Анықталған интегралдың қасиеттері мен интегралдау әдістері

Кіріспе ... ... ... ... 3
1.Анықталған интегралдың қасиеттері ... ...5
1.1.Орта мән жөніндегі екінші теорема ... .12
Практикалық бөлім ... ... ... ... ... 24
Қорытынды ... ... ... ... 32
Қолданылған әдебиеттер тізімі

Анықталған интеграл ертеректе жазық фигуралардың ауданын табу негізінде туындады. Ал қазір анықталған интеграл барлық техникалық ғылымдардағы аз шаманың үлкен сандарының қосындысын табуға арналған есептерді шешуде қолданылады. Анықталмаған интеграл интеграл(лат. іnteger – бүтін) - математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан – туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан – аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады. «Интеграл» сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған;өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама. Біз бұл курстық жұмыста білімнің әр түрлі саласына жататын, бірақ екеуінің де шешуін табу бір математикалық аппаратқа негізделген екі есепті қарастырмақшымыз. Сөз болып отырған математикалық аппарат бірінші қарағанда функцияларды дифференциалдау мен интегралдау мәселесіне тура қатысы жоқ сияқты болып көрінеді.

1. О.А.Жәутіков. «Математикалық анализ курсы» , Алматы, «Экономика» баспасы, 2014 жыл.
2. Темірғалиев Н.Т. Математикалық анализ 1,2,3-том. Алматы 1977 ж
3. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. 1-2 бөлім. – Алматы, ҚАЗҰУ, 2000 ж.
4. Қасымов Қ., Қасымов Е. Жоғары математика курсы. –Алматы, Санат, 1994ж.
5. Қабдықайыров Қ. Жоғары математика.-Алматы, РБК, 1993.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 33 бет
Таңдаулыға:

Қостанай мемлекеттік педагогикалық институты
Жаратылыстану-математика факультеті
Физика-математика және жалпы техникалық пәндер кафедрасы

Абылай Нұрдәулет Досжанұлы

Анықталған интегралдың қасиеттері
мен интегралдау әдістері

Курстық жұмыс

Ғылыми жетекші:Доспулова У.К.
аға оқытушы

Қостанай, 2015ж.
Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
1.Анықталған интегралдың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1.1.Орта мән жөніндегі екінші теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..12
Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..32
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..33

Кіріспе

Анықталған интеграл ертеректе жазық фигуралардың ауданын табу негізінде туындады. Ал қазір анықталған интеграл барлық техникалық ғылымдардағы аз шаманың үлкен сандарының қосындысын табуға арналған есептерді шешуде қолданылады. Анықталмаған интеграл интеграл(лат. іnteger - бүтін) - математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан - туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан - аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады. Интеграл сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған;өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама. Біз бұл курстық жұмыста білімнің әр түрлі саласына жататын, бірақ екеуінің де шешуін табу бір математикалық аппаратқа негізделген екі есепті қарастырмақшымыз. Сөз болып отырған математикалық аппарат бірінші қарағанда функцияларды дифференциалдау мен интегралдау мәселесіне тура қатысы жоқ сияқты болып көрінеді.
Тарихта да ұзақ уақыттар бойы бұл аппарат дифференциалдау
және интегралдау операцияларымен байланыссыз өсіп дамыған.
XVII ғасырдың аяғында-ақ бұл циклдегі есептерді шешудің ең
күшті және ең жалпы әдісін оларды интегралдық есептеуде
шешілетін мәселелермен байланыстыру жолында ғана жасауға
болатыны анық болды.
Біздің қарастырмақ болып отырған есептеріміздің бірі жазық фигуралардың ауданын есептеп шығару.
Элементарлық геометрияда тек түзу сызықты кесінділер және
шеңбер доғаларымен шенелген жазық фигуралардың аудандарын
есептеп шығару әдісі беріледі. Кез келген қисық сызықпен шенел-
ген жазық фигураныңа ауданын табу жөніндегі жалпы
геометриялық мәселені тек математикалық анализдің
құралдарының жәрдемімен ғана шешуге болады. Кез келген
жазық фигураның ауданын есептей білудің теориялық және
ешқандай арнайы ыспаттауды керек етпейді.

Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.

Мақсаты: Анықталған интегралдың қасиеттері мен интегралдау әдістерін зерттеу .

Міндеті:

-Анықталған интегралдың қасиеттерін дәлелдеу және талдау.

-Анықталған интегралдың қасиеттері бойынша есептер мен мысалдар.

Зерттеу объектісі: Математикалық талдау.

Зерттеу пәні: Анықталған интегралдың қасиеттері мен интегралдау әдістерін қолдану

Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу

Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық жұмыс, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1.Анықталған интегралдың қасиеттері

1. Егер функция f(x) [а,b] аралығында интегралданатын
болса, онда ол [а, b] аралығында да интегралданады және
abf(x)dx=-baf(x)dx

Анықтама бойынша

aaf(x)dx=0

2. Функция f (x) мына үш [а,b], [а,с] және [с,b]
аралықтардың ең үлкенінде интегралданатын болсын; онда бұл
функция қалған аралықтардың екеуінде де интегралданатын
болады.
Дәлелдеу. с нүктесі а мен b-нің арасыңда жататын болсын,
яғни а с b, f(x) [а, b] аралығында интегралданатын
функция. Олай болса, бұл функция [а,с] және [с,b]
аралықтарында интегралданатынын біз жоғарыда айтып кеттік.
[а, b] аралығын бөлшек сегменттерге бөлеміз және с нүктесін
бөлу нүктесінің бірі деп есептейміз де, интегралдық қосындыны
құрамыз, сонда

abf(ξi)∆xi= acf(ξi)∆xi+cbf(ξi)∆xi

Енді max∆xi-ді нольге ұмтылтып, кейінгі теңдіктің екі
жағынан шек аламыз, сонда

abf(x)dx=aсf(x)dx+cbf(x)dx

Енді с нүктесі [а, b] аралығының сыртында жатқан жағдайды
қарастырайық. Сонымен, а b с болсын, онда (16) формула
бойынша
acf(x)dx=abf(x)dx+bcf(x)dx
немесе бұл арадан

abf(x)dx=acf(x)dx-bcf(x)dx= acf(x)dx+cbf(x)dx

Сонымен, (16) формула с нүктесі [а,b] аралығы жөнінде
қалай орналасса да дұрыс болатын болды.
3. Егер функция f(x) [а, b] аралығында интегралданатын
болса, онда к f(x) (мұнда к - тұрақты сан) да осы аралықта
интегралданатын болады және

abk f(x)dx=kabf(x)dx

4. Егер екі функция f(x) және g(x) [а, b] аралығында
интегралданатын болса, онда f(x) +- g(x) да интегралданатын
болады және
ab[fx+- gx]dx = abf(x)dx+-abg(x)dx
Бұл қасиеттерді оқушылардың өздері де дәлелдей алады.
5. Егер [а, b] аралығында интегралданатын функция f(х)
теріс болмаса және а b, онда

abf(x)dx=0

Мұны да оқушылардың өздері дәлелдей алады.
6. [а, b] аралыгында интегралданатын функциялар f(x)
және g(x) осы аралықтың барлық нүктелері үшін мына
теңсіздікті қанағаттандырса, f(x) =g(x) немесе , f(x) g(x)
онда

abf(x)dx=abgxdx немесеabf(x)dxabg(x)dx
Осының алдындағы қасиет бойынша

ab[fx- gx]dx =0

бұл арадан дәлелдейік деп отырған теңсіздік келіп шығады.
7. Егер функция fx [а, b] аралыгында интегралданатын
болса және а b болса, онда

abf(x)dx=abfxdx

Егер функция fx [а, b] аралыгында интегралданатын
болса, онда fx да осы аралықта, интегралданатынын біз
жоғарыда дәлелдеген болатынбыз.
Енді (17) теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдейік. Ол үшін [а, b]
аралығын n бөлшек сегменттерге бөліп, интегралдық қосындыны
құрамыз:

i=1n-1f(ξi)∆xi

Ал

i=1n-1fξi∆xi =i=1n-1f(ξi)∆xi
max∆xi-ді нольге ұмтылып, теңсіздіктің екі жағынан шек аламыз,
сонда
8. Егер функцш f(x) [а, b] аралыгында интегралданатын
болса және осы аралықтың барлық нүктелері үшін төмендегі қос
теңсіздік
m=f(x)=M
орындалса, онда

m(b-a)=abf(x)dx=M(b-a)
Мына теңсіздіктердің

mi=1n-1∆xi=i=1n-1f(ξi)∆xi=Mi=1n-1 ∆xi
орындалуы өзінен-өзі айқын. Осы арадан шекке көшсек
дәлелдейік деп отырған теңсіздіктер келіп шығады.
9. Егер функцш f(x) [а, b] аралыгында интегралданатын
болса және осы аралықтың барлық нүктелері үшін мына
теңсіздіктер
m=f(x)=M
орындалса, онда

abf(x)dx=μ(b-a)
мұнда μ, m мен М-нің арасында жатқан сан: m=μ=M
8) Қасиет бойынша
m(b-a)=abf(x)dx=M(b-a)
бұл арадан

m = 1b-aabf(x)dx=M

Былай ұйғарып
1b-aabf(x)dx=μ
керекті теңдікті дәлелдейміз.
9) Қасиеттен мына салдар келіп шығады: егер функция
f(x) [а, b] аралыгында үздіксіз болса, онда (18) теңдіктің
орнына төмендегі теңдік болады:

abf(x)dx=(b-a)f(ξ)

мұнда ξ -- а мен b-нің арасында жатқан тиянақты бір сан.

f(ξ)

0 α ξ β

73-чертеж

(19) теңдіктің дұрыстығын былай дәлелдейміз:функция f(x) [а, b] аралығында үздіксіз болғандықтан, Вейерштрасс теоремасы бойынша ол өзінің дәл төменгі m және дәл жоғарғы М шекаралықтарын қабылдайды. Олай болса, Коши теоремасы бойынша функция f(x) m мен M-нің
арасында жатқан барлық сандарды қабылдайды, былайша айтқанда, [а, b] аралығында ең болмағанда бір ξ нүктесі табылып, осы нүктедегі f(x) функцияның мәні μ санына тең болады, яғни μ = f(ξ)
9) Қасиетті жэне оның салдарын, анықталған интегралдың
орта мәні жөніндегі теорема деп атайды.
Енді (19) формуланың геометриялық мағынасына көшейік.
Бұл теңдіктің сол жағындағы анықталған интеграл, функцияның
графигімен, абсцисса осімен, х = а жне х = b түзулермен
қоршалған фигураның ауданын береді, ал оның оң жағында
тұрған көбейтінді биіктігі f(ξ)-ге, табаны b - a -- тең тік
төртбұрыштың ауданын кескіндейді (73-чертеж).
Анықталған интегралдың орта мәні женіндегі жоғарыда
тұжырымдалған теореманы жалпылауға болады.
1) f(x) және g(x)[а, b]аралығында интегралданатын
функциялар болсын; [а, b] аралығында жатқан барлық нүктелер
үшін функция f(x) мына теңсіздікті m=f(x)=M
қанағаттандырсын да, ал g(x)таңбасын өзгертпесін:
g(x)=0[gx=0],сонда

abfxgxdx=μabg(x)dx
мұнда μ -- m мен М-нің арасында жатқан сан.
Дәлелдеу. Ең әуелі g(x)=0 болсын деп ұйғарайық,
Онда
mgx=f(x)gx=M gx
Бұл теңсіздіктердің барлық жағын интегралдап, мынаны табамыз:
mabg(x)dx=abf(x)gx=M abg(x)dx
5) Қасиет жэне g(x) функция туралы ұйғару бойынша

abg(x)dx=0

Сондықтан кейінгі теңсіздіктердің әрбір жағын

abgxdx-ке
бөліп жіберіп табамыз:

m = abf(x)gxabg(x)dx=M

Былай ұйғарып,

abf(x)gxabg(x)dx=μ
керекті нәтижеге келеміз.
Бұл теоремадан да мынадай салдар шыгады: егер функдия
f(x) [а, b] аралығында үздіксіз болса, онда (20) формуланың
орнына мына формула қолданылады:

abfxgxdx=f(ξ)abg(x)dx

мұнда ξ -- а мен b-нің арасында жатқан бір тиянақты сан.
Егер функция f(х)[а, b] аралығында интегралданатын болса,
онда ол [а, х] аралыгында да интегралданатынын (мұнда
х -- а мен b-нің арасында жатқан кез келген мәнді көрсетеді) біз
жоғарыда көрсеттік. Анықгалган интегралдың жогарғы шегі b-ні
х-пен ауыстырып, мына өрнекті табамыз:
F(x)=axf(t)dt
Әрине, бұл өрнек, х-тің функциясы[1] болып табылады. Енді
осы функцияға қандай қасиеттер тән, соны зерттейік.
11. Егер функция f(х) [а, b] аралығында интегралданатын
болса, онда Ғ (х) осы аралықта х-тің үздіксіз функциясы болады.
Дәлелдеу. х-ке еркімізше ∆х = һ өсімшені берейік. Нүкте
х + һ қарастырып отырған аралықтың сыртына шығып кетпеуі
керек. Сонда
F(x+h)=ax+hf(t)dt
Бұл арадан

Fx+h-Fx=ax+hftdt-axftdt=axftdt+ax+h ftdt-

-axftdt=ax+hf(t)dt
Кейінгі теңдіктің оң жағында тұрған интегралға анықталған
интегралдың орта мэні турасындағы теореманы қолдансақ, онда
Ғ (х + һ) - Ғ(х) = μһ
мұндагы [μ -- интеграл астындағы функцияның (х, х + h)
аралығындағы дәл жоғарғы жэне дэл төменгі шекаралықтарының
арасында жататын сан. Егер һ нольге ұмтылатын болса, онда
Ғ (х + һ) -- Ғ (х) айырма да нольге ұмтылады, бұл айырманың
нольге ұмтылуы теореманы дәлелдейді.
12. Егер функция f(х) [а, b] аральігында үздіксіз болса, онда
мына интегралдың
F(x)=axf(t)dt
жоғарғы айнымалы шегі бойынша алынған туындысы интеграл
астындағы функцияға тең болады, ягни [а, b] аралығындағы
барлық нүктелер үшін мына теңдік орындалады:
F'(x)=f(x)
Дәлелдеу. Функция f(х) [а, b] аралыгында үздіксіз
болғандықтан (22) теңдіктің орнына төмендегі теңдік болады:
Ғ (х + һ) - Ғ(х) = һf(ξ)
мұнда х ξ х + һ, егер һ 0 немесе х + һ = ξ = х, егер һ 0 болса.
Осы теңдіктің екі жағын h-қа бөліп жіберіп, сонан кейін h-тың өзін нольге ұмтылтып шекке көшсек, сонда мынадай болады:

limh--0Ғ (х + һ) - Ғ(х)h= F'(x)=f(x)
өйткені һ нольге ұмтылатын болса, ξ х-ке ұмтылады, ал f(x) -
үздіксіз функция.
Осы дәлелденген теоремадан өте қажетті мынадай қорытынды
келіп шығады: егер функция fx үздіксіз болса, онда мына
функция
F(x)=axf(t)dt
оның стгашқы функциясы болады. Сөйтіп, әрбір үздіксіз
фукцияның алғашқы функциясы болады.
Бұл арадан жоғарғы шегі айнымалы анықталған иитегралды
анықталмаған интеграл орнына қарауға болады деген де
қорытынды шығаруға болады.

1.1.Орта мән жөніндегі екінші теорема

Бұл - екі функцияның көбейтіндісінен алынған анықталған
интеграл туралы теорема. Математикалық анализдің кейбір
оқулықтарында бұл теореманы Бонне теоремасы деп те атайды.
Теорема. Егер [α, b] аралығында f(x) -біркелкі функция, ал
φx-шектелген жэне интегралданатын болса, онда [а, b]
аралығының бойында жатқан бір ξ нүктесі табылып, төмендегі
теңдік орындалады:

abfxφxdx=fxa ξφxdx+ fbξ aφxdx

Дәлелдеу. f(x) -- үдеме функция болсын және f(а) = 0. Енді [α, b] аралығын абсциссалары мына сандарға тең а = x0,x1,x2,...xn-1,xn=b
нүктелермен n бөлшек сегменттерге бөлейік.
Сонда
abfxφxdx=k=0n-1xkxk+1fxφxdx

Немесе бұл теңдікті былай етіп жазайық:
abfxφxdx=k=0n-1xkxk+1[fx-fxk]φxdx+k =0n-1fxxkxk+1φxdx

(24) теңдіктің оң жағында тұрған бірінші қосындыны
J арқылы белгілейік, яғни
к-о Хк

I=k=0n-1xkxk+1[fx-fxk]φxdx

Егер барлық айырмалар ∆хк = хк+1 - хк нольге ұмтылса,
онда I де нольге ұмтылады, міне осыны дәлелдейік.
Дұрысында

l=k=0n-1xkxk+1[fxk+1=fxk]φxdx=

=k=0n-1xkxk+1[fxk+1-fxk]xkxk+1φxd x

Мына интегралдардың

xkxk+1φxdx

Мәндерінің ең үлкенін μ деп оелгілесек, онда

l=μk=0n-1xkxk+1fxk+1-fxk=μfa-fb=μf b

өйткені fa = 0.
Функция φx [α, b] аралығында шектелген ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.