Математикалық талдаудың тура және кері есептері

Кіріспе...
1. Бір аргументке тәуелді функциялар теориясының кері есептері..
1.1 Функция қасиеттері туралы кері теоремалар..
1.2 Функцияның шегі және үзіліссіздігі.
1.3 Функцияның туындысы.
1.4 Математикалық талдаудың интегралдау теориясымен байланысты кері есептері...
2. Көп айнымалы функциялар теориясының кері есептері ... ... ... ...
2.1 Көп айнымалы функциялар,олардың шегі,үзіліссіздігі ... ... ... ... ... ... .
2.2 Көп айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеуі ... ... ... ...
2.3 Еселі және қисық сызықты интегралдар туралы кері есептер ... ... ... ..

3. Математикалық талдаудың кейбір күрделі қасиеттерге
ие болған функцияларын құру.
3.1 Нақты сандар жиынының бар жерінде дерлік тығыз болған жиында туындысы жоқ болған функция..
3.2 Фрактал және бәр жерде үздіксіз,бірақ бірде.бір нүктесінде туындысы жоқ функция.

Қорытынды...
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... .

Математика саласында жазылатын мақалалар және монографияларда, студенттерге математикалық пәндер бойынша оқытылатын лекцияларда және өқулықтарда теориялық материалдарды толық түсінтіру үшін әдетте көптеген тура және кері мысалдар көрсетіледі [1-7].
Олардың ішінде кері мысалдарды зерттеу өте маңызды болып табылады. Себебі мұндай мысалдар арқылы теориялық курстарда дәлелденген теоремалардың кейбір шарттары орындалмаған жағдайды зерттеу арқылы берілген шарттардың маңызыдлығын толығынан түсінуге болады. Математикалық талдау курсында оқытылатын тақырыптарға сәйкес кері мысалдар құру өте күрделі мәселе. Сол себептен бұл дипломдық жұмыста осы тақырпқа тиісті проблемалар қарастырылады.

1. Гелбаум Б.,Дж.Олмстед. Контрпримеры в анализе,М.Мир,1967.
2. Никольский С.М.Курс математического анализа, М.Наука, том 1,1973.
3. Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.II, М.1960.
4. И.М.Уваренков,. М.З.Маллер,. Курс математического анализа, М.Просвещение, т. II, 1976.
5. Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ, М. Высшая школа, т. II, 1970.
6. Шибинский В.М. Однозначная функция, определенная на всей оси ОХ и принимающая на любом непустом интервале значения на всей оси ОУ. – Северодвинск: 2001.
7. В.М. Шибинский. Примеры и контрпримеры в математическом анализе
8. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа, М. Просвещение, ч. II, 1971.
9. Б.П.Демидович.Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М.наука,1990.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 82 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ
ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті

Қорғауға жіберілді

Д И П Л О М Д Ы Қ Ж Ұ М Ы С

НАБИШЕВ ДИЛМУРАТ МУХАМАТСАЛИЕВИЧ

Жаратылыстану факультетінің 4-курс
ЖМА-912 тобының студенті

ТАҚЫРЫБЫ: МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУДЫҢ ТУРА ЖӘНЕ КЕРІ ЕСЕПТЕРІ

Ғылыми жетекшісі:
ф.-м.ғ.д. Турметов Б.Х.

Түркістан – 2013 жыл

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

А.Ясауи атындағы халықаралық қазақ-түрік университеті

Математика кафедрасы

Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі
_______профессор Ә.С.Мұратов

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Математикалық талдаудың тура және кері есептері

5В060100 – Математика мамандығы бойынша

Орындаған Набишев Д.М.

Ғылыми жетекшісі
ф.м.ғ.д., аға оқытушы Турметов Б.Х.

Түркістан 2013
Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...
1. Бір аргументке тәуелді функциялар теориясының кері есептері.. 4
1.1 Функция қасиеттері туралы кері 4
теоремалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2 Функцияның шегі және 7
үзіліссіздігі ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
...
1.3 Функцияның 13
туындысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
1.4 Математикалық талдаудың интегралдау теориясымен байланысты кері
есептері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...25
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
2. Көп айнымалы функциялар теориясының кері есептері ... ... ... ... 39
2.1 Көп айнымалы функциялар,олардың 39
шегі,үзіліссіздігі ... ... ... ... ... ... .
2.2 Көп айнымалы функциялардың дифференциалдық 46
есептеуі ... ... ... ...
2.3 Еселі және қисық сызықты интегралдар туралы кері 57
есептер ... ... ... ..

3. Математикалық талдаудың кейбір күрделі қасиеттерге
ие болған функцияларын 65
құру ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ..
3.1 Нақты сандар жиынының бар жерінде дерлік тығыз болған жиында
туындысы жоқ болған 65
функция ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... .
3.2 Фрактал және бәр жерде үздіксіз,бірақ бірде-бір нүктесінде
туындысы жоқ 73
функция ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ..

Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .79
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
Қолданылған әдебиеттер 80
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ..

Кіріспе

Зерттеу тақырыбынының көкейтестілігі. Математика саласында жазылатын
мақалалар және монографияларда, студенттерге математикалық пәндер бойынша
оқытылатын лекцияларда және өқулықтарда теориялық материалдарды толық
түсінтіру үшін әдетте көптеген тура және кері мысалдар көрсетіледі [1-7].
Олардың ішінде кері мысалдарды зерттеу өте маңызды болып
табылады. Себебі мұндай мысалдар арқылы теориялық курстарда дәлелденген
теоремалардың кейбір шарттары орындалмаған жағдайды зерттеу арқылы берілген
шарттардың маңызыдлығын толығынан түсінуге болады. Математикалық талдау
курсында оқытылатын тақырыптарға сәйкес кері мысалдар құру өте күрделі
мәселе. Сол себептен бұл дипломдық жұмыста осы тақырпқа тиісті проблемалар
қарастырылады.
Дипломдық жұмыста негізгі мақсаты бір және көп аргументке тәуелді
функциялар теориясының кері мысалдарын қарастыру. Математикалық талдаудың
осы тақырыптарға тиісті негізгі теоремаларын талдау жасау, берілген
шарттары орындалмаған жағдайларға сәйкес кері мысалдар құру болып табылады.
Сондай-ақ жұмыста қарапайым қасиеттерге ие болған кұрделі
функцияларды құру мысалдарыда келтіріледі.
Дипломдық жұмстың құрылымы :
Жұмыс Кіріспе, 9 параграфқа бөлінген 3 тарау, қорытынды және
пайдаланылған әдебиеттер тізімінен турады.
Бірінші тарауда бір аргументке тәуелді функциялардың қасиеттеріне
байланысты кері мысалдар келтіріледі. Мұнда функция қасиеттері туралы кері
теоремалар, функцияның шегі және үзілісіздігі, функцияның туындысы және
интегралдау теориясымен байланысты кері есептері сияқты тақырыптар
қамтылған.
Екінші тарауда көп аргументке тәуелді функцияларды зерттеуге арналған
кері мысалдар қарастырылады. Мұнда көп айнымалы функциялар, олардың шегі,
үзіліссіздігі көп айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеуі, еселі
және қисық сызықты интегралдар туралы кері есептер сияқты тақырыптарға
сәйкес келетін мысалдар көрсетілген.
Үшінші тарауда кұрделі функцияларды құру мысалдары көрсетілген.
1 Бір аргументке тәуелді функциялар теориясының кері теоремалары

1.1 Функция қасиеттері туралы кері теоремалар

1. Әрі жұп, әрі тақ болған функция.

Функцияның зерттеу барысында біз оның жұп, тақ немесе жұпта емес
тақта емес болатынын білеміз. Бірақ, бір уақытта жұпта, тақта болатын
функция да бар болатынын көрсетейік.
функциясы үшін

,,

теңсіздіктері орындалатыны белгілі. Демек, функция әрі жұп, әрі тақ
болады. Мұндай қасиеттке ие болған басқа функция жоқ. Шындығында да, егер
симметриялы Е жиынында берілген үшін

,,

болса, онда

, немесе

болады.

2. Монотонды функциялардың қосындысы монотонды функция болмаған жағдайға
мысал.

Егер функциялары бір уақытта монотон өспелі немесе монотон
кемімелі болса, олардың қосындысы да монотонды болама деген сұраққа жауап
берейік.
Айталық,

,, ,

болсын. Алдымен функциясының монотонды екендігін көрсетейік. Барлық
үшін теңсіздігі орынды (бұл теңсіздіктің орынды болатынын
функциялардың графиктарынан байқаса болады).
Олай болса, кез келген нүктелері үшін

қатынастың орынды болатынын байқаймыз. Соңғы теңсіздіктен

немесе

Сонда, кез келген нүктелері үшін болатынын көреміз.
өспелі функция. Осыған ұқсас функциясыныңда монотонды (кемімелі)
екендігін көрсету мүмкін. Бірақ олардың қосындысы функциясы
монотондылық қасиетке ие емес.

3. Ең кіші оң периоды болмайтын периодты функция.

Дирихле функциясын қарастырайық. Кез-келген рационал сан бұл
функцияның периоды болады.Шынында да, болса,

тепе-теңдіктер орынды болады. Демек, барлық, үшін , теңдігі
орындалады және саны Дирихле функциясының периоды болады. Сондықтан
бұл функция периодты, бірақ ең кіші оң периоды жоқ.

4. Периодты функциялардың қосындысы периодтты функция болмайтын жағдайға
мысал.

болсын. функциясының периоды , функциясының периоды
тең. саны функциясының периоды деп есептейік. Бұл жағдайда
барлық үшін төмендегі теңдіктер орындалады:

Егер деп алсақ,соңғы теңдіктің сол жағы 0 ге тең және осыдан
болады.
Демек,

. (1)

Енді деп алсақ, яғни болса,теңдіктің оң жағы 0 ге тең және
болады. Осыдан

(2)

(1) және (2) теңдіктерге сәйкес болады. Бірақ, иррационал
сан. Сол себептен санын түрінде жазуға болмайды. Демек,
функциясы периодты болмайды.

5. Анықталу облысының барлық нүктелері маңайында шектелмеген функция.

Төмендегі функцияны қарастырамыз.

Кез келген нүктені аламыз.Егер функциясы қандайда бір
аралықта шенелген болсаа, онда осы аралықта барлық түріндегі
бөлшектердің бөлімдері шектелген және осыдан бөлшектердің
алымдарыда шенелгендігі шығады.Нәтижеде аралығында рационал
болған бөлшектердің саны шектеулі болады. Мұндай қорытынды рационал
сандар жиынының кез-келген аралықта тығыз болуы қасиетіне қайшы.

1.2 Функцияның шегі және үзілісіздігі

1. Шексіз және шенелген болып, шегі жоқ тізбектер.

Төмендегі тізбекті қарастырамыз:

Мұнда тақ орындарда орналасқан элементтер, жұп орындарда
орналасқан элементтер , формулалар арқылы өрнектелген. Көріп
тұрғанымыздай, мұндай тізбек шенелмеген және шегі жоқ екені анық. Сонымен
бірге 0 және 1 сандары оның дербес шектері болады.

2. Бірі біріне орналасқан сегменттер тізбегі туралы.

Мынадай сегменттер тізбегі берілген болсын.
Егер

қатынастар орынды және

болса, онда мұндай тізбектер бірі біріне орналасқан сегменттер тізбегі деп
аталады.
Бірі біріне орналасқан сегменттер теоремасы бойынша сегменттердің бір
ғана ортақ нүктесі болады. Жоғарыда енгізілген шек әрқашан бар болады
себебі тізбегі кемімелі және төменнен 0 -мен шенелген.
Егер

деп жорысақ, онда сегменттердің қиылысуының ұзындығы -ға тең сегмент
болады.
Егер сегменттердің орнына бірі біріне орналасқан интервалдарды алсақ,
жоғарыдағы теорема орынды болмайды. Шынында да,

, ,

болсын. Бұл жағдайда интервалдардыдың қиылысуы бос жиыннан тұрады.

3. Шенелмеген болып, шексіз үлкен болмаған тізбек.

,

тізбегі үшін , болғанда , егер . Демек, берілген
тізбек шенелмеген болады. Бұл тізбек шексіз үлкен болуы үшін да
-дер үшін теңсіздігі орынды болуы керек екені белгілі.
Бірақ, , тақ сандар үшін

егер .

Демек, берілген тізбек шексіз үлкен емес.

4. Анықталу облысының кез-келген нүктесінде шегі болмайтын функция.

Жоғарыда қарастырылған

Дирихле функциясын аламыз. Кез-келген нүктесі жиынының да,
жиынының да шек нүктесі болады және

,

Демек, Дирихле функциясы шегінің жалғыздығы туралы қасиетке сүйеніп ешбір
нүктеде шекке ие емес.
5. Салыстыру мүмкін болмаған шексіз аз функциялар

,, да шексіз аз болады, яғни

,

Олардың 0 –ге ұмтылу жылдамдықтарын салыстырамыз,

болады. да функциясының шегі жоқ,себебі үшін
да ,,бірақ , үшін ,. Демек, шек
болмайды,яғни және функцияларын салыстыру мүмкін емес.

6. Анықталу облысының барлық нүктелерінде үзіліске ие болған функция.

Дирихле функциясы кез келген нүктеде үзіліске ие болады.

7. Анықталу облысының бір ғана нүктесінде үзіліссіз болған функция.

болсын.Егер болса,онда

Демек, кез-келген нүктеде функция үзіліске ие болады.

Егер болса, және

,, теңсіздігінен

келіп шығады. Мұнда деп алсақ жеткілікті. Демек,
, яғни функция нүктесінде үзіліссіз.

8. ,, қатынастарды қанағаттандыратын үзіліссіз күрделі
функция.

,

болсын. Бұл жағдайда үзіліссіз функция болады.
, екені белгілі,бірақ

Келтірілген кері мысалдың бар болуы функция үшін

шартының жетіспегендігінен келіп шығады. Екінші жағынан, күрделі функцияның
үзіліссіздігі туралы теореманы ескерсек, берілген қатыстарда
функцияның нүктедегі, яғни мысалды алсақ дегі үзіліссіздік шарты
жетіспейді.

9. К.Вейерштрасс теоремасы туралы.

функциясы кесіндіде үзіліссізболса,ол осы кесіндіде шенелген
және өзінің ең жоғары және ең төменгі шегіне жететіндігі белгілі.
Теоремадағы кесінді және функциясының үзіліксіздігі маңызға ие.
Сондай-ақ, функция да үзіліссіз,бірақ шенелмеген болады. Сонымен
қатар, функция да үзіліссіз болып,

,

мәндерін да қабылдай алмайды. Төмендегі

функциясы кесіндіде берілген болып, да үзіліске ие

Бұл функция

мәнін да қабылдай алмайды.

10. Больцано-Коши теоремасы туралы.

функциясы кесіндіде үзіліссіз болып, , болса, онда
да ең болмағанда бір нүктесі табылып, болады және
қанағаттандыратын үшін табылып, болатындығы белгілі.
Егер функциясы үзіліссіз болмаса, теореманың қортындысы дұрыс
емес болуы мүмкін.Мысалы,

функция кесіндіде берілген болып, де үзіліске ие.
аралығында теңдігін қанағаттандыратын нүктесі де
теңсіздігін қанағаттандыратын үшін қайсыбір (болатын) нүкте
жоқ екендігі айқын.

11. Бірқалыпты үзіліссіз функциялардың көбейтіндісі бірқалыпты үзіліссіз
функция болмайтын жағдайға мысал.

,,

болсын. функция бірқалыпты үзіліссіз болуы белгілі. функциясы
үшін , қатынасы орынды. Осыдан деп алсақ, онда
функциясы да бірқалыпты үзіліссіз болады. Функциялардың көбейтіндісі үшін
төмендегі екі тізбекті аламыз:

, ,,

,

екені белгілі,бірақ

,

Демек, бірқалыпты үзіліссіз функция емес.
Функциялардың анықталу аймағы және функция шенелмегендігі мұндай кері
мысалдың шығуының себебі болады. Бірқалыпты үзіліссіз функция лар қосындысы
әрқашанда бірқалыпты үзіліссіз функция болатынын айтып өту керек.

12. Кантор теоремасы туралы.

кесіндіде үзіліссіз болған функция бірқалыпты үзіліссіз болатыны
белгілі.Егер кесіндінің орнына интервалын алсақ, теореманың қортындысы
дұрыс емес болуы мүмкін. Мысалы,

болсын. функция да үзіліссіз.Ол бірқалыпты үзіліссіз болсын деп
ойлайық, яғни

, (), ,

және дан болады. Біз ,, деп алуымыз мүмкін,себебі

Бұл жағдайда болады. Бұл теңсіздік ойлағанымызға қайшы, сондықтан
функция бірқалыпты үзіліссіз болмайды.

1.3. Функцияның туындысы

1. Функцияның үзіліссіз болуы үшін туындының бар болуының қажет еместігі.

Функцияның үзіліссіз болуы үшін туындының бар болуы тек жеткілікті
шарт болып, функция бірер нүктеде үзіліссіз болса, ол осы нүктеде туындыға
ие болмауы да мүмкін. Мысалы,, функция нүктеде үзіліссіз,
бірақ

,

яғни қатынасының ғы шегі жоқ. Демек, да функцияның
туындысы жоқ.

2. Үзіліссіз және дифференциалданатын болып,туындысы үзілісті болған
функция.
Мына

функцияны қарастырайық. нүктелерде функцияның туындысы бар
екендігі белгілі:

,

нүктесінде

Демек, функция барлық нүктелерде туындыға ие және оның туындысы

функция нүктелерде үзіліссіз болады , ал нүктесінде
үзіліске ие. Шынында да,

шек жоқ. Себебі нүктелерін таңдап алсақ, онда

,

Соңғы тізбектің шегі болмайды.

3. Туындысы жұп функция болған жұпта емес және тақта емес функция.

Әдетте функция жұп немесе тақ болса, оның туындысы керісінше тақ
немесе жұп болады . Ал жұпта емес, тақта емес функция берілсе жағдай қандай
болады деген сұрақ туындайды.
функциясы жұпта немесе тақта емес. Ал оның туындысы жұп функция
болады.

4. нүктеде туындысы шексіз болған үзіліссіз функция.

1 мысалға байланысты функция нүктесінде үзіліссіз, бірақ
туындысы болмайды. Енді де үзіліссіз және туындысы шексіз болған
функцияға мысал келтіреміз.

,

болсын. нүктесінде функция үзіліссіз болады (оң жағынан).
Сонымен бірге

яғни нүктесінде функцияның туындысы (оң жағынан) бар және шексіз
болады.

Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремалары және қолданылуы

Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремаларын келтірейік .
Теорема (Ферма). функциясы - де анықталып және осы маңайда
өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдасын. Егер бар болса,
онда теңдігі орындалады.

Теорема (Ролль). функциясы
1. сегментінде үзіліссіз;
2. интервалында дифференциалдансын;
3. болсын, онда :
теңдігі орындалады.

Теорема (Лагранж). функциясы
1. сегментінде үзіліссіз;
2. интервалында дифференциалдансын, онда
:

теңдігі орындалады.

Теорема (Коши). және функциялары
1. сегментінде үзіліссіз;
2. интервалында дифференциалдансын;
3. , болса, онда :

теңдігі орындалады.

5. Ферма теоремасы жайында.

Егер функция аралығында анықталған және қайсыбір ішкі
нүктесінде ең үлкен (ең кіші) мәнге ие болса және осы нүктеде ақырлы
туындысы бар болса, онда болады. Бұл нәтиже Ферма теоремасынан келіп
шығады.
Кері теорема орынды емес, яғни функциясының қайсыбір ішкі
нүктесіндегі туындысы болсада, бұл нүктеде функция ең үлкен (ең кіші)
мәніне ие болмауы мүмкін. Мысалы, , аралығында анықталған
болсын. Бұл функция үшін, нүктесінде болады. Бірақ, функцияның
бұл нүктедегі мәні оның аралығындағы ең үлкен немесе ең кіші
мәні болмайды.

6. Ролл теоремасы жайында.

Егер функция кесіндіде берілген болып,
1) аралығында үзіліссіз;
2) аралығында дифференциалданатын;
3) болса,
онда аралығында оның туындысы нолге тең болатын кем дегенде
бір нүкте табылады (яғни, ). Ролл теоремасындағы 1) - 3)
шартардың біреуі орындалмаса, онда бұл функцияның туындысының мәні
үшін нолге тең болмауы мүмкін. Бірақ, барлық шарттар орындалмаған жағдайда
да аралығында туынды 0 ге тең болатын нүктелер бар болуыда мүмкін,
яғни теоремада берілген шарттар жеткілікті болып, қажетті емес.
Мысалы,

болсын. Бұл функция үшін Ролл теоремасында көрсетілген 2) және 3) -ші
шарттар орындалып, 1)-ші шарт, яғни үзіліссіздік шарты орындалмайды.
Сонымен бірге функциясының туындысы аралығында нолге тең емес;
Келесі

,

функция үшін 2)-ші шарт орындалмайды ( де туындысы жоқ) және
аралықта теңдігін қанағаттандыратын нүкте жоқ;
Егер

,

болса, бұл функция үшін теореманың 3)-ші шарты орындалмайды () және
үшін болады.

Келесі

функция үшін Ролл теоремасының барлық шарттар орындалмайды, бірақ
аралығының кез-келген нүктесінде болады.

7. Лагранж теоремасы жайында.

Егер функция кесіндіде үзіліссіз және аралығында
дифференциалданатын болса, аралығында кем дегенде бір нүкте
табылып, төмендегі теңдік орынды болады:

,

Бұл нәтижені Лагранж теоремасы деп атайды.
Бұл теорема нақты мәнді функциялар үшін орынды. Шынында да
функциясының мәндері комплекс сандар болсын деп есептейік.
Мысалы,

,

болсын.
Бұл жағдайда Лагранж теоремасының шарттары орындалып, қорытындысы
дұрыс емес болады. Шынында да,

теңдігінен яғни келіп шығады. Соңғы теңдік бір мезгілде ,
болғанда ғана орындалады. Ал бұл нәтиже негізгі тригонометриялық тепе
теңдікке қайшы болған қорытынды.
Лагранж теоремасындағы шарттардың біреуі орындалмаса, теореманың
қорытындысы дұрыс болмауы мүмкін.
Мысалы,

функция да үзіліссіз болып, нүктеде туындысы болмайды.
Сонымен бірге

теңдік, яғни теңдік үшін орындалмайды.

8. Тейлор формуласы көмегімен e санының иррационалдығын дәлелдеу.

, функциясы үшін Тейлор формуласы төмендегі көріністе
жазылатындығы белгілі:

Мұндағы , Лагранж формасындағы қалдық мүше деп аталады.Әдетте
жоғарыдағы формуланы Маклорен формуласы деп те айтады.
Егер болса,төмендегі теңдікке ие боламыз:

,

- рационал сан болсын деп есептейік. болғандықтан натурал
және болады. Демек,

(*)

Теңдіктің екі жағын -ға көбейтсек төмендегі теңдікті аламыз:

. (**)

Бұл жерде санын дан үлкен деп алуымыз мүмкін. Бұл жағдайда
, болғандықтан

болады.Сондай-ақ, болғандықтан (*) теңдіктің сол жағы бүтін сан
болады. (*) теңдіктің оң жағы (**) теңдікке сәйкес бірден кіші оң сан
болады. Демек, санын рационал сан деп есептегеніміз қайшылыққа алып
келеді.Сондықтан , саны рационал сан болады.

9. Лопитал ережесі жайында

Егер аралығында үзіліссіз және функциялары берілген
болып,
1)да және бар және ;
2)
3)бар болса,
онда

болады.
Лопитал ережесінде түрдегі анықталмағандық беріліп, жоғарыдағы
1)-3) шарттар орындалса, функциялар туындысының қатынасынан шек алынып,
берілген функциялар қатынасының шегі табылады. Берілген функциялар
қатынасының шегі 3) шарт орындалмаса да бар болуы мүмкін, яғни 3) шарт
жеткілікті болып,қажетті емес.
Мысалы,

,

функциялар аралығында 1),2) шарттарды қанағаттандырады және

Бірақ,

шек жоқ.

10. Туындысы қайсыбір нүктеде оң болып, бұл нүктенің маңайында монотонды
болмаған дифференциалданатын функция.

Егер функциясы қандайда бір аралықта дифференциалданатын
және монотонды өспелі (кемімелі) болса, онда болады.
Кері теорема орынды емес, яғни болса функциясы монотонды
болуы шарт емес. Мысалы

болсын. функциясы барлық нүктелерде туындыға ие және

Демек,болады.Төмендегі

,

нүктелерде туындының мәндерін есептейміз:

,

Демек, функциясы, нүктенің маңайында әрі оң, әрі теріс мәндерді
қабылдайды.Осыдан функциясының өзі -дің маңайында туындысы
бар,бірақ монотон функция еместігі келіп шығады.

11. Дифференциалданатын және шенелген болып, туындысы шенелмеген функция.

функциясы кесіндіде төмендегі шекті туындыға ие

функциясы кесіндіде шенелмеген болады. Шынында да,нүктенің
маңайында ,нүктелерде

12. Күдікті нүктеде экстремумға ие болмаған функция.

Анықтама. Егер (), теңсіздігі орындалса, онда
функциясының максимум (минимум) нүктесі деп аталады.
Функцияның максимум және минимум нүктелерін функцияның экстремумдары деп
атайды.

Теорема.(экстремумның қажетті шарты).
Егер нүктесі функциясының экстремум нүктесі болса, онда
нүктесінде туындысы жоқ немесе .
болатын нүктелерді күдікті нүктелер деп атаймыз.
Берілген функция күдікті нүктелерде максимал немесе минимал мәндеріне
ие болу шарт емес.
Мысалы,

функция үшін , және күдікті нүкте болады. Бірақ,
нүктенің қайсыбір маңайында шама бұл функцияның ең кіші немесе ең
үлкен мәні болмайды. Бұл нүктенің кез-келген маңайында функцияның нолден
кіші және нолден үлкен мәндері қалауынша табылады.

13. Экстремум нүктенің қайсыбір жағының маңайында туындысының таңбасы
сақталмайтын дифференциалданатын функция.

функция де оң мәндерді қабылдайды. Сондықтан мәні оның
экстремум(минимумы) болады. Бұл функцияның туындысы

нүктенің кез-келген маңайында әрі оң, әрі теріс мәндерді қабылдайды.
Шынында да, лар үшін

Демек,

, егер , - жұп сан.

, егер , -тақ сан

болса. Осыдан функция -дің оң жақ маңайында монотонды бола
алмайтындығынан келіп шығады. Осыған ұқсас- дің сол жақ маңайында
да функциясының туындысының таңбасы сақталмайды және монотонды
болмайды.

14. Күдікті нүктенің сол жағынан оң жағына өткенде туындысының таңбасы “ -
” тан “ +” ке өзгерседе бұл нүкте максимум нүктесі болатын функция.

функция үшін экстремум(максимум) нүктесі болады. Шынында да,
интервалының нүктелері үшін теңсіздігі орынды болады. Демек,
максимум нүктесі болады. Сонымен қатар

, егер

, егер

болса,яғни ден солдан оңға өткенде туындының таңбасы минустан плюске
өзгереді.
функция кризистік нүктеде үзіліссіз болса, туындысының таңбасы
минустан плюске өзгергенінен осы нүктеүшін минимум нүкте болатындығын
атап өтуіміз керек.

15. Экстремум нүктенің сол жағынан оң жағына өткенде туындысының таңбасы
өзгермейтін функция.

функция үшін экстремум (минимум) нүкте болады. Шынында да,
-нің маңайындағы барлық нүктелер үшін

теңсіздігі орынды болады. Сонымен қатар және нүктелер үшін
, яғни туынды таңбасын өзгертпейді. Осындай кері мысалдың пайда
болуына функция нүктеде үзіліссіз болмайтындығы себеп болады.

16. Қисық сызықтың иілу нүктесі туралы.

Анықтама. функциясы интервалында анықталсын және
нүктесі үшін

теңсіздігі орындалса, функциясы - да дөңес (ойыс) функция деп
аталады.
Анықтама. функциясының графигі нүктесінде дөңестігін
ойыстыққа ауыстырса, онда нүктесі функциясының иілу нүктесі деп
аталады.
Теорема. Егер функциясы нүктесінде екі рет
дифференциалданатын және нүктесінде () болса, онда
функциясы нүктесінде ойыс (дөңес) болады.
Теорема. Егер нүктесінде функциясының екінші ретті
туындысы бар және - иілу нүктесі болса, онда .
Егер нүктесі функция графигінің иілу нүктесі болып,
нүктесінде тің екінші ретті туындысы бар болса, онда

болатындығы қажетті шарт. Бірақ мұндай шарт иілу нүктесі болуы үшін
жеткілікті емес.
Мысалы, үшін , .
Демек, барлық нүктелерде , яғни қисық сызық ойыс
болады.Сондықтан қисық сызықтың иілу нүктесі бола алмайды.
Екінші жағынан,тің екінші ретті туындысы бар болмағанда
нүктеде қисық сызықтың иілу нүктесі болуы мүмкін. Мысалы, ,
болсын. Бұл жағдайда

,,

болады. де жоқ.Сонымен бірге үшін болады, яғни
қисық сызық да дөңес болады. үшін ,яғни қисық
сызық да ойыс болады. Анықтамасы бойынша нүкте қисық сызықтың
иілу нүктесі болады.

17. Графигі асимптотасын шексіз көп нүктелерде қиып өтетін функция.

,

болсын. қисық сызықты горизонтал асимптотасы түзу сызық болады.
Шынында да,

Қисық сызықтың горизонтал асимптота мен қиылысу нүктелерін табу үшін

теңдеуін шешу керек. Бұл теңдеудің түбірлері ,,нүктелерден
тұрады және олар шексіз көп болады.

1.4 Математикалық талдаудың интегралдау теориясымен байланысты кері
есептері

Бұл параграфта біз интегралдау теориясына байланысты кері есептерді
зерттейміз. Алдымен осы тақырыпқа тиісті кейбір теориялық мәліметтерді
келтіреміз.
-нақты сандар жиыны, аралық болсын. аралығында
анықталған функциясының алғашқы функциясыясына тиісті мәліметтер
келтірейік.
Анықтама. Егер , болса, онда функциясы
функциясының аралығында алғашқы бейнесі (алғашқы функциясы) деп
аталады.
Теорема 1. Егер және функциялары функциясының
аралығында кез келген екі алғашқы бейнесі болса, онда .
Анықтама. функциясының аралығындағы барлық алғашқы
бейнелерінің жиыны функциясының анықталмаған интегралы деп аталып
және

,

деп белгіленеді.
Риман бойынша интегралданатын функцияның мынандай қасиеті бар:
Егер - функциясының алғашқы функциясы болса, онда

,

теңдігі орындалады. Осы формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.

1. Алғашқы функцияға ие болмаған интегралданатын функция.

Айталық,

болсын. Егер -ның алғашқы функциясы бар болса, оның түрі төмендегідей
болуы керек:

Мұндағы ,-тұрақты сандар. тің нүктеде
үзіліссіздігінен
теңдігі келіп шығады.
Демек,

,

болуы керек. Бірақ функцияның де туындысы жоқ. Сондықтан
бірде-бір функция үшін алғашқы функция бола алмайды.
Негізі қайсыбір нүктеде I - текті үзіліс нүктесіне ие болған
функцияның алғашқы функциясы болмайды. Мұндай қорытынды функция туындысының
аралық мәндерін қабылдау туралы Дарбу теоремасынан келіп шығады. Біз
қарастырып отырған мысалдағы функция аралығында Риман бойынша
интегралданатын айтып өту керек. Бірақ,оның алғашқы функциясы жоқ.

2. Алғашқы функциясы бар болып, интегралданбайтын функция.

Енді алғашқы функциясы бар, бірақ интегралданбайтын функцияның
мысалын келтіреміз.

функцияның аралығындағы туындысы

функция болады.Демек, да функциясының алғашқы функциясы
бар. нүктесінің маңайында функция шенелмеген, онда
функциясыда шенелмеген болады.
Ал төмендегі теорема функция Риман бойынша интегралы бар болуының
қажетті шарты туралы.
Теорема. Егер функциясы кесіндісінде Риман бойынша
интегралданса, онда функциясы кесіндісінде шенелген функция
болады.
Сондықтан біздің қарастырған функциямыз сегментінде
интегралданбайды.

3. Интегралданбайтын шенелген функция.

Функция шенелген болғандықтан оны интегралданатыны келіп шықпайды.
Бұған мынадай мысал келтіреміз.

Дирихле функциясын қарастырайық. Бұл функция сегментінде шенелген.
Осы функцияның де интегралдық қосындысын алайық. Егер әрбір
кесіндіде лар үшін тек иррационал нүктелер таңдап алынса,

Мұнда ,,, .
Егер лар үшін тек рационал нүктелер таңдап алынса,

болады. Демек, интегралдық қосындысының шегі нүктелерді таңдау
тәсіліне байланысты. Бұл болса Дирихле функциясының Риман бойынша
интегралданбайтын -дығын көрсетеді.

4. Анықталған интегралы нолге тең болған теріс емес функция.

Егер кесіндіде анықталған функциясы интегралданатын және теріс
емес болса, онда

теңсіздігі орынды болатыны белгілі. Жалпы жағдайда бұл теңсіздік қатаң бола
алмайды. Мысалы,

функция да функция интегралданатын және . Сонымен бірге

Интегралданатын және теріс емес функция кесіндінің қайсыбір
нүктесінде үзіліссіз болып,, болса, онда берілген функцияның
анықталған интегралы үшін төмендегі

қатаң теңсіздік орынды болады.

5. Модулі интегралданатын болып, өзі интегралданбайтын функция.

Егер кесіндіде анықталған функциясы интегралданатын
болса,онда функцияның модулі интегралданатын болады, яғни

интегралдың бар болатындығы белгілі. Бұған кері болған теорема дұрыс емес.
Мысалы,

функция үшін

Бірақ функциясының өзі Дирихле функциясы сияқты интегралданбайды.

6. Интегралданатын функциялардың композициясы болып, интегралданбайтын
функцияға мысал.

Төмендегі

функцияларын алайық. функция Риман функциясы деп аталады және ол
да интегралданатын болады (Риман функциясының үзіліс нүктелері
рационал нүктелер болып және олар санаулы жиынды құрайды).
функция да де интегралданатын болады. Осы функциялардың
композициясы

түріндегі функция болады. Бұл функция Дирихле функциясының дегі
тарылымы болып, ол интегралданбайды. Екі интегралданатын және
функцияларының композициясы интегралданатын болуы үшін тің
үзіліссіздігін талап етуіміз жеткілікті.
Меншіксіз интегралдар
Алдымен меншіксіз интегралдар туралы негізгі ұғымдарды келтірейік.
Анықтама. функциясы аралығында Риман бойынша интегралдансын,
онда

(1)

өрнегі функциясының аралығындағы меншіксіз интегралы деп
аталады. Егер бұл шек бар болатын болса, онда меншіксіз интеграл жинақты,
ал шек жоқ немесе ақырсыз болса, онда меншіксіз интеграл жинақсыз деп
аталады.
Теорема. функциясы аралығында Риман бойынша
интегралдансын, онда (1)- интегралының жинақты болуы үшін Коши шартының
орындалуы қажетті және жеткілікті, яғни

: : .

Меншіксіз интегралдардың негізгі қасиеттері

1. (1)- меншіксіз интегралы жинақты болсын, онда

.

2. және меншіксіз интегралдары жинақты болса, онда үшін

.

3. және меншіксіз интегралдары жинақты және аралығында
болса, онда үшін

.

4. функциясы аралығында үзіліссіз және функциясы
функциясының аралығында алғашқы функциясы болсын, онда
және шектерінің ең болмағанда біреуі бар болса, онда

.

Теорема. аралығында болсын, онда меншіксіз
интегралы жинақты болуы үшін , орындалатындай санының
табылуы қажетті және жеткілікті.

Теорема. және функциялары аралығында интегралдансын
және аралығында болса, онда
1. меншіксіз интегралының жинақтылығынан меншіксіз интегралының
жинақтылығы шығады.
2. меншіксіз интегралының жинақсыздығынан меншіксіз
интегралының жинақсыздығы шығады.
Анықтама. меншіксіз интегралы жинақты болса, онда
меншіксіз интегралы абсолютті жинақты деп аталады.
Теорема. Абсолютті жинақты меншіксіз интеграл жинақты болады.

7. Меншіксіз интегралдары жинақсыз болған функциялар қосындысының меншіксіз
интегралы жинақты болған жағдайға мысал.

Егер

және

меншіксіз интегралдар жинақты болса, онда

меншіксіз интегралы да жинақты болады. Берілген интегралдардың жинақтылығы
жеткілікті шарт болып, функциялар қосындысының интегралы жинақты болуы
қажетті емес.
Мысалы,

,,

болсын. Бұл жағдайда

,

яғни әрбір интеграл жинақсыз болады. Осы функциялар қосындысы үшін
меншіксіз интеграл

жинақталатын интеграл.
Егер интегралдардың бірі жинақты болып, екіншісі жинақсыз болса,ол кезде

жинақсыз болатынын айтып өтуіміз керек.

8. Теріс болмаған функциялар қатынасының шегі туралы теорема.

Егер да аралығында теріс болмайтын , функциялар
қатынасының шегі

болып, болса,онда

,

интегралдары бір мезетте жинақты немесе жинақсыз болады.
Осы теореманың шартында болса,қорытынды дұрыс емес болады.
Мысалы,

,,

болсын.Онда

болады.Сонымен бірге

жинақты, ал

жинақсыэ интеграл болады.

9. Дирихле белгісі жайында.

және функциялары аралығында төмендегі шарттарды
қанағаттандырсын:
1) функция аралығында үзіліссіз және оның осы аралықта
алғашқы функциясы шенелген;
2) функцияның аралығында үзіліссіз болатын туындысы
бар;
3)функция да кемімелі;
4).
Онда

интеграл жинақты болады.
Меншіксіз интегралдар үшін бұл теореманы Дирихле белгісі деп атайды.
Дирихле белгісінің барлық шарттары маңызға ие. Олардың біреуі орындалмаса,
меншіксіз интеграл жинақсыз болуы мүмкін.
Мысалы,

, ,

функциялары үшін 1) шарт орындалмайды,себебі функция шенелмеген. Бұл
жағдайда

жинақсыз интеграл болады.
Келесі

, ,

функциялары үшін 3) шарт орындалмайды және

жинақсыз интеграл болады. Себебі соңғы екі интегралдың біріншісі жинақсыз,
ал екіншісі Дирихле белгісі бойынша жинақты болады.
Ал

, ,

функциялары үшін 4) шарт орындалмайды және

жинақсыз болады. Себебі

жоқ.

10. Модулі бойынша жинақсыз, өзі жинақты меншіксіз интеграл.

Егер меншіксіз интеграл абсолют жинақты болса, онда интеграл жинақты
болатыны белгілі. Кері жағдай арқашанда орынды болмайды, яғни кейбір
функциялар үшін интеграл жинақты болып, абсолют жинақты болмайды. Мысалы
мына

интеграл Дирихле белгісі бойынша жинақты , бірақ

болғандығы үшін осы параграфтағы 9 мысалға сәйкес жинақсыз болады.
Ескертіп өтетін жай, меншікті интегралдар үшін бүл қорытынды өзгеше болады.
5. мысалда келтірілген функцияның абсолют мәні интегралданатын болып,
функцияның өзі кесіндіде интегралданбайды.

11. Меншіксіз интеграл астындағы функцияның шексіздіктегі шегі туралы.

Көп жағдайларда

интегралдар жинақты болып, интеграл астындағы функция да нолге
ұмтылады. Бірақ жалпы жағдайда үшін мұндай қасиет орынды болуы шарт
емес. Мысалы,

Мұндағы , алмастырулары орындалған. Бұл интеграл Дирихле белгісі
бойынша жинақты болады. Сонымен қатар функциясының да шегі жоқ.
Сондай-ақ, кейбір шенелмеген функциялар үшін де

жинақты болуы мүмкін (мұндай мысалды қатарлар көмегімен көрсету мүмкін).

12. Функциялар көбейтіндісінің меншіксіз интегралы туралы.

Егер

1) ,

интегралдар жинақты болса,

жинақсыз болуы мүмкін. Мысалы,

,

үшін

интегралы жинақты, бірақ

интеграл 9. мысалға сәйкес жинақсыз интеграл болады;
2) , интегралдар жинақсыз болса,

жинақты болуы мүмкін. Мысалы,

,

интегралдар жинақсыз болса да

интеграл Дирихле белгісі бойынша жинақты болады;

3) , жинақты болып, функция шенелген болса,

жинақсыз болуы мүмкін. Мысалы,

үшін

жинақты және да функция шенелген болады.Сонымен бірге

жинақсыз интеграл.
Бірақ

интеграл абсолют жинақты болса,онда - ның да шенелгендігінен

жинақтылығы келіп шығады.

13. Шекарасы шексіз меншіксіз интеграл мен шенелмеген функциясының
меншіксіз интегралы арасындағы байланыс.

Жоғарыда қарастырылған барлық мысалдар шекарасы шексіз меншіксіз
интегралдарға тиісті мысалдар болатын. Осыған ұқсас мысалдарды шенелмеген
функцияның меншіксіз интегралы үшін де келтіру мүмкін. Бұл екі түрдегі
меншіксіз интегралдар арасында қарапайым ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.