«Мathcad-та программалауды оқыту»
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... 3
І тарау. Mathcad программалау ортасындағы операторлар
1.1. Математикалық формулаларды енгізу және формулалық редактормен жұмыс істеу әдістері ... ... ... ... .4
1.2. Меншіктеу және шығару операциялары ... ... .7
1.3. Mathcad сызықтық және сызықтық емес теңдеулерді программалау есептерін шешу ... ... ... ... ... .19
1.4. Массивтердің векторларды және матрицаларды есептеу операторларымен жұмыс істеу ... ... ... ...22
ІІ тарау. Mathcad.ты оқытуға арналған орта мектепте оқытудағы практикалық және зертханалық жұмыстар.
2.1 Қолданушыға операторларды түсіндіру әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..33
2.2 Mathcad.тан тапсырмалар жүйесі ... ...45
2.3 Mathcad.та программалауға арналған зертханалық жұмыстар ... ... ... ... 52
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... 58
Қолданылған әдебиеттер ... ... ...59
Қосымша.
І тарау. Mathcad программалау ортасындағы операторлар
1.1. Математикалық формулаларды енгізу және формулалық редактормен жұмыс істеу әдістері ... ... ... ... .4
1.2. Меншіктеу және шығару операциялары ... ... .7
1.3. Mathcad сызықтық және сызықтық емес теңдеулерді программалау есептерін шешу ... ... ... ... ... .19
1.4. Массивтердің векторларды және матрицаларды есептеу операторларымен жұмыс істеу ... ... ... ...22
ІІ тарау. Mathcad.ты оқытуға арналған орта мектепте оқытудағы практикалық және зертханалық жұмыстар.
2.1 Қолданушыға операторларды түсіндіру әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..33
2.2 Mathcad.тан тапсырмалар жүйесі ... ...45
2.3 Mathcad.та программалауға арналған зертханалық жұмыстар ... ... ... ... 52
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... 58
Қолданылған әдебиеттер ... ... ...59
Қосымша.
Mathcad ғылымның, техниканың және білімнің кез-келген саласын қамтамасыз етеді.
Қазіргі таңда Mathcad-тың алуан түрлері математикалық бағыттаушы әмбебап жүйесі болып табылады. Ол сандық және аналитикалық есептеуден басқа танымал мәтіндік редакторлерде немесе электрондық кестелерде қиындықпен берілетін күрделі көркемдеуші тапсырмаларды шешуге мүмкінідк береді. Mathcad-тың көмегімен мақалаларды, кітаптарды, диссертацияларды, ғылым саласында есеп берулерді, дипломдық, курстық проектілерді сапалы мәтіндердің түрлі стильдерімен ғана емес, сонымен қатар күрделі математикалық формулалардың жүзеге асырылған жиынтығын есептеудің таңдаулы көрсетілген нәтижесін және сансыз көп мысалдарын дайындауға мүмкіндік береді.
Mathcad-тың жаңа түрінде құжатты түрлі түспен безендірілуінің тиімді жолы жылжымалы графиктерді құру және дыбыстық сүйемелдеу мүмкіндіктері енгізілген. Мұндағы мәтіндік формулалар және графикалық редакторлар жүйе ядросының есептеу потенциялымен біріктірілген. Сонымен қатар күрделі есептерді шешуге арналған басқада математикалық және графикалық жүйелерді біріктіру мүмкіндіктері қаралған.
Қазіргі таңда Mathcad-тың алуан түрлері математикалық бағыттаушы әмбебап жүйесі болып табылады. Ол сандық және аналитикалық есептеуден басқа танымал мәтіндік редакторлерде немесе электрондық кестелерде қиындықпен берілетін күрделі көркемдеуші тапсырмаларды шешуге мүмкінідк береді. Mathcad-тың көмегімен мақалаларды, кітаптарды, диссертацияларды, ғылым саласында есеп берулерді, дипломдық, курстық проектілерді сапалы мәтіндердің түрлі стильдерімен ғана емес, сонымен қатар күрделі математикалық формулалардың жүзеге асырылған жиынтығын есептеудің таңдаулы көрсетілген нәтижесін және сансыз көп мысалдарын дайындауға мүмкіндік береді.
Mathcad-тың жаңа түрінде құжатты түрлі түспен безендірілуінің тиімді жолы жылжымалы графиктерді құру және дыбыстық сүйемелдеу мүмкіндіктері енгізілген. Мұндағы мәтіндік формулалар және графикалық редакторлар жүйе ядросының есептеу потенциялымен біріктірілген. Сонымен қатар күрделі есептерді шешуге арналған басқада математикалық және графикалық жүйелерді біріктіру мүмкіндіктері қаралған.
1.Дьяконов В. П. Mathcad 2001. Санкт-Петербург “Питер” 2001
2. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. Mathcad 8 PRO Москва “Нолидж” 1999
3. Пилс, Силвина Mathcad Финансы и кредит
4. Очков А.С. Mathcad – 14 Санкт-Петербург “Питер” 2008
5. Крьянов Mathcad – 14 Санкт-Петербург “Питер” 2007
6. Керімбаев Н.Н. Mathcad қолданбалы бағдарламасын оқыту. Алматы, 2005
2. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. Mathcad 8 PRO Москва “Нолидж” 1999
3. Пилс, Силвина Mathcad Финансы и кредит
4. Очков А.С. Mathcad – 14 Санкт-Петербург “Питер” 2008
5. Крьянов Mathcad – 14 Санкт-Петербург “Питер” 2007
6. Керімбаев Н.Н. Mathcad қолданбалы бағдарламасын оқыту. Алматы, 2005
Пән: Информатика, Программалау, Мәліметтер қоры
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 65 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 65 бет
Таңдаулыға:
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БIЛIМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛIГI
Қазақ мемлекеттiк қыздар педагогика институты
Физика-математика факультетi
Информатика және қолданбалы математика кафедрасы
Дипломдық жұмыс
Тақырыбы:Mathcad-та программалауды оқыту
Қорғауға жіберілді Орындаған:
" " 2008ж. 050111-информатика мамандығының
кафедра меңгерушісі 4-курс студенті Омарова Бағдат
тех.ғ.к., доцент Ғылыми жетекші: пед.ғ.к., доцент
Салғараева Г.И. Керімбаев Н.Н._______________
________________
АЛМАТЫ 2008
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 3
І тарау. Mathcad программалау ортасындағы операторлар
1.1. Математикалық формулаларды енгізу және формулалық редактормен жұмыс
істеу
әдістері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... .4
1.2. Меншіктеу және шығару
операциялары ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 7
1.3. Mathcad сызықтық және сызықтық емес теңдеулерді программалау
есептерін
шешу ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...19
1.4. Массивтердің векторларды және матрицаларды есептеу операторларымен
жұмыс
істеу ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...22
ІІ тарау. Mathcad-ты оқытуға арналған орта мектепте оқытудағы
практикалық және зертханалық жұмыстар.
2.1 Қолданушыға операторларды түсіндіру
әдістері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 33
2.2 Mathcad-тан тапсырмалар
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..45
2.3 Mathcad-та программалауға арналған зертханалық
жұмыстар ... ... ... ... 52
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...58
Қолданылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...59
Қосымша ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..60
КІРІСПЕ
Mathcad ғылымның, техниканың және білімнің кез-келген саласын
қамтамасыз етеді.
Қазіргі таңда Mathcad-тың алуан түрлері математикалық бағыттаушы
әмбебап жүйесі болып табылады. Ол сандық және аналитикалық есептеуден
басқа танымал мәтіндік редакторлерде немесе электрондық кестелерде
қиындықпен берілетін күрделі көркемдеуші тапсырмаларды шешуге мүмкінідк
береді. Mathcad-тың көмегімен мақалаларды, кітаптарды, диссертацияларды,
ғылым саласында есеп берулерді, дипломдық, курстық проектілерді сапалы
мәтіндердің түрлі стильдерімен ғана емес, сонымен қатар күрделі
математикалық формулалардың жүзеге асырылған жиынтығын есептеудің таңдаулы
көрсетілген нәтижесін және сансыз көп мысалдарын дайындауға мүмкіндік
береді.
Mathcad-тың жаңа түрінде құжатты түрлі түспен безендірілуінің
тиімді жолы жылжымалы графиктерді құру және дыбыстық сүйемелдеу
мүмкіндіктері енгізілген. Мұндағы мәтіндік формулалар және графикалық
редакторлар жүйе ядросының есептеу потенциялымен біріктірілген. Сонымен
қатар күрделі есептерді шешуге арналған басқада математикалық және
графикалық жүйелерді біріктіру мүмкіндіктері қаралған. Бұл жүйенің аты
интегралдық жүйе. Жалпы айтқанда бұл жүйе басқада математикалық, графикалық
және офистік жүйелердің интеграциясын қамтамасыз етеді. Mathcad-тың
көмегімен мәтіндік редактормен, математикалық формулаларды енгізу және
формулалық редактормен жұмыс жасауға, меншіктеу және шығару амалдарын
математимкалық операторлармен символрадың шаблондарымен қалдануға,
математикалық функцияларды есептеуге болады.
Сонымен қатар жүйенің графикалық мүмкіндіктерін ұтымды пайдалану және
көркемділік жақтарын математикалық улгілеу әдістерінде кеңінен қолдануға
анимациялауға, бейнелеу кадырын құруға, дифференциялдық теңдеулерді шешуге
болады.
І. MATHCAD ПРОГРАММАЛАУ ОРТАСЫНДАҒЫ ОПЕРАТОРЛАР
1.1. Математикалық формулаларды енгізу және формулалық редактормен жұмыс
істеу әдістері
Mathcad жүйесі өзінде үш редакторды интегралдайды: формулалық, тексттік
және графикалық. Формулалық редакторды іске қосу үшін редакторлеу
терезесінде тышқанның оң жақ батырмасын шерту жеткілікті. Кішкентай қызыл
крестик түріндегі енгізу курсоры осы орынға алып келінеді. Оны ауыстыру
курсорының пернелері арқылы ауыстыруға болады. Енгізу курсорын қара қиғаш
стрелка түріндегі тышқан көрсеткішімен шатастыруға болмайды.
Енгізу курсоры формулулар жиынтығы – есептеу блоктарын бастауға болатын
орынды көрсетеді. Енгізу курсоры орналасқан орнына байланысты өзінің
пішінін өзгертеді. Енгізу облысында ол енгізу бағытын және орнын көрсететін
көк бұрышқа айналады. Кеңейту үшін қамтылған бұрыш облысында Пробел
пернесін қолдануға болады.
Арифметикалық формулуларды есептеу және оларды редакторлеу мысалдары.
2+3 қосындысының түбір астындағы 5 санына қатынасын есептейтін мысалды
қарастырайық. Алдымен 2+3 символын енгіземіз. Мұның формулалық блогы 2.1-
суретте көрсетілген. Енгізу бұрышы соңғы операндты қамтып тұрғанына назар
аударыңыз.
2.1-сурет. Формулалық блокты жасау және оған 2+3 қосындысын енгізу
Енді бөлу белгісін енгізу керек. Егер мұны бірден орындайтын болсақ,
онда белгі барлық қосындыға қатысты емес, тек соңғы операнд 3 санына ғана
қатысты болады. Ол үшін пробел белгісін басу жеткілікті. Шыққан нәтиже 2.2-
суретте көрсетілген.
2.2-сурет. Барлық қосындыны енгізу курсорымен белгілеу
Енді бөлу белгісін белгісіндегі пернені басу арқылы енгізуге болады.
Формулалық блок 2.3-суретте көрсетілген. Сызықша түріндегі бөлу белгісі
автоматты түрде қосынды астындағы ұзын көлденең сызықша пайда болғанын, ал
оның астында енгізу курсорымен қамтылған қара квадрат түріндегі бөлшек
бөлгішін енгізу орны шығады.
2.3-сурет. Бөлу белгісін енгізгеннен кейінгі
формулалық блок
Келесі кезең – квадрат түбір белгісін енгізу. Жаңадан үйреніп жүрген
қолданушы бұл белгіні Calculate арифметикалық операциясына арналған
математикалық белгілер палитрасын қолдану арқылы енгізеді. Мұндай енгізу
үшін квадрат түбір белгісінде тышқанды шерту жеткілікті немесе кері сызықша
\ белгісіндегі пернені басу жеткілікті. Алынған формулалық блок 2.4-суретте
көрсетілген.
2.4-сурет. Квадрат түбір белгісін енгізгеннен кейінгі формулалық блок
Келесі кезең түбір астына 5 санын енгізуді құрастыру. Ол үшін 5 пернесін
басу жеткілікті. Формулалық блок 2.5-суретте көрсетілген.
2.5-сурет. Берілген теңдеудің формулалық блогы
Формула толығымен енгізілді, ендігі қалғаны – есептеудің нәтижесін көру.
Ол үшін формула соңына шығару операторы – теңдік белгісін = қою керек.
Бірақ оны бірден қоюға болмайды, өйткені шығару белгісі соңғы операторға
орнатылған. Алдымен барлық формуланы белгілеу керек. Ол үшін Пробел
пернесін басқанда, барлық алымы белгіленеді, ал одан кейін Пробелді тағы да
басқанда, барлық формула белгіленеді (2.6-сурет).
2.6-сурет. Теңдеуді толық белгілеу
Шығару операторын = енгізгенде, Mathcad автоматты түрде есептеудің
нәтижесін бейнелейді (2.7-сурет).
2.7-сурет. Шығару операторын енгізгеннен кейінгі формулалық блок
Mathcadты есептеудің түрлі эксперименттерін оңай қолдануға болады. Түбір
астындағы 5-тің 1.25 дәрежесіндегі нәтижені шығарамыз дейік. Ол үшін
формуланы қайта жазудың қажеті жоқ. Ол үшін тышқан көрсеткішін 5 санынан
кейін орналастырып, тышқанның сол жағын шертіңіз. Сонда енгізу курсоры 5
санын белгілейтінін байқаймыз (2.8-сурет).
2.8-сурет. Формулалық блокта операнданың біреуін өзгерту
Енді санның дәрежесін шығару белгісін енгіземіз. Оны арифметикалық
операциялар палитрасынан енгізуге немесе ^ белгісіндегі пернені басуға
болады. Мұндайда формулалық блокта 5 санының дәрежесін жазу шығады (2.9-
сурет).
2.9-сурет. Дәреже көрсеткіші операторын енгізгеннен кейінгі формулалық
блок
Енді 5 санының дәреже көрсеткішін шығарамыз.
2.10-сурет. 1.25 дәреже көрсеткішін енгізгіннен кейінгі формулалық блок
Әзірге енгізу курсоры 1.25 санын белгілеп тұр (2.10-сурет). Есептеу үшін
тышқан көрсеткішін формулалық блоктан алып кету жеткілікті. Сол кезде
құрылған формула есептеледі (2.11-сурет).
2.11-сурет. Берілген формуланың есептелінуі
Бұл мысал математикалық формулалармен жұмыс мәнін көрсету үшін
келтірілген.
1.2. Меншіктеу және шығару операциялары
Кез-келген формуланы есептеу үшін одан кейін шығару операторын (=
белгісі) орнату жеткілікті. Мұны бірнеше қарапайым мысалдар арқылы
көрсетейік. Ондық сандарды енгізу үшін бүтін және бөлшек бөлімін ажырату
ретінде үтір емес, нүкте пайдаланылады.
Енгізу Дисплей экранында
1.234*2.345= 1.234 ( 2.345 = 2.894
_1_
17= 7 =0.148
cos(0.5)= cos(0.5) = 0.878
e^2= eҚ = 7.389
Математикада бірлік (общность) есептеулерді беру үшін берілген нақты
типтегі бірнеше қорытылған белгі түріндегі айнымалылыр жиі қолданылады.
Айнамалылар атаулары (идентификаторлар) бар, ал оларға мәндерді меншіктеу
операциясы тән. Mathcad 2000-да алғашқы меншіктеу операторы ретінде =
операторын қолдануға болады. Мұны қарапайым суреттеу түрінде көрсетейік.
Енгізу Дисплей экранында
a=2 a := 2
b=3 b := 3
a+b= a + b = 5
Енді жаңа мәндерді a және b айнымалыларына меншіктеуге әрекет
жасағанымен, бұдан ештеңе шықпайды. Айнымалы атынан кейін = белгісін қоюға
әрекет жасаймыз, айнымалының бұрынғы мәні шығады.
Енгізу Дисплей экранында
a= a = 2
b= b = 3
Жаңа мәнді айнымалыға меншіктеу үшін стандартты меншіктеу операторын :=
қолдануға тура келеді.
Енгізу Дисплей экранында
a:1 a := 1
b:1 b := 1
a+b= a + b = 2
Бұл мысалдардағы қарапайым есептеулерді орындауда Mathcad жұмысының
кейбір ерекшеліктерін байқауға болады:
• кейбір есептелген операторлар (мысалы :=) бір символмен енеді;
• Mathcad арифметикалық операторларға дейін және одан кейін пробел қояды;
• көбейту операторы жұлдызша түрінде енеді, бірақ жолдың ортасында нүкте
түрінде көрінеді;
• бөлу операторы қиғаш сызықша түрінде енеді, көлденең сызықшаға ауысады;
• санның дәрежесін табу операторы ^ белгісімен енеді, бірақ санның дәрежесі
жоғарғы индекс ретінде көрінеді;
• келісім бойынша ондық сан бөлгіш нүктеден кейінгі үш белгісі бар
түсінікті береді;
• Mathcad кең таралған константаларды, мысалы е - натурал логарифм негізін
түсінеді, сонымен қатар pі - ді де анықтайды;
• математикалық формулалар редакторлеудің типті қабылдаулары мен енгізу
курсорын қолдану арқылы формулалық блок ішінде редакцияланады.2.12-
суретте қарастырылған қарапайым есептеулер орындалған құжат көрсетілген.
2.12-сурет Mathcad жүйесінде кейбір қосымша қабылданған жұмыстарды
көрсетеді. Мысалы нүктеден кейінгі үш белгілі ондық сан сізге қолайсыз
делік. Ол үшін санды форматтауды қолдану керек. Тышқан көрсеткішін санға
алып барып, сол жақ батырманы екі рет басамыз. Сонда санды форматтау
терезесі шығады. Number of demіcal places аумағында 3-тің орнына 15 санын
қойып, ондық нүктеден кейінгі 15 белгілі нәтижені көресіз.
1.12-сурет. Қарапайым есептеу көрсетілген Mathcad терезесі
Mathcad 2001 де рационал сандар түріндегі қатемен берілген есептеудің
нәтижесінің көрінісі жаңа мүмкіндігі енгізілген. Ол үшін санды форматтау
терезесінде Fractіon форматын қосымша орнату шығады. Мұны жүзеге асыру 2.13-
суретте көрсетілген. Байқап отырғанымыздай берілген жағдайда Mathcad
қарапайым ондық сан орнына бүтін санның қатынасы түріндегі оның мәнін
береді (2.13-сурет).
2.13-сурет. Рационалды сандар форматында шығаруды демонстрациялау
2.12, 2.13-суреттердегі соңғы мысал анықталған интегралды түсіндірейік.
Ол үшін Calсulus палитрасының суреттерінде көрсетілген интеграл шаблоны
қолданылған. Mathcad үшін қарапайым мектеп оқушысының квадрат түбірін
немесе инженердің анықталған интегралын шығару ма бәрібір. Көбейтінді
немесе қосынды шаблондарын қолданып, мүшелінің көбейтіндісін немесе
қосындысын есептеуге болады.
Массивтер, векторлар және матрицалармен жұмыс
Массивтер, векторлар және матрицалар — Маtһсаd жүйесінде қарастырылатын
көптеген мәліметтерді өндеудің маңызды түрі. Бұл сабақта осы мақсатқа
арналған тәсілдермен танысамыз.
Массивтер түрлері. Алдын-ала берілген айнымалының вектордан айырмашылығы
— оны жеке мәндерде өзгертуге болмайтыңдығында, айталық екінші немесе
бесінші — барлығы бірден қолданылады, оның жеке мәндеріне қатынауға
болмайды. Бірнеше компонентті айнымалының әрбір мәндеріне қатынау қажетті
болған жағдайда ол массив түрінде — бір өлшемді немесе екі өлшемді
матрицалар түрінде берілуі қажет. Қатынау вектордың әрбір элементіне немесе
массивке мәндер меншіктелуі мүмкін екендігін және әрбір элементке осы
мәндерді есептеу арқылы жетуге болатынын білдіреді. Осылай, вектор
элементі, мысалы V болса, Vi индексті айнымалы болып табылады.
Массивтер сандық мәліметтермен қатар, символдық мәліметтерді де құрауы
мүмкін.
- сандық мәліметтермен берілген вектор бағанасы
(а b + с d) — символды мәліметтермен берілген вектор қатары
- түрлі типтегі элементті матрица
Осыған дейін белгілі болғандай, Маthсаd 2001-де векторлар мен матрицалар
Маtһсаd-тың бұрынғы версияларындағыдай квадрат жақшада емес, ұзын дөңгелек
жақшада беріледі.
Индексті айнымалыларды қолдану. Маthсаd -та массив те кез-келген
айнымалы тәрізді атымен беріледі. Элементтің орны вектор үшін бір индекспен
немесе матрица үшін екі индекспен беріледі. Индекстеудің төменгі шегі 0
немесе 1 (үнсіз келісім бойынша оның мәні О-ге тең) мәндерін қабылдайтын
ORIGIN жүйелік айнымалысымен анықталады. Индекстер тек бүтін оң сандар
(және ноль) болуы мүмкін. Индексті енгізу үшін [ — ашылған тік жақша
белгісі қолданылады. Индексті айнымалыларды индексінде өзінің аты болатын
скалярлы айнымалылармен жаңылыстыруға болмайды. Мысалы І1 тогы, мұндағы
төменгі индекс жай ғана "бірінші ток" дегенді білдіреді, кейбір электрлік
схемалардағы 1 бұтақтағы ток. Осы тәрізді индекстер — айнымалы атын
көрсететін индекс нүктенің көмегімен енгізіледі, енгізу курсорының көк
бұрышы мұндайда индекстің енгізу облысын ғана емес, барлық атын қамтиды.
Өкінішке орай, дисплей экранында индексті айнымалылар мен атын көрсететін
индексті айнымалылар нашар ажыратылады: жалғыз айырмашылығы — индексі атын
көрсететін скалярлы айнымалының индексі пробел арқылы ажыратылады, яғни ол
индексті айнымалының индексіне қарағанда оң жақта орналасады. Ол былай
көрінеді:
х1 — индексті скалярлы айнымалы;
х2 — индекстелген айнымалы.
Матрица элементтерінің аттары матрица атымен сәйкес келетін индекстелген
айнымалы болып табылады. Мысалы, келесі матрицаны алуға болады:
Бұл жағдайда екі индексті көрсетеді: біріншісі — қатар номері үшін,
екіншісі — бағана номері үшін. Мысалы, егер көрсетілген М матрицасының
орташа элементі ORIGIN =0 М1,1 дегенді, ал төменгі оң элементі М2,2 дегенді
білдіреді.
Векторлар және матрицалар элементтерін енгізу. Векторлар мен
матрицаларды олардың элементтерін енгізу жолы — индекстелген айнымалы
арқылы беруге болады. Айнымалы атынан кейін қатар астына түсіріліп
жазылатын индекстерді көрсету үшін ашылған квадрат жақша белгісі
енгізіледі.
Матрица элементтері үшін катар астына түсіріп жазылатын
индекстер оларды үтірмен бөлу арқылы енгізіледі.
Векторлар мен матрицаларды беру үшін не Маth (Вычисление — Есептеу)
менюінің Маtrices командасын қолдануға, не Ctrl+V пернелер комбинациясын
басуға, не матрица шаблоны бейнеленген батырманы шертуге болады. Осы іс-
әрекеттердің кез-келген матрицаның өлшемін, яғни оның қатар т және бағана п
санын көрсететін диалог терезесін шақырады. Векторлар үшін осы
параметрлердің біреуі 1-ге тең болуы керек. m=1 болғанда, вектор кдтарын,
ал п=1 болғанда, вектор бағанасын аламыз. Матрица тп элементтер саны бар
екі өлшемді массив болып табылады.
Векторлар мен матрицаларды беру. Индекстелген айнымалылар үшін басқа
қарапайым айнымалылар тәрізді меншіктеу және шығару ережелері де
қолданылады. Массив шаблондарын қолмен толтырмай-ақ, өлшемі мен түрін беру
арқылы меншіктеу операторының көмегімен массивті (вектор немесе матрицаны)
құруға болады (5.1-сурет).
Сонымен қатар, бейнелеудің үлкен өлшемді массивті көрсетуді
қамтамасыз ететін айналым сызықтары бар
электронды кесте түріндегі нұсқасы да бар.
ВЕКТОРЛАР МЕН МАТРИЦАЛАРДЫ БЕРУ
Арнайы матрица
Векторлық және матрицалық операторлар
Маthсаd жүйесі векторлар мен матрицалар жұмысы үшін
операторлар мен функциялар қатарын қолданады. Алдымен,
төмендегідей мағыналарды ұстанатын операторларды
қарастырайық: V — вектор үшін, М — матрица үшін, Z— скаляр төбелер үшін.
Оператор Пернелер Түсіндіру
V1+V2 V1+V2 V1 және V2 векторларын қосу
V1-V2 V1-V2 V1 және V2 векторларын алу
-V -V V векторы элементтерінің алмасу
ережесі
-M -M M матрицасы элементтерінң алмасу
ережесі
V-Z V-Z V векторы элементтерінің барлығынан Z
скалярын алу
Z*V,V*Z Z*V,V*Z V матрицасын Z скалярына көбейту
Z*M,M*Z Z*M,M*Z М матрицасын Z скалярына көбейту
V1*V2 V1*V2 V1 және V2 векторларын скаляр көбейту
M*V M*V М матрицасын V векторына көбейту
M1*M2 M1*M2 М1 және М2 матрицаларын көбейту
VZ V векторы элементтерінің барлығын Z
скалярына бөлу
MZ М матрицасын Z скалярына бөлу
M-1 M^-1 М матрицасының айналуы
Mn M^n М матрицасының n дәрежесін табу
V векторы модулін есептеу
Матрица анықтауышын есептеу
VT V Ctrl ! V векторының транспонирленуі
MT M Ctrl ! М векторының транспонирленуі
V1×V2 V1 Ctrl*V2 V1 және V2 векторларын векторлық
көбейту
Alt $ V V векторы элементтерінің қосындысын
табу
V Ctrl - V векторын векторлау
M Ctrl - M матрицасын векторлау
Mn M Ctrl^n М матрицасының n-ші бағанасын ажырату
Vn V[n V векторының n-ші элементін ажырату
Mm,n M [(m,n) М матрицасының (m,n) элементін ажырату
M M Ctrl+T М матрицасында сақталатын суретті қою
V, M Комплексті кездесетін матрицаларды алу
Кейбір операторларды енгізу үшін Сtrl пернесі қолданылатындығын айта
кетейік, ал Маthсаd жүйесінің алдыңғы версияларында Аlt пернесі қолданылған
болатын (соңғы версиясында Аlt пернесі меню қатарын активтеуге арналған).
Жоғарыда көрсетілген барлық операторларды (соңғысынан басқасын матрицалық
операциялар палитрасынан шақыруға болады).
Векторлау операторы
Келтірілген операциялардың көпшілігі матрицалық есептеудің математикалық
аппаратынан белгілі. "Векторлау" түсінігімен қатар кейбір скаляр
операцияларды іске асыру векторлау операторларымен белгіленген векторлар
мен матрицалардың барлық элементтері түсініледі. Мүны параллель есептеулер
мүмкіндігі деп те түсінуге болады.
Векторлау математикалық формулалардың мағынасын, тіпті Маthсаd -тың
алдыңғы версияларыңда мүмкін болмайтын формулаларды өзгерте алады. Мысалы,
егер V вектор болса, онда соs(V) формуласы мүмкін болмайды, себебі соs
функциясының аргументі тек скаляр айнымалы болады. Алайда, соs(V) функциясы
векторлау операторымен бастапқы V векторының элементіне сәйкес келетін
әрбір элементінде косинусы бар векторды береді.
Маthсаd 820002001-ге кезекті жетістігі — функция аргументі ретінде
матрицалар мен векторларды беруге болатындығы енгізілген. Осындай жолмен, V
вектор болған жағдайда, соs(V) формуласы векторлау операторларын қолданбай-
ақ мүмкін бола алады. Маthсаd 820002001 жүйесінде векторлау автоматты
түрде орындалады. Осы жағдайда, біздің мысалымызда V векторының элементіне
сәйкес келетін әрбір элементі косинусқа тең вектор беріледі.
Векторлау ұзын стрелка белгісі астындағы формуланың орны болып табылады.
Мысалыға, егер А және В — векторлар болса, онда А • В осы векторлардың
скаляр көбейтіндісін береді. Бірақ, бүл векторлау белгісі астындағы
көбейтінді А және В векторларының j-шы элементі көбейтіндісі бар j-шы
элементті жаңа векторды құрайды.
Сонымен, векторлау массивті скаляр операторлар және функцияларды
қолдануға мүмкіндік береді. Бұл математикалық алгоритмдер жазбасын, әсіресе
параллель есептеулерді қамтамасыз ету жазбасын қысқартады.
Векторлық және матрицалық функциялар
Маthсаd сызықтық алгебра және вектор мен матрицалар қосымшаларының баска
да сферасындағы тапсырмаларды шешуді жеңілдететін тізілген векторлық
және матрицалық функциялар
қатарын құрайды:
❖ length(V) — вектордың элементтер санын береді;
❖ last(V) — соңғы элементтің номерін береді;
❖ тах(V) — вектордың (немесе матрицаның) максимальды
элементін береді;
❖ тіп(V) — вектордың (немесе матрицаның) минимальды элементін
береді;
❖ Rе(V) — вектордың нақты бөлігіндегі комплексті элементті
векторды береді;
❖ Іт(V) — вектордың жорамал бөлігіндегі комплексті элементті
векторды береді;
❖ (i,j,k) — үшінші рангың антисимметриялық тензордың бірлік
толығы, мұндайда і, j және k (немесе егер ORIGIN≠0 болса,
ORIGIN -нан ORIGIN -ге дейін) болуы керек; егер кез-келген екі
аргумент тең болса, нәтиже 0-ге, егер үш аргумент жұп
алмастыру (0, 1, 2) болып табылса 1 және егер үш аргумент тақ
алмастыру (0, 1, 2) болып табылса, нәтиже -1 болады.
Матрицалык, функциялар. Матрицамен жұмыс істеу үшін
сонымен бірге құрамдас функция қатары да бар:
❖ augment(М1, М2) — қатар саны бірдей екі матрица М1 және М2
матрицаларын бір матрицаға біріктіреді (біріктіру "көлденең"
жүреді);
❖ identity(п) — пхп өлшемдегі бірлік квадрат матрицаны құрайды;
❖ stack (М1, М2) — бағана саны бірдей екі матрица — М1 және М2-
ні "тігінен" біріктіреді;
❖ submatrix(А, ir, lr,ic,jc) - ir-ден jr -ге дейінгі қатарды және iс-
ден
jс-ға дейінгі бағананы құрайтын барлық элементтен тұратын ішкі
матрицаны береді;
❖ diag(V) - элементтері V векторының элементтеріне тең бас
диогональ болатын диогональ матрицаны құрайды;
❖ matrix(т,п,f) — і=0,1,...,т және і=0,1,...,п, f(i,j) — кез-
келген
функция болатын (i,j-шы элементі f(і,j)-ға тең матрицаны
құрайды;
❖ Rе(М) - М матрицасының накты бөлігіндегі комплексті
элементті матрицаны береді;
❖ Іт(М) ~ М матрицасының жорамал бөлігіндегі комплексті
❖ элементті матрицаны береді.
Матрицаның арнайы мінездемесін беретін функциялар. Келесі функциялар
матрицаның арнайы мінездемесін береді;
❖ соls(М) — М матрицасының бағана санын береді;
❖ rows(М) ~ М матрицасының қатар санын береді;
❖ rапk(М) — М матрицасының рангін береді;
❖ tr(М) — М квадрат матрицасының ізін (диогональ элементтердің
қосындысын) береді;
❖ теап(М) — М массиві элементтерінің орташа мәнін береді;
❖ теdіап(М) — М массиві элементтерінің медианыны береді;
❖ сопd(М) — матрицаның L1 нормасында есептелген, алдын-ала
келісілген санын береді;
❖ сопd2(М) — матрицаның L2 нормасында есептелген, алдын-ала
келісілген санын береді;
❖ сопde(М) — матрицаның Евклид кеңістігі нормасында есептелген,
алдын-ала келісілген санын береді;
❖ сопdі(М) — матрицаның шексіз нормаға негізделген алдын-ала
келісілген санын береді;
❖ поrm(М) — М матрицасының L1 нормасын береді;
❖ поrт2(М) — М матрицасының L2 нормасын береді;
❖ поrте(М) — М матрицасының Евклид нормасын береді;
❖ поrті(М) — М матрицасының шексіз нормасын береді.
Векторлық және матрицалық операторлар мен фунщияларды колдану мысалдары.
5.2-суретте кеңінен тараған векторлық операторларды қолдану мысалдары
келтірілген.
Векторлармен жұмыс
Векторды константаға көбейту
Үш вектордың берілуі және
олардың қосылуы
Екі векторды көбейту
Екі үш элементті векторларды кросс-көбейту
V векторы элементтерінің қосындысы
V векторын транспонирлеу
V векторын векторлау
V векторының нормасын есептеу
U векторы элементтерін ажырату
length (V)=3 last (V)=2 V векторының құрамдас
max (V)=3 min (V)=1 функциясын есептеу
Маthсаd қарапайым сандар мен айнымалылар тәрізді матрицалар және
векторлар мен жұмысты да жасайды. Бұл, әрине, ғылыми-техникалық және баска
да есептерде математикалық есептеулерді векторлық және матрицалық
тәсілдерін енгізуге мүмкіндік туғызады.
5.3 және 5.4-суреттерде матрицалармен жұмыс үшін операторларды қолдану
қарастырылған.
Матрицамен жұмыс — 2
А матрицасының екінші бағанасын
(нөлден
бастап) ажырату
A1,1=4 A0,0=2 A2,1=3 А матрицасының элементтерін
ажырату
А және В матрицаларын қосу
V векторын векторлау
А матрицаның комплексті элементтерін беру
В комплексті-түйіндес матрицасын алу
Қосымша матрицалық функциялар. Маthсаd 2001 РRОРгеmium-ның кәсіби
версиясына қосымша матрицалық функциялар қатары енгізілген. Олар
төмендегілер болып саналады:
• eigenvals(М) — М матрицасының мәндерін құрайтын векторды
• береді;
• eigenves(М,Z) — M матрицасын көрсету үшін және нақты берілген
мәнін Z осы нақты мәніне сәйкес келетін векторды береді;
• eigenvecs(М) — М матрицасының нақты векторы болып
табылатын матрицаны бағаналармен береді (векторлардың
орналасу реті eigenvals функциясын беретін нақты мәндерінің
ретіне сәйкес келеді);
• genvals(М,N) — М∙х=vi∙N∙х теңдігінің нәтижесіне (M және N матрицалары
нақты болу керек) сәйкес келетін vi қорытынды нақты мәнінің векторын
береді;
• genvals(М,N) — мөлшерленген қорытынды нақты векторларды құрайтын
вектор бағаналарын береді;
• lu(М) - М матрицасын үшбұрышты жіктеуді орындайды:
Р ∙ М=L∙U, мұнда L жэне U-нақты төменгі және жоғарғы
үшбұрышты матрицалар, Р- алмастыру матрицасы; қалған төрт
матрица бір қатардың квадрат матрицалары;
• qr(А) — А матрицасын жіктеуді береді: А=Q∙R, Q — ортогональ
матрица, R — жоғарғы үшбұрышты матрица;
• svd(А) — n×m өлшемдегі А сингуляр жіктелуін береді: А=U∙S∙VT,
мұнда U және V т×т және п×n өлшемдегі ортогональ
матрицалар, S — диогональдарына А матрицасының сингуляр
сандары орналасқан диогональ матрица;
• svds(А) — тіп болатын т×п өлшемді А матрицасының сингуляр
сандарын құрайтын векторды береді;
• geninv(А) — сол кері А матрицасы: L∙А=Е, мұнда Е п×п
өлшемдегі бірлік матрица, L— п×т өлшемдегі тікбұрышты
матрица, А — т×п өлшемдегі тікбұрышты матрица.
Векторлар мен функцияларды сұрыптау функциялары. Windows үшін 3.0
версиясынан бастап, Маthсаd жүйесінде бірқатар қосымша сұрыптау
функциялары — векторлар мен матрицалардың элементтерін
алмастыру функциялары пайда болды:
• sort(V) — векгор элементтерінің мәндерін өсу қатары бойынша
сұрыптау;
• crost(М,п) — М матрицасының қатарын сұрыпталған п-ші
бағанасымен алмастыру;
• rsost(М,п) — М матрицасының бағанасын сұрыпталған n-ші
қатарымен алмастыру.
Осы функциялармен жиі вектор элементтерінің орналасу катарын қарама-
қарсыға (соңынан бастап) өзгертетін reverse(V) функциясы қолданылады.
Қосымша векторлық және матрицалық функцияларды колдану мысалдары. 5.7-
суретте бірқатар қосымша векторлық және матрицалық функциялармен жұмысты
көрсететін мысалдар қарастырылған.
Қосымша векторлық және матрицалық функциялар
Бастапқы вектор Тікелей сұрыптау Сұрыптаудан кейінгі реверс
Бастапқы матрица Бірінші бағана жөне бірінші қатар бойынша сұрыптау
А квадрат матрицасының нақты мәндері VЕ векторын есептеу
Векторға жататын 19.149 нақты мәнін есептеу
1.3. Mathcad сызықтық және сызықтық емес теңдеулерді программалау
есептерін шешу
Маthсаd жүйесінің векторлық және матрицалық операторлар мен функциялар
сызықтық алгебраның кең көлемді есептерін шешуге мүмкіндік береді.
Мысалыға, сызықтық теңдеулер жүйесі үшін А • Х=В матрицалық формадағы А
матрицасы және В векторы берілсе, онда есептеу векторын Х=А-1 • В формуласы
арқылы алуға болады. 5.8-суретте сызықтық теңдеулер жүйесін есептеу
мысалдары келтірілген.
Сызықтық теңдеулер жүйесінің есептері Маthсаd-тың 6-версиясынан бастап,
кең тараған жаттығулар болғандықтан, А матрицасының коэффиценттері және В
векторының бос мүшелері болғанда, А • Х=В сызықтық теңдеулер жүйесі үшін X
векторын беретін esolve(А,В) құрамдас функциясы енгізілген. Егер теңдік
саны п болса, В векторы п өлшемді, ал А матрицасы пп өлшемді болуы керек.
Осы функцияны қолдану мысалы 5.8-суретте де берілген.
А*Х=В сызыктық теңдеулер жүйесін есептеу
Сызықты теңдеулер жүйесінің комплексті
коэффициенттер матрицасы
Бос мүшелер векторы
Жүйенің шешімі
Шешім нәтижесі
lsolve функциясын қолдана отырып есептеу
Сызықтық емес теңдеулер мен жүйелерді шешу – математикалық жүйелерді
қолданудың дәстүрлі облысы. Бұл сабақта Маthсаd мұндай күрделі
тапсырмаларды шешетінін және қандай тәсілдерді қолданатынын білесіздер.
Сызықтық емес теңдеулердің түбірін табу
Көптеген теңдеулер, мысалы транценденттік теңдеулерде және жүйелерде
аналитикалық есептер болмайды. Алайда, олар сандық әдістер арқылы шешілуі
мүмкін. F(x)=0 түріндегі қарапайым теңдеулерді шешу
Root (Өрнек, Айнымалы_аты)
Функциясының көмегімен табылады.
Бұл функция берілген дәлдікпен өрнек 0-ге тең болғанда, айнымалының
мәнін береді. Функция есептеуді итерациялық әдіспен жүзеге асырады, оны
қолдану үшін алдымен айнымалының бастапқы мәнін беру керек. Бұл бірнеше
есептерді шешуде тиімді. Сонда олардың біреуін таңдау айнымалының бастапқы
мәнін таңдаумен анықталады. 6.1-сурет кубты полиномның түбірін есептеу үшін
root функциясын қолдану техникасын бейнелейді.
root және polyroots функцияларының қолданылуы
a3 :=2 a2 :=-8 a1: = 25 a0 :=-64 Полином
коэффициенттері
F (x) :=a3 ∙x3+a2 ∙x2+a1 ∙x+a0 Полиномның
берілуі
Нақты түбірді есептеу
x:=0 x1:= root (F(x),x) x1=3.211
Қалған екі (комплексті) түбірлерді есептеу
Кубтық полиномның комплексті түбірлері өзара түйіндес болып табылады!
V0: = a0 V1: = a1 V2: = a2 V3: = a3
рolyroots функциясын қолдану мысалы:
Белгілі болғандай, кубты теңдеудің міндетті түрде кем дегенде х1 нақгы
түбірі болады. Ол root функциясының көмегімен табылған. Басқа екі түбір
нақты болумен қатар комплексті де болады. Root функциясы кез-келген түбірді
таба алады. Екінші түбір х2-ні іздеу үшін бірінші Ғ(х) (х-х1)-ге
бөліндісінде жойылады. Соған сәйкес үшінші түбір хЗ-ті іздеу үшін бөлу
процедурасын қайталау қажет, осыдан Ғ(х) (х-х2)-ге бөлінеді. Бүл
процедураны жоғары дәрежедегі полином түбірлерін табу үшін де қолданады,
алайда полином түбірлерін табуда символдық есептеу операцияларын қолдансақ,
әлдеқайда кдрапайым әдіс болатынын есте ұстаған жөн.
Көрсетілген root функциясының жазылу формасы Маthсаd 8.0 версиясымен
қатар, Маthсаd 20002001-де де қолданылады. Алайда соңғы жүйеде бүл
функцияның мүмкіндігі кеңейген және ол мына түрде жазылуы мүмкін:
Root (Өрнек, Айнымалы_аты, а, b)
Мүндағы а жөне b — түбір табудағы интервал шектері. Rоot функциясының
мүндай қолданылуы есептерді шешуде негізгі емес, мысалы физикалық
есептердегі түбірді шығарудан құтылуға мүмкіндік береді. Мүндайда бүл
айнымалы берілген [а,b] интервалында анықталғандықтан, функцияның бастапқы
х мәнін беру керек. Мысалы:
Root(х2 - 9, х, 0, 5) = 3
Root функциясы қолданушының функциялар
құрамында
Root функциясын қолданушы функциялары құрамында да қолдануға болады.
Бұған 6.2-суретте көрсетілген G(а,х) функциясын есептеу мысал бола алады.
Root функциясының қолданушы функциялар құрамында қолдану
G(a,x):=root(eX-a ∙x2,x)
a:=1..10 x0=0 xa: = G(a, x a-1)
1 -.0.704
2 -0.54
3 -0.459
4 -0.408
5 -0.371
6 -0.344
7 -0.322
8 -0.304
9 -0.289
10 -0.276
Қолданушы функциялар құрамында root функциясының көмегімен G(а,х)
функциясын есептеу
1.4. Массивтердің векторларды және матрицаларды есептеу операторларымен
жұмыс істеу
Теңдеулер жүйесін шешуде блокты дайындау
Сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешуде қызметші сөз — Given
директивасымен ашылатын арнайы есептеу блогы пайдаланылады және ол мына
құрылымда жазылады:
Бастапқы шарт Given
Теңдеу
Шектелетін шарт
Ғіпd, Міпеr, Махітіze және Міпітіze функциялары
бар өрнектер
Бастапқы шарт ізделіп отырған айнымалының бастапқы мәнін анықтайды және
var:=value түрінде беріледі, яғни айнымалының берілген мәнін қарапайым
меншіктелумен беріледі. Егер айнымалылар бірнеше болса, онда бастапқы шарт
үшін векторлық түсінік қолданылады. Теңдеу expr_left =expr_right_ түрінде
беріледі, мұндағы теңдеудің оң және сол жақ бөліктерінің арасында
қарайтылған "=" белгісі қолданылады. Шектелетін шарт тендеулер жүйесін
шешуді қанағаттандыратын теңсіздік немесе теңдік түрінде беріледі.
Блокты тендеулер жүйесін бақылаумен толықтыру ұсынылады. Маthсаd -тың
алдыңғы версияларында теңдеулер саны 50-мен шектелген болатын, ал
шектелетін шарттардың саны теңдеулер санымен дәл сәйкес келуі керек.
Маthсаd 20002001 РRО-да шектеу алынған, ал жүйеде теңдеулердің максимальды
саны 200-ге дейін жеткен. Бірақ, ең маңызды мүмкіндік — сызықтық емес
теңдеулерді тек бастапқы шартының берілуінде шешу ғана емес, шектелген
шартты тендеулерді векторлық формада шешу. Мүндай шешім символдық формада
да табылуы мүмкін.
Сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешуге арналған функциялар.
Блокта төмендегі екі функцияның екеуінің біреуі қолданылады:
• Fi(у1, у2, ..., уп) — дәлдікпен шешуде бір немесе бірнеше
айнымалылардың мәнін береді;
• Міпеrr (v1,v2, ..., vn) — бір немесе бірнеше айнымалылардың
жуық мәнін береді.
Осы екі функцияның арасында айырмашылықтар бар. Біріншісі — функция
шешімі бар болған жағдайда (аналитикалық болмаса да) қолданылады. Екінші
функция шешімнің орташа квадратты қателігі жолымен максимальды жуығын
береді.
Сызықтық емес теңдеулерді шешуде шектеулер енгізу. Сызықтық емес
жүйелерді көбінесе айнымалылардың немесе өрнектердің белгілі-бір шектеулер
арқылы шешуге тура келеді. Мұндай шектеулер теңдік немесе теңсіздік түрінде
болады. Оларды беру үшін төменде келтірілген логикалық операторлар
қолданылады.
Оператор Пернелер
Оператор мәні
е1: е2 е1е2 е1үлкен е2-ден
е1 е2 е1 е2 е1кіші е2-ден
е1≥ е2 е1Ctrl)е2 е1үлкен немесе тең е2-ден
е1≤ е2
е1≠ е2
е1= е2
е1Сtгl(е2 е1кіші немесе тең е2-ден
е1Сtгl# е2 е1тең емес е2-ге
е1Сtгl= е2 е1тең е2-ге
Сызықтық емес теңдеулерді шешу мысалдары. Ғіnd және Міnеrr
функцияларын бір немесе бірнеше тендеулерді шешу үшін колданады. 6.3-сурет
Gіvеп блогында символдық (логикалық) теңдік белгісі орнына меншіктеу
операторын қолданудың қате екендігін көрсетеді. Сондықтан жүйені шешудің
мұндай жолы қате туғызатынын береді.
x:=10 x^2:=3 теңдеуін шешуде
x:=10 дәлдікпен
берілуі қате етеді.
Сондықтан жүйені шешу
Given жолының қате екендігі туралы
жауап беріп
x2:=3 x0:=Find(x) тұр: х0 мәні қызыл түспен белгіленген.
x:=10
Given
x2=3 Алайда, жуық теңдік түріндегі
x0:=Find(x ) теңдеудің берілуі шешімін табуға
x0=1.732 мүмкіндік береді.
x:=10 Сонымен қатар, minerr
функциясын қолдана
Given отырып шешу есептің шешімін
табуға
x2:= 3 мүмкіндік береді.
х1:=MinErr(x)
Осыған дейін ескертілгендей, Given блогында тендеуді жазу үшін ерекше
қарайтылған теңдік белгісі қолданылады. х:=10 меншіктеуі Ғіпd және Міпеrr
функциялары теңдеулерінің түбірлерін табу үшін бастапқы мәнді береді.
Түзудің параболамен қиылысу нүктелері
Бірінші шешімді табайық
Given
х:= -6,-5.75.. 6
График 8+Зх түзуі мен х^2 параболасы екі нүктеде шамамен -1.7 және +4.8
нүктелеріңце қиылысатындығын көрсетеді
x:= о у := 0 болғанда, бірінші шешімді іздейік
х о шегінде шешілген теңдеулер жүйесі
у=х у=8 + 3-х
хО уО
:= Ғіnd(х,у)
Табылған бірінші шешім
x02
= 2.895 8 + 3 –х0= 2.895 y шешімін есептеуді тексеру
Екінші шешімді табайық (біріншіге ұқсас, бірақ х0 шегін береміз)
Екі есепті шешуді — парабола мен түзудің қиылысу нүктесін табуды
көрсетеді. Біздің жағдайда түбірді табу облысы берілген (х0 теріс түбір
үшін, ал оң түбір үшін х0) шектеулі шартты екі теңдік (олардың біреуі
сызықгық емес) жүйесі Ғіпd функциясының көмегімен шешіледі. 6.5-суретте
тағы бір мысал сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешу көрсетілген (бұл жолы
Міпеrr функциясының көмегімен).
Сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешу үшін Міпеrr функциясын сақтықпен
пайдаланған жөн және шешуін міндетті түрде тексерген жөн. Шешуі қате
болғанда, жүйе бірнеше түбірлердің ішінен қате түбірді үсынады. Шешімнің
бастапқы жуықтауын дәл берген тиімді.
Сызықтық емес тендеулердің жуық шешімі
х := о у := 1 Айнымалылардың бастапқы мәндері
Given Есептеу
блогының басы
(х2 +1) + (у2 + 1) = 5.5 Шешілетін тендеулер жүйесі
х + у = 0.95
z:= МіпЕrr (х, у)
Табылған шешім
Шешімді тексеру
z0 + z1 = 0.95
Міпеrr функциясының көмегімен екі теңдеуден
тұратын жүйені шешу
Итерациялық есептеуді жүзеге асыру
Фибоначчи сандарын рекурентті есептеу. Маthсаd жүйені есептерді
рекурентті қатынаста есептеуде жүзеге асыруға мүмкіндік береді. Бұл кейбір
функциялардың мәндері олардың өткен бір немесе бірнеше мәндерінде болатын
қатынас. Фибоначчи сандарының есебі рекурентті есептеуге мысал бола алады.
Фибоначчидің алғашқы екі саны 1 тәрізді анықталғаны белгілі, ал әрбір
кейінгілері алдыңғы екеуінің қосындысы.
9.6-суретте Фибоначчидің 10 санынан құралатын векторды дайындауды
бейнелейді. Бұл мысал рекурентті формула бойынша қайта-қайта есептеуге
сәйкес келеді.
Рекурентті теңдеулер жүйесін шешу мысалдары. Жалпы
жағдайда, рекурентті есептер формулалар бойынша есептеледі. Маthсаd
жүйесінде есептеудің мүндай түрі векторлық формада жүзеге асады. Мұндай
жағдайда айнымалы мәндерін табу қатар бойынша емес, бағана бойынша жүреді.
Эпидемияның дамуын бейнелейтін параметрлер (MS DOS үшін Маthсаd 2.01
жүйесінде қолданылатын бір мысалды алу) есептелген. Мұнда эпидемияның дамуы
мен басылуын бейнелейтін дифференциалдық теңдеулер жүйесі — ақырлы-
айырымдық әдіс арқылы шешіледі. Айнымалының бастапқы мәні (дені сау және
ауру адамдардың саны, т.с.с.) бастапқы шарттың векторымен берілген, р
параметрі профилактика өлшемін суреттейді, мысалы, жүргізілген егулер,
тәсілдерді өзіндік профилактикада қолдану, т.с.с. 6.7-суретте есеп айыратын
қатынас ақырлы-айырымдық теңдеулер жүйесінің жазылуынан екендігі айқын.
Эпидемияның өсу моделі
Бастапқы мән Векторлық формадағы итерациялық өрнек
t:=0..12
Рекурентті жүзеге асыру көптеген күрделі тәсілдері және басқа да
есептеулерді шешуге болады. Мысалы, кез-келген әдісті дифференциалды
теңдеулер жүйесін шешу жатады, мысалы, Эйлер, Рунге-Кутта, т.б.
Оптимизация есептерін шешу
Оптимизация есептерін шешу — математикалық әдістерді
қолданудың маңызды сфераларының бірі. Бүл есептерге сызықтық
программалау есептері, бірнеше айнымалылардың
функцияларының максимумы мен минимумын табу және басқа да есептер жатады.
Маthсаd-тың бүрынғы версияларында берілген класс есептерінің
алгоритмін табу мен жүзеге асыруда аздаған әдістер, мысалы, Міпеrr
функциясын қолданып шешу мүмкіндігіңде шектеулер болатын. Жаңа версиясында
берілген класс есептерін шешуді жүзеге асыратын арнайы функциялардың
енгізілуінің әсерінен мұндай шектеулер жойылды.
Розенброк функциясының минимумын табу. Жаңа функцияларды карастырмас
бұрын, типтік оптимизациялық есеп — Розенброк функциясының минимумын
табу үшін тіпеrr функциясының қолданылуын қарастырайық. Бүл типтік
тексттік функция көптеген оптимизация алгоритмдерін жүзеге асыруды
қиындататын терең жыраны еске түсіретін жазықтық. 9.8-суретте берілген
есепті тіпеrr функциясын қолдана отырып, градиенттік әдіспен шешу жолы
көрсетілген.
Розенброк функциясының минимумын табу
х:=1.2 у := 6 х және у инициалы
f(x,y): =100(y-x2)2+ (1-x)2 Розенброк функциясы
Given Есептеу блогының басы
Минимум шарты
minerr функциясының көмегімен минимумды табу
x=1 y=1 f(x,y)=1.152×10-10 Шешімді тексеру
Розенброк функциясының графигін салу
i:=0.. 100
j:= 0.. 100 ai: =0.01 ∙i -0.5 bj: =0.01∙j-0.5
Mi,j:=f(ai ,bj)
Розенброк функциясының минимумын табу есебін шешу
Берілген есептің көрсетілген әдіспен шешу х және у айнымалылары бойынша
берілген функцияның туындысын есептеуді талап ететінін байқау қиын емес.
6.9-суретте Розенброк жазықтығының графигі салынған.
Маthсаd жүйесінде берілген алгоритм мұндай күрделі есеп — максимальды
нақты мәнімен (1,1) нүктеде функцияның минимумын табуды өте жеңіл
орындайды.
1 -сурет. Розенброк функциясының графигі
м
тахітzе және тіпітіzе функциялары. Максимальды немесе минимальды мәндері
болатын кейбір функциялардың f(хі, х2, ..., хп) хі, х2, ..., хп
айнымалыларының мәнін табу үшін тахітіzе(f х1, х2, ..., хп) және
тіпітіzе(f, хі, х2, ..., хп) функциялары қолданылады.
Бұл екі функция да алгоритмдердің жазылуын қысқартумен қатар, оларды
шешуге мүмкіндік беретін f(хі, х2, ..., хп) функциясының туындысын табуды
талап етпейтін оптимизацияның әмбебап алгоритмдерін жүзеге асырады.
Бүл функциялар Given директивасымен ашылатын есептеу блогының құрамында
қолданылуы қажет және максимальды, минимальды мәндері бар болатын белгісіз
векторды береді. Блоктың ішінде теңдік және теңсіздік түріндегі әртүрлі
шектелген шарттар болуы мүмкін. Шарттардың саны тек ДК-ның жадысымен
шектеледі, яғни шектелмеген дерлік.
Есептеу блогының алдында ізделіп отырған айнымалының бастапқы мәнін беру
керек. Олар нақты шешімге жақын болған сайын, дұрыс нәтиже жылдамырақ
алынады.
Розенброк функциясының максимумы мен минимумын табу.
Махіmіzе және Міnіmіzе функцияларын қолдана отырып,
Розенброк функциясының максимумы мен минимумын табу есебін қарастырайық.
Берілген есептің шешімі жүзеге асырылған құжаттың бірінші бөлімі ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Қазақ мемлекеттiк қыздар педагогика институты
Физика-математика факультетi
Информатика және қолданбалы математика кафедрасы
Дипломдық жұмыс
Тақырыбы:Mathcad-та программалауды оқыту
Қорғауға жіберілді Орындаған:
" " 2008ж. 050111-информатика мамандығының
кафедра меңгерушісі 4-курс студенті Омарова Бағдат
тех.ғ.к., доцент Ғылыми жетекші: пед.ғ.к., доцент
Салғараева Г.И. Керімбаев Н.Н._______________
________________
АЛМАТЫ 2008
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 3
І тарау. Mathcad программалау ортасындағы операторлар
1.1. Математикалық формулаларды енгізу және формулалық редактормен жұмыс
істеу
әдістері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... .4
1.2. Меншіктеу және шығару
операциялары ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 7
1.3. Mathcad сызықтық және сызықтық емес теңдеулерді программалау
есептерін
шешу ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...19
1.4. Массивтердің векторларды және матрицаларды есептеу операторларымен
жұмыс
істеу ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...22
ІІ тарау. Mathcad-ты оқытуға арналған орта мектепте оқытудағы
практикалық және зертханалық жұмыстар.
2.1 Қолданушыға операторларды түсіндіру
әдістері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 33
2.2 Mathcad-тан тапсырмалар
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..45
2.3 Mathcad-та программалауға арналған зертханалық
жұмыстар ... ... ... ... 52
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...58
Қолданылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...59
Қосымша ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..60
КІРІСПЕ
Mathcad ғылымның, техниканың және білімнің кез-келген саласын
қамтамасыз етеді.
Қазіргі таңда Mathcad-тың алуан түрлері математикалық бағыттаушы
әмбебап жүйесі болып табылады. Ол сандық және аналитикалық есептеуден
басқа танымал мәтіндік редакторлерде немесе электрондық кестелерде
қиындықпен берілетін күрделі көркемдеуші тапсырмаларды шешуге мүмкінідк
береді. Mathcad-тың көмегімен мақалаларды, кітаптарды, диссертацияларды,
ғылым саласында есеп берулерді, дипломдық, курстық проектілерді сапалы
мәтіндердің түрлі стильдерімен ғана емес, сонымен қатар күрделі
математикалық формулалардың жүзеге асырылған жиынтығын есептеудің таңдаулы
көрсетілген нәтижесін және сансыз көп мысалдарын дайындауға мүмкіндік
береді.
Mathcad-тың жаңа түрінде құжатты түрлі түспен безендірілуінің
тиімді жолы жылжымалы графиктерді құру және дыбыстық сүйемелдеу
мүмкіндіктері енгізілген. Мұндағы мәтіндік формулалар және графикалық
редакторлар жүйе ядросының есептеу потенциялымен біріктірілген. Сонымен
қатар күрделі есептерді шешуге арналған басқада математикалық және
графикалық жүйелерді біріктіру мүмкіндіктері қаралған. Бұл жүйенің аты
интегралдық жүйе. Жалпы айтқанда бұл жүйе басқада математикалық, графикалық
және офистік жүйелердің интеграциясын қамтамасыз етеді. Mathcad-тың
көмегімен мәтіндік редактормен, математикалық формулаларды енгізу және
формулалық редактормен жұмыс жасауға, меншіктеу және шығару амалдарын
математимкалық операторлармен символрадың шаблондарымен қалдануға,
математикалық функцияларды есептеуге болады.
Сонымен қатар жүйенің графикалық мүмкіндіктерін ұтымды пайдалану және
көркемділік жақтарын математикалық улгілеу әдістерінде кеңінен қолдануға
анимациялауға, бейнелеу кадырын құруға, дифференциялдық теңдеулерді шешуге
болады.
І. MATHCAD ПРОГРАММАЛАУ ОРТАСЫНДАҒЫ ОПЕРАТОРЛАР
1.1. Математикалық формулаларды енгізу және формулалық редактормен жұмыс
істеу әдістері
Mathcad жүйесі өзінде үш редакторды интегралдайды: формулалық, тексттік
және графикалық. Формулалық редакторды іске қосу үшін редакторлеу
терезесінде тышқанның оң жақ батырмасын шерту жеткілікті. Кішкентай қызыл
крестик түріндегі енгізу курсоры осы орынға алып келінеді. Оны ауыстыру
курсорының пернелері арқылы ауыстыруға болады. Енгізу курсорын қара қиғаш
стрелка түріндегі тышқан көрсеткішімен шатастыруға болмайды.
Енгізу курсоры формулулар жиынтығы – есептеу блоктарын бастауға болатын
орынды көрсетеді. Енгізу курсоры орналасқан орнына байланысты өзінің
пішінін өзгертеді. Енгізу облысында ол енгізу бағытын және орнын көрсететін
көк бұрышқа айналады. Кеңейту үшін қамтылған бұрыш облысында Пробел
пернесін қолдануға болады.
Арифметикалық формулуларды есептеу және оларды редакторлеу мысалдары.
2+3 қосындысының түбір астындағы 5 санына қатынасын есептейтін мысалды
қарастырайық. Алдымен 2+3 символын енгіземіз. Мұның формулалық блогы 2.1-
суретте көрсетілген. Енгізу бұрышы соңғы операндты қамтып тұрғанына назар
аударыңыз.
2.1-сурет. Формулалық блокты жасау және оған 2+3 қосындысын енгізу
Енді бөлу белгісін енгізу керек. Егер мұны бірден орындайтын болсақ,
онда белгі барлық қосындыға қатысты емес, тек соңғы операнд 3 санына ғана
қатысты болады. Ол үшін пробел белгісін басу жеткілікті. Шыққан нәтиже 2.2-
суретте көрсетілген.
2.2-сурет. Барлық қосындыны енгізу курсорымен белгілеу
Енді бөлу белгісін белгісіндегі пернені басу арқылы енгізуге болады.
Формулалық блок 2.3-суретте көрсетілген. Сызықша түріндегі бөлу белгісі
автоматты түрде қосынды астындағы ұзын көлденең сызықша пайда болғанын, ал
оның астында енгізу курсорымен қамтылған қара квадрат түріндегі бөлшек
бөлгішін енгізу орны шығады.
2.3-сурет. Бөлу белгісін енгізгеннен кейінгі
формулалық блок
Келесі кезең – квадрат түбір белгісін енгізу. Жаңадан үйреніп жүрген
қолданушы бұл белгіні Calculate арифметикалық операциясына арналған
математикалық белгілер палитрасын қолдану арқылы енгізеді. Мұндай енгізу
үшін квадрат түбір белгісінде тышқанды шерту жеткілікті немесе кері сызықша
\ белгісіндегі пернені басу жеткілікті. Алынған формулалық блок 2.4-суретте
көрсетілген.
2.4-сурет. Квадрат түбір белгісін енгізгеннен кейінгі формулалық блок
Келесі кезең түбір астына 5 санын енгізуді құрастыру. Ол үшін 5 пернесін
басу жеткілікті. Формулалық блок 2.5-суретте көрсетілген.
2.5-сурет. Берілген теңдеудің формулалық блогы
Формула толығымен енгізілді, ендігі қалғаны – есептеудің нәтижесін көру.
Ол үшін формула соңына шығару операторы – теңдік белгісін = қою керек.
Бірақ оны бірден қоюға болмайды, өйткені шығару белгісі соңғы операторға
орнатылған. Алдымен барлық формуланы белгілеу керек. Ол үшін Пробел
пернесін басқанда, барлық алымы белгіленеді, ал одан кейін Пробелді тағы да
басқанда, барлық формула белгіленеді (2.6-сурет).
2.6-сурет. Теңдеуді толық белгілеу
Шығару операторын = енгізгенде, Mathcad автоматты түрде есептеудің
нәтижесін бейнелейді (2.7-сурет).
2.7-сурет. Шығару операторын енгізгеннен кейінгі формулалық блок
Mathcadты есептеудің түрлі эксперименттерін оңай қолдануға болады. Түбір
астындағы 5-тің 1.25 дәрежесіндегі нәтижені шығарамыз дейік. Ол үшін
формуланы қайта жазудың қажеті жоқ. Ол үшін тышқан көрсеткішін 5 санынан
кейін орналастырып, тышқанның сол жағын шертіңіз. Сонда енгізу курсоры 5
санын белгілейтінін байқаймыз (2.8-сурет).
2.8-сурет. Формулалық блокта операнданың біреуін өзгерту
Енді санның дәрежесін шығару белгісін енгіземіз. Оны арифметикалық
операциялар палитрасынан енгізуге немесе ^ белгісіндегі пернені басуға
болады. Мұндайда формулалық блокта 5 санының дәрежесін жазу шығады (2.9-
сурет).
2.9-сурет. Дәреже көрсеткіші операторын енгізгеннен кейінгі формулалық
блок
Енді 5 санының дәреже көрсеткішін шығарамыз.
2.10-сурет. 1.25 дәреже көрсеткішін енгізгіннен кейінгі формулалық блок
Әзірге енгізу курсоры 1.25 санын белгілеп тұр (2.10-сурет). Есептеу үшін
тышқан көрсеткішін формулалық блоктан алып кету жеткілікті. Сол кезде
құрылған формула есептеледі (2.11-сурет).
2.11-сурет. Берілген формуланың есептелінуі
Бұл мысал математикалық формулалармен жұмыс мәнін көрсету үшін
келтірілген.
1.2. Меншіктеу және шығару операциялары
Кез-келген формуланы есептеу үшін одан кейін шығару операторын (=
белгісі) орнату жеткілікті. Мұны бірнеше қарапайым мысалдар арқылы
көрсетейік. Ондық сандарды енгізу үшін бүтін және бөлшек бөлімін ажырату
ретінде үтір емес, нүкте пайдаланылады.
Енгізу Дисплей экранында
1.234*2.345= 1.234 ( 2.345 = 2.894
_1_
17= 7 =0.148
cos(0.5)= cos(0.5) = 0.878
e^2= eҚ = 7.389
Математикада бірлік (общность) есептеулерді беру үшін берілген нақты
типтегі бірнеше қорытылған белгі түріндегі айнымалылыр жиі қолданылады.
Айнамалылар атаулары (идентификаторлар) бар, ал оларға мәндерді меншіктеу
операциясы тән. Mathcad 2000-да алғашқы меншіктеу операторы ретінде =
операторын қолдануға болады. Мұны қарапайым суреттеу түрінде көрсетейік.
Енгізу Дисплей экранында
a=2 a := 2
b=3 b := 3
a+b= a + b = 5
Енді жаңа мәндерді a және b айнымалыларына меншіктеуге әрекет
жасағанымен, бұдан ештеңе шықпайды. Айнымалы атынан кейін = белгісін қоюға
әрекет жасаймыз, айнымалының бұрынғы мәні шығады.
Енгізу Дисплей экранында
a= a = 2
b= b = 3
Жаңа мәнді айнымалыға меншіктеу үшін стандартты меншіктеу операторын :=
қолдануға тура келеді.
Енгізу Дисплей экранында
a:1 a := 1
b:1 b := 1
a+b= a + b = 2
Бұл мысалдардағы қарапайым есептеулерді орындауда Mathcad жұмысының
кейбір ерекшеліктерін байқауға болады:
• кейбір есептелген операторлар (мысалы :=) бір символмен енеді;
• Mathcad арифметикалық операторларға дейін және одан кейін пробел қояды;
• көбейту операторы жұлдызша түрінде енеді, бірақ жолдың ортасында нүкте
түрінде көрінеді;
• бөлу операторы қиғаш сызықша түрінде енеді, көлденең сызықшаға ауысады;
• санның дәрежесін табу операторы ^ белгісімен енеді, бірақ санның дәрежесі
жоғарғы индекс ретінде көрінеді;
• келісім бойынша ондық сан бөлгіш нүктеден кейінгі үш белгісі бар
түсінікті береді;
• Mathcad кең таралған константаларды, мысалы е - натурал логарифм негізін
түсінеді, сонымен қатар pі - ді де анықтайды;
• математикалық формулалар редакторлеудің типті қабылдаулары мен енгізу
курсорын қолдану арқылы формулалық блок ішінде редакцияланады.2.12-
суретте қарастырылған қарапайым есептеулер орындалған құжат көрсетілген.
2.12-сурет Mathcad жүйесінде кейбір қосымша қабылданған жұмыстарды
көрсетеді. Мысалы нүктеден кейінгі үш белгілі ондық сан сізге қолайсыз
делік. Ол үшін санды форматтауды қолдану керек. Тышқан көрсеткішін санға
алып барып, сол жақ батырманы екі рет басамыз. Сонда санды форматтау
терезесі шығады. Number of demіcal places аумағында 3-тің орнына 15 санын
қойып, ондық нүктеден кейінгі 15 белгілі нәтижені көресіз.
1.12-сурет. Қарапайым есептеу көрсетілген Mathcad терезесі
Mathcad 2001 де рационал сандар түріндегі қатемен берілген есептеудің
нәтижесінің көрінісі жаңа мүмкіндігі енгізілген. Ол үшін санды форматтау
терезесінде Fractіon форматын қосымша орнату шығады. Мұны жүзеге асыру 2.13-
суретте көрсетілген. Байқап отырғанымыздай берілген жағдайда Mathcad
қарапайым ондық сан орнына бүтін санның қатынасы түріндегі оның мәнін
береді (2.13-сурет).
2.13-сурет. Рационалды сандар форматында шығаруды демонстрациялау
2.12, 2.13-суреттердегі соңғы мысал анықталған интегралды түсіндірейік.
Ол үшін Calсulus палитрасының суреттерінде көрсетілген интеграл шаблоны
қолданылған. Mathcad үшін қарапайым мектеп оқушысының квадрат түбірін
немесе инженердің анықталған интегралын шығару ма бәрібір. Көбейтінді
немесе қосынды шаблондарын қолданып, мүшелінің көбейтіндісін немесе
қосындысын есептеуге болады.
Массивтер, векторлар және матрицалармен жұмыс
Массивтер, векторлар және матрицалар — Маtһсаd жүйесінде қарастырылатын
көптеген мәліметтерді өндеудің маңызды түрі. Бұл сабақта осы мақсатқа
арналған тәсілдермен танысамыз.
Массивтер түрлері. Алдын-ала берілген айнымалының вектордан айырмашылығы
— оны жеке мәндерде өзгертуге болмайтыңдығында, айталық екінші немесе
бесінші — барлығы бірден қолданылады, оның жеке мәндеріне қатынауға
болмайды. Бірнеше компонентті айнымалының әрбір мәндеріне қатынау қажетті
болған жағдайда ол массив түрінде — бір өлшемді немесе екі өлшемді
матрицалар түрінде берілуі қажет. Қатынау вектордың әрбір элементіне немесе
массивке мәндер меншіктелуі мүмкін екендігін және әрбір элементке осы
мәндерді есептеу арқылы жетуге болатынын білдіреді. Осылай, вектор
элементі, мысалы V болса, Vi индексті айнымалы болып табылады.
Массивтер сандық мәліметтермен қатар, символдық мәліметтерді де құрауы
мүмкін.
- сандық мәліметтермен берілген вектор бағанасы
(а b + с d) — символды мәліметтермен берілген вектор қатары
- түрлі типтегі элементті матрица
Осыған дейін белгілі болғандай, Маthсаd 2001-де векторлар мен матрицалар
Маtһсаd-тың бұрынғы версияларындағыдай квадрат жақшада емес, ұзын дөңгелек
жақшада беріледі.
Индексті айнымалыларды қолдану. Маthсаd -та массив те кез-келген
айнымалы тәрізді атымен беріледі. Элементтің орны вектор үшін бір индекспен
немесе матрица үшін екі индекспен беріледі. Индекстеудің төменгі шегі 0
немесе 1 (үнсіз келісім бойынша оның мәні О-ге тең) мәндерін қабылдайтын
ORIGIN жүйелік айнымалысымен анықталады. Индекстер тек бүтін оң сандар
(және ноль) болуы мүмкін. Индексті енгізу үшін [ — ашылған тік жақша
белгісі қолданылады. Индексті айнымалыларды индексінде өзінің аты болатын
скалярлы айнымалылармен жаңылыстыруға болмайды. Мысалы І1 тогы, мұндағы
төменгі индекс жай ғана "бірінші ток" дегенді білдіреді, кейбір электрлік
схемалардағы 1 бұтақтағы ток. Осы тәрізді индекстер — айнымалы атын
көрсететін индекс нүктенің көмегімен енгізіледі, енгізу курсорының көк
бұрышы мұндайда индекстің енгізу облысын ғана емес, барлық атын қамтиды.
Өкінішке орай, дисплей экранында индексті айнымалылар мен атын көрсететін
индексті айнымалылар нашар ажыратылады: жалғыз айырмашылығы — индексі атын
көрсететін скалярлы айнымалының индексі пробел арқылы ажыратылады, яғни ол
индексті айнымалының индексіне қарағанда оң жақта орналасады. Ол былай
көрінеді:
х1 — индексті скалярлы айнымалы;
х2 — индекстелген айнымалы.
Матрица элементтерінің аттары матрица атымен сәйкес келетін индекстелген
айнымалы болып табылады. Мысалы, келесі матрицаны алуға болады:
Бұл жағдайда екі индексті көрсетеді: біріншісі — қатар номері үшін,
екіншісі — бағана номері үшін. Мысалы, егер көрсетілген М матрицасының
орташа элементі ORIGIN =0 М1,1 дегенді, ал төменгі оң элементі М2,2 дегенді
білдіреді.
Векторлар және матрицалар элементтерін енгізу. Векторлар мен
матрицаларды олардың элементтерін енгізу жолы — индекстелген айнымалы
арқылы беруге болады. Айнымалы атынан кейін қатар астына түсіріліп
жазылатын индекстерді көрсету үшін ашылған квадрат жақша белгісі
енгізіледі.
Матрица элементтері үшін катар астына түсіріп жазылатын
индекстер оларды үтірмен бөлу арқылы енгізіледі.
Векторлар мен матрицаларды беру үшін не Маth (Вычисление — Есептеу)
менюінің Маtrices командасын қолдануға, не Ctrl+V пернелер комбинациясын
басуға, не матрица шаблоны бейнеленген батырманы шертуге болады. Осы іс-
әрекеттердің кез-келген матрицаның өлшемін, яғни оның қатар т және бағана п
санын көрсететін диалог терезесін шақырады. Векторлар үшін осы
параметрлердің біреуі 1-ге тең болуы керек. m=1 болғанда, вектор кдтарын,
ал п=1 болғанда, вектор бағанасын аламыз. Матрица тп элементтер саны бар
екі өлшемді массив болып табылады.
Векторлар мен матрицаларды беру. Индекстелген айнымалылар үшін басқа
қарапайым айнымалылар тәрізді меншіктеу және шығару ережелері де
қолданылады. Массив шаблондарын қолмен толтырмай-ақ, өлшемі мен түрін беру
арқылы меншіктеу операторының көмегімен массивті (вектор немесе матрицаны)
құруға болады (5.1-сурет).
Сонымен қатар, бейнелеудің үлкен өлшемді массивті көрсетуді
қамтамасыз ететін айналым сызықтары бар
электронды кесте түріндегі нұсқасы да бар.
ВЕКТОРЛАР МЕН МАТРИЦАЛАРДЫ БЕРУ
Арнайы матрица
Векторлық және матрицалық операторлар
Маthсаd жүйесі векторлар мен матрицалар жұмысы үшін
операторлар мен функциялар қатарын қолданады. Алдымен,
төмендегідей мағыналарды ұстанатын операторларды
қарастырайық: V — вектор үшін, М — матрица үшін, Z— скаляр төбелер үшін.
Оператор Пернелер Түсіндіру
V1+V2 V1+V2 V1 және V2 векторларын қосу
V1-V2 V1-V2 V1 және V2 векторларын алу
-V -V V векторы элементтерінің алмасу
ережесі
-M -M M матрицасы элементтерінң алмасу
ережесі
V-Z V-Z V векторы элементтерінің барлығынан Z
скалярын алу
Z*V,V*Z Z*V,V*Z V матрицасын Z скалярына көбейту
Z*M,M*Z Z*M,M*Z М матрицасын Z скалярына көбейту
V1*V2 V1*V2 V1 және V2 векторларын скаляр көбейту
M*V M*V М матрицасын V векторына көбейту
M1*M2 M1*M2 М1 және М2 матрицаларын көбейту
VZ V векторы элементтерінің барлығын Z
скалярына бөлу
MZ М матрицасын Z скалярына бөлу
M-1 M^-1 М матрицасының айналуы
Mn M^n М матрицасының n дәрежесін табу
V векторы модулін есептеу
Матрица анықтауышын есептеу
VT V Ctrl ! V векторының транспонирленуі
MT M Ctrl ! М векторының транспонирленуі
V1×V2 V1 Ctrl*V2 V1 және V2 векторларын векторлық
көбейту
Alt $ V V векторы элементтерінің қосындысын
табу
V Ctrl - V векторын векторлау
M Ctrl - M матрицасын векторлау
Mn M Ctrl^n М матрицасының n-ші бағанасын ажырату
Vn V[n V векторының n-ші элементін ажырату
Mm,n M [(m,n) М матрицасының (m,n) элементін ажырату
M M Ctrl+T М матрицасында сақталатын суретті қою
V, M Комплексті кездесетін матрицаларды алу
Кейбір операторларды енгізу үшін Сtrl пернесі қолданылатындығын айта
кетейік, ал Маthсаd жүйесінің алдыңғы версияларында Аlt пернесі қолданылған
болатын (соңғы версиясында Аlt пернесі меню қатарын активтеуге арналған).
Жоғарыда көрсетілген барлық операторларды (соңғысынан басқасын матрицалық
операциялар палитрасынан шақыруға болады).
Векторлау операторы
Келтірілген операциялардың көпшілігі матрицалық есептеудің математикалық
аппаратынан белгілі. "Векторлау" түсінігімен қатар кейбір скаляр
операцияларды іске асыру векторлау операторларымен белгіленген векторлар
мен матрицалардың барлық элементтері түсініледі. Мүны параллель есептеулер
мүмкіндігі деп те түсінуге болады.
Векторлау математикалық формулалардың мағынасын, тіпті Маthсаd -тың
алдыңғы версияларыңда мүмкін болмайтын формулаларды өзгерте алады. Мысалы,
егер V вектор болса, онда соs(V) формуласы мүмкін болмайды, себебі соs
функциясының аргументі тек скаляр айнымалы болады. Алайда, соs(V) функциясы
векторлау операторымен бастапқы V векторының элементіне сәйкес келетін
әрбір элементінде косинусы бар векторды береді.
Маthсаd 820002001-ге кезекті жетістігі — функция аргументі ретінде
матрицалар мен векторларды беруге болатындығы енгізілген. Осындай жолмен, V
вектор болған жағдайда, соs(V) формуласы векторлау операторларын қолданбай-
ақ мүмкін бола алады. Маthсаd 820002001 жүйесінде векторлау автоматты
түрде орындалады. Осы жағдайда, біздің мысалымызда V векторының элементіне
сәйкес келетін әрбір элементі косинусқа тең вектор беріледі.
Векторлау ұзын стрелка белгісі астындағы формуланың орны болып табылады.
Мысалыға, егер А және В — векторлар болса, онда А • В осы векторлардың
скаляр көбейтіндісін береді. Бірақ, бүл векторлау белгісі астындағы
көбейтінді А және В векторларының j-шы элементі көбейтіндісі бар j-шы
элементті жаңа векторды құрайды.
Сонымен, векторлау массивті скаляр операторлар және функцияларды
қолдануға мүмкіндік береді. Бұл математикалық алгоритмдер жазбасын, әсіресе
параллель есептеулерді қамтамасыз ету жазбасын қысқартады.
Векторлық және матрицалық функциялар
Маthсаd сызықтық алгебра және вектор мен матрицалар қосымшаларының баска
да сферасындағы тапсырмаларды шешуді жеңілдететін тізілген векторлық
және матрицалық функциялар
қатарын құрайды:
❖ length(V) — вектордың элементтер санын береді;
❖ last(V) — соңғы элементтің номерін береді;
❖ тах(V) — вектордың (немесе матрицаның) максимальды
элементін береді;
❖ тіп(V) — вектордың (немесе матрицаның) минимальды элементін
береді;
❖ Rе(V) — вектордың нақты бөлігіндегі комплексті элементті
векторды береді;
❖ Іт(V) — вектордың жорамал бөлігіндегі комплексті элементті
векторды береді;
❖ (i,j,k) — үшінші рангың антисимметриялық тензордың бірлік
толығы, мұндайда і, j және k (немесе егер ORIGIN≠0 болса,
ORIGIN -нан ORIGIN -ге дейін) болуы керек; егер кез-келген екі
аргумент тең болса, нәтиже 0-ге, егер үш аргумент жұп
алмастыру (0, 1, 2) болып табылса 1 және егер үш аргумент тақ
алмастыру (0, 1, 2) болып табылса, нәтиже -1 болады.
Матрицалык, функциялар. Матрицамен жұмыс істеу үшін
сонымен бірге құрамдас функция қатары да бар:
❖ augment(М1, М2) — қатар саны бірдей екі матрица М1 және М2
матрицаларын бір матрицаға біріктіреді (біріктіру "көлденең"
жүреді);
❖ identity(п) — пхп өлшемдегі бірлік квадрат матрицаны құрайды;
❖ stack (М1, М2) — бағана саны бірдей екі матрица — М1 және М2-
ні "тігінен" біріктіреді;
❖ submatrix(А, ir, lr,ic,jc) - ir-ден jr -ге дейінгі қатарды және iс-
ден
jс-ға дейінгі бағананы құрайтын барлық элементтен тұратын ішкі
матрицаны береді;
❖ diag(V) - элементтері V векторының элементтеріне тең бас
диогональ болатын диогональ матрицаны құрайды;
❖ matrix(т,п,f) — і=0,1,...,т және і=0,1,...,п, f(i,j) — кез-
келген
функция болатын (i,j-шы элементі f(і,j)-ға тең матрицаны
құрайды;
❖ Rе(М) - М матрицасының накты бөлігіндегі комплексті
элементті матрицаны береді;
❖ Іт(М) ~ М матрицасының жорамал бөлігіндегі комплексті
❖ элементті матрицаны береді.
Матрицаның арнайы мінездемесін беретін функциялар. Келесі функциялар
матрицаның арнайы мінездемесін береді;
❖ соls(М) — М матрицасының бағана санын береді;
❖ rows(М) ~ М матрицасының қатар санын береді;
❖ rапk(М) — М матрицасының рангін береді;
❖ tr(М) — М квадрат матрицасының ізін (диогональ элементтердің
қосындысын) береді;
❖ теап(М) — М массиві элементтерінің орташа мәнін береді;
❖ теdіап(М) — М массиві элементтерінің медианыны береді;
❖ сопd(М) — матрицаның L1 нормасында есептелген, алдын-ала
келісілген санын береді;
❖ сопd2(М) — матрицаның L2 нормасында есептелген, алдын-ала
келісілген санын береді;
❖ сопde(М) — матрицаның Евклид кеңістігі нормасында есептелген,
алдын-ала келісілген санын береді;
❖ сопdі(М) — матрицаның шексіз нормаға негізделген алдын-ала
келісілген санын береді;
❖ поrm(М) — М матрицасының L1 нормасын береді;
❖ поrт2(М) — М матрицасының L2 нормасын береді;
❖ поrте(М) — М матрицасының Евклид нормасын береді;
❖ поrті(М) — М матрицасының шексіз нормасын береді.
Векторлық және матрицалық операторлар мен фунщияларды колдану мысалдары.
5.2-суретте кеңінен тараған векторлық операторларды қолдану мысалдары
келтірілген.
Векторлармен жұмыс
Векторды константаға көбейту
Үш вектордың берілуі және
олардың қосылуы
Екі векторды көбейту
Екі үш элементті векторларды кросс-көбейту
V векторы элементтерінің қосындысы
V векторын транспонирлеу
V векторын векторлау
V векторының нормасын есептеу
U векторы элементтерін ажырату
length (V)=3 last (V)=2 V векторының құрамдас
max (V)=3 min (V)=1 функциясын есептеу
Маthсаd қарапайым сандар мен айнымалылар тәрізді матрицалар және
векторлар мен жұмысты да жасайды. Бұл, әрине, ғылыми-техникалық және баска
да есептерде математикалық есептеулерді векторлық және матрицалық
тәсілдерін енгізуге мүмкіндік туғызады.
5.3 және 5.4-суреттерде матрицалармен жұмыс үшін операторларды қолдану
қарастырылған.
Матрицамен жұмыс — 2
А матрицасының екінші бағанасын
(нөлден
бастап) ажырату
A1,1=4 A0,0=2 A2,1=3 А матрицасының элементтерін
ажырату
А және В матрицаларын қосу
V векторын векторлау
А матрицаның комплексті элементтерін беру
В комплексті-түйіндес матрицасын алу
Қосымша матрицалық функциялар. Маthсаd 2001 РRОРгеmium-ның кәсіби
версиясына қосымша матрицалық функциялар қатары енгізілген. Олар
төмендегілер болып саналады:
• eigenvals(М) — М матрицасының мәндерін құрайтын векторды
• береді;
• eigenves(М,Z) — M матрицасын көрсету үшін және нақты берілген
мәнін Z осы нақты мәніне сәйкес келетін векторды береді;
• eigenvecs(М) — М матрицасының нақты векторы болып
табылатын матрицаны бағаналармен береді (векторлардың
орналасу реті eigenvals функциясын беретін нақты мәндерінің
ретіне сәйкес келеді);
• genvals(М,N) — М∙х=vi∙N∙х теңдігінің нәтижесіне (M және N матрицалары
нақты болу керек) сәйкес келетін vi қорытынды нақты мәнінің векторын
береді;
• genvals(М,N) — мөлшерленген қорытынды нақты векторларды құрайтын
вектор бағаналарын береді;
• lu(М) - М матрицасын үшбұрышты жіктеуді орындайды:
Р ∙ М=L∙U, мұнда L жэне U-нақты төменгі және жоғарғы
үшбұрышты матрицалар, Р- алмастыру матрицасы; қалған төрт
матрица бір қатардың квадрат матрицалары;
• qr(А) — А матрицасын жіктеуді береді: А=Q∙R, Q — ортогональ
матрица, R — жоғарғы үшбұрышты матрица;
• svd(А) — n×m өлшемдегі А сингуляр жіктелуін береді: А=U∙S∙VT,
мұнда U және V т×т және п×n өлшемдегі ортогональ
матрицалар, S — диогональдарына А матрицасының сингуляр
сандары орналасқан диогональ матрица;
• svds(А) — тіп болатын т×п өлшемді А матрицасының сингуляр
сандарын құрайтын векторды береді;
• geninv(А) — сол кері А матрицасы: L∙А=Е, мұнда Е п×п
өлшемдегі бірлік матрица, L— п×т өлшемдегі тікбұрышты
матрица, А — т×п өлшемдегі тікбұрышты матрица.
Векторлар мен функцияларды сұрыптау функциялары. Windows үшін 3.0
версиясынан бастап, Маthсаd жүйесінде бірқатар қосымша сұрыптау
функциялары — векторлар мен матрицалардың элементтерін
алмастыру функциялары пайда болды:
• sort(V) — векгор элементтерінің мәндерін өсу қатары бойынша
сұрыптау;
• crost(М,п) — М матрицасының қатарын сұрыпталған п-ші
бағанасымен алмастыру;
• rsost(М,п) — М матрицасының бағанасын сұрыпталған n-ші
қатарымен алмастыру.
Осы функциялармен жиі вектор элементтерінің орналасу катарын қарама-
қарсыға (соңынан бастап) өзгертетін reverse(V) функциясы қолданылады.
Қосымша векторлық және матрицалық функцияларды колдану мысалдары. 5.7-
суретте бірқатар қосымша векторлық және матрицалық функциялармен жұмысты
көрсететін мысалдар қарастырылған.
Қосымша векторлық және матрицалық функциялар
Бастапқы вектор Тікелей сұрыптау Сұрыптаудан кейінгі реверс
Бастапқы матрица Бірінші бағана жөне бірінші қатар бойынша сұрыптау
А квадрат матрицасының нақты мәндері VЕ векторын есептеу
Векторға жататын 19.149 нақты мәнін есептеу
1.3. Mathcad сызықтық және сызықтық емес теңдеулерді программалау
есептерін шешу
Маthсаd жүйесінің векторлық және матрицалық операторлар мен функциялар
сызықтық алгебраның кең көлемді есептерін шешуге мүмкіндік береді.
Мысалыға, сызықтық теңдеулер жүйесі үшін А • Х=В матрицалық формадағы А
матрицасы және В векторы берілсе, онда есептеу векторын Х=А-1 • В формуласы
арқылы алуға болады. 5.8-суретте сызықтық теңдеулер жүйесін есептеу
мысалдары келтірілген.
Сызықтық теңдеулер жүйесінің есептері Маthсаd-тың 6-версиясынан бастап,
кең тараған жаттығулар болғандықтан, А матрицасының коэффиценттері және В
векторының бос мүшелері болғанда, А • Х=В сызықтық теңдеулер жүйесі үшін X
векторын беретін esolve(А,В) құрамдас функциясы енгізілген. Егер теңдік
саны п болса, В векторы п өлшемді, ал А матрицасы пп өлшемді болуы керек.
Осы функцияны қолдану мысалы 5.8-суретте де берілген.
А*Х=В сызыктық теңдеулер жүйесін есептеу
Сызықты теңдеулер жүйесінің комплексті
коэффициенттер матрицасы
Бос мүшелер векторы
Жүйенің шешімі
Шешім нәтижесі
lsolve функциясын қолдана отырып есептеу
Сызықтық емес теңдеулер мен жүйелерді шешу – математикалық жүйелерді
қолданудың дәстүрлі облысы. Бұл сабақта Маthсаd мұндай күрделі
тапсырмаларды шешетінін және қандай тәсілдерді қолданатынын білесіздер.
Сызықтық емес теңдеулердің түбірін табу
Көптеген теңдеулер, мысалы транценденттік теңдеулерде және жүйелерде
аналитикалық есептер болмайды. Алайда, олар сандық әдістер арқылы шешілуі
мүмкін. F(x)=0 түріндегі қарапайым теңдеулерді шешу
Root (Өрнек, Айнымалы_аты)
Функциясының көмегімен табылады.
Бұл функция берілген дәлдікпен өрнек 0-ге тең болғанда, айнымалының
мәнін береді. Функция есептеуді итерациялық әдіспен жүзеге асырады, оны
қолдану үшін алдымен айнымалының бастапқы мәнін беру керек. Бұл бірнеше
есептерді шешуде тиімді. Сонда олардың біреуін таңдау айнымалының бастапқы
мәнін таңдаумен анықталады. 6.1-сурет кубты полиномның түбірін есептеу үшін
root функциясын қолдану техникасын бейнелейді.
root және polyroots функцияларының қолданылуы
a3 :=2 a2 :=-8 a1: = 25 a0 :=-64 Полином
коэффициенттері
F (x) :=a3 ∙x3+a2 ∙x2+a1 ∙x+a0 Полиномның
берілуі
Нақты түбірді есептеу
x:=0 x1:= root (F(x),x) x1=3.211
Қалған екі (комплексті) түбірлерді есептеу
Кубтық полиномның комплексті түбірлері өзара түйіндес болып табылады!
V0: = a0 V1: = a1 V2: = a2 V3: = a3
рolyroots функциясын қолдану мысалы:
Белгілі болғандай, кубты теңдеудің міндетті түрде кем дегенде х1 нақгы
түбірі болады. Ол root функциясының көмегімен табылған. Басқа екі түбір
нақты болумен қатар комплексті де болады. Root функциясы кез-келген түбірді
таба алады. Екінші түбір х2-ні іздеу үшін бірінші Ғ(х) (х-х1)-ге
бөліндісінде жойылады. Соған сәйкес үшінші түбір хЗ-ті іздеу үшін бөлу
процедурасын қайталау қажет, осыдан Ғ(х) (х-х2)-ге бөлінеді. Бүл
процедураны жоғары дәрежедегі полином түбірлерін табу үшін де қолданады,
алайда полином түбірлерін табуда символдық есептеу операцияларын қолдансақ,
әлдеқайда кдрапайым әдіс болатынын есте ұстаған жөн.
Көрсетілген root функциясының жазылу формасы Маthсаd 8.0 версиясымен
қатар, Маthсаd 20002001-де де қолданылады. Алайда соңғы жүйеде бүл
функцияның мүмкіндігі кеңейген және ол мына түрде жазылуы мүмкін:
Root (Өрнек, Айнымалы_аты, а, b)
Мүндағы а жөне b — түбір табудағы интервал шектері. Rоot функциясының
мүндай қолданылуы есептерді шешуде негізгі емес, мысалы физикалық
есептердегі түбірді шығарудан құтылуға мүмкіндік береді. Мүндайда бүл
айнымалы берілген [а,b] интервалында анықталғандықтан, функцияның бастапқы
х мәнін беру керек. Мысалы:
Root(х2 - 9, х, 0, 5) = 3
Root функциясы қолданушының функциялар
құрамында
Root функциясын қолданушы функциялары құрамында да қолдануға болады.
Бұған 6.2-суретте көрсетілген G(а,х) функциясын есептеу мысал бола алады.
Root функциясының қолданушы функциялар құрамында қолдану
G(a,x):=root(eX-a ∙x2,x)
a:=1..10 x0=0 xa: = G(a, x a-1)
1 -.0.704
2 -0.54
3 -0.459
4 -0.408
5 -0.371
6 -0.344
7 -0.322
8 -0.304
9 -0.289
10 -0.276
Қолданушы функциялар құрамында root функциясының көмегімен G(а,х)
функциясын есептеу
1.4. Массивтердің векторларды және матрицаларды есептеу операторларымен
жұмыс істеу
Теңдеулер жүйесін шешуде блокты дайындау
Сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешуде қызметші сөз — Given
директивасымен ашылатын арнайы есептеу блогы пайдаланылады және ол мына
құрылымда жазылады:
Бастапқы шарт Given
Теңдеу
Шектелетін шарт
Ғіпd, Міпеr, Махітіze және Міпітіze функциялары
бар өрнектер
Бастапқы шарт ізделіп отырған айнымалының бастапқы мәнін анықтайды және
var:=value түрінде беріледі, яғни айнымалының берілген мәнін қарапайым
меншіктелумен беріледі. Егер айнымалылар бірнеше болса, онда бастапқы шарт
үшін векторлық түсінік қолданылады. Теңдеу expr_left =expr_right_ түрінде
беріледі, мұндағы теңдеудің оң және сол жақ бөліктерінің арасында
қарайтылған "=" белгісі қолданылады. Шектелетін шарт тендеулер жүйесін
шешуді қанағаттандыратын теңсіздік немесе теңдік түрінде беріледі.
Блокты тендеулер жүйесін бақылаумен толықтыру ұсынылады. Маthсаd -тың
алдыңғы версияларында теңдеулер саны 50-мен шектелген болатын, ал
шектелетін шарттардың саны теңдеулер санымен дәл сәйкес келуі керек.
Маthсаd 20002001 РRО-да шектеу алынған, ал жүйеде теңдеулердің максимальды
саны 200-ге дейін жеткен. Бірақ, ең маңызды мүмкіндік — сызықтық емес
теңдеулерді тек бастапқы шартының берілуінде шешу ғана емес, шектелген
шартты тендеулерді векторлық формада шешу. Мүндай шешім символдық формада
да табылуы мүмкін.
Сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешуге арналған функциялар.
Блокта төмендегі екі функцияның екеуінің біреуі қолданылады:
• Fi(у1, у2, ..., уп) — дәлдікпен шешуде бір немесе бірнеше
айнымалылардың мәнін береді;
• Міпеrr (v1,v2, ..., vn) — бір немесе бірнеше айнымалылардың
жуық мәнін береді.
Осы екі функцияның арасында айырмашылықтар бар. Біріншісі — функция
шешімі бар болған жағдайда (аналитикалық болмаса да) қолданылады. Екінші
функция шешімнің орташа квадратты қателігі жолымен максимальды жуығын
береді.
Сызықтық емес теңдеулерді шешуде шектеулер енгізу. Сызықтық емес
жүйелерді көбінесе айнымалылардың немесе өрнектердің белгілі-бір шектеулер
арқылы шешуге тура келеді. Мұндай шектеулер теңдік немесе теңсіздік түрінде
болады. Оларды беру үшін төменде келтірілген логикалық операторлар
қолданылады.
Оператор Пернелер
Оператор мәні
е1: е2 е1е2 е1үлкен е2-ден
е1 е2 е1 е2 е1кіші е2-ден
е1≥ е2 е1Ctrl)е2 е1үлкен немесе тең е2-ден
е1≤ е2
е1≠ е2
е1= е2
е1Сtгl(е2 е1кіші немесе тең е2-ден
е1Сtгl# е2 е1тең емес е2-ге
е1Сtгl= е2 е1тең е2-ге
Сызықтық емес теңдеулерді шешу мысалдары. Ғіnd және Міnеrr
функцияларын бір немесе бірнеше тендеулерді шешу үшін колданады. 6.3-сурет
Gіvеп блогында символдық (логикалық) теңдік белгісі орнына меншіктеу
операторын қолданудың қате екендігін көрсетеді. Сондықтан жүйені шешудің
мұндай жолы қате туғызатынын береді.
x:=10 x^2:=3 теңдеуін шешуде
x:=10 дәлдікпен
берілуі қате етеді.
Сондықтан жүйені шешу
Given жолының қате екендігі туралы
жауап беріп
x2:=3 x0:=Find(x) тұр: х0 мәні қызыл түспен белгіленген.
x:=10
Given
x2=3 Алайда, жуық теңдік түріндегі
x0:=Find(x ) теңдеудің берілуі шешімін табуға
x0=1.732 мүмкіндік береді.
x:=10 Сонымен қатар, minerr
функциясын қолдана
Given отырып шешу есептің шешімін
табуға
x2:= 3 мүмкіндік береді.
х1:=MinErr(x)
Осыған дейін ескертілгендей, Given блогында тендеуді жазу үшін ерекше
қарайтылған теңдік белгісі қолданылады. х:=10 меншіктеуі Ғіпd және Міпеrr
функциялары теңдеулерінің түбірлерін табу үшін бастапқы мәнді береді.
Түзудің параболамен қиылысу нүктелері
Бірінші шешімді табайық
Given
х:= -6,-5.75.. 6
График 8+Зх түзуі мен х^2 параболасы екі нүктеде шамамен -1.7 және +4.8
нүктелеріңце қиылысатындығын көрсетеді
x:= о у := 0 болғанда, бірінші шешімді іздейік
х о шегінде шешілген теңдеулер жүйесі
у=х у=8 + 3-х
хО уО
:= Ғіnd(х,у)
Табылған бірінші шешім
x02
= 2.895 8 + 3 –х0= 2.895 y шешімін есептеуді тексеру
Екінші шешімді табайық (біріншіге ұқсас, бірақ х0 шегін береміз)
Екі есепті шешуді — парабола мен түзудің қиылысу нүктесін табуды
көрсетеді. Біздің жағдайда түбірді табу облысы берілген (х0 теріс түбір
үшін, ал оң түбір үшін х0) шектеулі шартты екі теңдік (олардың біреуі
сызықгық емес) жүйесі Ғіпd функциясының көмегімен шешіледі. 6.5-суретте
тағы бір мысал сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешу көрсетілген (бұл жолы
Міпеrr функциясының көмегімен).
Сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешу үшін Міпеrr функциясын сақтықпен
пайдаланған жөн және шешуін міндетті түрде тексерген жөн. Шешуі қате
болғанда, жүйе бірнеше түбірлердің ішінен қате түбірді үсынады. Шешімнің
бастапқы жуықтауын дәл берген тиімді.
Сызықтық емес тендеулердің жуық шешімі
х := о у := 1 Айнымалылардың бастапқы мәндері
Given Есептеу
блогының басы
(х2 +1) + (у2 + 1) = 5.5 Шешілетін тендеулер жүйесі
х + у = 0.95
z:= МіпЕrr (х, у)
Табылған шешім
Шешімді тексеру
z0 + z1 = 0.95
Міпеrr функциясының көмегімен екі теңдеуден
тұратын жүйені шешу
Итерациялық есептеуді жүзеге асыру
Фибоначчи сандарын рекурентті есептеу. Маthсаd жүйені есептерді
рекурентті қатынаста есептеуде жүзеге асыруға мүмкіндік береді. Бұл кейбір
функциялардың мәндері олардың өткен бір немесе бірнеше мәндерінде болатын
қатынас. Фибоначчи сандарының есебі рекурентті есептеуге мысал бола алады.
Фибоначчидің алғашқы екі саны 1 тәрізді анықталғаны белгілі, ал әрбір
кейінгілері алдыңғы екеуінің қосындысы.
9.6-суретте Фибоначчидің 10 санынан құралатын векторды дайындауды
бейнелейді. Бұл мысал рекурентті формула бойынша қайта-қайта есептеуге
сәйкес келеді.
Рекурентті теңдеулер жүйесін шешу мысалдары. Жалпы
жағдайда, рекурентті есептер формулалар бойынша есептеледі. Маthсаd
жүйесінде есептеудің мүндай түрі векторлық формада жүзеге асады. Мұндай
жағдайда айнымалы мәндерін табу қатар бойынша емес, бағана бойынша жүреді.
Эпидемияның дамуын бейнелейтін параметрлер (MS DOS үшін Маthсаd 2.01
жүйесінде қолданылатын бір мысалды алу) есептелген. Мұнда эпидемияның дамуы
мен басылуын бейнелейтін дифференциалдық теңдеулер жүйесі — ақырлы-
айырымдық әдіс арқылы шешіледі. Айнымалының бастапқы мәні (дені сау және
ауру адамдардың саны, т.с.с.) бастапқы шарттың векторымен берілген, р
параметрі профилактика өлшемін суреттейді, мысалы, жүргізілген егулер,
тәсілдерді өзіндік профилактикада қолдану, т.с.с. 6.7-суретте есеп айыратын
қатынас ақырлы-айырымдық теңдеулер жүйесінің жазылуынан екендігі айқын.
Эпидемияның өсу моделі
Бастапқы мән Векторлық формадағы итерациялық өрнек
t:=0..12
Рекурентті жүзеге асыру көптеген күрделі тәсілдері және басқа да
есептеулерді шешуге болады. Мысалы, кез-келген әдісті дифференциалды
теңдеулер жүйесін шешу жатады, мысалы, Эйлер, Рунге-Кутта, т.б.
Оптимизация есептерін шешу
Оптимизация есептерін шешу — математикалық әдістерді
қолданудың маңызды сфераларының бірі. Бүл есептерге сызықтық
программалау есептері, бірнеше айнымалылардың
функцияларының максимумы мен минимумын табу және басқа да есептер жатады.
Маthсаd-тың бүрынғы версияларында берілген класс есептерінің
алгоритмін табу мен жүзеге асыруда аздаған әдістер, мысалы, Міпеrr
функциясын қолданып шешу мүмкіндігіңде шектеулер болатын. Жаңа версиясында
берілген класс есептерін шешуді жүзеге асыратын арнайы функциялардың
енгізілуінің әсерінен мұндай шектеулер жойылды.
Розенброк функциясының минимумын табу. Жаңа функцияларды карастырмас
бұрын, типтік оптимизациялық есеп — Розенброк функциясының минимумын
табу үшін тіпеrr функциясының қолданылуын қарастырайық. Бүл типтік
тексттік функция көптеген оптимизация алгоритмдерін жүзеге асыруды
қиындататын терең жыраны еске түсіретін жазықтық. 9.8-суретте берілген
есепті тіпеrr функциясын қолдана отырып, градиенттік әдіспен шешу жолы
көрсетілген.
Розенброк функциясының минимумын табу
х:=1.2 у := 6 х және у инициалы
f(x,y): =100(y-x2)2+ (1-x)2 Розенброк функциясы
Given Есептеу блогының басы
Минимум шарты
minerr функциясының көмегімен минимумды табу
x=1 y=1 f(x,y)=1.152×10-10 Шешімді тексеру
Розенброк функциясының графигін салу
i:=0.. 100
j:= 0.. 100 ai: =0.01 ∙i -0.5 bj: =0.01∙j-0.5
Mi,j:=f(ai ,bj)
Розенброк функциясының минимумын табу есебін шешу
Берілген есептің көрсетілген әдіспен шешу х және у айнымалылары бойынша
берілген функцияның туындысын есептеуді талап ететінін байқау қиын емес.
6.9-суретте Розенброк жазықтығының графигі салынған.
Маthсаd жүйесінде берілген алгоритм мұндай күрделі есеп — максимальды
нақты мәнімен (1,1) нүктеде функцияның минимумын табуды өте жеңіл
орындайды.
1 -сурет. Розенброк функциясының графигі
м
тахітzе және тіпітіzе функциялары. Максимальды немесе минимальды мәндері
болатын кейбір функциялардың f(хі, х2, ..., хп) хі, х2, ..., хп
айнымалыларының мәнін табу үшін тахітіzе(f х1, х2, ..., хп) және
тіпітіzе(f, хі, х2, ..., хп) функциялары қолданылады.
Бұл екі функция да алгоритмдердің жазылуын қысқартумен қатар, оларды
шешуге мүмкіндік беретін f(хі, х2, ..., хп) функциясының туындысын табуды
талап етпейтін оптимизацияның әмбебап алгоритмдерін жүзеге асырады.
Бүл функциялар Given директивасымен ашылатын есептеу блогының құрамында
қолданылуы қажет және максимальды, минимальды мәндері бар болатын белгісіз
векторды береді. Блоктың ішінде теңдік және теңсіздік түріндегі әртүрлі
шектелген шарттар болуы мүмкін. Шарттардың саны тек ДК-ның жадысымен
шектеледі, яғни шектелмеген дерлік.
Есептеу блогының алдында ізделіп отырған айнымалының бастапқы мәнін беру
керек. Олар нақты шешімге жақын болған сайын, дұрыс нәтиже жылдамырақ
алынады.
Розенброк функциясының максимумы мен минимумын табу.
Махіmіzе және Міnіmіzе функцияларын қолдана отырып,
Розенброк функциясының максимумы мен минимумын табу есебін қарастырайық.
Берілген есептің шешімі жүзеге асырылған құжаттың бірінші бөлімі ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz