Интегралды параметр бойынша дифференциалдау және интегралдау

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 32 бет
Таңдаулыға:

Қостанай мемлекеттік педагогикалық институты

Дене шынықтыру, спорт және туризм факультеті

Дене шынықтыру, спорт және туризм теориясы мен практикасы кафедрасы

Жұмабеков Серік Алиханұлы

ЖАТТЫҒУ ПРОЦЕССІНДЕГІ ШЫДАМДЫЛЫҚ ӘДІСТЕМЕСІ

Курстық жұмыс

5В010800 «Дене шынықтыру және спорт»

Ғылыми жетекші:

аға оқытушы

Біржікен Е. А.

Қостанай, 2015ж

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

1. Шектік функция . . . 4

2. Интегралды параметр бойынша дифференциалдау

және интегралдау . . . . . . 8

3. . . . 15

4. Эйлер интегралдары . . . 22

Практикалық бөлім . . . 28

Қорытынды . . . 31

Қолданылғанәдебиеттер . . . 32

Кіріспе

Алғаш рет 1729 жылы Гаустың бір өлшемді интегралы есептеп шығарыды, содан кейін Пуассон бұл есептеудің оңай әдісін ойлап тапты. Осыған байланысты, ол Эйлер-Пуаассон интегралдары деп аталды . Математикалық анализ курсында Бета-функция $(\beta - \$ функциясы, Эйлер функциясы немесе 1-ші ретті Эйлер интегралы) - осы Эйлер интегралы айнымалы р және q сипаттайды, сондықтап бұл интегралды Бета-функция деп те атайды. Бета-функциясын Эйлер ойлап тапқан, ал бұл функцияны атын Жак Бине бета- функция деп атаған.

Егертәуелсіз айнымалы $x$ ақырлы не ақырсыз $(a, \ b)$ аралығында, ал $aпарамеріріM = \left\{ c, d \right\}$ жиынында өзгергенде мол М жиынында $\alpha$ -ның әрбір мәнінде екі аргумент $xпен\alpha - ныңf(x, \alpha)$ функциясы $(a, \ b)$ аралығында өзіндік не өзіндік емес. Мағынасында интегралданса $\alpha$ -ның функциясы болатын интеграл

$I(\alpha) = \int_{b}^{a}{f(x, \alpha) dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) }$

Параметрден тәуелді интеграл деп аталады.

Ескерту : Айнымалы $x - тің(a, \ b)$ аралығындағы, параметр $\alpha$ -ның М жиынындағы мәндері ақырлы не ақырсыз төртбұрыш $\lbrack a, b, c, d\rbrack$ құрайтын болғандықтан, бұдан былай $f(x, \alpha)$ функциясын $\lbrack a, b, c, d\rbrack$ төртбұрышында анықталған деп айтамыз.

Бұл курстық жұмыстың мақсаты мыналар : бірінші : $I\left( \mathbf{\alpha} \right)$ функциясының бар болу шарттарын анықтау, екіншіден: белгілі шекке көшу жағдайында $I(\alpha)$ функциясының шегін табу, ал оның дербес бір жағдайында $I(\alpha)$ функциясының $\alpha$ бойынша үзіліссіздігін анықтау, үшіншіден: бұл функцияның диференциялданатынын анықтап,

Туындысын табу, төртіншіден: функцияның интегралын анықтау.

1. Шекктік функция

Екі айнымалы х-псн $\alpha$ -нің функциясы f(х, а) карайық. Мұнда
х[а, Ь] аралығында үздіксіз езгерсін де, ал а[с, d] аралығында

үздіксіз өзгеретін болсын. Сонда екі айнымалының функциясы f(х, $\alpha$ ) мына болыптабылады. Бұл анықталу облыстыбылай белгілейміз: R[а, b; c, d]

(77-чертеж) [с, d) аралығындағы $\alpha$ -ның әрбір тұрақты мәні үшін бұл
функция $\lbrack a, b\rbrack$ аралығында меншікті мағынасында интегралданатын мына интеграл

f( $\alpha$ ) $= \int_{a}^{b}{f(x, a) dx}$

параметр $\alpha$ -ның функциясы болып табылады. Егер алдын ала
берілген оң cан мейлінше аз $\varepsilon$ санына сәйкес және х-ке тәуслсіз $\delta$ > 0
саны табылып, мына теңсіздіктің

$\alpha - \alpha_{0}$ < $\delta$

орындалуынан. [а, b] аралығындағы барлық х-тер үшін төмендегі
теңсіздік

$\left f(x, a) - \varphi(x) \right$ < $\varepsilon$

орындалса, онда f(х, $\alpha$ ) функцияны [а, b] аралығындағы бойынша
$\varphi(x)$ функциясына бірқалыпты ұмтылады деп айтамыз және мұны
былай жазамыз:

$\lim_{\alpha \rightarrow \alpha_{0}}{f(x, a) = \varphi(x) }$ $\varphi$ (х) функциясын шектік функция деп атайды.

Егер функция f(х, $\alpha$ ) шектік $\alpha$ (х) функциясына ұмтылғанда,
(1) интеграл осы шектік функциядан алынған интегралға ұмтыла
ма, яки жоқ па? Бұл сұраққа төмендегі теорема жауап береді.

1-теорема . Егер [с, d] аралығындағы $\alpha$ -ның әрбір тұрақты
мәні үщін, функция f(х, а) х бойыниш [а, b] аралығында

интегралданатын болса және $\alpha\alpha$ ₀ -ге ұмтылғанда $\ (\alpha \rightarrow \alpha$ ₀ )

шектік функцияға х бойынша бірқалыпты ұмтылса, онда
${\lim_{\alpha \rightarrow \alpha_{0}} =}{\lim_{\alpha \rightarrow \alpha_{0}}{\int_{a}^{b}{f(x, \alpha) dx =}}}\int_{a}^{b}{\lim_{\alpha \rightarrow \alpha_{0}}f(x, \alpha) dx =}\int_{b}^{a}{\varphi(x) dx}$

Теореманың шарттары бойынша [с, d ] аралығындағы αның
кез келген мәні үшін функция f(x $, \alpha) \lbrack a, b\rbrack$ аралығында х бойынша
интегралданатын функция және шектік функцияға бірқалыпты
ұмтылады. Сондықтан шектік функцияиың өзі $\lbrack a, b\rbrack$ аралығында
интегралданатын функция болып табылады.

$\varepsilon$ > 0 - алдын ала берілгеи сан, ал $\delta$ > осы $\varepsilon$ саны бойынша
табылған сан болсын, сонда функция f(x, a) шектік $\varphi$ (х)
функциясына бірқалыпты ұмтылатынболғандықтан, мынатеңсіздіктің

$\alpha - \alpha_{0}$ < $\delta$ (3)

орындалуынан, [а, b] аралығындағы барлық x-тер үшін төмендегі
теңсіздік

f( $x, \alpha$ ) $- \varphi(x)$ < $\frac{\varepsilon}{b - a}$ (4)

орындалады.

(3) Теңсіздікті қанағаттандыратын барлық αлар үшін мына
айырманы қарайық:

$\int_{a}^{b}{f(x, \alpha) dx - \int_{b}^{a}{\varphi(x) dx}}$

Анықталған интегралдардың қасиеттері бойынша

$\left \int_{a}^{b}{f(x, a) dx - \int_{a}^{b}{\varphi(x) dx}} \right \leq \int_{a}^{b}{f(x, \alpha) dx - \int_{b}^{a}{\varphi(x) dx}}$

4) Теңсіздікті еске алып табамыз:

$\left \int_{a}^{b}{f(x, a) dx - \int_{a}^{b}{\varphi(x) dx}} \right < \varepsilon$

Бұл теңсіздіктің орындалуы (2) теңдіктің дұрыстығын дәлелдейді.

(2) Теңдікті интеграл таңбасы астында параметр бойынша шекке көшу формуласы деп атайды.

Енді $\alpha < \alpha_{0}$ деп ұйғарайық, сонда мынадай салдар орын алады:

Салдар . Егерαиың тұрақтыүшін функция $f(x, \alpha)$ , х

бойынша [ а, b] аралығында үздіксіз болса және $\alpha$ -ның өсуімен

байланысты біркелкі өсе отырып үздіксіз шектік функцияға ұмтылса, онда (2) теңдік орындалады.

2-теорема. Егер $f(x, \alpha)$ екі айнымалының функциясы ретінде
төртбұрыш R[а, b; a, $\alpha$ ] облысында үздіксіз болса, онда (1) интеграл [с, d] аралығында параметр $\alpha$ -ның үздіксіз функциясы болады.

Функция (x, $\alpha$ ), R облысында бірқалыпты үздіксіз

болғандықтан, берілген $\varepsilon$ >0 саны бойынша $\delta >$ 0 саны табылып

мына теңсіздіктердің

$х" - х' < \delta$ , $\left а" - а' \right < \delta$

орындалуынан келесі теңсіздік:

$$\left f(х", а") - f(х', а') \right < \varepsilon$$

орындалады.

Егер былай ұғарсақ: $х' = х\text{=x, }\text{ a'=a}_{\text{0}}\text{, a}" = a$ ; онда

қандай болмасын x мына теңсіздіктің $\alpha - \alpha_{0}$ < $\delta$ орындалуынан төмендегі теңсіздік орындалады:

$\left f(х, а) - f(x, a_{0}) \right < \varepsilon$

Ал бұл шарттар мына теңдікпен

$\lim_{a \rightarrow a_{0}}f(х, а) = \ f(x, a_{0})$

эквивалент болады.

Сөйтіп, а мына кез келген $a_{0}$ -ге ұмтылғанда, функция $f(х, а)$
мына $f(x, a_{0})$ функциясына х жөнінде бірқалыпты ұмтылатын

болды. Олай болса, 1-теорема бойынша

$\lim_{a \rightarrow a_{0}}\int_{a}^{b}{f(х, а) dx} - \int_{a}^{b}{f(x, a_{0}) dx}$

немесе бәрібір

$\lim_{a \rightarrow a_{0}}J(a) = Ja_{0}$

Осымен, біз теореманы дәлелденді деп есептейміз.

2. Интегралды параметр бойынша
дифференциалдау және интегралдау

1. Интеграл таңбасы астындағы $f(x, a)$ функциянын [с, d] аралығында шектік ${f'}_{\alpha}(x, a)$ туындысы бар және а мен b-ні тұрақты $\alpha$ -ға тәуелді емес деп ұйғарайық.

Параметр α -ға еркімізше $\mathrm{\Delta}\alpha$ өсімшені берейік. Сонда

J ( $\alpha + \mathrm{\Delta}\alpha$ ) $-$ J( $\alpha$ ) $= \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x, \alpha + \mathrm{\Delta}\alpha) - f(x, \alpha) \right\rbrack dx}$ (5)

f(x, α) функцияның параметр $\alpha$ бойынша шектік туындысы
болғандықтан, келесі теңдік орындалу керек:

$f(x, \alpha + \mathrm{\Delta}\alpha) - f(x, \alpha) = \ \mathrm{\Delta}\alpha\left\lbrack f'\alpha(x, \alpha) + \eta \right\rbrack$ (6)

мұнда η, $\mathrm{\Delta}\alpha$ мен біргс нөлге ұмтылатын шама, яғни ол шексіз аз
шама.

Сонымен, (6) тецдікті еске ала отырып, (5) теңдіктен төмендегіні табамыз:

$\frac{J\ (\alpha + \mathrm{\Delta}\alpha) - \ J(\alpha) }{\mathrm{\Delta}\alpha} = \int_{a}^{b}{{f'}_{\alpha}(x, \alpha) dx} + \int_{a}^{b}{\eta dx}$

$\eta$ - $\varepsilon$ белгілесек, онда

$\left\lbrack \int_{a}^{b}{\eta dx} \right\rbrack < \varepsilon(b - a)$

$\varepsilon$ - кез келген оң құнарсыз аз сан болғандықтан,

$\lim_{\mathrm{\Delta}\alpha \rightarrow 0}\int_{a}^{b}{\eta dx} = 0$

∆α ны нөлге ұмтылтып, (7) теңдіктің екі жағынан шек алып, төменгі теңдіктерді табамыз:

$\lim_{\mathrm{\Delta}\alpha \rightarrow 0}\frac{J\ (\alpha + \mathrm{\Delta}\alpha) - \ J(\alpha) }{\mathrm{\Delta}\alpha} = \int_{a}^{b}{f'\alpha(x, \alpha) dx}$

Немесе

$\frac{dJ}{d^{\alpha}} = \int_{a}^{b}{{f'}_{\alpha}(x, \alpha) dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\delta\ ) }$

(δ ) теңдікті интеграл таңбасы астында параметр бойынша дифференциалдау формуласы деп атайды.

Енді а мен b -ні параметрге тәуелді, яғни α ның функциясы болсын деп ұйғарайық. Бұрынғыдай еркімізше α ға $\mathrm{\Delta}\alpha$ өсімшені береміз, сонда

J( $\alpha + \mathrm{\Delta}\alpha$ ) $-$ J( $\alpha$ ) $= \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x, \alpha + \mathrm{\Delta}\alpha) - f(x, \alpha) \right\rbrack dx\ + \ \int_{b}^{b - \mathrm{\Delta}b}{f(x, \alpha + \mathrm{\Delta}\alpha) dx} - \int_{a}^{a - \pi a}{f(x, \alpha + \mathrm{\Delta}\alpha) dx}}$

Осы теңдіктің оң жағындағы кейінгі екі интегралға анықталған интегралдың орта мәні жөніндегі теореманы қолданып, онан кейін теңдіктің екі жағын ∆α бөліп, төмендегіні табамыз:

$\frac{J\ (\alpha + \mathrm{\Delta}\alpha) - \ J(\alpha) }{\mathrm{\Delta}\alpha} = \frac{f(x, \alpha + \mathrm{\Delta}\alpha) - f(x, \alpha) }{\mathrm{\Delta}\alpha}$ dx $+ \ \ \frac{\mathrm{\Delta}b}{\mathrm{\Delta}\alpha}f(b + \theta\mathrm{\Delta}b, \alpha + \mathrm{\Delta}\alpha) - \frac{\mathrm{\Delta}c}{\mathrm{\Delta}\alpha}f(a + \theta_{1}\mathrm{\Delta}a, \alpha + \mathrm{\Delta}\alpha)$

Енді ∆αны нөлге ұмтылтып осытеңдіктің екі жағынан шек:

$\frac{dJ}{d\alpha} = \int_{a}^{b}{f'\alpha(x, \alpha) dx + f(x, \alpha) }\frac{db}{d\alpha} - f(a, \alpha) \frac{da}{d\alpha}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9)$

Интеграл таңбасы астында параметр жалпы формуласы - осы (9) теңдік.

(δ ) және (9) формулалардың көмегімен көптеген мәнін табуға болады. Кейбір есептеп шығару ушін (δ ) немесе (9) формулалардықалай қолдану керек, соны көрсету үшін бір мысал келтірейік.

1-мысал.

J( $\alpha$ ) $= \int_{0}^{a}\frac{\ln{(1 + ax) }}{(1 + x^{2}) }$ dx

Бұл интегралдың жоғарғы шегі параметр α ға тәуелді. Сондықтан (9) формуланы қолданамыз:

$\frac{dj}{d\alpha} = \int_{0}^{a}{\frac{x}{(1 + ax) (1 + x^{2}) }dx + \frac{\ln{(1 + \alpha^{2}) }}{1 + \alpha^{2}}}$

Интеграл астында тұрған бөлшекті жеке алып, жай бөлшектер
қосындысына жіктеп жазайық:

$\frac{x}{(1 + ax) (1 + x^{2}) } = \frac{1}{1 + \alpha^{2}}\left( - \frac{\alpha}{1 + ax} + \frac{x}{1 + \alpha^{2}} + \frac{\alpha}{1 + \alpha^{2}} \right)$ Бұдан соң

$\int_{0}^{\alpha}\frac{x}{(1 + ax) (1 + x^{2}) }dx = - \frac{\ln{(1 + \alpha^{2}) }}{2(1 + \alpha^{2}) } + \frac{\alpha arctg\alpha}{1 + \alpha^{2}}$

Сонымен,

$\frac{dj}{d\alpha} = - \frac{\ln{(1 + \alpha^{2}) }}{2(1 + \alpha^{2}) } + \frac{\alpha arctg\alpha}{1 + a\alpha^{2}} + \frac{\ln{(1 + \alpha^{2}) }}{1 + \alpha^{2}} = \frac{\ln{(1 + \alpha^{2}) }}{2(1 + \alpha^{2}) } + \frac{\alpha arctg\alpha}{1 + \alpha^{2}}$

Бұл арадан

J( $\alpha$ ) $= \frac{1}{2}\int_{}^{}{\frac{\ln{(1 + \alpha^{2}) }}{1 + \alpha^{2}}d\alpha + \int_{}^{}{\frac{\alpha arctg\alpha}{1 + \alpha^{2}}d\alpha + C}}$

мұнда С - кез келген тұрақты сан.

Кейінгі теңдіктің оң жағында тұрған екінші интегралды жеке

алып, бөлімшелеп интегралдайық:

$\int_{}^{}{\frac{\alpha arctg\alpha}{1 + \alpha^{2}}d\alpha = \frac{1}{2}\int_{}^{}{arctg\alpha}}d\alpha\ln{(1 + \alpha^{2}) } = \frac{1}{2}arctg\alpha \bullet \ln\left( 1 + \alpha^{2} \right) - \frac{1}{2}\int_{}^{}{\frac{\ln{(1 + \alpha^{2}) }}{1 + \alpha^{2}}d\alpha}$

,
:

J( $\alpha$ ) = $\frac{1}{2}arctg\alpha \bullet \ln\left( 1 + \alpha^{2} \right) + C$

ЕндітұрақтыС-нітабайық, интегралдағы αның орнынанөлдіқоямыз, сонда

J(0) =0

табамыз: С=0.

Сөйтіп, іздепотырғанинтеграл

J( $\alpha$ ) = $\int_{0}^{\alpha}{\frac{\ln{(1 + \alpha^{2}) }}{1 + \alpha^{2}}dx =}\frac{1}{2}arctg\alpha \bullet \ln\left( 1 + \alpha^{2} \right)$

2. f(x, α) функциясын, $\lbrack a, b\rbrack$ аралығында х бойынша
интегралдап табамыз:

$J(\alpha) = \int_{a}^{b}{f(x, \alpha) dx}$

бұл туралы біз жоғарыда айттық. Енді осы функцияны [c, d] аралығында а бойынша интегралдасақ онда:

$V = \int_{a}^{d}{J(\alpha) d\alpha =}\int_{c}^{d}\left\lbrack \int_{a}^{b}{f(x, \alpha) dx} \right\rbrack d\alpha\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)$

Егер f(x, α) функцияны ең алдымен [c, d] аралығында $\alpha$ бойынша интегралдайтын болсақ, онда бұл интегралдаудың

нәтижесі x-тің [a, b] аралығында функциясы болып табылады:

$F(x) = \int_{c}^{d}{f(x, \alpha. (\alpha d) }$

Енді осы функцияны [a, b] аралығында х бойынша интегралдап мынаны табамыз:

$U = \int_{a}^{b}{f(x) }dx = \int_{a}^{b}\left\lbrack \int_{c}^{d}{f(x, \alpha) d\alpha} \right\rbrack dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11)$

Теорема. Егер функция f(x, α) тік төртбұрыш R[a, b, c, d] облысында х, α бойынша үздіксіз болса, онда

U=V

янғи

$\int_{c}^{d}\left\lbrack \int_{a}^{b}{f(x, \alpha) dx} \right\rbrack d\alpha = \int_{a}^{b}\left\lbrack \int_{c}^{d}{f(x, \alpha) d\alpha} \right\rbrack dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12)$

Бұл теореманы дэлелдеу үшін b-нің орнына айнымалы t-ні
алайық (айныманы t, а мен b-нің арасында үздіксіз өзгереді) ;

сонда (12) теңдік мына түрге көшеді:

$\int_{a}^{t}{dx}\int_{c}^{d}{f(x, \alpha) d\alpha =}\int_{d}^{d}{d\alpha}\int_{a}^{t}{f(x, \alpha) dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (13) }$

Кейінгі теңдіктің екі жағы да айнымалы t-нің функциялары,
t=a болғанда, бұл функциялар нөлге айналып кетеді. Енді осы
функциялардың tбойынша алынған туындылары бір-біріне тең
екендігіне көз жеткізсек, теорема дәлеленеді. Ал

$F(x) = \int_{c}^{d}{f(x, \alpha) \alpha d, \ \varphi(t, a) =}\int_{a}^{t}{f(x, \alpha) dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$