I-тектi меншiксiз интегралдар

Жоспар
Кіріспе

I.тектi меншiксiз интегралдар
II.тектi меншiксiз интегралдар.
Практикалық сабақтарға нұсқау
1 Сабақ. Жиындар мен математикалық логика элементтері.
2 Сабақ. Функциялар. Функцияларды композициясы (бейнелеу). Элементар функциялар. Функция графигі, кері функция

Егер (4.1) – дiң сол жақтарындағы шектер бар және нақты сандар болса, онда оларға тең меншiксiз интегралдар да бар және жинақты деп аталады. Қарсы жағдайда (шектер жоқ не -ке тең) (4.1) – мен анықталатын меншiксiз интегралдар жинақсыз (тарқамалы) делiнедi.
Бүкiл сандық осьте үзiксiз функция үшiн шектерiнiң екеуi де шексiз меншiксiз интеграл
Теңдiктiң оң жағындағы меншiксiз инетгралдардың екеуi де жинақты болса, онда бүкiл сандық ось бойынша алынған меншiксiз интеграл да жинақты. Қосылғыш меншiксiз инетгралдардың кемiнде бiреуi жанықсыз болса, онда (4.2) – нің сол жағындағы меншiксiз интеграл да жинақсыз.
Сонымен, I-тектi меншiксiз интеграл дегенiмiз интегралдау шектерi - ке ұмтылғандағы анықталған инетгралдың шегi. Сондықтан оны есептеу үшiн Ньютон-Лейбниц формуласы қолданылады.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

I-тектi меншiксiз интегралдар
Шексiз: және аралықтарынының бiрiнде үзiксiз
функциясы қаралады. Алғашқы екi жағдайда сәйкес жоғарғы және
төменгi шектерi айнымалы анықталған интегралдар

бар болады. Олардың шектерi
(4.1)
функциясынан алынған шектерi шексiз (I-тектi) меншiксiз интеграл
деп аталады.
Егер (4.1) – дiң сол жақтарындағы шектер бар және нақты сандар
болса, онда оларға тең меншiксiз интегралдар да бар және жинақты деп
аталады. Қарсы жағдайда (шектер жоқ не -ке тең) (4.1) – мен
анықталатын меншiксiз интегралдар жинақсыз (тарқамалы) делiнедi.
Бүкiл сандық осьте үзiксiз функция үшiн шектерiнiң екеуi де шексiз
меншiксiз интеграл
(4.2)
қарастыралады. Теңдiктiң оң жағындағы меншiксiз инетгралдардың екеуi
де жинақты болса, онда бүкiл сандық ось бойынша алынған меншiксiз
интеграл да жинақты. Қосылғыш меншiксiз инетгралдардың кемiнде бiреуi
жанықсыз болса, онда (4.2) – нің сол жағындағы меншiксiз интеграл да
жинақсыз.
Сонымен, I-тектi меншiксiз интеграл дегенiмiз интегралдау шектерi
- ке ұмтылғандағы анықталған инетгралдың шегi. Сондықтан оны
есептеу үшiн Ньютон-Лейбниц формуласы қолданылады. Егер
инетгралданушы функияның аралықтарындағы төркiн функциясы болса,
онда:
. (4.3)
Ньютон-Лейбництiң жалпыланған формуласын әдеттегiше (3.15) жаза
беруге болады:

Тек деп төркiн функцияның (4.3)-тегі сәйкес -дағы
шектерiн түсiну қажет.
Мысал:
II-тектi меншiксiз интегралдар.
Функция шектелмеген нүкте (екiншi тектi үзiктiк нүктесi)
функцияның ерекше нүктесi деп аталады. Интералдау кесiндiсiнiң
бастапқы , соңғы және кез келген iшкi нүктелерi
интегралданушы функцияның ерекше нүктелерi болып келген жағдайларды
қарастыралық. Функция тек кесiндiнiң шеткi нүктелерiнiң бiрiнде
ғана шектелмеген болса, онда жеткiлiктi аз саны үшiн
.
(4.4)
анықталған интегралы бар. Олардың шектерi
(4.5)
шектелмеген функциясынан алынған (II-тектi) меншiксiз интеграл
деп аталады.
Егер функциясының кесiндiдегi жалғыз ғана ерекше
нүктесi болса, онда интегралдың аймақ бойынша аддитивтiк қасиетiн
пайдалып,

(4.6)
деп жаза аламыз. Теңдiктiң оң жағында II-тектi меншiксiз
интегралдардың қаралған (4.5) түрлерi тұр. Олардың жинақты-
жинақсыздығы жайында тек I-тектi меншiксiз интегралдар (4.1-4.2)
туралы айтылғандарды қайталауға болады.
Мысал:

Қаралған мысалдарда болса:

Тиiстi аралықта терiс емес функциядан алынған жинақты меншiксiз
интегралдың геометриялық мағынасы бар. Мысалы, (4.1) және (4.5)
интегралдарының бiрiншiлерi жинақты болса, олардың шамалары жоғарыдан
қисығымен шектелген шексiз, бiрақ, квадратталатын қисықсызықты
трапециялардың (4 а),б)-сурет) аудандарына тең. Интегралданушы
функцияның интервалда саны шектi ерекше нүктелерi бар,
бiрақ оның төркiн функциясы бүкiл кесiндiсiнде үзiксiз
болса, онда II-тектi меншiксiз интегралды есептеу үшiн Ньютон-Лейбниц
формуласын (3.15) түрiнде ерекше нүктелерге көңiл аудармай тұтас
кесiндiге қолдана беруге болады.
4-cурет

Практикалық сабақтарға нұсқау

1 Сабақ. Жиындар мен математикалық логика элементтері. Нақты сандар және
олардың қасиеттері. Бірінің ішінде бірі кесінділер қағидасы. Жиындар.
Жиындарға қолданылатын амалдар.
Есептерді шығару тәсілдері.
1 – есеп: 12 және 13 сандары жиынның мүшесі бола ма?
Шешуі: А- жиынның мүшелері түріндегі бөлшектер болады, n –
натурал сан.
Теңдеуін шешіңіз
болады
Сонда
Енді
сондықтан .
2 – есеп: теңдеуінің шешіімдерінің жиынын табу қажет.
Шешуі: бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріңіз, сонда

Шешімдері,

Бұл түбірлердің тек х=1,2 мәнін теңдеуімізді қанағаттандырады, сонда
А={1,2}
3 – есеп: теңдеуін қанағаттандыратын айнымалының мәндерін
табу қажет.
Шешуі: болған жағдайда мағынасы бар болады, яғни, Х([-
5,5] бөлшегін Х≠2 болғанда мағынасы болады. Х( (-
∞,2)( (2;+ ∞), [-5,5] және (-∞;2) ( (2, +∞ ) жиындар жолының бөлігі [-
5,2)( (2,5] жиыны болады.
4 – есеп. Теңдеулер жүйесіндегі шешімдер жиынын табу
қажет.
Шешуі: Мұнда А жиыны теңдеуін қанағаттандыратын қос сандар
жиыны. Ал В-х+у=7 түзуінің бойында жататын нүктелер
координаталарының жиыны. Сонда жүйенің шешімі осы екі жиынның
қиылысуы болады А∩В. Бұл жағдайда графикпен көрсеткен қолайлы.
Шеңбер мен түзу М және N нүктелерінде қиылысуы М (3,4) N (4,3)
сонда А∩В = {(3.4), (4.3)}
5 – есеп. Теңдеуінің шешімдері жиындарын табу керек.
Шешуі: көбейтінді 0-ге тең болады, егер көбейткіштердің бірігуі 0-
ге тең болса. Сонда А жиыны теңдеуінің шешімдер жиыны.
теңдеуінің шешімдер жиыны. А={-2.2} B={-3.3} Теңдеуінің шешімдер
A(B = {-3,2,2,3} болады.

Есеп – 1: Аудиторияда 25 студент отыр делік. Оның 15 – і шахматпен
шұғылданады, 20 – сы футболмен, ал 12 – сі шахмат және футболмен де
айналысады. Біз футбол және шахматпен де айналыспайтын студенттер бар
ма екенін анықтайық.
Шешуі: А – арқылы жиын берілсе U(А)-ның мүшелерінің санын белгілейміз.
Шахмат және футболмен айналысатын студенттер саны 15+20=35 бірақ,
бұл жерде шахмат және футболмен де айналысатын студенттер екі рет
санаққа алынды. Сондықтан шын мәнінде аудиториядағы студенттер
шахмат немесе футболмен айналысып, оны табу үшін 15+20=35 қосындысы
екі рет санаққа алынған студенттерді шығарамыз. 15+20-12=23. Ал
барлығы 25 болғандықтан 25 –23 =2 студент не шахматқа не футболға
бармайды екен. Бұл есепті мына алгоритм шешуге болады. А- шахматшы,
В- футболшы жиындар. Сонда
U(A(B)=U(A)+U(B)-U(A∩B) (1)
U(A)=15 n(B)=20 U(A∩B)=10
U(A(B)=15+20-10=23
7 – есеп. Институттың бір бөлімінде 6- ағылшын, 6- неміс, 7-француз, 4
– ағылшын және неміс, 3-неміс және француз, 2 – ағылшын және
француз және бір үш тілді білетін кісілер жұмыс істейді. Бөлімде
неше кісі бар: неше кісі осы үшеуінің тек бір тілін ғана біледі.
Шешуі: А-ағылшын тілін, В-неміс, С- француз тілін білетін кісілер
жиындары болсын. Сонда
n(A)=6, n(B)=6, n(C)=7, n(A∩B)=4, n(B∩C)=3.
n(A∩C)=2, n(A∩B∩C)=1
n(A∩B(C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩ C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)=6+6+7-4-3-1+1=12 .
Енді бір тілден көп білетін кісілер саны n(A∩C)+n(A∩B∩C)=4+3+1+1=9
болады. Онда осы үш тілдің тек біреуін ғана білетін кісі саны
n(A(B(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(A∩C)-n(A∩B ∩C)=12-9=3. Барлығы 12 кісі және
оның ішінде 3-і айтылған үш тілден тек біреуін ғана біледі.

Жаттығулар:
1. Сізге белгілі әскер қызметкерлер жиынын атаңыз.
2.Университет құрамының жиынын атаңыздар
3.А – сүт көрсеткішті жиын, В – құс жиыны, С – шыбын – шіркей жиыны.
а) А- жиынның; б) В – жиынның; в) С-жиынның суда өмір сүре
алатын мүшелерін атаңыздар.
4.Жиынның 3- мүшесін атаңыздар:
а) 3-ке еселі және 5-ке бөлінбейтін
б) 3-ке еселі және тек 2-ге бөлінетін
в) 5 –ке еселі тек 25 –ке бөлінетін
г) түрінің жай сан болатынын
д) 2n + 1 түрінің құрамы сан болатынын
5.Егер А – ға бөлінетін сан жиыны болса, ода мына жазғандар дұрыс
па?
1) 7€ А, 2) 10€ А, 3) 15€А;
А- жиынның мүшелерінің тізімін жаса.
6. Егер А жиыны теңдеуінің шешімдер жиыны болса, онда мына
жазғандар дұрыс па?
3€ А, -5€ А, 10¢А, 4¢А
А – жиынның мүшелер тізімін жаса.
7. А – барлық үшбұрыштың жиыны. 1 -сурет
а) Бұл жиын неше мүшеден тұрады.
б) Жиында ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.