Бір айнымалысы бар сызықты теңдеу және оның қасиеттері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Жоспар

Теңдеу
Бір айнымалысы бар сызықты теңдеу және оның қасиеттері
Екі белгісізі бар сызықтық теңдеу және олардың шығарылуы
Біртекті жүйелер және оларға қолданылатын амалдар

Теңдеу

Құрамында әріппен белгіленген белгісізі (айнымалысы) бар теңдік теңдеу деп аталады. Мысалы, ; ; - теңдеулер. х - белгісіз (айнымалы) . Мұндай теңдеулерді бір белгісізі бар немесе бір айнымалысы бар теңдеулер деп атайды.

Теңдеудің оң жағы және сол жағы болады. Мысалы, теңдеуіндегі - теңдеудің сол жағы, ал 19-теңдеудің оң жағы. Теңдеудегі алгебралық қосылғыштардың әрқайсысы оның мүшелері деп аталады. 4 х ; 7; 19 - мүшелер. Мұндағы 4 х - белгісізі бар мүше, 7, 19 - бос мүшелер.

Теңдеумен берілген мысалдар мен есептерді шығарғанда, ондағы әріппен берілген белгісіздің немесе айнымалының сан мәнін табамыз. Демек, теңдеудің түбірін табамыз.

Белгісіз санның немесе айнымалының теңдеуді тура санды теңдікке айналдыратын мәні теңдеудің түбірі деп аталады.

Теңдеуді шешу дегеніміз - оның түбірлерін табу немесе түбірлерінің жоқ екенін дәлелдеу. Теңдеулерді шешкенде, кейде түбірлері бірдей болатын теңдеулерде кездеседі. Түбірлері бірдей болатын теңдеулерді мәндес теңдеулер деп атайды. Мысалы, теңдеуі мен және теңдеулері - мәндес теңдеулер. түбірлері бірдей: . Ескеретін жағдай, кейде теңдеудің түбірі болмайды. Түбірлері болмайтын теңдеулер де мәндес теңдеулер болып саналады.

Теңдеу - әрпі бар теңдік болғандықтан, теңдеудің қасиеттерін теңдіктің қасиеттеріне сүйеніп дәлелдейміз.

Теңдеулердің 1-қасиеті.

Теңдеудің екі жағына да бірдей санды немесе әріпті өрнекті қосқанда (азайтқанда) теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.

1-мысал.

- теңдеудің түбірі.

Мысалда теңдеулердің бұл қасиетін қолдану нәтижесінде 23 саны теңдеудің сол жағынан қарама-қарсы таңбамен оң жағына көшірілді. Онда теңдеулердің 1-қасиеті бойынша:

теңдеудегі қосылғыштың таңбасын қарама-қарсыға өзгертіп, оны теңдеудің бір жағынан екінші жағына көшіргенде теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.

Теңдеуді мұндай түрлендіруді енгізген ІХ ғасырдағы Орта Азия ғалымы Мұхаммед бен Мұса аль-Хорезми. «Алгебра» атауы оның «Китаб аль-джебр валь-мукабала» атты шығармасынан алынған. Теңдеулердің 2-қасиеті:

теңдеудің екі жағында нөлден өзге бірдей санға көбейткенде немесе бөлгенде теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.

2-мысал. Қысқаша:

2. Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу және

оның қасиеттері

(мұндағы ) түріндегі теңдеу бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу деп аталады.

1. Теңдеудің түбірлерін табу: S теңдеудің шешімдер жиыны болсын.

1) Егер болса, ,

2) Егер болса, теңдеудің шексіз шешімі болады.

3) Егер болса, теңдеудің шешімі болмайды .

2. Теңдеудің қасиеттері:

Теңдеудің екі бөлігіне де бірдей санды қосуға болады.

Теңдеудің екі бөлігінен бірдей санды азайтуға болады.

Теңдеудің екі бөлігінен бірдей санға көбейтуге болады.

Теңдеудің екі бөлігін нольден өзгеше санға бөлуге болады.

Теңдеудің екі бөлігін бірдей дәреже шығаруға болады.

7) және

Егер екі сан үшінші санға тең болса, онда бастапқы екі сан өзара тең болады.

3. Екі белгісізі бар сызықтық теңдеулер және

олардың шығарылуы

түріндегі теңдеу (мұндағы ) екі белгісізі бар сызықтық теңдеу деп аталады.

1) Теңдеулер жүйесін шешу:

а) Екі белгісізі бар теңдеудің шексіз көп шешімі болады.

б) Теңдеулер жүйесін шешкенде 3 түрлі жағдай болуы мүмкін:

1) Егер болса, бір шешімі болады,

2) Егер болса, шексіз көп шешімі болады,

3) Егер болса, теңдеулер жүйесінің шешімі болмайды.

Ескерту: Екі белгісізі бар сызықты теңдеуді түзумен кескіндеуге болады.

1-ші жағдайда түзулер қиылысады.

2-ші жағдайда түзулер беттеседі.

3-ші жағдайда түзулер параллель болады.

1- мысал: Теңдеуді шешіңіз .

Шешуі: - ке мән бере отырып y - тің сәйкес мәндерін таба аламыз. Шексіз шешімі болады.

2-мысал: Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі: 1-ші тәсіл (Ауыстыру тәсілі) :

Жауабы:

2-ші тәсіл (Қосу тәсілі) :

Жауабы:

3-мысал: Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі:

Жауабы:

Біртекті жүйелер және оларға қолданылатын амалдар

1-мысал. Мына жүйені шешіңдер

Шешуі: Ескерейік берілген жүйедегі шарты орындалуы керек. Негізгі шарттағы жүйеде екінші теңдікті қанағаттандырмайды. Бірінші теңдікті х ² -қа бөлеміз. Шыққан теңдік

немесе .

Ықшамдау үшін деп белгілейміз. Өрнек түрін өзгертеді . Бұл квадрат теңдеуге келеді, түбірлері: және . Солай бірінші белгілегенімізді аламыз, , не .

: Бұл жерден y=2x . екінші теңдіктен , х ₁ =1 ; х ₂ =1. у ₁ =1; у ₂ =1.

: Екіншісіде y=2x біріншісіне сәйкес: , , , .

Жүйенің бірінші теңдеуін осы теңдеуге енетін қосылғыштардың дәрежелері бірдейекіге тең болғандықтан түріндежазуға болады.

Әрқайсысы мүшесінің дәрежелері k - ға тең болатын х және у айнымалылы көпмүшелік k дәрежелі біртекті көпмүшелік деп аталады.

Егер Р(х, у) - k дәрежелі біртекті көпмүшелік болса, түріндегі теңдеу х және у -ке қатысты біртекті k дәрежелі теңдеудеп аталады. х және у -ке қатысты у ^k -ға бөлінетін (егер y=0 теңдеудің түбірі болмаса) біртекті теңдеу белгісізді теңдеуге түрленеді. Біртекті теңдеудің бұл қасиетінің көптеген мәселелерді шешуде маңызы зор.