Күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері
1. Кіріспе
2. Функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі
3. Тригонометриялық және кері тригонометриялық
4. функциялары бар өрнектердің мәндерін табу әдістемесі
5. Күрделі радикалдары бар өрнектерді ықшамдау әдістемесі
6. Жай теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі
7. Аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі
8. Анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу алгоритмі
9. Қозғалысқа арналған есептерді графиктік тәсілмен
10. шешу әдістемесі
11. Функцияның ең кіші оң периодын табу әдістемесі
12. Функцияның жұптылығы мен тақтылығын анықтау
13. әдістемесі
14. Сандардың ЕКОЕ пен ЕҮОБ.ін Евклид алгоритмін
15. пайдаланып анықтау әдістемесі
16. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
2. Функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі
3. Тригонометриялық және кері тригонометриялық
4. функциялары бар өрнектердің мәндерін табу әдістемесі
5. Күрделі радикалдары бар өрнектерді ықшамдау әдістемесі
6. Жай теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі
7. Аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі
8. Анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу алгоритмі
9. Қозғалысқа арналған есептерді графиктік тәсілмен
10. шешу әдістемесі
11. Функцияның ең кіші оң периодын табу әдістемесі
12. Функцияның жұптылығы мен тақтылығын анықтау
13. әдістемесі
14. Сандардың ЕКОЕ пен ЕҮОБ.ін Евклид алгоритмін
15. пайдаланып анықтау әдістемесі
16. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
«Күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері» әдістемелік құралында оқушыларға математикадан ұлттық бірыңғай тестілеу (ҰБТ) тапсырмаларында кездесетін көптеген шығару жолы қиын саналатын тапсырмаларды орындаудың тиімді әдістері ұсынылған.
Әдістемелік құралда ұсынылған функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі, тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялары бар өрнектердің мәндерін табу әдістемесі, күрделі радикалдары бар өрнектерді ықшамдау әдістемесі, жай теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі, аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі, анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу алгоритмі (авторлық тәсіл), қозғалысқа арналған есептерді графиктік тәсілмен шешу әдістемесі, функцияның ең кіші оң периодын табу әдістемесі, функцияның жұптылығы мен тақтылығын анықтау әдістемесі, сандардың ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ) пен ең үлкен ортақ бөлгішін (ЕҮОБ) Евклид алгоритімін пайдаланып анықтау әдістемесі берілген. Есептерді шығарудың мұндай әдістері мектеп оқулықтарында кездеспейтіндіктен, көрсетілген әдістеме ҰБТ кезінде оқушыларға үлкен көмек болатыны сөзсіз. Әдістемелік құралда кездесетін жай бөлшектерді Евклид алгоритмін пайдаланып қысқарту да кесте арқылы өте ұтымды орындалады. Сондықтан, осы тәсіл арқылы ЕКОЕ пен ЕҮОБ табу тапсырмаларын орындау, сандарды жай көбейткіштерге жіктеу тәсіліне қарағанда, оқушыларға еш қиындық келтірмейді.
Әдістемелік құралда ұсынылған функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі, тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялары бар өрнектердің мәндерін табу әдістемесі, күрделі радикалдары бар өрнектерді ықшамдау әдістемесі, жай теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі, аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі, анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу алгоритмі (авторлық тәсіл), қозғалысқа арналған есептерді графиктік тәсілмен шешу әдістемесі, функцияның ең кіші оң периодын табу әдістемесі, функцияның жұптылығы мен тақтылығын анықтау әдістемесі, сандардың ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ) пен ең үлкен ортақ бөлгішін (ЕҮОБ) Евклид алгоритімін пайдаланып анықтау әдістемесі берілген. Есептерді шығарудың мұндай әдістері мектеп оқулықтарында кездеспейтіндіктен, көрсетілген әдістеме ҰБТ кезінде оқушыларға үлкен көмек болатыны сөзсіз. Әдістемелік құралда кездесетін жай бөлшектерді Евклид алгоритмін пайдаланып қысқарту да кесте арқылы өте ұтымды орындалады. Сондықтан, осы тәсіл арқылы ЕКОЕ пен ЕҮОБ табу тапсырмаларын орындау, сандарды жай көбейткіштерге жіктеу тәсіліне қарағанда, оқушыларға еш қиындық келтірмейді.
1. Шыныбеков Ә. Алгебра – 8. - Алматы: Атамұра, 2004.
2. Математикадан тест есептер жинағы. 2005-2012 жылдар.
3. Интернет-ресурс материалдары. http://www.testent.ru.
4. Сарсекеев А.С. Тестік есептеулер./Талапкерлерге арналған оқу-әдістемелік құрал. – Астана, 2007.
5. Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2012.
6. «Репетитор» журналы 2005-2012 ж.ж.
7. «Физика және математика» 2009-2012ж.ж.
2. Математикадан тест есептер жинағы. 2005-2012 жылдар.
3. Интернет-ресурс материалдары. http://www.testent.ru.
4. Сарсекеев А.С. Тестік есептеулер./Талапкерлерге арналған оқу-әдістемелік құрал. – Астана, 2007.
5. Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2012.
6. «Репетитор» журналы 2005-2012 ж.ж.
7. «Физика және математика» 2009-2012ж.ж.
Күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері
Құрастырушы авторлар:
Пікір жазғандар:
Күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері әдістемелік құралында ҰБТ-да кездесетін әр түрлі есептер жинақталып, оларды шешудің оңтайлы әдістемесі көрсетілген.
Әдістемелік құралдың негізгі мақсаты - оқушыларға математикадан ұлттық бірыңғай тестілеу (ҰБТ) тапсырмаларында кездесетін көптеген шығару жолы қиын саналатын тапсырмаларды орындаудың тиімді әдістерін ұсыну және оқушыларға есептерді шешудің тиімді әдістемесін келтіру арқылы олардың ойлау қабілеті мен шығармашылық белсенділігінің дамуына ықпал ету, есептерді шығару дағдысын жетілдіре түсуге көмектесу болып табылады.
Әдістемелік құрал мұғалімдер мен мектеп оқушыларына, мектеп бітіруші түлектерге арналған.
Кіріспе
Күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері әдістемелік құралында оқушыларға математикадан ұлттық бірыңғай тестілеу (ҰБТ) тапсырмаларында кездесетін көптеген шығару жолы қиын саналатын тапсырмаларды орындаудың тиімді әдістері ұсынылған.
Әдістемелік құралда ұсынылған функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі, тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялары бар өрнектердің мәндерін табу әдістемесі, күрделі радикалдары бар өрнектерді ықшамдау әдістемесі, жай теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі, аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі, анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу алгоритмі (авторлық тәсіл), қозғалысқа арналған есептерді графиктік тәсілмен шешу әдістемесі, функцияның ең кіші оң периодын табу әдістемесі, функцияның жұптылығы мен тақтылығын анықтау әдістемесі, сандардың ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ) пен ең үлкен ортақ бөлгішін (ЕҮОБ) Евклид алгоритімін пайдаланып анықтау әдістемесі берілген. Есептерді шығарудың мұндай әдістері мектеп оқулықтарында кездеспейтіндіктен, көрсетілген әдістеме ҰБТ кезінде оқушыларға үлкен көмек болатыны сөзсіз. Әдістемелік құралда кездесетін жай бөлшектерді Евклид алгоритмін пайдаланып қысқарту да кесте арқылы өте ұтымды орындалады. Сондықтан, осы тәсіл арқылы ЕКОЕ пен ЕҮОБ табу тапсырмаларын орындау, сандарды жай көбейткіштерге жіктеу тәсіліне қарағанда, оқушыларға еш қиындық келтірмейді.
1. Функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі
y=kx+bk1x+b1, y=f(x) және тағы басқа түріндегі функциялардың мәндерінің жиынын анықтауға арналған есептер мектеп бітірушілердің ұлттық бірыңғай тест (ҰБТ) тапсырмаларында жиі кездеседі.
Мектеп оқулықтарының бірде бірінде мұндай есептер арнайы қарастырылмағандықтан, оқушылардың көпшілігінің бұл есептерді шығара алмайды. Математикалық талдау аппараттарын пайдалана отырып функцияны зерттеу, оның графигін салу арқылы бұл тапсырмаларды орандауға болады. Бірақ ҰБТ кезінде мұндай тапсырмаларды 1,5-2 минут ішінде орындау кез келген оқушының қолынан келмейтіні белгілі. Функцияның мәндерінің жиынын табу көп жағдайда теңдеудің шешімін табумен байланысты болады. x0 саны f функциясының мәндер жиынына кіруүшін, y=fx теңдеуінің, мұндағы x∈Df, шешімінің болуы қажетті және жеткілікті. Бұл теңдеудің y0 - дің мәніне байланысты бір түбірі, бірнеше түбірі немесе түбірі болмауы да мүмкін. Осындай есептерді шығарудың оңтайлы тәсілдерінің бірі төменде келтірілген.
Ол үшін, алдымен y=kx+bk1x+b1 (мұндағы k1, b1!=0) түріндегі гиперболаны қарастырайық. Бұл функцияның мәндер жиыны у!=kk1 екендігі ақиқат.
1-мысал. y=8x-12x+1 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y!=82 немесе y!=4.
Жауабы: -infinity;4∪4;+infinity.
2-мысал. y=2х²-х-1х²+х-2 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. x=1, x=-2 сандары бөлшектің бөлімінің нөлдері болғандықтан, бұл функция осы нүктелерде анықталмайды. Ал, x=1 саны алымы мен бөлімінің ортақ нөлі. Сондықтан, x!=1 болса, онда y=2х²-х-1х²+х-2=2x+1x+2 функцияның x=1 нүктесіндегі мәні y1=2∙1+11+2=1, яғни, берілген функцияның мәні x -тің ешбір мәнінде 1-ге тең бола алмайды, ендеше біріншіден y!=1. Екіншіден, y=2x+1x+2 гиперболасының мәндер жиыны y!=2 екендігі белгілі.
Сондықтан, берілген функцияның мәндер y!=1, y!=2.
Жауабы: -infinity;1∪1;2∪2+infinity.
3-мысал. y=2х²-х-1х²-х-2 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. Бөлшектің алымы мен бөлімінің ортақ түбірі жоқ екендігі белгілі. Берілген функцияны yx²-x-2=2x²-x-1 немесе y-2x2+1-yx-2y+1=0 түріне келтіреміз. Яғни, функцияның мәндер жиынын табу үшін, у параметрдің қандай мәндерінде соңғы квадрат теңдеудің шешімі болатындыған анықтау жеткілікті. Ол үшін D0 теңсіздігін құрып, шешеміз: D=1-y2-4y-2-y+1=0 .
Соңғы теңсіздіктің шешімі: (-infinity;11-2109]∪[11-2109 ;+infinity) болатындығына көз жеткізу қиын емес.
Жауабы: (-infinity;11-2109]∪11-2109 ;+infinity.
4-мысал. y=5+6x-7x2 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. Мұндай есептерді квадрат үшмүшенің толық квадратын айыру тәсілі және туынды арқылы функцияның кризистік нүктесін анықтап, функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәндерін табу арқылы да шығаруға болады. Алайда, парабола төбесінің ординатасының формуласын қолдану, тапсырманы тез және дұрыс орындауға көмектеседі. Атап айтқанда, y0=4ac-b²4a парабола төбесінің ординатасының формуласы болғандықтан, a0 болса, онда
Ey=[y0;+infinity), ал a0 болса, онда Ey=(-infinity;y0] болады.
Біздің мысалда y0=4ac-b²4a=4∙-7∙5-624∙-7=627, ал a=-70 болғандықтан, Ey=(-infinity;627].
Жауабы: (-infinity;627].
5-мысал. y=х²-6х-2 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. Квадрат түбір астындағы х²-6х-2 квадрат үшмүшеліктің мәндер жиыны [-11;+infinity) болғандықтан,
Ey= [-11; +infinity)=[0;+infinity) болатындығы анық.
Жауабы: 0; +infinity.
Ескерту: Сан аралығының квадрат түбірін табу амалының жазылуы ерсілеу көрінгенмен, оның дұрыстығы өрнектің монотондылығымен түсіндіріледі.
6-мысал. y=2х²-х-1х²+х-2 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y1=2x²-x-1x²+x-2 функциясының мәндер жиыны:
Ey1=-infinity;1∪1;2∪2;+infinity болғандықтан,
Ey=Е(у1)=-infinity;1∪1;2∪ 2;+infinity=
=0;1∪1;2∪2;+infinity.
Жауабы: 0;1∪1;2∪2;+infinity.
7-мысал. y=3-4sin7x-1 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y=3-4sin7x-1=3-4∙1=-13-4∙-1=7 -- -1;7.
Жауабы: [-1; 7].
8-мысал. y=3-4sin²7х-1 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі.
y=3-4sin²7х-1=3+--4∙12=-13-4∙02=3 -- -1;3.
Жауабы: [-1; 3].
9-мысал. у=3-4sin²7х-1 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y1=3sin²7х-1 функциясының мәндер жиыны Ey1=[-1; 3] болғандықтан, Еу= Е(у1)= -1; 3 =[0;3 ].
Жауабы: [0;3 ].
10-мысал. y=2sin7x-cos7x функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y=asinx+bcosx (мұндағы a,b∈R) функциясының мәндер жиыны -a²+b²;a²+b² болғандықтан, y=2sin7x-cos7x функциясының мәндер жиыны:
Ey=-2²+(-1)²;2²+(-1)²=-5;5.
Жауабы: -5;5.
11-мысал. y=3sinx+2cosx 2sinx-cosx+10 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y=3sinx+2cosx 2sinx-cosx+10 y(2sinx-cosx+10)=(3sinx+2cosx) ⟺ 2y-3sinx+(-y-2)cosx=-y10. Ал, asinx+bcosx=с теңдеуінің шешуі болу үшін, a2+b²-с²=0 шарты орындалуы қажет. Сондықтан, 2y-32+-y-22- -y102 = 0.
5y2+8y-13=0 -135=у=1 ⟺ Ey=- 135;1.
Жауабы: - 135;1.
2. Тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялары бар өрнектердің мәндерін табу әдістемесі.
12-мысал. tgα=-512 және 900α1800 болса, онда sinα, cosα, ctgα мәндерін табыңыз.
Шешуі. Көмекші тікбұрышты үшбұрышты пайдаланайық.
1-сурет.
tgα=1213 болғандықтан, sinα=513, cosα=1213, ctgα=125, ал, 900α1800 шартын ескерсек: sinα=513, cosα=-1213, ctgα=-125.
Жауабы: 513, -1213, -125.
13-мысал. tgarcsin35+arccos513 есептеңіз.
Шешуі. arcsin35=α және arccos513=β деп белгілесек, онда анықтама бойынша α,β∈I. Ендеше, sinα=35, cosβ=513 -- tgα=34, tgβ=125 (12-мысал әдісімен). Сондықтан
tgarcsin35+arccos513=tgα+β=
=tgα+tgβ1-tgα∙tgβ=34+1251-34∙125=-6 316.
Жауабы: -6316.
Мына түрдегі: cosαcosβcosγ∙...∙cosφ тригономериялық өрнектерді ықшамдау, өрнектің мәнін табу синустар мен косинустардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру формуласын қолдану немесе қосбұрыштың синусының формуласына келтіру арқылы жүзеге асырылады.
14-мысал. cos12°cos24°cos48°cos96° өрнегінің мәнін есептеңіз.
Шешуі. а) 1-ші тәсіл. Косинустардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру және келтіру формулаларын қолданамыз:
cos12°cos24°cos48°cos96° =cos48°cos12°cos96°cos24°=
= 14cos36°+cos60°cos72°+cos120°=
=14cos36°+12cos72°-12=
=14cos72°cos36°+12cos72°-12cos36°-1 4=
=1412cos108°+12cos36°+12cos72°-12co s36°-14=
=14-12cos72°+12cos36°+12cos72°-12co s36°-14=-116 .
Жауабы: -116.
б) 2-ші тәсіл. Қосбұрыштың синусының формуласына келтіреміз:
cos12°cos24°cos48°cos96°=
=16sin12°16sin12°∙cos12°cos24°cos48 °cos96°=
=8sin24°16sin12°cos24°cos48°cos96°= 4sin48°16sin12°cos48°cos96=
=2sin96°16sin12°cos96°=sin192°16sin 12°=sin(180°+12°)16sin12°=-sin12°16 sin12°=-116
Жауабы: -116
в) 3-ші тәсіл. sin2α=2sinαcosα формуласынан
cosα=sin2α2sinα (1-формула) алуға болады. Ендеше,
cos120cos240cos480cos960=sin2402sin 120∙sin4802sin240∙sin9602sin480∙sin 19202sin960=
=sin192°16sin12°=-sin12°16sin12°=-1 16.
Жауабы: -116.
15-мысал. cosPI5+cos3PI5 өрнегінің мәнін есептеңіз.
Шешуі. а) 1-ші тәсіл.
cosPI5+cos3PI5=cos108°+ cos36°=2cos72° cos36°=
=2sin18°cos36°=sin54°-sin18°=
=sin54°-12(1+2sin18°-1)=
=sin54°-12cos54°sin36°+2sin18°-1=
=sin54°-12(cos18°-cos90°)-(cos18°-c os54°)sin36°+2sin18°-1=
=sin54°-122sin36°sin54°-2sin18°sin3 6°sin36+2sin18°-1=
=sin54°-122sin36°(sin54°-sin18°)sin 36°+2sin18°-1=
=sin54°-122sin36°(sin54°-sin18°)sin 36°+2sin18°-1=
=sin54°-sin54°-sin18°+sin18°+12= 12.
Жауабы: 12.
б) 2-ші тәсіл. Өрнектің мәнін х деп белгілейік. Яғни, x=cosPI5+cos3PI5 болсын. Теңдіктің екі бөлігін де 2sin2PI5 өрнегіне көбейтіп, синус пен косинустың көбейтінділерін қосындыға түрлендірейік:
2хsin2PI5= 2sin2PI5cosPI5= 2sin2PI5cos3PI5.
Ал, sin2PI5=sin3PI5 болғандықтан,
2xsin3PI5= sin3PI5+sinPI5= sin5PI5-sinPI5, 2xsin3PI5=sin3PI5 .
Бұдан x=12.
Жауабы: 12.
в) 3-ші тәсіл. 1-формула бойынша:
cosPI5+cos3PI5=2cos2PI5 cosPI5=2∙sin4PI52sin2PI5∙sin2PI52si nPI5=
=sin4PI52sinPI5=sin(PI-PI5)2sinPI5= sinPI52sinPI5=12.
Жауабы: 12 .
3. Күрделі радикалдары бар өрнектерді ықшамдау әдістемесі
Мектеп курсында оқушылардың қызығушылығын тудыратын тақырыптардың бірі - Күрделі радикалдар формуласын қолданып өрнектерді ықшамдау. Алгебра-8 (авт. Шыныбеков А.Н. Алматы: Атамұра баспасы, 2004.) оқулығында бұл тақырыпқа С тобының №180 және осы формуланы қолданып шығаруға болатын №№175; 217; 222(1,2); 227 есептері, Математика тереңдетіліп оқытылатын мектептердің 9 сынып курсы бойынша математикадан жазбаша емтихан жұмыстарының тапсырмалар жинағындағы ( Алматы: ББЖ БАИ,1999.) №1С41; 1С42; 1C45; 2C61; 4В42; 4С59; 5А22; 5В52; 5В53 және т.б. тапсырмалары жатады.
Бұл есептерді шығару үшін Алгебра-8 оқулығындағы №179* есептегі Күрделі радикалдар формуласын алдын ала дәлелдеп алып, оны пайдалану өз нәтижесін берері сөзсіз. Бірақ, формуланың жалпы түрінің өзі (қосымша шарттарымен бірге) күрделі екенін ескерсек, кез келген оқушыға бұл формуланы есіне түсіріп немесе түбір астындағы өрнекті қосындының квадратына келтіріп, жоғарыда аталған есептерді шығару оңайға түспейтіні анық. Себебі, a+-b=a+a²-b2+-a-a²-b2 . a0, a2b0 (1) формуласын (дәлелдеуін білмеген оқушыға) жадында сақтау да қиын екені рас. Сондықтан, алдымен формуланың дәлелдемесінің әдістемелік нұсқауда көрсетілген тәсілінен басқа түрін келтірейік:
(x+-y)²=x+y+-2xy , бұдан
(x+y)+-4xy =x+-y . (2)
x+y=a,4xy=b. (3)
Осы жүйеден, анығырақ болу үшін, xy деп пайымдап,
a0, a2b0 мәндері үшін x=a+a²-b2 , y=a-a²-b2 (4)
екендігін анықтауға болады. ху екендігін ескерсек, (2), (3), (4) теңдіктерден (1) формула шығатындығына көз жеткізу қиын емес.
Енді, (2) теңдікті мына түрде жазып:
(x+y)+-2(xy)=x+-y ,
x+у=a және xу=b алмастыруларын жасасақ, күрделі радикалды ықшамдаудың алгоритмі пайда болады:
a+- 2b =x +-y. (5)
Яғни, a+-2b түріндегі күрделі радикалдарды ықшамдау үшін b санын (әдетте a,b∈N) қосындысы а - ға тең болатындай етіп, екі натурал көбейткіштерге (ху) жіктеу жеткілікті.
16-мысал. 4+23 өрнегін түрлендіріңіз.
Шешуі. (5) формулаға сәйкес
4+ 23=1+3=1+3, мұндағы a=1+3, b=1∙3.
Жауабы: 1+3.
17-мысал. 7-210 өрнегін түрлендіріңіз.
Шешуі. (5) формулаға сәйкес
7-210=2-5=5-2, мұндағы a=2+5, b=2∙5.
Жауабы: 5-2.
18-мысал. 6-32 өрнегін түрлендіріңіз.
Шешуі. (5) формулаға сәйкес
6-32=6-28=4-2=2-2=2-2 ,
мұндағы a=4+2, b=4∙2.
Жауабы: 2-2.
19-мысал. x+2x-1-x-2x-1, мұндағы х=2, өрнегін ықшамдаңыз.
Шешуі. х=2 болғандықтан, х−1=1, яғни, x-1=1. Ендеше,
х+2х-1-х-2х-1=1+x-1-1-x-1=
=1+x-1-1-x-1=2.
Жауабы: 2.
20-мысал. №217(6) (Алгебра-8, 2004 ж. Ә.Шыныбеков)
2∙6+25-13+48 өрнегін ықшамдаңыз.
Шешуі. Алдымен,
13+48=13+212=1+12=1+23,
мұндағы a=1+12, b=1∙12. Онда,
5-13+48=5-(1+23)=4-23=3−1,
мұндағы a=1+3, b=1∙3. Сонымен,
2∙ 6+2∙5-13+48=2∙6+23-1=2∙4+23=
=21+3=2+23.
Жауабы: 2+23
21-мысал. 1+2х1-x22+2x2=1 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. 1+2x1-x22+2x2=1 ⟺ 1+2x1-x22=1-2x2 (а).
Соңғы теңдеудің шешімдерінің мүмкін мәндер жиыны: x=12 .1+2х1-x2 өрнегін (5) формуланы пайдаланып, түрлендірейік:
1+2x1-x2=1+2x21-x2=x+1-x2, егер 0=x=12,1-2x21-x2=-x-1-x2, егер-12=x0=
=x+1-x2. Ал, x=12 мәндері үшін x+1-x2=0 екендігін ескерсек, (а) теңдеуін мына түрге келтіруге болады:
1-x2 +x=1-2x22.
Онда, 1-2x21-x2 - х=1-2x22 ⟹ 1-2x211-x2 - х-2=0. Бірінші көбейткіштің оң түбірі 12 екінші көбейткіштегі бөлшектің бөлімін 0-ге айналдыратындықтан, ол (а) теңдеуінің шешімі бола алмайды. Сондықтан, x1=-12 . Ал, 11-x2 - x-2=0
4x2-2x2-1=0 теңдеуінің түбірлері: x=-2+-64 (а) теңдеуінің мүмкін мәндер жиынына тиістісі тек 6-24 саны болғандықтан, бастапқы теңдеудің шешімдері: - 12, 6-24 .
Жауабы : - 22; 6-24.
22-мысал. x+8-6x-1+x+2x-16 теңсіздігін шешіңіз.
Шешуі. x+8-6x-1+x+2x-16
x+8-29∙x-1+x+21∙x-16 ⟺
3-x-1+1+x-16 . x-1=t=0 жаңа айнымалыны енгізсек:
3-t+1+t6 немесе t-3+t+16 t=0 болғандықтан,
t-3+t+16 ⟺t-3=-t+5t-3=t-5 -- x-1=4
x-1=16 х=17.
Жауабы: х=17.
4. Жай теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі
22-мысал. x-5,x1,x=-3,2,x10,x=0,28 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Шешуі. Теңсіздіктер аттас ( "артық" ;= ) болғандықтан, шекарасы ең үлкен жай теңсіздік (х10) жүйенің шешімі болады.
Жауабы: 10;+infinity.
23-мысал. x=-5,x1,x=-3,2,x10,x=0,28 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Шешуі. Теңсіздіктер аттас ( "кем"=; ) болғандықтан, шекарасы ең кіші жай теңсіздік (х=-5) жүйенің шешімі болады.
Жауабы: -infinity;5.
24-мысал. x=6,x=-3,2 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Шешуі. Теңсіздіктер әр аттас ( "кем"= ;"артық"= ) болғандықтан, жүйенің шешімі қос теңсіздік болады. Яғни,
-3,2=x=6.
Жауабы: [-3.2; 6].
25-мысал. x=6 х=-3,2 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Шешуі. Теңсіздіктер әр аттас ( "кем" ;"артық"= ) болғандықтан, жүйенің шешімі қос теңсіздік болады.
Бірақ, 3,2=x=- 6 теңсіздігі тура емес болғандықтан, жүйенің шешімі жоқ.
Жауабы: шешімі жоқ.
5. Аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі
26-мысал. х-2; -1x0; x3,-3=x=5; x=6,x10 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Шешуі. Берілген жүйені келесідей жазуға болады:
-infinity; -2∪-1;0∪3;+infinity,∪6;+infinity,-i nfinity;10.
Яғни, осы жүйенің шешімін тапса жеткілікті.
Аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдісін Сәуле-кесінді тәсілі деп атап, былай шешеміз:
2-сурет.
Жауабы: [-3;-2)∪-1;0∪3;5∪[6;10).
27-мысал. (Алгебра және анализ бастамалары. 11 сынып. №303(3)).
2-xx+4log0,32x2+6x+5=0
логарифмдік теңсіздікті шешіңіз.
Шешуі. logab мен a-1b-1 анықталу облысында өрнектерінің таңбалары бірдей болады. log0,3(2x²+6x+5) өрнегінің анықталу облысы -infinity;+infinity болғандықтан, берілген теңсіздіктегі log0,3(2x²+6x+5) өрнегін 0,3-12x2+6x+5-1 өрнегімен алмастырамыз. Онда:
2-xx+4log0,32x2+6x+5=0
2-xx+4(0,3-1) (2x²+6x+5-1)=0
⟺
x-2x+4(x²+3x+2)=0
Ал, бөлшектің алымы мен бөлімінің нөлдері сәйкесінше 2, (-4), 2,
(-1) сандары болғандықтан, интервалдар тәсілімен шешеміз:
3-сурет.
Жауабы: -4;-2∪(-1;2].
6. Анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу алгоритмі
Мысал арқылы түсіндірейік. бөлшегін қысқарту керек болсын. Мектеп оқулығында көрсетілген сандардың бөлінгіштік қасиетін пайдаланып, тапсырманы орындау мүмкін емес. Евклид алгоритмін қолданайық: яғни, 8633:7387=1(1246), 7387:1246=5(1157), 1246:1157=13. Орындалған амалдарды кесте түрінде көрсетсек:
1-кесте.
8633
7387
1246
1157
89
0
1
5
1
13
Бұл кестеде көрініп тұрғандай, алдымен, берілген сандарды кему ретімен (8633; 7387) қатар жазып, толымсыз бөлінділерін (1; 5; 1; 13) екінші жолға жазып, қалдықтарын 1-ші жолға (1246; 1157; 89; 0) орналастырамыз. Соңғы бөлу амалында (89-ға бөлгенде) қалдық 0-ге тең болғандықтан, бөлшек 89 - ға қысқарады. Кез келген бөлшекті осылай қысқартуға болатындығы анық.
=;
Енді, мынадай ұғым енгізейік.
2-кесте.
C1
C2
C3
түрде орналасқан кестедегі a, b, c сандарын "үштік" деп, ал а-bc айырмасын оның мәні деп атап, оны b торының оң жағына жазайық (бірінші қатардағы ci сандары алдын ала белгілі болады):
3-кесте.
C1
C2
C3
a-bc
Мысалы, мына кестенің бос орындарын (х, у, z) толтырып көрейік:
1) x=1-0·1=1, 2) y=0-1·3= -3, 3) z=1-(-3)·2=7.
4-кесте.
1)
1
3
2
4
1
0
2)
1
3
2
4
1
0
x
y
z
3)
1
3
2
4
1
0
1
-3
7
Енді осы ұғымдардың көмегімен анықталмаған сызықтық теңдеудің, алдымен, әйтеуір бір дербес шешімін, одан соң оның жалпы шешімін қалай табуға болатынын көрсетейік.
Алгебра - 8 (авторы Ә. Шыныбеков.-Алматы: Атамұра, 2004.) оқулығында V - тарау, §5; 4-мысалда көрсетілген тәсілмен кез келген анықталмаған сызықтық теңдеуді тез, әрі дұрыс шешу оқушыларға оңайға түспейді. Ал, ұсынылып отырған тәсілмен бүтін сандарға амалдар қолдана білетін кез келген 6-сынып оқушысы, біраз жаттыққаннан кейін, бүтін коэффициентті анықталмаған сызықтық теңдеулердің кез келгенін еркін шығара алады. Мысал арқылы түсіндірейік.
28-мысал. 37x-256y=3 теңдеуінің барлық бүтін шешімдерін табыңыз.
Шешуі. Алдымен, 37x+256y=1 көмекші теңдеуін Евклид алгоритмін қолданып шешеміз:
5-кесте.
256
37
34
3
1
6
1
11
мұндағы ci=6; 1; 11 - толымсыз бөлінділер, ал 34; 3; 1-сәйкес қалдықтар.
Соңғы қалдық 1 - 37 мен 256 - ның өзара жай сандар екендігін көрсетеді.
Ендеше, теңдеудің шешімі бар. Оларды табу үшін "y"-тің коэффиценті үлкен (25637) болғандықтан, осы кестенің үшінші жолының 1-ші торына у белгісізді, ал 2-ші, 3-ші торларына "1" және "0" сандарын (үнемі) орналастырайық:
6-кесте.
256
37
34
3
1
6
1
11
y
1
0
Енді 3-жолдың бос торларын үштіктердің мәндерімен толтырамыз:
7-кесте.
256
37
34
3
1
6
1
11
у
1
0
1
-1
12=y0
Үштіктің соңғы мәні (y0=12) көмекші теңдеудің дербес шешімінің x0;y0 екінші компоненті болады. Онда, көмекші теңдеуден:
.
Сонымен, 37x+256y=1 дербес шешімі: x0;y0=-83;12.
Онда, 37x-256y=1 -83;-12.
Ал, 37x-256y=3 -83∙3;-12∙3 немесе -249;-36 берілген теңдеудің дербес шешімі болып табылады да, жалпы шешімі: (мұндағы, t - кез келген бүтін сан). t=1 үшін, x1=7, y1=1 болғандықтан, берілген теңдеудің жалпы шешімін мына түрде ықшамырақ жазуға болады: t∈Z.
Жауабы: мұндағы, t∈Z.
29 - мысал. 1024x-3125y=2101 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. Алдымен, 1024x+3125y=1 теңдеуін шешеміз:
8-кесте.
3125
1024
53
17
2
1
3
19
3
8
y
1
0
1
-19
58
-483
=y0
x
0
1
-3
58
-177
1474
=x0
Сонымен, 1024x+3125y=1 1474;-483 - дербес шешімі.
Онда, 1024x-3125y=1 1474; 483.
1024x-3125y=2101 1474∙2101;483∙2101 немесе 3096874;1014783.
Ал, берілген теңдеудің жалпы шешімі:
(мұндағы, t - кез келген бүтін сан). t=-99 мәні үшін x0= y0=-1 болғандықтан, берілген теңдеудің жалпы шешімін мына түрде ықшамырақ жазуға болады: мұндағы, t∈Z.
Жауабы: мұндағы, t∈Z.
30-мысал. 5767x+5609y=218 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. ЕҮОБ 5767;5609=79 екені көрініп тұр. Ал, теңдеудің оң жағы 218 саны 79 - ға бөлінбейді. Ендеше, теңдеудің шешімі жоқ.
9-кесте.
5767
5609
158
79
0
1
35
2
31-мысал. sin17x-sin19y=2 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. sinx - тің ең үлкен мәні 1, ең кіші мәні ( - 1) екендігін ескерсек, берілген теңдеу мына теңдеулер жүйесімен мәндес болатындығы айқын:
Онда, немесе 17k-19n=9, мұндағы, n,k∈Z.
10-кесте.
19
17
2
1
1
8
n
1
0
1
-8
k
0
1
-1
9
Осы кестеден, 17k+19n=1 9;-8 - дербес шешімі.
Ал, 17k-19n=1 9;8. Онда, 17k-19n=9 81;72 - дербес шешімдері екендігін көреміз.
Ал, берілген теңдеудің жалпы шешімі: мұндағы .
t=-4 мәні үшін k=81+19∙-4=5, n=72+17∙-4=4 болғандықтан, мұндағы, t∈Z.
Онда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Құрастырушы авторлар:
Пікір жазғандар:
Күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері әдістемелік құралында ҰБТ-да кездесетін әр түрлі есептер жинақталып, оларды шешудің оңтайлы әдістемесі көрсетілген.
Әдістемелік құралдың негізгі мақсаты - оқушыларға математикадан ұлттық бірыңғай тестілеу (ҰБТ) тапсырмаларында кездесетін көптеген шығару жолы қиын саналатын тапсырмаларды орындаудың тиімді әдістерін ұсыну және оқушыларға есептерді шешудің тиімді әдістемесін келтіру арқылы олардың ойлау қабілеті мен шығармашылық белсенділігінің дамуына ықпал ету, есептерді шығару дағдысын жетілдіре түсуге көмектесу болып табылады.
Әдістемелік құрал мұғалімдер мен мектеп оқушыларына, мектеп бітіруші түлектерге арналған.
Кіріспе
Күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері әдістемелік құралында оқушыларға математикадан ұлттық бірыңғай тестілеу (ҰБТ) тапсырмаларында кездесетін көптеген шығару жолы қиын саналатын тапсырмаларды орындаудың тиімді әдістері ұсынылған.
Әдістемелік құралда ұсынылған функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі, тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялары бар өрнектердің мәндерін табу әдістемесі, күрделі радикалдары бар өрнектерді ықшамдау әдістемесі, жай теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі, аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі, анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу алгоритмі (авторлық тәсіл), қозғалысқа арналған есептерді графиктік тәсілмен шешу әдістемесі, функцияның ең кіші оң периодын табу әдістемесі, функцияның жұптылығы мен тақтылығын анықтау әдістемесі, сандардың ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ) пен ең үлкен ортақ бөлгішін (ЕҮОБ) Евклид алгоритімін пайдаланып анықтау әдістемесі берілген. Есептерді шығарудың мұндай әдістері мектеп оқулықтарында кездеспейтіндіктен, көрсетілген әдістеме ҰБТ кезінде оқушыларға үлкен көмек болатыны сөзсіз. Әдістемелік құралда кездесетін жай бөлшектерді Евклид алгоритмін пайдаланып қысқарту да кесте арқылы өте ұтымды орындалады. Сондықтан, осы тәсіл арқылы ЕКОЕ пен ЕҮОБ табу тапсырмаларын орындау, сандарды жай көбейткіштерге жіктеу тәсіліне қарағанда, оқушыларға еш қиындық келтірмейді.
1. Функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі
y=kx+bk1x+b1, y=f(x) және тағы басқа түріндегі функциялардың мәндерінің жиынын анықтауға арналған есептер мектеп бітірушілердің ұлттық бірыңғай тест (ҰБТ) тапсырмаларында жиі кездеседі.
Мектеп оқулықтарының бірде бірінде мұндай есептер арнайы қарастырылмағандықтан, оқушылардың көпшілігінің бұл есептерді шығара алмайды. Математикалық талдау аппараттарын пайдалана отырып функцияны зерттеу, оның графигін салу арқылы бұл тапсырмаларды орандауға болады. Бірақ ҰБТ кезінде мұндай тапсырмаларды 1,5-2 минут ішінде орындау кез келген оқушының қолынан келмейтіні белгілі. Функцияның мәндерінің жиынын табу көп жағдайда теңдеудің шешімін табумен байланысты болады. x0 саны f функциясының мәндер жиынына кіруүшін, y=fx теңдеуінің, мұндағы x∈Df, шешімінің болуы қажетті және жеткілікті. Бұл теңдеудің y0 - дің мәніне байланысты бір түбірі, бірнеше түбірі немесе түбірі болмауы да мүмкін. Осындай есептерді шығарудың оңтайлы тәсілдерінің бірі төменде келтірілген.
Ол үшін, алдымен y=kx+bk1x+b1 (мұндағы k1, b1!=0) түріндегі гиперболаны қарастырайық. Бұл функцияның мәндер жиыны у!=kk1 екендігі ақиқат.
1-мысал. y=8x-12x+1 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y!=82 немесе y!=4.
Жауабы: -infinity;4∪4;+infinity.
2-мысал. y=2х²-х-1х²+х-2 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. x=1, x=-2 сандары бөлшектің бөлімінің нөлдері болғандықтан, бұл функция осы нүктелерде анықталмайды. Ал, x=1 саны алымы мен бөлімінің ортақ нөлі. Сондықтан, x!=1 болса, онда y=2х²-х-1х²+х-2=2x+1x+2 функцияның x=1 нүктесіндегі мәні y1=2∙1+11+2=1, яғни, берілген функцияның мәні x -тің ешбір мәнінде 1-ге тең бола алмайды, ендеше біріншіден y!=1. Екіншіден, y=2x+1x+2 гиперболасының мәндер жиыны y!=2 екендігі белгілі.
Сондықтан, берілген функцияның мәндер y!=1, y!=2.
Жауабы: -infinity;1∪1;2∪2+infinity.
3-мысал. y=2х²-х-1х²-х-2 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. Бөлшектің алымы мен бөлімінің ортақ түбірі жоқ екендігі белгілі. Берілген функцияны yx²-x-2=2x²-x-1 немесе y-2x2+1-yx-2y+1=0 түріне келтіреміз. Яғни, функцияның мәндер жиынын табу үшін, у параметрдің қандай мәндерінде соңғы квадрат теңдеудің шешімі болатындыған анықтау жеткілікті. Ол үшін D0 теңсіздігін құрып, шешеміз: D=1-y2-4y-2-y+1=0 .
Соңғы теңсіздіктің шешімі: (-infinity;11-2109]∪[11-2109 ;+infinity) болатындығына көз жеткізу қиын емес.
Жауабы: (-infinity;11-2109]∪11-2109 ;+infinity.
4-мысал. y=5+6x-7x2 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. Мұндай есептерді квадрат үшмүшенің толық квадратын айыру тәсілі және туынды арқылы функцияның кризистік нүктесін анықтап, функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәндерін табу арқылы да шығаруға болады. Алайда, парабола төбесінің ординатасының формуласын қолдану, тапсырманы тез және дұрыс орындауға көмектеседі. Атап айтқанда, y0=4ac-b²4a парабола төбесінің ординатасының формуласы болғандықтан, a0 болса, онда
Ey=[y0;+infinity), ал a0 болса, онда Ey=(-infinity;y0] болады.
Біздің мысалда y0=4ac-b²4a=4∙-7∙5-624∙-7=627, ал a=-70 болғандықтан, Ey=(-infinity;627].
Жауабы: (-infinity;627].
5-мысал. y=х²-6х-2 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. Квадрат түбір астындағы х²-6х-2 квадрат үшмүшеліктің мәндер жиыны [-11;+infinity) болғандықтан,
Ey= [-11; +infinity)=[0;+infinity) болатындығы анық.
Жауабы: 0; +infinity.
Ескерту: Сан аралығының квадрат түбірін табу амалының жазылуы ерсілеу көрінгенмен, оның дұрыстығы өрнектің монотондылығымен түсіндіріледі.
6-мысал. y=2х²-х-1х²+х-2 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y1=2x²-x-1x²+x-2 функциясының мәндер жиыны:
Ey1=-infinity;1∪1;2∪2;+infinity болғандықтан,
Ey=Е(у1)=-infinity;1∪1;2∪ 2;+infinity=
=0;1∪1;2∪2;+infinity.
Жауабы: 0;1∪1;2∪2;+infinity.
7-мысал. y=3-4sin7x-1 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y=3-4sin7x-1=3-4∙1=-13-4∙-1=7 -- -1;7.
Жауабы: [-1; 7].
8-мысал. y=3-4sin²7х-1 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі.
y=3-4sin²7х-1=3+--4∙12=-13-4∙02=3 -- -1;3.
Жауабы: [-1; 3].
9-мысал. у=3-4sin²7х-1 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y1=3sin²7х-1 функциясының мәндер жиыны Ey1=[-1; 3] болғандықтан, Еу= Е(у1)= -1; 3 =[0;3 ].
Жауабы: [0;3 ].
10-мысал. y=2sin7x-cos7x функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y=asinx+bcosx (мұндағы a,b∈R) функциясының мәндер жиыны -a²+b²;a²+b² болғандықтан, y=2sin7x-cos7x функциясының мәндер жиыны:
Ey=-2²+(-1)²;2²+(-1)²=-5;5.
Жауабы: -5;5.
11-мысал. y=3sinx+2cosx 2sinx-cosx+10 функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.
Шешуі. y=3sinx+2cosx 2sinx-cosx+10 y(2sinx-cosx+10)=(3sinx+2cosx) ⟺ 2y-3sinx+(-y-2)cosx=-y10. Ал, asinx+bcosx=с теңдеуінің шешуі болу үшін, a2+b²-с²=0 шарты орындалуы қажет. Сондықтан, 2y-32+-y-22- -y102 = 0.
5y2+8y-13=0 -135=у=1 ⟺ Ey=- 135;1.
Жауабы: - 135;1.
2. Тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялары бар өрнектердің мәндерін табу әдістемесі.
12-мысал. tgα=-512 және 900α1800 болса, онда sinα, cosα, ctgα мәндерін табыңыз.
Шешуі. Көмекші тікбұрышты үшбұрышты пайдаланайық.
1-сурет.
tgα=1213 болғандықтан, sinα=513, cosα=1213, ctgα=125, ал, 900α1800 шартын ескерсек: sinα=513, cosα=-1213, ctgα=-125.
Жауабы: 513, -1213, -125.
13-мысал. tgarcsin35+arccos513 есептеңіз.
Шешуі. arcsin35=α және arccos513=β деп белгілесек, онда анықтама бойынша α,β∈I. Ендеше, sinα=35, cosβ=513 -- tgα=34, tgβ=125 (12-мысал әдісімен). Сондықтан
tgarcsin35+arccos513=tgα+β=
=tgα+tgβ1-tgα∙tgβ=34+1251-34∙125=-6 316.
Жауабы: -6316.
Мына түрдегі: cosαcosβcosγ∙...∙cosφ тригономериялық өрнектерді ықшамдау, өрнектің мәнін табу синустар мен косинустардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру формуласын қолдану немесе қосбұрыштың синусының формуласына келтіру арқылы жүзеге асырылады.
14-мысал. cos12°cos24°cos48°cos96° өрнегінің мәнін есептеңіз.
Шешуі. а) 1-ші тәсіл. Косинустардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру және келтіру формулаларын қолданамыз:
cos12°cos24°cos48°cos96° =cos48°cos12°cos96°cos24°=
= 14cos36°+cos60°cos72°+cos120°=
=14cos36°+12cos72°-12=
=14cos72°cos36°+12cos72°-12cos36°-1 4=
=1412cos108°+12cos36°+12cos72°-12co s36°-14=
=14-12cos72°+12cos36°+12cos72°-12co s36°-14=-116 .
Жауабы: -116.
б) 2-ші тәсіл. Қосбұрыштың синусының формуласына келтіреміз:
cos12°cos24°cos48°cos96°=
=16sin12°16sin12°∙cos12°cos24°cos48 °cos96°=
=8sin24°16sin12°cos24°cos48°cos96°= 4sin48°16sin12°cos48°cos96=
=2sin96°16sin12°cos96°=sin192°16sin 12°=sin(180°+12°)16sin12°=-sin12°16 sin12°=-116
Жауабы: -116
в) 3-ші тәсіл. sin2α=2sinαcosα формуласынан
cosα=sin2α2sinα (1-формула) алуға болады. Ендеше,
cos120cos240cos480cos960=sin2402sin 120∙sin4802sin240∙sin9602sin480∙sin 19202sin960=
=sin192°16sin12°=-sin12°16sin12°=-1 16.
Жауабы: -116.
15-мысал. cosPI5+cos3PI5 өрнегінің мәнін есептеңіз.
Шешуі. а) 1-ші тәсіл.
cosPI5+cos3PI5=cos108°+ cos36°=2cos72° cos36°=
=2sin18°cos36°=sin54°-sin18°=
=sin54°-12(1+2sin18°-1)=
=sin54°-12cos54°sin36°+2sin18°-1=
=sin54°-12(cos18°-cos90°)-(cos18°-c os54°)sin36°+2sin18°-1=
=sin54°-122sin36°sin54°-2sin18°sin3 6°sin36+2sin18°-1=
=sin54°-122sin36°(sin54°-sin18°)sin 36°+2sin18°-1=
=sin54°-122sin36°(sin54°-sin18°)sin 36°+2sin18°-1=
=sin54°-sin54°-sin18°+sin18°+12= 12.
Жауабы: 12.
б) 2-ші тәсіл. Өрнектің мәнін х деп белгілейік. Яғни, x=cosPI5+cos3PI5 болсын. Теңдіктің екі бөлігін де 2sin2PI5 өрнегіне көбейтіп, синус пен косинустың көбейтінділерін қосындыға түрлендірейік:
2хsin2PI5= 2sin2PI5cosPI5= 2sin2PI5cos3PI5.
Ал, sin2PI5=sin3PI5 болғандықтан,
2xsin3PI5= sin3PI5+sinPI5= sin5PI5-sinPI5, 2xsin3PI5=sin3PI5 .
Бұдан x=12.
Жауабы: 12.
в) 3-ші тәсіл. 1-формула бойынша:
cosPI5+cos3PI5=2cos2PI5 cosPI5=2∙sin4PI52sin2PI5∙sin2PI52si nPI5=
=sin4PI52sinPI5=sin(PI-PI5)2sinPI5= sinPI52sinPI5=12.
Жауабы: 12 .
3. Күрделі радикалдары бар өрнектерді ықшамдау әдістемесі
Мектеп курсында оқушылардың қызығушылығын тудыратын тақырыптардың бірі - Күрделі радикалдар формуласын қолданып өрнектерді ықшамдау. Алгебра-8 (авт. Шыныбеков А.Н. Алматы: Атамұра баспасы, 2004.) оқулығында бұл тақырыпқа С тобының №180 және осы формуланы қолданып шығаруға болатын №№175; 217; 222(1,2); 227 есептері, Математика тереңдетіліп оқытылатын мектептердің 9 сынып курсы бойынша математикадан жазбаша емтихан жұмыстарының тапсырмалар жинағындағы ( Алматы: ББЖ БАИ,1999.) №1С41; 1С42; 1C45; 2C61; 4В42; 4С59; 5А22; 5В52; 5В53 және т.б. тапсырмалары жатады.
Бұл есептерді шығару үшін Алгебра-8 оқулығындағы №179* есептегі Күрделі радикалдар формуласын алдын ала дәлелдеп алып, оны пайдалану өз нәтижесін берері сөзсіз. Бірақ, формуланың жалпы түрінің өзі (қосымша шарттарымен бірге) күрделі екенін ескерсек, кез келген оқушыға бұл формуланы есіне түсіріп немесе түбір астындағы өрнекті қосындының квадратына келтіріп, жоғарыда аталған есептерді шығару оңайға түспейтіні анық. Себебі, a+-b=a+a²-b2+-a-a²-b2 . a0, a2b0 (1) формуласын (дәлелдеуін білмеген оқушыға) жадында сақтау да қиын екені рас. Сондықтан, алдымен формуланың дәлелдемесінің әдістемелік нұсқауда көрсетілген тәсілінен басқа түрін келтірейік:
(x+-y)²=x+y+-2xy , бұдан
(x+y)+-4xy =x+-y . (2)
x+y=a,4xy=b. (3)
Осы жүйеден, анығырақ болу үшін, xy деп пайымдап,
a0, a2b0 мәндері үшін x=a+a²-b2 , y=a-a²-b2 (4)
екендігін анықтауға болады. ху екендігін ескерсек, (2), (3), (4) теңдіктерден (1) формула шығатындығына көз жеткізу қиын емес.
Енді, (2) теңдікті мына түрде жазып:
(x+y)+-2(xy)=x+-y ,
x+у=a және xу=b алмастыруларын жасасақ, күрделі радикалды ықшамдаудың алгоритмі пайда болады:
a+- 2b =x +-y. (5)
Яғни, a+-2b түріндегі күрделі радикалдарды ықшамдау үшін b санын (әдетте a,b∈N) қосындысы а - ға тең болатындай етіп, екі натурал көбейткіштерге (ху) жіктеу жеткілікті.
16-мысал. 4+23 өрнегін түрлендіріңіз.
Шешуі. (5) формулаға сәйкес
4+ 23=1+3=1+3, мұндағы a=1+3, b=1∙3.
Жауабы: 1+3.
17-мысал. 7-210 өрнегін түрлендіріңіз.
Шешуі. (5) формулаға сәйкес
7-210=2-5=5-2, мұндағы a=2+5, b=2∙5.
Жауабы: 5-2.
18-мысал. 6-32 өрнегін түрлендіріңіз.
Шешуі. (5) формулаға сәйкес
6-32=6-28=4-2=2-2=2-2 ,
мұндағы a=4+2, b=4∙2.
Жауабы: 2-2.
19-мысал. x+2x-1-x-2x-1, мұндағы х=2, өрнегін ықшамдаңыз.
Шешуі. х=2 болғандықтан, х−1=1, яғни, x-1=1. Ендеше,
х+2х-1-х-2х-1=1+x-1-1-x-1=
=1+x-1-1-x-1=2.
Жауабы: 2.
20-мысал. №217(6) (Алгебра-8, 2004 ж. Ә.Шыныбеков)
2∙6+25-13+48 өрнегін ықшамдаңыз.
Шешуі. Алдымен,
13+48=13+212=1+12=1+23,
мұндағы a=1+12, b=1∙12. Онда,
5-13+48=5-(1+23)=4-23=3−1,
мұндағы a=1+3, b=1∙3. Сонымен,
2∙ 6+2∙5-13+48=2∙6+23-1=2∙4+23=
=21+3=2+23.
Жауабы: 2+23
21-мысал. 1+2х1-x22+2x2=1 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. 1+2x1-x22+2x2=1 ⟺ 1+2x1-x22=1-2x2 (а).
Соңғы теңдеудің шешімдерінің мүмкін мәндер жиыны: x=12 .1+2х1-x2 өрнегін (5) формуланы пайдаланып, түрлендірейік:
1+2x1-x2=1+2x21-x2=x+1-x2, егер 0=x=12,1-2x21-x2=-x-1-x2, егер-12=x0=
=x+1-x2. Ал, x=12 мәндері үшін x+1-x2=0 екендігін ескерсек, (а) теңдеуін мына түрге келтіруге болады:
1-x2 +x=1-2x22.
Онда, 1-2x21-x2 - х=1-2x22 ⟹ 1-2x211-x2 - х-2=0. Бірінші көбейткіштің оң түбірі 12 екінші көбейткіштегі бөлшектің бөлімін 0-ге айналдыратындықтан, ол (а) теңдеуінің шешімі бола алмайды. Сондықтан, x1=-12 . Ал, 11-x2 - x-2=0
4x2-2x2-1=0 теңдеуінің түбірлері: x=-2+-64 (а) теңдеуінің мүмкін мәндер жиынына тиістісі тек 6-24 саны болғандықтан, бастапқы теңдеудің шешімдері: - 12, 6-24 .
Жауабы : - 22; 6-24.
22-мысал. x+8-6x-1+x+2x-16 теңсіздігін шешіңіз.
Шешуі. x+8-6x-1+x+2x-16
x+8-29∙x-1+x+21∙x-16 ⟺
3-x-1+1+x-16 . x-1=t=0 жаңа айнымалыны енгізсек:
3-t+1+t6 немесе t-3+t+16 t=0 болғандықтан,
t-3+t+16 ⟺t-3=-t+5t-3=t-5 -- x-1=4
x-1=16 х=17.
Жауабы: х=17.
4. Жай теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі
22-мысал. x-5,x1,x=-3,2,x10,x=0,28 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Шешуі. Теңсіздіктер аттас ( "артық" ;= ) болғандықтан, шекарасы ең үлкен жай теңсіздік (х10) жүйенің шешімі болады.
Жауабы: 10;+infinity.
23-мысал. x=-5,x1,x=-3,2,x10,x=0,28 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Шешуі. Теңсіздіктер аттас ( "кем"=; ) болғандықтан, шекарасы ең кіші жай теңсіздік (х=-5) жүйенің шешімі болады.
Жауабы: -infinity;5.
24-мысал. x=6,x=-3,2 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Шешуі. Теңсіздіктер әр аттас ( "кем"= ;"артық"= ) болғандықтан, жүйенің шешімі қос теңсіздік болады. Яғни,
-3,2=x=6.
Жауабы: [-3.2; 6].
25-мысал. x=6 х=-3,2 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Шешуі. Теңсіздіктер әр аттас ( "кем" ;"артық"= ) болғандықтан, жүйенің шешімі қос теңсіздік болады.
Бірақ, 3,2=x=- 6 теңсіздігі тура емес болғандықтан, жүйенің шешімі жоқ.
Жауабы: шешімі жоқ.
5. Аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі
26-мысал. х-2; -1x0; x3,-3=x=5; x=6,x10 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Шешуі. Берілген жүйені келесідей жазуға болады:
-infinity; -2∪-1;0∪3;+infinity,∪6;+infinity,-i nfinity;10.
Яғни, осы жүйенің шешімін тапса жеткілікті.
Аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдісін Сәуле-кесінді тәсілі деп атап, былай шешеміз:
2-сурет.
Жауабы: [-3;-2)∪-1;0∪3;5∪[6;10).
27-мысал. (Алгебра және анализ бастамалары. 11 сынып. №303(3)).
2-xx+4log0,32x2+6x+5=0
логарифмдік теңсіздікті шешіңіз.
Шешуі. logab мен a-1b-1 анықталу облысында өрнектерінің таңбалары бірдей болады. log0,3(2x²+6x+5) өрнегінің анықталу облысы -infinity;+infinity болғандықтан, берілген теңсіздіктегі log0,3(2x²+6x+5) өрнегін 0,3-12x2+6x+5-1 өрнегімен алмастырамыз. Онда:
2-xx+4log0,32x2+6x+5=0
2-xx+4(0,3-1) (2x²+6x+5-1)=0
⟺
x-2x+4(x²+3x+2)=0
Ал, бөлшектің алымы мен бөлімінің нөлдері сәйкесінше 2, (-4), 2,
(-1) сандары болғандықтан, интервалдар тәсілімен шешеміз:
3-сурет.
Жауабы: -4;-2∪(-1;2].
6. Анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу алгоритмі
Мысал арқылы түсіндірейік. бөлшегін қысқарту керек болсын. Мектеп оқулығында көрсетілген сандардың бөлінгіштік қасиетін пайдаланып, тапсырманы орындау мүмкін емес. Евклид алгоритмін қолданайық: яғни, 8633:7387=1(1246), 7387:1246=5(1157), 1246:1157=13. Орындалған амалдарды кесте түрінде көрсетсек:
1-кесте.
8633
7387
1246
1157
89
0
1
5
1
13
Бұл кестеде көрініп тұрғандай, алдымен, берілген сандарды кему ретімен (8633; 7387) қатар жазып, толымсыз бөлінділерін (1; 5; 1; 13) екінші жолға жазып, қалдықтарын 1-ші жолға (1246; 1157; 89; 0) орналастырамыз. Соңғы бөлу амалында (89-ға бөлгенде) қалдық 0-ге тең болғандықтан, бөлшек 89 - ға қысқарады. Кез келген бөлшекті осылай қысқартуға болатындығы анық.
=;
Енді, мынадай ұғым енгізейік.
2-кесте.
C1
C2
C3
түрде орналасқан кестедегі a, b, c сандарын "үштік" деп, ал а-bc айырмасын оның мәні деп атап, оны b торының оң жағына жазайық (бірінші қатардағы ci сандары алдын ала белгілі болады):
3-кесте.
C1
C2
C3
a-bc
Мысалы, мына кестенің бос орындарын (х, у, z) толтырып көрейік:
1) x=1-0·1=1, 2) y=0-1·3= -3, 3) z=1-(-3)·2=7.
4-кесте.
1)
1
3
2
4
1
0
2)
1
3
2
4
1
0
x
y
z
3)
1
3
2
4
1
0
1
-3
7
Енді осы ұғымдардың көмегімен анықталмаған сызықтық теңдеудің, алдымен, әйтеуір бір дербес шешімін, одан соң оның жалпы шешімін қалай табуға болатынын көрсетейік.
Алгебра - 8 (авторы Ә. Шыныбеков.-Алматы: Атамұра, 2004.) оқулығында V - тарау, §5; 4-мысалда көрсетілген тәсілмен кез келген анықталмаған сызықтық теңдеуді тез, әрі дұрыс шешу оқушыларға оңайға түспейді. Ал, ұсынылып отырған тәсілмен бүтін сандарға амалдар қолдана білетін кез келген 6-сынып оқушысы, біраз жаттыққаннан кейін, бүтін коэффициентті анықталмаған сызықтық теңдеулердің кез келгенін еркін шығара алады. Мысал арқылы түсіндірейік.
28-мысал. 37x-256y=3 теңдеуінің барлық бүтін шешімдерін табыңыз.
Шешуі. Алдымен, 37x+256y=1 көмекші теңдеуін Евклид алгоритмін қолданып шешеміз:
5-кесте.
256
37
34
3
1
6
1
11
мұндағы ci=6; 1; 11 - толымсыз бөлінділер, ал 34; 3; 1-сәйкес қалдықтар.
Соңғы қалдық 1 - 37 мен 256 - ның өзара жай сандар екендігін көрсетеді.
Ендеше, теңдеудің шешімі бар. Оларды табу үшін "y"-тің коэффиценті үлкен (25637) болғандықтан, осы кестенің үшінші жолының 1-ші торына у белгісізді, ал 2-ші, 3-ші торларына "1" және "0" сандарын (үнемі) орналастырайық:
6-кесте.
256
37
34
3
1
6
1
11
y
1
0
Енді 3-жолдың бос торларын үштіктердің мәндерімен толтырамыз:
7-кесте.
256
37
34
3
1
6
1
11
у
1
0
1
-1
12=y0
Үштіктің соңғы мәні (y0=12) көмекші теңдеудің дербес шешімінің x0;y0 екінші компоненті болады. Онда, көмекші теңдеуден:
.
Сонымен, 37x+256y=1 дербес шешімі: x0;y0=-83;12.
Онда, 37x-256y=1 -83;-12.
Ал, 37x-256y=3 -83∙3;-12∙3 немесе -249;-36 берілген теңдеудің дербес шешімі болып табылады да, жалпы шешімі: (мұндағы, t - кез келген бүтін сан). t=1 үшін, x1=7, y1=1 болғандықтан, берілген теңдеудің жалпы шешімін мына түрде ықшамырақ жазуға болады: t∈Z.
Жауабы: мұндағы, t∈Z.
29 - мысал. 1024x-3125y=2101 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. Алдымен, 1024x+3125y=1 теңдеуін шешеміз:
8-кесте.
3125
1024
53
17
2
1
3
19
3
8
y
1
0
1
-19
58
-483
=y0
x
0
1
-3
58
-177
1474
=x0
Сонымен, 1024x+3125y=1 1474;-483 - дербес шешімі.
Онда, 1024x-3125y=1 1474; 483.
1024x-3125y=2101 1474∙2101;483∙2101 немесе 3096874;1014783.
Ал, берілген теңдеудің жалпы шешімі:
(мұндағы, t - кез келген бүтін сан). t=-99 мәні үшін x0= y0=-1 болғандықтан, берілген теңдеудің жалпы шешімін мына түрде ықшамырақ жазуға болады: мұндағы, t∈Z.
Жауабы: мұндағы, t∈Z.
30-мысал. 5767x+5609y=218 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. ЕҮОБ 5767;5609=79 екені көрініп тұр. Ал, теңдеудің оң жағы 218 саны 79 - ға бөлінбейді. Ендеше, теңдеудің шешімі жоқ.
9-кесте.
5767
5609
158
79
0
1
35
2
31-мысал. sin17x-sin19y=2 теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. sinx - тің ең үлкен мәні 1, ең кіші мәні ( - 1) екендігін ескерсек, берілген теңдеу мына теңдеулер жүйесімен мәндес болатындығы айқын:
Онда, немесе 17k-19n=9, мұндағы, n,k∈Z.
10-кесте.
19
17
2
1
1
8
n
1
0
1
-8
k
0
1
-1
9
Осы кестеден, 17k+19n=1 9;-8 - дербес шешімі.
Ал, 17k-19n=1 9;8. Онда, 17k-19n=9 81;72 - дербес шешімдері екендігін көреміз.
Ал, берілген теңдеудің жалпы шешімі: мұндағы .
t=-4 мәні үшін k=81+19∙-4=5, n=72+17∙-4=4 болғандықтан, мұндағы, t∈Z.
Онда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz