Интегралдық есептеудің геометриялық және физикалық есептерге қолданылуы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 36 бет
Таңдаулыға:

Қостанай мемлекеттік педагогикалық институты

Жаратылыстану-математика факультеті

Физика-математика және жалпы техникалық пәндер кафедрасы

Базарбай Ақсұлтан Ерболұлы

Интегралдық есептеудің геометриялық және физикалық есептерге қолданылуы

Курстық жұмыс

Ғылыми жетекші:Доспулова У. К.

аға оқытушы

Қостанай, 2015ж.

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

1. Интегралдық есептердің гео-

метриялық есептерге қолдануы . . . 4

1. 1. Ауданның анықтамасы . . . 4

1. 2. Жазық фигуралардың ауданын

интеграл арқылы өрнектеу . . . 6

1. 3. Доғаның ұзындығы . . . 11

1. 4. Денелердің көлемін анықталған

интеграл арқылы өрнектеу . . . 14

2. Анықталған интегралдың физикалық

қолдануы . . . 22

2. 1. Анықталған интегралдың физикалық

есептерге қолданылуы . . . 22

2. 2. Гульдиннің I теоремасы . . . 23

2. 3. Гульдиннің II теоремасы . . . 24

3. Практикалық бөлім . . . 31

Қорытынды . . . 33

Қолданылған әдебиеттер . . . 34

Кіріспе

Анықталған интеграл арқылы жазық фигуралардың ауданы, қисық сызықтардың ұзындығы, дененің көлемі мен беті, ауырлық центрінің координаттары, инерция моменттері, берілген күштің атқаратын жұмысы, т. б. жаратылыстану мен техника есептері шешіледі. Интеграл ұғымы көп айнымалысы бар функцияларға да қолданылады. Интегралдық есептеудің аудан мен көлемді табуға байланысты бірқатар есептерін ежелгі грек математиктері шешкен. 9 - 15-ғасырларда Орта және Таяу Шығыс ғалымдары Архимед еңбектерін араб тіліне аударып, ежелгі математиканың табыстарын кейінгі ұрпақтарға жеткізді. Бірақ оларды одан әрі дамыта алмады. Тек 16 - 17-ғасырларда ғана табиғаттану ғылымдарының жетістіктері интегралдық есептеудің одан әрі дамуын қажет етті. Интегралдық есептеудің негізгі ұғымдары мен идеялық жүйесін бір-біріне тәуелсіз түрде Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. «Интегралдық есептеу» термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып келеді. Интегралдық есептеудің әрі қарай дамуы швейцариялық математик Иоганн Бернуллидің , әсіресе, Леонард Эйлердің есімдерімен тығыз байланысты. 19-ғасырдың басында француз математигі Огюстен Луи Коши шектер теориясы негізінде интегралдық есептеу мен дифференциалдық есептеуді қайта құрды. Интегралдық есептеуді дамытуға 19-ғасырда орыс ғалымдары Михаил Остроградский, Виктор Буняковский және Пафнутий Чебышев үлкен үлес қосты. 19-ғасырдың аяғында және 20-ғасырдың басында жиын теориясының дамуы интегралдық есептеудің негізгі ұғымдарының тереңдеуіне және кеңеюіне себеп болды.

Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.

Мақсаты: Интегралдық есептердің геометриялық есептерге қолданылуын зерттеу.

Міндеті: - Анықталған интегралдың геометриялық есептерге қолдануы.

- Анықталған интегралдың физикалық қолдануы.

- Анықталған интегралдың геометриялық және физикалық есептерді қолданылуына есептер мен мысалдар қарастыру.

Зерттеу обьектісі: Математикалық талдау.

Зерттеу пәні: Интегралдық есептеудің геометриялық және физикалық есептерге

Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу.

Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық жұмыс, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Интегралдық есептердің геометриялық есептерге қолдануы

1. 1. Ауданның анықтамасы

Көпбұрышты облыс немесе тек қана көпбұрыш деп бір немесе бірнеше тұйық сынық сызықтармен қоршалған жазық фигураны айтамыз. Мұндай фигура үшін аудан ұғымы мектепте оқылған геометрия курсынан әрқайсымызға белгілі. Сондықтан осы ұғымды негізге аламыз.

Жазықтықта жатқан бір үздіксіз тұйық сызықты қарайық. Бұл тұйық сызықты (С) деп белгілейік.

Осы айтылған бейнелі тұйық қисық бүкіл жазықтықты екі - ішкі және сыртқы - облысқа бөлетінін француздың атақты математигі К. Жордан көрсетті.

Қисық сызық (С) -ні облыстың жиегі немесе контуры деп атайды.

Тұйық (С) қисық сызықпен қоршалған облысты, яғни фигураны D арқылы белгілейік.

D облысының ішінде жатқан түрлі-түрлі көпбұрыштарды қарайық, бұл көпбұрыштардың жиынын { арқылы, ал олардың аудандарының шамаларын р деп белгілейік. Мұнымен бірге D облысын өздерінің ішінде тұтып тұратын түрлі-түрлі көпбұрыштар жиынын {В} арқылы, ал олардың аудандарының шамаларын Р деп белгілейік. Сонда, көпбұрыштар қандай болса да, әрқашан р< Р, бұл теңсіздіктен біз мынадай қорытындыға келеміз: егер р сандарынан тұратын жиынды {р}, ал Р сандарынан тұратын жиынды {Р} деп белгілесек, онда жиын {р} жоғары жағынан {Р} жиынның кез келген элементімен шектелген. Сондықтан {р} жиынынығы дәл жоғарғы шекаралығы болады, оны $u$ деп белгілейік. Сонда $u$ ≤ Р .

Жиын { Р } төменгі жағынан { р } жиынының кез келген элементімен шектелген, сондықтан { Р } жиынының дәл төменгі шекаралығы болады. Оны $v\$ деп белгілейік. Мұнда $v$ ≥ р. Ал $u$ мен $v$ -нің арасындағы қатыс былай болуы керек: $u \leq v$ . $u$ санын D облысының ішкі. $v$ санын оның сыртқы ауданы деп атауға болады.

Егер осы екі дәл шекаралық $v$ = sup{ р } мен $v$ = inf{ Р } бір-бірімен тең болса, онда D облысын квадратталынатын фигура деп атайды, ал $u$ = $v$ = Q санын осы фигураның ауданы үшін алады.

Облыс D квадратталынатын фигура болу үшін кез келген оң ε санына сәйкес, облыс D -ні өздерінің ішінде тұтып тұратын көпбұрыш В және облыстың ішінде жататын көпбұрыш А табылып, осы көпбұрыштардың аудандарының айырмасы Р-р берілген ε санынан кіші болуы қажетті және жеткілікті.

Егер облыс D - квадратталынатын фигура болса, онда р > $u$ - $\frac{t}{2}$ , ал Р < $u$ + $\frac{t}{2}$ , бұл арадан Р - р < ε. Сонымен, біз қажеттілігін дәлелдедік.

Жеткіліктілігін мына теңсіздіктерден

р $\ \leq u \leq v \leq$ Р

шығаруға болады.

(С) - облыс D - нің контуры болсын. Егер облыс D квадратталынатын болса, онда контур (С), (В - А) көпбұрыштың ішінде жатады, ал бұл көпбұрыштың ауданы мына теңсіздікті Р - р < ε қанагаттандырады, өйткені көпбұрыш (В - А), А мен В көпбұрыштарының контурларының арасында жатады.

Контур (С), ауданы кез келген оң құнарсыз аз ε санынан кіші көпбұрыш ( L ) -нің ішінде жатады деп ұйғарайық. Егер ( L ) -дің ауданы R деп белгілесек, онда R < ε . Ал екінші жағынан

Р - р = R < ε.

Егер берілген (К) қисығын қоршап тұрған көп бұрыштың ауданы мейлінше (құнарсыз) аз болса, онда (К) сызығының ауданы ноль болады дейміз. Осы анықтамадан кейін, облыстың квадратталыну шартын екінші түрде былай тұжырымдауға болады.

Облыс D квадратталынатын фигура болу үшін оның контуры (С) -нің ауданы ноль болуы қажетті және жеткілікті шарт.

Ашық у = f(х), а $\leq$ х $\leq$ b немесе х = φ(у), с $\leq \$ у $\leq$ d теңдеумен берілген әрбір үздіксіз қисықтың ауданы ноль болады.

ε > 0 алдын ала берілген оң құнарсыз аз сан болсын. Онда осы ε бойынша δ > 0 санын тауып алып, [ а, b ] аралығын, әрбір бөлшек сегменттің ұзындығы δ санынан кіші болатындай етіп n бөлшек сегменттерге бөлеміз. Функция f (х) = у, [ а, b ] аралығында үздіксіз болғандықтан, оның әрбір бөлшек сегменттегі тербелісі $\omega_{i} = M_{i} - m_{i} < \frac{\varepsilon}{b - a}$ болады, мұнда

$m_{i} = inff(x), \ {\ \ M}_{i} = supf(x) .$

${\{ x}_{i}, x_{i + 1}\}$ { $x_{i}, x_{i + 1}\}$

Олай болса, бүкіл қисық у = $f(x)$ мына ${\lbrack x}_{i}, x_{i + 1}; \ m_{i}, \ M_{i}\rbrack\ (i = 0, 1, 2, \ldots, n - 1)$ тік төртбұрыштардан тұратын фнгурамен айнала қоршалынады және

$P - p = \sum_{i = 0}^{n - 1}{\left( M_{i} - m_{i} \right) \left( x_{i + 1} - x_{i} \right) =}\sum_{i = 0}^{n - 1}{\omega_{i}\mathrm{\Delta}x_{i} < \frac{\varepsilon}{b - a} \bullet}(b - a) = \varepsilon.$

Сонымен, у = $\ f(x)$ теңдеумен кескінделген үздіксіз қисықтың ауданы нө льге болатын болды.

Енді параметрлік теңдеулермен берілген қисықты қарайық:

$x = \varphi(t), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = \psi(t)$

$\alpha \leq t \leq \beta$

Егер $\varphi(t)$ және $\psi(t) \$ функцияларының бүкіл [ $\alpha, \beta$ ] аралығында үздіксіз $\varphi ʼ(t)$ жэне $\psi ʼ(t) \$ туындылары болса, бұл параметрлік теңдеулермен берілген сызықты біртегіс қисық деп атайды. Осы тұжырымдалған сөйлемді геометрия тілімен былай айтуға болады: әрбір нүктесінде бағытын үздіксіз өзгертіп отыратын жанамасы бар қисықты біртегіс қисық деп атайды.

Егер біртегіс қисықтұйық болса, онда

$\varphi ʼ(\alpha) = \varphi ʼ(\beta)$ , $\psi ʼ(\alpha) = \psi ʼ(\beta)$ болады.

Біртегіс қисықтың ауданы да нөль болады.

1. 2. Жазық фигуралардың ауданын интеграл арқылы

өрнектеу

1. Жоғарғы жағынан у = $\ f(x) \$ теңдеумен берілген үздіксіз қисықпен, төменгі жағынан X осімен, ал бүйір жақтарынан х = $\ a$ және х = b түзулермен қоршалған жазық фигураның ауданын қалай табуды біз білеміз. Мұндай фигураның ауданы тең болады (1-чертеж) :

$U = \int_{a}^{b}{f(x) dx = \int_{a}^{b}{ydx. }}$ (2)

Егер фигура жоғарғы жағынан $y = f_{1}(x), \ (a \leq x \leq b)$ қисықпен, төменгі жағынан $y = f_{2}(x), \ (a \leq x \leq b)$ қисықпен бүйір жақтарынан х = а түзулермен қоршалған болса, мұндай фигураның ауданы былай өрнектеледі:

$U = \int_{a}^{b}{\lbrack f_{1}(x) -}f_{2}(x) \rbrack dx.$ (3)

Фигураны жоғарғы жағынан қоршап тұрған қисық параметрлік теңдеулермен берілсін:

$x = \varphi(t),$

$y = \ \psi(t) .$ (α ≤ t ≤ β) (1)

Мұнда біз $\ \varphi(t), \ \psi(t)$ және $\varphi ʼ(t)$ функцияларын [α, β] аралығында үздіксіз, ал және $\psi(t), \varphi ʼ(t)$ функцияларын (α, β) интервалында оң деп ұйғарамыз. Одан басқа $\varphi(\alpha) = a, \ \psi(\beta) = b$ болуы қажет.

Айнымалы параметр t α -ден β -ға дейін үздіксіз өзгергенде абсцисса $x = \varphi(t)$ a-дан b-ге дейін өсуі керек.

Мұндай фигураныц ауданы (2) формуламен анықталады деп біз жоғарыда айттық. Айнымалы параметр t-нің а-дан β-ға дейін өсуімен бірге $x = \varphi(t)$ функция да а-дан $b$ -ға дейін үдейтін болғандықтан, (2) интегралдағы айнымалы х-ті ауыстыруға әбден болады. Сөйтіп, фигураның ауданы

$U = \int_{\alpha}^{\beta}{\psi(t) }\varphi ʼ(t) dt.$ (4)

болады.

Егер (α, β) интервалында функция $\psi(t)$ оң болып, ал туынды $\varphi ʼ(t)$ теріс болса және $\varphi(\alpha) = b, \ \ \psi(\beta) = a$ , онда параметр а-дан β-ға дейін өскенде, функция $x = \varphi(t)$ $b$ -ден а-ға дейін кемиді, Бұл жағдайда фигураның ауданы:

$U = \int_{\alpha}^{\beta}{\psi(t) }\varphi ʼ(t) dt.$ (5)

болады.

Сонымсн,

$U = \pm \int_{\alpha}^{\beta}{\psi(t) }\varphi ʼ(t) dt.$ (6)

Егер параметр $t$ мен абсцисса х бір бағытта өзгеретін болса, онда интеграл таңбасы алдында плюс алынады, ал егер олардың өзгеру бағыты бір-бірімен карама-қарсы болса, онда иитеграл алдына минус таңбасы алынады.

2. Енді тұйық сызықпен қоршалған фигураның ауданын қарайық. Егер фигуранын контуры (К) координаталар осьтеріне параллель түзулермен екі-ак нүктеде (одан артық емес) қиылысатын болса. онда мұндай фигуранын ауданын табу үшін қисықка у осіне параллель етіп АР және жанамаларды жүргіземіз. Сонда фигураны қоршап тұрған контур (К) екіге бөлінеді: біреуі АСВ, оның кез келген ординатасын у ₁ деп, екіншісі АDВ, оның кез келген ординатасын у ₂ арқылы белгілейік (2-чертеж) . Былай ұйғарайық:

ОР = а , OQ = b, b > a.

Қарастырып отырған фигураның ауданы мына формуламен

$U = \int_{a}^{b}{\left( y_{2} - y_{1} \right) dx}$ .

өрнектелетінін 80-чертеждің өзінен-ақ көрініп тұр, Мұнда у ₁ мсн у ₂ қисықтың мына түрде

F(х, у) = 0 (6’)

берілген теңдеуінен табуға болады. Ол үшін бұл теңдеуді у бойынша шешу керек. Келесі екі теңдеу системасын

F(х, у) = 0 (7)

$\frac{ә\ F(х, \ у) }{ә\ у} = \ 0$

х бойынша біріктіріп шешіп а мен $b$ -ні табамыз.

Көбінесе (6’) теңдеуді у бойынша тікелей шешу мүмкін болмай қалады. Сондықтан фигураны қоршап тұрған контурдың теңдеуін (6’) түрде қарау әрқашан ыңғайлы бола бермейді.

Фигураны қоршап тұрган контур (К) . координаталар осьтсріне параллсль түзулермен екіден артық нүктелерде қиылысатын жағдайды қарайық (3 -чертеж) .

Контурдың теңдеуі параметрлік түрде (1) теңдеулермен берілсін.

$\ \ \ \ \varphi(t), \ \psi(t) \$ функциялар жөнінде келесі ұйғаруларды жасаймыз:

1) $\ \ \varphi(t) \$ және $\psi(t),$ аралығында үздіксіз және осы аралықта үздіксіз туындылары бар функциялар;

2) Параметр $t\ t_{0}$ - ден T -ге дейін өзгергенде нүкте [ $\varphi(t), \ \psi(t)$ ] контурды бір ғана рет оң бағытта әліптейді, ягни контурмен қоршалынған облыс D қозғалыс бағытына қарағанда сол жақта қалып қойып отырады;

3) туындылар $\varphi ˈ(t) \ және\ \psi ˈ(t) \$ бірнеше рет қана нольге айналады.

Кейінгі ұйғаруды мына мағынада түсінуге болады: параметр $t$ -нің тек мына екі $t$ ₀ және Т мәндерінен басқа әр түрлі мәндеріне контур (К) -ның әр түрлі нүктелері сәйкес келеді және

$\varphi\left( t_{0} \right) = \varphi(T) .$

$\psi\left( t_{0} \right) = \psi(t) .$

Контурдың М нүктесі параметрдің $t_{0}$ жэне Т мәндеріне сәйкес келсін. Контурды бірнеше $MA_{1}, \ {\ A}_{1}A_{2}, {\ A}_{2}A_{3}, \ A_{3}A_{4}, \ A_{4}Μ$ доғаларға бөлейік. Осы доғалардың бойында функция $\psi(t)$ біркелкі өзгеретін болсын. ${\ A}_{1}, A_{2}{, \ A}_{3}, A_{4}$ нүктелерге сәйкес келетін параметр $t$ -нің мәндері $t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}$ мына тәртіппен

$t_{0} <$ $t_{1} < t_{2} < t_{3} < t_{4} < T$

орналассын.

Жоғарыда келтірілген (6) формулаға сүйене отырып мыналарды табамыз:

аудан NM ${\ A}_{1}{\ B}_{1} = \int_{t_{0}}^{t_{1}}{\psi(t) }\varphi ˈ(t) dt$ ,

аудан ${\ B}_{2}{\ A}_{2}{\ A}_{1}{\ B}_{1} = - \int_{t_{1}}^{t_{2}}{\psi(t) }\varphi ˈ(t) dt$ ,

аудан ${\ B}_{2}{\ A}_{2}{\ A}_{3}{\ B}_{3} = \int_{t_{2}}^{t_{3}}{\psi(t) }\varphi ˈ(t) dt$ ,

аудан ${\ B}_{4}{\ A}_{4}{\ A}_{3}{\ B}_{3} = - \int_{3}^{t_{4}}{\psi(t) }\varphi ˈ(t) dt$ ,

аудан ${\ B}_{4}MAN = \int_{t_{4}}^{T}{\psi(t) }\varphi ˈ(t) dt$ .

Егер осы теңдіктерді қоссақ, сонда іздеп отырған аудан шығады:

$U = - \int_{t_{0}}^{T}{\psi(t) \varphi ˈ(t) dt}$ . (8)

Егер фигура толығымен немесе жартылай X осінің төменгі жағында жататын болса, онда координаталардың бас нүктесін көшіріп, облысты X осінің жоғарғы жағында жататындай жағдайға келтіреміз.

х пен у -тің рөлін ауыстырып, фигураның ауданын былай өрнектеуге де болады:

$U = + \int_{t_{0}}^{T}{\psi(t) \varphi ˈ(t) dt}.$ (9)

(8) және (9) формулаларды бір-бірімен қосып, төмендегі формулаларды табамыз:

$U = \frac{1}{2}\int_{t}^{T}{\lbrack\varphi(t) \psi ˈ(t) - \psi(t) \varphi ˈ(t) \rbrack dt}.$ (10)

немесе

$U = \frac{1}{2}\int_{t}^{T}{(xdy - ydx) }.$ (10')

Мысал келтірейік.

1-мысал. Астроиданың ауданын табу керек.

Астроида деп төмендегі параметрлік теңдеулермен

$x = a\cos^{3}t$

$y = a\sin^{3}t$

берілген қисықты айтады (4-чертеж) . (5) формуланы қолданып табамыз:

$U = - 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{a\sin^{3}t \bullet 3a\cos^{2}t \bullet sintdt = - 12a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{4}t \bullet \cos^{2}tdt = - 12a^{2}}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{4}tdt + + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{6}tdt = - ( - \frac{3 \bullet 1}{4 \bullet 2} \bullet \frac{\pi}{2} + \frac{5 \bullet 3 \bullet 1}{6 \bullet 4 \bullet 2}}} \bullet \frac{\pi}{2}) \bullet 12a^{2} = \frac{3}{8}\pi a^{2}.$

2-мысал . Декарт жапырағы тұйық бөлігінің ауданын табу керек. Декарт жапырағы деп мына

$x^{3} + y^{3} = 3axy$ (11)

теңдеумен берілген қисықпен қоршалған фигураны айтады (4- чертеж) .

Бұл ауданды табу үшін (11) теңдеуді параметрлік түрге көшіру керек. Параметр t үшін θ бұрышының тангенсін аламыз, яғни t = tg θ мұнда θ бұрышы 0-ден $\frac{\pi}{2}$ - ге дейін өзгереді, олай болса, параметр t 0-ден $\infty$ -ке дейін өзгереді. Мұнда $tg\theta = \frac{y}{x} =$ t, бұл арадан $y = tx.$