Вариациялық есептерді MATLAB жүйесінде шешудің алгоритмдері

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Қожа Ахмет Ясауи атындағы халықаралық қазақ-түрік университеті

Математика кафедрасы

«Қорғауға жіберілді»

Кафедра меңгерушісі

профессор Ә. С. Мұратов

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Вариациялық есептерді MATLAB жүйесінде шешудің

алгоритмдері

5В060100 - «Математика» мамандығы бойынша

Орындаған Бейсенбаева А. А.

Ғылыми жетекшісі

тех. ғ. к., доцент Айтбаев Қ.

Түркістан 2013

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ

Жаратылыстану ғылымының табиғатты, қоршаған ортада жүріп жататын табиғи процестерді зерттеуде бүгінгі таңда қол жеткен табыстары ұшан-теңіз. Аталған процестердің басым көпшілігін дифференциалдық теңдеулермен сипаттауға болады. Бұл теңдеулер процесті басқаратын негізгі тәуелсіз айнымалылар санына қарай кәдімгі дифференциалдық, немесе дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер деп екі үлкен топқа бөлінеді. Шекаралық және бастапқы шарттармен толықтырылған бұл теңдеулерді шешу арқылы қарастырылып отырған процестің даму заңдылығы анықталады.

Зерттеліп отырған процесс неғұрлым күрделі болған сайын зерттеушінің алдында адамзат баласының осы күнге дейін қол жеткізген ғылыми жетістіктерін игеру міндеті тұрады. Мұндай жетістіктер күн өткен сайын ұлғайып бара жатқандықтан, зерттеу процесінің кейбір бөлігін, атап айтқанда математикалық аппараттың жиі қолданыста болатын үйреншілікті бөліктерін автоматтыру қажеттілігі туындайды. Дипломдық жұмыста қарастырылатын вариациялық есептерді MATLAB жүйесінде шешу алгоритмдері тақырыбының өзектілігі осындай қажеттілікпен негізделген.

Көптеген жағдайларда қоршаған ортада үздіксіз жүріп жататын табиғи процестерді сипаттайтын дифференциалдық теңдеулердің шешімін тікелей аналитикалық әдіспен шешу оңайға түспейді. Мұндай кезде процесті сипаттайтын интегралдық шамалар зерттеледі. Бұл интегралдық шамаларды функционал деп атайды. Вариациялық есептеулер пәнінде дәлелденгендей, нақты процесті сипаттайтын дифференциалдық теңдеудің шешімі осы процесс аумағында құрастырылатын функционалға экстремум береді. Олай болса, дифференциалдық теңдеуді шешу есебін функционалға минимум беретін функцияны іздеу есебімен айырбастауға болады. Кез келген процесс өзінің даму барысында көптеген өзгерістерге ұшырай отырып, соңында тұрақты, стационар күйге тоқталады. Осы кезде процестің даму барысында жинақталатын кейбір параметрлер өздерінің минималдық, немесе максималдық шамасына жетеді. Мысалы, жылу таралу процесіндегі денеде жинақталатын жылу мөлшері, тұтас дененің деформациялануы кезінде жинақталатын потенциалдық энергия мөлшері және т. б. стационарлық күй кезінде өздерінің минимумына жетеді. Бұл параметрлер интегралдық шамалар болып келеді, және олардың мөлшерлері процесті сипаттайтын функцияның түрімен, бастапқы және шекаралық шарттармен бірегей анықталады. Демек, енді функционалға минимум беретін осы функцияларды анықтаса жеткілікті. Бұл функциялар экстремалдар деп аталады және оларды анықтау вариациялық есептеулер пәнінің негізгі мақсаты болады.

Процесс өзінің стационар күйіне жақындаған кезде функционал арқылы сипатталатын жоғарыда аталып өткен параметрлер өздерінің өзгеруін баяулатып, процесс стационар күйге жеткен кезде өзгеруін мүлде тоқтатады. Математика тілінде мұны параметрдің вариациясы нолге теңеседі деп айтады. Сонымен, экстремалдарды іздеу дегеніміз функционалдың вариациясының нолге теңесуін сипаттайтын теңдеуді шешу есебі болып шығады. Алғашында Эйлер бастап, соңынан Пуассон, Остроградский және т. б. жалғастырған зерттеулер нәтижесінде экстремумды іздеу есебінің кәдімгі дифференциалдық, немесе дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді шешуді талап ететінін көреміз.

Кәзіргі таңда дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерінен мол тәжірибе жинақталған. Егер кәдімгі, немесе дербес туындылы диференциалдық теңдеуді аналитикалық әдіспен шешу қиындық тудыратын болса, онда оны жуықтап, сандық әдіспен шешуге болады. Әрине, сандық әдістерді қолдану белгілі бір программалау тілінде жазылған есептеу программасын құруды, және оны компьютерде жүзеге асыруды талап етеді.

Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен тұратын негізгі мәтіннен, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Жұмыстың бірінші бөлімі жоғары деңгейлі MATLAB программалау жүйесінің мүмкіндіктерін талдаудан басталады. Жүйенің тек нақты сандармен жұмыс істеуге арналған негізгі бөлігі мен символдық математикаға арналған екінші, қосымша бөлігінің мүмкіндіктеріне нақты мысалдар арқылы сараптама жасалынған. Бөлімнің екінші жартысында вариациялық қисаптар ғылымында қарастырылатын негізгі есептерді MATLAB жүйесінде шешу алгоритмдері келтірілген, және оларды компьютерде жүзеге асыру үшін құрылатын есептеу программаларының жұмысына толық түсініктеме берілген.

Дипломдық жұмыстың екінші бөлімінде жоғарыда қарастырылған есептердің MATLAB жүйесіндегі программалары келтірілген және олардың жұмысы нақты мысалдармен көрсетілген. Әрбір мысал соңында графикалық материалдармен толықтырылған. MATLAB жүйесінің мүмкіндіктері нақты мысалдар негізінде баяндалған. Дипломдық жұмыстың соңында қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімі келтірілген.

1 ВАРИАЦИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ MATLAB ЖҮЙЕСІНДЕ

ШЕШУДІҢ АЛГОРИТМДЕРІ

1. 1 MATLAB ЖҮЙЕСІНІҢ НЕГІЗГІ БӨЛІГІНЕ ҚЫСҚАША ШОЛУ

Жоғары деңгейлі MATLAB программалау жүйесі шартты түрде екі бөліктен тұрады. Оның бірінші, негізгі бөлігі барлық программалау жүйелерінде қарастырылатын есептеу мүмкіндіктерін сипаттауға арналған. Бөлікте программалау жүйесінің негізгі командалары, сандық мәндерді енгізу, немесе шығару жолдары, қарапайым алгоритмдар мен циклдарды құру, шартты операторларды қолдану жолдары, графикалық материалдар алу әдістері және т. б. келтіріледі. Бұл бөлімде енгізілетін шамалар сандық шамалар болады, және алынатын нәтижелер де сандық шамалар болады.

MATLAB программалау жүйесінің екінші бөлігі математикалық есептеулерді аналитикалық жолмен жүргізу әдістеріне арналған. Бөлік әрқашан өзгеріп, толықтырылып отыратын болғандықтан оны MATLAB программалау жүйесінің негізгі пакетінің толықтырылуы (расширение) деп атайды (ағылшын тілінде Symbolic Math Toolbox) .

Алдымен MATLAB программалау жүйесінің негізгі бөлігіне қысқаша шолу жасайық [1-5] .

MATLAB - матрицалық лаборатория - ғылыми-техникалық есептеулерге арналған ең үздік программалау жүйесінің бірі. Бұл жүйе қазіргі таңда есептеу математикасына, мәліметтерді өңдеуге, электрондық приборларды жобалауға, экономикаға және т. б. қолданбалы ғылым салаларына арналған бірнеше ондаған қосымшалармен толықтырылған.

MATLAB ең алдымен сандық алгоритмдерді программалауға арналған жүйе. Ол 1970 жылдары АҚШ-та жасалған қолданбалы LINPACK және EISPACK пакеттерінің негізінде пайда болды. MATLAB-тың пайда болуы қазіргі таңда үздік дамыған MathCad, MAPLE және Mathematica жүйелерінің өмірге келуіне себеп болды. MATLAB жүйесінің дамуына есептеу математикасының дамуы мен жеке компьютерлердің архитектурасының өзгерулері көп ықпал етті.

MATLAB - жоғары деңгейдегі программалау жүйесі. Оның құрамында барлық есептеулер түрлерін жүргізуге, мәліметтер қорымен жұмыс істеуге және ақпараттарды графикалық түрде өңдеуге арналған командалардың бай қоры бар. Бұл командалар жүйенің әртүрлі директорияларында орналасқан тақырыптық топтарға бөлінеді. Жүйеде 800-ге жуық командалар бар, олардың тең жартысына жуығы жүйемен жаңа танысып отырған қолданушыға түсінікті. Мүмкіндігі кеңірек командалар С тілінде жазылған. Бірақ, командалардың басым көпшілігі MATLAB жүйесінің тілінде. Сондықтан бұл жүйе қолданушы үшін әрқашан ашық. Жүйеде екі-, және үш өлшемді графиктермен жұмыс істеуге және жүйеде бар командаларды қолданып өз командаларын құруға зор мүмкіншілік бар. Сонымен қатар, С және Фортран тілінде жазылған программаларды MATLAB жүйесінде қолдануға болады.

Бұл жерде келтіріліп отырған мәліметтер жүйемен жаңадан танысуға және MATLAB жүйесінің мүмкіндіктерін зерттеуге арналған.

MATLAB жүйесін РС-де немесе Мас-та іске қосу үшін MATLAB-тың фирмалық суретін екі рет шертсе болғаны. MATLAB-ты UNIX жүйесінде іске қосу үшін операциялық жүйенің жұмыс терезесіндегі командалық қатарда matlab сөзін теру керек. MATLAB-тан шығу үшін командалар қатарында quit сөзін тереді.

MATLAB жүйесін игерудің ең оңай жолы - ол матрицалармен жұмыс істеуді үйрену. Себебі, MATLAB жүйесінің басқа жүйелерден негізгі ерекшелігі, бұл жүйеде барлық сандар әртүрлі реттегі матрицалар деп қарастырылады. Мысалы, тұрақты сан (1 1) өлшемді матрица деп, ал вектор бір бағанадан немесе бір қатардан тұратын матрица деп қарастырылады. Жалпы түрдегі матрица деп төртбұрышты сандар массивын алады. Жүйенің тағы бір ерекшелігі, басқа жүйелерде матрицаны сандар жинағы деп қарастыратын болса, мұнда матрицаларға жеке сан ретінде қарап, оларға арифметикалық операциялардың барлық түрлерін сан ретінде қолдана береді. Осы айтылғандарды ескеріп MATLAB жүйесінде қолданылатын операцияларды матрицалары енгізуден бастайық.

Матрицаны енгізудің бірнеше тәсілі бар:

• элементтердің толық тізімін беру;
• матрицаны сыртқы файлдардан көшіріп алу;
• жүйеде бар арнайы функциялар арқылы матрицаны есептеп шығу;
• өзіңіз құрған М-файлдағы функция арқылы матрицаны есептеп шығу.

Матрицаны тізіммен енгізу үшін мынадай негізгі ережелерді ұстану керек:

• элементтер өзара бос орын немесе үтір арқылы бөлінеді;
• әрбір қатардың соңы нүкте-үтірмен (; ) белгіленеді;
• матрицаның барлық элементтері квадрат жақшамен ( [ ] ) қоршалады.

Мысалы, сиқырлы матрица деп аталатын мынадай сандар массивын енгізейік:

A=[16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] .

Енгізілген матрица автоматты түрде MATLAB ортасында сақталады да,

оны кез келген уақытта А түрінде шақырып алуға болады.

Бұл матрицаның ерекшелігі, матрицаның кезкелген бағаналарының немесе кезкелген қатарларының элементтерінің қосындылары бірдей және ол 34 санына тең. Сонымен қатар, оның диагоналдарында орналасқан элементтердің қосындысы да 34 санына таң.

MATLAB енгізілген матрицаны былайша түрлендіреді:

А=

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Матрицаның бағаналарының элементтерінің қосындыларынан вектор-қатар құрайық. Ол үшін sum(A) командасын енгізсе жеткілікті. MATLAB мынадай нәтиже шығарады:

ans =

34 34 34 34

Егер алынатын нәтижеге алдынала арнайы идентификатор белгіленбесе, онда MATLAB оны автоматты түрде ans деп атап, келесі қатардан бастап нәтижені шығарып береді. Бұл жерде ans идентификаторы ansver -жауап деген сөзден қысқартылып алынған. MATLAB жүйесінде алдымен бағаналар қарастырылатын болғандықтан, берілген матрицаның қатарларының элементтерін есептеу үшін алдымен берілген матрицаны транспондап аламыз.

Матрицаны транспондау апостроф белгісімен іске асады.

A'

командасының көмегімен матрица транспондалады да, нәтижесі былайша басылып шығады:

ans =

16 5 9 4

3 10 6 15

2 11 7 14

13 8 12 1

Енді матрицаның қатарларының элементтерін есептеу үшін

Sum(A') '

командасын қолданамыз. Нәтижесі вектор-бағана ретінде алынады:

ans =

34

34

34

34

Матрицаның диагональдарының элементтерін есептеу үшін алдымен бас диагоналдың элементтерінен массив құрайық. Ол үшін diag командасын пайдаланамыз:

diag(A) =

16

10

7

1

Енді sum(diag(A) ) командасы диагоналдық элементтердің қосындысын береді:

ans =

34.

Осылайша біз матрицаларға қолданылатын бірнеше операцияларды игердік.

Енді MATLAB-та қолданылатын индекстермен танысайық. Матрицаның қатары i индексімен, бағанасы j индексімен жабдықталады да A(i, j) арқылы белгіленеді. Мысалы сиқырлы матрицаның төртінші бағанасының элементтерін есептеу үшін

A(1, 4) +A(2, 4) +A(3, 4) +A(4, 4)

командасын қолданып

ans=

34

мәнін аламыз. Бірақ бұл тәсіл тиімді емес. Мұндай жағдайда матрицаның бір ғана индексін өзгерту тәсілін пайдаланған жөн. Мысалы, A(1:k, j) операторы массивтың j -шы бағанасының элементтерін 1-ден k -ға дейін тізбектеп береді. Ал

sum(A(1:4, 4) )

командасы алдында қарастырылған төртінші бағананың элементерінің қосындысын есептеп береді. Бұл жерде қолданылған (:) -қос нүкте операциясының MATLAB жүйесіндегі маңызы зор. Мысалы, sum(A(:, end) ) командасы арқылы матрицаның соңғы бағанасының элементтерінің қосындысы алынады.

Басқа алгоритмдік тілдер сияқты нақты программа құру үшін MATLAB жүйесінде де математикалық сөйлемдер құрылады. Олардың құрамында

• айнымалылар;
• сандар;
• операторлар;
• функциялар

болады.

MATLAB жүйесінің тағы бір негізгі ерекшелігі ол айнымалылардың типін анықтауды қажет етпейді. Жаңадан кездескен айнымалыға MATLAB автоматты түрде өзінің жадынан орын бөледі, ал егер ол айнымалы бұрыннан бар болса, онда оның құрамын өзгертіп, қажет болса жадынан қосымша орын тағайындайды.

Айнымалылар әріптермен, цифрлармен және астын сызу символымен белгіленеді. MATLAB бас әріптермен кіші әріптерді бөліп қарайды. Мысалы, A мен a екі түрлі айнымалы.

MATLAB жүйесінде сандар ондық есептеу жүйесінде қарастырылады. Ондық дәреже e әріпімен көрсетіледі. Комплекс сандардың жорамал бөлігін белгілеуге i немесе j әріптері суффикс ретінде пайдаланылады. Төменде MATLAB жүйесінде сандардың дұрыс жазылуына мысалдар келтірілген:

3 -99 0. 0001

9. 6397238 1. 60210 e -20 6. 02252 e 23

1 i -3. 14159 j 3e5i .

Сандардың бәрі компьютердің жадында IEEE стандартымен анықталатын long форматымен сақталады. Жылжымалы нүктемен сипатталатын сандарда 16 мағыналы цифр болады да, олардың мәндері 10 ^-308 -ден 10 ³⁰⁸ -ге дейінгі диапазонда өзгереді.

MATLAB жүйесінде мынадай операторлар қолданылады:

+ қосу;

- алу;

* көбейту;

/ бөлу;

\ сол жақтан бөлу;

^ дәреже;

' дефис-транспондау белгісі;

() есептеу тәртібін көрсететін жақшалар.

MATLAB жүйесінде элементарлық математикалық функциялардың үлкен қоры бар. Мысалы, abs, sqrt, exp, sin және т. б. Жүйеде теріс сандардың квадрат түбірлері мен логарифдері де есептеліп, нетижесі комплкс сандар түрінде алынады. Сонымен қатар күрделі, Гамма функциясы мен Бессель функцияларының да стандартты командалары бар. Барлық математикалық функциялардың тізімін алу үшін

help elfun

командасын қолданса болғаны.

Бірнеше арнайы функциялар жиі қолданылатын константаларды береді:

pi 3. 14159265 . . .

i жорамал бірлік,

j мағынасы -мен бірдей

eps жылжымалы нүктелі санның салыстырмалы дәлдігі, 2 ^-52

realmin ең кіші жылжымалы нүктелі сан, 2 ^-1022

realmax ең үлкен жылжымалы нүктелі сан, 2 ¹⁰²³

Inf шексіздік

NaN сан емес дегенді көрсетеді. Бұл белгі 0/0 немесе Inf-Inf операцияларының математикалық мағынасы жоқ екені туралы ескертеді.

Бұл функциялардың мағыналарын қажетінше өзгертіп отыруға болады. Мысалы

eps=1. e-6 .

Функцияның бастапқы мәніне қайта оралу үшін

clear eps

командасы орындалады.

Матрицалармен жұмыс істеу

Матрицаларды жүйенің көмегімен де құруға болады. Ол үшін

• zeroбәрі ноль
• onesбәрі бір саны
• randкездейсоқ сандардың біркелкі таралуы
• randnкездейсоқ сандардың нормальды таралуы

командалары қолданылады. Соңғы екі команда математикалық статистика есептерінде қолданылатын болғандықтан оларға арнайы тоқталу қажет. Ал алдыңғы екі команда сандық қатар элементтерін өзара қосу, немесе көбейту операцияларында нәтиже жинақталатын матрицаларды тазалап алу үшін қолданылады.

Мысалдар келтірейік:

Z=zero(2, 4)

Z=

0 0 0 0

0 0 0 0

F=5*ones(3, 3)

F=

5 5 5

5 5 5

5 5 5

MATLAB жүйесінде сандардың массивынан тұратын матрица мәтіндік файл түрінде құрылады. Төртбұрышты кестенің элементтері өзара бос орын арқылы бөлінеді және матрицаның қатарларындағы элементтер саны бірдей болу керек. Мысалы MATLAB жүйесінің сыртында 4 қатардан тұратын мәтіндік файл құрайық:

16. 0 3. 0 2. 0 13. 0

5. 0 10. 0 11. 0 8. 0

9. 0 6. 0 7. 0 12. 0

4. 0 15. 0 14. 0 1. 0

Файлды magik. dat деген атпен сақтайық. Енді

load magik. dat

деген команда осы файлды оқып, берілген матрицадан тұратын magik деген айнымалыны құрады.

Енді М-файлдарды құруды бастайық. Төменгі дәрежедегі алгоритмдік тілдерде программа деп аталатын қосымшаны MATLAB жүйесінде М-файл деп атайды. Бұл жүйеде алғаш рет жұмысты бастағанда жүйеге кірген бетте мониторда MATLAB-тың командалық терезесі ашылады. Командалық терезенің командалық қатарында командалар теріліп, программаның жұмысын басқаруды ұйымдастырады. Сонымен қатар, қомандалық терезе арқылы программаның жұмысын бақылап отыруға болады. Бұл терезеде программаның қателерінің түрі, олардың программада орналасқан жері және т. б. көрсетіліп отырады және соңында программа жұмысының нәтижесі көрсетіледі. Ал программаның өзін жазу үшін командалар терезесінде File тізімін ашу керек. Тізімнен New командасы арқылы жаңа терезе ашылады. Бұл терезеде жазылатын программаның аталуы және сақталатын орыны сұралады. Бұл сұрақтарға жауап берілген соң мәтіндік редактор деп аталатын жаңа терезе ашылады. Осы терезеге бұдан кейін М-файл деп аталатын жаңа программаның мәтіні орналастырылады (жазылады) . М-файл компьютердің жадында программаның берілген атына . m кеңейту қосылып сақталады. Бұдан кейінгі жұмыс тек командалық терезе мен мәтіндік редактор арқылы орындалады. Мәтіндік редакторда программаны жазып болғаннан кейін редактордың бас жағында орналасқан Run командасы басылады. Бұл кезде командалық терезе ашылып, онда программаның қателері, немесе есептің нәтижесі шығады. Есептің нәтижесіне де . m кеңейту қосылып жаңа ат беріледі. Жаңадан құрылған М-файлды (программаны) келесі жолы ашу үшін мәтіндік редактордағы File тізімінің Open командасын басылып, пайда болған тізімнен ізделіп отырған М-файл ашылады. Енді М-файлға өзгертулер енгізе беруге болады. Командалық терезе мен мәтіндік редактор жұмыс столында бірінің астына бірі орналасады. Қажет терезені шерту арқылы оларды кезекпен ашып отырады. Программаға енгізілетін әрбір өзгерістен кейін File тізіміндегі Save немесе Save All командалары арқылы өзгертулерді жаттатып отыру керек. Мәтіндік редактордағы программаны дұрыстау барысында командалық терезеде көрінетін ақпараттардың көлемі өсіп кетіп, жұмыс істеуге кедергі жасайтын кезі жиі болады. Мұндай кезде командалық қатардағы >> символынан кейін clc командасын теріп Enter пернесін басу арқылы командалық терезені тазалауға болады. Бұл кезде компьютердің жадындағы ақпараттар жоғалып кетпейді. Олардың ішіндегі қажетті бөлігін бұрынғыша қайтадан командалық терезеге шығаруға болады.

Ақпарат ағымдарын басқару

MATLAB жүйесінде ақпараттар ағымын басқарудың бес түрі бар:

• ifоператоры
• switchоператоры
• forциклы
• whileциклы
• breakоператоры.

if операторы логикалық пікірді есептеп, нәтижесі ақиқат болса берілген операторлар тобын орындайды. Операторлар тобының құрамында қажет жағдайда қосымша шарттарды ескеретін elseif және else операторлары болуы мүмкін. if операторы end арнайы сөзімен аяқталады.

switch операторы case арнайы сөзімен бірге жұмыс істейді. switch операторында жақша ішінде арнайы тізім, логикалық шарт немесе есептеу алгоритмы орналасады. Жақшаның мәніне байланысты case орындалатын операторды (операторлар тобын) таңдайды. Нәтижесінде берілген шартқа сәйкес келетін алғашқы оператор (операторлар тобы) ғана орындалады. switch операторы end арнайы сөзімен аяқталады.

for циклы операторлар тобын берілген сан рет орындап шығуға арналған. Цикл end арнайы сөзімен аяқталады. Циклға мысал келтірейік:

for i=1:m

for j=1:n

H(i, j) =1/(i+j) ;

end

end

H

Циклдың ішінде орындалатын Н операторының соңында ; белгісі қойылмаса командалар терезесінде оператордың есептеу нәтижесі әрбір цикл үшін шығып отырады. Программаның соңындағы Н идентификаторы цикл жұмысын аяқтағаннан соң алынған нәтижені командалар терезесінен көрсету үшін жазылады. Егер бұл нәтиже қажет болмаса Н идентификаторынан кейін ; белгісін қояды, немесе Н белгісін жазбай кетеді. Программаның оқылуын жеңілдету үшін оның мәтінін жоғарыдағыдай сатылап орналастырған дұрыс.

while циклының орындалу саны логикалық шартпен анықталады. Төменде мысал ретінде while, if, else және end операторларының көмегімен жазылған полиномның түбірін қақ бөлу әдісімен анықтаудың программасы келтірілген.

a=0; fa=-Inf;

b=3; fb=Inf;

while b-a>eps*b

x=(a+b) /2;

fx=x^3-2*x-5;

if sign(fx) ==sign(fa)

a=x; fa=fx;

else

b=x; fb=fx;

end

end

x

Программаның жұмысы нәтижесінде x ³ -2x-5 полиномының

x=

2. 09455148154233

түбірі алынады.

break операторы for немесе while циклдарынан циклдың соңына жетпей шығып кетуге мүмкіндік береді. Егер программада бір бірінің ішінде орналасқан бірнеше цикл бар болса, онда break операторы тек өзі ішінде орналасқан циклдан ғана шығарады да, оның сыртындағы циклдың жұмысы жалғаса береді.

1. 2 Symbolic Math Toolbox ҚОСЫМША ПАКЕТІНІҢ КӨМЕГІМЕН

... жалғасы

ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІКТІҢ ТЕҢДЕУЛЕРІНІҢ КЕЙБІР БАСТАПҚЫ-ШЕКТІК ЕСЕПТЕРІН САНДЫҚ ӘДІСТЕРМЕН ШЕШУ

Жылуөткізгіштік теңдеуін нүктелік жылу көзін ескеріп шекті элементтер әдісімен шешу

Жер асты суларының ағысын эллипс текті теңдеу арқылы зерттеу

Тұтас денедегі температуралық өрістің қалыптасуына жылу өткізбейтін қабаттың әсерін зерттеу

Математиканы оқытуда ақпараттық коммуникациялық технологияларды қолдану теориясы мен әдістемесі

Эллипс тектес теңдеулерді шекті айырымдар және шекті элементтер әдістерімен шешудің мүмкіндіктерін зерттеу

Тор құрудың әдістері

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері

Жасанды интеллект және нейрондық желілер

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс