Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйелерін талдау

МАЗМҰНЫ

Кіріспе

Дифференциалдық теңдеулер - ізделінетін функцияны оның әр түрлі ретті туындыларымен (немесе дифференциалдарымен) және тәуелсіз айнымалылармен байланыстыратын теңдеулер. Дифференциалдық теңдеулер 17 ғасырдың соңында механика, т. б. жаратылыстану пәндерінің талабына сәйкес интегралдық есептеу және дифференциалдық есептеумен қатар пайда болды. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер Ньютонның және неміс математигі Лейбництің еңбектерінде кездеседі. “Дифференциалдық теңдеулер” терминін ғылымға Лейбниц енгізген (1676) .
Тәуелсіз бір айнымалыға тәуелді бір немесе бірнеше функциялардың туындылары бар дифференциалдық теңдеулерді жай дифференциалдық теңдеу деп, ал тәуелсіз бірнеше айнымалыға тәуелді функциялардың дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеулерді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Дифференциалдық теңдеулерге енетін туындылардың реті дифференциалдық теңдеулердің реті делінеді.

Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.

Мақсаты: Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесін талдау.

Зерттеу объектісі: Функцияларды дифференциалдау.

Зерттеу пәні: Дифференциалдық теңдеулерді шешу.

Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу.

Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлім, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Қойылған проблеманың актуальдығы: қазіргі кезде техниканың дамуына байланысты әр түрлі химиялық, физикалық заттардың құрамын, массасын, көлемін, ұзындығын, т. б. - параметрлерін зерттеу қажеттігі туып отыр. Одан басқа бұл параметрлердің уақытқа және де т. б. шамаларға тәуелділігін де білу керек. Мұның бәрін тек дифференциалдық теңдеулер жүйесі көмегімен ғана жүзеге асыруға болады.

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ШЕШІМІНІҢ БАР ЖӘНЕ ЖАЛҒЫЗ БОЛУЫ ТУРАЛЫ ТЕОРЕМАЛАР

1. 1 Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы локалдық теорема

Біз осы кезге дейін жалпы шешімі немесе интегралы тұйық түрде (формула түрінде) табылатын дифференциалдық теңдеулерді қарастырдық. Жалпы шешімнің немесе жалпы интегралының түрін квадратурада тапқандықтан, ол теңдеулердің шешімі бар немесе жоқ болатыны туралы сұрақ қойылған жоқ. Алайда туынды бойынша шешілген бірінші ретті теңдеулер біздер қарастырған теңдеулермен таусылмайтыны, ашығын айтсақ, қарастырылған теңдеулер олардың тек бірлі - жарым элементар өкілдері ғана екені айқын. Ал қалған теңдеулерді интегралдау жолдары бізге беймәлім. Сондықтан теңдеулерді интегралдай алмасақ та, олардың шешімінің бар не жоқ екенін анықтауымыз керек. Себебі, есептің шешімі жоқ болса, оны іздеудің қажеті жоқ. Ал есептің шешімі бар екені белгілі болса, онда оны әртүрлі жолмен, мысалы жуықтап табуға тырысамыз. Бізден көбінесе теңдеудің барлық шешімдерін емес, бастапқы берілген шартты қанағаттандыратын (Коши есебінің) тек бір ғана шешімін табу сұралады. Бұл сұраққа Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы теорема жауап береді. Теореманы алғаш Коши дәлелдеген. Біз теореманы Пикар ұсынған дәйекті (жүйелі) жуықтау әдісімен дәлелдейміз. Бұл әдіс шешімнің бар екенін дәлелдеумен бірге оны белгілі дәлдікпен жуықтап құруға мүмкіндік береді, яғни өзінін болмысы бойынша конструктивтік болып табылады.

ЛОКАЛДЫҚ ТЕОРЕМА . Дифференциалдық теңдеу

$\dot{х}$ = $\ f(t, x)$ (1)

және бастапқы мәндер $t_{0}, x_{0}$ берілсін.

Егер $f(t, x)$ функциясы мына тұйық облыста D={ $(t, x) \in \mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{:t} - t_{0} \leq a, x - x_{0} \leq b\}$ , ( a, b - белгілі оң сандар) , екі шартты қанағаттандырса:

1. қос айнымалыt, xбойынша үзіліссіз; демек

$\exists\sup_{(t, x) \in D}{f(t, x) ≕}М$ ;

2. хайнымалысы бойыншаЛипщиц , яғни L>0 саны бар болып, D облысының кез келген екі (t, х1х_{1}) және (t, х2х_{2}) нүктелері үшін

$\ f(t, х_{1}) - \ f(t, х_{2}) \$ $\leq Lх_{1} - {\ х}_{2}$

теңсіздігі орындалады, L>0 саны нүктелердің алынуынан тәуелді емес; онда (1) теңдеудің

$\varphi(t_{0}) = х_{0}$ (2)

шартын қанағаттандыратын, [ $t_{0} - h, t_{0} + h\rbrack$ , h=min(a, $\frac{b}{M})$ кесіндісінде анықталған, үзіліссіз дифференциалданатын жалғыз ғана шешімі х = $\varphi(t)$ бар болады және $\forall t \in \left\lbrack t_{0} - h, t_{0} + h \right\rbrack:\ \ \ (t, \varphi(t) ) \in D_{0} \subseteq D$ , $D_{0} = \left\lbrack t_{0} - h, t_{0} + h \right\rbrack \times \left\lbrack x_{0} - b, x_{0} + b \right\rbrack$ .

ДӘЛЕЛДЕУІ. Теореманың дәлелдеуін бес кезеңге бөлеміз.

1. Коши есебінің интегралдық теңдеумен эквиваленттілігі. Айталық x=φ(t) (1) теңдеудің\varphi(t) \ (1) теңдеудің(2) шартты қанағаттандыратынІt0h≔[t0−h, t0+h] І_{t_{0}}^{h} ≔ \left\lbrack t_{0} - h, t_{0} + h \right\rbrackкесіндісіндегі шешімі болсын. Яғниφ(t) =f(t, φ(t) ) \varphi(t) = \ f(t, \varphi(t) ), ∀t∈Іt0h\forall t \in І_{t_{0}}^{h}, φ(t0) =x0\varphi(t_{0}) = x_{0}Алынған тепе теңдіктіt0t_{0}-ден t-ға дейін интегралдасақ, шешімнің

$$\varphi(t) = \varphi\left( t_{0} \right) + \ \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, \varphi(\tau) \right) d\tau = х_{0}} + \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, \varphi(\tau) \right) d\tau}, \forall t \in І_{t_{0}}^{h}\$$

интегралдық тепе-теңдікті қанағаттандыратынын көреміз. Сондықтан (1), (2) Коши есебін

x= $x_{0} + \int_{t_{0}}^{t}{f(\tau, х) d\tau}$ (3)

интегралдық теңдеумен алмастыралық. Берілген теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын шешімі (3) теңдеудің шешімі болатындығы көрсетіледі. Енді (3) теңдеудің шешімі (1), (2) есептің шешімі болатынын көрсетелік. x= $\varphi(t)$ (3) теңдеудің шешімі болсын. Онда $\varphi\left( t_{0} \right) = х_{0}$ болады да

$$\varphi(t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, \varphi(\tau) \right) d\tau}, \forall t \in І_{t_{0}}^{h}$$

тепе - теңдігі орындалады. Тепе - теңдіктің оң жағы үзіліссіз дифференциалданатын функция. Онда сол жағы да үзіліссіз дифференциалданады. Егер тепе - теңдікті дифференциалдасақ, $\varphi(t) = \ f\left( \tau, \varphi(\tau) \right), \ \forall t \in І_{t_{0}}^{h},$ яғни (3) теңдеудің шешімі (1) теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын шешімі болады. Шешімдерінің осы көрсетілген ортақтығы мағынасында (1), (2) Коши есебі мен (3) интегралдық теңдеу эквивалентті деп аталады (саналады) . Сондықтан теореманы (3) теңдеу үшін дәлелдеу жеткілікті.

2. Дәйекті жуықтау тізбегін құру. Интегралдық (3) теңдеудің шешімін табу үшін жоғарыда айтылған Пикардыңдәйекті жуықтауәдісін пайдаланамыз, яғни шешімге бірте - бірте (дәйекті түрде) жуықтайтын функциялар (жуық шешімдер) тізбегін құрамыз. Бастапқы (нөлдік) жуықтау ретінде, ізделінетін шешімнің алғашқы мәніне тепе - тең болатын функцияны аламыз:

$x^{(0) }(t) = x_{0}$ .

Келесі жуықтау формулалар

$\left\{ \begin{array}{r} x^{(1) }(t) = x_{0} + \ \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(4}_{1}) } \\ x^{(2) }(t) = x_{0} + \ \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(1) } \right) d\tau\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(4}_{2}) } \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots. . \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots. \ldots\ldots \\ x^{(n) }(t) = x_{0} + \ \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(n - 1) } \right) d\tau\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(4}_{n}) } \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \end{array} \right. \$ (4)

арқылы анықтаймыз. Мұнда t $\in І_{t_{0}}^{h} ≔ \left\lbrack t_{0} - h, t_{0} + h \right\rbrack$ . Алынған

$x^{(0) }(t), x^{(1) }(t), \ x^{(2) }(t), \ \ldots, \ x^{(n) }(t), \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ (5)

тізбегінің әрбір мүшесі $І_{t_{0}}^{h}$ кесіндісінде анықталған, үзіліссіз болады және D облысынан шығып кетпейді.

(t, $x^{(0) }(t)$ = ${\ x}_{0}$ ) $\in D_{0} \subseteq D, \ D_{0} ≔ \left\lbrack t_{0} - h, t_{0} + h \right\rbrack \times \left\lbrack x_{0} - b, x_{0} + b \right\rbrack.$

$$x^{(1) }(t) = x_{0} + \ \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau. }$$

Мұндағы $f\left( \tau, x^{(0) } \right)$ функциясы $D_{0}$ облысында анықталған. $D_{0} \subseteq D$ болғандықтан, ол үзіліссіз. Ал онда жоғары шегінің үзіліссіз функциясы болып табылатын интеграл - $\int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau}$ үзіліссіз. Сондықтан $x^{(1) }(t) \$ үзіліссіз және $x^{(1) }(t) = x_{0}$ . Ал ${(4}_{1})$ - ден t $\in І_{t_{0}}^{h}$ болғанда

$\left x^{(1) }(t) - x_{0} \right$ = $\left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau} \right \leq \left \int_{t_{0}}^{t}\left f\left( \tau, x^{(0) } \right) \right \right. \ \left. \ d\tau \right \leq M\left \int_{t_{0}}^{t}{d\tau} \right \leq M\left t - t_{0} \right \leq = Mh \leq b$

теңдігін аламыз. Яғни $\left( t, x^{(1) }(t) \right) \in D_{0}$ .

Енді тізбектің үшінші мүшесін

$$x^{(2) }(t) = x_{0} + \ \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(1) } \right) d\tau, \ }\forall t \in І_{t_{0}}^{h}$$

қарастыралық. Интеграл астындағы $f\left( \tau, x^{(1) } \right)$ функциясы $D_{0} \subseteq D$ облысында анықталған. Сондықтан ол үзіліссіз. Ендеше интеграл үзіліссіз, ал онда $x^{(2) }(t) \$ үзіліссіз. . Ал ${(4}_{2})$ - ден t $\in І_{t_{0}}^{h}$ болғанда

$\left x^{(2) }(t) - x_{0} \right$ = $\left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau} \right \leq M\left t - t_{0} \right \leq = Mh \leq b$

теңсіздігін аламыз. Яғни $\left( t, x^{(2) }(t) \right) \in D_{0}$ . Сонымен бірге $x^{(2) }(t) = x_{0}$ . Әрбәр жуықтау оның алдында тұрған жуықтау арқылы анықталатындықтан, математикалық индукция әдісін пайдаланып, $x^{(0) }(t), x^{(1) }(t), \ x^{(2) }(t)$ үшін дәлелденгендерді тізбектің жалпы мүшесі $x^{(n) }(t)$ үшін де дәлелдеуге болады. Шынында да $\forall n - 1 \in \mathbf{N}$ саны үшін $\left( t, x^{(n - 1) }(t) \right) \in D_{0}$ , $x^{(n - 1) } \in \mathbf{C}\left( І_{t_{0}}^{h} \right)$ , $x^{(n - 1) }(t_{0}) = x_{0}$ деп есептесек, ${(4}_{n})$ - де

$$x^{(n) }(t) = x_{0} + \ \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(n - 1) } \right) d\tau \in \mathbf{C}\left( І_{t_{0}}^{h} \right) \ }$$

болады да,

$\left x^{(n) }(t) - x_{0} \right$ = $\left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(n - 1) } \right) d\tau} \right \leq M\left t - t_{0} \right \leq = Mh \leq b, \ \forall t \in І_{t_{0}}^{h}$ шығады. Яғни $\forall n \in \mathbf{N:}\left( t, x^{(n) }(t) \right) \in D_{0}$ , $x^{(n) } \in \mathbf{C}\left( І_{t_{0}}^{h} \right)$ және $x^{(n) }(t) = x_{0}$ .

3. Дәйекті жуықтау тізбегінің жинақтылығы. Құрылған тізбектіңІt0hІ_{t_{0}}^{h}кесіндісінде жинақты болатынын көрсетелік. Ол үшін n - бөлікше қосындысыSnS_{n}тізбектің n - мүшесіx(n) (t) x^{(n) }(t) -ге тең болатынын функциялық қатар

$x^{(0) }(t) + \left( x^{(1) }(t) - x^{(0) }(t) \right) + \left( x^{(2) }(t) - x^{(1) }(t) \right) + \ldots + \left( x^{(n) }(t) - x^{(n - 1) }(t) \right) + \ldots$ (6) қарастырамыз. Бұл (6) қатардың бірқалыпты жинақтылығынан (5) тізбектің бірқалыпты жинақтылығы шығады, себебі $S_{n} = x^{(n) }$ . Қатардың әрбір мүшесін, екіншісінен бастап $І_{t_{0}}^{h}$ кесіндісінде абсолют шамасы бойынша бағалайық

$\left x^{(1) }(t) - x^{(0) }(t) \right = \left x^{(1) }(t) - x_{0} \right$ = $\left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(n - 1) } \right) d\tau} \right \leq M\left t - t_{0} \right \leq Mh$ ,

$\left x^{(2) }(t) - x^{(1) }(t) \right \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{\left( f\left( \tau, x^{(1) } \right) - f\left( \tau, x_{0} \right) \right) d\tau} \right \leq \left \int_{t_{0}}^{t}\left f\left( \tau, x^{(1) } \right) - f\left( \tau, x_{0} \right) \right \right. \ \left. \ d\tau \right$ .

Енді $f(t, х)$ функциясының Липшиц шартын қанағаттандыратынын пайдаланалық. Онда қатардың екінші мүшесі үшін алынған бағаны ескеріп, мына теңсіздікті

$$\left x^{(2) }(t) - x^{(1) }(t) \right \leq L \leq \left \int_{t_{0}}^{t}\left x^{(1) }(\tau) - x_{0} \right \right. \ \left. \ d\tau \right \leq ML\int_{t_{0}}^{t}\left \tau - t_{0} \rightd\tau = \ \frac{ML\left t - t_{0} \right^{2}}{2!} \leq ML\frac{h^{2}}{2!}, \forall t \in І_{t_{0}}^{h}$$

аламыз. Дәл осылайша

$$\left x^{(3) }(t) - x^{(2) }(t) \right = \left \int_{t_{0}}^{t}{\left( f\left( \tau, x^{(2) }(\tau) \right) - f\left( \tau, x^{(1) }(\tau) \right) \right) d\tau} \right \leq \left \int_{t_{0}}^{t}\left f\left( \tau, x^{(2) }(\tau) \right) - f\left( \tau, x^{(1) }(\tau) \right) \right \right. \ \left. \ d\tau \right \leq L\left \int_{t_{0}}^{t}\left x^{(2) }(\tau) - x^{(1) }(\tau) \right \right. \ \left. \ d\tau \right \leq {ML}^{2}\int_{t_{0}}^{t}\frac{\left \tau - t_{0} \right^{2}}{2!}d\tau = \frac{{ML}^{2}\left t - t_{0} \right^{3}}{3!} \leq {ML}^{2}\frac{h^{3}}{3!}, \forall t \in І_{t_{0}}^{h}$$

теңсіздігі алынады. Қатардың кез келген n-мүшесі үшін де осындай теңсіздік орындалатынын көрсету үшін математикалық индукция әдісін пайдаланайық.

Айталық кез келген n-1 $\in N$ саны үшін

$$\left x^{(n - 1) }(\tau) - x^{(n - 2) }(\tau) \right \leq \frac{{ML}^{n - 2}\left t - t_{0} \right^{n - 1}}{(n - 1) !} \leq {ML}^{n - 2}\frac{h^{n - 1}}{(n - 1) !}, \forall t \in І_{t_{0}}^{h}$$

Теңсіздігі орындалсын. Онда $\forall n \in N$ үшін

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс