Толық ықтималдықтар формуласы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 8 бет
Таңдаулыға:

Біз бұл параграфта оқиғалардың ықтималдықтарын есептеуді көптеген жағдайларда жеңілдетуге мүмкіндік беретін толық ықтималдықтар формуласы деп аталатын формуланы қорытамыз және оның қолдануларының бірнеше мысалдарын келтіреміз. Параграф соңында гипотезалардың ықтималдықтарын қосымша ақпаратты пайдаланып қалай қайта бағалауға болатыны жөнінде айтамыз.

Тұжырым. Айталық, А - қандай да бір оқиға болсын, ал оқиғалары екеуара үйлеспейтін , оң ықтималдықты және шартын қанағаттандыратын оқиғалар болсын. Онда А аоқиғасының ықтималдығын толық ықтималдықтар формуласы деп аталатын мына төмендегі формула арқылы есептеуге болады:

(1)

Дәлелдеу. Тұжырым шартынан болатындығы шығады. Оның үстіне оқиғалары екеуара үйлеспейтін оқиғалар, сондықтан ықтималдықтың саналымды аддитивтілік қасиеті және ықтималдықтарды көбейту формуласы бойынша

▼

Толық ықтималдықтар формуласының маңыздылығы мынада: көп жағдайларда әдетте Р(А) ықтималдығын тікелей есептегеннен гөрі шартты ықтималдықтарын және ықтималдықтарын есептеу әлде қвйда жеңіл болуы мүмкін.

Мысалдар

Бірінші құтыдаақ, қара шар, екінші құтыдаақ, қара шар бар. Бірінші құтыдан кездейсоқ түрде бір шарды алып, екінші құтыға салған. Сосын екінші құтыдан кездейсоқ түрде бір шар алмаған. Осы соңғы шардың ақ шар болу (А оқиғасы) ықтималдығын табыңыз.

Шешуі . және арқылы бірінші құтыдан екінші құтыға сәйкес ақ және қара шар салынды білдіретін оқиғаларды белгіледік.

Онда

,

,

болғандықтан (1) формула бойынша екінше құтыдан ақ шар алу ықтималдығы

+ (2)

көпшілікке (мамандарға) кеңінен танымал мына есепті қарастыралық. Айталық, әрқайсысының ішінде N шары бар N + 1 құты бар болсын және де нөмірі- ші құтыдақызыл және N -ақ шарбар болсын. Кездейсоқ түрде таңдап алынған құтыданрет қатарынан бір - бірденшар қайтарымсыз түрде кездейсоқ алынған (әр жолы алынған шар келесі шарды алар алдында құтыға кері қайтарылып отырған) . Барлық алынған шарлар қызыл түсті шарлар (А оқиғасы ) болып шықты деп ұйғаралық. Айтылған шарттар орындалған жағдайда келесі шардың да қызыл шар болуының (В оқиғасы) ықтималдығын табалық.

Шешуі . арқылы бастапқыда - ші нөмірлі құты таңдап алынды дегенді білдіретін оқиғаны белгілейік

Онда

сондықтан ықтималдықтарды қосу форсуласы бойынша

АВ оқиғасы рет алынған шарлардың барлығы да қызыл шарлар болып шықты дегенді білдіреді. Демек жоғарыдағы формулада ді -ге ауыстырсақ АВ оқиғасының ықтималдығын аламыз:

Іздеп отырған ықтималдық

Біз жеткілікті үлкен N-дер үшін жуықтап мынаны жаза аламыз

Бұдан

Ендеше жеткілікті үлкен N үшін:

Бұл нәтижені былайша түсіндіруге болады: егер құтыдағы шарлардың құрамынның мүмкін болатын барлық варианттары (нұсқаулары) тең ықтималдықты болатын болса және алғашқы сынақта қатарынан қызыл шарлар алынған болса, онда келесі +1 -ші сынақта қатарынан қызыл шарлар алыну ықтималдығы тең. Бұл Лапластың ілесу заңы деп аталатын заң.

Бұдан мынандай қорытынды жасауға болады: егер бірінші ойыншы екіншіге қарағанда нашарырақ ойнаса, әр жолы (ұтылысқа) төленетін ақшаны екі есе көбейту оның жұрдай болып ұтылу ықтималдығын азайтады.

Байес формулалары

Тұжырым. Айталық А және оқиғалары алдыңғы 3. 1. пункттегі тұжырымда келтірілген шарттарды қанағаттандыратын оқиғалар болсын. Онда егер қосымша болса үшін мына Байес формулалары деп аталатын формулалар дұрыс

(10)

Дәлелдеу. Бұл формуланың дәлелдеуі мынадан шығады. Шартты ықтималдықтың формуласы бойынша

Ықтималдықтарды көбейту формуласы бойынша , ал толық ықтималдықтар формуласы бойынша Р(А) (10) формуланың бөліміндегі шамаға тең. ▼

Байес формулаларын іс жүзінде қолдану схемасы мынандай:

Айталық, А оқиғасы әртүрлі жағдайларда іске асуы мүмкін болсын және олардың (жағдайлардың) сипаттамаларына байланысты болжамдарын (гипотезаларын) жасай алатын болалық. Қандай да бір себептермен бізге бұл гипотезалардың сынаққа дейінгі ықтималдықтары белгілі болсын, сонымен бірге гипотезасы іске асқан жағдайдағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы белгілі болсын. Тәжірибе жүргізілген және нәтижесінде А пайда болған болсынделік. Алынған қосымша ақпарат (информация) бізге гипотезаларына деген көзқарасымызды өзгертуге, яғни олардың ықтималдықтары -ді қайта бағалау қажеттігіне әкеп соғады. Байес формулаоары осы сұраққа жауапты сандық түрде жазуға мүмкіндік береді. Әдетте ықтималдықтары гипотезалардың априорлы (тәжірибеге дейінгі) ықтималдықтары, ал апостериорлы (тәжірибеден кейінгі) ықтималдықтары деп аталады.

Мысалдар

Қандай да бір бұйым шығаратын заводта А, В, С машиналарында жасалған бұйымдар барлық бұйымдардың сәйкес 25, 35, 45% үлесін құрайды. Олар жасаған бұйымдардың ақаулалары сәйкес 5, 4 және 2%. Завод бұйымдарының ішінен кездейсоқ алынған бұйым ақаулы болып шықты. Осы бұйым а (В, С) машинасында жасалған бұйым болу ықтималдығы нег тең?

Шешуі. D-арқылы алынған бұйым ақаулы бұйым болып шықты деген оқиғаны белгілейік. Онда толық ықтималдықтар формуласы бойынша