Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесін талдау

КІРІСПЕ ... ...

1 Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесінің жалпы теориясы...
1.1 Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің түрлері. Қалыпты жүйе, оны жоғарғы ретті теңдеуге келтіру ... .
1.2 Қалыпты жүйенің векторлық түрде жазылуы. Қысатын бейнелеу қағидасын қолданып, Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болу туралы теореманы дәлелдеу..
1.3 Коши есебі шешімінің параметр мен бастапқы берілгендерден тәуелділігі ...
1.4 Қалыпты жүйенің интегралдары және олардың қасиеттері..
1.5 Дифференциалдық теңдеулердің симметриялық жүйесі ... ... ... ... ...

Есептер ... .

Қорытынды ... ...

Қолданылған әдебиеттер тізімі ... .

Көптеген процестердің математикалық түрі, ізделінетін белгісіз шама цифр емес, ал белгілі бір аргументке тәуелді функция ретінде берілетін теңдеумен өрнектеледі. Сонымен қатар, бұл функция өз туындысы және аргументімен байланысты болады. Бұндай теңдеулер дифференциалдық теңдеулер деп аталады. Дифференциалдық теңдеулер математикалық анализ жүргізуде үлкен роль атқарады.
Дифференциалдық теңдеулер – ізделінетін функцияны оның әр түрлі ретті туындыларымен (немесе дифференциалдарымен) және тәуелсіз айнымалылармен байланыстыратын теңдеулер. Дифференциалдық теңдеулер 17 ғасырдың соңында механика, т.б. жаратылыстану пәндерінің талабына сәйкес интегралдық есептеу және дифференциалдық есептеумен қатар пайда болды. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер Ньютонның және неміс математигі Лейбництің еңбектерінде кездеседі. “Дифференциалдық теңдеулер” терминін ғылымға Лейбниц енгізген (1676).
Тәуелсіз бір айнымалыға тәуелді бір немесе бірнеше функциялардың туындылары бар дифференциалдық теңдеулерді жай дифференциалдық теңдеу деп, ал тәуелсіз бірнеше айнымалыға тәуелді функциялардың дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеулерді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Дифференциалдық теңдеулерге енетін туындылардың реті дифференциалдық теңдеулердің реті делінеді.

1 Мәукеев Б.И. Дифференциалдық теңдеулерді шешу. А.: Мектеп,1989. – 232б.
2 Мәукеев Б.И. Дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері / Б Мәукеев. – Алматы : Мектеп,1989. – 50 б.
3 Кадикенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері мен жаттығулары. Алматы. “Қазақ университеті”. 2002.
4 Мырзалыұлы Ж. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы. “Қазақ университеті”. 2006.
5 Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы, Б.1. «Рауан», 1991 жыл.
6 Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы, Б.2. «Рауан», 1996 жыл.
7 Тілеубердиев Б. Дифференциалдық теңдеулер. Шымкент. 2004
8 Жәутіков Дифференциалдық теңдеулер.
9 Көбесов А. Математика тарихы.-А.1998
10 Қазақша-орысша орысша-қазақша терминологиялық сөздік. Казахско-русский русско-казахский терминологический словарь. – Алматы: Рауан, 1999. – 248
11 Қазақша-орысша орысша-қазақша терминологиялық сөздік. – Алматы: Рауан. – 1999 Т.2: Математика. - 248б.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 43 бет
Таңдаулыға:

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесінің жалпы теориясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің түрлері. Қалыпты жүйе, оны жоғарғы ретті теңдеуге келтіру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Қалыпты жүйенің векторлық түрде жазылуы. Қысатын бейнелеу қағидасын қолданып, Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болу туралы теореманы дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Коши есебі шешімінің параметр мен бастапқы берілгендерден тәуелділігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қалыпты жүйенің интегралдары және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Дифференциалдық теңдеулердің симметриялық жүйесі ... ... ... ... ...

Есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3

5

5

11

15

24
33

37

42

43

Мазмұны

Кіріспе
Көптеген процестердің математикалық түрі, ізделінетін белгісіз шама цифр емес, ал белгілі бір аргументке тәуелді функция ретінде берілетін теңдеумен өрнектеледі. Сонымен қатар, бұл функция өз туындысы және аргументімен байланысты болады. Бұндай теңдеулер дифференциалдық теңдеулер деп аталады. Дифференциалдық теңдеулер математикалық анализ жүргізуде үлкен роль атқарады.
Дифференциалдық теңдеулер - ізделінетін функцияны оның әр түрлі ретті туындыларымен (немесе дифференциалдарымен) және тәуелсіз айнымалылармен байланыстыратын теңдеулер. Дифференциалдық теңдеулер 17 ғасырдың соңында механика, т.б. жаратылыстану пәндерінің талабына сәйкес интегралдық есептеу және дифференциалдық есептеумен қатар пайда болды. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер Ньютонның және неміс математигі Лейбництің еңбектерінде кездеседі. "Дифференциалдық теңдеулер" терминін ғылымға Лейбниц енгізген (1676).
Тәуелсіз бір айнымалыға тәуелді бір немесе бірнеше функциялардың туындылары бар дифференциалдық теңдеулерді жай дифференциалдық теңдеу деп, ал тәуелсіз бірнеше айнымалыға тәуелді функциялардың дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеулерді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Дифференциалдық теңдеулерге енетін туындылардың реті дифференциалдық теңдеулердің реті делінеді.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Мақсаты: Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесін талдау.
Міндеті:
- Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесінің теориялық бөлімін қарастыру.
- Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесін есептермен мысалдарда қарастыру.
Зерттеу объектісі: Функцияларды дифференциалдау.
Зерттеу пәні: Дифференциалдық теңдеулерді шешу.
Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу.
Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлім, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Қойылған проблеманың актуальдығы: қазіргі кезде техниканың дамуына байланысты әр түрлі химиялық, физикалық заттардың құрамын, массасын, көлемін, ұзындығын, т.б. - параметрлерін зерттеу қажеттігі туып отыр. Одан басқа бұл параметрлердің уақытқа және де т.б. шамаларға тәуелділігін де білу керек. Мұның бәрін тек дифференциалдық теңдеулер жүйесі көмегімен ғана жүзеге асыруға болады.

Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесінің жалпы теориясы
1.1 Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің түрлері. Қалыпты жүйе, оны жоғарғы ретті теңдеуге келтіру
Дифференциялдық теңдеулер жүйеcі жалпы түрде былай жазылады:
(1) мұндағы t- тәуелсіз айнымалы, ізделінетін функциялар, ал
,
Біз теңдеулердің саны ізделінетін функциялар санына тең болатын жағдайды қарастырамыз. Жүйедегі,функциялары айнымалылардан тәуелді. Олар осы айнымалыларының кеңістігінде жататын қандай да бір D облысында анықталған.
Дифференциалдық теңдеулер жүйесін әдетте дифференциалдық жүйе деп атайды. Жүйеге кіретін функциясытуындыларының ен жоғарғы реті жүйенің , бойынша реті деп аталады, ал cаны (1)жүйенің ретідеп аталады.
Қандай да бір аралығыңда анықталған функциялар жиынтығы (жүйесі) мына шарттарды:
1)аралығында , функцияларының сәйкес ретке дейінгі туындылары бар;
2)
3)
Қанағаттандыратын болса,онда оны 1 жүйенің аралығындағы шешімі деп атайды.
Жүйенің шешімін табу үдерісі оны интегралдау деп аталады.
(1) түрде жазылған теңдеуді қарастыру әр түрлі жағдайларға тәуелді. Солардың негізгілерінің бірі - (1) жүйенің оған кіретін функциялардың ең жоғарғы ретті туындылары бойынша шешілетін жағдайы.
(1) жүйе жоғарғы ретті туындылар бойынша шешілсін :
(2)
Алынған (2) жүйесі к kанондық жүйе деп аталады.
Шешімдерінің арасында өзара сәйкестік бар дифференциаялдық жүйелер эквивалентті деп аталады.
Жоғарға реті теңдеулерден тұратын канондық (2) жүйесі оған эквивалентті, туындылары бойынша шешілетін бірінші ретті теңдеулерден тұратын жүйемен ауыстыруға болоды.Ол үшін (2) жүйеге мынандай ауыстыру енгіземіз:

Енгізілген функцияларының жалпы саны n - ге тең. Оларға қатысты (2) жүйе мына түрге келтіреді:\
(4)
Бұл жүйе k топтан құралып тұр. Әрбір j- топтағы алғашқы теңдеу функциялары анықталатын (3) формуладан шығады да , ал соңғы - теңдеуі (2) жүйенің j - теңдеуінен ондағы туындыларды жаңа енгізілген функциялармен ауыстыру арқылы алынады. Сонымен (2) жүйеден (4) алынады. Әлбетте (2) жүйенің әрбір шешімінен (4) жүйенің шешімін табуға болады.
Егер (4) жүйенің әрбір топтың бірінші жолындағы теңдеулер негізінде -ді -мен-ні-мен, т. с. с. ,-ді-мен ауыстырып , оларды топтардың соңғы теңдеулеріне қоятын болсақ ( олардағы -дің орнына қойып ) , онда әлбетте біз (2) жүйеге қайта ораламыз. Әрине бұл жағдайда (4) жүйенің әрбір шешімінен (2) жүйенің шешімін алуға болады.
Ізделінетін x10,x11,...,x1,m1-1,...,xk0,xk1,... ,xk,mk-1 функцияларын 1,2,...,n=m1+...+mkцифрларымен қайтадан нөмірлесек, яғни x10=x1,
x11=x2,...,x1,m1-1=xm1,...,xk,mk-1 =xn ауыстыруын енгізсек, онда (4) жүйенің туындылар бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің
x1=f1t,x1,...,xnx2=f2t,x1,...,xn... ... ... ... ... ..xn=fnt,x1,...,xn (5)
дербес түрі болатынын көреміз. Соңғы жүйені дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі деп атаған болатынбыз. Сол жерде қалыпты жүйе шешімінің және оның түрлерінің (ерекше, дара, жалпы шешімдердің) анықтамалары да берілді.
Канондық (2) жүйенің жеке түрі болып жоғарғы ретті туынды бойынша шешілген n-ретті бір дифференциалдық теңдеу табылады:
(n) (n-1)
x=ft,x,x,..., x.
Бұл теңдеу мынадай қалыпты жүйеге x1=x2, x2=x3, ..., xn-1=xn,
xn=ft,x1,x2,...,xnэквиваленті. Мұндағы x1,...,xn айнымалылар
(n-1)
x1:x, x2:x, xn: xтеңдіктері арқылы енгізілген. Сондықтан да бұл теңдеуді n-ретті дифференциалдық теңдеудің қалыпты түрі деп атайды.
2. Эквиваленттік қасиетті пайдаланып, қалыпты жүйені оны жоғарғы ретті біз теңдеуге келтіру арқылы интегралдауға болады. Қалыпты жүйенің реті деп оған кіріп тұрған теңдеулердің саны аталады.
Реті n-ге тең (5) қалыпты жүйенің n-ретті бір дифференциалдық теңдеуге эквивалентті (шешімдерінің арасында өзара сәйкестік бар болуы мағынасында) екенін көрсетелік.
Жүйенің бірінші теңдеуін xn=ft,x1,...,xn алып, оны t бойынша дифференциалдайық

x1=df1dt+df1dx1x1+df1dx2x2+...+df1d xnxn .
Мұндағы xj-лерді олардың (5) жүйедегі мәндері fj=t,x1,...,xn-лермен ауыстырсақ,
x1=df1dt+df1dx1f1+df1dx2f2+...+df1d xnfn=g2t,x1,...,xn
яғни
x1=g2t,x1,...,xn
теңдеуін аламыз. Оны тағы да tбойынша дифференциалдап, (5) жүйені ескере отырып,
x1=dg2dt+dg2dx1f1+dg21dx2f2+...+dg2 1dxnfn=g3t,x1,...,xn ,
Яғни
x1=g3t,x1,...,xnтеңдеуін аламыз. Әрі қарай осылайша жасай беру арқылы мынадай теңдеулерді
(VI)x1=g4t,x1,...,xn ... ... ... ... ... ... .(n-1)x1=gn-1t,x1,...,xn(n) x1=gnt,x1,...,xn (6)
аламыз. Алдыңғы тұрған n-1 теңдеулерден құралған мына жүйе
x1=f1t,x1,...,xnx1=g2t,x1,...,xn... ... ... ... ... ... .(n-1)x1=gn-1t, x1,...,xn (7)
x3,x2,...,xnайнымалылары бойынша шешілген, яғни одан
(n-1)
xj=φjt,x1,x1,..., x1, j=2,n
өрнектері алынсын. Бұл табылған x3,x2,...,xn шамаларының өрнектерін (6) жүйенің соңғы теңдеуіне қойсақ,

(n) (n-1)
x1=gnt,x1,φ2,...,φn=:φt,x1,x1,..., x1 (8)
теңдеуі алынады. Бұл - n-ретті дифференциалдық теңдеу. Оның алыну жолынан мынау көрініп тұр: егер x1t,...,xnt (5) жүйенің қандай да бір a,b аралығындағы шешімі болса, онда x1t-(8) теңдеудің осы a,bаралығындағы шешімі.
Керісінше, x1t функциясы (8) теңдеудің қандай да бір a,bаралығында шешімі болсын. Оны дифференциалдау арқылы
(n-1)
x1t,x1t,..., x1t, t∈a,b мәндерін табамыз. Бұл белгілі
(n-1)
x1t,x1t,..., x1tфункцияларын (7) жүйеге қоялық. Ұйғарым бойынша ол жүйе x2,x3,...,xnайнымалыларына қатысты шешіледі, яғни x3,x2,...,xn шамалары t айнымалысының белгілі функциялары ретінде өрнектеліп шығады. Сонда табылған x1t, x2t,..., xntфункциялар жиынтығы (5) жүйенің a,b аралығындағы шешімі болады.
Шынында да (7) жүйенің x2,x3,...,xn айнымалылары бойынша шешілуі осы айнымалылардың қарастырылып отырған мәндерінде мына якобиан (квадрат Якоби матрицасының анықтауышы)
Df1,g2,...,gn-1D x2,x3,...,xn≔df1dx2 ... df1dxndg2dx2 ... dg2dxn... ... ...dgn-1dx2 ... dgn-1dxn (9)
нөлге тең емес дегенді білдіреді. Осы (7) жүйеден табылған x2t,x3t,..., xnt функциялары мен (8) теңдеудің шешімі болатын x1t функциясын (7) жүйеге қайта қоятын болсақ, тепе-теңдіктер жүйесін аламыз. Бірінші теңдік
x1t=f1t,x1t,...,xnt, ∀t∈a,b
түрінде, ал екінші теңдік
x1t=g2t,x1t,...,xnt≔df1dt+df1dx1f1+ df1dx2f2+...+df1dxnfn, ∀t∈a,b
түрінде болатыны айқын. Бірінші екінші теңдікті алсақ,
df1dx1x1-f1+df1dx2x2-f2+...+df1dxnx n-fn=0, ∀t∈a,b
алынады. Дәл осылайша
dg2dx1x1-f1+dg2dx2x2-f2+...+dg2dxnx n-fn=0, ∀t∈a,b
теңдігі алынады. Әрі қарай жалғастыра отырып, ең соңында
dgn-1dx1x1-f1+dgn-1dx2x2-f2+...+dgn -1dxnxn-fn=0, ∀t∈a,b
теңдігін аламыз. Бұл теңдіктерден бірінші теңдікті ескере отырып мынадай теңдіктер жүйесін аламыз:
df1dx2x2-f2+...+df1dxnxn-fn=0, ∀t∈a,b,dg2dx2x2-f2+...+dg2dxnxn-fn= 0, ∀t∈a,b, ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... dgn-1dx2x2-f2+...+dgn-1 dxnxn-fn=0, ∀t∈a,b.
Бұл теңдіктерді xj-fj, j=2,nбелгісіздеріне қатысты сызықтық біртекті жүйе ретінде қарастырамыз. Жүйенің анықтауышы (9) якобианға тең. Ал ол нөлге тең емес. Сондықтан жүйенің жалғыз ғана нөлдік шешімі
xj-fj=0, -- xj-fj∀t∈a,b, j=2,n
бар. Бұларға бірінші теңдікті қосып,
xjt=fjt,x1t,...,xnt, j=1,n
теңдігінің орындалатынын аламыз. Демек, x1t,...,xnt функциялар жиынтығы (5) жүйесінің шешімі болады.
Сонымен, (9) якобиан нөлге тең болмаған кезде, n-ретті (8) теңдеуді шешу арқылы (5) қалыпты жүйені шешуге мүмкіндік туады.

Қалыпты жүйенің векторлық түрде жазылуы. Қысатын бейнелеу қағидасын қолданып, Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теореманы дәлелдеу
Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі
x1=f1t,x1,...,xn, ... ... ... ... .. ... ... .x1=f1t,x1,...,xn
қарастыралық. Мұндағы fjфункциялары t,x1,...,xn айнымалыларының n+1өлшемді кеңістігі R1+n-де (немесе C1+n-де) жатқан D облысында анықталған (барлық кезде t∈R).
Мынадай векторлық белгілеулер енгізелік:
x=x1,...,xn,f=f1,...,fn, f:D--Rn, D⊂R1+n.
Жалпы жағдайда f:D--Cn, D⊂C1+nдеп есептеуге болады. Сонда x=x1,...,xn екенін ескеріп 1, жүйені векторлық түрде жазсақ:
x= ft,x.
Бұны көбінесе векторлық теңдеу деп атайды. Қандай да бір a,bаралығында анықталған, дифференциалданатын нақты немесе комплекс мәнді вектор-функция x=φt=φ1t,...,φntяғни φ:a,b--Rn немесе a,b--Cn мына шарттарды:
t,φt∈D, ∀t∈a,b ;
φt=ft,φt, ∀t∈a,b
қанағаттандыратын болса, онда оны (1) жүйенің a,b аралығындағы шешімі деп атайды. Әлбетте, f∈CD--φ∈C1a,b.Қалыпты жүйе үшін Коши есебі былайша қойылады: (1) жүйенің кез-келген шешімдерінің арасынан
φt0=x0
шартын қанағаттандыратын x=φtшешімін табу керек. Мұнда t0,x0∈D- бастапқы нүкте, яғни t0,x0=x10,x20,...,xn0-берілген сандар. Олар Коши есебінің бастапқы берілгендері деп аталады.
Үзіліссіз кез-келген ft,xфункциясы үшін (1),(2) Коши есебі мына интегралдық теңдеулер жүйесіне (векторлық теңдеуіне)
xt=x0+t0tfτ,xτdτ(3)
эквивалентті.
Шынында да, x=φt-1,2 есептің a,b аралығындағы шешімі болсын. Әлбетте t0∈a,b. Онда
φt=ft,φt , ∀t∈a,b, φt0=x0. (4)
Бірінші теңдікті t0-ден t-ға t0,t∈a,b дейін интегралдап, әрі екінші теңдікті ескерсек,
φt=x0+t0tfτ,xτdτ , ∀t∈a,b (5)
тепе-теңдігін аламыз. Демекx=φt=φ1t,...,φnt үзіліссіз функциясы (3) жүйенің a,b t0∈a,bаралғындағы шешімі болса, яғни (5) теңдік орындалатын болса, онда оны дифференциалдау арқылы (4) теңдіктерді аламыз. Демек x=φt-1,(2) есептің шешімі.
Егер L0 саны бар болып, D облысының кез-келген екі t,x1,t,x2∈D нүктесі үшін ft,x1-ft,x2=Lx1-x2теңсіздігі орындалатын болса, онда ft,x вектор-функциясы x векторлық айнымалысы бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады деп айтады және бұл тұжырым f∈LipxD символымен белгіленеді. Біз қалыпты жүйе үшін Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы глобалдық теореманы дәлелдедік. Ол теореманы, оның (1)-ескертуін пайдаланып, (1) векторлық теңдеу үшін мына түрде беруге болады.
ТЕОРЕМА. Егер ft,x вектор-функциясы бастапқы екі t0,x0 нүктесін қамтитын (ішкі нүкте есебінде) ашық D⊂R1+nоблысында үзіліссіз болса, ал D облысының кез-келген шенелген тұйық ішкі облысында xбойынша Липшиц шартын қанағаттандыратын болса, онда (1),(2) Коши есебінің әрі қарай ұзартылмайтын жалғыз ғана шешімі бар болады.
ДӘЛЕЛДЕУ. Дәлелеуін дәл бір теңдеуге қолданылан сұлба бойынша жүогізуге болады. Айырмашылық тек бір (скаляр) теңдеудің немесе функцияның орнында сәйкес векторлық теңдеудің немесе вектор-функцияның тұрғандығында. Мысалы дәйекті жуықтау тізбегінің
x0t=x0,
xl=x0+t0tfτ,xl-1τdτ, l∈N
мүшелері xlt=x1lt,...,xnltвектор-функциясы болады. Сол сияқты функциялық қатар да
x0t+x1t-x2t+x2t-x3t+...+xnt-xn-1t+. ..
вектор-функциялар тізбегі x0t,x0t,... бойынша жазылған. Вектор-функциялар тізбегінің шегі, қатардың жинақтылары туралы ұғымдар берілді. Соларды ескере отырып (мысалы, векторлық шамаларды бағалағанда оларды нормасы бойынша бағалау керек) теореманы дәлелдеп шығуға болады. Әуелі шешімнің t0 нүктесінің кішкене аймағында баржәне жалғыз болатыны (локалдық теорема) дәлелденеді, сонан кейін ол шешім облыстың шекарасынан шекарасына дейін ұзартылады. Нәтижесінде (1),(2) есептің әрі қарай ұзартылмайтын жалғыз шешімін аламыз. Бұл дәлелдеу бір теңдеу үшін толығынан, ал 1,жүйесі үшін сұлбалы түрде берілді. Оны қайталай беру артықшылық.
Біз бұл жерде теореманың бірінші бөлігін (локалдық теореманы), атап айтқанда (1),(2) есептің t0 нүктесінің кішкене аймағында анықталған жалғыз ғана шешімі бар болатынын қысатын бейнелеу қағидасын қолданып дәлелдейміз.
Берілген t0,x0 нүктесі центрі болатын, D облысында толығынан жататын n+1өлшемді параллелипипед
П=t,x∈D:t-t0=a, x-x0=b
аламыз. Теореманың шартынан
supft,x=:Minfinity
бар болатыны шығады. П-дан кіші параллелипипед Пh=t,x∈П:t-t0=a,x-x0=b қарастыралық. Мұндағы h әзірге
h=mina, bMтеңдігі арқылы анықталады. Енді t0-h,t0+h кеіндісінде анықталған, графиктері Пh-та жататын үзіліссіз вектор-функциялар жиынын қарастырайық. Егер кез-келген xt,yt∈Пhвектор-функциялары үшін олардың арақашықтығын
ρx,y=maxxt-yt, t∈t0-h,t0+h (6)
Формуласы арқылы анықтасақ, қарастырылып отырған жиын метрикалық кеңістікке айналады. Оны C*t0-h,t0+h⊂символымен белгілейміз. Ол кеңістік - толық. Жалпы алғанда, элементтерінің арақашықтығы (6) фформула арқылы анықталатын, t0-h,t0+hкесіндісінде үзіліссіз болатын кез келген функциялар жиыны Ct0-h,t0+hтолық метрикалық кеңістык құрайды. Сонда
C*t0-h,t0+h⊂ Ct0-h,t0+h
Әрбір x(t)∈C*t0-h,t0+h вектор - функциясына
x0+t0tfτ,xτdτ, t∈t0-h,t0+h
вектор- функциясына сәйкес қоятын
Ax≔x0+t0tfτ,xτdτ
Операторын енгізейік.Сонда
A:C*t0-h,t0+h--C*t0-h,t0+h
Шынында да, Ax∈ Ct0-h,t0+h,әрі
ρAx,x0=maxtt0tfτ,xτdτ=maxtt0tfτ,xτ dτ=maxtMt-t0=M∙h=b.
Демек Ax∈ Ct0-h,t0+h.
Әлбетте теореманы (3) жүйе үшін дәлелдейміз, себебі (3) --(1),(2). A операторының көмегімен (3) теңдеу былай жазылады:
x=Ax.
Сонда біздің мақсатымыз үшін A операторының жалғыз ғана жылжымайтын нүктесі бар екенін көрсету жеткілікті. Ал ол үшін A операторының қысатын оператор екенін көрсетсек болғаны. Айталық xt,y(t)∈ C*t0-h,t0+hболсын. Онда
ρAx,Ay=maxtt0tfτ,xτdτ-t0tfτ,yτdτ=m axtt0tfτ,xτdτ-t0tfτ,yτdτ=Lmaxtt0tx τ-y(τ)dτ=Lhρx,y, t∈t0-h,t0+h.
Егер Lh1 болса, A қысатын оператор болып табылады. Сонымен
h=mina,bM
әрі h1L болған кезде (3) теңдеудің t0-h,t0+h кесіндісінде анықталған жалғыз ғана шешімі бар болады. Теорема дәлелденді.
Ескертулер. 1.Теореманың тұжырымындағы Липшиц шарты орнына онан күштірек шарт, атап айтқанда ашық D⊂R1+n облысында f(t,x)вектор-функциясы өзінің xj-лер (j=1,n)бойынша алынған дербес туындыларымен бірге үзіліссіз деп алуға болады. Бұл шарт орындалғанда П параллелепипедінде Липшиц шарты өздігінен орындалады.
2.Коши есебі шешемінің бар болуы үшін f(t,x)∈С(D), D⊂R1+n орындалуы жеткілікті. Бұл жағдай мына теорема арқылы тұжырымдалады.
Пеано теоремасы. Егер f(t,x) вектор-функциясы ашық D⊂R1+n облысында үзіліссіз болса, онда кез келген t0,x0∈Dүшін (1),(2) Коши есебінің шешімі бар болады.

1.3 Коши есебі шешімінің параметр мен бастапқы берілгендерденьтәуелділігі
Дифференциалдық теңдеудің не жүйенің қандай да болмасын бір a,bаралығында анықталған шешімі. Осы шешімнің бастапқы берілгендерінен тәуелді. Геометриялық тілмен айтқанда дифференциалдық теңдеудің не жүйенің интегралдық қисығы өзі өтетін бастапқы берілген нұктенің координаталарынан тәуелді. Мысалы,
x=y,y=x (1)
Қалыпты жүйенің, xt0=x0, yt0=y0шартын қанағаттандыратын шешімі
xt=12x0-y0et-t0+x0+y0et-t0,yt=12y0- x0et-t0+y0+xet-t0(2)
Функциялар жүйесі болады. Мұндағы t0,x0, y0 - шешімнің бастапқы берілгендері. Шешімнің тәуелсіз айнымалы t-дан басқа t0,x0, y0-дерден тәуелді екені, яғниt,t0,x0, y0 шамаларының функциясы екені
x=xt,t0,x0, y0, y=yt,t0,x0, y0
көрініп тұр. Егер x0, y0-дерді шешімнің бастапқы мәндері деп есептемей кез-келген сандық мән +-infinity-ті қоса санағандақабылдай алатын параметрлер деп есептесе, онда (2) шешім (1) жүйенің Коши түріндегі жалпы шешімі болады. Бұл айтылғанға қосымша, дифференциалдық теңдеулер көп жағдайда физикалық, механикалық, т.б. табиғаттану есептерінің математикалық моделі болатынын, сондықтан оған белгілі бір параметрлер енетінін ескеру қажет. Әлбетте теңдеудің шешімі ол параметрлерден тәуелді болады. Параметрлермен мен бастапқы берілгендер әдетте өлшеу арқылы анықталады. Ал іс жүзінде өлшеу абсолют дәл бола алмайды. Себебі, мысалы, сантиметрлеп өлшегенде миллиметрдің бөліктеріндей, грамдап өлшегенде миллиграмның бөліктеріндей қате жіберіледі. Олай болса, параметрлер мен бастапқы берілгендер белгілі бір дәлдікпен жуықтап анықталады. Егер шешім параметрлермен бастапқы берілгендерден үзіліссіз тәуелділікте болмаса, онда олардың аз өзгерісі (өлшеу барысында жіберілген аздаған қате) шешімнің елеулі, кейде тіпті зор өзгерісіне әкеп тіреуі мүмкін. Мұндай шешімдердің практикалық пайдасы аз екені өздігінен түсінікті.
Оң жағы бір (скаляр) параметрден тәуелді қалыпты жүйе
x=ft,x,μ (3)
қарастыралық. Мұндағы ft,x,μ вектор-функциясы t,x,μ айнымалыларының кеңістігінде жататын қандай да бір ашық D*облысында анықталған, яғни
f=colonf1,...,fn:D*--Rn ,D*⊂R2+n= RtxRxx Rμ .
Жүйенің шешімдері μ параметрінен тәуелді болатыны айтылды.
1-ТЕОРЕМА (шешімнің параметрден үзіліссіз тәуелді болуы туралы). Егер ft,x,μ вектор-функциясы D* облысында үзіліссіз, ал оның кез - келген шенелген тұйық ішкі облысында x бойынша Липшиц шартын қанағаттандыратын болса, онда кез-келген t0,x0,μ0ϵ D*нүктесі үшін h0, δ0сандары табылып, (3) жүйенің
φt0,μ=x0=colonx10,x20,...xn0(4)
бастапқы шартын қанағаттандыратын
x=φt,μ=colonφ1t,μ,...,φnt,μшешімі
G=t,μ:t-t0=h,μ-μ0δ
облысында t,μ айнымалыларының жиынтығы бойынша үзіліссіз болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Параметр μ-дің әрбір бекітілген мәнінде Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теореманың шарттары орындалып тұр. Сондықтан (3),(4) есептің шешімі бар. Ол шешімнің өзі мен оның анықталу облысы μ параметрінен тәуелді. D*облысында толығынан жататын
П*=t,x,μ∈D*:t-t0=a,x-x0=b,μ-μ0=c
параллелепипедтің қарастыралық. Теореманың шартынан
sup=ft,x,μ≔M*infinity
П*
бар болатыны және ∃L0,кез-келген екі t,x1,μ∈П*, және t,x2,μ∈П*нүктелері үшін
ft,x1,μ-ft,x2,μ=Lx1-x2
теңсіздігі орындалатыны шығады. Мұндағы L саны (Липшиц тұрақтысы) П* параллелепипедінен, яғни a,b,c сандарынан тәуелді.
Шенелген тұйық П* облысында үзіліссіз ft,x,μ вектор-функциясы ол облыста бірқалыпты үзіліссіз. Демек кез-келген ε10, саны үшін δ ε10 саны табылып, μ-μ0δ теңсіздігін қанағаттандыратын П* облысының кез-келген t,x,μ∈П*, t,x,μ0∈П* нүктелері үшін
t,x,μ-t,x,μ0 ε1
теңсіздігі орындалады. П*-дан кіші параллелепипед Пh,δ*=t,x,μ∈∈П*:t-t0=h,x-x0=b,μ-μ 0=δқарастыралық. Параметр μ-дің μ0-δ,μ0+δ кесіндісінен алынған әрбір мәнінде (3),(4) есептің
t0-h,t0+hкесіндісінде анықталған шешімі бар және жалғыз болады, әрі ол шешімнің графигі Пh,δ* облысында жатады. Параметрдің μ=μ0мәнінде табылатын шешімді φt,μ0арқылы белгілейік. Әрине φt,μ, φt,μ0 шешімдері G облысында мына теңдіктерді
φt,μ=x0+t0tfτ,φτ,μ,μdτ,
φt,μ0=x0+t0tfτ,φτ,μ,μ0dτ
қанағаттандырады. Бұл шешімдердің айырымын бағалайық.
φt,μ- φt,μ0=t0tfτ,φτ,μ,μ-fτ,φτ,μ,μ0dτ=
=t0tfτ,φτ,μ,μ-fτ,φτ,μ,μ0dτ+
+t0tfτ,φτ,μ,μ0-fτ,φτ,μ0,μ0dτ=
=ε1t-t0+t0tLφt,μ- φt,μ0dτ.
Енді t=t0 болсын. Онда
φt,μ- φt,μ0=ε1h+t0tLφt,μ- φt,μ0dτ
болады да, Гронуолл леммасы бойынша
φt,μ- φt,μ0ε1heLt-t0=ε1heLh
теңсізідігі орындалады. Бұл теңсіздік t=t0 үшін де орындалады. Оны дәлелдеу үшін Гронуолл леммасындағы t мен t0-ді орындарымен ауыстыру жеткілікті. Сонымен, t-t0=h, μ-μ0δболғанда аталған теңсіздік орындалады.
Енді кез-келген ε0 саны үшін ε1 санынε1ε2heLh теңсіздігі орыналатындай етіп алсақ, ал оған сәйкес табылатын δε1 санын δ арқылы белгілесек, μ-μ0δ болғанда,
φt,μ- φt,μ0ε2
болатыны шығады. Бұл шешімнің параметрден үзіліссіз тәуелді болатынын білдіреді.
Айталық t1,μ1-Gоблысының кез-келген нүктесі болсын.
φt,μ- φt1,μ1=φt,μ- φt,μ1+φt,μ1- φt1,μ1(5)
айырымын қарастырайық. Кез-келген ε20 үшін δ0 саны табылып,
μ-μ1δболғанда φt,μ- φt,μ1ε2 , ∀t∈t0-h,t0+hболады.
Ал шешімнің t бойынша үзіліссіздігінен, кез-келген ε20 үшін δ10 саны табылып, t-t1δ1 болғанда φt,μ1- φt1,μ1ε2 болатыны шығады. Сонда t-t1δ1, μ-μ1δ болғанда (5) теңсіздіктен
φt,μ- φt1,μ1ε
теңсіздігі алынады. Яғни x=φt,μшешімі t1,μ1∈G нүктесінде үзіліссіз. Теорема дәлелденді.
Ескерту. Теореманы t0-h,t0+h кесіндісінде ғана емес, x=φt,μ0 шешімі анықталатын кез-келген кесіндіде де дәлелдеуге болады.
2-ТЕОРЕМА(шешімнің параметр бойынша үзіліссіз дифференциалдануы туралы).
Егер ft,x,μ вектор-функциясы ашық D*⊂R1+n облысында өзінің
dfjdxk,dfjdμ,j,k=1,n
дербес туындыларымен бірге үзіліссіз болса, онда кез-келген t0,x0,μ0∈D* нүктесі үшін G облысында анықталатын (3), (4) есептің x=φt,μшешімініңdφ(t,μ)dμдербес туындысы сол облыста t,μ айнымалыларының жиынтығы бойынша үзіліссіз болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Дербес туындылар dfjdxk,j,k=1,n үзіліссіз болғандықтан ff,x,μ вектор-функциясы D*-да жататын кез келген шенелген тұйық параллепипедте x бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады. Сондықтан бірінші теорема бойынша (3),(4) есептің ft,x шешімі t,μ айыралары бойынша G облысында үзіліссіз болады.
μ∈μ0-δ,μ0+δ, μ+∆μ=μ0-δ,μ0+δ
параметрдің екі мәні болсын. Сонда бұл мәндерге сәйкес келетін (3), (4) есептің шешімдері
φft,μ=ft,φt,μ,μ

φt,μ+∆μ=ft,φt,μ+∆μ,μ+∆μ
теңдіктерін қанағаттандырады. Олардың екіншісінен біріншісін алып тастасақ:
ddtφt,μ+∆μ-φt,μ=ft,φt,μ+∆μ,μ+∆μ-ft, φt,μ,μ=
=ft,φt,μ+∆μ,μ+∆μ-ft,φt,μ,μ+∆μ+ft,φt ,μ,μ+∆μ-
-ft,φt,μ,μ . (6)
Адамар леммасы бойынша
fjt,φt,μ+∆μ,μ+∆μ-fjt,φt,μ,μ+∆μ=
k-1nΨjkt,μ,∆μφkt,μ+∆μ-φkt,μ ,
fjt,φt,μ,μ+∆μ-fjt,φt,μ,μ=gjt,μ,∆μ, j=1,n.
Демек, векторлық түрде жазатын болсақ,
ft,φt,μ+∆μ,μ+∆μ-ft,φt,μ,μ=
=Ψt,μ,∆μφt,μ+∆μ-φt,μ+gt,μ,∆μ∆μ (7)
теңдігін аламыз. Мұндағы
φt,μ=colonφ1t,μ,...,φnt,μ,
Ψt,μ,∆μ≔Ψjkt,μ,∆μnxn, j,k=1,n ,
gt,μ,∆μ≔colong1t,μ,∆μ,...,gnt,μ,∆μ.
Адамар леммасы бойынша Ψt,μ,∆μ матрицасы мен gt,μ,∆μ вектор-функциясы t, μ, μ+∆μ, φt,μ, φt,μ+∆μ айнымалыларынан үзіліссіз тәуелділікте болады. Олар
dfjdxk, dfjdμ, j,k=1,n
дербес туындыларынң интегралдары арқылы өрнектеледі. Ал дәлелденген 1-теорема бойынша φt,μ, φt,μ+∆μ функциялары t, μ, ∆μ айнымалыларынан үзіліссіз тәуелді. Олай болса, Ψt,μ,∆μ матрицасы мен gt,μ,∆μ вектор-функциясы t, μ, ∆μ айнымалыларынан үзіліссіз тәуелділікте болады. Егер μ-ді бекітілген деп санасақ, үзіліссіз тәуелділік тек t, ∆μ айнымалыларына ғана қатысы деп түсініледі.
Егер ∆φ≔φt,μ+∆μ-φt,μбелгілеуін енгізсек, ∆μ!=0 кезде (7) теңдікке сүйеніп, (6) теңдіктен
ddt∆φ∆μ=Ψt,μ,∆μ∆φ∆μ+gt,μ,∆μ
теңдігі алынады. Бұған қосымша
∆φ∆μt=t2=φt0,μ+∆μ-φt0,μ∆μ=x0-x0∆μ=0
теңдігі орындалады.
Демек, y≔∆φ∆μ вектор-функциясы (∆μ!=0 )сызықтық дифференциалдық теңдеулердің мынадай қалыпты жүйесінің
y=Ψ(t,μ,∆μ)y+g(t,μ,∆μ), y=colon(y1,...,yn) (8)
нөлдік шартты
y(t0,μ,∆μ)=0
қанағаттандыратын шешім болып табылады. Ал (8) жүйенің оң жағы 1-теореманың барлық шартын қанағаттандырады. Сондықтан y=∆φ∆μвектор-функциясы ∆μ бойынша ∆μ-дің мейлінше аз мәндерінде үзіліссіз. Ендеше ақырлы шек
lim∆μ--0∆φ∆μ=dφt,μdμ
бар болады. Адамар леммасы бойынша,
lim∆μ--0Ψjkt,μ,∆μ=dfjt,φt,μ,μdxk , j,k=1,n ,
lim∆μ--0gjt,μ,∆μ=dfjt,φt,μ,μdμ , j=1,n ,
теңдіктері орындалады. Сондықтан сәйкес теңдіктерде шекке көшу арқылы z=colonz1,...,zn≔dφdμ вектор-функциясы мынадай Коши есебінің
z=At,μz+bt,μ, zt0=colonz1t0,...,znt0=0 (9)
шешімі болатынын көреміз. Мұнда
At,μ≔dfjt,φt,μ,μdxknxn, j,k=1,n ,
bt,μ≔colondf1t,φt,μ,μdμ,...,dfnt,φt ,μ,μdμ.
Сызықтық теңдеулердің (9) жүйесі параметр бойынша вариациялық теңдеулер жүйесі деп аталады.
Енді (9) жүйеге 1-теореманы қолданып, dφt,μdμ вектор-функциясының t,μ бойынша G облысында үзіліссіз болатынын аламыз. Теорема дәлелденді.
Ескертулер. 1. Шешімнің параметр бойынша туындысын осы параметрдің белгілі бір μ=μ0мәнінде анықтау үшін (3) жүйені шешіп, шешімнің туындысын μ=μ0 мәнінде тауып жатпай-ақ, (9) жүйені μ=μ0 болғанда интегралданса жеткілікті. Сонда, егер парамердің μ=μ0 мәнінде (3), (4) Коши есебініңx=φt,μ0шешімі белгілі болса, онда μ-дің μ0-ге жақын мәндеріндегі (3), (4) есептің шешімін жуықтап табуға болады.
Шынында да μ0-ге жақын μ үшін
φt,μ=φt,μ0+dφt,μ0dμμ=μ0
деп жаза аламыз. Ал дербес туынды dφt,μ0dμ
z0=A0tz0+b0t
вариациялық теңдеулер жүйесін қанағаттандырады. Мұнда
A0t:=At,μ0=dfjt,φt,μ0,μ0dxknxn, j,k=1,n ,
b0t≔bt,μ0≔colondf1t,φt,μ0,μ0dμ,..., dfnt,φt,μ0,μ0dμ.
Әлбетте бұл жүйені интегралдау (3) жүйені интегралдауға қарағанда оңайырақ. Егер (3) жүйенің орнына бір теңдеу қарастыратын болсақ, онда соңғы жүйе бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуге айналады. Оны иттегралдай алатыныз белгілі.
2.Егер ft,x,μвектор-функциясы ашық D*⊂R2+n облысында өзінің l-ретке l=1 дейінгі dvdxkv ,dvfjdμv , j,k=1,n, v=1,l дербес туындыларымен бірге үзіліссіз болса, онда кез-келген t0x0μ0∈D* үшін G облысында анықталатын (3), (4) есептің x=φt,μ шешімнің l-ретке дейінгі дербес туындылары v=1,l ол облыста t, μ айнымалыларының жиынтығы бойынша үзіліссіз болады.
Шынында да, егер v=2 болса, онда φt,μ вектор-функциясының орнына dφt,μdμ вектор-функциясын қарастырып, (9) жүйеге 2-теореманы қолдану арқылы d2φt,μdμ2 дербес туындысының G облысында бар және t, μ айнымалыларының жиынтығы бойынша үзіліссіз екенін табамыз. Осылайша әрі қарай жалғастыра берсек l-ретті туынды туралы айтылған тұжырымның дұрыстығына келеміз.
3.Дәлелденген 1 және 2-теоремалар әлбетте (3) жүйенің оң жағы бірнеше (мысалы m) параметрден тәуелді, яғни
ft,x,μ, μ=μ1,...,μm
болғанда да күшінде қалады. Ол кездегі теоремалардың дәлелдеуі де жоғарыда келтірілген дәлелдеулердің сұлбасы бойынша жүргізіледі.
Енді Коши есебі шешімінің бастапқы берілгендерден тәуелділігі туралы мәселеге көшелік. Бұл мәселені ілгеріде зерттеліп кеткен шешімнің параметрден тәуелді болатыны туралы мәселеге әкеп тіреуге болады.
Шынында да, x=ft,x, xt0=x0 Коши есебі қойылсын. Мұндағы t0,x0=x10,x20,...,xn0-бастапқы берілгендер. Оларды параметрлер есебінде қарастыруға болады. Солай етелік те, олардың айнымалы екенін білдіру үшін t0-ді s арқылы x0-діη арқылы белгілейік. Сонда жүйенің xs=η=(η1, ... ,ηn) шартын қанағаттандыратын шешімі t-дан басқа s,η шамаларынан да тәуелді болады (шешімнің бастапқы берілгендерден тәуелді болатыны мысал арқылы ілгеріде көрсетілді). Ол шешімді x=(φ1t,s,η,...,φnt,s,η)вектор- функциясы арқылы белгілейік. Демек, φs,s,η=η.Жүйегеt-s=τ, x-η=y ауыстыруын енгізейік. Онда τ,y(τ) бойынша мынадай жүйе
dydτ=x(τ+s)=fτ+s,xτ+s=f(τ+s,yτ+η)
аламыз. Демек x=φt,s,η шешіміне

dydτ=fτ+s,yτ+η ,y0,s,η=0
Коши есебінің шешімі сәйкес келеді. Вектор-функция fτ+s,yτ+η бастапқы берілгендерден тәуелді, ал шешімнің бастапқы мәні -0 олардан тәуелсіз, яғни бұл есеп дәл (3),(4) есептен аумайды. Сонымен, Коши есебі шешімінің s,η бастапқы берілгендерінен тәуелділігін зерттеу, соңғы есеп шешімінің s,η параметрлерінен тәуелділігін зерттеуге әкеп тіреледі. Ендеше дәлелденген 1,2- теоремалар мен 2-теореманың 3-ескертуіне сүйене отырып, төмендегідей теоремаларды тұжырымдауға болады.
3-ТЕОРЕМА.(шешімнің бастапқы берілгендерден үзіліссіз тәуелді болуы туралы). Егер f(t,x)вектор-функциясы ашық D⊂Rn+1=R1xRxn облысында үзіліссіз, ал оның кез келген шенелген тұйық ішкі облысында x бойынша Липшиц шартын қанағаттандыратын болса, онда кез келген (t0,x0)∈D нүктесі үшін һ0,δ0 сандары табылып, Коши есебінің x=φt,s,η шешімі
G*=t,s,ƞ:t-s=h,s-t0δ,ƞ-x0δ
Облысында t,s,ƞ айнымалыларының жиынтығы бойынша үзіліссіз ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.