Гидростатиканың негізгі теңдеуі

Жоспар
Кіріспе

a) гидростатикалық қысымның негізгі теңдеуінің шығу тегі.
b) Теңдеулер байланысын зерттеу.

Қандай да бiр (ауырлық күшi де болмауы мүмкiн) сыртқы көлемдiк күш әсер ететiн тыныштық қалпындағы сұйықты аламыз (1.5 сурет).
Оx, Оy, Оz өсiне сәйкес межейiктi көлемдiк күш Ф-тың проекцияларын Фх, Фу, Фz – тi белгiлеймiз.
Оx, Оy осьтерiнiң бағытымен тiктөртбұрыш 1-2-3-4 параллепипедтен тұратын тыныштықтағы сұйықтың элементарлық көлемiн бөлiп аламыз. Параллепипедтiң қабырғалары dх және dz сондай ақ сызбаның бетiне перпендикуляр болатын dy мәндерiн өте кiшкентай деп есептеймiз.

Параллелепипедтiң ортасынан х, у, және z координатолары бар А нүктесiн аламыз. Бұл нүктедегi қысымды p–деп белгiлеймiз. Осы А нүктесi арқылы Оx осiне параллел МN сызығын жүргiзе отырып, осының бойында гидростатикалық қысым үздiксiз өзгерiп отырады деп есептеймiз. МN сызығын ұзына бойғы бiрлiгiне келетiн гидростатикалық қысымның өзгерiсiн жеке туынды , арқылы қарастырайық.
, пайдалана отырып М және N нүктесiндегi қысымды өрнектеймiз.
(1.14)
(1.15)
мұнда оң жақтағы теңдiктiң екiншi құраушысы p қысымның ұзындықтағы өзгеруiн көрсетедi.
Одан әрi былай ойластырамыз:
а) Элементарлық параллелепипедке әсер ететiн барлық күштердi анықтаймыз.
б) Бұл күштердi Оx осiне проекциялаймыз. Қарастырып отырған параллелепипед тыныштық жағдайында тұрғандықтан, барлық табылған күштердiң проекцияларының суммасын нольге теңестiремiз. Нәтижесiнде бiрiншi дифференциалды теңдеу аламыз.
в) 2-ий және 3-ий дифференциалдық теңдеудi алу үшiн параллепипедке әсер ететiн барлық күштердi тиiсiнше Оy және Оz осьтерiне проекциялаймыз.
Айтылған жолмен жүрiп тек 1-шi дифференциалдық теңдеудi шығарамыз.

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Гидростатиканың негізгі теңдеуі
Абсолютті және манометрлік қысым, Ваккум
Сабақ жоспары:
1.Сабақ мақсаты мен міндеті.
Гидростатиканың негізгі теңдеуімен қысымдардың айырмасын есептеу,
Абсолютті және манометрлік қысым, Ваккумдық құбылыстардың қасйетін қарастыру
1. Қарастыратын сұрақтар.
a) гидростатикалық қысымның негізгі теңдеуінің шығу тегі.
b) Теңдеулер байланысын зерттеу.

Э. Эйлер жасаған сұйықтың тепе-тендiк
қалпының негiзгi дифференциалды теңдеуi

Қандай да бiр (ауырлық күшi де болмауы мүмкiн) сыртқы көлемдiк күш әсер ететiн тыныштық қалпындағы сұйықты аламыз (1.5 сурет).
Оx, Оy, Оz өсiне сәйкес межейiктi көлемдiк күш Ф-тың проекцияларын Фх, Фу, Фz - тi белгiлеймiз.
Оx, Оy осьтерiнiң бағытымен тiктөртбұрыш 1-2-3-4 параллепипедтен тұратын тыныштықтағы сұйықтың элементарлық көлемiн бөлiп аламыз. Параллепипедтiң қабырғалары dх және dz сондай ақ сызбаның бетiне перпендикуляр болатын dy мәндерiн өте кiшкентай деп есептеймiз.

1.5 сурет

1.5 сурет

Параллелепипедтiң ортасынан х, у, және z координатолары бар А нүктесiн аламыз. Бұл нүктедегi қысымды p - деп белгiлеймiз. Осы А нүктесi арқылы Оx осiне параллел МN сызығын жүргiзе отырып, осының бойында гидростатикалық қысым үздiксiз өзгерiп отырады деп есептеймiз. МN сызығын ұзына бойғы бiрлiгiне келетiн гидростатикалық қысымның өзгерiсiн жеке туынды , арқылы қарастырайық.
, пайдалана отырып М және N нүктесiндегi қысымды өрнектеймiз.
(1.14)
(1.15)
мұнда оң жақтағы теңдiктiң екiншi құраушысы p қысымның ұзындықтағы өзгеруiн көрсетедi.
Одан әрi былай ойластырамыз:
а) Элементарлық параллелепипедке әсер ететiн барлық күштердi анықтаймыз.
б) Бұл күштердi Оx осiне проекциялаймыз. Қарастырып отырған параллелепипед тыныштық жағдайында тұрғандықтан, барлық табылған күштердiң проекцияларының суммасын нольге теңестiремiз. Нәтижесiнде бiрiншi дифференциалды теңдеу аламыз.
в) 2-ий және 3-ий дифференциалдық теңдеудi алу үшiн параллепипедке әсер ететiн барлық күштердi тиiсiнше Оy және Оz осьтерiне проекциялаймыз.
Айтылған жолмен жүрiп тек 1-шi дифференциалдық теңдеудi шығарамыз.
1-2-3-4 параллелепипедке әсер етушi күштер:
а) көлемдiк күш

Ф (dx dy dz) (1.16)

мұнда (dx dy dz)- 1-2-3-4 параллелепипедтi құрап тұрған сұйықтың массасы. Бұл күштiң Оx осiне проекциясы
Фх (dx dy dz) (1.17)

б) беттiк күштер: 1-4 және 2-3 қырларындағы қысым күшiнiң айырмашылығының Оx осiне прекциясы нольге тең; 1-2 және 3-4 қырларындағы қысым күшiнiң айырмашылығы мынаған тең:

(1.18)

2. Барлық күштердi Оx осiн прекциясының қосындысы нольге тең.

Фх (1.19)

Бiрiншi теңдеу осылай көрiнiс табылады. Қалған екеуiн бiрiншiдей етiп табамыз. Табылған үш дифференциалдық теңдеу соңына төмендегiдей болады (сұйықтың массасының бiрлiгiне келтiргенде).

(1.20)

Бұл теңдеулердi Э. Эйлер бiрiншi рет 1755 ж. шығарған.

Тыныштықтың жағдайындағы сұйықтың
гидростатикалық қысымының теңдеуi

(1.20) дифференциалдық теңдеудiң 1-шiсiн dx, екiншiсiн dy 3-шiсiн dz көбейтемiз. Сонан соң бұл теңдеулердiң оң жағын және сол жағын бiр-бiрiне қосамыз.

(1.21)
Кез-келген нүктедегi қысым тек координаттың ғана функциясы болғандықтан:

(1.22)

(1.21) теңдiктегi жақшаның iшiндегi өрнектер p-ның толық дифференциалы деп айтуымызға болады, немесе ол dp тең. Сондық (1.21) қайта мына түрде жазамыз:

(1.23)

(1.23)-шы теңдеудiң оң жағында жақшаның iшiнде тұрған өрнек те координатаға байланысы бар функциясының толық дифференциалы болып табылады. Сонда
(1.24)
мұнда
(1.24)-шы теңдiктен интеграл алатын болсақ

(1.25)
мұнда С- интегралдау тұрақтысы.
С мәнiн анықтау үшiн p және U мәндері белгілі сұйықтың нүктесін қарастырайық
p= p0; U = U0 (1.26)
Бұл нүкте үшін (1.25) былай жазылады:

(1.27)

бұдан (1.28)

(1.28)-тi (1.25)-шi теңдеуге қойып, мынаны аламыз
(1.29)
немесе (1.30)
(1.30) теңдеу - тұрақты болған кездегi нүктедегi кез келген көлемдiк күштер жүйесiнiң әсерiнен пайда болатын қысымды бередi.

Ауырлық күшi әсерiне тұрған сұйықтың
гидростатикалық қысымының теңдеуi.
Тек ғана бiр көлемде күш - ауырлық күшi ауырлық күшi түсiп тұрған сұйықты қарастырамыз (1.6 сурет).
Суреттiң iшiнде сұйығы бар жабық ыдысты қарастырамыз. Сыртқы беттiк қысымды (немесе сұйықтың еркiн бетiне түсетiн қысымды) Р0-деп белгiлеймiз. Суретте көрсетiлгендей ординаталар осiн ашып, m нүктесiн айнала бiрлiк массасы бар сұйықты бөлiп аламыз. Бұл алынған масса бiрлiгiне көлемдiк Ф күшi әсер етедi.
1 масса бірлігі

1 масса бірлігі

1.6 сурет

1.6 сурет

Егер сұйыққа әсер ететiн көлемдiк күштер тек ауырлық күшiнен тұратын болса, онда:
Ф: Ф Ф (1.31)

где g- еркiн түсу үдейi; Фх Фу Фz - Ф күшiнiң координата остерiне проекциясы.
(1.24) өрнегін еске түсіреміз
dp= (1.32)
мұндағы dU бiздiң жағдайымызда.

(1.33)
1.33 өрнектi 1.32-ге қоямыз.
: (1.34)
Интеграл алатын болсақ.
(1.35)

немесе (1.36)
Егер (1,35) өрнектi: бөлсек онда (1.37) өрнектi аламыз.
(1.37)
Тыныштықта тұрған сұйықтың екi нүктесi үшiн (1.37) келесі түрде жазылады:
(1.38)
Бұл алынған теңдеу гидростатиканың гидростатиканың негiзгi теңдеуi.
(1.36) өрнектегi С-интеграл ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.