n-өлшемді векторлық кеңістк

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 26 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны.

Кіріспе . . . 2

I тарау. n-өлшемді векторлық кеңістік . . . 3

§1. R ⁿ анықтамасы . . . 3

§2. R ⁿ кеңістігіндегі метрика . . . 5

§3. R ⁿ кеңістігіндегі норма . . . 9

§4. R ⁿ кеңістігіндегі скаляр көбейтінді . . . 11

II тарау. R ⁿ кеңістігіндегі сызықты функционал

және сызықты оператор . . . 14

§5. R ⁿ кеңістігіндегі сызықты функционал . . . 14

§6. R ⁿ кеңістігіндегі сызықты оператор . . . 16

§7. Түйіндес және өзіне-өзі түйіндес оператор . . 20

Қорытынды . . . 23

Пайдаланылған әдебиеттер . . . 24

Кіріспе.

Бұл курстық жұмыста n-өлшемді векторлық кеңістік қарастырылады. Ол 2 тараудан және 7 параграфтан тұрады:

§1-де R ⁿ векторлық кеңістігінің анықтамасы беріледі.

§2-де Метрика ұғымы енгізіліп, R ⁿ кеңістігіндегі метриканың 4 түрі көрсетіледі.

§3-те R ⁿ кеңістігіндегі норма ұғымы енгізіледі. R ⁿ кеңістігіндегі норманың 3 түрі қарастырылады. Сол 3 норманың эквиваленттілігі айтылады.

§4-те скаляр көбейтіндінің анықтамасы және ортогональ векторлардың анықтамасы айтылады.

§5-те функционал жайлы анықтама беріліп, сол функционалдың сызықты болатыны көрсетіледі. Сызықты функционалдың нормасына да тоқталып, мысалдар келтіріледі.

§6-да R ⁿ кеңістігіндегі сызықты оператор жайлы айтылады. Ол 2 тақырыптан тұрады:

Сызықты оператордың анықтамасы айтылады.
Rn-ді Rmбейнелейтін сызықты оператордың жалпы түрі қарастырылады.

Сызықты оператордың нормасына да тоқталып кетіледі.

§7-детүйіндес және өзіне-өзі түйіндес операторлар қарастырылады. Мұнда операторды матрица түрінде беріп, сол матрицаға түйіндес матрица табылады. А=A ^* болса, онда А операторы өзіне-өзі түйіндес болатыны айтылады

I-тарау.

n-өлшемді векторлық кеңістік .

§1. R ⁿ анықтамасы .

Вектор ұғымы математиканың негізгі ұғымдарының бірі болып саналады.

Анықтама: Вектор деп жинақталатын (
\[{\tilde{d}}_{1},{\tilde{d}}_{2},\cdot{\cdot{\tilde{d}}_{n}}\]
) және белгілі бір ретпен орналасқан
\[{\tilde{d}}_{1},{\tilde{d}}_{2},\cdot{\cdot{\tilde{d}}_{n}}\]
(n -
\[\textstyle\bigvee\]
натурал сан) натурал сандар тізбегін айтамыз. Векторды бір әріппен белгілейміз де, ол төмендегідей жазылады

\[{\mathcal Q}\,\]
= (
\[{\tilde{d}}_{1},{\tilde{d}}_{2},\cdot{\cdot{\tilde{d}}_{n}}\]
)

\[{\tilde{d}}_{1},{\tilde{d}}_{2},\cdot{\cdot{\tilde{d}}_{n}}\]
сандарын а векторының координаттары деп атаймыз.
\[{\mathcal Q}\,\]
= (
\[{\tilde{d}}_{1},{\tilde{d}}_{2},\cdot{\cdot{\tilde{d}}_{n}}\]
) және
\[b=(b_{1},b_{2},...,b_{n})\]
векторларын тең деп атаймыз, сонда тек сонда ғана
\[a_{i}=b_{i}\]
болғанда
\[i={\overline{{1,n}}}\]

Барлық координаттары нөлден құралатын векторды нөлдік вектор деп атаймыз да, ол былай белгіленеді Ө.

\[{\mathcal Q}\,\]
және
\[\mathit{\mathcal{I}}\]
векторларының қосындысы деп
\[{\mathcal Q}\,\]

\[-\downarrow\leq{\sqrt{{\cal D}}}\]
векторына айтамыз. Ол төмендегідей формуламен анықталады:

\[{\mathcal Q}\,\]

\[+b=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},...,a_{n}+b_{n})\]

Сол сияқты а векторының
\[\mathcal{A}\]
-нақты санына көбейтіндісі былай анықталады:

(
\[l\;\dot{a}=l\;\dot{a}_{1},l\;\dot{a}_{2},...,\lambda\;\dot{a}_{n}\]
)

Жоғарыдағы анықтамалардан векторлар үшін келесі алгебра заңдары орындалады.

1)
\[\hat{d}+J=D+Q\]
(комутативтік қосынды)

2)
\[(a+b)+c=a+(b+c)\]
(ассоциативтік қосынды)

3)
\[l~(\dot{a}+b)=l~a+\lambda~b\]
(дистрибутивтік көбейтінді

4)
\[(l\leftrightarrow m)\dot{a}=l\ a+\mu a\]
мен қосынды)

5)
\[l~(m\Delta)=(\lambda\mu~)a\]
(ассоциативтік көбейтінді )

\[0^{\times}\dot{a}=\]

Екі вектордың айырымы келесідей анықталады.

\[a-\ b=a+(-1)b\]

Яғни

\[a-\ b=(a_{1}-\ b_{1,},a_{2}-\ b_{2,},...,a-b_{n})\]

Онда осы айырымнан келесі кері қосынды шығады

\[(a-b)+b=a\]

Нөлдік вектордың келесі қасиетке ие екендігін байқаймыз.

\[\tilde{a}+\hat{\imath}\,=a\]

\[\forall a\]

үшін.

Барлық векторлар жиынын n-өлшемді векторлық кеңістік деп атаймыз.

Бұл кеңістікті біз келесіде R ⁿ деп жазамыз. Барлық n-өлшемді векторлық кеңістіктерді өлшемді деп атаймыз.

R ⁿ кеңістігінің ортогональ координатасы деп бір координатасы 1-ге тең, ал қалған координаттары нөльге тең векторды айтамыз.

е ₁ =(1, 0, …, 0)

е ₂ =(0, 1, …, 0)

e _n =(0, 0, …, n)

\[{}^{\mathrm{t}}\,{\dot{\alpha}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in\]

Equation. 3 R ⁿ векторын мына түрде жаза аламыз.

\[a=a_{1}{}^{\star}e_{1}+a_{2}{}^{\star}e_{2}+\ldots+a_{n}{}^{\star}e_{n}\]

(1)

Олай болса

\[Q_{i}\]

координаттары е _i бірлік векторында

\[\mathbf{\hat{d}}\]

векторының проекциясының ролін атқарады.

§2. R ⁿ кеңістігіндегі метрика.

Анықтама 1: Е

\[\mathcal{Y}\]

элементтерден тұратын жиын болсын.

Егер Е жиынның

\[\forall x.y\]

нүктелеріне кейбір

\[\rho\left(x,y\right)\]

теріс емес санды сәйкестендіретін

\[\mathcal{P}\]

\[x*x\rightarrow R^{\prime}\]

функция анықталған болып

\[\rho\left(x,y\right)\,\ge0,\]

\[\rho\left(x,y\right)=\ 00\quad x=y\]

\[r\left(x,y\right)=\rho\left(y,x\right),\]

\[{}^{n}\,x,y\in E\]

\[r\,(x,y)\propto\,r\,(x,z)+\rho\,(z,y),\]

\[{}^{\nu}\,\times_{,}\,y_{,}\,z\in E\]

1) -3) шарттарды қанағаттандырса метрика деп атайды.

Анықтама 2: Егер Е жиында

\[\mathcal{P}\]

метрика анықталған болса, онда

\[({\mathcal{X}},\rho\,)\]

-ны метрикалық кеңістік деп атаймыз.

Лемма 1: Егер u, v>0, p, q>1 және

\[{\frac{1}{p}}+{\frac{1}{q}}=1\]

болса, онда

\[u^{\ast}v\;\pounds\;{\overset{d^{p}}{p}}+{\frac{v^{q}}{q}}\]

теңсіздігі орындалады.

Дәледеуі:

\[a\;>0\;\mathrm{P}\;\;\;y=x^{a},a\;>1\]

\[y=x^{a},a=1\]

\[\alpha\ <1\]

\[S_{1}=\stackrel{u}{\sim}\int^{a}d x;\]

\[S_{2}=\stackrel{u}{\textstyle\bigcup}^{\frac{1}{\alpha}}d y;\]

\[S_{1}=\frac{x^{a+1}}{a+1}\mid_{0}^{u}=\frac{u^{a+1}}{a+1}\]

\[S_{2}=\frac{y^{a+1}}{4}\mid_{0}^{\nu}=\frac{\nu^{a+1}}{a}\]

\[P=a\ +1\,\mathrm{P}\ \ {\frac{1}{P}}={\frac{1}{a+1}}\]

\[{\frac{1}{q}}=1-{\frac{1}{P}}=1-{\frac{1}{a+1}}{\frac{a}{a+1}}\not\,\textbf{p}q={\frac{a+1}{a}}\]

Лемма 2:

\[{}^{n}\,a,b\in R\]

сандар

\[{\mathfrak{p}}\gg1\]

саны үшін

Дәлелдеуі :

Теорема 1:

\[f\hat{{\imath}}\;\;L_{p},q\hat{{\imath}}\;\;L_{p},\frac{1}{{\cal P}}+\frac{1}{q}=1\]

\[p,q>1\,{\mathrm{P}}\ \ {\mathfrak{Q}}f(x)^{p}d x=L_{p},{\mathfrak{Q}}{\mathrm{e}}(x)^{q}d x=L_{q}\ {\Bigr|}{\Bigr[}f^{*}g{\Bigr]}d x<\infty\]

Гёльдер теңсіздігі . Егер

\[p=q=2\]

болса, онда Коши-Буняковский теңсіздігі келіп шығады.

Теорема 2: Егер

\[q,p>1,{\frac{1}{p}}+{\frac{1}{q}}=1\]

болса

\[\mathop{\stackrel{\mathrm{V}}{\Delta}}^{\textrm{P}}\Big|u_{k}\Big|^{P}<\frac{\Omega}{4}\!\!\Big|\mathcal{V}|^{q}<\infty\]

болса, онда

Енді 1-ші теореманы дәлелдейік.

\[u={\frac{\left|f{\bigl(}x\right)}{\left|\left|f\right|^{p}d x\right|}}\]

\[u^{\ast}v\;\pounds\;{\overset{u^{p}}{p}}+{\frac{v^{q}}{q}}\]

Теорема 3: Егер

\[p>1,f\bar{1}\ \ L_{p},g\in L_{p}\]

болса, онда

\[\left|f+g\right|\in L_{p}\]

және

\[\underline{{{\epsilon}}}_{{\S}}\Im f+g{\vert}^{p}d x_{{\Vert}}^{{\frac{1}{\Omega}}}\pounds\left\{\Im^{p}d x\right\}+\left[\vert{\xi}\vert^{p}d x\right]\]

Минковский теңсіздігі .

Дәлелдеуі:

2-лемма бойынша

\[\left(p-1\right)q=p\]

болғандықтан

Негізгі метрикалық кеңістіктер.

\[\begin{array}{r}{{R^{*}=\left\{x;x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\right\}}}\\ {{1)p_{i}(x,y)={\sqrt{\frac{\hat{\alpha}}{k_{n}}}}(x_{k}\cdot y_{k})}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\\ {{\mathrm{~}}}\end{array}\]

соңғы 4-ті дәлелдейік.

Анықтама : Е жиында

\[p_{1}p_{2}\]

метрикалар анықталған болып

\[{}^{\circ}\,x,y\in E\]

элементтері үшін

\[\mathrm{Sc}_{1},c_{2}>0\]

табылып,

\[c_{1}p_{1}(x,y)\mathbb{E}\ p_{2}(x,y)\leq c_{2}p_{1}(x,y)\]

теңсіздіктері орындалса, онда

\[p_{1}\approx p_{2}\]

эквивалентті R ⁿ кеңістігінде 1) -4) метрикалар бір-біріне эквивалент.

§3. R ⁿ кеңістігіндегі норма.

3 өлшемді кеңістіктегі вектордың ұзындығына ұқсас R ⁿ кеңістігінде де

\[\mathbf{\hat{d}}\]

векторының ұзындығы мен нормасы деген түсінікті енгізуге болады.

Анықтама 1: R ⁿ кеңістігінде вектордың нормасы деп мына санды айтамыз.

\[\left\|a\right\|={\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}}}={\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}}\]

Норманың басты қасиеттері:

\[\iota^{0}\lVert a\rVert\geq0\]

\[\forall a\]

үшін және

\[\lVert a\rVert=0\ \hat{U}\ \ a=\theta\,;\]

\[\begin{array}{l}{{2^{0}\Vert{\cal L}\,a\Vert=\Vert{\big\Vert}a\Vert,\nonumber}}\\ {{\downarrow}}\\ {{3^{0}\Vert a+D\Vert\,\tilde{\bf z}\Vert a\Vert+\Vert b\Vert}}\end{array}\]

1 ⁰ , 2 ⁰ қасиеттері көрініп тұр. 3 ⁰ -қасиет Минковский теңсіздігінен келіп шығады.

\[p=q=2\]

болған жағдайда

R ⁿ кеңістігінде норманы басқа да формулалармен көрсетуге болады.

Мысалы

\[\prod_{1\leq i\leq n}\left(|a_{1}|,|a_{2}|,\ldots,|a_{n}|\right)\]

Бұл норманың да 1) -3) қасиеттерін қанағаттандыратынын көрсетейік.

\[\left\Vert a\right\Vert\ \geq0\]

екені көрініп тұр.

Егер

\[\left\Vert a\right\Vert_{1}=0\]

болса, онда

\[\prod_{1\leq i\leq n}\left(|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|\right)\]

=0 яғни

\[\left|Q_{1}\right|,\left|Q_{2}\right|,\ldots,\left|Q_{n}\right|\]

сандарының ең үлкені нөлге тең. Онда барлық

\[i={\overline{{1,n}}}\]

үшін

\[\left|a_{i}\right|=0\]

яғни

\[{\mathcal Q}\,\]

векторы

\[a_{1}=0,a_{2}=0,...,a_{n}=0\]

координаталардан тұрады.

\[\hat{\mathrm{U}}\ \ a=(0,0,...,0)=\theta\]

нөлдік вектор.

\[\left\|a+b\right\|_{1}=\prod_{1\leq i\leq n}\left(a_{1}+b_{1}|,|a_{2}+b_{2}|,...,|a_{n}+b_{n}|\right)\]

\[i={\overline{{1,n}}}\]

үшін көрініп тұр .

\[\left|a_{i}+b_{i}\right|\mathcal{\leq}\left|a_{i}\right|+\left|b_{i}\right|\]

онда

\[\prod_{1\leq i\geq n}\!\!\!\!\mathrm{\tilde{|}}{a\!\!\!/}_{i}\!\!\mid\!\!a_{i}+b_{i}\!\!\mid\leq\prod_{1\leq i\leq n}\!\!\!\!\!\sf L\!|a_{i}|+\prod_{1\leq i\leq n}\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\!\!\!\!\!\int_{i}\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\!\!\!\!\!\ S\!\!\!/(b_{i})\]

яғни

\[\displaystyle{\prod_{n k l,K}(a_{1}+b_{1})|a_{2}+b_{2}|....|a_{n}+b_{n}|})\displaystyle{\pi}\,\mathop{\prod_{n:K,K}}\left(\langle a_{1}\rangle|a_{2}|...._{n}|a_{n}|\rangle+\prod_{n k\times{\bf X}}\left(\langle b_{1}|,|b_{2}|,..._{n}|b_{n}|\right)\right)=\left|a_{1}|+\left|b_{1}\right|,...\right|,\]

Демек

\[\left\|a+b\right\|\mathbb{Z}\left\|a\right\|+\left\|b\right\|\]

Келесі мысалда R ⁿ кеңістігіндегі

\[{\mathcal Q}\,\]

элементінің нормасы функция болуы мүмкін.

\[\left\|a\right\|_{2}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\]

Бұл функция үшін де 1) -3) қасиеттерінің орындалатынын көрсетейік.

\[\sum_{i=1}^{n}a_{i}|=0~{\mathrm{P}}~~a_{i}=0\]

\[i={\overline{{1,n}}}\]

. Яғни

\[a=(0,0,...,0)=\theta\]

;

\[\left\|a+b\right\|_{2}=\underbrace{\partial}_{i=1}^{a}\left|a_{i}+b_{i}\right|\textbf{t}\left.\leq\underbrace{\partial}_{i=1}^{a}\left(a_{i}\right|+\left|b_{i}\right|\right)=\underbrace{\partial}_{i=1}^{a}\left|a_{i}\right|+\sum_{i=1}^{a}\left|b_{i}\right|=\left\|a\right\|_{2}+\left\|b\right\|_{2};\]

Сол себептен

Анықтама 2 : Кейбір Е сызықты кеңістікте нормалар

\[\left\|{\vec{x}}\right\|_{1}\left\|{\vec{u}}\right\|\]

болып анықталсын.

Егер

\[{}^{n}\,x\ \in E\]

үшін теріс емес с ₁ , с ₂ сандапы табылып,

теңсіздігі орындалса, онда

\[\left\|{\vec{x}}\right\|_{1}\left\|{\vec{u}}\right\|\]

нормалары

эквивалентті деп аталады.

R ⁿ кеңістігінде анықталған 3 норма да эквивалентті.

§4. R ⁿ кеңістігіндегі скаляр көбейтінді.

Анықтама 1: Екі

\[{\mathcal Q}\,\]

және

\[\mathit{\mathcal{I}}\]

векторларының скаляр көбейтіндісі былай жазылады.

\[(a,b)\]

және ол мына формулалармен анықталады.

\[(a,b)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\]

(1)

Скаляр көбейтінді үшін келесі қасиеттер орындалады.

\[\begin{array}{c}{{1/(a,b)=(b,a)}}\\ {{2)(a+b,c)=(a,c)+(b,c)}}\\ {{3)(d,b)=\lambda(a,b)}}\\ {{4)(a,b)^{3}~0,^{n}\;a\in R^{*}}}\end{array}\]

олай болса,

\[\left(a,a\right)=0\;\hat{\mathrm{U}}\;\;a=\theta\,;\]

Скаляр көбейтіндінің анықтамасынан

\[\|a\|={\sqrt{(a,a)}}\]

теңдігі келіп шығады.

Анықтама 2: Екі вектор

\[{\mathcal Q}\,\]

және

\[\mathit{\mathcal{I}}\]

ортогональ деп аталады

\[a\ \bot b\]

, егер

\[(a,b)=0.\]

Мысал: е _i бірлік векторының координаттары қос-қостан ортогональды.

Шынында да

\[\begin{array}{c}{{e_{k}=\left(0,0,...,1,0,...,0\right)}}\\ {{e_{m}=\left(0,0,...,1,0,...,0\right)}}\end{array}\]

онда

\[\left(e_{k},e_{m}\right)=0^{*}0+...+1^{*}0+...+0^{*}1+0^{*}0+...+0^{*}0=0\]

Егер

\[a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\surd\qquad\]

вектор болса, онда

\[(a,e_{i})=a_{i}\]

демек

\[a=\hat{\sum_{i=1}^{n}}a_{i}e_{i}\]

жіктеуін мына түрде жазуға болады.

\[a=\sum_{i=1}^{n}(a,e_{i})_{i}\]

(2)

Егер

\[\|e_{i}\|=1\]

деп алсақ, үш өлшемді кеңістіктегідей

\[(a,e_{i})\]

скаляр көбейтіндіні

\[{\mathcal Q}\,\]

векторының

\[{\mathcal{C}}_{i}\]

бірлік векторына

проекциясын айтуға болады.

\[\forall a_{i}\ j_{i}\]

\[i={\overline{{1,n}}}\]

сандары үшін Коши-Буняковский

теңсіздігін мына түрде жазуға болады.

\[\sqrt{\frac{a}{\Delta}\sqrt{\frac{a}{\Delta}\left|{a_{k}\stackrel{\wedge\star}{\Lambda}b_{k}}\right|}}\;\;\leq\sqrt{\frac{a}{\Delta}\stackrel{\star}{a_{k}}\wedge}^{2}\;\approx\sqrt{\sum_{i=1}^{n}J_{k}^{2}}\]

Бұл теңсіздікті былай да жазуға болады.

(3)

теңсіздік скаляр көбейтіндінің қасиеттерінің бірін

сипаттайды. Екі вектордың скаляр көбейтіндісінің абсолют шамасы олардың нормаларының көбейтіндісінен асып кетпейді.

Скаляр көбейтіндінің анықтамасынан екі
\[{\mathcal Q}\,\]
және
\[\mathit{\mathcal{I}}\]

векторлар арасындағы бұрыш түсінігін енгізуге болады.

\[\left(3\right){\bf p}\ \left\vert\frac{\left(a,b\right)}{\left|\left|a\right|\right|\left|b\right|}\right\vert\ \leq1\]

модулі 1-ден аспайтын
\[\textstyle\bigvee\]
санға косинусты теңестіруге болады.
\[j\;=\left[0;\pi\right]\]

Сондықтан

\[{\frac{\left(a,b\right)}{\left\|a\right\|\left\|b\right\|}}=\cos\phi\]

\[\mathcal{J}\]
шамасы деп
\[{\mathcal Q}\,\]
және
\[\mathit{\mathcal{I}}\]
векторларының арасындағы бұрышты айтамыз.

Сол себептен

Егер векторлар нөльдік болмаса, онда олардың ортогональдығы арасындағы бұрышты
\[j_{\mathbf{\delta}}=\frac{\pi}{2}\]
екендігін білдіреді.

II тарау.

§5. R ⁿ кеңістігіндегі сызықты функционал .

Анықтама 1: R ⁿ кеңістігінде

\[\int_{0}^{x}H_{\mathbf{\delta}}\]

функционал берілсін, егер де

\[\mathrm{\Gamma}_{\ a}\ \in R^{n}\]

векторы

\[{\mathcal{F}}(a)\]

нақты санына сәйкестендірілсе.

Олай болса

\[\int_{0}^{x}H_{\mathbf{\delta}}\]

функционал R ⁿ кеңістігін R кеңістігіне бейнелейді.

\[\int_{0}^{x}H_{\mathbf{\delta}}\]

функционал сызықты деп аталады, егер

\[\forall a\ \beta\]
сандары мен
\[a,b\in R^{n}\]
векторлары үшін келесі теңдік орындалса.

\[f\left(a\,a+b\,b\right)=a f\left(a\right)+\beta f\left(b\right)\]
(1)

Мысал 1: R ⁿ кеңістігіндегі

\[{}^{*}a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\]

векторын алайық.

\[f(a)=a_{1}\]

функционалын қарастырайық.

және

\[a,b\in R^{n}\]

үшін

\[{\mathcal{F}}(a)\]

-ның сызықты функционал болатынын көрсетейік.

\[f(a a+b b)=a\,a_{1}+\beta b_{1}\]

\[f(a)=a_{1}\]

\[f(b)\!=\!b_{1}\]

Онда мынау анық

\[f\left(a\,a+b\,b\right)=a f\left(a\right)+\beta f\left(b\right)\]

Мысал 2: R ⁿ кеңістігінде

\[\tilde{n}=\left(\tilde{n}_{1},\tilde{n}_{2},...,\tilde{n}_{n}\right)\]

тағайындалған вектор болсын.

\[{}^{*}\ a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in R^{n}\]

векторын аламыз.

\[{\mathcal Q}\,\]

және

\[{\widetilde{\mathcal{U}}}\]

үшін

\[\left(\widetilde{\cal H},Q\right)\]

скаляр көбейтіндіні қарастырамыз.

\[f(a)=(c.a)\]

сызықты функционал екенін көрсету керек.

\[a,b\in R^{n}\]

үшін

\[f(a a+b b)=(c_{s}a a+b b)=\left(c_{s}a a\right)+\left(c_{1}b b\right)=a\left(c a\right)+b\left(c b\right)=a f(a)+\beta f(b)\]

Яғни

\[{\mathcal{F}}(A)\]

- сызықты функционал.

Мысал 3:

R ⁿ кеңістігінде

\[\displaystyle\mathbf{v}f\]

сызықты функционал болсын.

\[\mathbb{S}c\ \in R^{n}\]

және

\[{}^{n}\,a\ \in R^{n}\]

үшін

\[f(a)=(c.a)\]

екенін көрсету керек.

Шынында да

\[{\mathcal{C}}_{i}\]

-бірлік вектор. Онда

\[{}^{*}\ a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in R^{n}\]

векторы үшін

\[a=\hat{\sum_{i=1}^{n}}a_{i}e_{i}\]

Онда

\[f(a)=f{\big(}a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\ldots+a_{n}e_{n}{\big)}=a_{1}f{\big(}e_{1}{\big)}+a_{2}f{\big(}e_{2}{\big)}+\ldots+a_{n}f{\big(}e_{n}{\big)}\]

\[f(e_{i})=c_{i}\]

деп белгілесек,

\[\tilde{n}=\left(\tilde{n}_{1},\tilde{n}_{2},...,\tilde{n}_{n}\right)\]

болады. Онда

R ⁿ кеңістігіне тиісті

\[\mathcal{Y}\]

сызықты функционал үшін, R ⁿ кеңістігіне тиісті

\[\tilde{n}=\left(\tilde{n}_{1},\tilde{n}_{2},...,\tilde{n}_{n}\right)\]

вектор бар болады да

\[f(a)=(c.a)\]

(2)

2 және 3 мысалдардан (2) теңдеу R ⁿ кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы көрінісі болады.

Анықтама 2: R ⁿ кеңістігінде анықталған сызықты функционалдың нормасы деп

\[\|f\|=\operatorname*{sup}_{|a|\geq}|f(a)\]

(3)

санын айтамыз.

R ⁿ кеңістігінде анықталған сызықты функционалды скаляр көбейтінді түрінде жаза алатынымызды ескерсек

\[f(a)=(c.a)\]

Онда

\[\|f\|=\|c\|\]

екендігін көрсетейік.

Расында да теңсіздігінен

\[\left\|f\right\|\ \leq\left\|C\right\|\]

теңсіздігі келіп шығады. Ары қарай

\[\scriptstyle a=c\]

деп алсақ, онда

\[f(c)=(c.c){=}\|c\|^{2}=\|c\|_{x}\|\]

бұдан

§6. R ⁿ кеңістігіндегі сызықты оператор .

Сызықты оператор анықтамасы.

Анықтама 1 : Сызықты оператор деп R ⁿ кеңістігін

R ^m кеңістігіне бейнелейтін

\[\textstyle\bigvee\]

мына

\[{\cal A}\models{\cal\theta}^{n}\to\mathit{\cal\theta}^{m}\]

бейнелеуді айтамыз.

Ол мына шарттарды қанағаттандырады.

\[A{\bigl(}x+y{\bigr)}=A x+A y,^{*}x,y\in R^{n}\]

\[A(a x)\!=\!a\,A x,^{\nu}\alpha\ \hat{1}\ R,x\in\!R^{\mu}\]

және 2) шарттарды біріктіріп келесі түрде жазуға болады.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

Ұқсас жұмыстар

Модель және модельдеу ұғымдары

Векторлық кеңістік

Компьютерлік графиканың маңызы

Жоғары оқу орындарында оқытылатын дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлілігі

Векторлық кеңістіктің қосымшалары

Тензор компоненттері

Үшін неограниченности мақсатты функциясы көптеген шешімдер

Биология терминдерінің анықтамалары

Матрицалар. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері

Компьютерлік графика түсінігі және түрлері

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz