Математикалық талдаудың тура және кері есептері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 82 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ

ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

А. Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті

Қорғауға жіберілді

Д И П Л О М Д Ы Қ Ж Ұ М Ы С

НАБИШЕВ ДИЛМУРАТ МУХАМАТСАЛИЕВИЧ

Жаратылыстану факультетінің 4-курс

ЖМА-912 тобының студенті

ТАҚЫРЫБЫ: МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУДЫҢ ТУРА ЖӘНЕ КЕРІ ЕСЕПТЕРІ

Ғылыми жетекшісі:

ф. -м. ғ. д. Турметов Б. Х.

Түркістан - 2013 жыл

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

А. Ясауи атындағы халықаралық қазақ-түрік университеті

Математика кафедрасы

«Қорғауға жіберілді»

Кафедра меңгерушісі

профессор Ә. С. Мұратов

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Математикалық талдаудың тура және кері есептері

5В060100 - « Математика» мамандығы бойынша

Орындаған Набишев Д. М.

Ғылыми жетекшісі

ф. м. ғ. д., аға оқытушы Турметов Б. Х.

Түркістан 2013

Мазмұны

Кіріспе . . .

Кіріспе. . .: 1.

3: Бір аргументке тәуелді функциялар теориясының кері есептері . .

Кіріспе. . .: 1. 1

3: Функция қасиеттері туралы кері теоремалар . . .

Кіріспе. . .: 1. 2

3: Функцияның шегі және үзіліссіздігі . . .

Кіріспе. . .: 1. 3

3: Функцияның туындысы . . .

Кіріспе. . .: 1. 4

3: Математикалық талдаудың интегралдау теориясымен байланысты кері есептері . . .

Кіріспе. . .: 2.

3: Көп айнымалы функциялар теориясының кері есептері . . .

Кіріспе. . .: 2. 1

3: Көп айнымалы функциялар, олардың шегі, үзіліссіздігі . . .

Кіріспе. . .: 2. 2

3: Көп айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеуі . . .

Кіріспе. . .: 2. 3

3: Еселі және қисық сызықты интегралдар туралы кері есептер . . .

Кіріспе. . .:

Кіріспе. . .: 3.

Математикалық талдаудың кейбір күрделі қасиеттерге

ие болған функцияларын құру . . .

Кіріспе. . .: 3. 1

3: Нақты сандар жиынының бар жерінде дерлік тығыз болған жиында туындысы жоқ болған функция . . .

Кіріспе. . .: 3. 2

3: Фрактал және бәр жерде үздіксіз, бірақ бірде-бір нүктесінде туындысы жоқ функция . . .

Кіріспе. . .: Қорытынды . . .

3: 79

Кіріспе. . .: Қолданылған әдебиеттер тізімі . . .

3: 80

Кіріспе

Зерттеу тақырыбынының көкейтестілігі. Математика саласында жазылатын мақалалар және монографияларда, студенттерге математикалық пәндер бойынша оқытылатын лекцияларда және өқулықтарда теориялық материалдарды толық түсінтіру үшін әдетте көптеген тура және кері мысалдар көрсетіледі [1-7] .

Олардың ішінде кері мысалдарды зерттеу өте маңызды болып табылады. Себебі мұндай мысалдар арқылы теориялық курстарда дәлелденген теоремалардың кейбір шарттары орындалмаған жағдайды зерттеу арқылы берілген шарттардың маңызыдлығын толығынан түсінуге болады. Математикалық талдау курсында оқытылатын тақырыптарға сәйкес кері мысалдар құру өте күрделі мәселе. Сол себептен бұл дипломдық жұмыста осы тақырпқа тиісті проблемалар қарастырылады.

Дипломдық жұмыста негізгі мақсаты бір және көп аргументке тәуелді функциялар теориясының кері мысалдарын қарастыру. Математикалық талдаудың осы тақырыптарға тиісті негізгі теоремаларын талдау жасау, берілген шарттары орындалмаған жағдайларға сәйкес кері мысалдар құру болып табылады.

Сондай-ақ жұмыста қарапайым қасиеттерге ие болған кұрделі функцияларды құру мысалдарыда келтіріледі.

Дипломдық жұмстың құрылымы :

Жұмыс Кіріспе, 9 параграфқа бөлінген 3 тарау, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен турады.

Бірінші тарауда бір аргументке тәуелді функциялардың қасиеттеріне байланысты кері мысалдар келтіріледі. Мұнда функция қасиеттері туралы кері теоремалар, функцияның шегі және үзілісіздігі, функцияның туындысы және интегралдау теориясымен байланысты кері есептері сияқты тақырыптар қамтылған.

Екінші тарауда көп аргументке тәуелді функцияларды зерттеуге арналған кері мысалдар қарастырылады. Мұнда көп айнымалы функциялар, олардың шегі, үзіліссіздігі көп айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеуі, еселі және қисық сызықты интегралдар туралы кері есептер сияқты тақырыптарға сәйкес келетін мысалдар көрсетілген.

Үшінші тарауда кұрделі функцияларды құру мысалдары көрсетілген.

1 Бір аргументке тәуелді функциялар теориясының кері теоремалары

1. 1 Функция қасиеттері туралы кері теоремалар

1. Әрі жұп, әрі тақ болған функция.

Функцияның зерттеу барысында біз оның жұп, тақ немесе жұпта емес тақта емес болатынын білеміз. Бірақ, бір уақытта жұпта, тақта болатын функция да бар болатынын көрсетейік.

функциясы үшін

_, _,

теңсіздіктері орындалатыны белгілі. Демек _, функция әрі жұп, әрі тақ болады. Мұндай қасиеттке ие болған басқа функция жоқ. Шындығында да, егер симметриялы Е жиынында берілген үшін

_{Equation. 3,} _{Equation. 3,} _{Equation. 3}

болса, онда

_{Equation. 3,} немесе _{Equation. 3} _{Equation. 3}

болады.

2. Монотонды функциялардың қосындысы монотонды функция болмаған жағдайға мысал .

Егер функциялары бір уақытта монотон өспелі немесе монотон кемімелі болса, олардың қосындысы да монотонды болама деген сұраққа жауап берейік.

Айталық,

_, _, _,

болсын. Алдымен функциясының монотонды екендігін көрсетейік. Барлық үшін теңсіздігі орынды (бұл теңсіздіктің орынды болатынын функциялардың графиктарынан байқаса болады) .

Олай болса, кез келген нүктелері үшін

қатынастың орынды болатынын байқаймыз. Соңғы теңсіздіктен

немесе

Сонда, кез келген нүктелері үшін болатынын көреміз. өспелі функция. Осыған ұқсас функциясыныңда монотонды (кемімелі) екендігін көрсету мүмкін. Бірақ олардың қосындысы функциясы монотондылық қасиетке ие емес.

3. Ең кіші оң периоды болмайтын периодты функция.

Equation. 3

Дирихле функциясын қарастырайық. Кез-келген рационал сан бұл функцияның периоды болады. Шынында да, Equation. 3 болса,

Equation. 3

тепе-теңдіктер орынды болады. Демек, барлық , үшін , теңдігі орындалады және саны Дирихле функциясының периоды болады. Сондықтан бұл функция периодты, бірақ ең кіші оң периоды жоқ.

4. Периодты функциялардың қосындысы периодтты функция болмайтын жағдайға мысал.

Equation. 3 Equation. 3

болсын. Equation. 3 функциясының периоды Equation. 3, Equation. 3 функциясының периоды Equation. 3 тең. саны функциясының периоды деп есептейік. Бұл жағдайда барлық үшін төмендегі теңдіктер орындалады:

Егер деп алсақ, соңғы теңдіктің сол жағы 0 ге тең және осыдан

болады.

Демек,

. (1)

Енді деп алсақ, яғни болса, теңдіктің оң жағы 0 ге тең және болады. Осыдан

(2)

(1) және (2) теңдіктерге сәйкес болады. Бірақ, иррационал сан. Сол себептен санын түрінде жазуға болмайды. Демек, функциясы периодты болмайды.

5. Анықталу облысының барлық нүктелері маңайында шектелмеген функция.

Төмендегі функцияны қарастырамыз.

Кез келген нүктені аламыз. Егер функциясы қандайда бір аралықта шенелген болсаа, онда осы аралықта барлық түріндегі бөлшектердің бөлімдері шектелген және осыдан бөлшектердің алымдарыда шенелгендігі шығады. Нәтижеде аралығында рационал болған бөлшектердің саны шектеулі болады. Мұндай қорытынды рационал сандар жиынының кез-келген аралықта тығыз болуы қасиетіне қайшы.

1. 2 Функцияның шегі және үзілісіздігі

1. Шексіз және шенелген болып, шегі жоқ тізбектер.

Төмендегі тізбекті қарастырамыз:

Мұнда тақ орындарда орналасқан элементтер , жұп орындарда орналасқан элементтер , формулалар арқылы өрнектелген. Көріп тұрғанымыздай, мұндай тізбек шенелмеген және шегі жоқ екені анық. Сонымен бірге 0 және 1 сандары оның дербес шектері болады.

2. Бірі біріне орналасқан сегменттер тізбегі туралы.

Мынадай сегменттер тізбегі берілген болсын.

Егер

қатынастар орынды және

болса, онда мұндай тізбектер бірі біріне орналасқан сегменттер тізбегі деп аталады.

Бірі біріне орналасқан сегменттер теоремасы бойынша сегменттердің бір ғана ортақ нүктесі болады. Жоғарыда енгізілген шек әрқашан бар болады себебі тізбегі кемімелі және төменнен 0 -мен шенелген.

Егер

деп жорысақ, онда сегменттердің қиылысуының ұзындығы -ға тең сегмент болады.

Егер сегменттердің орнына бірі біріне орналасқан интервалдарды алсақ, жоғарыдағы теорема орынды болмайды. Шынында да,

, ,

болсын. Бұл жағдайда интервалдардыдың қиылысуы бос жиыннан тұрады.

3. Шенелмеген болып, шексіз үлкен болмаған тізбек.

тізбегі үшін , болғанда , егер . Демек, берілген тізбек шенелмеген болады. Бұл тізбек шексіз үлкен болуы үшін да -дер үшін теңсіздігі орынды болуы керек екені белгілі. Бірақ, , тақ сандар үшін

егер .

Демек, берілген тізбек шексіз үлкен емес.

4. Анықталу облысының кез-келген нүктесінде шегі болмайтын функция.

Жоғарыда қарастырылған

Equation. 3

Дирихле функциясын аламыз. Кез-келген нүктесі жиынының да, жиынының да шек нүктесі болады және

Демек, Дирихле функциясы шегінің жалғыздығы туралы қасиетке сүйеніп ешбір нүктеде шекке ие емес.

5. Салыстыру мүмкін болмаған шексіз аз функциялар

, , да шексіз аз болады, яғни

Олардың 0 -ге ұмтылу жылдамдықтарын салыстырамыз,

болады. да функциясының шегі жоқ, себебі үшін да , , бірақ , үшін , . Демек, шек болмайды, яғни және функцияларын салыстыру мүмкін емес.

6. Анықталу облысының барлық нүктелерінде үзіліске ие болған функция.

Equation. 3

Дирихле функциясы кез келген нүктеде үзіліске ие болады.

7. Анықталу облысының бір ғана нүктесінде үзіліссіз болған функция.

болсын. Егер болса, онда

Демек, кез-келген нүктеде функция үзіліске ие болады.

Егер болса, және

, , теңсіздігінен

келіп шығады. Мұнда деп алсақ жеткілікті. Демек,

, яғни функция нүктесінде үзіліссіз.

8. , , қатынастарды қанағаттандыратын үзіліссіз күрделі функция.

болсын. Бұл жағдайда үзіліссіз функция болады.

, екені белгілі, бірақ

Келтірілген кері мысалдың бар болуы функция үшін

шартының жетіспегендігінен келіп шығады. Екінші жағынан, күрделі функцияның үзіліссіздігі туралы теореманы ескерсек, берілген қатыстарда функцияның нүктедегі, яғни мысалды алсақ дегі үзіліссіздік шарты жетіспейді.

9. К. Вейерштрасс теоремасы туралы.

функциясы кесіндіде үзіліссізболса, ол осы кесіндіде шенелген және өзінің ең жоғары және ең төменгі шегіне жететіндігі белгілі.

Теоремадағы кесінді және функциясының үзіліксіздігі маңызға ие. Сондай-ақ, функция да үзіліссіз, бірақ шенелмеген болады. Сонымен қатар, функция да үзіліссіз болып,

мәндерін да қабылдай алмайды. Төмендегі

функциясы кесіндіде берілген болып, да үзіліске ие

Бұл функция

мәнін Equation. 3 да қабылдай алмайды.

10. Больцано-Коши теоремасы туралы.

функциясы кесіндіде үзіліссіз болып, , болса, онда да ең болмағанда бір нүктесі табылып, болады және қанағаттандыратын үшін табылып, болатындығы белгілі.

Егер функциясы үзіліссіз болмаса, теореманың қортындысы дұрыс емес болуы мүмкін. Мысалы,

функция кесіндіде берілген болып, де үзіліске ие. аралығында теңдігін қанағаттандыратын нүктесі де теңсіздігін қанағаттандыратын үшін қайсыбір ( болатын) нүкте жоқ екендігі айқын.

11. Бірқалыпты үзіліссіз функциялардың көбейтіндісі бірқалыпты үзіліссіз функция болмайтын жағдайға мысал.

, ,

болсын. функция бірқалыпты үзіліссіз болуы белгілі. функциясы үшін , қатынасы орынды. Осыдан деп алсақ, онда функциясы да бірқалыпты үзіліссіз болады. Функциялардың көбейтіндісі үшін төмендегі екі тізбекті аламыз:

, , ,

екені белгілі, бірақ

Демек, бірқалыпты үзіліссіз функция емес.

Функциялардың анықталу аймағы және функция шенелмегендігі мұндай кері мысалдың шығуының себебі болады. Бірқалыпты үзіліссіз функция лар қосындысы әрқашанда бірқалыпты үзіліссіз функция болатынын айтып өту керек.

12. Кантор теоремасы туралы.

кесіндіде үзіліссіз болған функция бірқалыпты үзіліссіз болатыны белгілі. Егер кесіндінің орнына интервалын алсақ, теореманың қортындысы дұрыс емес болуы мүмкін. Мысалы,

болсын. функция да үзіліссіз. Ол бірқалыпты үзіліссіз болсын деп ойлайық, яғни

, ( ), ,

және дан болады. Біз , , деп алуымыз мүмкін, себебі

Бұл жағдайда болады. Бұл теңсіздік ойлағанымызға қайшы, сондықтан функция бірқалыпты үзіліссіз болмайды.

1. 3. Функцияның туындысы

1. Функцияның үзіліссіз болуы үшін туындының бар болуының қажет еместігі.

Функцияның үзіліссіз болуы үшін туындының бар болуы тек жеткілікті шарт болып, функция бірер нүктеде үзіліссіз болса, ол осы нүктеде туындыға ие болмауы да мүмкін. Мысалы, , функция нүктеде үзіліссіз, бірақ

яғни қатынасының ғы шегі жоқ. Демек, да функцияның туындысы жоқ.

2. Үзіліссіз және дифференциалданатын болып, туындысы үзілісті болған функция.

Мына

функцияны қарастырайық. нүктелерде функцияның туындысы бар екендігі белгілі:

нүктесінде

Демек, функция барлық нүктелерде туындыға ие және оның туындысы

функция нүктелерде үзіліссіз болады, ал нүктесінде үзіліске ие. Шынында да,

шек жоқ. Себебі нүктелерін таңдап алсақ, онда

Соңғы тізбектің шегі болмайды.

3. Туындысы жұп функция болған жұпта емес және тақта емес функция.

Әдетте функция жұп немесе тақ болса, оның туындысы керісінше тақ немесе жұп болады . Ал жұпта емес, тақта емес функция берілсе жағдай қандай болады деген сұрақ туындайды.

функциясы жұпта немесе тақта емес. Ал оның туындысы жұп функция болады.

4. нүктеде туындысы шексіз болған үзіліссіз функция.

1 мысалға байланысты функция нүктесінде үзіліссіз, бірақ туындысы болмайды. Енді де үзіліссіз және туындысы шексіз болған функцияға мысал келтіреміз.

болсын. нүктесінде функция үзіліссіз болады (оң жағынан) . Сонымен бірге

яғни нүктесінде функцияның туындысы (оң жағынан) бар және шексіз болады.

Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремалары және қолданылуы

Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремаларын келтірейік .

Теорема ( Ферма) . функциясы - де анықталып және осы маңайда өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдасын. Егер бар болса, онда теңдігі орындалады.

Теорема ( Ролль) . функциясы

1. сегментінде үзіліссіз;

2. интервалында дифференциалдансын;

3. болсын, онда :

теңдігі орындалады.

Теорема ( Лагранж ) . функциясы

1. сегментінде үзіліссіз;

2. интервалында дифференциалдансын, онда

теңдігі орындалады.

Теорема ( Коши ) . және функциялары

1. сегментінде үзіліссіз;

2. интервалында дифференциалдансын;

3. , болса, онда :

теңдігі орындалады.

5. Ферма теоремасы жайында.

Егер функция аралығында анықталған және қайсыбір ішкі нүктесінде ең үлкен (ең кіші) мәнге ие болса және осы нүктеде ақырлы туындысы бар болса, онда болады. Бұл нәтиже Ферма теоремасынан келіп шығады.

Кері теорема орынды емес, яғни функциясының қайсыбір ішкі нүктесіндегі туындысы болсада, бұл нүктеде функция ең үлкен (ең кіші) мәніне ие болмауы мүмкін. Мысалы, , аралығында анықталған болсын. Бұл функция үшін, нүктесінде болады. Бірақ, функцияның бұл нүктедегі мәні оның аралығындағы ең үлкен немесе ең кіші мәні болмайды.

6. Ролл теоремасы жайында.

Егер Equation. 3 функция Equation. 3 кесіндіде берілген болып,

1) аралығында үзіліссіз;

2) аралығында дифференциалданатын;

3) болса,

онда аралығында оның туындысы нолге тең болатын кем дегенде бір нүкте табылады (яғни , ) . Ролл теоремасындағы 1) - 3) шартардың біреуі орындалмаса, онда бұл функцияның туындысының мәні үшін нолге тең болмауы мүмкін. Бірақ, барлық шарттар орындалмаған жағдайда да аралығында туынды 0 ге тең болатын нүктелер бар болуыда мүмкін, яғни теоремада берілген шарттар жеткілікті болып, қажетті емес.

Мысалы,

болсын. Бұл функция үшін Ролл теоремасында көрсетілген 2) және 3) -ші шарттар орындалып, 1) -ші шарт, яғни үзіліссіздік шарты орындалмайды. Сонымен бірге функциясының туындысы аралығында нолге тең емес;

Келесі

функция үшін 2) -ші шарт орындалмайды ( де туындысы жоқ) және аралықта теңдігін қанағаттандыратын нүкте жоқ;

Егер

болса, бұл функция үшін теореманың 3) -ші шарты орындалмайды ( ) және үшін болады.

Келесі

функция үшін Ролл теоремасының барлық шарттар орындалмайды, бірақ аралығының кез-келген нүктесінде болады.

7. Лагранж теоремасы жайында.

Егер функция кесіндіде үзіліссіз және аралығында дифференциалданатын болса, аралығында кем дегенде бір нүкте табылып, төмендегі теңдік орынды болады:

Бұл нәтижені Лагранж теоремасы деп атайды.

Бұл теорема нақты мәнді функциялар үшін орынды. Шынында да функциясының мәндері комплекс сандар болсын деп есептейік.

Мысалы,

болсын.

Бұл жағдайда Лагранж теоремасының шарттары орындалып, қорытындысы дұрыс емес болады. Шынында да,

теңдігінен яғни келіп шығады. Соңғы теңдік бір мезгілде , болғанда ғана орындалады. Ал бұл нәтиже негізгі тригонометриялық тепе теңдікке қайшы болған қорытынды.

Лагранж теоремасындағы шарттардың біреуі орындалмаса, теореманың қорытындысы дұрыс болмауы мүмкін.

Мысалы,

функция да үзіліссіз болып, нүктеде туындысы болмайды.

Сонымен бірге

теңдік, яғни теңдік үшін орындалмайды.

8. Тейлор формуласы көмегімен e санының иррационалдығын дәлелдеу.

, функциясы үшін Тейлор формуласы төмендегі көріністе жазылатындығы белгілі:

Мұндағы , Лагранж формасындағы қалдық мүше деп аталады. Әдетте жоғарыдағы формуланы Маклорен формуласы деп те айтады.

Егер болса, төмендегі теңдікке ие боламыз:

- рационал сан болсын деп есептейік. болғандықтан натурал және болады. Демек,

(*)

Теңдіктің екі жағын -ға көбейтсек төмендегі теңдікті аламыз:

. (**)

Бұл жерде санын дан үлкен деп алуымыз мүмкін. Бұл жағдайда , болғандықтан

болады. Сондай-ақ, болғандықтан (*) теңдіктің сол жағы бүтін сан болады. (*) теңдіктің оң жағы (**) теңдікке сәйкес бірден кіші оң сан болады. Демек, санын рационал сан деп есептегеніміз қайшылыққа алып келеді. Сондықтан, саны рационал сан болады.

9. Лопитал ережесі жайында

Егер аралығында үзіліссіз және функциялары берілген болып,

1) Equation. 3 да Equation. 3 және Equation. 3 бар және Equation. 3 ;

2) Equation. 3

3) бар болса,

онда

болады.

Лопитал ережесінде түрдегі анықталмағандық беріліп, жоғарыдағы

1) -3) шарттар орындалса, функциялар туындысының қатынасынан шек алынып, берілген функциялар қатынасының шегі табылады. Берілген функциялар қатынасының шегі 3) шарт орындалмаса да бар болуы мүмкін, яғни 3) шарт жеткілікті болып, қажетті емес.

Мысалы,

функциялар аралығында 1), 2) шарттарды қанағаттандырады және

Бірақ,

шек жоқ.

10. Туындысы қайсыбір нүктеде оң болып, бұл нүктенің маңайында монотонды болмаған дифференциалданатын функция.

Егер функциясы қандайда бір аралықта дифференциалданатын және монотонды өспелі (кемімелі) болса, онда болады.

Кері теорема орынды емес, яғни болса функциясы монотонды болуы шарт емес. Мысалы

болсын. функциясы барлық нүктелерде туындыға ие және

Демек, болады. Төмендегі

нүктелерде туындының мәндерін есептейміз:

Демек, функциясы, нүктенің маңайында әрі оң, әрі теріс мәндерді қабылдайды. Осыдан функциясының өзі -дің маңайында туындысы бар, бірақ монотон функция еместігі келіп шығады.

11. Дифференциалданатын және шенелген болып, туындысы шенелмеген функция.

функциясы кесіндіде төмендегі шекті туындыға ие

функциясы кесіндіде шенелмеген болады. Шынында да, нүктенің маңайында , нүктелерде

12. Күдікті нүктеде экстремумға ие болмаған функция.

Анықтама. Егер ( ), теңсіздігі орындалса, онда функциясының максимум (минимум) нүктесі деп аталады.

Функцияның максимум және минимум нүктелерін функцияның экстремумдары деп атайды.

Теорема. (экстремумның қажетті шарты) .

Егер нүктесі функциясының экстремум нүктесі болса, онда нүктесінде туындысы жоқ немесе .

болатын нүктелерді күдікті нүктелер деп атаймыз.

Берілген функция күдікті нүктелерде максимал немесе минимал мәндеріне ие болу шарт емес.

Мысалы,

функция үшін , және күдікті нүкте болады. Бірақ, нүктенің қайсыбір маңайында шама бұл функцияның ең кіші немесе ең үлкен мәні болмайды. Бұл нүктенің кез-келген маңайында функцияның нолден кіші және нолден үлкен мәндері қалауынша табылады.

13. Экстремум нүктенің қайсыбір жағының маңайында туындысының таңбасы сақталмайтын дифференциалданатын функция.

функция де оң мәндерді қабылдайды. Сондықтан мәні оның экстремум(минимумы) болады. Бұл функцияның туындысы

нүктенің кез-келген маңайында әрі оң, әрі теріс мәндерді қабылдайды. Шынында да, лар үшін

Демек,

Equation. 3, егер Equation. 3, Equation. 3 - жұп сан.

Equation. 3, егер Equation. 3, Equation. 3 -тақ сан

болса. Осыдан функция -дің оң жақ маңайында монотонды бола алмайтындығынан келіп шығады. Осыған ұқсас - дің сол жақ маңайында да функциясының туындысының таңбасы сақталмайды және монотонды болмайды.

14. Күдікті нүктенің сол жағынан оң жағына өткенде туындысының таңбасы “ - ” тан “ +” ке өзгерседе бұл нүкте максимум нүктесі болатын функция.

функция үшін Equation. 3 экстремум(максимум) нүктесі болады. Шынында да, интервалының нүктелері үшін теңсіздігі орынды болады. Демек, максимум нүктесі болады. Сонымен қатар

, егер

болса, яғни ден солдан оңға өткенде туындының таңбасы минустан плюске өзгереді.

функция кризистік нүктеде үзіліссіз болса, туындысының таңбасы минустан плюске өзгергенінен осы нүкте үшін минимум нүкте болатындығын атап өтуіміз керек.

15. Экстремум нүктенің сол жағынан оң жағына өткенде туындысының таңбасы өзгермейтін функция.

функция үшін экстремум (минимум) нүкте болады. Шынында да,

-нің маңайындағы барлық нүктелер үшін

теңсіздігі орынды болады. Сонымен қатар және нүктелер үшін , яғни туынды таңбасын өзгертпейді. Осындай кері мысалдың пайда болуына функция нүктеде үзіліссіз болмайтындығы себеп болады.