Интегралды параметр бойынша дифференциалдау және интегралдау

Кіріспе ... ... ... ... .. 3
1. Шектік функция ... ... .. 4
2.Интегралды параметр бойынша дифференциалдау
және интегралдау ... ... ... ... ... . 8
3. Бірқалыптыжинақтыинтегралдар ... 15
4. Эйлер интегралдары ... ... ..22
Практикалық бөлім ... ... ... ... .. 28
Қорытынды ... ... ... ... ... ... 31
Қолданылғанәдебиеттер

Алғаш рет 1729 жылы Гаустың бір өлшемді интегралы есептеп шығарыды, содан кейін Пуассон бұл есептеудің оңай әдісін ойлап тапты. Осыған байланысты, ол Эйлер-Пуаассон интегралдары деп аталды . Математикалық анализ курсында Бета-функция (β- функциясы, Эйлер функциясы немесе 1-ші ретті Эйлер интегралы) - осы Эйлер интегралы айнымалы р және q парамeтрлерініңфункциясын сипаттайды, сондықтап бұл интегралды Бета-функция деп те атайды. Бета-функциясын Эйлер ойлап тапқан, ал бұл функцияны атын Жак Бине бета- функция деп атаған.
Егертәуелсіз айнымалыxақырлы не ақырсыз (a,b)аралығында, ал aпарамеріріM={c,d} жиынында өзгергенде мол М жиынында α-ның әрбір мәнінде екі аргумент xпенα-ныңf(x,α) функциясы (a,b) аралығында өзіндік не өзіндік емес.Мағынасында интегралданса α-ның функциясы болатын интеграл

1. Темірғалиев Н.Т Математикалық анализ 1,2,3-том. Алматы 1977ж
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., “Наука”,1980
3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, Т.1 М.,”Высшая школа”,1981.
4. Жәутіков О.А Математикалық анализ курсы. Алматы 2014ж
5. Айдос Е.Ж Жоғарғы математика 2. Алматы 2010ж
6. Қабдықайыров Қ. Жоғарғы математика. Алматы, РБК, 1993ж.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 32 бет
Таңдаулыға:

Қостанай мемлекеттік педагогикалық институты
Дене шынықтыру, спорт және туризм факультеті
Дене шынықтыру, спорт және туризм теориясы мен практикасы кафедрасы

Жұмабеков Серік Алиханұлы

ЖАТТЫҒУ ПРОЦЕССІНДЕГІ ШЫДАМДЫЛЫҚ ӘДІСТЕМЕСІ

Курстық жұмыс

5В010800 Дене шынықтыру және спорт

Ғылыми жетекші:
аға оқытушы
Біржікен Е. А.

Қостанай, 2015ж

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
1. Шектік функция ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
2.Интегралды параметр бойынша дифференциалдау
және интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... .. 8
3. Бірқалыптыжинақтыинтегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
4. Эйлер интегралдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 28
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 31
Қолданылғанәдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 32

Кіріспе

Алғаш рет 1729 жылы Гаустың бір өлшемді интегралы есептеп шығарыды, содан кейін Пуассон бұл есептеудің оңай әдісін ойлап тапты. Осыған байланысты, ол Эйлер-Пуаассон интегралдары деп аталды . Математикалық анализ курсында Бета-функция (β- функциясы, Эйлер функциясы немесе 1-ші ретті Эйлер интегралы) - осы Эйлер интегралы айнымалы р және q парамeтрлерініңфункциясын сипаттайды, сондықтап бұл интегралды Бета-функция деп те атайды. Бета-функциясын Эйлер ойлап тапқан, ал бұл функцияны атын Жак Бине бета- функция деп атаған.
Егертәуелсіз айнымалыxақырлы не ақырсыз a, bаралығында, ал aпарамеріріM=c,d жиынында өзгергенде мол М жиынында α-ның әрбір мәнінде екі аргумент xпенα-ныңfx,α функциясы a, b аралығында өзіндік не өзіндік емес.Мағынасында интегралданса α-ның функциясы болатын интеграл
Iα=bafx,αdx (1)
Параметрден тәуелді интеграл деп аталады.
Ескерту :Айнымалы x-тіңa, b аралығындағы, параметрα-ның М жиынындағы мәндері ақырлы не ақырсыз төртбұрыш a,b,c,d құрайтын болғандықтан, бұдан былай fx,α функциясын a,b,c,d төртбұрышында анықталған деп айтамыз.
Бұл курстық жұмыстың мақсаты мыналар: бірінші: Iαфункциясының бар болу шарттарын анықтау, екіншіден: белгілі шекке көшу жағдайында Iαфункциясының шегін табу, ал оның дербес бір жағдайында Iα функциясыныңαбойынша үзіліссіздігін анықтау, үшіншіден: бұл функцияның диференциялданатынын анықтап,
Туындысын табу, төртіншіден: функцияның интегралын анықтау.

1.Шекктік функция
Екі айнымалы х-псн α-нің функциясы f(х,а) карайық. Мұнда
х[а,Ь] аралығында үздіксіз езгерсін де, ал а[с,d] аралығында
үздіксіз өзгеретін болсын. Сонда екі айнымалының функциясы f(х,α) мына тіктөртбұрышфигурадаанықталған болыптабылады.Бұл анықталу облыстыбылай белгілейміз: R[а,b; c,d]
(77-чертеж) [с, d)аралығындағы α-ның әрбір тұрақты мәні үшін бұл
функция a,b аралығында меншікті мағынасында интегралданатын мына интеграл
f(α)=abfx,adx
параметр α-ның функциясы болып табылады. Егер алдын ала
берілген оң cан мейлінше аз ε санына сәйкес және х-ке тәуслсіз δ 0
саны табылып, мына теңсіздіктің
α-α0 δ
орындалуынан. [а,b] аралығындағы барлық х-тер үшін төмендегі
теңсіздік
fx,a-φ(x)ε
орындалса, онда f(х,α) функцияны [а,b] аралығындағы бойынша
φ(x) функциясына бірқалыпты ұмтылады деп айтамыз және мұны
былай жазамыз:
limα--α0f(x,a)=φ(x)
φ(х) функциясын шектік функция деп атайды.
Егер функция f(х,α) шектік α(х) функциясына ұмтылғанда,
(1) интеграл осы шектік функциядан алынған интегралға ұмтыла
ма, яки жоқ па? Бұл сұраққа төмендегі теорема жауап береді.
1-теорема. Егер [с, d] аралығындағы α-ның әрбір тұрақты
мәні үщін, функция f(х, а) х бойыниш [а, b] аралығында
интегралданатын болса және αα0-ге ұмтылғанда (α--α0 )
шектік функцияға х бойынша бірқалыпты ұмтылса, онда
limα--α0=limα--α0abfx,αdx=ablimα- -α0f(x,α)dx=baφ(x)dx
Теореманың шарттары бойынша [с,d ] аралығындағы αның
кез келген мәні үшін функция f(x,α)a,bаралығында х бойынша
интегралданатын функция және шектік функцияға бірқалыпты
ұмтылады. Сондықтан шектік функцияиың өзі a,bаралығында
интегралданатын функция болып табылады.
ε 0 -- алдын ала берілгеи сан, ал δ осыε саны бойынша
табылған сан болсын, сонда функция f(x,a) шектік φ(х)
функциясына бірқалыпты ұмтылатынболғандықтан, мынатеңсізді ктің
α-α0 δ (3)
орындалуынан, [а, b] аралығындағы барлық x-тер үшін төмендегі
теңсіздік
f(x,α)-φ(x) εb-a (4)
орындалады.
(3)Теңсіздікті қанағаттандыратын барлық αлар үшін мына
айырманы қарайық:

abfx,αdx-baφ(x)dx
Анықталған интегралдардың қасиеттері бойынша
abfx,adx-abφ(x)dx=abfx,αdx-baφ(x)d x
4) Теңсіздікті еске алып табамыз:
abfx,adx-abφ(x)dxε
Бұл теңсіздіктің орындалуы (2) теңдіктің дұрыстығын дәлелдейді.
(2) Теңдікті интеграл таңбасы астында параметр бойынша шекке көшу формуласы деп атайды.
Енді αα0деп ұйғарайық, сонда мынадай салдар орын алады:
Салдар. Егерαиың тұрақтыүшін функцияfx,α, х
бойынша [ а,b] аралығында үздіксіз болса және α -ның өсуімен
байланысты біркелкі өсе отырып үздіксіз шектік функцияға ұмтылса, онда (2) теңдік орындалады.
2-теорема. Егер fx,αекі айнымалының функциясы ретінде
төртбұрыш R[а,b;a,α] облысында үздіксіз болса, онда (1) интеграл [с, d] аралығында параметр α-ның үздіксіз функциясы болады.
Функция (x,α),R облысында бірқалыпты үздіксіз
болғандықтан, берілген ε0 саны бойынша δ0 саны табылып
мына теңсіздіктердің
х"-х'δ, а"-а'δ
орындалуынан келесі теңсіздік:
f(х",а")-f(х',а')ε
орындалады.
Егер былай ұғарсақ:х'=х=x, a'=a0,a"=a; онда
қандай болмасын x мына теңсіздіктің α-α0 δорындалуынан төмендегі теңсіздік орындалады:
f(х,а)-f(x,a0)ε
Ал бұл шарттар мына теңдікпен
lima--a0f(х,а)= f(x,a0)
эквивалент болады.
Сөйтіп, а мына кез келген a0-ге ұмтылғанда, функция f(х,а)
мынаf(x,a0) функциясына х жөнінде бірқалыпты ұмтылатын
болды. Олай болса, 1-теорема бойынша
lima--a0abf(х,а)dx-abf(x,a0)dx

немесе бәрібір
lima--a0J(a)=Ja0
Осымен, біз теореманы дәлелденді деп есептейміз.

2. Интегралды параметр бойынша
дифференциалдау және интегралдау
1. Интеграл таңбасы астындағыf(x,a)функциянын [с,d] аралығында шектікf'αx,a туындысы бар және а мен b-ні тұрақты α -ға тәуелді емес деп ұйғарайық.
Параметр α -ға еркімізше ∆α өсімшені берейік. Сонда
J (α+∆α)- J(α)=abfx,α+∆α-f(x,α)dx(5)
f(x,α) функцияның параметр αбойынша шектік туындысы
болғандықтан, келесі теңдік орындалу керек:
fx,α+∆α-f(x,α)= ∆αf'α(x,α)+η (6)
мұнда η,∆αмен біргс нөлге ұмтылатын шама, яғни ол шексіз аз
шама.
Сонымен, (6) тецдікті еске ала отырып, (5) теңдіктен төмендегіні табамыз:
J (α+∆α)- J(α)∆α=abf'α(x,α)dx+abηdx
η-ныңабсолютшамаларыныңеңжоғарғышег інεбелгілесек, онда
abηdxε(b-a)
ε - кез келген оң құнарсыз аз сан болғандықтан,
lim∆α--0abηdx=0
∆α ны нөлге ұмтылтып, (7) теңдіктің екі жағынан шек алып, төменгі теңдіктерді табамыз:
lim∆α--0J (α+∆α)- J(α)∆α=abf'α(x,α)dx
Немесе
dJdα=abf'αx,αdx (δ )

(δ ) теңдікті интеграл таңбасы астында параметр бойынша дифференциалдау формуласы деп атайды.
Ендіа мен b-ні параметрге тәуелді, яғни α ның функциясы болсын деп ұйғарайық. Бұрынғыдай еркімізше α ға∆α өсімшені береміз, сонда
J(α+∆α)- J(α)=abfx,α+∆α-f(x,α)dx + bb-∆bfx,α+∆αdx-aa-PIafx,α+∆αdx
Осы теңдіктің оң жағындағы кейінгі екі интегралға анықталған интегралдың орта мәні жөніндегі теореманы қолданып, онан кейін теңдіктің екі жағын ∆α бөліп,төмендегіні табамыз:
J (α+∆α)- J(α)∆α=fx,α+∆α-f(x,α)∆αdx+ ∆b∆αf(b+θ∆b,α+∆α)-∆c∆αf(a+θ1∆a,α+∆α )
Енді ∆αны нөлге ұмтылтып осытеңдіктің екі жағынан шек:

dJdα=abf'α(x,α)dx+f(x,α)dbdα-fa,αda dα (9)
Интеграл таңбасы астында параметр бойыншадифференциалдаудың жалпы формуласы - осы (9) теңдік.
(δ ) және (9) формулалардың көмегімен көптеген анықталғанинтегралдардың мәнін табуға болады. Кейбір анықталғанинтегралдарды есептеп шығару ушін (δ ) немесе (9) формулалардықалай қолдану керек, соны көрсету үшін бір мысал келтірейік.

1-мысал.
J(α)=0aln(1+ax)(1+x2)dx
Бұл интегралдың жоғарғы шегі параметр α ға тәуелді.Сондықтан (9) формуланы қолданамыз:
djdα=0ax(1+ax)(1+x2)dx+ln(1+α2)1+α2
Интеграл астында тұрған бөлшекті жеке алып, жай бөлшектер
қосындысына жіктеп жазайық:

x(1+ax)(1+x2)=11+α2-α1+ax+x1+α2+α1+ α2
Бұдан соң
0αx(1+ax)(1+x2)dx=-ln(1+α2)2(1+α2)+ αarctgα1+α2
Сонымен,
djdα=-ln(1+α2)2(1+α2)+αarctgα1+aα2+ ln(1+α2)1+α2=ln(1+α2)2(1+α2)+αarctg α1+α2

Бұл арадан
J(α)=12ln(1+α2)1+α2dα+αarctgα1+α2dα +C
мұнда С - кез келген тұрақты сан.
Кейінгі теңдіктің оң жағында тұрған екінші интегралды жеке
алып, бөлімшелеп интегралдайық:
αarctgα1+α2dα=12arctgαdαln(1+α2)=12 arctgα∙ln1+α2-12ln(1+α2)1+α2dα
Осыинтегралдыңмәнінқайтаданорнынаап арыпқойып,
төменгітеңдіктітабамыз:
J(α)=12arctgα∙ln1+α2+C
ЕндітұрақтыС-нітабайық, олүшінбастапқыберілген интегралдағы αның орнынанөлдіқоямыз, сонда
J(0)=0
СондаСтұрғанкейінгітеңдіктегіαныңор нынанөлдіқойып
табамыз: С=0.
Сөйтіп, іздепотырғанинтеграл
J(α)=0αln(1+α2)1+α2dx=12arctgα∙ln1+ α2

2. f(x,α)функциясын, a,bаралығында х бойынша
интегралдап табамыз:
Jα=abf(x,α)dx
бұл туралы біз жоғарыда айттық. Енді осы функцияны [c,d]аралығында а бойынша интегралдасақ онда:

V=adJαdα=cdabf(x,α)dxdα (10)
Егер f(x,α)функцияны ең алдымен [c,d] аралығында αбойынша интегралдайтын болсақ, онда бұл интегралдаудың
нәтижесі x-тің [a,b]аралығында функциясы болып табылады:
Fx=cdf(x,α.(αd)
Енді осы функцияны [a,b]аралығында х бойынша интегралдап мынаны табамыз:
U=abf(x)dx=abcdf(x,α)dαdx (11)
Теорема. Егер функция f(x,α) тік төртбұрыш R[a,b,c,d] облысында х, α бойынша үздіксіз болса, онда
U=V
янғи
cdabf(x,α)dxdα=abcdf(x,α)dαdx (12)
Бұл теореманы дэлелдеу үшін b-нің орнына айнымалы t-ні
алайық (айныманы t, а мен b-нің арасында үздіксіз өзгереді);
сонда (12) теңдік мына түрге көшеді:
atdxcdfx,αdα=dddαatfx,αdx (13)
Кейінгі теңдіктің екі жағы да айнымалы t-нің функциялары,
t=a болғанда, бұл функциялар нөлге айналып кетеді. Енді осы
функциялардың tбойынша алынған туындылары бір-біріне тең
екендігіне көз жеткізсек, теорема дәлеленеді. Ал
Fx=cdfx,ααd, φt,a=atfx,αdx

Олайболса, (13) теңдік мына түрдежазылады:

atFxdx=cdФ(t,a)da(14)
(14) теңдіктің екі жағын t бойынша дифференциалдап, мына формуланы табамыз:
Fx=cdΦtdα

Екінші жағынан f(х,а). Сонымен,

dUdt=dVdt
Бұл арадан мынау шығады:U-V=c, мұнда с t-ге тәуелді емес.
Егер іt= а, ондаU = 0 және V = 0, олай болса, с= 0. Демек,
V = U. Міне, осыны дәлелдеу керек еді.
(12) теңдікті анықталған интегралды параметр бойынша
интегралдау формуласы деп атайды.
3.Параметр αның орнына у-ті алайық та, мына үш түзумен у=х, х=а, у=bқоршалған облысты қарайық. Бұл обыстең бүйірлі үшбұрышты кескіндейді (7δ -чертеж).

Бұрынғы тік төртбұрыш облыстың орнына осы үшбұрышты қарап, мына формуланы табамыз:
abdyayfx,ydx=abdxxdfx,ydy (15)
Бұл формуланы Дирихле формуласы деп атайды.
2-мысал. [01;01] квадраттың барлық нүктелерінде анықталған мына функцияға
f(x,α)=x2-α2x2+α22
(13) формуланы қолданайық. Сонда
01dx01x2-α2x2+α22dα=01dα01x2-α2x2+α 22dx (16)
(16) теңдіктің сол жағындағы ішкі интегралды жеке алып
интегралдайық:
01x2-α2x2+α22dα=
Енді (16) теңдіктің оң жағын да дәл осындай етіп шығарсақ, онда оның мәні PI4 болады. Осылай екі түрлі болып шығудыңсебебі - функция f(x,α) мына х=0, а=0 нүктеде үзілісті болуы. Бұл мәселе интегралдар теориясынан кейін жүретін, қатарлар теориясы делініп аталатын бөлімнің кейбір мәселелерімен тығыз байланысты.Сыртқы интегралдың нәтижесі мынадай болады:

3. Бірқалыпты жинақты интегралдар
Айнымалы х-тің бір белгілі а санынан үлкен ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.