Диофант теңдеулері

Жоспары:

І. Кіріспе

ІІ. Негізгі бөлім
2. Диофант есебі

3. Анықталмаған теңдеулер

4. Анықталмаған теңдеулер теориясы

5. Теңдеулерді шешу әдістері
5.1. Іріктеп алу әдісі
5.2. Көбейткіштерге жіктеу әдісі
5.3. Орнына қою немесе тексеру әдісі
5.4. Қарсы жору әдісі
5.5. Бірден.бір түбір бөлу
5.6. Жекеден жалпыға көшу

ІІІ. Қорытынды

ХХІ ғасырда адамзат білім мен өнерде, ғылым мен техника прогресте үлкен жетістіктерге жетті. Бұның барлығында білімнің үлесі зор.
Елбасы Жолдауында елдің жаңаша дамуының шешуші факторы ретінде ағарту саласында ең басты қойып отырған талабы – “Әлемдік стандарттар деңгейіндегі сапалы білім беру қызметін көрсетуге қол жеткізу”.
Білім алу саласында әрбір жеке тұлға өзінің белсенді, танымдық және шығармашылық іс-әрекеттерін дамытуы қажет. Оның айқын бір жолы –ғылыми шығармашылық ізденіс болып табылады.
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.
Республикамыздың білім беру жүйесінің даму бағытындағы негізгі мәселелердің бірі, уақыт талабына сай білім сапасын жақсарту, әлемдік стандарт деңгейіндегі білім беру болып табылады. Елбасы Н.Назарбаевтың «Қазақстандағы әлемдегі бәсекеге барынша қабілетті 50 елдің қатарына енуінің негізгі міндеті, жоғары мамандарылған, білікті де білімді азамат ғылыми технологияны оңай меңгеріп, нарықтық экономикада өзін-өзі басқара алатын және алған білімін өмірде қолдана білетін болса, тек сол уақытта жүзеге асыру мүмкін»- деп атап көрсеткен болатын.
Шынында да әлемнің дамыған елдеріндегі білім беру жүйесі – білім дағдыларын механикалық түрде беру емес, ақпараттық зияткерлік ресурстарды өз беттерінше тауып, талдап және қолдана білетін, жедел өзгеріп отыратын техникалық прогресс, инновациялық өрлеу жағдайында өзін-өзі ашып көрсете алатын, нарықтық талап-талпыныстарға еркін бейімделе алатын жеке тұлғаны қалыптастыруға басымдық беретіндігі белгілі. [2]
Бүгінгі таңдағы тәуелсіз мемлекетіміздің білім саласындағы басты мақсаты жан-жақты дамыған, шығармашылықпен жұмыс жасай білетін, өздігінен білім алу жолдарын таңдай алатын, білімді де білікті жеке тұлға болу міндеті тұр. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор. 1
Мектептегі математика пәні мазмұнын жан-жақты зерттеп, орынды қолдану оқушылардың жалпы мәдени даму деңгейінің, білімінің жоғары болуына тікелей әсер ететіні сөзсіз.
Математика сабағында есеп шығару оқыту үрдісінің ең маңызды түрі болып табылады. Өйткені, есеп шығару арқылы оқушы математикалық теорияны меңгереді және логикалық ойлаумен шығармашылық қабілеті дамиды.
Бұл жобада диофанттық теңдеулер шешудің бұрыннан таныс емес, жаңа шешу жолдары және әдістерімен танысуға болады.
Жобаның негізгі мақсаты:
- анықталмаған теңдеулердің математиканы оқудағы орнын айқындау
Жобанын міндеттері:
- олимпиадалық есептерді шешуде диофанттық теңдеулерді қолдана білу;
- анықталмаған теңдеулерді шешудің әдіс-тәсілдерінің тиімділігін көрсету;
- жеке тұлғаның шығармашылық, ізденіпаздылық қабілетін дамыту.
Зерттеу барысында анықталмаған теңдеулерді шешудің көбейткіштерге жіктеу, орнына қою немесе тексеру, қарсы жору, бірден-бір түбір бөлу, жекеден жалпыға көшу әдістері қарастырылған.
Нәтижесінде: есеп шығару барысында диофанттық теңдеулерінің қасиеттерін тиімді қолдана біледі. Теоремаларды дәлелдеу жолдарын қарастыра отырып, дағды мен икемділік қалыптасады.

Пайдаланған әдебиеттер тізімі:

1. Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин. Москва:Педагогика,1985 г. 95-96 стр.
2. Теңсіздіктер «ғажайыптар. Ә.Мұстаев. «Математика және физика» ғылыми-әдістемелік журнал, 2008жыл №6, 22 бет
3. Теңдеудің бүтін шешімдерін табу. З.Қиябаева. «Алгорифм» физика-
математикалық журнал №6 2006 жыл, 2-5 бет
4. Математика сабақтарында оқушылардың шығармашылық қызметін
қалыптастыру. А.Өтелбаева. «Математика және физика» ғылыми-
әдістемелік журнал, 2007жыл №5, 4 бет

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 18 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының білім және ғылым министірлігі
Атырау облысы Махамбет ауданы Ақтоғай орта мектебі

Бижанова Әсемгүл
Таңатарқызы
11б сынып оқушысы

Д и о ф а н т т е ң д е у л е р і

Секциясы: Математика

Жетекшісі: Ажікенова Ажар

Құмарқызы
математика пәнінің
мұғалімі

Махамбет-2011

А б с т р а к т

Зерттеу мақсаты: Анықталмаған (диофанттық) теңдеулерді
шешу
әдістерін үйрену және есеп
шығару барысында
қолдану
Гипотеза: Анықталмаған теңдеулерді шешу
әдістерін
меңгеру, тұлғаның
шығармашылық қабілетін
шыңдап, танымдық
ізденісін кеңейту
Зерттеу кезеңі:
- Диофант есебі
- Анықталмаған теңдеулер түсінігі
- Анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу
- Тиімді тәсілдерді анықтау.
Зерттеу әдістемесі:
- Іріктеп алу әдісі
- Көбейткіштерге жіктеу әдісі
- Орнына қою немесе тексеру әдісі
- Қарсы жору әдісі
- Бірден-бір түбір бөлу
- Жекеден жалпыға көшу
Зерттеу жаңалығы: теңдеулер шешу әдістерін жан-жақты талдап

көрсете білген
Зерттеу нәтижесі:
- Эксперименттік есептер
- Ұлттық бірыңғай тесті есептерін
- Олимпиада есептерін
шығаруда өзіндік тұжырым жасаған

Мазмұны

Кіріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ..
1. Диофант есебі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2. Анықталмаған теңдеулер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3. Анықталмаған теңдеулер теориясы
... ... ... ... ... ... ... ...
4.Теңдеулерді шешу әдістері
1. Іріктеп алу әдісі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2. Көбейткіштерге жіктеу әдісі ... ... ... ... ... ... ... ..
3. Орнына қою немесе тексеру әдісі ... ... ... ... ... .
4. Қарсы жору әдісі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
5. Бірден-бір түбір
бөлу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
6. Жекеден жалпыға
көшу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланған әдебиеттер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

Жоспары:

І. Кіріспе
ІІ. Негізгі бөлім
1. Диофант есебі
2. Анықталмаған теңдеулер
3. Анықталмаған теңдеулер теориясы
4. Теңдеулерді шешу әдістері
1. Іріктеп алу әдісі
2. Көбейткіштерге жіктеу әдісі
3. Орнына қою немесе тексеру әдісі
4. Қарсы жору әдісі
5. Бірден-бір түбір бөлу
6. Жекеден жалпыға көшу
ІІІ. Қорытынды

ХХІ ғасырда адамзат білім мен өнерде, ғылым мен техника прогресте
үлкен жетістіктерге жетті. Бұның барлығында білімнің үлесі зор.
Елбасы Жолдауында елдің жаңаша дамуының шешуші факторы ретінде
ағарту саласында ең басты қойып отырған талабы – “Әлемдік стандарттар
деңгейіндегі сапалы білім беру қызметін көрсетуге қол жеткізу”.
Білім алу саласында әрбір жеке тұлға өзінің белсенді, танымдық және
шығармашылық іс-әрекеттерін дамытуы қажет. Оның айқын бір жолы –ғылыми
шығармашылық ізденіс болып табылады.
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан
кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне
байланысты бағаланады.
Республикамыздың білім беру жүйесінің даму бағытындағы негізгі
мәселелердің бірі, уақыт талабына сай білім сапасын жақсарту, әлемдік
стандарт деңгейіндегі білім беру болып табылады. Елбасы Н.Назарбаевтың
Қазақстандағы әлемдегі бәсекеге барынша қабілетті 50 елдің қатарына
енуінің негізгі міндеті, жоғары мамандарылған, білікті де білімді азамат
ғылыми технологияны оңай меңгеріп, нарықтық экономикада өзін-өзі басқара
алатын және алған білімін өмірде қолдана білетін болса, тек сол уақытта
жүзеге асыру мүмкін- деп атап көрсеткен болатын.
Шынында да әлемнің дамыған елдеріндегі білім беру жүйесі – білім
дағдыларын механикалық түрде беру емес, ақпараттық зияткерлік ресурстарды
өз беттерінше тауып, талдап және қолдана білетін, жедел өзгеріп отыратын
техникалық прогресс, инновациялық өрлеу жағдайында өзін-өзі ашып көрсете
алатын, нарықтық талап-талпыныстарға еркін бейімделе алатын жеке тұлғаны
қалыптастыруға басымдық беретіндігі белгілі. [2]
Бүгінгі таңдағы тәуелсіз мемлекетіміздің білім саласындағы басты
мақсаты жан-жақты дамыған, шығармашылықпен жұмыс жасай білетін, өздігінен
білім алу жолдарын таңдай алатын, білімді де білікті жеке тұлға болу
міндеті тұр. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика
пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
1
Мектептегі математика пәні мазмұнын жан-жақты зерттеп, орынды қолдану
оқушылардың жалпы мәдени даму деңгейінің, білімінің жоғары болуына тікелей
әсер ететіні сөзсіз.
Математика сабағында есеп шығару оқыту үрдісінің ең маңызды түрі
болып табылады. Өйткені, есеп шығару арқылы оқушы математикалық теорияны
меңгереді және логикалық ойлаумен шығармашылық қабілеті дамиды.
Бұл жобада диофанттық теңдеулер шешудің бұрыннан таныс емес, жаңа
шешу жолдары және әдістерімен танысуға болады.
Жобаның негізгі мақсаты:
- анықталмаған теңдеулердің математиканы оқудағы орнын айқындау
Жобанын міндеттері:
- олимпиадалық есептерді шешуде диофанттық теңдеулерді қолдана білу;
- анықталмаған теңдеулерді шешудің әдіс-тәсілдерінің тиімділігін көрсету;
- жеке тұлғаның шығармашылық, ізденіпаздылық қабілетін дамыту.
Зерттеу барысында анықталмаған теңдеулерді шешудің көбейткіштерге
жіктеу, орнына қою немесе тексеру, қарсы жору, бірден-бір түбір бөлу,
жекеден жалпыға көшу әдістері қарастырылған.
Нәтижесінде: есеп шығару барысында диофанттық теңдеулерінің
қасиеттерін тиімді қолдана біледі. Теоремаларды дәлелдеу жолдарын қарастыра
отырып, дағды мен икемділік қалыптасады.

2
1. Диофант есебі
Indeterminate equation Сандар теориясының аса маңызға ие, бай тарихы
бар мазмүны мол саласының бірі. Анықталмаған теңдеу деп белгісіздің саны
теңдеудің санынан көп болатын теңдеулер жүйесін не теңдеуді айтамыз. Көне
Гректің атақты математигі Диофант сонау ғасырдың басында-ақ осындай түрдегі
теңдеулерді зерттей бастаған.
Жыл санауымыздың ІІІ-ІУ ғасырында өмір сүрген грек алгебрасының қарт
емені аталған Диофант еңбектерінде, соның ішінде атақты Арифметика
оқулығында кездесетін теңдеулердің көбі анықталмаған теңдеулер. Сондықтан
кейде анықталмаған теңдеуді Диофант теңдеуі деп те аталады.
Диофант өз өмірін есеп арқылы өрнектеп, бізге мұра ретінде қалдырған.
І-нұсқа. Диофанттың қабіріндегі құлпытаста былай деп жазылған:
Диофанттың балалық шағы - өмірінің алтыдан бірі, жастық шағы – он екіден
бірі, ал баласыз өткен ерлі-зайыпты өмірінің жетіден бірі және тағы 5 жыл
өткенде ұлды болды. Әкесінің жарты жасына келгенде ұлы дүние салды, бұдан
кейін Диофант тек 4 жыл ғана өмір сүрді. Диофант неше жыл сүрген еді?
ІІ нұсқа. Балалық шағы алтыдан бір өмірін алған екен, тағы он екіден бір
өмірі артта қалғанда сақал-мұрты өсе бастаған, шаңырақты тағы жетіден бір
бөлігі өткенде құрыпты, 5 жыл өте ұлды болып, ұлы әкесінің жарты өмірін
сүргенде қайтыс болып, қайғыға батқан әке 4 жылдан соң өзі көз жұмады
Шешуі: Өмірі – х
Балалық шағы - х
Баласыз - х
Жастық шағы - х
Ұлды - ;
Ұлы дүние салды - ;
Өзі дүние салды - ; 3

Жауабы: Диофант 84 жыл өмір
сүрді.
Диофант 1969жылғы, Л.Ж.Модердің Диофант теңдеуі атты кітабы осы
саладағы зерттеулердің нәтижесін бір ретке келтіріп берді. Соңғы он жылда
осы салада аса зор дамушылық байқалады. Дегенменен, жалпы жағдайға алып
қарағанда, екінші дәрежеден жоғары анықталмаған теңдеулер туралы адамдардің
білері шамалы. Енді бір жағынан, анықталмаған теңдеумен математиканың басқа
салалары, мысалы, алгебралық сандар теориясы, алгебралық геометрия, терулер
математикасы қатарлылармен тығыз байланысы бар, шекті топтар мен көркем
модулдауға да осы анықталмаған теңдеулерді қолдануға болады, осы себептен
де математиканың осы бір көне саласы әлі де көптеген математиктердің
назарын өзіне аударуда. Бірінші дәрежелі анықталмаған теңдеу: ең қарапайым
бірінші дәрежелі анықталмаған теңдеу екі айнымалысы бар бірінші дәрежелі
теңдеу, әрі 17 ғасырда теңдеудің шешімінің бар болуының қажетті әрі
жеткілікті шартының бүтін санға қалдықсыз бөлінуі болатынын білген, әрі
бір шешімі болған кезде, жалғасты бөлу тәсілі арқылы теңдеудің бір жұп
шешімін тапқан. Әдетте, элементі бірінші дәрежелі анықталмаған теңдеу
түріндегі теңдеуді атайды, теңдеудегі барлығы берілген бүтін сандар. Екі
элементті жағдаймен ұқсас түрде, теңдеудің бүтін сан шешімінің бар болуының
қажетті және жеткілікті шарты - қалдықсыз бөлінуі болады. Бұл теңдеудің
жалпы шешімі бір. Мысалға, болған жағдайда, анықталмаған теңдеуінің жалпы
шешімін бүтін сандар арқылы өрнектеуге болады.
4
2. Анықталмаған теңдеулер

Екі және одан да көп айнымалылары бар теңдеулерді анықталмаған
(диофант) теңдеулер деп атайды. Анықталмаған теңдеулердің шешімі деп осы
теңдеуді қанағаттандыратын айнымалылар мәндерінің барлық жиынын айтады.
Жалпы түрі: ах+bу=с, мұндағы а, b, с-бүтін сандар.
Сонымен қатар, диофант теңдеулер кездесетін басқа да түрлері:
х 2+y 2= c 2 -теңдеуінің бүтін шешімдері пифагор сандар деп
аталады;
ах 2+bxy+cy 2+dx+ey+f = 0
x 2-dy=1 - Пелля теңдеуі
aох n + an x n-1y + ...+ a n y n=c
ax 3+ y3=1 -ұлы Ферма теоремасы
Анықталмаған теңдеулердің бүтін сандар жиынындағы шешімдерін қарастырайық.
Осындай теңдеулерді шешу үшін әдетте бізге белгілі сандардың бөлінгіштік
белгілерін қолданады. [3]
1-мысал. х5-х3=у3z теңдеуінің бүтін шешімдерін табу керек.
Шешуі: Берілген теңдеуді х3 (х2-1)=у3z түрінде жазамыз. х3 , х2-1
санда-рының тақ немесе жұптығы әр түрлі және (х, х+1)=1, (х,х-1)=1
болғандықтан,
(х3 , х2-1) =1 болады. Сонымен қатар, у3z саны х3-қа бөлінуі керек. z
саны х3-қа бөлінбегендіктен (z -жай сан), у3 саны х3-қа бөлінуі керек. Ал
бұл қатынас x = y болғанда ғана орындалады. Сонымен х – жай сан және
z = х2 - 1 немесе z = ( х – 1 ) ( х + 1 ). Бұл теңдік х – 1 = 1 және х +1=z
болғанда ғана орындалады. Онда x=2, y=2, z=3.

3. Анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу.

Диофант теңдеулерін шешкенде төмендегі теоремалар нәтижесін басшылыққа
алған жөн.
Егер а, b, с-бүтін сандар болса, онда ах+bу=с сызықтық теңдеуін бүтін
сандар жиынында шешу тәсілдерін анықтайтын бірнеше теоремалар бар.
Теорема 1. Егер (а, b)=d болса, онда ах+by=d теңдеуінің бүтін
шешімдері бар.
5
Дәлелденуі. Жеңілдік үшін (а, b)=d санын анықтауға арналған Евклид
алгоритмі 3 қадамнан соң аяқталсын делік. Онда a=bq1+r1, b=r1q2+r2=
r1q2+d, r1=bq3 теңдігін аламыз. Осыдан r1=a-bq1, d=b-r1q2 теңдіктерінен
r1-ді бөліп шығара отырып, d=b-(a-dq1)q2=q2a+(1+q 1q2)b теңдігін аламыз.
Сонда x=-q, y=1+q1q2 сандары ax+by=d теңдеуін қанағаттандыратынын көреміз.
Жалпы жағдайда теорема осы сияқты дәлелденеді.
Теорема 2. Егер (а, b)=1 болса, онда ах+by=1 теңдеуінің кем дегенде
бір пар (х,у) бүтін шешімі бар.
Бұл теореманың дәлелденуі 1-теоремадан шығады.
2-мысал. 15х+37y=1 теңдеуінің бүтін шешімдерін табу керек.
Шешуі: 1-тәсіл. 1 санын 15 пен 37 сандары арқылы жіктеу керек.
1=15*5+37*(-2). Осыдан х=5, у=-2.
2-тәсіл. Евклид алгоритмін қолдана отырып, 37=15*2+7,15=2*7+1теңдігін
аламыз. Осыдан
1=15-2*7=15-2(37-15*2)=15*5+(-2)*37 . Онда х=5, у=-2.
Теорема 3. Егер (а,b)=d1 және с саны d-ға бөлінбейтін болса, онда
ах+by=с теңдеуінің бүтін шешімдері болмайды.
Дәлелденуі: Кері жорып, хо, уо сандары берілген теңдеудің бүтін
шешімдері болсын делік. а:d, b:d қатынастарынан с=axo+byo болатындығы
шығады. Бұл теорема шартына қайшы. Теорема дәлелденді.
3-мысал. (16,34)=2 және 7 саны 2-ге бөлінбейтіндіктен, 16х-34у=7
теңдеуінің бүтін шешімдері болмайды.
Теорема 4. Егер (а, b)=1 болса, онда ах+by=с теңдеуінің барлық бүтін
шешімдері
х=хос+bt , y=yoc-at (1)
формуласымен анықталады. Мұнда хо ,уо сандары - ах+by=1 теңдеуінің бүтін
шешімдері, ал t – кез келген бүтін сан.
Дәлелденуі. Алдымен (1) формуламен анықталатын х,у сандары ах+by=с
теңдеуінің шешімдері болатынын көрсетейік. Шынында да,
ах+by=а(хос+bt)+b(yoc-at)= ахос+ byoc +abt -abt=c(aхо+byo)=c. Мұнда
aхо+byo=1болғандығын ескердік. Енді х1,у1 сандары ах+by=с теңдеуінің қандай

6
да бір шешімі болсын. Онда х1 , у1 сандарын (1) формула арқылы өрнектеуге
болатындығын көрсетелік. х0 , у0 сандары ах+by=1 теңдеуінің шешімдері
болғандықтан, схо , сyo сандары ах+by=с теңдеуінің шешімдері болады. Онда
х1-схо=t1 , y1-cyo=t2 сандары да ах+by=с теңдеуінің шешімі болады.

4-мысал. 407х-2816у=33 теңдеуінің бүтін шешімдерін табу керек.
Шешуі. (407, 2816)=11 болғандықтан, берілген теңдеу 11 қысқартқаннан
кейін 37х-256у=3 түріне келеді. Алдымен 37х-256у=1 теңдеуінің бір пар бүтін
шешімін анықтау керек. Евклид алгоритмін қолдана отырып, (37,256)=1,
256=37*6, 37=34*1+3, 34=33*1+1 теңдігін аламыз. Онда
1=34-3*11=34-11(37-34) = 256 – 37*6=12*256-83*37=(-83)*37-(-
12)*256.
Осыдан хо=83,уо=-12 болатындығы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.