Цилиндрлік функцияларды контурлық интегралдармен өрнектеу

Жоспар
Кіріспе

Кіріспе
I. Негіздемелер.
1.1 Арнайы функция теориясының жалпы теңдеуі
1.2 Шектік жағдайындағы сипаты. x=a маңайында, егер k(a)=0 жағдайында шешімнің іс.әрекеті.
1.3 Шектік есептердің қойылуы
II. Функцияларды контурлық интегралдармен өрнектеу.
2.1 Контурлық интегралдар
2.2 Ханкель функциялары. Гамма функциясының кейбір қасиеттері.
2.4 Цилиндрлік функциялардың асимптотикалық формулалары
III. Бессель функциялы интегралдар
3.1 Фурье.Бессель интегралы
3.2 Бессель функциясы бар кейбір интегралдар.

Бірінші тараула арнайы функцияларға анықтамалар, негіздемелер және математика-физика есептерінің дербес жағдайлары қарастырылған. Сонымен қатар, арнайы функцияларды элементар емес функциялармен өрнектеу, шектік жағдайындағы сипаты және шекік есептер қойылған.
Бұл тарауда біз гипергеометриялық түрдегі жалпыланған теңдеулердің дербес шешімдері үшін интегралдық көрнісін құру әдісін қарастырдық және осы шешімдердің әртүрлі қасиеттерін зерттеу тәсілдерін көрсеттік. Сонымен бірге арнайы функциялар теориясының негіздерін қарастырудан біз математикалық физика арнайы функциялардың ең маңызды кластарының бірі – классикалық ортогональді полиномдарды қарастырдық.
Екінші тарауда цилиндрлік функцияларды конурлық интегралдармен өрнектеу қарастырылған, яғни бірінші бөлімінде жалпы контурлық интегралдар туралы жалпы мағлұмат берілген. Сонымен қатар, Ханкель функциясы, гамма функциясы және оның қасиеттері, Бессель функциясы, функциясының интегралдық түрлері, сонымен бірге Цилиндрлік функциялардың асимптотикалық формулалары толық қарастырылған.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 61 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе

Дербес туындылы теңдеу үшін айнымалыларын ажыратылатын әдіс бойынша
Штурм-Луивилл есебіне келтіріледі.
Т облысында шекарасында мынадай біртекті шарттарымен
берілген мына біртекті теңдеу

үшін, мәні шешіміне ие (меншікті функция).
Егер Т–кесіндісінде

,

тіктөртбұрыш немесе параллелепипед

болса, онда меншікті функциясы тригонометриялық функциялар арқылы
өрнектеледі.
Егер Т – шеңбер, цилиндр немесе шар болса, онда меншікті
функцияны табу үшін жаңадан арнайы функция - цилиндрлік және сфералық
функция табылады.
Дербес жағдайларды қарастырайық.

1. - шар.Полярлық координаталарда

.

функциясын түрінде іздестіреміз.

теңдеуге қойып, айнымалыларын ажыратамыз:

,

мұндағы =const.Бұдан келіп шығатыны, ол

.

бірмәнді шешімі, периодтық функция болуы керек, яғни . Бұл
шарт береді және мұндағы n – бүтін сан. деп алсақ, цилиндрлік
функцияның немесе n – ші ретті Бессель теңдеуіне келеміз:

Немесе

(2)

сонымен қатар мұндағы . n=0 кезінде нөлінші ретті Бессель теңдеуін
аламыз және бұл өсьтік симметрияға ие (1) есептің шешіміне сәйкес келеді:

немесе

(2) теңдеудің шешімі цилиндрлік функция деп аталады. Сонымен қатар
(2) теңдеуге Т облысы цилиндрлік шеңбер болғанда, Лаплас теңдеуі мен
толқын теңдеуі үшін есепте келтіріледі.

2. Шар . Штурм-Луивилльдің есебін қарастырайық:

. (3)

Сферелық координаталарда

(4)

қоя отырып, айнымалыны ажыратуға келтіреміз:

бұдан келіп шығатыны, ол

(5)

(6)

алмастыруы арқылы (6) теңдеуі Бессель теңдеуіне келеді:

, .

Сферада анықталған функциясы үшін, тек кезінде шектеулі
шешімге ие (5) теңдеуді аламыз. Олай болса айнымалыны ажырату кезінде
сфералық координата жүйесінде Лаплас операторы үшін біз сфералық функцияға
келеміз. Дербес жағдайда, -ден тәуелсіз болғанда (5) теңдеу
мына түрге келеді:

, (7)

ал мұндағы

Бұл тек кезінде шектеулі шешімге ие Лежандрдың теңдеуі. Сфералық
функция Лежандрдың көпмүшелігі мен тригонометриялық функцияның туындысы
арқылы өрнектеледі.
Кванттық механикада Чебышев-Эрмиттің және Чебышев-Лагерранның
көпмүшеліктері жиі кездеседі.

I. Негіздемелер.

1. Арнайы функция теориясының жалпы теңдеуі. Қарапайым арнайы функция үшін
теңдеу төмендегі түрде жазылады:

axb, , (8)

а=0, b=, q=0, k==const сәйкес келетін қарапайым шеттік есеп

тригонометриялық функция арқылы анықталады.

1)Бесселдің (2) теңдеуі немесе

теңдеуі

сәйкес келеді.

2)

кезінде Лежандрдың теңдеуін аламыз

(9)

3) Лежандрдың функциясын байланыстыратын теңдеу

(10)

сәйкес келеді.

4) Чебышев – Эрмиттің теңдеуі

немесе

(11)

болса мына теңдікке сәйкес келеді:

5)Чебышев-Лагерранның теңдеуі

немесе

(12)

болса

сәйкес келеді.

Көрсетілген теңдеулер k(x) – коэффициенті нөлге айналуы арқылы
өздерінің ерекшеліктерімен көрініс алады. Бұл k(x) қасиеттері (8) шеттік
есеп үшін қойылған теңдеу төменде көрсетілгендегідей маңызды роль атқарады.
k(x) нөлге айналған жағдайдағы ерекше нүктесіне жақын (8) теңдеудің
шешімінің іс-әрекетін қарастырайық.
Арнайы функциялар үшін дифференциалдық теңдеулер. Теориялық және
математикалық физиканың көптеген маңызды есептері мына дифференциалдық
теңдеуге келеді

(1)

мұнда , - дәрежесі екіден көп емес полиномдар, - дәрежесі
бірден көп емес полином. Бұл түрдегі теңдеулер, мысалы, әр түрлі қисық
сызықты координаттарда Лаплас және Гельмгольц теңдеулерін айнымалыларды
ажырату әдісімен шешкенде, кванттық механиканың негізгі есептерін – сфера
тәрізді симметриялық өрістегі бөлшектің қозғалысын, гормониялық
осцилляторды, біртекті электрлік және магниттік өрістегі бөлшек қозғалыс,
кулондық потенциялдар үшін Клейн – Гордон, Дирак және Шредингер
теңдеулерінің шешімін қарастырғанда пайда болады. Оған қоса, атомдық,
молекулалық және ядерлік физиканың да көптеген есептері (1) теңдеуге
келеді.
Бұл (1) түрдегі теңдеулердің дербес шешімдері келесі арнайы функциялар
кластары болады – классикалық ортогоналы полиномдар (Якоби, Лагерр және
Эрмит полиномдары), сфералық, цилиндрлік және гипергеометриялық функциялар.
Бұл функцияларды жиі математикалық физиканың арнайы функциялары деп атайды.
Бұдан былай z айнымалысы мен , , полиномдарының
коэффициенттері кез-келген нақты немесе комплексті мән қабылдайды деп
ұйғарайық.
Мына u=((z)y алмастыруымен және ((z) функциясын арнайы таңдау арқылы
(1) теңдеуді қарапайымдау түрге келтірейік. Алмастырудан кейінгі

(2)

теңдеуін қарапайымдау түрге келтіру үшін у( туындысының коэффициенті
(мұнда ((z) дәрежесі бірден көп емес полином) түрінде болуын талап ету
заңды. Сонда ((z) функциясы үшін аламыз

, (3)

мұнда
(4)

дәрежесі бірден көп емес полином.

,

болғандықтан (2) теңдеу былай жазылады

, (5)

мұнда

, (6)

. (7)

дәрежелері сәйкесінше бірден және екіден көп емес полиномдар. Сондықтан (5)
теңдеу (1) теңдеумен типтес болады. Осылайша теңдеудің типін өзгертпейтін
түрленулер класын табамыз – бұл u=((z)y алмастыру көмегімен жасалатын (1)
теңдеудің түрленулері, мұнда ((z) функциясы кез-келген бірінші дәрежелі ((
z) функциясымен (3) теңдеуді қанағаттандырады.
((z) полиномын қалауымызша алу мүмкіндігін пайдаланып (5) теңдеудің
мүмкін болған түрлерінен ең қарапайымын және шешімінің қасиеттерін зерттеу
үшін ынғайлысын таңдайық. ((z) полиномының коэффициенттерін (5) теңдеуге
кіретін полиномы полиномына қалдықсыз бөлінетіндей етіп
таңдаймыз, яғни

, (8)

мұнда ( - кейбір тұрақты. Бұл мүмкін, өйткені (8) теңдіктің екі жағындағы
бірдей дәрежедегі z коэффициенттерін бөлек теңестірсек, үш тұрақты
белгісіздерге – тұрақты ( мен ((z) полиномының екі коэффициенттеріне
қатысты үш теңдеу аламыз. Нәтижесінде (5) теңдеу келесі түрге келеді

, (9)

Бұл (9) теңдеуді гипергеометриялық түрдегі теңдеу, ал оның
шешіміндерін – гипергеометриялық түрдегі функциялар деп атаймыз. Осыған
сәйкес, (1) теңдеуді гипергеометриялық түрдегі жалпыланған теңдеу деп
атағанымыз дұрыс.
Тұрақты ( мен ((z) полиномын анықтау үшін (8) шартты мына түрде
жазайық

Мұнда

, (10)

Егер тұрақты k белгілі деп есептесек, онда ((z) полиномына қатысты
квадраттық теңдеудің шешімі былай жазылады

. (11)

((z) полином болғандықтан түбір астындағы өрнек кейбір полиномның
квадраты болуы тиіс. Ал ол үшін түбір астындағы екінші дәрежелі полиномның
дискриминанты нөлге тең болуы қажет. Осы шарттан тұрақты k үшін квадраттық
теңдеу аламыз.
Тұрақты k анықталғансоң (11) формула бойынша ((z) полиномын, сосын
(3), (6) және (10) формулалар көмегімен ((z), ((z) және ( анықталады.
Алғашқы (1) теңдеуді (9) гипергеометриялық түрдегі теңдеуге келтірудің
бірнеше жолдары бар екені анық, ол тұрақты k мәні мен ((z) үшін (11)
формуладағы ( таңбасын әртүрлі етіп таңдау мүмкінділігіне байланысты.
Қарастырылған түрлендіру бастапқы (1) теңдеуді зерттеудің орнына одан
қарапайымдау (9) теңдеуді зерттеумен шектелуге мүмкіндік береді.
Мысал. u = ((z) алмастыру көмегімен

Бессель теңдеуін (9) түрге келтірейік. Бессель теңдеуі (1) теңдеудің дербес
жағдайы, мұнда

((z)=z, , .

Берілген жағдайда (11) теңдеудегі түбір астындағы өрнек былай жазылады - z
2 + ( 2 + k z. Бұл квадраттық үшмүшенің дискриминантын нөлге теңестіру
арқылы тұрақты k үшін мына теңдеуді аламіз

k 2 + 4( 2 = 0.

Осыдан k =( 2i( және (11) формула бойынша мынаны табамыз

. (11)

Осылайша, бұл жағдайда ((z) функциясының төрт түрі бар екенін көреміз.
Мысалы, k =2i(, ((z)= iz+( жағдайын қарастырайық. (3), (6), (10) формулалар
көмегімен мынаны табамыз

((z) = 2iz + 2( + 1

( = k + (((z) = i(2( + 1)

Нәтижесінде (9) теңдеу келесі түрге келеді,

Ескерту. 1) ((z) полиномының ең үлкен дәрежелі мүшесінің коэффициентін
қалауымызша алуға болады, өйткені функцияларын сәйкесінше (с –
кез-келген тұрақты мән) функцияларына ауыстырғанда (1) теңдеу өзгермейді.
(9) теңдеу үшін де ұқсас ескерту жасауға болады.
2) Бұдан былай (1) мен (9) теңдеулеріндегі ((z) полиномының еселі
түбірлері жоқ жағдайларын қарастырумен шектелеміз. Өйткені ((z)=(z – a)2,
яғни еселі түбірі бар жағдайда z – a = 1s алмастыру көмегімен (1) теңдеу
мына теңдеуге түрленеді

. (12)

Мұнда

және

өрнектері s айнымалысына қатысты сәйкесінше бірінші және екінші дәрежелі
полином болады. Сондықтан (12) теңдеу (1) түрдегі теңдеу болады, мұнда ((s)
полиномы s-ке тең, яғни еселі түбірі жоқ полином.
3) Егер ((z)=1, ал өрнегі бірінші дәрежелі полином болса, онда
(1) теңдеу жоғарыда көрсетілген әдіспен (9) теңдеуге келтіру мүмкін емес.
Бұл жағдайда (1) теңдеуді қарапайым түрге келтіру үшін (3) өрнектегі ((z)
полиномын ((z) функциясы нөл болатында етіп таңдау керек. Сонда
полиномы бірінші дәрежелі болып, (5) теңдеу келесі түрге келеді

y” + (az + b)y = 0 (13)

Сызықты s = az + b алмастырумен бұл (13) теңдеуді мына

. (14)

теңдеуінің дербес жағдайына келеді, мұнда (, (, (, ( - кейбір тұрақтылар.
Бұл теңдеудің шешімі цилиндрлік функциялар арқылы өрнектеледі.
Гипергеометриялық түрдегі полиномдар. Гипергеометриялық түрдегі

, (1)

теңдеулер шешімінің қасиеттерін зерттеп, гипергеометриялық түрдегі
функциялардың кез-келген ретті туындысы қайтадан гипергеометриялық түрдегі
функция болатынын көрсетейік.
Осыны дәлелдеу үшін (1) теңдеуді дифференциалдайық. Нәтижесінде

, (2)

теңдеуін қанағаттандыратын v1(z) = y’(z) функциясын аламыз, мұнда

(1(z) = ((z) + (’(z), (1 = ( + (’(z).

Бұл жерден (1(z) дәрежесі бірден көп емес полином, ал (1 z-тен тәуелсіз
болғандықтан (2) теңдеу гипергеометриялық түрдегі теңдеу болады.
Кері тұжырымда дұрыс болады: ( ( ( жағдайында (2) теңдеудің кез-келген
шешімі (1) теңдеудің кейбір шешімінің туындысы болады.
Шынында да, v1(z) – (2) теңдеудің шешімі болсын.
Егер v1(z) функциясы (1) теңдеудің кейбір y(z) шешімінің туындысы
болса, онда бұл функциялардың арасында мынандай қатынас болады

.

Осы формула бойынша табылған y(z) функциясы (1) теңдеудің шешімі
болатындығын, ал оның туындысы v1(z) функциясымен сәйкес келетінін
көрсетейік. Сонымен

(y’= -[((z)v1”+ (1(z) v1’+ (’(z) v1] = ( v1,

яғни шынында да y’= v1(z). Табылған алғашқы өрнекке v1= y’(z) алмастыруын
жасасақ ол y(z)-ке қатысты (1) теңдеуге келеді.
Осыған ұқсас vn(z)= y(n)(z) функциясы үшінде индукция бойынша
гипергеометриялық түріндегі теңдеуді алуға болады

, (3)

мұнда

(n(z) = ((z) + n(’(z), .

Және (3) теңдеудің (k ( 0 (k = 0, 1, ..., n – 1) болғандағы кез-келген
шешімін vn(z)= y(n)(z) түрде жазуға болады, мұнда y(z) – (1) теңдеудің
кейбір шешімі.
Қарастырылған қасиет, нақты берілген ( мәніне сәйкес, (1) теңдеудің
дербес шешімдер үйірін құруға мүмкіндік береді. Шынында да, (3) теңдеуде
(k= 0 болса, онда оның дербес шешімі vn(z)= const болады және

.

Осыдан, vn(z)= y(n)(z) болғандықтан, гипергеометриялық түрдегі n дәрежелі
полином болатын y(z) = yn(z) дербес шешімі бар болады. Мұндай шешімдерді
гипергеометриялық түрдегі полиномдар деп атаймыз. Бұл yn(z) полиномдары
белгілі мағынада (1) теңдеудің қарапайым шешімдері болады.
yn(z) полиномының айқын өрнегін алу үшін (1) және (3) теңдеулерді
сондай ((z) және (n(z) функцияларға көбейтейік нәтижесінде бұл теңдеулер
мына түрде жазылатын болсын [1]:

, (4)

. (5)

Мұнда ((z) және (n(z) функциялары келесі дифференциалдық теңдеулердің
шешімдері болады

, (6)

. (7)

(n(z) функциясының айқын өрнегін қолданып, (n(z) және (0(z)( ((z)
функциялар байланысын анықтау қиын емес. Сонда

(((n)’(n = ( + n(’ =((()’( + n(’

осыдан

(n’(n = (’( + n(’(

және

(n(z)= ( n(z)( (z) (n=0, 1, ... )
(8)

Енді гипергеометриялық түрдегі yn(z) полиномның айқын өрнегін алуды
қарастырайық. ((n = (n+1 және vn(z)= y(n)(z) болғандықтан (5) теңдеуді мына
түрде жазуға болады

.

Осыдан m n болғанда тізбектеп мынаны аламыз

,

Мұнда

(9)

Егер y(z) функциясы n дәрежелі полином болса, онда

vn(z)= y(n)(z)= const,

және

(10)

Мұнда

(11)

Осыдан, m= 0 дербес жағдайда, гипергеометриялық түрдегі yn(z) полиномның
айқын өрнегі шығады:

(12)

Осылайша, (1) теңдеудің полиномдық шешімі (12) формуламен қалыптауыш
көбейтіндіге дейінгі дәлдікпен бір мәнді анықталады. Бұл шешімдер (n = 0
мәніне сәйкес келеді, яғни

(n = 0, 1, ...) (13)

(12) қатынасты Родриг формуласы деп атаймыз, өйткені бұл формуланы 1814
жылы Родриг дербес жағдайымен өңдеп шығарған.
Гипергеометриялық түрдегі функциялардың интегралдық көрінісі. Енді
Родриг формуласын жалпылыу көмегімен

гипергеометриялық түрдегі теңдеудің, кез-келген ( үшін, дербес шешімін
табайық. Ол үшін алдынала гипергеометриялық түрдегі теңдеудің полиномдық
шешімі §2-дегі (12) теңдігін аналитикалық функцияларға арналған Кошидың
интегралдық формуласын пайдаланып мына түрде жазайық ([13],[15])

. (1)

Мұнда

, С – s= z

нүктелерін қамтитын тұйық контур, ал ((z) функциясы теңдекінің
шешімі.
Гипергеометриялық түрдегі, ( = (n жағдайдағы, теңдеудің (1) түріндегі
дербес шешімнің көрінісі, кез-келген ( мәнінде, гипергеометриялық түрдегі
теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздеуге болатындығын болжауға мүмкіндік
береді

, (2)

мұнда С( - қалыптауыш тұрақты, ал ( шамасы мен ( тұрақтысының арасындағы
қатынас, §2-дегі (13) қатынасқа сәйкес, былай анықталады

(3)

Жалпы айтқанда, тұйық емес болып есептелетін бір С контурын таңдағанда
біздің болжам дұрыс болатынын көрсетейік.
Теорема 1. Егер (2) формулаға кіретін интегралдың туындысын
есептегенде z бойынша дифференциалдау мен s бойынша интегралдау ретін
ауыстыруға болатын, яғни

(k = 1, 2);

және С контуры

(4)

(мұнда s1 мен s2 – С контурының ұштары) шарты орындалатындай етіп таңдалған
болса, онда гипергеометриялық түрдегі

теңдеудің дербес шешімі (2) түрінде анықталады.
Дәлелдеу. ν мәні – (3) теңдеудің түбірі, ал

y= yν(z)

функциясы –

теңдеуінің шешімі болсын.

yν(z)=φ(z)wν(z)

десек, мұнда

φ(z)=Сν ρ(z). φ(z)

функциясы,

π(z) = (’(z) – ((z)

болғанда, §1-дегі (3) теңдеуді қанағаттандырады. Сондықтан wν(z)
функциясы үшін теңдеуді §1 қарастырылған yν(z) үшін теңдеуді түрлендіру
арқылы оңай алуға болады:

. (5)

Егер теорема шарттары орындалса, онда

функциясы (5) теңдеуді қанағаттандыратынын көрсетейік. Теореманың шарты
бойынша

болғандықтан, Φ(z) арқылы белгіленетін, (5) теңдеудің сол жағы былай
жазылады

Мұнда

(ν(z)=( ν(z)((z),

ψ(s, z)=(ν + 2)σ(z) + [2σ’(z) – τ(z)](s – z).

Егер ψ(s, z) өрнегіне кіретін σ(z) және τ(z) полиномдарын (z – s)
дәрежелері бойынша жіктесек, интеграл астындағы өрнекті ықшамдауға болады.
Сонда

,

және

,

мұнда . Егер §2-дегі (7) теңдеумен салыстырсақ, (ν(z) функциясы
теңдеуін қанағаттандыратынын көреміз, сондықтан Φ(z) үшін өрнекті былай
жазуға болады

.

Осыдан

,

яғни, wν(z) функциясы (5) теңдеуді қанағаттандырады және сонымен бірге
yν(z) функцясы гипергеометриялық түрдегі

теңдеуінің шешімі болады.
Дәлелденген теорема нақты арнайы функцияларды зерттеулерде іргелі мәні
болады.
Ескерту. Дербес жағдайда, теореманың (4) шарты орындалу үшін С
контурын, ұштарында

функциясы нөлге айналатындай етіп таңдауға болады, яғни

(6)

(6) шартты қанағаттандыратын С контурларының кейбір мүмкін болатын
түрлерін қарастырайық.
а) ((s)=( теңдеуінің түбірі – s0 болсын. Егер

( (+1(s)((s)=(

орын-далса, контурдың бір ұшы етіп s=s0 алуға болады.
б) Егер Re(( + 2)0 болса, онда контурдың бір ұшы етіп s=z нүктесін
алуға болады.
в) Контурдың бір ұшы етіп s=∞ мәнін де алуға болады, егер

Осылайша, С контурының әртүрлі түрлеріне және ( әртүрлі мәндеріне
сәйкес гипергеометриялық түрдегі теңдеудің бірнеше дербес шешімдерін
тұрғызуға болады. Сонымен бірге, егер §1-де қарастырылған теңдеудің
түрленуімен пайдалансақ, дербес шешімдер санын көбейтуге болады. Шынында
да, гипергеометриялық түрдегі

теңдеуін

,

болатын §1-дегі (3) гипергеометриялық түрдегі жалпыланған теңдеу
ретінде қарастыруға болады. Түрлену нәтижесінде бастапқы теңдеу басқа
гипергеометриялық түрдегі теңдеуге өтеді. Соңғы теңдеудің дербес шешімдерін
құрып, кері түрленуді пайдаланып бастапқы теңдеудің жаңа дербес шешімдерін
аламыз. Гипергеометриялық түрдегі теңдеулердің тек екі сызықты тәуелсіз
шешімі бар болғандықтан осы теңдеудің кез-келген шешімі сызықты тәуелсіз
екі шешімнің сызықты комбинациясы болу керек.
Гипергеометриялық түрдегі теңдеудің шешімін құрастырғанда (6) шартты
қанағаттандыратын түзу сызық немесе кесінді – қарапайым контурлармен
шектелеміз. Бұл түрдегі контурларды таңдау үшін гипергеометриялық түрдегі
дифференциалдық теңдеудің коэффициенттеріне кейбір шектеулер қою қажет.
Мұндай шектеулерден алынған нәтижені жалпы жағдайлар үшін тарату
құрастырылған шешімдерді аналитикалық түрде жалғастыру көмегімен
орындалады.
f(z) функциясы D облысына енетін E жиынында анықталған болсын. Егер
F(z) функциясы D облысында аналитикалық болып, E жиынында f(z) функциясымен
беттессе, F(z) функциясы f(z) функциясының D облысындағы аналитикалық
жалғасы деп аталады.
Аналитикалық жалғастыру принципы: егер Е жиыны D облысының ішінде
жатқан кем дегенде бір шекті нүктесін қамтыса, онда f(z) функциясы D
облысында біреуден көп емес жалғасы бар. Дербес жағдайда, егер Е жиыны D
облысының ішінде жатқан кесінді болса, онда аналитикалық жалғасы жалғыз
болады.
Мұнда және мұнан былай аналитикалық функция деп аналитикалық бір мәнді
функцияны меңзейміз. Мұндай функцияларды кейде ретті функция деп те атйды.
Осыған байланысты, егер кейбір функцияны қарастырғанда бір мәнділік
шықпаса, комплекстік жазықтықта аналитикалық функцияны бір мәнді ететін
кейбір сызық бойымен қима жүргіземіз.
(z – a)α түріндегі өрнекті есептегенде дәрежеге көтерілетін комплекс
шамасын берілген қимаға сәйкес модулі бойынша ең кіші аргумент мәнімен
алынады. Мысалы, тармақталу нүктелері z = –1 және z = 1 болатын (1 – z)α
(1 + z)β функциясының бір тармағын таңдау үшін z ≥ –1 мәндерінде нақты өс
бойымен қима жүргізген жеткілікті. Осы қимаға сәйкес (1 – z)α функциясы

(arg(1 – z)( π

болғанда, ал

(1 + z)β

функциясы

0 arg(z) 2π

болғанда есептеледі.
Гипергеометриялық түрдегі теңдеудің шешімі ретінде (2) интегралдық
көріністі қолданатын болғандықтан, теңдеуге кіретін тәуелсіз айнымалы мен
параметрлер бойынша бұл теңдеу шешімнің аналитикалық жалғастыруын табу үшін
келесі параметрге тәуелді интегралдың аналитикалық қасиеті туралы теоремаға
сүйену ынғайлы ([8], [13], [15]).
Теорема 2. С – комплекс айнымалы s жазықтығында ақырлы тілімді тегіс
қисық, ал D – комплекстік z жазықтығындағы облыс болсын. Егер f(z, s)
функциясы, s(C, z(D болғанда, барлық айнымалылары бойынша үзіліссіз және
кез-келген s(C үшін z бойынша D облысында аналитикалық болса,

функциясы D облысында аналитикалық болады және

.

Бұл теореманың пайымдауы бір қалыпты жинақты F(z) меншіксіз интеграл үшін
де өз күінде қалады. Әртүлі арнайы функциялардың интегралдық көрінісін
зерттегенде келесі, интегралдардың бір қалыпты жинақты болу, қарапайым
белгісін қолдану ынғайлы: егер кез-келген s(C, z(D үшін үзіліссіз f(z, s)
функциясы(f(z, s)(( ((s) теңсіздігін қанағаттандырып, интегралы
жинақты болса, онда интегралы да кез-келген z(D үшін жинақты болады.
Гипергеометриялық түрдегі y= y(z) функцияның туындысы өз кезегінде сол
түрдегі функция болғандықтан, гипергеометриялық түрдегі функцияны
аналитикалық жалғастыру нәтижесінде y’(z), y”(z) функцияларының да бойынша
аналитикалық жалғастыруын аламыз. Гипергеометриялық түрдегі y= y(z)
функциясы үшін интегралдық көрінісі кейбір шектеулер қойылған z айнымалысы
мен осы функция тәуелді параметрлер үшін гипергеометриялық түрдегі

теңдеуін қанағаттандыру шартынан құрылған. Аналитикалық жалғастыру принципы
бойынша y(z) функциясы бұл теңдеуді, теңдеудің сол жағы аналитикалық
функция болатын барлық облыста, қанағаттандырады (теңдеу-дің оң жағы кез-
келген облыста аналитикалық болатын нөлге тең)[18].
Келесі пайымдарда нақты гипергеометриялық түрдегі теңдеулердің шешімін
зерттеу үшін (2) интегралдық көріністі пайдаланамыз, ал алынған нәтижеге
аналитикалық жалғастыру принципін қолданып еңірек облысқа жайамыз.
Рекурренттік қатынастар және дифференциалдау формулалары. Айрым νi –
νj (i, j = 1, 2, 3) бүтін сан болағанда, ν=νi мен k=ki әртүрлі мәндерінде
кез-келген үш

функциялар арасында мына сызықты қатынас орындалады

,

мұнда Ai(z) коэффициенттері – полиномдар.
Алдымен, егер айрымдар νi – νj мен μi – μj бүтін сандар болса, онда
кез-келген үш

функциялар арасында сызықтық қатынас бар екенін көрсетейік.
Дәлелдеу үшін

өрнегіе қарастырайық. Ai =Ai(z) коэффициенттерін қарастыралып отырған
комбинация нөлге тең болатындай етіп таңдауға болатынын көрсетейік.
Бекітілген кез-келген z мәнінде

.

Мұнда ν0 – νi ішіндегі нақты бөлігі ең кіші болатын мәні, ал μ0 – μi
ішіндегі нақты бөлігі ең үлкен болатын мәні,

.

Айрымдар νi – νj мен μi – μj бүтін теріс емес сандар болғандықтан P(s)
функциясы s айнымалыға қатысты полином болады. Мына теңдік

(1)

орындалатындай етіп Ai коэффициенттерін таңдайық. Мұнда Q(s) – полином.
Нәтижесінде

.

Егер С контурының үштарында §3-тегі (4) шартқа ұқсас шарт

(m= 0, 1, 2, ...)

талап етсек, онда нәтиже нөлге айналады және осындай әдіспен таңдалған Ai
коэффициенттері үшін мына сызықты қатынас орындалады

(2)

(1) теңдік шынымен де орындалатындай етіп Q(s) полиномының коэффициенттері
мен Ai коэффициенттерін әрқашан таңдауға болатынын көрсетейік. Ол үшін

функциясының орнына оның

(мұнда ) дифференциалдық теңдеуін қолданып (1) теңдікті ынғайлы түрде
қайта жазайық. Нәтижесінде

(3)

Егер бұл теңдіктің екі жағын салыстырсақ, Q(s) полиномының дәрежесі P(s)
полиномының дәрежесінен 2 бірлікке аз екенін көру қиын емес.
(3) теңдіктің екі жағындағы бірдей дәрежелі s-тің коэффициенттерін
салыстырып, P(s) полиномының өрнегіне кіретін белгісіз Q(s) полиномының
коэффициенттері мен Ai коэффициенттеріне қатысты біртекті сызықты теңдеулер
жүйесін аламыз. Теңдеулер саны Q(s) полиномының белгісіз коэффициенттерінің
санынан 2 бірліке көп. Сондықтан белгісіз шамалар саны теңдеулер санынан 1
берлікке көп болады, яғни бір белгісіз коэффициенті кейбір тұрақтыға тең
деп таңдауға болады. P(s) полиномының дәрежесі бірден көп болмайтын
жағдайда қарастырылып отырған пайымдар өз күшінде қалу үшін Q(s)=0 болуы
керек. Алынған теңдеулер жүйесінде белгісіздер коэффициенті z-ке тәуелді
полином болғандықтан, осылай бір коэффициенті таңдағанда қолған
коэффициенттер z-ке тәуелді рационал функция болады. (2) теңдеуді Ai
коэффициенттерінің ортақ бөлгішіне көбейткеннен кейін полиномдық
коэффициентті сызықты қатынасқа келеміз.
Қарастырылған әдісті жүзеге асырғанда P(s) полиномының дәрежесін
түсіру үшін, кейбір кезде, функцияларының кейбірі үшін бөлектеп
интегралдаған ынғайлы. Сонда

,

мұнда

.

Әдеттегі С контурының ұштарындағы шарт орындалады десек, мынаны аламыз

(4)

Мысал 1. , және функциялар арасындағы байланысты
анықтайық.
Берілген жағдайда

(0= (, (0= ( + 1, P(s)= A1(s – z)2 + A2(s – z) + A3, Q(s)= q0

(q0 – кейбір тұрақты). (3) теңдеу былай жазылады

A1(s – z)2 + A2(s – z) + A3 = q0 [(s –z)(((s) – (( + 1)((s)]

q0 = 1 десек және бұл теңдеудің оң жағын (s –z) дәрежелері бойынша
жіктесек, бірдей дәрежелі (s –z) коэффициенттерін теңестіріп, аламыз

(5)
Сонымен

A1(z) + A2(z) + A3(z)= 0, (6)

мұнда Ai коэффициенттері (5) формуламен анықталады. Алынған қатынасты басқа
мына түрде қайта жазған ынғайлы

болғандықтан (6) қатынас гипергеометриялық түрдегі функцияның туындысы үшін
ынғайлы интегралдық көрініс береді

, (7)

мұнда

.

Бірінші мысалдағы алынған (7) қатынасты жалпылау гипергеометриялық
түрдегі функцияның кез-келген ретті туындысы үшін ынғайлы интегралдық
көрініс енгізуге мүмкіндік береді. Шынында да, (7) қатынасты былай түсінуге
болады: гипергеометриялық түрдегі

(8)

функцияның бірінші туындысының интегралдық көрінісін бастапқы интегралдық
көріністен (-ді ( ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.