін функциясы (68) шартын
қанағаттандыруы қажет, бұл шарттағы түйіндес функцияның
меншікті мәніне сәйкес меншікті функциялар. Енді осы (68) шарттарының
жеткілікті де болатынын көрсетейік. (68) шарты орынды деп қабылдайық.
ядросын (64) формуласы бойынша түземіз.
Біз жоғарыда саны бұл ядроның меншікті мәні емес екенін көрдік,
демек

(69)
теңдеуінің шешуі бар. Бұл теңдеуді мына

түрде жазып, оның екі жағын да функциясына көбейтіп, одан кейін х
бойынша a- дан b- ға дейін интегралдап,

өрнегін аламыз. Бұдан (68) шартын пайдаланып,

екенін көреміз.
Сонымен (69) теңдеуі (61) теңдеуіне келтірілді, яғни (69) теңдеуінің
шешімі (61) теңдеуінің де шешімі екен. Демек (68) шарттары жеткілікті
екенін дәлелдедік. Егер осы шарттар орындалса, онда біртекті емес (61)
теңдеуінің жалпы шешімі қандай да бір дербес шешімі мен біртекті
теңдеудің жалпы шешімінің қосындысынан тұрады:
,
мұндағы - тұрақты шамалар. Сөйтіп, бұл жағдайда (61) теңдеуінің
ақырсыз көп шешімдері бар болады. Дербес шешімін ядросының
резольвентасы арқылы анықтайды.
Міне бұл талқылаулар нәтижесінде мына тұжырымды дәлелдедік.
7- теорема. Фредгольмнің теоремасы. Егер (61) теңдеуінің
меншікті мәні болса, онда ол теңдеудің шешілуі үшін сол теңдеудегі
бос мүшесі (68) шартын қанағаттандыруы қажетті де жеткілікті.
(68) өрнектеріндегі функциялары (61) теңдеуіне түйіндес
біртекті теңдеудің меншікті функциялары. Егер (68) шарттар
орындалса, онда (61) теңдеуінің ақырсыз көп жиынды шешімі бар
болады да олар соңғы формуламен өрнектеледі.
Сонымен дәлелденген теоремаларды былай қорытындылауға болады.
1. Егер Фредгольмнің біртекті интегралдық теңдеуінің тек нольдік
шешімі ғана бар болса, онда оған сәйкес біртекті емес интегралдық теңдеудің
кез келген бос мүше үшін жалғыз ғана шешімі бар болады.
2. Берілген біртекті интегралдық теңдеу мен оның түйіндес интегралдық
теңдеуінің шешімдері бірдей нольге тең немесе нольге тең емес
болады. Бұған қоса олардың меншікті мәндерінің рангтері бірдей
болады.
3. Біртекті интегралдық теңдеудің нольге тең емес шешімдері бар болған
жағдайда, біртекті емес интегралдық теңдеудің шешімі бар болуы үшін
оның бос мүшесі түйіндес интегралдық теңдеудің меншікті
функцияларымен ортогональ болуы қажетті де жеткілікті.

5. СИММЕТРИЯЛЫҚ ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
1. Симметриялық ядролар және олардың кейбір қасиеттері
кеңістігінде

интегралдық теңдеуін қарастырайық. Егер нақты ядро шартын
қанағаттандырса, оны симметриялық ядро деп атайды. Мысалы,

симметриялық ядролар. Комплекстік ядросы шартын
қанағаттандырса, оны симметриялық эрмиттік ядро деп атайды. Ядросы
симметриялық ядро болатын интегралдық теңдеуді симметриялық интегралдық
теңдеу деп айтады.
Егер симметриялық (эрмиттік) ядро болса, онда бұл ядроның
қайталанған ядролары симметриялық болады. Расында, қайталанған ядро
анықтамасы бойынша

Дәл осылай жалпы жағдай үшін де бұл қасиеттің орынды екенін оңай көруге
болады.
Егер симметриялық эрмиттік ядро болса, онда Фредгольм орераторы

өзіне түйіндес, яғни болады. Расында
.
Біз бұдан былай нақты аргументті симметриялық ядроларды қарастырамыз.

2. Симметриялық ядролы интегралдық теңдеулердің негізгі қасиеттері
1-теорема. Симметриялық ядролы интегралдық теңдеулердің әр түрлі
меншікті мәндеріне сәкес меншікті функциялар өзара ортогональ.
Дәлелдеуі. Симметриялық ядроның меншікті мәндері мен
, ал пен оларға сәйкес меншікті функциялар болсын. Сонда
теңдеулері орынды. Бірінші теңдеуді , ал екіншіні
функциясына көбейткеннен соң олардың айырымын интегралдап, мына теңдікті
аламыз:

немесе
.
Бұл теңідеуде болғандықтан, ол тек болған жағдайда ғана орынды.
Теорема дәлелденді.
2- теорема. Симметриялық ядроның меншікті мәндері нақты сандар
болады.
Дәлелдеуі. Меншікті функциясына сәйкес меншікті мән -
комплекс сан деп ұйғарайық. Сонда теңдігі орынды. меншікті
функциясының меншікті мәні болатынын, яғни теңдігі орынды
екенін оңай байқауға болады. 1- теоремадан болғандықтан, , демек
. Сонымен саны функциясының меншікті мәні бола алмайды.
Ескерту. Меншікті функцияларды әрбірінің нормасына бөліп нормалауға
болады. Одан кейін, егер бір меншікті мәнге бірнеше сызықты тәуелсіз
меншікті функциялар сәйкес келсе, онда оларды Шмидтің ортогональдау әдісін
қолданып, өзара ортогоналдауға және нормалауға болады. 1- теоремадан әр
түрлі меншікті мәндерге сәйкес меншікті функциялар өзара ортогональ екенін
көргенбіз.
Демек, симметриялық ядроның меншікті функциялары жиынын
ортонормаланған система деп есептеуге болады. Бұдан былай, бір меншікті
мәнге бірнеше сызықты тәуелсіз меншікті функциялар сәйкес келетін жағдайда,
меншікті мәндер тізбегін жазарда, сол меншікті мәнге қанша меншікті функция
сәйкес келсе, сонша қайталап жазамыз. Бұдан кейін әрбір меншікті мәнге
жалғыз меншікті функция сай келеді деп айта аламыз. Сонымен қатар келешекте
меншікті мәндерді абсолют шамалары бойынша өсетіндей етіп реттеп жазамыз.
Егер меншікті мәндер ақырсыз көп болса, онда Фредгольм теоремасы
бойынша олардың шексіздікте шектік нүктелері болуы мүмкін, сондықтан,
жағдайда болады.
1- лемма. Екінші қайталанған ядроның меншікті мәндері жиыны сол
ядроның меншікті мәндерінің квадраттарының жиынынан тұрады.
Дәлелдеуі. ядросының меншікті мәні - ге сәйкес меншікті
функциясы болсын, сонда теңдігі орынды. Бұл теңдікке
операторын қолданып, теңдеуін аламыз. Одан кейін осы теңдеулерден

теңдеуі шығады. Бұл соңғы теңдеуден саны - ядросының
меншікті функциясын сәйкес меншікті мәні екенін көреміз.
Екінші жағынан ядросының меншікті мәні ал оған
сәйкес меншікті функциясы болсын, яғни шарты орындалсын. Бұл соңғы
теңдеуді

(70)
түрінде жазып және деп белгілейік. Мұнда болуы мүмкін. Бұл
жағдайда да дәлелденді.
1- лемманың салдары. Егер симметриялық ядро болса, онда
қайталанушы ядроның меншікті мәндері оң.
Ескерту. Дәл осылай қайталанған ядросының меншікті мәндерінің
жиынына ядросының n- дәрежелі меншікті мәндері жиыны дәл келеді.
3-теорема. Кез келген симметриялық ядроның кемінде бір меншікті мәні
бар болады.
Дәлелдеуі. Қайталанған ядросының кемінде бір меншікті мәні бар
екенін дәлелдейік, онда жоғарыда лемма бойынша - тың да меншікті мәні
бар болады.
Қайталанған ядро - тың жазықтығының болатындай
облысында меншікті мәні жоқ болсын (мұндағы - кез келген оң сан). Кез
келген функциясын алып,жаңадан
(71)
функциясын құрамыз. Әрине, . Қарсы жағдайда, яғни болса,
ядросының меншікті мәні болар еді де теорема дәлелденген болар еді.
Сондықтан (71) теңдеуін бос мүшесі ал белгісіз функция болған 2-
текті интегралдық теңдеу ретінде қарастырамыз. Бұл теңдеудің шешімі

мұндағы жоғарыдағы (71) теңдеудегі ядросының резольвентасы. Бұл
теңдіктің екі жағын да функциясына скаляр көбейтсек,
(72)
теңдігі шығады. Жоғарыда біз ядросының дөңгелегі ішінде
меншікті мәні жоқ деп ұйғардық, олай болса, резольвентасы - ға
қатысты бүтін функция, яғни оны

түрінде өрнектеуге болады. Бұл жағдайда (72) теңдігіндегі интеграл былай
жазылады:
,
мұндағы
.
Енді осы оң сан екенін көрсетейік. Соңғы өрнектен
.
Олай болса, (72) теңдігінен

және бұдан екені шығады., демек (71) теңдігінен

(73)
Енді ядросының ешқандай меншікті мәні жоқ деп ұйғарайық. Бұл
жағдайда санын жеткілікті мөлшерде үлкен етіп, яғни деп алуға
болады. Олай болса, (73) теңсіздігінен , яғни болады. Бұндай
кезде екенін дәлелдеу қиын емес. Расында, х- ті тұрақтылап, деп
алсақ,

екені шығады, яғни . Сонымен егер ядросының бірде- бір меншікті
мәні жоқ болса, онда екен. Демек, егер болса, онда
қайталанушы ядросының кемінде бір меншікті мәні бар болады. 3- теорема
дәлелденді.
Ескерту. (73) теңсіздігі ядросының меншікті мәні жоқ болатын
дөңгелегі ішінде орынды, басқаша айтқанда ол саны
ядросының ең кіші меншікті мәнінен аз болғанда қанағаттанады.
ядросының модуль шамасы бойынша ең кіші меншікті мәні
болсын, сонда саны ядросының меншікті мәні болады. Егер
болса, (73) теңсіздігі орынды. Сол (73) теңсіздігінен болғанда
.
Бұл теңсіздікте теңдік қатысы ядросының меншікті мәніне сәйкес
меншікті функциясы үшін орындалады. Расында, бұл жағдайда .
Бұдан
.
4- теорема. Егер симметриялық ядро болса, онда оның меншікті
мәні сол ядро резольвентасының қарапайым полюсі болады.
Дәлелдеуі. Қарсы жориық, яғни меншікті мән
резольвентасының ретті полюсі болсын. Онда Лоран қатарына
жіктеледі.
(74)
мұндағы . Резольвента мына интегралдық теңдеуді қанағаттандырады:

орнына (74) теңдігінің оң жағын қойып, одан кейін алынған өрнектің
екі жағындағы көпмүшеліктердегі айырымы коэффициенттерін теңестіріп,
,
(75)
теңдіктерін аламыз. Бұл теңдіктердің біріншісін - ке, ал екіншісін -
- ке көбейтіп, одан кейін алынған нәтижелерді қоссақ,

теңдігі шығады. Мұны х бойынша a- дан b- ға дейін интегралдасақ және
ядроның симметриялығын пайдалансақ, онда
,
одан кейін бұл өрнекке (75) теңдігін қолдансақ,

немесе барлық жерде дерлік екені шығады. Демек, деген шартқа
кері қорытынды алдық. Міне бұл қайшылық теореманың орынды екенін
дәлелдейді.
5- теорема. әрбір шектелген интервалда теңдеуінің ақырлы санды
түбірлері бар болады.
Дәлелдеуі. Қарсы жориық, яғни кесіндісінде теңдеуінің
ақырсыз көп түбірлері жиыны бар деп ұйғарайық. Әрбір
түбірлеріне меншікті функциясы сәйкес келетіні, олардың

шарттарын қанағаттандыратыны белгілі. Соңғы теңдіктен өрнегі
ядросының ортонормаланған системасы бойынша Фурье коэффициенттрі
екенін көреміз. Бессель теңсіздігін пайдаланып

теңсіздігін аламыз. Бұны х бойынша a- дан b- ға дейін интегралдасақ,
.
Ал болғандықтан, соңғы теңсіздіктер
.
Егер болса, соңғы теңсіздіктің сол жағы кез келген шамадан үлкен бола
алады, сондықтан бұл теңсіздік орындалмайды. Міне бұл қайшылық теореманы
дәлелдейді.

3. Ядроны қатарға жіктеу
Симметриялық ядросын қарастырайық. Оның меншікті мәндері ,
, ... ..., , ... , ал меншікті функциялары , , ... ,
, ... болсын. Меншікті функциялар ортонормаланған, ал меншікті мәндер
абсолют шамаларының өсу ретімен орналасқан болсын. Жаңадан

(76)
симметриялық ядросын құрайық.
4- лемма. , , ... , , ... ; , , ... , ,
... тізбектері симметриялық ядросының меншікті мәндері мен оларға
сәйкес меншікті функциялары болады.
Дәлелдеуі. болсын. Бірінші тізбектен - ді, ал екінші
тізбектен оған сәйкес келуші функциясын алып,

өрнегін құрайық. Енді ядросын (76) өрнегімен ауыстырып мынадай теңдік
аламыз:
.
Бұндағы мен ядросының меншікті мәні мен меншікті функциясы
болғандықтан, квадрат жақшадағы өрнек нольге тең және функциялары
системасы ортонормаланғандықтан,

Демек, , яғни , олай болса, жағдайында мен -
ядросының меншікті мәні мен меншікті функциясы.
Керісінше, егер ядросы үшін саны мен функциясы
меншікті мән мен меншікті функция болса, онда олар ядросының меншікті
мәндері мен меншікті функцияларының жиындарынан табылады. Ұйғарым бойынша
мен

теңдеуін қанағаттандырады. Бұл теңдіктегі ядросын (76) өрнегі бойынша
ауыстырсақ,
(77)
Бұл теңдеудің екі жағын да функциясына скаляр көбейтіп,

теңдеуіне келеміз. ядросының симметриялық және функцияларының
ортонормаланған қасиетін ескерсек,

өрнектерін аламыз. Бұл жағдайда алдыңғы теңдеуден ортогоналдық шарты
шығады.. онда (77) теңдеуі:

түрінде жазылады. Бұл теңдеуден мен - ядросының меншікті
мәні мен меншікті функциясы екенін, ал - тің функцияларымен
ортогональ болғандықтан ретті меншікті функциялардың біреуімен сай
келетінін көреміз.
Салдар. Егер ядросының n- нен көп меншікті мәні бар болса, онда
ядросының меншікті мәндерінің модулі бойынша ең кішісі болады.

Берілген ядроның меншікті мәндері , , ... , ақырлы
санды болған жеке жағдайды қарастырайық. Онда ядросының бірде- бір
меншікті мәні болмайды. Бұндай жағдайда бұрын дәлелденген теорема бойынша
немесе
.
Осы формуладан ядросының ерекшеленген ядро екенін көреміз. Кез
келген ерекшеленген ядроның ақырлы санды меншікті мәндері бар болғандықтан
және жоғарыдағы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.